三角函数的最小值

lemondian

求函数$y=cos2x+\sqrt{2}sin2x-4\sqrt{2}sinx+cosx$的最小值。
好象论坛里有类似的题目，但没找不到

kuing

类似题找不到？那可是你自己的帖：
forum.php?mod=viewthread&tid=6498
forum.php?mod=viewthread&tid=6867

Let's 继续装逼配方（这个装起来其实比之前的难……

在装之前，先把楼主 永远倾斜的 `sin`、`cos` 给扶正：
\[y=\cos2x+\sqrt2\sin2x-4\sqrt2\sin x+\cos x,\]
有
\begin{align*}
y+\frac{22}3={}&\frac{7+\sqrt3}4\left( \sin x-\frac{2\sqrt2}3-\frac{\sqrt6-\sqrt2}2\left( \cos x+\frac13 \right) \right)^2\\
&+\frac{7-\sqrt3}4\left( \sin x-\frac{2\sqrt2}3+\frac{\sqrt6+\sqrt2}2\left( \cos x+\frac13 \right) \right)^2,
\end{align*}
所以 `y\geqslant-22/3`，当 `x=\arccos(-1/3)` 时取等。

lemondian

回复 2# kuing
这个配方可昨想出来的？
仿佛记得有一帖：是讨论forum.php?mod=viewthread&tid=6498
forum.php?mod=viewthread&tid=6867
这两个的一般情况的，着实找不到。

想了解的是：这种题目是如何搞出来的？
例如：$y=psin2x+qcos2x+rsinx+scosx$何时有最大值，何时有最小值？
系数$p,q,r,s$的正负号与最大，最小值间有关系？
@kuing

lemondian

回复 3# lemondian

一页一页地翻，算是找到了这帖：
forum.php?mod=viewthread&tid=76#pid15424

可问题是：这与3#的一般形式又不一样吧？

kuing

回复 4# lemondian

就是不一样，所以我才没有把这帖拿出来啊……