Koch 曲线的面积

hbghlyj

Koch 曲线的各迭代的长度为等比数列，公比$\frac{4}{3}$，因此 Koch 曲线的长度 $\to\infty$.
如何求出 Koch 曲线的各迭代的面积？

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larryriddle.agnesscott.org/ifs/ksnow/area.htm
边长为 a 的等边三角形的面积是 $\frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}a = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}$

对于我们的构造，初始三角形的边长由 s 的值给出。根据上述结果，使用 a = s，初始三角形 S(0) 的面积因此为 \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\)。

第一次迭代后的面积：（使用 a = s/3）

\[{\text{面积：}}\frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2} + 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\frac{s}{3}} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {1 + \frac{3}{9}} \right)\]

第二次迭代后的面积：（使用 a = s/3²）

\[{\text{面积：}}\frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {1 + \frac{3}{9}} \right) + 3 \cdot 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\frac{s}{9}} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {1 + \frac{3}{9} + \frac{{3 \cdot 4}}{{{9^2}}}} \right)\]

第三次迭代后的面积：（使用 a = s/3³）

\[{\text{面积：}}\frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {1 + \frac{3}{9} + \frac{{3 \cdot 4}}{{{9^2}}}} \right) + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4}\left( {\frac{s}{{{3^3}}}} \right)^2= \frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {1 + \frac{3}{9} + \frac{{3 \cdot 4}}{{{9^2}}} + \frac{{3 \cdot {4^2}}}{{{9^3}}}} \right)\]

到现在为止，模式应该很清楚了。在第 k 次迭代中，我们添加了 3×4^k-1 个面积为 \(\displaystyle \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\frac{s}{{{3^k}}}} \right)^2}\) 的三角形。这意味着我们添加了总面积

\[3 \cdot {4^{k - 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {\frac{s}{{{3^k}}}} \right)^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {\frac{{3 \cdot {4^{k - 1}}}}{{{9^k}}}} \right)\]

到面积 S(k-1) 以获得面积 S(k)。因此，在 n 次迭代后，我们得到面积 S(n) 为

\[\frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {1 + \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{3 \cdot {4^{k - 1}}}}{{{9^k}}}} } \right)\]

括号内的和是公比为 r = 4/9 的等比数列。因此，当 n 趋于无穷大时，和收敛，所以我们看到科赫雪花的面积是

\begin{align*} \frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {1 + \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{3 \cdot {4^{k - 1}}}}{{{9^k}}}} } \right) &= \frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {1 + \frac{{3/9}}{{1 - 4/9}}} \right) \\ &= \frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2}\left( {\frac{8}{5}} \right) \\ &= \frac{{2\sqrt 3 }}{5}{s^2} \\ \end{align*}

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假设科赫雪花中心的等边三角形的面积为1。设S为该三角形外部但在下图绿色轮廓内的雪花部分的面积。

绿色部分内的等边三角形是中心等边三角形按1/3缩放的结果，因此其面积为1/9。绿色部分的四个较小副本是整个绿色部分按1/3缩放的结果，因此每个副本的面积为S/9。因此
\[S = \frac{1}{9} + 4\cdot\frac{S}{9} \Rightarrow S = \frac{1}{5}.\]
中心等边三角形外但在雪花内的蓝色和红色部分的面积与绿色部分相同。因此科赫雪花的面积为1 + 3(1/5) = 8/5。
更一般地，雪花的面积是原始等边三角形面积的8/5倍。如果三角形的边长为\(s\)，则三角形的面积为\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}s^2\)，因此雪花的面积为
\[\left( {\frac{8}{5}} \right)\frac{{\sqrt 3 }}{4}{s^2} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5}{s^2}. \]