证明：当k<1时，曲线y=x^3-3x^2+x+2与y=kx-2有一个交点

敬畏数学

证明：当k<1时，曲线y=x^3-3x^2+x+2与y=kx-2有一个交点。求大神帮忙，在此谢谢了。

kuing

通法是用三次方程的判别式，得到的还是充要的，具体就不说了，自己查资料。

非通法可以这样证：
设 $f(x)=x^3-3x^2+x+2-(kx-2)$，则 $f'(x)=3x^2-6x+1-k$。
由 $k<1$ 显然当 $x<0$ 时 $f'(x)>0$，又 $f(0)=4$, $f(-\infty)=-\infty$，所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上有且只有一零点。
另一方面，配方得 $f(x)=(x+1)(x-2)^2+(1-k)x$，再由 $k<1$ 显然当 $x>0$ 时 $f(x)>0$。
综上即得证。

abababa

三次曲线和直线总有交点吧。
$x^3-3x^2+x+2=kx-2$，是三次方程，不管$k$是什么值，根据虚根成对出现可知它总有一个实根，这个实根就是交点。

kuing

回复 3# abababa

O，我将楼主的题意理解成（自动脑补）了只有一个交点（因为他显然是这个意思）……

abababa

回复 4# kuing

不过用判别式的话，应该是下面这样吧：
方程是$x^3-3x^2+(1-k)x+4=0$，令$x=y+1$后方程化为$y^3-(k+2)y+(3-k)$，$\Delta=\frac{1}{4}(3-k)^2+\frac{-(k+2)^3}{27}$，要想只有一个交点就是只有一个实根，需要$\Delta>0$，就是$31k^3-219k^2+777k-697<0$，这个用软件算出一个数值解是$k<1.2698$。

kuing

回复 5# abababa

你计算错了

abababa

回复 6# kuing

确实，$\Delta$应该是$(k-1)(4k^2+k+211)<0$，后面的括号恒正，所以应该$k<1$。

敬畏数学

回复 2# kuing
转得太快有点跟不上！赞。另外有大神把极小值或者极大值分别求出，再证明极小值大于零，极大值小于零。确实难度很大！似乎偶没有看明白。。。呵呵

isee

回复  kuing
转得太快有点跟不上！赞。另外有大神把极小值或者极大值分别求出，再证明极小值大于零，极大 ...
敬畏数学 发表于 2016-9-18 09:29

三次函数（N型函数）的通常处理方法

敬畏数学

回复 9# isee
常规做法此题似乎无法转出来！有试过吗？？

敬畏数学

看下给出的答案也是“非通法”！

kuing

回复 10# 敬畏数学

2楼看不懂吗？

isee

回复  isee
常规做法此题似乎无法转出来！有试过吗？？
敬畏数学 发表于 2016-9-19 15:34

    有可能的，我的确是没有算。带个参数k，不会特别容易。

   
    请发“转不出”的过程，双问号就不必了。

isee

回复  敬畏数学

2楼看不懂吗？
kuing 发表于 2016-9-19 15:40

    估计是看明白了，但估计不是楼主所期望的“通俗”方法。

isee

回复  kuing

不过用判别式的话，应该是下面这样吧：
方程是$x^3-3x^2+(1-k)x+4=0$，令$x=y+1$后方程化为$ ...
abababa 发表于 2016-9-17 16:49

三次方程的判别式，学习下，有参考链接或者之类的书砸过来么？

isee

回复  kuing

确实，$\Delta$应该是$(k-1)(4k^2+k+211)
abababa 发表于 2016-9-17 16:57

数形结合下，过（0，-2）的的切线k=1，正是好分水岭。填空选择可这么
干。

isee

楼主问问题基本都是从大题里抽出难点。

此题作差后，需要要一定技巧，否则难算（但不意味着一定不能）；如果变量分离，也需要分x正负，讨论单调、极值（也能得到结果），是求出k的范围。




这题一般资料上的处理是这样的：zybang.com/question/829f6d191ae256d192d377af913c401c.html

题目：

已知函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+2$，曲线$y=f(x)$在$(0,2)$处的切线与$x$轴交点的横坐标为$-2$。
⑴求$a$的值；
⑵证明：当$k<1$时，曲线$y=f(x)$与直线$y=kx-2$只有一个交点.

网络上（可能是标答）解答：
（1）解 $f^{\prime}(x)=3 x^2-6 x+a, f^{\prime}(0)=a$ ．
曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程为 $y=a x+2$ ．由题设得 $-\frac{2}{a}=-2$，所以 $a=1$．
（2）证明 由（1）知，$f(x)=x^3-3 x^2+x+2$ ．
设 $g(x)=f(x)-k x+2=x^3-3 x^2+(1-k) x+4$ ．
由题设知 $1-k>0$ ．
当 $x \leqslant 0$ 时，$g^{\prime}(x)=3 x^2-6 x+1-k>0, g(x)$ 单调递增，
$g(-1)=k-1<0, g(0)=4$ ，所以 $g(x)=0$ 在 $(-\infty, 0]$ 有唯一实根．
当 $x>0$ 时，令 $h(x)=x^3-3 x^2+4$ ，
则 $g(x)=h(x)+(1-k) x>h(x)$ ．
$h^{\prime}(x)=3 x^2-6 x=3 x(x-2)$ ，
$h(x)$ 在 $(0,2)$ 单调递减，在 $(2,+\infty)$ 单调递增，
所以 $g(x)>h(x) \geqslant h(2)=0$ ．
所以 $g(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 没有实根．
综上，$g(x)=0$ 在 $\mathbf{R}$ 有唯一实根，
即曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=k x-2$ 只有一个交点．

kuing

回复 17# isee

将这个“可能答案”优化一下就和我的一样了，优化点就在后面，既然都独立出了这个 h(x) 来，居然不分解因式，还求导。

isee

回复  isee

将这个“可能答案”优化一下就和我的一样了，优化点就在后面，既然都独立出了这个 h(x) 来， ...
kuing 发表于 2016-9-20 15:09

    是的，一样。你的数学很敏感。。。。。


   关键就在那个三次方程根为2，我会的方法里都涉及到三次方程的实根只是2.

abababa

回复 15# isee
链接是baike.baidu.com/link?url=ZemzcKxzCKqv9fLGv1xj … 2X6uAzJVU3vO-1Axmhaq

其实就是看那个判别式的表示，然后结合三次方程求根公式的形式。
$\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$，然后当$\Delta>0$时，$-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$和$-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$都是实数，且不相等，让$u,v$分别是这两个表达式的一个实数立方根，根据求根公式就得到

\[\begin{cases}
x_1=u+v\\
x_2=\omega u+\omega^2v\\
x_3=\omega^2u+\omega v
\end{cases}\]
这里$\omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$。所以当$\Delta>0$时只有$x_1$是实数，另两个是共轭的复数。