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这是 Preda Mihailescu 很久以前提出/解决的一个问题。
Mihailescu 给出的证明是最“基本”的，尝试使用翻译器阅读它。
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Aufgabe 835. Es seien $a_i(i=1, \ldots, n)$ und $m$ natürliche Zahlen. Unter $a_i^{1 / m}$ werde die positive Lösung der Gleichung $x^m=a_i$ verstanden. Man beweise oder widerlege folgende Aussage: Sind die Zahlen $a_i^{1 / m}$ sämtlich irrational, so ist auch $s:=a_1^{1 / m}+\cdots+a_n^{1 / m}$ irrational.
P. Mihailescu, Zürich
Lösung des Aufgabenstellers (Bearbeitung der Redaktion): Angenommen, es sei $s=q / r$ mit natürlichen teilerfremden $q, r$. Sei $k$ der Grad des charakteristischen Polynoms von $a:=a_n^{1 / m}$, d.h. der kleinste Teiler von $m$ derart, dass eine natürliche Zahl $b$ existiert mit $a=b^{1 / k}$. Schreiben wir
$$\tag1
a=s-\sum_{j=1}^{n-1} a_j^{1 / m}
$$
so sehen wir, dass - gemäss der rechten Seite von (1) - $a$ Nullstelle des folgenden Polynoms $f(x) \in \mathbf{Z}[x]$ ist:
$$\tag2
f(x)=r^{m^{n-1}} \prod_{(v)}\left\{(s-x)-\sum_{j=1}^{n-1} a_j^{1 / m} \omega_{v_j}\right\},
$$
wobei sich das Produkt über alle ganzzahligen Vektoren $(v)=\left(v_1, \ldots, v_{n-1}\right)$ mit $0 \leqslant v_j \leqslant n-1$ erstreckt, und $\omega_l=\exp (2 \pi i l / m), \quad 0 \leqslant l \leqslant m-1$ ist. (Dies folgt durch wiederholte Anwendung der Formel für ein Polynom über $\mathbf Z$, dessen eine Nullstelle die Summe zweier durch ihre charakteristischen Polynome gegebenen algebraischen Zahlen ist. Der Faktor $r^{m^{n-1}}$ sorgt dafür, dass die Koeffizienten von $f$ ganzzahlig sind.) Andererseits ist das charakteristische Polynom von $a$ gleich $x^k-b$, und daher ist $x^k-b$ ein Teiler von $f$. Es existieren also $k$ ganzzahlige Vektoren $\left(v^j\right)=\left(v_1^j, \ldots, v_{n-1}^j\right)$ derart, dass
$$\tag3
x^k-b=r^k \prod_{j=1}^k\left\{(s-x)-\sum_{t=1}^{n-1} a_t^{1 / m} \omega_{v_t^j}\right\} .
$$
$a$ ist Nullstelle dieses Produktes, und man darf sich die Numerierung so gewählt denken, dass $a$ gerade die erste Nullstelle ist, d.h. $\left(v^1\right)=(0,0, \ldots, 0)$. Durch Vergleich der Koeffizienten von $x^{k-1}$ in (3) ergibt sich nun
$$\tag4
k s-\sum_{t=1}^{n-1}\left(\sum_{j=1}^k \omega_{v_t^j}\right) a_t^{1 / m} =0
$$
Andererseits ist der Absolutbetrag der linken Seite von (4), wie man leicht mit Hilfe der Dreiecksungleichung verifiziert, grösser oder gleich
$$
k\left(s-\sum_{j=1}^{n-1} a_j^{1 / m}\right)=k a>0
$$
im Widerspruch zu (4). Somit ist $s$ irrational.
LITERATURVERZEICHNIS
A.S. Besicovitch: On the linear independence of fractional powers of integers. Proc. Lond. Math. Soc. 15 (1940). |
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kuing
发表于 2020-1-28 16:49
睡神
发表于 2024-4-17 23:07
