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Last edited by hbghlyj at 2025-3-8 19:56:14四面体 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 的内心为 $I$ ，内切球半径为 $r$ ，各侧面面积为 $S_i(i=1,2,3,4)$，$S_i$ 与 $S_j$ 所夹的中面面积为 $M_{i j}(i, j=1,2,3,4 ; i \neq j)$，$S_i$ 与 $S_j$ 所夹的二面角平分面面积为 $T_{i j}$，四面体 $B_1 B_2 B_3 B_4$ 为四面体 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 的切点四面体，四面体 $B_1 B_2 B_3 B_4$ 的重心为 $G^{\prime}$，$l=I G^{\prime}$ ，则
\[
\sum_{1 \leq i<j \leq 4} \frac{T_{i j}^2}{S_i S_j} \leq \frac{4\left(r^2-l^2\right)}{r^2} \leq \sum_{1 \leq i<j \leq 4} \frac{M_{i j}^2}{S_i S_j} \leq \frac{1}{4}\left(\sum_{i=1}^4 S_i\right)\left(\sum_{i=1}^4 \frac{1}{S_i}\right) .
\]
等号成立的充要条件是 $S_1=S_2=S_3=S_4$ 且四面体 $A_1 A_2 A_3 A_4$ 的内心 $I$ 与四面体 $B_1 B_2 B_3 B_4$ 的重心 $G^{\prime}$ 重合。
我猜测取等的时候两个四面体应该都为正四面体，但不肯定 |
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