无限小数$A=0.10100100001\cdots$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数

河北高二学生

无限小数$A=0.10100100001\cdots$(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数。
证明：反证法。若$A$是有理数，则它必是无限循环小数，让其循环节的长度为 $t$，显然 $t\ne1$，一方面，根据 $A$ 的构造，$1\underbrace{0\cdots0}_{2t+1个}$一定出现在$A$的某一位置上，即在$A$中有一个包含$2t+1$个0的片段，而在这个片段中至少包含一个循环节，而另一方面，$A$的循环节内不可能每个数字都是$0$。此矛盾说明$A$是一个无理数。

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我的意思是，它追求严谨的证明。因为可以感觉出A不循环，即A是无限不循环小数，所以A是无理数。但是感觉有可能有瑕疵，数学上推导出来才能严格证明。
刚学的一点想法，也算是有点别扭

Czhang271828

我们简单仅用高中初中知识证明一下 "分数等价于无限循环小数或有限小数"

一方面, 显然有限小数为分数. 无限循环小数也为分数, 例如 $r$ 为循环节长度为 $d$ 的无限循环小数, 则错位相减得 $r\cdot 10^d-r$ 为有限小数, 故 $r\cdot (10^d-1)$ 为分数. 因此 $r$ 为分数.

另一方面, 先证明: 对任意因数不含 $2$ 和 $5$ 的正整数 $q\neq 1$, $q^{-1}$ 为循环小数.

我们定义集合 $\mathbb Z_q^\ast:=\{s\mid \gcd(s,q)=1,0\leq s\leq q-1\}$, 即 $[0,q-1]$ 中与 $q$ 互素的数. 定义 $\mathbb Z_q^\ast$ 上的乘法运算为 $s_1\cdot s_2=s_3$, 其中 $s_3$ 为 $s_1s_2$ 除以 $q$ 的余数. 显然可以验证, $\mathbb Z_q^\ast$ 中任意两个数的乘积仍在 $\mathbb Z_q^\ast$ 中且唯一, 因此这种乘法运算是完备的.

实际上, 可以把 "乘以 $n$"  看成一种定义域与值域都是 $\mathbb Z_q^\ast$ 的函数. 此处 $n$ 与 $q$ 互质, 从而对任意 $m_1,m_2\in \mathbb Z_q^\ast$, $nm_1=nm_2$ 当且仅当 $n(m_1-m_2)=0$, 当且仅当 $m_1=m_2$ ($n$ 与 $q$ 互质). 由于这个函数是单射, 且定义域与值域是相同的有限集, 因此是双射. 从而存在唯一的 $m\in \mathbb Z_q^\ast$ 使得 $m\cdot n=n\cdot m=1$, 我们把 $m$ 记作 $n^{-1}$.

自此,  $\forall k\in\mathbb Z$, 我们可以定义 $n^k$, 以及显然有 $n^{k_1}\cdot n^{k_2}=n^{k_1+k_2}$.

任意 $n\in \mathbb Z_q^\ast$, 集合 $\{n^k\mid k\in \mathbb Z\}$ 属于有限集 $\mathbb Z_q^\ast$, 从而存在不同的 $k_1,k_2\in \mathbb Z$ 使得 $n^{k_1-k_2}=1$, 从而存在正整数 $k_0$ 使得对一切 $n\in \mathbb Z_q^\ast$ 都有 $n^{k_0}=1$. 我们于是得到
\[
10^{k_0}\equiv 1\mod q.
\]
将 $1$ 视作 $0.99999\cdots $, 每 $k_0$ 个 $9$ 视作一段, 从而每段是 $q$ 的倍数. 因此 $q^{-1}$ 为循环小数, 其循环节长度为 $k_0$ 的某个因数.

若 $q$ 中包含 $2$ 或 $5$, 如 $q=75$ 时, 转化作 $\dfrac{1}{75}=\dfrac{4}{3}\cdot 0.01$. 若分子不为 $1$, 只需证明循环小数之和仍为循环小数 (这个太简单了, 从略).

于是一切有理数都能写作无限循环小数或有限小数.

大白兔奶糖

无限不循环小数无法写成两个整数之商

hbghlyj

这个级数可以用椭圆函数表示
EllipticTheta$$\sum_{n=1}^∞ k^{-n (n + 1)/2} = \frac12 k^{1/8} ϑ_2\left(0, \frac1{\sqrt k}\right)-1 \qquad k>1$$

hbghlyj

它是超越数吗？