地心处质点所受的地球引力是否为0？压力呢？

realnumber

假设地球为标准的球，且是液态的（好象大部分算是，岩浆），那么一个质点在地球球心附近的话，所受引力被各个方向的质量吸引，所受合力应该为0吧？
但万有引力公式说明很大才对，应该怎么理解？
（只是看了《流浪地球》随想）

色k

关于引力看这帖：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4652

kuing

至于压力，我以前也没思考过，刚才试着自己推，竟然得出中心压强无穷大
这感觉不太合常理，但我想来想去也不知道问题出在哪，大家帮忙瞧瞧：

先研究简化情形，假设液体密度均匀，取距离球心 `x` 至 `x+\Delta x` 的一层球壳，将它记为 `K`，那么 `K` 的两边的压力之差就等于它所受到的引力（吧？问题最大可能出在这里）
设距离球心 `x` 处的压强为 `p(x)`，则压力之差显然是
\[4\pi x^2p(x)-4\pi(x+\Delta x)^2p(x+\Delta x);\]
由链接中的结论知 `K` 的外部对它是没引力的，所以只需计算 `K` 以内的球体对它的引力。
记半径为 `x` 的球的质量为 `m(x)`，由密度均匀知 `m(x)=(x/R)^3M`，其中 `R`, `M` 为地球半径和质量，则 `K` 的质量为 `m(x+\Delta x)-m(x)`，故此引力为
\[\frac{Gm(x)(m(x+\Delta x)-m(x))}{r^2},\]其中 `r\in (x,x+\Delta x)`。
以上两式相等，再令 `\Delta x\to0`，就有
\[-(4\pi x^2p(x))'=\frac {Gm(x)m'(x)}{x^2},\]把 `m(x)` 的表达式代进去化简后就是
\[2p(x)+xp'(x)=-\frac {3GM^2}{4\pi R^6}x^2,\]解这个微分方程得
\[p(x)=-\frac {3GM^2}{16\pi R^6}x^2+\frac C{x^2},\]由 `p(R)=0` 确定常数 `C` 后，最终得
\[p(x)=\frac {3GM^2(R^4-x^4)}{16\pi R^6x^2},\]这样 `p(0)=\infty`，即球心处的压强无穷大……

到底问题出在哪？是“压力差=引力”不对，还是根本不能假设密度均匀？还是其他……？

业余的业余

想象在地心处有个半径为 $x$ 的小球，其球面承受其上所有液体的重力，相当于地球的重量压上面了。当然具体细节会有差别，对匀质球体来说，其因自身质量产生的引力场与离球心的距离成正比，线性关系，球心处为 $0$, 表面处最大。这里这些细节都可以不管。这个压力可以认为是个恒量，然后我缩小 $x$, ，令 $x\to 0$ 则其表面积趋于 $0$, 显然压强趋于无穷大。

当然实际上原子有自身的尺寸，而电磁力或许还有核力非常强大，足以维持小质量球体球心处不会聚变。这是我的猜测。

realnumber

假设液体不可压缩，密度均匀不变为ρ，G是万有引力常数，R是地球半径，半径为x的球壳（球心为地心）上有一小块面积为s的薄片（厚度假设为$Δx$）对地心的引力为$G\frac{4\pi x^3ρ}{3x^2}ρsΔx$,这块薄片产生的压强
为$\frac{4\pi Gρ^2x}{3}Δx$,看作此层球壳对内部贡献的压强.
只需对x从0到R积分，可得球心处压强为$\frac{2\pi Gρ^2R^2}{3}$


中心处压强不会无穷，否则一颗小水滴中心压强也无穷.

kuing

回复 3# kuing

3#的问题或许是“压力差”不是这样算，因为 `K` 的两面不是平面，而是球面，所以可能不应该用 `\Delta(Sp)`。

假如仿照计算引力那样，用 `(p(x)-p(x+\Delta x))\cdot S`（其中 `S\in(4\pi x^2,4\pi(x+\Delta x)^2)`）的话，令 `\Delta x\to0` 后就变成
\[-p'(x)\cdot4\pi x^2=\frac{Gm(x)m'(x)}{x^2},\]（就是 `(x^2p(x))'` 与 `x^2p'(x)` 的差别）然后就是
\[p'(x)=-\frac{3GM^2}{4\pi R^6}x,\]最终得
\[p(x)=\frac{3GM^2}{8\pi R^6}(R^2-x^2),\]则
\[p(0)=\frac{3GM^2}{8\pi R^4},\]和楼上得到的一样！看来正确的可能性不小。

业余的业余

回复 6# kuing

Flat earth (把地球视为平的)反而不会得到无穷大的压强. 这样想，我通过一个尖端面积无穷小的矛，刺一面墙，理论上接触处的压强是多少？维持 $5N$ 的作用力，但让接触面的面积趋于无穷小，压强会是一个有限的值 ?(不考虑实际的物理局限)

半径为 $x$ 的小球上的一个小的表面，承受着其上一个锥体的水的重力，当这个表面积因为 $x\to 0$ 而 趋于 $0$, 而上面的水的重力并没有变化 (维持锥体的角度不变), 这和用重矛作用在 无穷小的尖端上在概念上没有差别。

回到物理概念本身，$\text{压强}=\cfrac{\text{压力}}{\text{作用面积}}$. 当我们沿着球体的表面逐渐向球心进发，$\rho=\rho(x)$  这点和平地球时的经验仍然一致，也就是离球心距离相同的位置有相同的压强。想象把特定距离处用一个一个的球形薄膜包起来，那么随着我们往球心进发:

1. 重力加速度线性减少；
2. 在我们之上(更确切的说之外，更远离地心)的累计的液体重量更多。(这里把所有的重量当成一个标量加起来，因为它们都作用在我们的想象薄膜上，和累加起来作用在摊平了的同面积薄膜上等效);
3. 因为离地心更近，薄膜包层的表面积缩小 ($4\pi x^2$);
4. 压力的增加有穷，而薄膜包层表面的缩小没有理论上的有限最小值(不考虑具体的物理限制);

综上，球心处的压强不可能是有穷的。应该不需要具体计算就可以得出这个结论。

realnumber

回复 7# 业余的业余


    不考虑重力影响，静止的流体内部各处压强应该一样的，矛刺的固体和液体应该有区别的.液体地球因为内部引力变小，所贡献的压强也变小.

业余的业余

回复 8# realnumber

你的是平地球的经验。如果是一个液体的球体，越往下，$d=x$ 决定的球面的表面积越小。这里 $d$ 是位置到地心的距离。

在平地球观念下，在作用力有穷的情况下，对表面积微分则作用于其上的力也必相应微分，所以压强有限。

我怀疑大质量的天体，比如太阳，之所以会发生核聚变，正是因为这样的压强大到可以克服单个原子间电磁斥力。

业余的业余

回复 9# 业余的业余

这种情形为什么和气球(小液滴)中心处的压强不能类比呢?

想象，从球心发出成一个小角 $\theta$ 的两条射线。把这两天射线成的角绕其角平分线旋转 $180\du$, 就得到了一个圆锥，调整 $\theta$ 使这个锥里面的液体对球心的压力为 $5N$, 称这个圆锥为 $C$。以地球的球心为中心，做一个半径为小量 $x$ 的球面，称这个球面包含在圆锥 $C$ 内的部分为 $S$. 因为 $x$ 足够小，我们可以忽略在其下的小部分液体，认为 $C$ 内的液体对 $S$ 的压力仍然为 $5N$.

设想在 $S$ 上放一块与 $S$ 等大同形的薄膜，则薄膜处于平衡状态。我们有：
1. 圆锥以外的液体对圆锥内液体的合力为 $0$;
2. 薄膜对其上液体的支撑力，薄膜小的液体对薄膜的支撑力在大小上都等于薄膜外的液体对其压力，即 $5N$;
3. 薄膜上下表面的压强都等于 $\cfrac {5N}{\text{薄膜的表面积}}$

当然这个压强现在很大了，但还不是无穷大。现在我缩小 $x$, 在缩小的过程中有一个等大同形的薄膜跟着走，显然，薄膜上下受到的压力保持 $5N$ 不变，而其表面积与 $x^2$ 成正比，也就是说压强像万有引力那样，距离平方反比增长。当然，这里我忽略掉了压力会随着 $x$ 减小而增加，在 $x$ 很小时，这样的简化显然是逼近真实的。 显然有 $\lim_{x\to 0}\rho(x)=\infty$。 这和我举的 $5N$ 尖端面积趋于无穷小的例子完全一样。

一个液滴，或者一个气球的球心处的压强有什么不同呢？ 在液滴和气球内的任意地方，放一个任意形状的面，其上承受的气/液体的压力随着该面的面积变化而变化，比例恒定。这显然与上面分析的情形完全不同。

业余的业余

翻翻这个老问题:

离球心距离为 $r$, 厚度为 $\mathrm{d} r$ 的球壳受到的重力 (它受到其外的空心球壳的合引力为 $0$, 只需考虑其内的实心球体对它的万有引力）\[F(r) =\frac{G\rho\frac{4\pi r^3}3\cdot \rho4\pi r^2\mathrm{d}r}{r^2}=\frac{16G\rho^2\pi^2r^3\mathrm{d}r}{3}\]我们假定在球心处有一个半径为 $r_0$ 的可以从观念上加以区别的内核，那么这个内核受到的其上的球壳层的累计压力为:\[
\int_{r_0}^RF(r)=\int_{r_0}^R\frac{16G\rho^2\pi^2r^3}{3}\mathrm{d}r=\frac{4G\rho^2\pi^2(R^4-r_0^4)}{3}
\]则在半径为 $r_0$ 处的压强为\[
\frac{4G\rho^2\pi^2(R^4-r_0^4)}{3\cdot 4\pi r_0^2}=\frac{G\rho^2\pi(R^4-r_0^4)}{3r_0^2}
\]

这个结论和 kuing 三楼的类似。当然他回退了。

然后看了realnumb 第5楼的论述。

假设液体不可压缩，密度均匀不变为ρ，G 是万有引力常数，R 是地球半径

这些都是相同的。然后发现他是把压强叠加，我是把压力叠加，分歧应该是在这里。

为什么叠加压强？初中物理说固体传递压力，液体传递压强在这里是否适用？我有点拿不定主意了。

业余的业余

还是回到我的以球心为顶点，顶角为 $\theta$ 圆锥的模型。考察圆锥内的液体，我现在把它的外表面用想象的刚性薄膜包住，其中薄膜的底部是半径为 $r_0$、以球体的球心为球心的球面截到圆锥内的部分。现在我不管里面是什么，它对我来说就是一个固体，我可以调整圆锥的顶角的度数，以使我们构造的这个观念固体的的总重量(即指向圆心的引力之和)为一个常数，比如 $5N$. 则离球心 $r_0$ 处的压强为 $\frac{5N}{\text{薄膜底部表面积}}$。随着 $r_0\to 0$, 压强 $\to \infty$.

这个推理的问题出在哪里呢？

hbghlyj

匀质球壳的重力势,也见这帖的8#的4

业余的业余

业余的业余 发表于 2022-2-11 06:22
翻翻这个老问题:

离球心距离为 $r$, 厚度为 $\mathrm{d} r$ 的球壳受到的重力 (它受到其外的空心球壳的合 ...

kuing 6楼 和 realnumber是对的。


真的可以大致理解为固体传导压力，流体传导压强。