两个猜想几何不等式

lemondian

请问这两个猜想几何不等式是否成立？
1.在锐角$\triangle ABC$中，其内心和重心分别为$I,G$，连接$AI,BI,CI$和$AG,BG,CG$，则有：$AI+BI+CI\leqslant AG+BG+CG$。

2.在任一$\triangle ABC$中，设$m_a,m_b,m_c$分别表示三条中线长，$R,r$分别表示外接圆半径和内切圆半径，则有$m_a+m_b+m_c\leqslant 3(R+r)$。

kuing

第二个是不成立的。
反例：取一个直角三角形，且其中一个锐角非常小。
此时 ma+mb+mc 趋向 2 倍斜边，而斜边 = 2R，即左边趋向 4R，而内切圆非常小，即右边趋向 3R，此时左边必然大于会右边。

回复本层 @lemondian 的点评：
即使限制为锐角也不行，类似地，取一个等腰三角形，且顶角非常小，同样左边趋向 4R，右边趋向 3R。

kuing

正确的不等式是：`m_a+m_b+m_c\leqslant4R+r`。

（是老题，有简单证法，请自行尝试）

lemondian

kuing 发表于 2024-12-9 17:24
正确的不等式是：`m_a+m_b+m_c\leqslant4R+r`。

（是老题，有简单证法，请自行尝试） ...

第1个猜想正确吗？
3#的不等式，如何证明呢？想了变久的

lemondian

kuing 发表于 2024-12-9 17:24
正确的不等式是：`m_a+m_b+m_c\leqslant4R+r`。

（是老题，有简单证法，请自行尝试） ...

别人写了一个证法，有些地方看不懂：
画红线处是如何来的？

lemondian

如果能证到下面这个结论，则1#的题1就可以证明了！

结论：在锐角$\triangle ABC$中，设$m_a,m_b,m_c$分别表示三条中线长，则有：$(m_a+m_b)^2+(m_b+m_c)^2+(m_c+m_a)^2\geqslant (a+b+c)^2$。

那位高人帮忙看看如何证明？

lemondian

题目2这样证可以吗？

标红处的三个等式不是要求在锐角三形才成立吗？

kuing

lemondian 发表于 2024-12-12 11:30
题目2这样证可以吗？

标红处的三个等式不是要求在锐角三形才成立吗？

嗯，所以这个证法只在锐角三角形有效。
da=R|cosA|
若 A 为钝角，就会有 ma>R+RcosA。

kuing

我收回 3# “有简单证法” 的说法
——其实就是指 ma<=R+da 的证法，但我说完就发现这只是在锐角三角形才适用，然后我就想能否补救，结果到现在也没补救到😅算了，就当我没说过吧

lemondian

lemondian 发表于 2024-12-11 23:41
如果能证到下面这个结论，则1#的题1就可以证明了！

结论：在锐角$\triangle ABC$中，设$m_a,m_b,m_c$分别 ...

这个结论的证明过程，对不？
过程跳跃性有点大，看得迷糊。

lemondian

lemondian 发表于 2025-1-8 16:51
这个结论的证明过程，对不？
过程跳跃性有点大，看得迷糊。

哪位能帮忙解析一下画线处的由来吗？

lemondian

lemondian 发表于 2025-1-9 12:56
哪位能帮忙解析一下画线处的由来吗？

再顶一下

lemondian

lemondian 发表于 2025-1-8 16:51
这个结论的证明过程，对不？
过程跳跃性有点大，看得迷糊。

这个地方（标红处）如何说明是大于0的？