用三种颜色的珠子各若干个穿成固定数目的珠串的组合数

TSC999

有大小相同的珠子共 9 个，其中黄色的 4 颗，绿色的 4 颗，红色的 1 颗。用它们穿成 9 颗珠子的手串，有多少种不同的花色组合？

例如下面只是其中一小部分组合：

不需要列出所有的花色图案，只须解出正确的组合数目即可。

可以参考常新德（河南永城职业学院老师）写的论文。网址：max.book118.com/html/2017/0729/125132578.shtm

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有重复元素的圆排列和环排列计数公式。
第一步，先按下式求出有重复元素的圆排列计数 $Q$$$Q=\frac{1}{s} \sum_{d \mid D}\left(\varphi(d)\left(\frac{s}{d}\right)!/ \prod_{i=1}^m\left(\frac{n_i}{d}\right)!\right)$$式中 $s=\sum_{i=1}^m n[i], \varphi(d)$ 为欧拉函数。 $d$ 是 $D$ 的所有约数，包括 1 和 $D$ 本身。
第二步，算出 $Q$ 中的对称圆排列数 $M$，当 $n_i$ 中多于两个奇数时，$M=0$，否则 $M=\left(\sum_{i=1}^m\left\lfloor\frac{n[i]}{2}\right\rfloor\right)!/ \prod_{i=1}^m\left\lfloor\frac{n[i]}{2}\right\rfloor!$ 种，$\left\lfloor\frac{n[i]}{2}\right\rfloor$ 表示取整。
第三步，环排列数 $\Phi=\frac{Q+M}{2}$。

MMA 写的程序代码：

1. Clear["Global`*"];  
2. m = 3; n[1] = 4; n[2] = 4; n[3] = 1;
3. k = 1;  (* n[i]奇数个数 *)
4. s = \!\(
5. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(m\)]\(n[i]\)\);
6. Q = (Sum[EulerPhi[d] *(s/d)!/\!\(
7. \*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(i = 1\), \(m\)]\(\((
8. \*FractionBox[\(n[i]\), \(d\)])\)!\)\), {d,
9.      Divisors[GCD[n[1], n[2], n[3]]]}])/s;(*圆排列数*)
10. If[k < 3, M = (\!\(
11. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(m\)]\(\[LeftFloor]
12. \*FractionBox[\(n[i]\), \(2\)]\[RightFloor]\)\))!/\!\(
13. \*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(i = 1\), \(m\)]\(\[LeftFloor]
14. \*FractionBox[\(n[
15.         i]\), \(2\)]\[RightFloor]!\)\), 0];  (*圆排列中的对称排列数*)
16. \[CapitalPhi] = ((Q + M)/2)(*环排列数*)

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运行结果为  38。

TSC999

常新德老师的论文中，关于 M 的计算，少说了一句话，折腾了好几天，没有弄明白。这句话就是当那个奇数个数多于 2 个时 M=0，就没有必要算了，如果还是按公式计算，则算出的结果是不对的。

Aluminiumor

根据我的帖子，容易计算得：
$$\frac{1}{18}\left(\frac{9!}{4!4!1!}+9\times\frac{4!}{2!2!}\right)=38$$