用三种颜色的珠子各若干个穿成固定数目的珠串的组合数

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有大小相同的珠子共 9 个，其中黄色的 4 颗，绿色的 4 颗，红色的 1 颗。用它们穿成 9 颗珠子的手串，有多少种不同的花色组合？

例如下面只是其中一小部分组合：



不需要列出所有的花色图案，只须解出正确的组合数目即可。

可以参考常新德（河南永城职业学院老师）写的论文。网址：max.book118.com/html/2017/0729/125132578.shtm

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MMA 写的程序代码：

1. Clear["Global`*"];  
2. m = 3; n[1] = 4; n[2] = 4; n[3] = 1;
3. k = 1;  (* n[i]奇数个数 *)
4. s = \!\(
5. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(m\)]\(n[i]\)\);
6. Q = (Sum[EulerPhi[d] *(s/d)!/\!\(
7. \*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(i = 1\), \(m\)]\(\((
8. \*FractionBox[\(n[i]\), \(d\)])\)!\)\), {d,
9.      Divisors[GCD[n[1], n[2], n[3]]]}])/s;(*圆排列数*)
10. If[k < 3, M = (\!\(
11. \*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(i = 1\), \(m\)]\(\[LeftFloor]
12. \*FractionBox[\(n[i]\), \(2\)]\[RightFloor]\)\))!/\!\(
13. \*UnderoverscriptBox[\(\[Product]\), \(i = 1\), \(m\)]\(\[LeftFloor]
14. \*FractionBox[\(n[
15.         i]\), \(2\)]\[RightFloor]!\)\), 0];  (*圆排列中的对称排列数*)
16. \[CapitalPhi] = ((Q + M)/2)(*环排列数*)

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运行结果为  38。

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常新德老师的论文中，关于 M 的计算，少说了一句话，折腾了好几天，没有弄明白。这句话就是当那个奇数个数多于 2 个时 M=0，就没有必要算了，如果还是按公式计算，则算出的结果是不对的。