昨晚人教群T35发的小学奥数

kuing

爱好者-Tesla35(3705*****)  21:25:14
有一个由 9 个小正方形组成的大正方形，将其中两个涂黑，有多少种不同的涂法？（如果几个涂法能够由旋转而重合，这几个涂法只能看做是一种，比如下面四个图，就只能算一种涂法。）

大家看看~
小学奥数

kuing

昨晚临时学了一下解决这类问题的 Burnside 定理和 Polya 定理，两者长处不同，这里是前者适用。
设 $f$ 表示旋转 $90\du$（顺时针，下同），$f^k$ 表示旋转 $k\cdot90\du$, $k=0$, $1$, $2$, $3$。
不考虑旋转时，所有涂色方法总数为 $C_9^2=36$，下面计算考虑旋转时的“不动点”个数。
对于 $f^0$，全部不动，共 $36$；
对于 $f^1$，显然没有不动点；
对于 $f^2$，有 4 个不动点，分别是涂对角的有两个，涂对边中间的也是两个；
对于 $f^3$，同 $f^1$。
因此所求的涂色方法数为 $(36+4)/4=10$。

地狱的死灵

情况不多，用列举法即可。
把9个正方形分为3类：4个角，4个边，1个中心，
2个角：2种；
2个边：2种；
1个中心1个角：1种；
1个中心1个边：1种；
1个角1个边：4种。
一共10种

hbghlyj

我把2#的$f^2$的4个不动点写出来:

Tesla35

回复 2# kuing

强。这是变换群之类的知识？