星形线切线和椭圆法线成伸缩变换

lxz2336831534

今有对称轴为直角坐标轴的圆锥曲线δ，直线BD和直线BC分别过x轴上关于原点对称的两点A，A′且B,C,D三点在δ上，作点C和D的切线交于点E，原点为O点。作答系列问题:
1.若点A为定点，直线BE与X轴，Y轴分别交于H，I二点。证明存在常数λ,μ使得λ(OH)²+μ(OI)²=1；
2.若点A为定点，直线EB，OE，OB的斜率分别为k₁，k₂，k₃；证明(k₁)²/(k₂×k₃)为定值；
3.证明EB的中点在Y轴上。

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辛苦hbyj管理员为我重新排版一下❤️

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第三问等价于证明(k₃+k₂)/k₁等于2。

kuing

如图，设点 $B$, $D$ 两处的切线交于 $P$，点 $B$, $C$ 两处的切线交于 $Q$。

当 $A$ 为 $x$ 轴上定点时，则易证 $P$ 在平行于 $y$ 轴的定直线上，同理 $Q$ 也类似，现在 $A$, $A'$ 关于 $y$ 轴对称，因此这两条定直线也对称，设它们为 $x=m$ 和 $x=-m$。

设 $\delta$ 方程为 $ax^2+by^2=1$，设 $B(x_0,y_0)$，则
\[PQ\colon\quad ax_0x+by_0y=1,\]
代入 $x=\pm m$ 可得
\[P\left(m,\frac{1-amx_0}{by_0}\right),~Q\left(-m,\frac{1+amx_0}{by_0}\right),\]
设另一条切线 $PE$ 的方程为
\[y-\frac{1-amx_0}{by_0}=k(x-m),\]
与 $\delta$ 联立令判别式为零可得出
\[(1-am^2)k^2+\frac{2am(1-amx_0)}{by_0}k+(\cdots)=0,\]
设此方程的两根对应两条切线，一条是 $PE$，另一条是 $PB$，因此由韦达得
\[k_{PE}+k_{PB}=-\frac{2am(1-amx_0)}{by_0(1-am^2)},\]
而 $k_{PB}=-\frac{ax_0}{by_0}$，所以
\[k_{PE}=\frac{ax_0}{by_0}-\frac{2am(1-amx_0)}{by_0(1-am^2)}=\frac{a(-2m+x_0+am^2x_0)}{by_0(1-am^2)},\]
同理可得
\[k_{QE}=\frac{a(2m+x_0+am^2x_0)}{by_0(1-am^2)},\]
所以
\begin{align*}
PE\colon&\quad y-\frac{1-amx_0}{by_0}=\frac{a(-2m+x_0+am^2x_0)}{by_0(1-am^2)}(x-m),\\
QE\colon&\quad y-\frac{1+amx_0}{by_0}=\frac{a(2m+x_0+am^2x_0)}{by_0(1-am^2)}(x+m),
\end{align*}
联立即可解出交点 $E$ 的坐标
\[
\led
x_E&=-x_0,\\
y_E&=\frac{(1+am^2)(1-ax_0^2)}{b(1-am^2)y_0},
\endled
\]
由 $ax_0^2+by_0^2=1$，上式化简为
\[
\led
x_E&=-x_0,\\
y_E&=\frac{1+am^2}{1-am^2}y_0,
\endled
\]
有了这么简洁的坐标表达式，接下来应该没啥难度了吧，太晚就不写了，睡睡😪

lxz2336831534

今给定一椭圆上有三点B, C, D,作自极三点形 OXY, D, C二点的切线交于点E,BE分别交OY, XY于G, F二点,OX分别交BD, BC于A, A′二点.若有(AA'OX) =-1, 问(BEGF)=?

因为HJ过OX的极点Y所以(KY, KI, KJ, KH)=-1,又因为$K (Y, I, J, H)⩞K (K, I, J, H) ⊼B (K, I, J, H)$
所以(BK, BI, BJ, BH)=-1.又因为(KIOX)=-1且 $(K, I, O, X)⩞B (K, I, J', H')$所以(BK, BI, BJ', BH')=-1
由$\left\{\begin{array}{c}\left(BD, BC, BJ', BH'\right)=-1,(BC, BD, BJ, BH)=-1 \\ (BK, BI, BJ, BH)=-1,\left(BK, BI, BJ', BH'\right)=-1\end{array}\right.$且
(K, I)不关于B透视于(D,C)所以J=J', H=H΄.
所以B, O, J三点共线;B,H,X三点共线,则 (YO, YX, YB, YH)=-1.又因为$Y(0, X, B, H) ⩞ (G, F, B, E)$ 所以(GFBE)=-1. 证毕.

lxz2336831534

在上题的基础上增加一问，ID和KC的交点为L，BL分别交OY,OX于M,N二点，试证明M,N调和分割B,L

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lxz2336831534 发表于 2025-4-14 16:22
。

只需把图中自极三点形OXY射影变换为坐标轴OX,OY,无穷远直线，即得原题中中点和斜率结论。