证明
2 Special unitary group SU(3)
为确定边界曲线$(X_b,Y_b)$，令偏导数为0：${∂(X + i Y )\over ∂z_1} = 0\Rightarrow z_2 = z^{−2 }_1$。回代得：$$3\left(X_{b}+i Y_{b}\right)=2 z_{1}+z_{1}^{-2}=2 \cos ^{2} \theta+2 \cos \theta-1+2 i(1-\cos \theta) \sin \theta$$其中 $θ$ 从 $0$ 到 $2π$。
尖点为单位立方根$(−1 ± i√3)/2$，这显然对应于紧复 Lie 群 $SU(3)$ 的中心：$Z(SU(3)) = \mathbb Z_3$
消去$\theta$得$X+iY$的集合为单位圆内的四次曲线的内部
$$(1+3 X)(1-X)^{3}-6 Y^{2}\left(1+4 X+X^{2}\right)-3 Y^{4} \geq 0$$计算其他几何量
面积$$\Omega_{3}=-2 \int_{0}^{\pi} d \theta \frac{d X_{b}}{d \theta} Y_{b}=\frac{2 \pi}{9}$$边界曲线的长度
$$L_{3}=6 \int_{0}^{\pi / 3} d \theta \sqrt{\left(\frac{d X_{b}}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d Y_{b}}{d \theta}\right)^{2}}=\frac{16}{3}$$区域中最大圆的半径即 $X^2_b + Y^2_b = (5 + 4\cos 3θ)/9$ 的最小值很容易发现为$R_{3}=\frac{1}{3}$.
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