法诺平面

hbghlyj

我见到一个平面有七条线, 每条线有三个点, 但是一共也只有七个点! (注意，最后一条线画起来像一个圆，但只是代表三个点的集合。)

我们看到每条线上有 3 个点，每个点都有 3 条线穿过它，表明存在对称性。

我们可以在mod 2中实现这种结构
法诺平面上的 7 个点为$\mathbb{Z}_2^3 \setminus\{(0,0,0)\}$
坐标分别为 (0, 0, 1)、(0, 1, 0)、(0, 1, 1)、(1, 0, 0)、(1, 0, 1)、(1, 1, 0) 和 (1, 1, 1).

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这是嵌入三维空间的一种方式：一个点位于由其他六个点组成的八面体的中心。八面体的三个正交对称轴与四个面的外接圆一起形成了法诺平面的七条线。

import three;unitsize(4cm);draw((1,0,0)--(-1,0,0)^^(0,1,0)--(0,-1,0)^^(0,0,1)--(0,0,-1),red);
path3 c=circle((1,1,1)/3,abs((1,1,1)/3-(1,0,0)),(1,1,1));
draw(c);draw(scale(-1,-1,1)*c);draw(scale(-1,1,-1)*c);draw(scale(1,-1,-1)*c);
surface s=surface(c);
currentpen=magenta+opacity(.2);
currentlight=nolight;
draw(s);draw(scale(-1,-1,1)*s);draw(scale(-1,1,-1)*s);draw(scale(1,-1,-1)*s);

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hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-6 12:40
这是嵌入三维空间的一种方式：一个点位于由其他六个点组成的八面体的中心。八面体的三个正交对称轴与四个面 ...

一个正八面体有 24 个旋转对称性，它们都固定中心点，因此：法诺平面固定单个顶点有 24 个对称，但法诺平面中的所有顶点都对称，因此法诺平面共有 $7\times 24= 168$ 个对称(Orbit-stabilizer)

PSL(2,7)

Interpreted as PGL(3, 2), linear automorphisms of the Fano plane P²(F₂), it acts 2-transitively on the 7 points, with stabilizer of order 24 fixing each point, and stabilizer of order 4 fixing each pair of points.

这篇 https://www.homepages.ucl.ac.uk/ ... rojectivePlanes.pdf 中的定理 3.4 有另一个证明：设 $P$ 上的点为 $\{1,2,3,4,5,6,7\}$，设 $\varphi\in\operatorname{Aut}(P)$，我们将考虑 $\varphi$ 的可能选项。
$\varphi(1)$ 有 7 种可能选项，$\varphi(2)$ 有 6 种可能选项。不失一般性，假设 3 与 1 和 2 同属于一条直线。那么对于 $\varphi(3)$，我们有 1 个选择，因为它必须与 $\varphi(1)$ 和 $\varphi(2)$ 同属于一条直线。接下来对于 $\varphi(4)$ 有 4 个选择，这是需要做出的最终选择，所有其他点被确定为两条线的交点。我们现在可以看到有 $7 \times 6 \times 4=168$ 种选择 $\varphi$ 的方法。因此 $|\operatorname{Aut}(P)|=168$.

另请参阅http://finitegeometry.org/sc/8/plane.html

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-6 12:20
我们可以在mod 2中实现这种结构
法诺平面上的 7 个点为$\mathbb{Z}_2^3 \setminus\{(0,0,0)\}$
坐标分别为 (0, 0, 1)、(0, 1, 0)、(0, 1, 1)、(1, 0, 0)、(1, 0, 1)、(1, 1, 0) 和 (1, 1, 1).

每条线由三个向量组成，坐标相加为(0,0,0) mod 2.
\begin{aligned}
& \text {Points}=\mathbb{Z}_2^3 \setminus\{(0,0,0)\} \\
\text {Lines}= & \left\{\{x, y, z\} \mid x+y+z \equiv_2(0,0,0)\right\}
\end{aligned}

(1,0,0) + (1,1,0) + (0,1,0) ≡₂ (0,0,0)
(0,1,0) + (0,1,1) + (0,0,1) ≡₂ (0,0,0)
(0,0,1) + (1,0,1) + (1,0,0) ≡₂ (0,0,0)
(1,0,0) + (0,1,1) + (1,1,1) ≡₂ (0,0,0)
(0,1,0) + (1,0,1) + (1,1,1) ≡₂ (0,0,0)
(0,0,1) + (1,1,0) + (1,1,1) ≡₂ (0,0,0)
(1,1,0) + (0,1,1) + (1,0,1) ≡₂ (0,0,0)
您可以检查每条线上的三个向量，当您将每个坐标相加时，它们确实相加为 0 mod 2.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-10-6 12:20
我们可以在mod 2中实现这种结构
法诺平面上的 7 个点为$\mathbb{Z}_2^3 \setminus\{(0,0,0)\}$
坐标分别为 (0, 0, 1)、(0, 1, 0)、(0, 1, 1)、(1, 0, 0)、(1, 0, 1)、(1, 1, 0) 和 (1, 1, 1).

法诺平面中的 7 个点对应于立方体中通过原点的直线：
import three;

size(200);
currentprojection = perspective(1,2,1);

triple A = (0,0,0);
triple B = (1,0,0);
triple C = (1,1,0);
triple D = (0,1,0);
triple E = (0,0,1);
triple F = (1,0,1);
triple G = (1,1,1);
triple H = (0,1,1);

draw(A--B--C--D--cycle);
draw(E--F--G--H--cycle);
draw(A--E);
draw(B--F);
draw(C--G);
draw(D--H);

real r = 0.05; // radius of the spheres

draw(shift(A)*scale3(r)*unitsphere, surfacepen=red);
draw(shift(B)*scale3(r)*unitsphere, surfacepen=red);
draw(shift(C)*scale3(r)*unitsphere, surfacepen=red);
draw(shift(D)*scale3(r)*unitsphere, surfacepen=red);
draw(shift(E)*scale3(r)*unitsphere, surfacepen=red);
draw(shift(F)*scale3(r)*unitsphere, surfacepen=red);
draw(shift(G)*scale3(r)*unitsphere, surfacepen=red);
draw(shift(H)*scale3(r)*unitsphere, surfacepen=red);

法诺平面中的 7 条线对应于立方体中通过原点的平面。

hbghlyj

Mathematical Olympiad Dark Arts p90 28.

法诺平面的七个顶点分别用 $c$ 种颜色之一进行着色。考虑到对称性，有多少种不同的着色方式？

[相关帖子：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=8604]

为了应用 Burnside 引理，需要列出共轭类

• 恒等 $\rm id$
• 如果我们固定一个顶点并考虑三维嵌入，由于正八面体有4对相对的三角形面，通过每对相对面的中心的轴可以旋转120度或240度。所以有 4×2=8 个旋转，这些旋转将六个顶点排列成两个三循环。由于最初有 7 个顶点可供选择为八面体的中心，产生 8×7=56 对三循环。
• 绕正八面体的 3 个正交对称轴旋转 180 度。由于最初有 7 个顶点可供选择为八面体的中心，产生 3×7=21 对二循环。
• 绕正八面体的 3 个正交对称轴旋转90或270度会将 4 个圆形面移动到没有圆形面的位置。为了修复这个错误，旋转90或270度之后，我们应该关于旋转平面进行镜像反射以交换上下二顶点，这会将 4 个圆形面移动到有圆形面的位置。
  由于最初有 7 个顶点可供选择为八面体的中心，产生 3×2×7=42 个置换，每个置换包含一个二循环和四循环。
• 由于floral embedding，必须有一个七循环。
  当转换为三维嵌入时，这变得完全不对称，因此我们可以应用上面提到的正八面体的 24 种对称性来获得更多不同的 7 循环，因此在这个共轭类中我们有 24 个七循环。此外，反转它们的方向会产生另外 24 个七循环。

轨道数分别为7、5、3、1。
应用Burnside引理，我们得到$$\frac{1}{168}(c^7+56 c^3+42 c^3+21 c^5+48 c)=\frac{1}{168}(c^7+21 c^5+98 c^3+48 c)$$种不同的着色方式。

hbghlyj

mathoverflow.net/questions/130623/fano-plane-drawings-embedding-pg2-2-into-the-real-plane