怎么证明四面体的Bartos体积公式

lihpb

已知四面体 $A_0 A_1 A_2 A_3$ 的三个面面积分别为 $S_1, ~ S_2, ~ S_3$ ．
三个面的交点 $A_0$ 的顶点角正弦定义为
\[
\sin A_0=\sqrt{\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \angle A_1 A_0 A_2 & \cos \angle A_1 A_0 A_3 \\
\cos \angle A_1 A_0 A_2 & 1 & \cos \angle A_2 A_0 A_3 \\
\cos \angle A_1 A_0 A_3 & \cos \angle A_2 A_0 A_3 & 1
\end{array}\right|}
\]
求证四面体体积为
\[
V=\frac{\sqrt{2 S_1 S_2 S_3 \sin A_0}}{3}
\]

hejoseph

公式不对，检查一下，而且以前我就在数学研发论坛里给你提到过一个体积公式：若 $AB=a$，$AC=b$，$AD=c$，$\angle BAC=\alpha$，$\angle BAC=\beta$，二面角 $C-AB-D$ 是 $\theta$，体积为 $V$，则
\[
V=\frac{1}{6}abc\sin\alpha\sin\beta\sin\theta
\]
也给你提到过三面角第一、第二定理，如果你自己有看过就应该知道（这里 $\angle CAD=\gamma$）
\[
\cos\theta=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}
\]
这个就是三面角第一余弦定理的变形，由此就能得到
\[
\sin\theta=\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}}{\sin\alpha\sin\beta}
\]
分子就是你发的 $\sin A_0$，然后用两边夹角公式代换一下就得了。

lihpb

hejoseph 发表于 2023-11-16 14:04
公式不对，检查一下，而且以前我就在数学研发论坛里给你提到过一个体积公式：若 $AB=a$，$AC=b$，$AD=c$，$ ...

单形论漫谈的定理5.2.6确实是这么写的

hejoseph

你可以拿特殊四面体验证啊，拿正四面体来说吧，棱长为 $1$，则体积为
\[
\frac{\sqrt{2}}{12}
\]
而
\[
S_1=S_2=S_3=\frac{\sqrt{3}}{4},\sin A_0=\frac{\sqrt{2}}{2}
\]
显然就不对

lihpb

hejoseph 发表于 2023-11-17 09:15
你可以拿特殊四面体验证啊，拿正四面体来说吧，棱长为 $1$，则体积为
\[
\frac{\sqrt{2}}{12}

那你帮我看看能不能用三个面的面积和交点角的正弦值，仅用这4个量表示体积