圆排列问题，循环排列问题

1+1=？

如图是一个苯环上有三个不同取代基和三个相同取代基，这六个取代基在苯环上有多少种排列分式？

一般的，一个苯环上有x个A种类取代基，y个B种类取代基，z个C种类取代基，t个D种类取代基且x+y+z+t=6，要如何计算这六个取代基在苯环上的排列方式总数？

1+1=？

三个相同取代基仨个不同取代基有10种。

Aluminiumor

Burnside 引理：
设 $G$ 是一个有限群，作用在集合 $X$ 上. 对于 $G$ 中的每个 $g$，令 $X^g$ 表示 $X$ 中在 $g$ 作用下不变的元素，则轨道数(即排列方式数)
$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$$
对于苯环来说，其对称群是二面体群 $D_6$，包含 $12$ 个元素。
$12$ 个元素指：
$6$ 种旋转 $\{e,r,r^2,r^3,r^4,r^5\}$  注：$r$ 表示绕正六边形中心逆时针旋转 $60^\circ$ 的操作，$e=r^0$ 为恒等变换。
$6$ 种反射，包括对称轴经过顶点的 $3$ 种反射 $\{v_1,v_2,v_3\}$，对称轴经过边中点的 $3$ 种反射 $\{u_1,u_2,u_3\}$
显然，
$|X^e|=\frac{6!}{x!y!z!t!}$
$|X^r|=|X^{r^5}|=4\text{ if one of }x,y,z,t=6, \text{else }0$
$|X^{r^2}|=|X^{r^4}|=\frac{3!}{(x/2)!(y/2)!(z/2)!(t/2)!}\text{ if }x,y,z,t\text{ all even}, \text{else }0$
$|X^{r^3}|=\frac{3!}{(x/2)!(y/2)!(z/2)!(t/2)!}\text{ if }x,y,z,t\text{ all even}, \text{else }0$
$|X^{u_1}|=|X^{u_2}|=|X^{u_3}|=\frac{3!}{(x/2)!(y/2)!(z/2)!(t/2)!}\text{ if }x,y,z,t\text{ all even}, \text{else }0$
$|X^{v_i}|$ 的计算稍显麻烦：
不妨设六边形的六个点依次为 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$，对称轴为 $P_1P_4$，那么 $P_2=P_6,P_3=P_4$ ,即 $P_1$ 和 $P_4$ 不作限制，而 $P_2$ 和 $P_6$ 处元素相同，$P_3$ 和 $P_4$ 处元素相同，如 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6=ABCDCB$，这个要根据具体情况计算。

以下示例 $x=y=2,z=t=1(AABBCD)$ 的情形计算：
$|X^e|=\frac{6!}{2!2!1!1!}=180$
$|X^r|=|X^{r^5}|=0$
$|X^{r^2}|=|X^{r^4}|=0$
$|X^{u_1}|=|X^{u_2}|=|X^{u_3}|=0$
对于 $|X^{v_i}|$，只能是 $P_2=P_6=A,P_3=P_5=B$ 或 $P_2=P_6=B,P_3=P_5=A$，所以 $|X^{v_i}|=2!+2!=4$
于是 $$|X/G|=\frac{1}{12}(180+3\times4)=16$$

@hbghlyj 帮我看看有没有搞错

1+1=？

用到了群论