对任何方向e有 v·e∈Conv(S·e) 则 v∈Conv(S)

hbghlyj

$a_1,a_2,⋯,a_n,v\in\mathbb R^k\;(k≥1)$. 若$$\min_{1≤i≤n}(a_i·e)\le v·e\le\max_{1≤i≤n}(a_i·e)\quad∀e\in\mathbb R^k$$则$v∈\text{Conv}(a_1,a_2,⋯,a_n)$.

Czhang271828

定义向量在域上的张成空间为 $\mathrm{span}\{a_1,\ldots ,a_n\}=\{\sum_{i=1}^n c_ia_i\mid c_i\in\mathbb R\}$. 记 $a_{ij}$ 为 $a_i$ 与 $a_j$ 之内积.

兹断言 $v\in\mathrm{span}\{a_1,\ldots ,a_n\}$. 反之可唯一分解 $v=v_1+v_2$ 使得 $v_1\in \mathrm{span}\{a_1,\ldots ,a_n\}$ 而 $v_2\perp \mathrm{span}\{a_1,\ldots ,a_n\}$. 此时取 $e=v_2$ 即可推出矛盾.

从而记 $v=\sum_{i=1}^n b_ia_i$, 其中 $b_i\in \mathbb R$. 不妨考虑任意 $\mathrm{span}\{a_1,\ldots ,a_n\}$ 中的向量 $e=\sum_{i=1}^n d_i a_i$, 总有

$$
\min_i \sum_{j=1}^n d_ja_{ij}\leq \sum_{i,j=1}^n b_id_j a_{ij}\leq \max_i \sum_{j=1}^n d_ja_{ij}.
$$
写成矩阵形式即 $\min Ad\leq b^T Ad\leq\max  Ad$. 换元作 $y=Ad$, 从而向量 $y$ 中最大元素 $y_\max$ 与最小元素 $y_\min$ 满足 $y_\min\leq b^T y\leq y_\max$. 故只能得到 $b$ 是凸组合向量.

上文中关于矩阵序关系的说明. 矩阵 $P$ 大于 同阶矩阵 $Q$ 若且仅若对应位置上的元素满足大于关系: 例如 $(1,2)\leq (2,3)\leq(3,3)$, 但 $(1,2)$ 与 $(10,1)$ 无法比较大小.

hbghlyj

$y_\min\leq b^T y\leq y_\max$.
故只能得到 $b$ 是凸组合向量.

不太明白这里
$b^T y$是$b$与$y$的内积, 它介于$y_\min$与$y_\max$之间, 然后