四面体内一点的几何不等式

lihpb

四面体内任意点到各底面的距离为\(d_i\)(i=1,2,3,4)，四面体外接球半径为R
则

\(\displaystyle\prod_{i=1}^4d_i\le\frac{R^4}{27}\)

lihpb

跟这个有点像
forum.php?mod=viewthread&tid=11723

kuing

lihpb 发表于 2024-6-6 17:38
跟这个有点像
https://kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=11723

1# 比那个难多了

要证 1# 等价于证
\[\frac1{S_1S_2S_3S_4}\left(\frac{3V}4\right)^4\leqslant\frac{R^4}{27},\]
其中 `S_i` 为各面面积，`V` 为体积。

完全没思路……

lihpb

kuing 发表于 2024-6-23 14:43
1# 比那个难多了

要证 1# 等价于证

你说的那个不等式我知道怎么证，你只要告诉我为什么会等价于你那个不等式就行

kuing

lihpb 发表于 2024-7-2 09:19
你说的那个不等式我知道怎么证，你只要告诉我为什么会等价于你那个不等式就行

因为
\[\frac13S_1d_1+\frac13S_2d_2+\frac13S_3d_3+\frac13S_4d_4=V,\]
则由均值有
\begin{align*}
d_1d_2d_3d_4&\leqslant\frac1{S_1S_2S_3S_4}\left(\frac{S_1d_1+S_2d_2+S_3d_3+S_4d_4}4\right)^4\\
&=\frac1{S_1S_2S_3S_4}\left(\frac{3V}4\right)^4,\quad(*)
\end{align*}
等号必然能取到，即 (*) 是 `d_1d_2d_3d_4` 的最大值，因此要证 1# 等价于证 3#。

lihpb

谢谢，麻烦帮我看看下面这两个
证不出来也没关系，帮我验证下就行，或者只证n=3

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