证明：当k<1时，曲线y=x^3-3x^2+x+2与y=kx-2有一个交点

isee

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链接是

其实就是看那个判别式的表示，然后结合三次方程求根公式的形式。
$\Delta=\frac{q^2}{ ...
abababa 发表于 2016-9-20 17:21

原来是这个意思啊。。。。

敬畏数学

回复 9# isee
通常方法：要么极小值小于零要么极大值大于零，或者证明极小值与极大值之积为正。算了似乎不可能证出。此题管理员提供的解法应该是最佳的。学习下。

isee

回复 22# 敬畏数学


    这样可否？

   \begin{align*}
f(x)&=x^3-3x^2+x+2-(kx-2)\\
f'(x)&=3x^2-6x+1-k\\
\Delta&=24+12k
\end{align*}

当 $k\leqslant -2$ 时，$\Delta\leqslant 0,f'(x)>0,f(x)$显然只有一个零点。

当 $-2<k<1$时，$\Delta>0,记 f'(x)=0 $的两根分别为$x_1,x_2(x_1<x_2)$，则

   \begin{align*}x_1+x_2&=2,\\
x_1x_2&=\frac {1-k}3>0\end{align*}

于是 $$0<x_1<x_2<2.$$
此时$f(x)$的极小为.
\begin{align*}
f(x_2)&=x_2^3-3x_2^2+x_2+2-(kx_2-2)\\
&=x_2^3-3x_2^2+(1-k)x_2+4\\
&=x_2^3-3x_2^2+(-3x_2^2+6x_2)x_2+4\\
&=-2x_2^3+3x_2+4\\
&=-(x_2-2)(2x_2^2+x_2+2)\\
&>0
\end{align*}

综上，证毕。

kuing

回复  isee
通常方法：要么极小值小于零要么极大值大于零，或者证明极小值与极大值之积为正。算了似乎不可 ...
敬畏数学 发表于 2016-9-21 08:42

证两根值之积为正是阔以嘀，而且也能得到一般性结论……

设三次函数 $ax^3+bx^2+cx+d$ 的极值的坐标为 $(x,y)$，则有
\[\led
&y=ax^3+bx^2+cx+d,\\
&3ax^2+2bx+c=0,
\endled\]
因为
\[ax^3+bx^2+cx+d=
\left(\frac b{9a}+\frac x3\right)(3ax^2+2bx+c)
+\frac{-2b^2+6ac}{9a}x-\frac{bc}{9a}+d,
\]
所以
\[y=\frac{-2b^2+6ac}{9a}x-\frac{bc}{9a}+d,\]
当 $3ax^2+2bx+c=0$ 有两个不相等实根时 $b^2>3ac$，所以
\[x=\frac{9ad-bc-9ay}{2b^2-6ac},\]
代入 $3ax^2+2bx+c=0$ 中化简最终得到
\[27a^2y^2+(\cdots)y+27a^2d^2-18abcd+4ac^3+4b^3d-b^2c^2=0,\]
所以两极值之积为
\[y_1y_2=\frac{27a^2d^2-18abcd+4ac^3+4b^3d-b^2c^2}{27a^2},\]
记 $\Delta_3=27a^2d^2-18abcd+4ac^3+4b^3d-b^2c^2$，那么三次方程 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 只有一个实根当且仅当 $\Delta_3>0$。

回到原题，代入 $a=1$, $b=-3$, $c=1-k$, $d=4$ 即得 $\Delta_3=(1-k)(4k^2+k+211)$。

isee

证两根值之积为正是阔以嘀，而且也能得到一般性结论……

设三次函数 $ax^3+bx^2+cx+d$ 的极值的坐标为 $( ...
kuing 发表于 2016-9-21 20:32

确实具有一般性，殊途同归于7楼。

shidilin

两端同除x，看成二次函数与反比例函数，有无交点，可否？

isee

回复 26# shidilin


    与分离参变量一个意思，所以，当然可以啦。

第一章

先根据$k$的范围，缩小$x$的范围，再证明在此区间单调递增。

敬畏数学

回复 24# kuing
嗯！正是想要的。

陈习晖

这方法可以吗？

isee

这方法可以吗？
陈习晖 发表于 2016-9-27 19:08

    当然可以啦

    不过，今年才知道，此题出处是2014年高考文科数学 全国新课标II卷 第21题。

敬畏数学

回复 31# isee
问题是，那幅图是如何画出来的？大题可以吗？

敬畏数学

回复 23# isee
刚想了想，你的这个解法应该比较自然！
绝大部分跟你一样，就是当求出极小值函数y=-2x^3+3x^2+4，只要求出极大值点（就是此处的x）的范围，其实由极值为0可以求出，即-3^x2+6x+k-1=0可以求出极大值点为：
x=[6+根号（24+12k）]/6，-2<k<1,得，1<x<2，
最后，变成y=h(x)=-2x^3+3x^2+4，1<x<2，易得h(x)在1<x<2为减函数；y>h(2)=0。证毕#
此题其实是一道常规题。
当然24#给出一般的结论是非常精彩的！！！

踏歌而来

2楼、17楼、23楼的解答是答题时该优先考虑的，是教材中推荐的解法。

敬畏数学

回复 30# 陈习晖
30楼的解法，慢慢接受了！总比没有好。其他解法有点难受啊。。。。。

hbghlyj

isee 发表于 2016-9-20 07:07
三次方程的判别式，学习下，有参考链接或者之类的书砸过来么？

brilliant.org/wiki/cubic-discriminant/


Since the discriminant is symmetric in the roots of the polynomial, we can express it as elementary symmetric polynomials, i.e. the coefficients of $P(x)$. Although there is a general method to derive the discriminant of any polynomial, this is an elementary and algebraic approach.
By Vieta's formula we have\begin{aligned}
x_1+x_2+x_3 &=-\dfrac{b}{a}\\\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 &=\dfrac{c}{a}\\\\
x_1x_2x_3&=-\dfrac{d}{a}.
\end{aligned}Let's expand the discriminant:$$\Delta=a^4\Big(\big(x_1x_2^2+x_2x_3^2+x_3x_1^2\big)-\big(x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1\big)\Big)^2.$$Let $m=x_1x_2^2+x_2x_3^2+x_3x_1^2$ and $n=x_1^2x_2+x_2^2x_3+x_3^2x_1$, then $\Delta=a^4(m-n)^2$. We can't directly compute $m$ and $n$, but since they are cyclic polynomials, it turns out that the elementary symmetric polynomials of $m$ and $n$ are symmetric in $x_1,x_2,$ and $x_3$​ and hence expressable in terms of the coefficients of $P(x)$. So, let's find them:\begin{aligned}
m+n&=x_1x_2(x_1+x_2)+x_2x_3(x_2+x_3)+x_3x_1(x_3+x_1) \\\\
&=(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)-3x_1x_2x_3 \\\\
&=\dfrac{-bc+3ad}{a^2}.
\end{aligned}The case for $mn$ requires more tedious expansion:\begin{aligned}
mn=&\color{#3D99F6}{(x_1x_2)^3+(x_1x_3)^3+(x_2x_3)^3+3(x_1x_2x_3)^2+x_1x_2x_3\big(}\color{#D61F06}{x_1^3+x_2^3+x_3^3}\color{#3D99F6}{\big)}\\\\
=&\color{#3D99F6}{(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)(x_1x_2x_3)+3(x_1x_2x_3)^2+3(x_1x_2x_3)^2}\\
&{\color{#3D99F6}{+x_1x_2x_3\big(}}\color{#D61F06}{(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3x_1x_2x_3}\color{#3D99F6}{\big)}\\\\
=&\dfrac{c^3}{a^3}-\dfrac{3bcd}{a^3}+\dfrac{6d^2}{a^2}+\dfrac{b^3d}{a^4}-\dfrac{3bcd}{a^3}+\dfrac{3d^2}{a^2}\\\\
=&\dfrac{ac^3-6abcd+9a^2d^2+b^3d}{a^4}.
\end{aligned}Finally, use the identity $(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$:\begin{aligned}
\Delta
&=a^4(m-n)^2=a^4\left(\dfrac{-bc+3ad}{a^2}\right)^2-4a^4\left(\dfrac{ac^3-6abcd+9a^2d^2+b^3d}{a^4}\right)\\\\
&=b^2c^2-6abcd+9a^2d^2-4ac^3+24abcd-36a^2d^2-4b^3d\\\\
&=\boxed{b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd}.
\end{aligned}

hbghlyj

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