补录最近人教群几道题（包括一些未解决的）

kuing

鄂A教师Leo(5291*****) 2021/5/19 7:01:15


阅A爱好者色k 2021/5/19 12:59:03

如图，将 AC 绕 A 旋转 90°至 AD，连结 DB、DM。
则 △ADN≌△CAM，由此可得 DN=AM 且 DN⊥AM，
又 ADBM 为平行四边形，故 DN=DB 且 DN⊥DB，即 △DBN 为等腰直角三角形，
所以 ∠APN=∠DBN=45°，即 ∠BPM=135°。

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湘C教师项继宇(2511*****) 2021/7/18 13:55:13


未解决

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粤B学生86鱼 2021/7/22 12:52:05


未解决

注：个人的一些思路：
我感觉应该是2022个零点
我想证明 `F(x)=B_n\sin nx+B_{n+1}\sin (n+1)x+\cdots +B_{2n-1}\sin (2n-1)x` 在 `[0,\pi]` 内有 `n+1` 个零点（各 `B_i` 都是正数）
端点就两个
中间的不知怎么办
这个证出来，那求导之后就是原题了

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粤B学生86鱼 2021/8/2 10:18:15
谁来看看这个恒等式，如何证明


未解决

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鄂S爱好者(8606*****) 2021/8/15 22:01:06


阅A爱好者色k 2021/8/15 22:19:11
\begin{align*}
\frac 1{\sqrt[3]a+\sqrt[3]b+\sqrt[3]c}&=\frac {\sum \sqrt[3]{a^2}-\sum \sqrt[3]{ab}}{a+b+c-3\sqrt[3]{abc}}\\
&=\frac {\left( {\sum \sqrt[3]{a^2}-\sum \sqrt[3]{ab}} \right)\left( {(a+b+c)^2+3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)+9\sqrt[3]{a^2b^2c^2}} \right)}{(a+b+c)^3-27abc}
\end{align*}
粤B学生86鱼 2021/8/15 22:30:43

阅A爱好者色k 2021/8/15 22:47:44
没俺嘀式子简洁 =ε=
粤B学生86鱼 2021/8/15 22:52:24



这个四元的未解决——已在 forum.php?mod=viewthread&tid=5918#pid40920 里解决。

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冀A老师hebtuzrl(2318****) 2021/8/17 6:20:24

这个题目哪位老师能给一个思路吗？上海的题目，解析给的是直接验证，能通过推理给出结果吗？

未解决

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甘H教师于(1104******) 2021/8/17 17:09:49
大佬们看看这个怎么分解呢


阅A爱好者色k 2021/8/17 17:25:03
因为 `x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\sum (x^2-yz)`，
且 `x+y+z=\sum (a-b)=0`，
所以 `x^3+y^3+z^3=3xyz`，
所以 `x^6+y^6+z^6+2x^3y^3+2z^3x^3+2y^3z^3=9x^2y^2z^2`，
所以原式 `=-4z^3x^3`。

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鄂B爱好者羽林(3086*****) 2021/8/18 18:23:08


恰好刚才知乎也有人问这题：zhihu.com/question/480860916/answer/2070472932

kuing

懒得开新帖了，再记录一道：

山D教师tan9p  2021/9/15 20:19:13

基本的做法，有没有简单的方法

阅A爱好者色k  2021/9/15 20:32:01
`AE+AC=2AH\riff\sqrt x+\sqrt{x+a+b}=2\sqrt{x+a}`

ljh25252

回复 2# kuing

我猜测可以转化成物理的$v-t$图去做
\begin{align*}
a&=v_0t+\frac{1}{2}At^2\\
b+a&=v_0(2t)+\frac{1}{2}A(2t)^2\\
b-a&=At^2\\
x&=\frac{v_0^2}{2A}\\
\end{align*}
稍微配凑一下:
\[x=\frac{v_0^2}{2A}=\frac{\left[2\left(v_0t+\frac{1}{2}At^2\right)-At^2\right]^2}{8At^2}=\frac{[2a-(b-a)]^2}{8(b-a)}=\frac{(b-3a)^2}{8(b-a)}.\]
不知，算不算简单方法

kuing

回复 3# ljh25252

还能这样玩，very nice！

PS、第二行应该是 a+b=... 吧？

ljh25252

回复 4# kuing
是的a+b,打漏了= =

郝酒

回复 3# ljh25252

精彩，感谢！

kuing

鄂S爱好者 2021/10/5 15:58:04

由 CS 有
\begin{align*}
\sqrt{(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)}&=\sqrt{(x^2+3)\bigl( 4+(y^2+3)(z^2+3)-4 \bigr)}\\
&\geqslant2x+\sqrt{3(y^2+3)(z^2+3)-12},
\end{align*}所以
\[\text{原式}\geqslant\frac{\sqrt{3(y^2+3)(z^2+3)-12}}{y+z},\]令 $y+z=2p$，则 $yz\in(0,p^2]$，因为 $(y^2+3)(z^2+3)=3(y+z)^2+(yz-3)^2$，所以：

（1）当 $p^2\geqslant3$ 时，有
\[\text{原式}\geqslant\frac{\sqrt{9(2p)^2-12}}{2p}=\sqrt{9-\frac3{p^2}}\geqslant\sqrt8;\]
（2）当 $p^2<3$ 时，有
\[\text{原式}\geqslant\frac{\sqrt{3(p^2+3)^2-12}}{2p}=\frac12\sqrt{3p^2+\frac{15}{p^2}+18}\geqslant\frac12\sqrt{6\sqrt5+18};\]
后者数值更小，取等为 $y=z=\sqrt[4]5$，相应的 $x$ 也显然存在，所以最小值就是 $\frac12\sqrt{6\sqrt5+18}$。

业余的业余

懒得开新帖了，再记录一道：

山D教师tan9p  2021/9/15 20:19:13

基本的做法，有没有简单的方法

阅A爱好 ...
kuing 发表于 2021-9-16 02:02

解方程: $\sqrt{x+a}-\sqrt{x}=\sqrt{x+a+b}-\sqrt{x+a}$

方程两边同乘以 $(\sqrt{x+a}+\sqrt{x})(\sqrt{x+a+b}+\sqrt{x+a})$, 整理得
$\sqrt{x+a+b}=\left(\dfrac ba-1\right)\sqrt{x+a}+\dfrac ba\sqrt{x}$

代入原方程以消去 $\sqrt{x+a+b}$, 合并同类项, 两边平方, 并同乘以 $a^2$，有
$(3a-b)^2(x+a)=(a+b)^2x$

$x=\dfrac{a(3a-b)^2}{(a+b)^2-(3a-b)^2}=\dfrac{a(3a-b)^2}{4a(2b-2a)}=\dfrac{(3a-b)^2}{8(b-a)}$

乌贼

回复 1# kuing

\[ \dfrac{\sqrt{2}b}{2a}=\dfrac{b}{\sqrt{2}a} \]两彩色三角形相似\[ \angle BPM=145\du  \]

kuing

粤A教师老杨 2021/10/9 14:29:55

大家看看BC上方的P怎么找

阅A爱好者色k 2021/10/9 15:17:42
不就是 AC 与 L 的交点吗？

阅A爱好者色k 2021/10/9 15:19:55
O，你意思是还有另一个点

阅A爱好者色k 2021/10/9 15:49:33
另一个点应该是尺规不可作的
计算坐标，发现要解三次方程

阅A爱好者色k 2021/10/9 16:07:32

如图，不妨设 DE=1，则 PE=tanθ，记 BE=a, AB=b，则
\[\frac{b+\tan\theta}a=\tan3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^3\theta}{1-3\tan^2\theta},\]就变成三次方程了，一般情况没简单解，尺规就作不了

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晋b 2021/10/9 15:26:36
(x-sin(x))/((pi/2)-sin(x)-cos(x))=1/3
这玩意有工具能解吗

阅A爱好者色k 2021/10/9 15:28:19
x约为0.693
比 ln2 大一点点点
所以你可以顺便出一道题：证明 π+4sin(ln2)>2cos(ln2)+6ln2

晋b 2021/10/9 15:37:12
0.0

kuing

鄂B爱好者羽林(3086*****) 2021/11/11 16:41:10
请教这两题啊

答案分别是A,B
第九题是斜坐标系背景吗？

阅A爱好者色k(249533164)  0:26:07
不是斜坐标，e1+e2 和 e1-e2 垂直，还是直角坐标，只是刻度不同了

先撸掉第九题：
由条件知 `\bm e_1+\bm e_2` 与 `\bm e_1-\bm e_2` 不共线，故存在 `x`, `y` 使 `\bm a=x(\bm e_1+\bm e_2)+y(\bm e_1-\bm e_2)`，记 `t=\bm e_1\cdot\bm e_2\in(-1,1)`，则
\begin{align*}
\bm a\cdot(\bm e_1+\bm e_2)&=x(\bm e_1+\bm e_2)^2=2(1+t)x,\\
\bm a\cdot(\bm e_1-\bm e_2)&=y(\bm e_1-\bm e_2)^2=2(1-t)y,
\end{align*}代入条件即得
\begin{align*}
\abs x&\geqslant\frac1{1+t},\\
\abs y&\geqslant\frac1{2(1-t)},
\end{align*}于是
\begin{align*}
\bm a^2&=2(1+t)x^2+2(1-t)y^2\\
&\geqslant\frac2{1+t}+\frac1{2(1-t)}\\
&\geqslant\frac{(2+1)^2}{2(1+t)+2(1-t)}\\
&=\frac94,
\end{align*}开荒即 `\abs{\bm a}\geqslant3/2`，选 A。

第十题待续…………

isee

回复 11# kuing


单位向量越考越变态了，这个和与差的的基底选择也是深思的吧

kuing

回复 12# isee

？哪用深思，条件就是 a 分别向 e1+e2 和 e1-e2 投影，自然会想到啊……

isee

回复 13# kuing

这也算是吧，不过，还得分人，对你当然只算是小意思的思考哈哈哈哈

kuing

浙江数学爱好者(2859*****) 2021/12/17 14:05:10

请教一下这种不等式链怎么构造出来的，谢谢

这个解法二简直坑爹，链太弱了。
再说 3.00727 < ... < 3.00937 四舍五入根本就不能得到 `\approx 3.008`。

实际上，就简单的均值放缩都比那个链要紧：
一方面 `\sqrt x=\dfrac {\sqrt {9x}}3\leqslant \dfrac {x+9}6`，对它倒数得 `\sqrt x\geqslant \dfrac {6x}{x+9}`，因此
\begin{gather*}
\frac {6x}{x+9}\leqslant \sqrt x\leqslant \frac {x+9}6,\\
3.00831<\frac {1086}{361}<\sqrt {9.05}<\frac {361}{120}=3.008333\ldots ,
\end{gather*}所以 `\sqrt {9.05}\approx3.0083`，看吧，这比书上的紧多了。

走走看看

回复 11# kuing

写个三角形式的。


设 $<\vv{e1},\vv{e2}>=θ,|\vv{a}|=r。$
根据$\vv{e1}+\vv{e2}⊥\vv{e1}-\vv{e2}，设<\vv{a},\vv{e1+e2}>=α，<\vv{a},\vv{e1}-\vv{e2}>=a±\frac{π}{2}。$

根据题意得：
\begin{align*}
r|\sqrt{2+2cosθ}cosα|≥2\\\
r|\sqrt{2-2cosθ}cos（α±\frac{π}{2}）|≥1\\\

即r\sqrt{2+2cosθ}|cosα|≥2 \\\
r\sqrt{2-2cosθ}|sinα|≥1\\\
\end{align*}

$两式相加得  2r(|（ sinβ|cosα|+cosβ|sinα|） |)≥3  ，β为辅助角$

$2r|sin(β±α)|≥3$

所以  $r≥\frac{3}{2}$。

发现两个绝对值符号在一起时，看不清楚，只好加上括号。

走走看看

回复 15# kuing

$\sqrt{x}\leqslant \frac{x+9}{6}$，以$\frac{1}{x}$代替x，则有 $\sqrt{\frac{1}{x}}\leqslant \frac{\frac{1}{x}+9}{6}$

即 $\sqrt{x}\geqslant \frac{6x}{1+9x}$

得不到 所要的 $\sqrt{x}\geqslant \frac{6x}{x+9}$

这错在哪里呢?

isee

回复 17# 走走看看

就是基石的算术平均值不小于几何平均值

走走看看

回复 18# isee


    第一个式子是按照算术平均值不小于几何平均值得到的。第二个式子呢？

kuing

回复 17# 走走看看

一方面 `\sqrt x=\dfrac {\sqrt {9x}}3\leqslant \dfrac {x+9}6`，对它倒数得 `\sqrt x\geqslant \dfrac {6x}{x+9}`

我是说“对它倒数”，不是“作倒数代换”。
就是 `\sqrt x\leqslant \dfrac {x+9}6` 变成 `\dfrac1{\sqrt x}\geqslant \dfrac6{x+9}`，乘 `x` 得 `\sqrt x\geqslant \dfrac{6x}{x+9}`，就这么简单。