小数化分数求分母最值

Tesla35 · 2018-2-25 15:22

Last edited by hbghlyj 2025-4-1 05:18已知真分数 $\frac{n}{m}$（$m, n$ 均为正整数）转化为小数时，小数点后的前 4 位依次为
$2,0,1,3$ ．则 $m$ 的最小值是 $\qquad$ ．

乌贼 · 2018-2-25 22:09

由题意，设\[ m=5n-1 \]得\[ \dfrac{2014}{10000}>\dfrac{n}{5n-1}\geqslant \dfrac{2013}{10000} \]解得\[ n=29 \]或\[ n=30 \]故\[ m_{min}=144 \]

色k · 2018-2-27 14:39

回复 2# 乌贼

为什么只需考虑5n-1而不用考虑其他情形？

乌贼 · 2018-2-27 19:10

Last edited by 乌贼 2018-2-27 19:16回复 3# 色k
可设$ m=n-k=1,2,3,\cdots $，再证$ k=1 $时$ n $最小（但很复杂）。因为是小学题，所以……，然后中验算

isee · 2018-2-27 20:26

回复 4# 乌贼

当时，楼主截图有个六年级，直觉上，分母越小，那数值相应较大，我就猜，这个数是0.20139，但眼睛一看，化分数分母大呢。

现在，结果$29/144=0.2013888888888888\cdots$，竟然有种“不谋而合”之感。

isee · 2018-2-27 20:41

回复乌贼

当时，楼主截图有个六年级，直觉上，分母越小，那数值相应较大，我就猜，这个数是0.2013 ...
isee 发表于 2018-2-27 20:26

如果要严格证明，怕又要用到连分数理论了。

isee · 2018-2-27 20:58

Tesla35 · 2018-2-27 23:35

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[数论] 小数化分数求分母最值