圆上动点到定圆的切线

hbghlyj

圆 ω 位于圆 Ω 的内部，点 X 在 Ω 上移动。从 X 到 ω 的切线与 Ω 相交于 A≠X 和 B≠X 两点。证明直线 AB 要么都与一个固定的圆相切，要么都经过一个点。

komal Problem A. 733. (October 2018)
Circle ω lies in the interior of circle Ω, on which a point X moves. The tangents from X to ω intersect Ω for the second time at points A≠X and B≠X. Prove that the lines AB are either all tangent to a fixed circle, or they all pass through a point.

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仿照文章Poncelet定理的Jacobi's proof，我们的关键思想是给圆\(\Omega\)定义一个“度量”，使得与圆\(\omega\)相切的定向直线对应的弧段具有相同的度量。
选择一个坐标系，其中\(\Omega\)是单位圆，并以\(P_\varphi=(\cos \varphi,\sin\varphi)\)的方式进行参数化。对于一个点\(P\in \Omega\)，我们可以将其对应到一个点\(Q\in \Omega\)和一个点\(T\in \omega\)，使得\(PQ\)在\(T\)处与\(\omega\)相切，并且圆\(\omega\)位于定向直线\(PQ\)的左半平面上。（左半平面在代数上可以如下表示：令\(\overrightarrow{PQ}\)向量旋转\(+90^\circ\)得到\(\mathbf{n}\)，则左半平面为\(\{\mathbf{x}:\mathbf{n}\cdot (\mathbf{x}-P)\ge 0\}\)。）
通过坐标几何计算可以很容易地验证，将\(P\)对应到\(Q\)和\(T\)的函数是连续的。如果\(P=P_\varphi\)，令\(\psi(\varphi)\)表示一个角度，使得\(0<\psi(\varphi)-\varphi\le 2\pi\)且\(Q=P_{\psi(\varphi)}\)。
考虑两个这样的点：\(P=P_\varphi\)和\(P'=P_{\varphi'}\)。相应地考虑点\(Q,T\)和\(Q',T'\)。如果\(S=PQ\cap P'Q'\)（对于足够接近的\(P,P'\)，\(S\)存在），则根据圆周角定理可以得出\(PSP'\sim Q'SQ\)，因此
\[\frac{QQ'}{PP'}=\frac{Q'S}{SP}\]
如果\(\varphi'\to \varphi\)（即：如果\(\varphi'\)趋近于\(\varphi\)），则从\(T'\to T\)可以得出\(S\to T\)，因此由于\(Q'\to Q\)，\(\frac{Q'S}{SP}\to \frac{QT}{TP}\)。另一方面，由于正弦定理
\[\frac{QQ'}{PP'}=\frac{2\sin\frac{\psi(\varphi')-\psi(\varphi)}{2}}{2\sin \frac{\varphi'-\varphi}{2}}\]
因此从\(\frac{QQ'}{PP'}\to \frac{QT}{TP}\)和已知的\(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0\)关系可以得出\(\frac{\psi(\varphi')-\psi(\varphi)}{\varphi'-\varphi}\to \frac{QT}{TP}\)。根据导数的定义
\[\frac{d\psi}{d\varphi}=\frac{QT}{TP}\]

如果以\((u,v)\)为中心，半径为\(r\)的圆\(k\)的方程为\(k(x,y)=(x-u)^2+(y-v)^2-r^2=0\)，则根据毕达哥拉斯定理，对于一个外部点\(P\)，\(k(P)\)给出了从\(P\)到圆的切线长度的平方。这样
\[\frac{d\psi}{d\varphi}=\frac{\sqrt{\omega(P_{\psi(\varphi)})}}{\sqrt{\omega(P_\varphi)}}\]
现在考虑\(f(P)=\frac1{\sqrt{\omega(P)}}\)的“分布”，这是一个连续函数。由\([\alpha,\beta]\)参数化的弧段的“度量”定义为\(\int_{\alpha}^\beta f(P_\theta)d\theta\)（由于连续性，积分存在）。此时，\(PQ\)弧段的度量\(P=P_\varphi\)为：
\[I(\varphi)=\int_{\varphi}^{\psi(\varphi)} f(P_\theta)d\theta\]
该函数是常数，因为Differentiation_under_the_integral_sign：
\[\frac{dI}{d\varphi}=f(\psi(\varphi))\frac{d\psi}{d\varphi}-f(\varphi)=0\]
因此，与\(\omega\)相切的圆\(\Omega\)的弧段的度量是一个定值\(I\)。而且，只有由\([\varphi,\psi(\varphi)]\)参数化的弧段具有度量\(I\)。

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解决问题的关键在于，如果定义圆\(\Gamma\)的方程为\(\Gamma(x,y)=\lambda \omega(x,y)+(1-\lambda)\Omega(x,y)\)（即\(\omega,\Omega,\Gamma\)在同一个圆束上），则对于\(P\in \Omega\)，\(\Gamma(P)=\lambda\omega(P)\)，因此对于\(\lambda>0\)，\(\Gamma\)位于\(\Omega\)的内部。如我们所见，对于\(\tilde{f}(P)=\frac1{\sqrt{\Gamma(P)}}\)的“分布”，与\(\Gamma\)相切的弧段的度量是常数。然而，\(\tilde{f}=\lambda^{-1/2}f\)，因此对于分布\(f\)，与\(\Gamma\)相切的弧段的度量也是一个常数\(K\)。而且，只有与\(\Gamma\)相切的弧段具有度量\(K\)。
令整个圆\(\Omega\)的度量为：
\[J=\int_{\varphi}^{\varphi+2\pi}f(P_\theta)d\theta\]
此时，对于一个给定位置的三角形\(AXB\)（假设\(AXB\)是正向绕行），当\(A=P_\varphi\)时，圆\(\Omega\)由\([\varphi,\varphi+2\pi]\)参数化：\(X=P_{\psi(\varphi)}\)，\(B=P_{\psi(\psi(\varphi))}\)，并且
\[J=\int_{\varphi}^{\psi(\varphi)}f(P_\theta)d\theta+\int_{\varphi}^{\psi(\psi(\varphi))}f(P_\theta)d\theta+\int_{\psi(\psi(\varphi))}^{\varphi+2\pi}f(P_\theta)d\theta\]
因此，对于任意位置的\(X\)，\(BA\)弧段的度量为\(J-2I>0\)。由于对于\(\Omega\)的任意弧段\(BA\)，可以找到一个在圆束中的\(\Gamma\)，使得\(BA\)（从右侧）与\(\Gamma\)相切，因此对于给定的\(BA\)，构造\(\Gamma\)，\(K=J-2I\)。此时，对于任意位置的\(X\)，直线\(AB\)与圆\(\Gamma\)相切。