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hbghlyj
Posted 1970-1-1 08:00
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$与双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{5}=1$有共同的焦点，则$m$=?
【解析】由题意得椭圆的焦点为(-3,0)和(3,0)所以3=\sqrt{m+5},所以m=4.
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点作一条直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2} , y_{2})$，则$\frac{y_{1} y_{2}}{x_{1} x_{2}}$=?
【解析】
【题目】若抛物线$C$: $y^{2}=2 p x$的焦点在直线$x+y-3=0$上，则实数$p$=?抛物线$C$的准线方程为?
【解析】抛物线C:y^{2}=2px的焦点是(\frac{p}{2},0),由题意的\frac{p}{2}+0-3=0,p=6,准线方程为x=-3.
【题目】已知椭圆方程$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{16}=1$表示椭圆，焦点$F_{1}$、$F_{2}$，椭圆上有一动点$P$，则$|P F_{1}|+|P F_{2}|$=?
【解析】先由椭圆方程得到其长轴长,再由椭圆的定义,即可得出结果因为椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{16}=1的长轴长为2a=2\sqrt{16}=8,又P为椭圆上一点,F_{1}与F_{2}为椭圆的两焦点,根据椭圆的定义可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=8.
【题目】已知点$Q(\sqrt{2}, 0)$及抛物线$x^{2}=2 y$上一动点$P(x, y)$，则$y+|P Q|$的最小值是?
【解析】抛物线x^{2}=2y的焦点为F(0,\frac{1}{2}),根据抛物线的定义可知y+\frac{1}{2}=|PF|,所以y+|PQ|=|PF|+|PQ|-\frac{1}{2}.故当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|-\frac{1}{2}有最小值|FQ|-\frac{1}{2}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$与圆$(x-2)^{2}+y^{2}=3$恰有两个公共点则$p$的值为?
【解析】由条件可知p>0,x^{2}+(2p-4)x+1=0,由已知可知,抛物线与圆相切\thereforeA=(2p-4)^{2}-4=0,解得:p=3或p=1.当p=3时,x2+2x+1=0,解得:x=-1舍去当p=1时,x^{2}-2x+1=0,解得:x=1成立.
【题目】若双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{k}=1$的焦点到渐近线的距离为$2 \sqrt{2}$，则实数$k$的值为?
【解析】由双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{k}=1得其中一个焦点为(\sqrt{k+1},0),其中一条渐近线方程为y=\sqrt{k}x,所以焦点到直线的距离为\frac{|\sqrt{k}\sqrt{k+1}|}{\sqrt{k+1}}=2\sqrt{2},所以k=8.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$与圆$x^{2}+y^{2}=b^{2}$在第二、四象限分别相交于两点$A$、$C$，点$F$是该双曲线的右焦点，且$|A F|=2|C F|$，则该双曲线的离心率为?
【解析】双曲线的右焦点为F,左焦点为E,根据对称性可知AFCE是平行四边形,所以|AF|=2|CF|=2|AE|,又点A在双曲线上,所以|AF|-|AE|=2a,因为|AF|=2|CF|,所以|AF|-|AE|=2|CF|-|CF|=2a.所以|CF|=2a,在三角形OFC中,|FC|=2a,|OC|=b,|OF|=c,|AF|=4a可得16a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\angleAOF4a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\angleCOF可得20a^{2}=2b^{2}+2c^{2}=4c^{2}-2a^{2}.即:11a^{2}=2c^{2},所以双曲线的离心率为:e=\frac{\sqrt{22}}{2}
【题目】过点$P(2 , 4)$作两条互相垂直的直线$l_{1}$, $l_{2}$，若$l_{1}$交$x$轴于$A$点，$l_{2}$交$y$轴于$B$点，若点$M$是线段$A B$上的点，且满足$|B M|=2|A M|$，则点$M$的轨迹方程是?
【解析】设l_{1}:x=k(y-4)+2,当y=0,得x=-4k+2,l_{2}:y=-k(x-2)+4,当x=0,得y=2k+4,则A(-4k+2,0),B(0,2k+4),设M(x,y),由已知\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}(x,y-2k-4)=2(-4k+2-x,-y)得\begin{cases}y=-8k+4-2x\\y-2k-4=-2y\end{cases},消去k得3x+12y-20=0,
【题目】已知抛物线$E$:$ y^{2}=2 p x (p>0)$的焦点为$F$，以$F$为圆心，$3 p$为半径的圆交抛物线$E$于$P$、$Q$两点，以线段$P F$为直径的圆经过点$(0,-1)$，则点$F$到直线$P Q$的距离为?
【解析】
【题目】过原点作一条倾斜角为$\theta$的直线与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$交于$A$、$B$两点，$F$为椭圆的左焦点，若$A F \perp B F$，且该椭圆的离心率$e \in[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$，则$\theta$的取值范围为?
【解析】设右焦点F',连结AF',BF',得四边形AFBF是正方形\becauseAF+AF'=2a,AF+BF=2a,OF=c,\thereforeAB=2c,\because\angleBAF=\frac{1}{2}\theta,\thereforeAF=2c\cdot\cos\frac{\theta}{2},BF=2c\cdot\sin\frac{\theta}{2},\therefore2c\sin\frac{\theta}{2}+2c\cos\frac{\theta}{2}=2a,\frac{c}{a}=\frac{-}{si}.该椭圆的离心率e\in[\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4})}\in[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{,}{}\because\theta\in[0,\pi)\therefore\theta的取值范围为[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}].
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点为$F_{1}$, $F_{2}$, $b=4$，离心率为$\frac{3}{5}$ ,过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$的周长为?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的焦点分别为F_{1},F_{2},b=4,离心率为\frac{3}{5},\thereforea=5,\because\triangleABF_{2}的周长是(|AF_{1}|+|AF_{2}|)+(|BF_{1}|+|BF_{2}|)=2a+2a=4a=20故选D
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在双曲线上，且满足$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$=?
【解析】双曲线\frac{x2}{4}-y^{2}=1的a=2,b=1,c=\sqrt{5},设P为双曲线右支上的点,|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,则m-n=2a=4,4c^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos90^{\circ}=m^{2}+n^{2}=20即有mn=2,
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在椭圆上，且满足$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{2}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积等于?
【解析】因为F_{1}F_{2}是椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1的两个焦点,点P在椭圆上,且满足\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{2}所以\begin{cases}PF_{1}+PF_{2}=2a=4\\PF_{1}^{2}+PF_{2}2=4c^{2}=12\end{cases}\Rightarrow2PF_{1}\cdotPF_{2}=(PF_{1}+PF_{2})^{2}-(PF_{1}^{2}+PF_{2}^{2})=16-12=4所以PF_{1}\cdotPF_{2}=2,则\triangleF_{1}PF_{2}的面积等于\frac{1}{2}PF_{1}\cdotPF_{2}=1,
【题目】已知抛物线方程为$y^{2}=2 x$，则抛物线上的点$P(\frac{3}{2}, y_{0})$到焦点$F$的距离为?
【解析】\because抛物线方程为y^{2}=2x,\therefore准线方程:x=-\frac{1}{2}\therefore抛物线上的点P(\frac{3}{2},y_{0})到焦点F的距离为d=\frac{3}{2}-(-\frac{1}{2})=2
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点是椭圆$\frac{x^{2}}{3 p}+\frac{y^{2}}{p}=1$的一个焦点，则$p$=?
【解析】因为抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点是(\frac{p}{2},0),故椭圆\frac{x^{2}}{3p}+\frac{y^{2}}{p}=1的一个焦点也为(\frac{p}{2},0),
【题目】已知椭圆:$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$的直线$l$交椭圆于$A$、$B$两点，若$A F_{2}+B F_{2}$的最大值为$5$，则椭圆标准方程为?
【解析】由椭圆方程可知a^{2}=4\thereforea=2,由椭圆定义可知4ABF_{2}的周长为定值4a=8,由AF_{2}+BF_{2}的最大值为5可知通径长度为3,即\therefore\frac{2b^{2}}{a}=3\thereforeb^{2}=3^{n}所以椭圆方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$\sqrt{5}$，则$m$=?
【解析】由题意可知a^{2}=4,b^{2}=m,\thereforec^{2}=a^{2}+b^{2}=4+m,\thereforea=2,c=\sqrt{4+m}\therefore离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{4+m}}{2}=\sqrt{5},解得m=16.
【题目】已知$F_{1}$为椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点，直线$l$:$y=x-1$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，那么$|F_{1} A|+|F_{1} B |$的值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，当$P F_{1} \cdot P F_{2}=0$时，$\triangle F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】
【题目】设$P$、$Q$分别是圆$x^{2}+(y+1)^{2}=7$和椭圆$\frac{x^{2}}{8}+y^{2}=1$上的点，则$P$、$Q$间的最大距离是?
【解析】求出圆心到椭圆上点的距离的最大值,再加圆半径.设Q(x,y),圆心(0,-1)到Q点的距离可化为关于y的函数,结合二次函数的性质可得。详解】由圆的性质可知,P,Q两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径\sqrt{7},设Q(x,y),则圆心(0,-1)到椭圆上点的距离)d=\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}[-\sqrt{-},\frac{1}{2}椭圆上点的距离为-1\leqslanty\leqslant1,\therefore当y=\frac{1}{7}时,d取最大值\frac{8\sqrt{7}}{7},\thereforeP,Q两点间的最大距离为_{d_{\max}}+\sqrt{7}=\frac{15\sqrt{7}}{7}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$作直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$周长为?
【解析】因为椭圆\frac{x2}{16}+\frac{y2}{9}=1,\thereforea=4,由椭圆的定义可得AABF_{2}的周长是(|AF_{1}|+|AF_{2}|)+(|BF_{1}|+|BF_{2}|)=2a+2a=4a=16,故选A.
【题目】若焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$上有一点，使它与两个焦点的连线互相垂直，则$b$的取值范围是?
【解析】\because椭圆\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的焦点在x轴上,故b^{2}<45,即b\in(-3\sqrt{5},3\sqrt{5})且b不为0\textcircled{1}设椭圆的焦距为2c,则以原点为圆心,两焦点为端点的线段为直径的圆O的方程为x^{2}+y^{2}=c^{2}要使椭圆\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1上有一点,使它与两焦点的连线互相垂直,只需圆O与椭圆有交点,由椭圆几何性质,只需半径c\geqslant|b|即c^{2}\geqslantb^{2},即45-b^{2}\geqslantb^{2},b^{2}\leqslant\frac{45}{2}\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}解得:-\frac{3\sqrt{10}}{2}\leqslantb\leqslant\frac{3\sqrt{10}}{2}且b\neq0.
【题目】已知椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$，上顶点为$A$，左顶点为$B$，设点$P$为椭圆上一点，$\Delta P A B$的面积的最大值为$\sqrt{2}+1$，若已知点$M(-\sqrt{3}, 0)$、$N(\sqrt{3}, 0)$，点$Q$为椭圆上任意一点，则$\frac{1}{|Q N|}+\frac{4}{|Q M|}$的最小值为?
【解析】由已知条件可得A(0,1)、B(-a,0),直线AB的斜率为k_{AB}=\frac{1}{a}直线AB的方程为y=\frac{1}{a}x+1,当\trianglePAB的面积最大时,过点P的直线与椭圆相切且与直线AB平行故设该直线的方程为y=\frac{1}{a}x+m(m\neq1),联立\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\\y=\frac{1}{a}x+m\end{cases},整理,得2x^{2}+2amx+a^{2m}^{2}-a^{2}=0.由A=0,得4a^{2}m^{2}-8(a^{2}m^{2}-a^{2})=0,解得m^{2}=2,分析可知当\trianglePAB的面积最大时,m=-\sqrt{2},此时切线方程为y=\frac{1}{a}x-\sqrt{2}则点P到直线AB的距离d=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}=\frac{a(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{a^{2}+1}}又|AB|=\sqrt{a^{2}+1},所以S_{\trianglePAB}=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{a}{2}(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}+1,所以a=2,所以M(-\sqrt{3},0)、N(\sqrt{3},0)分别为椭圆的左、右焦点.所以|QM|+|QN|=2a=4,则\frac{1}{|ON|}\frac{|QN|+|QM|}{4}=\frac{1}{4}(5+\frac{|QM|}{|QN|}+\frac{4|QN|}{|QM|})\geqslant\frac{1}{4}(5+2\sqrt{\frac{|OM|}{|ON|}}当且仅当|QM|=2|QN|时取等号.因此,\frac{1}{|ON|}+\frac{4}{|OM|}的最小值为\frac{9}{4}
【题目】椭圆一焦点为$(0 ,\sqrt {5})$，且短轴长为$4 \sqrt {5}$的椭圆标准方程是?
【解析】
【题目】$F$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点，过点$F$向$C$的一条渐近线引垂线，垂足为$A$，交另一条渐近线于点$B$. 若$2 \overrightarrow{A F}=\overrightarrow {F B}$，则$C$的离心率是?
【解析】双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x,由题意,得|AF|=b,|BF|=2b,在RtAAOF中,|OF|=c,则|OA|=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=a设l_{1}的倾斜角为\theta,即\angleAOF=\theta,则\angleAOB=2\theta,\tan\theta=\frac{b}{a},\tan2\theta=\frac{3b}{a},即\frac{3b}{a}=\frac{\frac{2b}{a}}{1-\frac{b^{2}}{2}},即a^{2}=3b^{2}则_{e}=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】长度为$6$的线段$A B$的两个端点在抛物线$y=x^{2}$上移动，那么线段$A B$的中点$M$到$x$轴距离的最小值为?
【解析】依题意,抛物线y=x^{2}的焦点F(0,\frac{1}{4}),准线l:y=-\frac{1}{4},设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则AB的中点M(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})过点A,B,M分别作直线l的垂线,垂足分别为A_{1},B_{1},M_{1},MM_{1}交x轴于点M_{0},如图由抛物线的定义得:|AF|=|AA_{1}|=y_{1}+\frac{1}{4},|BF|=|BB_{1}|=y_{2}+\frac{1}{4}则有|AF|+|BF|=y_{1}+\frac{1}{4}+y_{2}+\frac{1}{4}=y_{1}+y_{2}+\frac{1}{2},而|AF|+|BF|\geqslant|AB|=6,当且仅当A,F,B三点共线时取“=”,于是得y_{1}+y_{2}+\frac{1}{2}\geqslant6,即y_{1}+y_{2}\geqslant\frac{11}{2},则|MM_{0}|=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\geqslant\frac{11}{4}所以线段AB的中点M到x轴距离的最小值为\frac{11}{4}
【题目】已知$F$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，过$F$作两条互相垂直的直线$l_{1}$, $l_{2}$，直线$l_{1}$与$C$交于$A$、$B$两点，直线$l_{2}$与$C$交于$D$、$E$两点，则$|A B|+|D E|$的最小值为?
【解析】由题意可知抛物线C:y2=4x的焦点F:(1,0),准线为x=-1设直线l_{1}的解析式为y=k(x-1)\because直线l_{1},l_{2}互相垂直\thereforel_{2}的斜率为-\frac{1}{k}与抛物线的方程联立\begin{cases}y=k(x-1)\\,\end{cases},消去y得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0设点A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3},D(x_{4},y_{4})由跟与系数的关系得x_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}},同理x_{3}+x_{4}=\frac{2\frac{1}{k^{2}}+4}{\frac{1}{k^{2}}\because根据抛物线的性质,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离\therefore|AB|=x_{1}+1+x_{2}+1,同理|DE|=x_{3}+1+x_{4}+1\therefore|AB|+|DE|=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}+\frac{2\frac{1}{k^{2}}+4}{\frac{1}{l^{2}}}+4=8+\frac{4}{k^{2}}+4k^{2}\geqslant8+2\sqrt{4\times4}=16,当且仅当k^{2}=1时取等号.
【题目】已知过抛物线$y^2=x$焦点$F$的直线与抛物线交于$A$,$B$两点，过坐标原点$O$的直线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$交于$M$、$N$两点，点$P$是双曲线上一点，且直线$PM$，$PN$的斜率分别为$k_1$,$k_2$，若不等式$(|k_1|+4|k_2|)(|AF|\cdot|BF|) \geq |AF|+|BF|$恒成立，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ ,过$F_{1}$作直线$l$与双曲线有唯一交点$P$，若$\sin \angle F_{1} P F_{2}=\frac{4}{5}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】首先设出直线l的方程,与双曲线方程联立,求得点P的坐标,利用弦长公式求得|PF_{1}|,并根据定义表示|PF_{2}|,\triangleF_{1}PF_{2}中,根据余弦定理表示\therefore1-\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{8}{e^{2}+3},再求离心率羊解】如图,当直线与渐近线平行时,l与双曲线有唯一交点P,设l:y=\frac{b}{a}(x+c),与双曲线方程联立,得-2cx=a^{2}+c^{2},解得:x=-\frac{a^{2}+c}{2c}|PF_{1}|=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}|x_{P}-(-c)|=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}|-\frac{a^{2}+c^{2}}{2c}+c|=\frac{b^{2}}{2a}|PF_{2}|=|PF_{1}|+2a=\frac{b^{2}+4a^{2}}{2a},|F_{1}F_{2}|=2c,\DeltaF_{1}PF_{2}中,\because\sin\angleF_{1}PF_{2}=\frac{4}{5},\therefore\cos\angleF_{1}PF_{2}=\pm\frac{3}{5}由余弦定理|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|\cos\angleF_{1}PF_{2}=(|PF_{1}|-|PF_{2}|)^{2}+2|PF_{1}||PF_{2}|(1-\cos\angleF_{1}PF_{2}),
【题目】双曲线的两条渐近线的方程为$y=\pm \sqrt{2} x$，且经过点$(3,-2 \sqrt{3})$. 过双曲线的右焦点$F$且倾斜角为$60^{\circ}$的直线交双曲线于$A$、$B$两点，则$|A B|$的值为?
【解析】由题意,双曲线的两条渐近线的方程为y=\pm\sqrt{2}x.可设双曲线的方程为2x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0).又因为双曲线过点(3,-2\sqrt{3}),代入方程可得\lambda=6,即所求双曲线的方程为\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1,且右焦点为F(3,0)设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),过焦点F且倾斜角为60^{\circ}的直线方程为y=\sqrt{3}(x-3)联立方程组\begin{cases}y=\sqrt{3}(x-3)\\\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1\end{cases}整理得x^{2}-18x+33=0则x_{1}+x_{2}=18,x_{1}x_{2}=33,则弦长|AB|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=2\sqrt{18^{2}-4\times33}=16\sqrt{3}即弦长|AB|的值为16\sqrt{3}青】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用,其中解答中联立方程组,合理使用根与系数的关系,以及弦长公式,准确运算是解答的关键,若重考查了推理与运算能力,属于中档试题
【题目】已知点$F$为抛物线$x^{2}=8 y$的焦点，$M(0,-2)$，点$N$为抛物线上一动点，当$\frac{|N F|}{|N M|}$最小时，点$N$恰好在以$M$、$F$为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为?
【解析】由题意可得,F(0,2),M(0,-2),抛物线的准线为y=-2.设点_{N}(x_{0},\frac{x_{0}^{2}}{8}),根据对称性,不妨设x_{0}>0,由抛物线的定义可知|NF|=\frac{x_{0}^{2}}{8}+2^{,}又|NM|=\sqrt{x_{0}^{2}+(\frac{x^{2}}{8}+2}设以M,F为焦点的双曲线方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.则2a=||NF|-|NM||=|4-4\sqrt{2}|=4(\sqrt{2}-1)即a=2(\sqrt{2}-1).又2c=|MF|=4,c=2,所以离心率e=\frac{c}{a}=\frac{2}{2(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}+1又2c=|MF|=4,c=
【题目】能说明“若$m n \neq 0$，则方程$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1$表示的曲线为焦点在$y$轴上且渐近线方程为$y=2 x$的双曲线”的一组$m$，$n$的值是?
【解析】设焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的双曲线的方程为\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=\lambda(\lambda>0),即\frac{y^{2}}{4\lambda}-\frac{x^{2}}{\lambda}=1(\lambda>0),所以\begin{cases}m=-\\n=4\lambda\end{cases}.2(\lambda>0),不妨令\lambda=1,所以\begin{cases}m=\frac{7}{4}\\n=4\end{cases}
【题目】已知$F$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左焦点，$P$、$Q$为$C$上的点若$P Q$的长等于虚轴长的$2$倍，点$A(5,0)$在线段$P Q$上，则$\triangle P Q F$的周长为?
【解析】由双曲线方程得a=4,b=3c=5,则虚轴长为6,线段PQ过点A(5,0)为双曲线的右焦点PF=PA+2aOF=OA+2a,PF+OF=4a+12=28,APOF的周长为28+12=40
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1(m>1)$，若存在过点$A(1,2)$且相互垂直的直线$l_{1}$ ,$l_{2}$使得$l_{1}$ , $l_{2}$与椭圆$C$均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是?
【解析】椭圆C:\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1(m>1)'\textcircled{1}当直线l_{1},l_{2}中-条斜率不存在和另一条斜率为0,两直线与椭圆相交\textcircled{2}当直线l_{1},l_{2}的斜率都存在时,可设l_{1}:y-2=k(x-1),即y=kx+2-k联立椭圆方程可得(mk^{2}+1)x^{2}+2km(2-k)x+m(2-k)^{2}-m=0,由直线l_{1}和椭圆C无交点,可得A=4k^{2}m^{2}(2-k)^{2}-4(mk^{2}+1)[m(2-k)^{2}-m]<0化为(m-1)k^{2}+4k-3<0,解得\frac{-2-\sqrt{3m+1}}{m-1}<k<\frac{-2+\sqrt{3m+1}}{m-1},由两直线垂直的条件,可将k换为-\frac{1}{k}即有\frac{m-1}{k^{2}}-\frac{4}{k}-3<0,化为3k^{2}+4k-m+1>0,-2+\sqrt{3m+1},m>1,化为8-2m<(4-m)\sqrt{3m+1},1时,\sqrt{3m+1}>2,则4-m>0,得m<4,此时1<m<4.3m+1,解得1<m<4,则\frac{1}{4}<\frac{1}{m}<1.所以,该椭圆的离心率为e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{m}}\in(0,\frac{\sqrt{3}}{2})因此,该椭圆离心率的取值范围是(0,\frac{\sqrt{3}}{2})
【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别为$(-2 , 0)$,$(2 , 0)$，并且经过点$(\frac{5}{2} ,-\frac{3}{2})$，则它的标准方程为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$焦点的直线交抛物线于$A$、$B$两点，过$B$点作抛物线的准线$l$的垂线，垂足为$C$，已知点$A(4,4)$，则直线$AC$的方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{2}-x^{2}=1$的焦点坐标是?
【解析】因为双曲线方程为\frac{y^{2}}{2}-x2=1,所以a^{2}=2,b^{2}=1,c^{2}=a^{2}+b^{2}=3,又佳点在y轴上所以焦点坐标为(0,-\sqrt{3}),(0,\sqrt{3})青】本题主要考查了双曲线的方程及简单几何性质,属于中档题
【题目】方程$\frac{x^{2}}{|m|-1}+\frac{y^{2}}{2}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆时，实数$m$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知两定点$P_{1}(-1 , 0)$和$P_{2}(3 , 0)$，则到点$P_{1}$和$P_{2}$的距离的平方和等于$16$的点的轨迹方程为?
【解析】设点P(x,y)到点口_{1}和口_{2}的距离的平方等于16,则PP_{1}^{2}+PP_{2}^{2}=(x+1)^{2}+y^{2}+(x-3)^{2}+y^{2}=16'整理得:x^{2}+y^{2}-2x-3=0.
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, $F_{1}$, $F_{2}$为$C$的左、右焦点，$P$为椭圆$C$上一点，且$\Delta P F_{1} F_{2}$的内心$I(s, 1)$，若$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为$2 b$，则椭圆的离心率$e$为?
【解析】如图,设PI延长线交x轴于点M,作IH\botx轴于H,不妨设P在第一象限,S_{\DeltaPF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}\times2c\timesy_{P}=2b,y_{P}=\frac{2b}{c}I是\DeltaPF_{1}F_{2}内心,则\frac{|PI|}{|IM|}=\frac{|PF_{1}|}{|F_{1}M|}=\frac{|PF_{2}|}{|F_{2}M|}=\frac{|PF_{1}|+|PF_{2}|}{|F_{1}M|+|F_{2}M|}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}所以\frac{a+c}{c}=\frac{|PI|+|IM|}{|IM|}=\frac{y_{P}}{y_{I}}=\frac{2b}{1},a+c=2b=2\sqrt{a^{2-c^{2}},a+c=4(a-c),e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}
【题目】设抛物线$y^{2}=2 p x (p>0)$的焦点为$F$，点$A(0 , 2)$，线段$F A$与抛物线交于点$B$，且$\overrightarrow{F B}=2 \overrightarrow{B A}$，则$ |B F |$=?
【解析】设B(x,y),根据\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{BA}可得出用p表示的B点坐标,再代入抛物线方程可得出p值,然后求得B、F两点坐标,利用两点之间的距离公式可得答案.由题得F(\frac{p}{2},0)(p>0),设B(x,y),则\overrightarrow{FB}=(x-\frac{p}{2},y)2\overrightarrow{BA}=2(-x,2-y)=(-2x,4-2y),由\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{BA}得\begin{cases}x-\frac{p}{2}=-2x\\y=4-2y\end{cases}解得\begin{cases}x=\frac{p}{6}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}代入椭圆方程得(\frac{4}{3})^{2}=2p\times\frac{p}{6},解得p=\frac{4\sqrt{3}}{3}所以_{B(}^{2}\frac{3}{9},\frac{4}{3})'F(\frac{2\sqrt{3}}{3},0)'
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{8}=1$的离心率为$\sqrt{3}$，则实数$m$的值为?
【解析】由题意得:\frac{\sqrt{m+8}}{\sqrt{m}}=\sqrt{3},解得m=4.解答此类问题,要明确对应关系,一是a^{2}=m,b^{2}=8,二是双曲线中c^{2}=a^{2}+b^{2}.
【题目】双曲线$x^{2}-2 y^{2}+8=0$的焦点坐标为?
【解析】
【题目】已知直线$y=x$与抛物线$y^{2}=4 x$相交于$A$、$B$两点，那么线段$A B$的中点坐标是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$:$x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda>0)$的一个焦点为$F$、$O$为坐标原点，在双曲线$C$的渐近线上取一点$P$，使得$|P F|=|P O|$，且$\Delta P O F$的面积为$1$，则$\lambda$=?
【解析】不妨设F为双曲线的右焦点,c为双曲线的半焦距,由题意知P的横坐标为\frac{c}{2},双曲线的渐近线方程为y=\pmx,设点P在渐近线y=x上,则P的纵坐标为\frac{c}{2}所以\trianglePOF的面积为\frac{c^{2}}{4}=1,得c^{2}=4,由题意知c^{2}=2\lambda,所以2\lambda=4,解得\lambda=2.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$的右焦点为点$F$，点$B$是虚轴的一个端点，点$P$为双曲线$C$左支上的一个动点，则$\Delta B P F$周长的最小值等于?
【解析】先由双曲线的几何性质写出B和F的坐标,并求得|BF|的长,然后设双曲线的左焦点为E,由双曲线的定义可知,|PF|\cdot|PE|=2a,而\triangleBPF的周长为|BF|+|PF|+|PB|=|BF|+2a+(|PE|+|PB|),求出|PE|+|PB|的最小值即可得\triangleBPF周长的最小值,当且仅当B、P、E三点共线时,可得解.\because双曲线C:\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1,\thereforeF(\sqrt{3},0)如图所示,不妨设B为x轴上方的虚轴端点,则B(0,1),|BF|=2,设双曲线的左焦点为E,由双曲线的定义可知,|PF|\cdot|PE|=2a=2\sqrt{2},即|PF|=|PE|+2\sqrt{2}\therefore\triangleBPF的周长为|BF|+|PF|+|PB|=|BF|+(|PE|+2\sqrt{2})+|PB|=2+2\sqrt{2}+|PE|+|PB|\geqslant2+2\sqrt{2}+|BE|=4+2\sqrt{2}当且仅当B、P、E三点共线时,等号成立.所以\triangleBPF周长的最小值等于4+2\sqrt{2}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$与双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的右焦点重合，若$A$为抛物线在第一象限上的一点，且$|A F|=3$，则直线$A F$的斜率为?
【解析】求出双曲线的右焦点,可以求出抛物线的方程,利用抛物线的定义可得A点的坐标,即可求出直线AF的斜率.因为双曲线\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1的右焦点为(2,0)所以抛物线方程为y^{2}=8x.因为|AF|=3,所以x_{A}+2=3,可得x_{A}=1,代入抛物线方程可得y_{A}=\pm2\sqrt{2}因为点A在第一象限,所以A(1,2\sqrt{2})所以直线AF的斜率为\frac{2\sqrt{2}}{1-2}=-2\sqrt{2}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，右顶点为$A$，点$B$在椭圆上，且$B F \perp x$轴，直线$AB$交$y$轴于点$P$.若$|A P|= 2|P B|$，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{m-2}+\frac{y^{2}}{6-m}=1$表示一个椭圆,则实数$m$的取值范围为?
【解析】由椭圆方程可知需满足\begin{cases}m-2>0\\6-m>0\\m-2+6-m\end{cases}解不等式得实数m的取值范围为(2,4)\cup(4,6)
【题目】设$P$为双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{12}=1$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$是该双曲线的左、右焦点，若$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为$12$，则$\angle F_{1} PF_{2}$等于?
【解析】
【题目】点$M(20,40)$，抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，若对于抛物线上的任意点$P$ ,$|P M|+|P F|$的最小值为$41$，则$p$的值等于?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左、右焦点，过$F_{1}$的直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$相切，且与双曲线的两渐近线分别交于点$A$，$B$，若$(\overrightarrow{F_{2} A}+\overrightarrow{F_{2} B}) \cdot \overrightarrow{A B}=0$，则该双曲线$C$的离心率为?
【解析】求出切线l的斜率,有两条切线,不妨设其中一条,如图,求出A点坐标,确定A即为切点,取AB中点M,利用(\overrightarrow{F_{2}A}+\overrightarrow{F_{2}B})\cdot\overrightarrow{AB}=0得F_{2}M\botAB,从而可得A,M是F_{1}B三等分点,于是有\overrightarrow{F_{1}B}=3\overrightarrow{F_{1}A},由此求得B点坐标,代入渐近线方程得a,b,c的等式,变形后可得离心率.[详解]因为l与\odotO:x^{2}+y^{2}=a^{2}相切,\sin\angleBF_{1}O=\frac{a}{c},\angleBF_{1}O为锐角,\cos\angleBF_{1}O=\sqrt{1-\frac{a^{2}}{c^{2}}}=\frac{b}{c},\tan\angleGF_{2}O=\frac{a}{b},所以切线斜率k=\pm\frac{a}{b},由对称性不妨考虑k=\frac{a}{b}情形.如图又双曲线C的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,则l垂直其中一条渐近线y=-\frac{b}{a}x,故l与这条渐近线的交点A即为该渐近线与\odotO在第二象限的交点,也是切点.由\begin{cases}y=-\frac{b}{a}x\\y=\frac{a}{b}(x+c)\end{cases},可得A(-\frac{a^{2}}{c},\frac{ab}{c}),设AB中点为M,由(\overrightarrow{F_{2}A}+\overrightarrow{F_{2}B})\cdot\overrightarrow{AB}=0,即2\overrightarrow{F_{2}M}\cdot\overrightarrow{AB}=0,则有F_{2}M\botl,又OA\botl,故OA/\!/F_{2}M,且O为F_{1}F_{2}的中点,所以A为F_{1}M的中点,则A,M三等分F_{1}B,由\overrightarrow{F_{1}B}=3\overrightarrow{F_{1}A},\begin{cases}x_{B}+c=3(-\frac{a^{2}}{c}+c)\\y_{B}=3\times\frac{ab}{c}\end{cases},解得\begin{cases}x_{B}=\frac{3b^{2}}{x}-c\\y_{B}=\frac{3ab}{C}\end{cases},即B(\frac{3b^{2}}{c}-c,\frac{3ab}{c})B(\frac{3b}{c}-c,\frac{3ab}{c})'的故离心率e=\sqrt{3}均终安为.,,,2
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1$的一个焦点为$F(2,0)$，则实数$m$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1的一个焦点为F(2,0).所以m>0且m+1=4,所以m=3.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$C$的右支上存在一点$P$，满足$\cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{3}{4}$，且$|P F_{2}|$等于双曲线$C$的虚轴长，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】运用双曲线的定义和三角形的余弦定理,化简整理可得a=b,即可得到所求双曲线的渐近线方程[详解]由题意可得|PF_{2}|=2b,由双曲线的定义可得|PF_{1}|=|PF_{2}|+2a=2b+2a,|F_{1}F_{2}|=2c,在\trianglePF_{1}F_{2}中,\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{(2b+2a)^{2}+(2b)^{2}-4c^{2}}{2\cdot2b\cdot(2b+2a)}=\frac{3}{4},由c^{2}=a^{2}+b^{2},化简得到a=b可得双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,即有y=\pmx
【题目】抛物线$C$的顶点在坐标原点，焦点为$F(1,0)$，过点$F$的直线$l$与抛物线$C$相交于$A$、$B$两点,若$A B$的中点为$(2, m)$，则弦长$|A B|$为?
【解析】因为过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且AB的中点为(2,m)所以x_{A}+x_{B}=4,因为抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0)所以抛物线C的准线方程为x=-1,由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x_{A}+1+x_{B}+1=4+2=6答案为6.
【题目】抛物线$y^{2}=a x(a>0)$上横坐标为$6$的点到焦点的距离为$10$，则$a$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$P(2 , 0)$的直线交抛物线于$A(x_{1} , y_{1})$和$B(x_{2} , y_{2})$两点. 则：($I$)$y_{1} y_{2}$=?($II$) 三角形$ABF$面积的最小值是?
【解析】
【题目】若直线$x+2 y+m=0$经过抛物线$y=2 x^{2}$的焦点，则$m$=?
【解析】y=2x^{2}可化为x^{2}=\frac{1}{2}y,焦点坐标为(0,\frac{1}{8}),代入直线方程x+2y+m=0可得0+2\times\frac{1}{8}+m=0,解得m=-\frac{1}{4}.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的右焦点为$F(3 \sqrt{5} , 0)$，点$N$的坐标为$(0 , 2)$，点$M$为双曲线$C$左支上的动点，且$\triangle M N F$的周长不小于$20$，则双曲线$C$的离心率的取值范围为?
【解析】设双曲线的左焦点为F,则|MF|\cdot|MF|=2a,即|MF|=|MF|+2a,故|MF|+|MN|=|MF|+|MN|+2a\geqslant|FN|+2a,当且仅当N,M,F三点共线时等号成由F(3\sqrt{5},0),F(-3\sqrt{5},0),N(0,2)可得|FN|=|FN|=\sqrt{45+4}=7故\triangleMNF的周长|MN|+|MF|+|NF|\geqslant|F|N|+2a+|NF|=14+2a,依题意,\triangleMNF周长的最小值14+2a\geqslant20,解得a\geqslant3所以双曲线的离心率e=\frac{c}{a}\leqslant\frac{3\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5},又e>1可得1<e\leqslant\sqrt{5},故双曲线的离心率的范围是(1,\sqrt{5}].
【题目】已知$F$是双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的一个焦点，点$P$在$C$上，$O$为坐标原点，若$|O P|=|O F|$，则$\triangle O P F$的面积为?
【解析】由题意画出图形,不妨设F为双曲线C:x2-\frac{y^{2}}{3}=1的右焦点,P为第一象限点,求出P点坐标,再由三角形面积公式求解.如图,不妨设F为双曲线C:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的右焦点,P为第一象限点.由双曲线方程可得,a^{2}=1,b^{2}=3,则c=2.则以O为圆心,以2为半径的圆的方程为x^{2}+y2=4联立\begin{cases}x^{2}+y^{2}=4\\x2.\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases},解得P\frac{\sqrt{7}}{2},\frac{3}{2},\thereforeS_{\triangleOPF}=\frac{1}{2}\times2\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2}
【题目】已知动点$P$在圆$(x+2)^{2}+(y-4)^{2}=4$上，双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F(2,0)$，若$C$的渐近线上存在点$Q$满足$\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F}=2 \overrightarrow{O Q}$，则$C$的离心率的取值范围是?
【解析】设Q'(x,y),P(x_{0},y_{0}),满足\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{OQ}.所以(x_{0},y_{0})+(2,0)=(2x,2y),所以x_{0}=2x-2,y_{0}=2y又因为P(x_{0},y_{0})在圆上满足(x_{0}+2)^{2}+(y_{0}-4)^{2}=4所以(2x-2+2)^{2}+(2y-4)^{2}=4,整理得x^{2}+(y-2)^{2}=1,所以点Q'的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆,如图所示:当渐近线与圆有交点时,说明渐近线上存在点Q,使得\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{OO}.当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点,则:圆心(0,2)到渐近线bx-ay=0的距离d=\frac{|-2a|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=1因为c=2,即a^{2}+b^{2}=4所以a=1,此时b=\sqrt{3},\frac{b}{a}=\sqrt{3}当\frac{b}{a}\geqslant\sqrt{3}时,渐近线与圆有交点,则\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a2+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}\geqslant\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}=2
【题目】已知抛物线方程为$y^{2}=x$，点$M$在此抛物线上运动，则点$M$到点$A(4 , 1)$与焦点$F$之间的距离之和的最小值为?
【解析】如图所示,抛物线y^{2}=x的焦点为F(\frac{1}{4},0),准线方程为x=-\frac{1}{4}过点M作准线的垂线MM',根据抛物线的定义得|MF|+|MA|=|MM|+|MA|由图象可知点A(4,1)与焦点F之间的距离之和的最小值为点A到准线的距离为:所以距离之和的最小值为4-(-\frac{1}{4})=\frac{17}{4}答案为:\underline{17}
【题目】已知双曲线$C$:$\frac{4 x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的左、 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，直线$A B$过右焦点$F_{2}$，和双曲线$C$的右支交于$A$、$B$两点，且满足$|A F_{2}|=2|B F_{2}|$ , $\cos \angle F_{1} A B=\frac{3}{5}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】设|BF_{2}|=m,在\triangleABF_{1}中,由余弦定理得m=1.在\triangleAF_{1}F_{2}中,由余弦定理得c=\frac{\sqrt{17}}{2},即得解[详解]由题得\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\thereforea=\frac{3}{2},2a=3.设|BF_{2}|=m,\therefore|AF_{2}|=2m,由题得|AF|=2m+3,|BF_{1}|=m+3,|AB|=3m,在\triangleABF_{1}中,由余弦定理得\cos\angleF_{1}AB=\frac{3}{5}=\frac{(2m+3)^{2}+9m^{2}-(m+3)^{2}}{6m(2m+3)}解之得m=1.在\triangleAF_{1}F_{2}中,由余弦定理得\cos\angleF_{1}AF_{2}=\frac{3}{5}=\frac{5^{2}+2^{2}-(2c)^{2}}{20},\thereforec=\frac{\sqrt{17}}{2}所以离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{3}
【题目】设双曲线$C$: $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{64}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$为$C$上一点，$|P F_{1}|=6$，则$|P F_{2}|$为?
【解析】由\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{64}=1,得a^{2}=16,则a=4,因为点P为C上一点,所以||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a=8,因为|PF_{1}|=6,所以|6-|PF_{2}||=2a=8,解得|PF_{2}|=14或|PF_{2}|=-2(舍去)
【题目】已知双曲线$C$的离心率为$\sqrt{3}$，焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$A$在曲线$C$上，若$|F_{1} A|=3|F_{2} A|$，则$\cos \angle A F_{2} F_{1}$=?
【解析】设双曲线的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a,b>0),取A为右支上一点,且|F_{2}A|=m因为|F_{1}A|=3|F_{2}A|,可得|F_{1}A|=3m,由双曲线的定义可得|F_{1}A|-|F_{2}A|=2a,解得m=a又e=\frac{c}{a}=\sqrt{3},可得c=\sqrt{3}a,在AAF_{1}F_{2}中,|F_{1}A|=3a,|F_{2}A|=a,|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{3}a,由余弦定理,得\cos\angleAF_{2}F_{1}=\frac{a2+12a^{2}-9a^{2}}{2a-2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】椭圆的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$的直线交椭圆于$M$、$N$两点，$|M F_{1}|=\frac{4}{3}|N F_{1}|$ ,$|M F_{2}|=|F_{1} F_{2}|$，则椭圆的离心率为?
【解析】设椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0),|MF_{2}|=|F_{1}F_{2}|=2c,如图示:设|NF|=3t(t>0),则|MF_{1}|=\frac{4}{3}|NF_{1}|=4t由椭圆的定义可得|NF_{2}|=2a-|NF|=2a-3t,|MF_{2}|+|MF|=2a,即有2c+4t=2a.即a-c=2t,\textcircled{1}取MF_{1}的中点A,连接AF_{2},则|NA|=5t由|MF_{2}|=|F_{1}F_{2}|则AF_{2}\botMN,由勾股定理可得|MF_{2}^{2}-|MA^{2}=|NF_{2}^{2}-|NA^{2},即为4c^{2}-4t^{2}=(2a-3t)^{2}-25t^{2},\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}解得a=7t,c=5t,则离心率e=\frac{c}{a}=\frac{5}{7}
【题目】已知抛物线$y=x^{2}-1$上一定点$B(-1 , 0)$和两个动点$P$、$Q$，当$P$在抛物线上运动时，$B P \perp P Q$，则$Q$点的横坐标的取值范围是?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4 a^{2}}+\frac{y^{2}}{3 b^{2}}=1(a>0)$的左焦点为$F$，直线$x=m$与椭圆相交于点$A$、$B$，当$\Delta F A B$的周长最大时，$\Delta F A B$的面积是?
【解析】设椭圆的右焦点为F',因为AF'=BF',所以AB\leqslant2AF',当且仅当A,F',B三点共线时取等号,此时AFAB周长为L=2AF+AB\leqslant2AF+2AF'=8a取到最大值这时AB=2\sqrt{1-\frac{c^{2}}{4a^{2}}}\cdot\sqrt{3}b=\frac{3b^{2}}{a},三角形的面积为S=\frac{3b^{2}c}{a}
【题目】已知$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$右支上一点 (非顶点)，$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线的左右焦点，点$M$为$\triangle P F_{1} F_{2}$的内心，若$S_{\triangle M P F_{1}}-S_{\triangle M P F_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} S_{\triangle M F_{1} F_{2}}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】由条件转化为\frac{1}{2}|PF_{1}|r-\frac{1}{2}|PF_{2}|r=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|r',再根据双曲线的定义化简,计算离心率.由题意知,M为\trianglePF_{1}F_{2}的内心,设\trianglePF_{1}F_{2}内切圆半径为r.因为_{S_{\DeltaMPF_{1}}-S_{\DeltaMPF_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}S_{\DeltaMF_{1}F_{2}},所以\frac{1}{2}|PF_{1}|r-\frac{1}{2}|PF_{2}|r=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|r即|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=\frac{\sqrt{2}}{2}|F_{1}F_{2}|=\sqrt{2}c'所以e=\sqrt{2}.
【题目】抛物线$y=-6 x^{2}$的焦点坐标为?
【解析】由y=-6x^{2},得x^{2}=-\frac{1}{6}y,故抛物线的焦点坐标为(0,-\frac{1}{24})
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，焦距为$2$，过$F_{2}$的直线$l$交椭圆$C$于$A$、$B$两点，若$\triangle A F_{1} B$的周长为$4 \sqrt{3}$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，$P$是$C$右支上一点. 若$|P F_{2}|=|F_{1} F_{2}|$，点$F_{2}$到直线$P F_{1}$的距离为$2 a$，则$C$的离心率为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , $l_{1}$ , $l_{2}$为$C$的两条渐近线，过$C$的右焦点$F$作$l_{1}$的垂线，垂足为$A$，且该垂线交$l_{2}$于点$B$，若$\overrightarrow{B A}=3 \overrightarrow{A F}$，则曲线$C$的离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆的左、右焦点，现以$F_{2}$为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点$M$、$N$，若过$F_{1}$的直线$M F_{1}$是圆$F_{2}$的切线，则椭圆的离心率为?
【解析】\becauseF_{1}F_{2}分别是椭圆的左,右焦点现以F_{2}为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N过F_{1}的直线MF_{1}是圆F_{2}的切线,\therefore|MF_{2}|=c_{1}|F_{1}F_{2}|=2c,\angleF_{1}MF_{2}=90^{\circ}\therefore|MF_{1}|=\sqrt{4c^{2-c^{2}}=\sqrt{3}c,\therefore2a=\sqrt{3}c+c=(\sqrt{3}+1)c_{2}=\sqrt{3}-.即答案为\sqrt{3}-1
【题目】直线$y=2 x+5$与曲线$\frac{x |x|}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$的交点个数为?
【解析】
【题目】直线$l$与中心在原点，焦点在$x$轴上，实轴长为$2$，离心率为$\sqrt{3}$的双曲线交于$A$、$B$两点，若$A B$的中点为$(2,1)$，则直线$l$的方程是?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$:$y^2=4x$，其焦点为$F$，$C$的准线交$x$轴于点$F'$，$A$，$B$为抛物线$C$上动点，且直线$AB$过点$F'$，过$F$分别作$OA$，$OB$的平行线$l_1$，$l_2$（$O$为坐标原点），直线$l_1$，$l_2$相交于点$P$，记点$P$的运动轨迹为曲线$E$，直线$y=kx(k\ge 0)$与曲线$E$无交点，则$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$两个焦点，$P$是双曲线上的一点，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】
【题目】设抛物线$y^{2}=2 x$的焦点为$F$，过点$F$的直线$l$与抛物线交于$A$、$B$两点，且$|A F|=4|B F|$，点$O$是坐标原点，则$\triangle A O B$的面积为?
【解析】由题意不妨设直线AB的方程为x=ty+\frac{1}{2},联立直线与抛物线方程,然后结合|AF|=4|BF|可得\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB},结合方程的根与系数关系及向量的坐标表示可求t,然后根据S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|y_{1}-y_{2}|求面积即可.由题意不妨设直线AB的方程为x=ty+\frac{1}{2}联立方程\begin{cases}x=ty+\frac{1}{2}\\v2=2x\end{cases}可得,y^{2}-2ty-1=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})\because|AF|=4|BF|,\therefore\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB},\thereforey_{1}=-4y_{2}则y_{1}y_{2}=-4y_{2}^{2}=\thereforey_{2}^{2}=\frac{1}{4},即|y_{2}|=\frac{1}{2}\thereforeS_{\DeltaAOB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|y_{1}-y_{2}|=\frac{1}{4}\times|5y_{2}|=\frac{5}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{5}{8}
【题目】已知抛物线$y^{2}=-16 x$的准线与圆$x^{2}-2 a x+y^{2}=0$相切，双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$过点$P(4,3)$，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】由已知条件可知,抛物线y^{2}=-16x的准线为x=4;圆x^{2}-2ax+y^{2}=0的圆心为(a,0),半径为a(a>0);又抛物线y^{2}=-16x的准线与圆x^{2}-2ax+y^{2}=0相切,所以2a=4,即a=2;又双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)过点P(4,3)所以\frac{16}{4}-\frac{9}{b^{2}}=1,所以b=\sqrt{3};所以双曲线C的渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}x
【题目】已知$F$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点，过点$A(0, \frac{b}{2})$且垂直于$y$轴的直线与椭圆交于$B$、$C$两点. 若$\angle B F C=90^{\circ}$，则该椭圆的离心率为?
【解析】依题意作下图:易得B-\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{b}{2},c(\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{b}{2}),F(c,0)则\overrightarrow{FB}=(\frac{-\sqrt{3}a}{2}-c,\frac{b}{2}),\overrightarrow{FC}=(\frac{1}{1}(\frac{\sqrt{3}}{2})0,即(-\frac{\sqrt{3}}{3}a-c)(\frac{\sqrt{3}a}{2}-c)+\frac{b^{2}}{4}=0c^{2}-\frac{3}{4}a^{2}+\frac{b^{2}}{4}=0,b^{2}=a^{2}-c^{2},解得\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}^{2},e=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】与直线$l$:$x+y=1$相切的一个椭圆的方程可以为?
【解析】设切点为P(x_{0},y_{0}),则椭圆在P处切线为\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1,又x+y=1为切线\therefore\frac{x_{0}}{a^{2}}=1,\frac{y_{0}}{b^{2}}=1,又y_{0}+x_{0}=1,\thereforea^{2}+b^{2}=1,
【题目】设抛物线$y^{2}=2 x$的焦点为$F$，过$F$的直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，过$A B$的中点$M$作$y$轴的垂线与抛物线交于点$P$，若$|P F|=\frac{3}{2}$，则直线$l$的方程为?
【解析】因为抛物线方程为y^{2}=2x,所以焦点F(\frac{1}{2},0),准线l:x=-\frac{1}{2}设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),直线AB方程为y=k(x-\frac{1}{2})代入抛物线方程消去y,得k^{2}x^{2}-(k^{2}+2)x+\frac{k^{2}}{4}=0所以x_{1}+x_{2}=\frac{k^{2}+2}{k^{2}},x_{1}x_{2}=\frac{1}{4}.又过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P设P(x_{0},y_{0}),可得y_{0}=\frac{1}{2}(.因为y_{1}=k(x_{1}-\frac{1}{2}),y_{2}=k(x_{2}-,所以y,+3_{2}=k(x_{1}+x_{2})-k=k\cdot\frac{k^{2}+2}{k^{2}}-k=\frac{2}{k}得到y_{0}=\frac{2}{k},x_{0}=\frac{1}{2k^{2}},所以P(\frac{1}{2k^{2}},\frac{1}{k}).因为|PF|=\frac{3}{2},所以\sqrt{(\frac{1}{2}-\frac{1}{2k^{2}}})^{2}=\frac{3}{2},解之得k^{2}=\frac{1}{2}.所以_{k}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2},直线方程为y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\frac{1}{2}),即2.c\pm2\sqrt{2}y-1=0
【题目】焦点为$(0,-\frac{1}{2})$的抛物线的标准方程为?
【解析】
【题目】设斜率为$2$的直线$l$过抛物线${y }^{2}=a x(a>0)$的焦点$F$，且和$y$轴交于点$A$，若$\triangle O A F$（$O$为坐标原点) 的面积为$4$，则$a$的值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左, 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，直线$l$过$F_{2}$与双曲线$C$的左. 右两支分别交于$A$、$B$两点，已知$\angle F_{1} A F_{2}=90^{\circ}$，且$\triangle A B F_{1}$内切圆半径为$1$，则$|A B|$=?
【解析】双曲线C:x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的a=1,设|AF_{1}|=m,|BF_{1}|=n,由双曲线的定义可得|AF_{2}|=|AF_{1}|+2a=m+2,|BF_{2}|=|BF_{1}|-2a=n-2,|AB|=AF_{2}|-|BF_{2}|=m-n+4,由切线长定理可得直角三角形的内切圆的半径为两直角边的和与斜边的差的一半所以在直角\triangleABF_{1}中,\frac{1}{2}(|AB|+|AF_{1}|-|BF_{1}|)=\frac{1}{2}(m-n+4+m-n)=1,可得m-n=-1,所以|AB|=-1+4=3,
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过焦点$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$\triangle$$ABF_{2}$的内切圆的面积为$\pi$ . $A$, $B$两点的坐标分别为$(x_{1} , y_{1})$和$(x_{2} , y_{2})$，则$|y_{2}-y_{1}|$的值为?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{1-k}+\frac{y^{2}}{2+k}=1$表示椭圆，则$k$的取值范围为?
【解析】由椭圆方程可得\begin{cases}1-k>0\\2+k>0\\1-k+2+k\end{cases},解不等式得k的取值范围为-2<k<1且k\neq-\frac{1}{2}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 x$与直线$y-x+1=0$交于$A$、$B$两点，则弦长$|A B|$=?
【解析】将直线x=y+1代入抛物线方程得:y^{2}-2y-2=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=2,y_{1}y_{2}=-2\therefore|AB|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}}-4y_{y_{2}}=\sqrt{2}\times\sqrt{4+8}=2\sqrt{6}
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{k}=1$的离心率$e \in(1 , 2)$，则$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$A$为该抛物线上一点，且$\angle O F A=120^{\circ}$(其中$O$为坐标原点)，则线段$AF$的中点$M$到$y$轴的距离为?
【解析】由题抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0),准线x=-1,且\angleOFA=120^{\circ}(其中O为坐标原点),\thereforek_{AF}=\sqrt{3},直线AF:y=\sqrt{3}(x-1)与抛物线方程联立可得3x^{2}-10x+3=0\Rightarrowx=3,x=\frac{1}{3}\because\angleOFA=120^{\circ}\thereforex=3,A(3,\pm2\sqrt{2})线段AF的中点M到y轴的距离为\frac{3+1}{3}=2
【题目】双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=a^{2}$的中心在原点，焦点在$x$轴上，$C$与抛物线$y^{2}=16 x$的准线交于$A$,$B$两点，$|A B|=4 \sqrt{3}$，则双曲线$C$的方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，过点$(4,0)$的直线交椭圆$E$于$A$、$B$两点.若$A B$中点坐标为$(2 ,-1)$，则椭圆$E$的离心率为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),代入椭圆方程,两式作差,利用离心率公式即可求解.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则\frac{x_{1}2}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1,\textcircled{1}\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1,\textcircled{2}\textcircled{1}-\textcircled{2}可得\underline{(x_{1}+x_{2})(x_{1}}(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})因为()B中点坐标为(2,.-1),则x_{1}+x_{2}=4,y_{1}+y_{2}=---2所以\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{2b^{2}}{a^{2}}=\frac{0-(-1)}{4-2}=\frac{1}{2}所以a_{2}=4b^{2},因为b^{2}=a^{2}-c^{2},所以3a^{2}=4c^{2},所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的右支上一点，$M$、$N$分别是圆$(x+5)^{2}+y^{2}=4$和$(x-5)^{2}+y^{2}=1$上的点，则$P M-P N$的最大值为?
【解析】
【题目】$F_{1}$, $F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的两个焦点，$P$在双曲线上且满足$|PF_{1}| \cdot|PF_{2}|=32$, 则$\angle F_{1} PF_{2}$=?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 px(p>0)$的一条弦$AB$过焦点$F$，且$|AF|=1$ ,$|BF|=\frac{1}{3}$，则抛物线方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y=\frac{1}{8} x^2$的焦点是$F$，点$M$是其准线$l$上一点，线段$M F$交抛物线$C$于点$N$.当$\overrightarrow{M N}=\frac{2}{3} \overrightarrow{M F}$时，$\triangle N O F$的面积是?
【解析】由抛物线的方程可得焦点F坐标及准线方程,因为\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MF},可得N在M,F之间,设NN垂直于准线交于N',由抛物线的性质可得NN'=NF,可得_{\tan}\angleFMN^{'}=\frac{\sqrt{3}}{3},求出直线MF的方程,代入抛物线的方程求出N的横坐标,进而求出ANOF的面积.羊解】由题意抛物线的标准方程为:x^{2}=8y,所以焦点F(0,2),准线方程为y=-2,设NN垂直于准线交于N',如图,由抛物线的性质可得NN'=NF,因为\overrightarrow{MN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MF},可得N在M,F之间,所以MN=2NF=2NN',所以\sin\angleFMN'=\frac{NN'}{MN}=\frac{1}{2},所以_{\tan\angleFMN}=\frac{\sqrt{3}}{3},即直线MF的斜率为\frac{\sqrt{3}}{3},所以直线MF的方程为y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2'将直线MF的方程代入抛物线的方程可得:x^{2}-\frac{8\sqrt{3}}{3}x-16=0'解得x=-\frac{4}{\sqrt{3}}或x=4\sqrt{3}(舍),所以S_{ANOF}=\frac{1}{2}|OF|\cdot|x|=\frac{1}{2}\times2\times\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}
【题目】已知抛物线$x^{2}=8 y$的弦$A B$的中点的纵坐标为$4$，则$|A B|$的最大值为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),因为AB的中点的纵坐标为4,所以y_{1}+y_{2}=8,由三角形性质知|AB|\leqslant|AF|+|BF|=y+y,+4=8+4=12.
【题目】已知点$A(-1,0)$ , $B(1,0)$及抛物线$y^{2}=2 x$，若抛物线上点$P$满足$|P A|=m|P B|$，则$m$的取值范围是?
【解析】设P(\frac{y^{2}}{2},y)由题意可得m^{2}=\frac{|PA|^{2}}{|PB|^{2}}=\frac{(y^{2}+1)+y^{2}}{\frac{y^{2}}{2}-1^{2}+y^{2}}=\frac{y4+4+8y^{2}}{y+4}=1+\frac{8y^{2}}{y^{4+4}}\thereforem^{2}\leqslant1+\frac{8y^{2}}{2\sqrt{4v4}}=3,当且仅当y^{2}=2时,等号成立,又m^{2}=1+\frac{8y^{2}}{y^{4}+4}\geqslant1,当y=0时,等号成立,\therefore1\leqslantm<\sqrt{3},当且仅当y2=2时,m取得最大值,y=0时,m取得最小值,则m的取值范围是[1,\sqrt{3}]
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1$的一条渐近线方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3} x$，则该双曲线的实轴长为?
【解析】由题意可得\begin{cases}\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\\b^{2}=4\end{cases},解得a=2\sqrt{3},则该双曲线的实轴长为2a=4\sqrt{3}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$ ,$ F_{2}$ , $P(3, \frac{\sqrt{10}}{2})$为$C$的右支上一点，且$|P F_{1}|-|P F_{2}|=4$，则$C$的离心率为?
【解析】由题知2a=4,故a=2,又点_{P}(3,\frac{\sqrt{10}}{2})在双曲线上,所以\frac{9}{4}-\frac{10}{b^{2}}=1'解得b^{2}=2,所以e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$，直线$l$:$ax+by-4 a+2 b=0$，则直线$l$与椭圆$C$的公共点有?个
【解析】
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Author: hbghlyj
