高中圆锥曲线问题集

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【题目】已知过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点$F$且倾斜角为$60^{\circ}$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，则线段$A B$的中点到$y$轴的距离是?
【解析】抛物线y^{2}=8x的焦点为F(2,0),设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})由题意可知,直线AB的方程为y=\sqrt{3}(x-2)联立\begin{cases}y2=8x\\y=\sqrt{3}(x-2)\end{cases},消去y并整理得3x^{2}-20x+12=0,由韦达定理可得x_{1}+x_{2}=\frac{20}{3},则线段AB的中点的横坐标为\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{10}{3}因此,线段AB的中点到y轴的距离是\frac{10}{3}
【题目】已知点$P$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$上的动点，点$A(-10,0)$，点$B(10,0)$. 若$|P A|=15$，则$|P B|$=?
【解析】依题意可知,双曲线a=6,b=8,c=\sqrt{36+64}=10.所以A,B是双曲线的左、右焦点,根据双曲线的定义可知||PA|-|PB||=|15-|PB||=2a=12所以|PB|=27或|PB|=3,由于c-a=10-6=4,所以|PB|\geqslant4,因此|PB|=3不符合所以|PB|=27.
【题目】已知抛物线的方程是$y^{2}=8 x$，双曲线的右焦点是抛物线的焦点，离心率为$2$，则双曲线的标准方程是?其渐近线方程是?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=10 x$的焦点到准线的距离是?
【解析】因为2p=10,所以p=5,即焦点到准线的距离是5
【题目】抛物线$y^{2}=-x$的焦点到它的准线的距离等于?
【解析】根据抛物线的焦点到准线的距离等于p,可知所求结果为\frac{1}{2}.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{9}=1$，它的渐近线方程为?
【解析】由题:\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{9}=0,\frac{x^{2}}{36}=\frac{y^{2}}{9},y=\pm\frac{1}{2}x
【题目】设过原点的直线与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$交于$P$、$Q$两个不同点，$F$为$C$的一个焦点，若$\tan \angle P F Q=\frac{4}{3}$ ,$|Q F|=3|P F|$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】设椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$恒过定点$A(1,2)$,则椭圆的中心到准线的距离的最小值?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，准线为$l$, $P$是$l$上一点，$Q$是直线$P F$与$C$的一个交点，若$\overrightarrow{F P}=4 \overrightarrow{F Q}$，则$|Q F|$=?
【解析】如图所示:过点Q作QQ\botl交l于点Q,利用抛物线定义得到|QF|=|QQ|设准线l交x轴于点M,因为\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FO}所以|QQ|:|FM|=|PQ|:|PF|=3:4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QQ|=3.所以|OF|=|OO|=3.b答家为:3
【题目】抛物线$y^{2}=x$上一点$P$到焦点的距离是$2$，则$P$点坐标为?
【解析】由题意得抛物线的准线方程为x=-\frac{1}{4}设点P的坐标为(x_{0},y_{0}),则由抛物线的定义得x_{0}+\frac{1}{4}=2,解得x_{0}=\frac{7}{4}此时y_{0}^{2}=\frac{7}{4},解得y_{0}=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}所以P点坐标为\frac{7}{4},\pm\frac{\sqrt{7}}{2}.答案:\frac{7}{4},\pm\frac{\sqrt{7}}{2}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线的右支上，且$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|=32$，则$\angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$的焦距为$10 \sqrt{5}$，点$P(1,2)$在双曲线$C$的渐近线上，则双曲线$C$的方程为?
【解析】双曲线C:\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1的焦距为10\sqrt{5},可得2c=10\sqrt{5},即c=5\sqrt{5},即有a^{2}+b^{2}=125双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{a}{b}x,点P(1,2)在双曲线C的渐近线上可得a=2b,解得a=10,b=5,得到双曲线方程为\frac{y^{2}}{100}-\frac{x^{2}}{25}=1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的右焦点为$F$，若过点$F$且倾斜角为$60^{\circ}$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】设抛物线的顶点在原点，其焦点$F$在$x$轴上，抛物线上的点$P(2 , k)$与点$F$的距离为$3$，则抛物线方程为?
【解析】由题意可知抛物线开口向右,设抛物线方程为y^{2}=2px,(p>0),其焦点F(\frac{p}{2},0),准线l:x=-\frac{p}{2}.由抛物线的定义可知2-(-\frac{p}{2})=3,解得p=2所以此抛物线方程为v2=4x老点:抽物线的定义方程
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$的左焦点到右准线的距离为$\frac{7 \sqrt{3}}{3}$，中心到准线的距离为$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$，则椭圆的方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}(-c, 0)$, $F_{2}(c, 0)$，若双曲线上存在一点$P$使$\frac{\sin \angle P F_{1} F_{2}}{\sin \angle P F_{2} F_{1}}=\frac{a}{c}$，则该双曲线的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$O$为坐标原点，$A$、$B$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右顶点，$M$是双曲线$C$上不同于$A$、$B$的动点，直线$A M$ , $B M$与$y$轴分别交于点$P$、$Q$两点，则$|O P| \cdot|O Q|$=?
【解析】依题意A(-2,0),B(2,0)设M(x_{0},y_{0}),则\frac{x_{0}^{2}}{4}-\frac{y_{0}^{2}}{3}=1,x_{0}^{2}-4=\frac{4}{3}y_{0}^{2},直线AM的方程为y=\frac{}{x}\frac{y_{0}}{0+2}(x+2),则y_{P}=\frac{2y_{0}}{x_{0}+2}直线BM的方程为y=\frac{y_{0}}{x_{0}-2}(x-2),则y_{0}=\frac{-2y_{0}}{x_{0}-2}所以|OP|\cdot|OQ|=|\frac{4y_{0}}{x_{0}^{2}-4}|=|\frac{4y_{0}^{2}}{3}|=3.
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$上有三个点$A$,$B$,$C$且$A B$,$B C$,$A C$的中点分别为$D$,$E$,$F$，用字母$k$表示斜率，若$k_{O D}+k_{O E}+k_{O F}=-8$(点$O$为坐标原点，且$k_{O D}$ , $k_{O E}$ , $k_{O F}$均不为零)，则$\frac{1}{k_{A B}}+\frac{1}{k_{B C}}+\frac{1}{k_{A C}}$=?
【解析】
【题目】椭圆$7 x^{2}+3 y^{2}=21$上一点到两个焦点的距离之和为?
【解析】依题意,椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{7}=1,故a=\sqrt{7},2a=2\sqrt{7}.
【题目】若焦点在$x$轴上的双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{3}{2} x$，虚轴长为$6$，则实轴长为?
【解析】焦点在x轴上的双曲线的方程设为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)由渐近线方程为y=\pm\frac{3}{2}x,可得\frac{b}{a}=\frac{3}{2},即2b=3a,虚轴长为6,即2b=6,b=3,可得a=2,则实轴长为4.
【题目】已知直线$l_{1}$, $l_{2}$过坐标原点且斜率均大于$0$ , $l_{2}$的倾斜角是$l_{1}$的两倍，$l_{2}$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线，过$C$的右焦点$F$作$l_{1}$的垂线，垂足为$M$若$M$恰好在$C$上，则$C$的离心率为?
【解析】延长FM交l_{2}于点N,因为l_{2}的倾斜角是l_{1}的两倍,所以l_{1}是l_{2}与x轴夹角的角平分线,因此FM=MN,所以OF=ON=c,因为l_{2}是双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线所以可得l_{2}的方程为:y=\frac{b}{a}x,所以可得N(a,b),又F(c,0),所以M(\frac{a+c}{2},\frac{b}{2})因为若M恰好在C上,所以\frac{(\frac{a+c)^{2}}{a^{2}}.\frac{(b)^{2}}{b^{2}}=1'整理得:c^{2}+2ac-4a^{2}=0,故e^{2}+2e-4=0,解得e=-1\pm\sqrt{5},因为e>1,所以e=\sqrt{5}-1即答案为\sqrt{5}-1
【题目】若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线$3 x-4 y-12=0$上，则抛物线方程为?
【解析】直线3x-4y-12=0与两坐标轴的交点坐标为(4,0),(0,-3),即抛物线的焦点为(4,0)或(0,-3);当焦点为(4,0)时,抛物线方程为y^{2}=16x;当焦点为(0,-3)时,抛物线方程为x^{2}=-12y;所以抛物线方程为y^{2}=16x或x^{2}=-12y
【题目】抛物线$x^{2}=-y$的焦点到准线的距离是?
【解析】由题意,抛物线的焦点为(0,-\frac{1}{4}),准线为y=\frac{1}{4}\therefore焦点到准线的距离是\frac{1}{2}
【题目】椭圆$C$的中心在坐标原点，左、右焦点$F_{1}$, $F_{2}$在$x$轴上，已 知$A$、$B$分别是椭圆的上顶点和右顶点，$P$是椭圆上一点，且$PF_{1} \perp x$轴，$PF_{2} \| AB$，则此椭圆的离心率为?
【解析】由题意设A(0,b),B(a,0),P(-c,t),则|PF_{1}|=|t|=\sqrt{(1-\frac{c^{2}}{a^{2}})}b=\frac{b^{2}}{a},所以k_{AB}=-\frac{b}{a}=-\frac{|PF_{1}|}{|F_{F}|}=-\frac{b^{2}}{2ac},即b=2c,也即a^{2}-c^{2}=4c^{2}\Rightarrowa=\sqrt{5}c,所以e=\frac{\sqrt{5}}{5},应填答案\frac{\sqrt{5}}{5}.
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别为$A_{1}$、$A_{2}$，点$P$在$C$上且直线$P A_{2}$斜率的取值范围是$[-2,-1]$，那么直线$P A_{1}$斜率的取值范围是?
【解析】由题意作图如下:A_{1}(-2,0),A_{2}(2,0),当PA_{2}的斜率为-2时,点P与D重合直线PA_{2}的方程为y=-2(x-2)代入椭圆方程,消去y化简得19x^{2}-64x+52=0,解得x=2或x=\frac{26}{19},可得点D(\frac{26}{19},\frac{24}{19})此时直线PA_{1}的斜率k=\frac{\frac{24}{19}}{\frac{26}{19}+2}=\frac{3}{8}同理,当直线PA_{2}的斜率为-1时,点P与C重合直线PA_{2}的方程为y=-(x-2),代入椭圆方程,消去y化简得7x^{2}-16x+4=0,解得x=2或x=\frac{2}{7}可得点C(\frac{2}{7},\frac{12}{7})此时直线PA_{1}的斜率k=\frac{\frac{12}{7}}{\frac{2}{7}+2}=\frac{3}{4},数形结合可知,直线PA_{1}斜率的取值范围是[\frac{3}{8},\frac{3}{4}];
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的两个焦点，$P$为椭圆$C$上一点，且$P F_{1} \perp P F_{2}$，若$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为$9$，则$b$=?
【解析】设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n因为PF_{1}\botPF_{2},所以\begin{cases}m2+n^{2}=4c^{2}\\m+n=2a\end{cases},所以2mn=(m+n)^{2}-(m^{2}+n^{2})=4a^{2}-4c^{2}=4b^{2}mn=2b^{2},又S_{\trianglePF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}mn=9,所以2b^{2}=18,b^{2}=9,b=3.
【题目】设抛物线的焦点坐标为$(1 , 0)$，则此抛物线的标准方程为?
【解析】因为焦点为(1,0),所以设抛物线标准方程为:y^{2}=2px(p>0)由焦点坐标可知:\frac{p}{2}=1,所以p=2,所以抛物线标准方程为:y^{2}=4x
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1$的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{2}$，它的两条渐近线与圆$(x-6)^{2}+y^{2}=r^{2}  (r>0)$都相切，则$r$=?
【解析】
【题目】抛物线的焦点恰巧是椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$的右焦点，则抛物线的标准方程为?
【解析】求得椭圆的a,b,c,可得右焦点,设出抛物线的方程,可得焦点坐标,解方程可得p进而得到所求方程.椭圆\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1的a=\sqrt{6},b=\sqrt{2},c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2,可得右焦点为(2,0)设抛物线的方程为y^{2}=2px,p>0,焦点为(\frac{p}{2},0),可得\frac{p}{2}=2,解得p=4,故抛物线的标准方程为y^{2}=8x
【题目】设圆$C$:$(x-1)^{2}+y^{2}=1$，过原点$O$作圆的任意弦，则所作弦的中点的轨迹方程为?
【解析】\because\angleOPC=90^{\circ},动点P在以M(\frac{1}{2},0)为圆心,OC为直径的圆上,\therefore所求点的轨迹方程为(x-\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}(0<x\leqslant1.
【题目】过原点的直线与圆$x^{2}+y^{2}+6 y+5=0$相交于$A $, $B$两点，则弦$AB$中点$M$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】设双曲线$C$经过点$(2,2)$，且与$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$具有相同渐近线，则$C$的方程为? 渐近线方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的右焦点为$F$，左、右顶点为$A$ , $B$ ,过$F$作$A B$的垂线与双曲线交于$M$、$N$两点，若$A M \perp B N$，则该双曲线的渐近线为?
【解析】由\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1可得c=\sqrt{a^{2}+1},A(-a,0),B(a,0)将x=\sqrt{a^{2}+1}代入\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1可得y=\pm\frac{1}{a},所以M(\sqrt{a^{2}+1},\frac{1}{a}),N(\sqrt{a^{2}+1},-\frac{1}{a}),因为AM\botBN,所以k_{AM}k_{BN}=\frac{\frac{1}{a}}{\sqrt{a2+1}+a}又因为a>0,\thereforea=1,所以该双曲线的渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x'即为y=\pmx,
【题目】$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为其左，右焦点，则$\Delta P F_{1} F_{2}$周长为?
【解析】
【题目】若椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$经过点$P(0, \sqrt{3})$，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则$a$=?
【解析】由椭圆C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)经过点P(0,\sqrt{3}),即b=\sqrt{3},又椭圆的长轴长是焦距的两倍即2a=2\cdot2c\Rightarrowa=2c\thereforea^{2}=b^{2}+c^{2}\Rightarrowa^{2}=4\Rightarrowa=2
【题目】已知圆$C_{1}$: $x^{2}+(y+3)^{2}=9$和圆$C_{2}$: $x^{2}+(y-3)^{2}=1$，动圆$M$同时与圆$C_{1}$及圆$C_{2}$外切，则动圆的圆心$M$的轨迹方程为?
【解析】根据动圆M同时与圆C_{1}及圆C_{2}外切,即可得到几何关系,再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程[详解]由题,设动圆M的半径为r,圆C_{1}的半径为r_{1}=3,圆C_{2}的半径为r_{2}=1,当动圆M与圆C_{1},圆C_{2}外切时,|MC_{1}|=3+r,|MC_{2}|=1+r所以|MC_{1}|-|MC_{2}|=(3+r)-(1+r)=2,因为圆心C_{1}(0,-3),C_{2}(0,3),即|C_{1}C_{2}|=6,又2<|C_{1}C_{2}|根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的上支,其中a=1,c=3.所以b^{2}=c^{2}-a^{2}=8,则动圆圆心M的轨迹方程是y2-\frac{x^{2}}{8}=1(y\geqslant1);
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$M$在双曲线$C$上，若$|M O|=|O F_{1}|$，且$\triangle M O F_{1}$的面积为$2 a b$，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】不妨设点M在双曲线右支上,依题意,|MO|=|OF_{1}|=|OF_{2}|.故\angleF_{1}MF_{2}=90^{\circ}因为S_{\triangleMOF_{1}}=2ab,则S_{\triangleMF_{1}F_{2}}=4ab,设|MF_{1}|=m,|MF_{2}|=n,所以\frac{1}{2}mn=4ab,\thereforemn=8ab所以m-n=2a,m^{2}+n^{2}=4c^{2},所以(m-n)^{2}+2mn=4(a^{2}+b^{2})所以4a^{2}+16ab=4(a^{2}+b^{2})则\frac{b}{a}=4,故双曲线C的渐近线方程为y=\pm4x.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点为$F$，直线$x=m$与椭圆相交于点$A$、$B$，当$\triangle F A B$的周长最大时，$\triangle F A B$的面积是?
【解析】设椭圆的右焦点为E.如图:由椭圆的定义得:AFAB的周长:AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE;\becauseAE+BE\geqslantAB;\thereforeAB-AE-BE\leqslant0,当AB过点E时取等号;\thereforeAB+AF+BF=4a+AB-AE-BE\leqslant4a;即直线x=m过椭圆的右焦点E时AFAB的周长最大此时AFAB的高为:EF=2.此时直线x=m=c=1;把x=1代入椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1的方程得:y=\pm\frac{3}{2}\thereforeAB=3.所以:AFAB的面积等于:S_{AFAB}=\frac{1}{2}\times3\timesEF=\frac{1}{2}\times3\times2=3.
【题目】双曲线$4 x^{2}-y^{2}=1$的一条渐近线与直线$t x+y+1=0$垂直，则$t$=?
【解析】
【题目】已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为$5$，则该抛物线的标准方程为?
【解析】设抛物线的方程为y^{2}=2px,因抛物线的焦点到顶点的距离为5.故|\frac{p}{2}|=5,所以p=\pm10,所以抛物线的标准方程y^{2}=20x或y^{2}=-20x填y_{2}=20x或y2=-20x青】木颗老杳抛物线标准方程的求法,属于其码题
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$上一点$M$到焦点的距离为$3$，则点$M$的横坐标$x$=?
【解析】由题意得抛物线y^{2}=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的定义可知MF=x+1=3,解得x=2
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$上，则双曲线的离心率为?
【解析】不妨设双曲线的一个焦点为(c,0),(c>0),一条渐近线方程为y=\frac{b}{a}x^{,}由\begin{cases}y-0=-\frac{a}{b}(x-c)\\y=\frac{b}{a}x\end{cases}得垂足的坐标为(\frac{a2}{c},\frac{ab}{c}),把此点坐标代入方程\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,得\frac{a^{4}}{b^{2}c^{2}}+\frac{a}{a}\frac{a}{a2c}=1,化简,并由c^{2}=a^{2}+b^{2}得a=b,c=\sqrt{2}a,\thereforee=\frac{c}{a}=\sqrt{2},
【题目】抛物线$y^{2}=-2 p x(p>0)$的弦$A B$过其焦点，且垂直于它的对称轴，$O$为原点，若$\triangle A O B$的面积为$3$，则抛物线方程为?
【解析】抛物线y^{2}=-2px(p>0)的焦点坐标为(-\frac{p}{2},0)由题意,不妨设A(-\frac{p}{2},p),B(-\frac{p}{2},-p),则|AB|=2p所以S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|\cdot|OF|=\frac{1}{2}\cdot2p\cdot\frac{p}{2}=3,解得p=\sqrt{6},所以抛物线的方程为v2=-2\sqrt{6}x.
【题目】已知点$F$是抛物线$y=2 x^{2}$的焦点，$M$，$N$是该抛物线上的两点，若$|M F|+|N F|=\frac{17}{4}$，则线段$M N$中点的纵坐标为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{3}=1(m>3)$的一个焦点为$F$，椭圆上一点$P$到焦点$F$的最大距离是$3$，则椭圆的离心率为?
【解析】由\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{3}=1(m>3)可得a^{2}=m,b^{2}=3,c^{2}=m-3,即a=\sqrt{m},b=\sqrt{3},c=\sqrt{m-3}因为椭圆上一点P到焦点F的最大距离是3所以a+c=\sqrt{m}+\sqrt{m-3}=3,解得m=4所以椭圆的离心率为\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{m-3}}{\sqrt{m}}=\frac{1}{2}
【题目】若实数$x$ , $y$满足方程$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1$，则$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}$的取值范围为?
【解析】由题可知,\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\overline{x}示为椭圆上的点P(x,y)到点A(1,0),上焦点F_{2}(0,3)的距离之和,设其椭圆的下焦点为F_{1}(0,-3),再由椭圆定义转化为求解10+|PA|-|PF_{1}|的范围.\sqrt{(x-1}2+y^{2}+\sqrt{}2可表示为椭圆上的点P(x,y)到点A(1,0),上焦点F_{2}(0,3)的距离之和,即\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y-3)^{2}}=|PA|+|PF_{2}|,设其椭圆的下焦点为F_{1}(0,-3)又由椭圆定义得|PF_{1}|+|PF_{2}|=10,所以|PA|+|PF_{2}|=10+|PA|-|PF_{1}|又||PA|-|PF_{1}||\leqslant|AF_{1}|=\sqrt{10},所以-\sqrt{10}\leqslant|PA|-|PF_{1}|\leqslant\sqrt{10}故10-\sqrt{10\leqslant}|PA|+|PF_{2}|\leqslant10+\sqrt{10}
【题目】过点$M(0,1)$的直线$l$交椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$于$A$、$B$两点，$F_{1}$为椭圆的左焦点，当$\triangle A B F_{1}$周长最大时，直线$l$的方程为?
【解析】设右焦点为F_{2}(1,0),则|AF_{1}|=4-|AF_{2}|,|BF_{1}|=4-|BF_{2}|,所以|AF_{1}|+|BF_{1}|+|AB|==8+|AB|-(|AF_{2}|+|BF_{2}|),显然|AF_{2}|+|BF_{2}|\geqslant|AB|,当且仅当A,B,F_{2}共线时等号成立所以当直线l过点F_{2}时,AABF_{1}的周长取最大值8,此时直线方程为y=-x+1,即x+y-1=0
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，设线段$P F_{1}$的中点为$M$ ,且$|O F_{2}|=|O M| $,则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】由余弦定理,结合椭圆的定义,可求得|PF_{2}||PF_{1}||F_{1}F_{2}|,再用余弦定理和面积公式求解即可由题意可得a=3,b=\sqrt{5},c=\sqrt{9-5}=2.因为O,M分别是F_{1}F_{2}和F_{1}P的中点,所以,|PF_{2}|=2|OM|=2|OF|_{2}=2c=4,根据椭圆定义,可得|PF_{1}|=2a-2c=2,又因》3F_{1}F_{2}=2c=4,所以,\cos\anglePF_{2}F_{1}=\frac{|PF|_{2}^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}-|PF_{1}|^{2}}{\sqrt[2]{PF|_{2}\cdot|F_{1}F|_{2}^{2}}}=\frac{16+16-4}{2\times4\times4}=\frac{7}{8},所以.\sin\anglePF_{F}_{1}=\sqrt{1-\cos^{2}\anglePF_{2}F_{1}=\frac{\sqrt{15}}{8},故\trianglePF_{1}F_{2}的面积是\frac{1}{2}|PF_{2}|\cdot|F_{1}F_{2}|\cdot\sin\anglePF_{2}F_{1}=\sqrt{15}
【题目】若点$P$是抛物线$x^{2}=8 y$上的动点，则点$P$到点$A(4,0)$的距离与到直线$y=-2$的距离之和的最小值是?
【解析】抛物线x^{2}=8y的焦点F(0,2),准线方程为y=-2抛物线x^{2}=8y上动点P到直线y=-2的距离即动点P到焦点F(0,2)的距离,故点P到点A(4,0)的距离与到直线y=-2的距离之和的最小值为|FA|=2\sqrt{5}
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{10-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1$表示椭圆，则实数$k$的取值范围是?
【解析】由\frac{x2}{10-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1表示椭圆,根据椭圆的标准方;因为\frac{x^{2}}{10-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1表示椭圆,则\begin{cases}10-k>0\\k-4>0\\10-k+k-4\end{cases}得k\in(4,7)\cup(7,10)
【题目】过抛物线$C$: $x^{2}=4 y$的焦点$F$的直线$l$交$C$于$A$、$B$两点，在点$A$处的切线与$x$, $y$轴分别交于点$M$、$N$，若$\Delta M O N$的面积为$\frac{1}{2}$，则$|A F|$=?
【解析】由题意,焦点F(0,1),设直线y=kx+1,不妨设A为左交点,A(x_{0},y_{0}),则过A的切线为x_{0}x=2y_{0}+2y,则M(\frac{x_{0}}{2},0),N(0,-y_{0}),所以S=\frac{1}{2}\cdot\frac{x_{0}}{2}\cdot(-y_{0})=\frac{1}{2},解得x_{0}=-2,则A(-2,1),根据抛物线的定义可得|AF|=1+\frac{p}{2}=1+1=2
【题目】已知圆$C$: $x^{2}+(y-2)^{2}=26$及定点$A(0,-2)$，点$P$、$Q$为圆$C$上两动点，点$M$为弦$P Q$的中点，若$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A Q}=0$，则点$M$到点$N(3,4)$的距离的最大值为?
【解析】由题知圆C:x^{2}+(y-2)^{2}=26圆心C为(0,2),半径R=\sqrt{26}设M(x_{0},y_{0})\because\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}=0,\thereforeAP\botAQ,又点M为弦PQ的中点,\therefore在Rt\DeltaAPQ中,PM=AM又CM\botPQ,\thereforeCM^{2}+PM^{2}=CM^{2}+AM^{2}=CP^{2}=R^{2}=26\therefore(x_{0}-0)^{2}+(y_{0}-2)^{2}+(x_{0}-0)^{2}+(y_{0}+2)^{2}=26即x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=9\therefore点M在以O(0,0)为圆心,3为半径的圆上,\therefore点M到点N(3,4)的距离的最大值为:|ON|+3=\sqrt{3^{2}+4^{2}}+3=8.
【题目】方程$\frac{x^{2}}{k}-\frac{y^{2}}{2-k^{2}}=1$表示椭圆，则实数$k$的取值范围是?
【解析】原方程可化为\frac{x^{2}}{k}+\frac{y^{2}}{k^{2}-2}=1,依题意可得\begin{cases}k>0\\k^{2}-2>0\\k^{2}-2\neqk\end{cases}解得k\in(\sqrt{2},2)\cup(2,+\infty)
【题目】焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1$的焦距是$2$，则$m$的值是?
【解析】由题意可知,2c=2,即c=1,由椭圆的性质可知:m=b^{2}+c^{2}.即m=4+1=5,
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$作倾斜角为$45^{\circ}$的弦$A B$，则$A B$的弦长为?
【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题,可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程,然后再将直线方程与抛物线方程联立,并结合韦达定理,即可求得结果.由于抛物线的焦点是F(1,0),所以直线方程是y=x-1,联立消y得x^{2}-6x+1=0,所以|AB|=x_{1}+x_{2}+p=6+2=8,故答案应填8.
【题目】$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{81}=1$上任意一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是它的左、右焦点，且$|P F_{1}|=9$，则$|P F_{2}|$=?
【解析】根据题意,双曲线\frac{x2}{16}-\frac{y^{2}}{81}=1,其中a=4,c=\sqrt{97},又由P是双曲线上一点,则有|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=8,又由|PF_{1}|=9,则|PF_{2}|=1<c-a=\sqrt{97}-4(舍去)或17,
【题目】已知点$P(1,0)$到双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0 , b>0)$的一条渐近线的距离为$\frac{1}{2}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】已知直线$l_{1}$过点$P(1,4)$且与$x$轴交于$A$点，直线$l_{2}$过点$Q(3,-1)$且与$y$轴交于$B$点，若$l_{1} \perp l_{2}$，且$\overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{M B}$，则点$M$的轨迹方程为?
【解析】设M(x,y).(1)若1,不存在斜率,则:1_{1}垂直x轴,1_{2}垂直y轴;\becauseA(1,0),B(0,-1);(1)=2(-x,-1-y);-2x即M(\frac{1}{3},\frac{2}{3})(2)若l_{1}斜率为k,l_{2}斜率为-\frac{1}{k},则:l_{1}:y-4=k(x-1),令y=0,x=-\frac{4}{k}+1.\thereforeA(-\frac{4}{k}+1,0);l_{2}:y+1=-\frac{1}{k}(x-3),令x=0,y=\frac{3}{k}-1;\thereforeB(0,\frac{3}{k}-1);\frac{\sqrt{b}}{1}=\frac{k}{AM}=2\overrightarrow{MB}得,(x+\frac{4}{k}-1,y)=2(-x,\frac{3}{k}-1-y)x+\frac{4}{k}-1=-2x\begin{cases}\\y=\frac{6}{k}-2-2y\end{cases}\therefore消去k并整理得:9x+6y+1=0;点M(\frac{1}{3},-\frac{2}{3})满足方程9x+6y+1=0;综(1)(2)知,点M的轨迹方程为9x+6y+1=0.
【题目】已知圆$C$:$(x-3)^{2}+y^{2}=4$，点$M$在抛物线$T$: $y^{2}=4 x$上运动，过点$M$引直线$l_{1}$ , $l_{2}$与圆$C$相切，切点分别为$P$、$Q$，则$|P Q|$的取值范围为?
【解析】如图,连接CP,CQ,CM,依题意,CP\botMP,CQ\botMQ,而|CP|=|CQ|=2而|MP|=|MQ|,则CM垂直平分线段PQ,于是得四边形MPCQ的的面积为Rt\triangleCPIM面积的2倍从而得\frac{1}{2}|PQ|\cdot|CM|=2\cdot\frac{1}{2}|cP|\cdot|MP|,即|PQ|=\frac{2|CP|\cdot|MP|}{|CM|}=\frac{4\sqrt{|CM|^{2}-|CP|}}{|CM|}=4\sqrt{1-\frac{4}{|cM|}}设点M(t,s),而C(3,0),s^{2}=4t(t\geqslant0),则|CM|^{2}=(t-3)^{2}+s^{2}=t^{2}-2t+9=(t-1)^{2}+8\geqslant8因此得0<\frac{1}{|CM|}^{2}\leqslant\frac{1}{2},即\frac{1}{2}\leqslant1-\frac{1}{|CM|}<1,得2\sqrt{2}\leqslant|PQ|<4,所以|PQ|的取值范围为[2\sqrt{2},4).
【题目】已知直线$y=x-1$交抛物线$y^{2}=4 x$于$A$、$B$两点，点$O$为坐标原点，那么$\triangle O A B$的面积是?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0)在直线y=x-1上,联立方程:\begin{cases}y^{2}=4x\\y=x-1\end{cases},故y^{2}-4y-4=0,解得y_{1}=2+2\sqrt{2},y_{2}=2-2\sqrt{2}S_{\DeltaAOB}=S_{\DeltaOFA}+S_{\DeltaOFB}=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y_{1}-y_{2}|=\frac{1}{2}\times1\times4\sqrt{2}=2\sqrt{2}
【题目】已知椭圆$E$的顶点是$A(-1,0)$ , $B(1,0)$，若过其焦点$F(0,1)$的直线$l$与椭圆交于$C$、$D$两点，并与$x$轴交于点$P$($P$异于点$A$,$B$)，直线$A C$与$B D$交于点$Q$，则$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}$=?
【解析】先由题求出椭圆方程,设出直线方程,联立直线与椭圆,得出韦达定理,表示出坐标之间的关系,再代入\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}计算.由题可知椭圆焦点在y轴上,且c=1,b=1,\thereforea^{2}=b^{2}+c^{2}=2'\therefore椭圆方程为x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1'可知当直线l斜率不存在时,不符合题意,设直线l的方程为y=kx+1,由于P异于点A,B,\thereforek\neq\pm1,则可得P(-\frac{1}{k},0),设C(x_{1},y_{1}),D(x_{2},y_{2}),联立直线与椭圆\begin{cases}y=kx+1\\x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases},可得(2+k^{2})x^{2}+2kx-1=0,\thereforex_{1}+x_{2}=-\frac{2k}{2+k^{2}},x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2+k^{2}},直线AC的方程为y=\frac{y_{1}}{x_{1}+1}(x+1),直线BD的方程为y=\frac{y_{2}}{x_{2}-1}(x-1),联立直线AC和BD方程可得\frac{x+1}{x-1}=\frac{y_{2}(x_{1}+1)}{y_{1}(x_{2}-1)}\because-1<x_{1},x_{2}<1,\therefore\frac{x+1}{x-1}与\frac{y_{2}}{y_{1}}异号,(\frac{x+1}{x-1})^{2}=\frac{y_{2}^{2}(x_{1}+1)^{2}}{y_{1}^{2}(x_{2}-1)^{2}}=\frac{2-2x_{2}^{2}}{2-2x_{1}^{2}}.\frac{(x_{1}+1)^{2}}{(x_{2}-1)}=\frac{(1+x_{1})(1+x_{2})}{(1-x_{1})(1-x_{2})}=\frac{1+\frac{k^{2}k}{+2}}{1-\frac{-2k}{k^{2}+2}}\frac{2}{-1}=(\frac{k-1}{k+1})又y_{1}y_{2}=k^{2}x_{1}x_{2}+k(x_{1}+x_{2})+1=\frac{2(}{}\frac{(1-}{k}\frac{k)(1}{2+2}\frac{+k)}{}=-\frac{2(1+k)^{2}}{k^{2}+2}\cdot\frac{k-1}{k+1}所以\frac{k-1}{k+1}与y_{1}y_{2}异号,则\frac{x+1}{x-1}与\frac{k-1}{k+1}同号,所以\frac{x+1}{x-1}=\frac{k-1}{k+1},解得x=-k,故Q(-k,y_{0})则\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=(-\frac{1}{k},0)\cdot(-k,y_{0})=1.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆上一点，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】因为椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1的左右焦点分别为F_{1},F_{2},P为椭圆上一点所以|PF_{1}|+|PF_{2}|=10,|F_{1}F_{2}|=8,又\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ}在\triangleF_{1}PF_{2}由余弦定理可知,|F_{1}F_{2}|=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos60^{\circ}=(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos60^{\circ}=(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}-3|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=100-3|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=64,所以|PF_{1}|.|PF_{2}|=12,所以S\trianglePF_{1}F_{2}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\sin60^{\circ}=3\sqrt{3}
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$焦点作斜率为$-2$的直线交抛物线于$A$ , $B$两点，则$|AB|$=?
【解析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标,进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立,消去y,根据韦达定理求得x_{1}+x_{2}的值,进而根据抛物线的定义可知|AB|=x_{1}+\frac{p}{2}+x_{2}+\frac{p}{2}=x_{1}+x_{2}+p得答案.抛物线焦点为(1,0)则直线方程为y=-2x+2,代入抛物线方程得x^{2}\cdot3x+1=0\thereforex_{1}+x_{2}=3,根据抛物线的定义可知|AB|=x_{1}+\frac{p}{2}+x_{2}+\frac{p}{2}=x_{1}+x_{2}+p=3+2=5
【题目】$AB$是过抛物线$y^{2}=2 x$的焦点$F$的弦，且$|AB|=4$，则$AB$的中点$C$到直线$x+\frac{1}{2}=0$的距离为?
【解析】
【题目】已知点$P$为抛物线$y^{2}=8 x$上一点，设$P$到此抛物线的准线的距离为$d_{1}$，到直线$4 x+3 y+8=0$的距离为$d_{2}$，则$d_{1}+d_{2}$的最小值为?
【解析】y^{2}=8x的焦点F(2,0),由抛物线定义可知P到此抛物线的准线的距离为d_{1}=PF,所以d_{1}+d_{2}的最小值为F到直线4x+3y+8=0的距离\therefored=\frac{|8+8|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=\frac{16}{5}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$2$，右焦点与抛物线$y^{2}=16 x$的焦点重合，则双曲线$C$的顶点到渐近线的距离为?
【解析】求出抛物线的焦点,可得双曲线的c,运用离心率公式可得a,再由a,b,c的关系,求得b,求出顶点到渐近线的距离,即可得到所求值.抛物线y^{2}=16x的焦点为(4,0),则双曲线的c=4,双曲线的离心率等于2,即\frac{c}{a}=2,可得a=2,b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=2\sqrt{3},则双曲线的渐近线方程为v=\pm\sqrt{3}x,顶点坐标为(\pm2,0)可得双曲线的顶点到其渐近线的难l=\frac{2\sqrt{3}}{11+3}=\sqrt{3},
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线为$l$ , $l$与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的渐近线分别交于$A$, $B$两点. 若$|AB|=4$，则$p$=?
【解析】抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线为1:x=-\frac{p}{2}双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的两条渐近线方程为y=\pm\frac{1}{2}x可得A(-\frac{p}{2},-\frac{p}{4}),B(-\frac{p}{2},\frac{p}{4})由|AB|=\frac{p}{2}=4,得p=8.
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=8 y$的准线与$y$轴交于点$A$，焦点为$F$，点$P$是抛物线$C$上任意一点，令$t=\frac{|P A|}{|P F|}$，当$t$取得最大值时，直线$P A$的斜率是?
【解析】由题意知A(0,-2),F(0,2),过点P作PB\botl(l为抛物线的准线),垂足为B由抛物线的定义可知|PF|=|PB|.令\anglePAB=\alpha,则t=\frac{|PA|}{|PF|}=\frac{|PA|}{|PB|}=\frac{1}{\sin\alpha}当\sina最小时,t最大,当直线PA与抛物线x^{2}=8y相切时,\sin\alpha最小,即t最大设P(x_{0},\frac{x_{0}^{2}}{8}),由于y=\frac{x}{4},所以在点P处切线的斜率k=\frac{x_{0}}{4}所以在点P处的切线方程为y-\frac{x^{2}}{8}=\frac{x_{0}}{4}(x-x_{0}),又切线过A(0,-2),所以-2-\frac{x^{2}}{8}=-\frac{x^{2}}{4},解得x_{0}=\pm4,所以当t取得最大值时,直线PA的斜率为\pm1.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$上的点$P$到点$(5,0)$的距离为$8.5$，则点$P$到点$(-5,0)$的距离为?
【解析】设双曲线的两个焦点分别为F_{1}(-5,0),F_{2}(5,0)由双曲线的定义知||PF_{1}|-|PF_{2}||=8,|PF_{2}|=8.5\therefore|PF_{1}|=16.5或|PF_{1}|=0.5.由题意知,双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1\therefore|PF_{1}|=0.5不合题意,即只能取\therefore|PF_{1}|=16.5.
【题目】直线$y=k(x-1)$与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A$、$B$两点.若$|A B|=\frac{16}{3}$, 则$k$=?
【解析】由\begin{cases}y=k(x-1)\\y^{2}=4x\end{cases}消去y,整理得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,\because直线与抛物线交于A,B两点,\therefore\begin{cases}\\\end{cases}=(2k^{2}+4_{1}^{2}-\angle4k^{4}>0,解得k\neq0设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}.\because|AB|=x_{1}+x_{2}+2=\frac{16}{3},\thereforex_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}=\frac{10}{3}\thereforek^{2}=3,k=\pm\sqrt{3}.检验知k=+\sqrt{3}满足条件
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的准线与$x$轴相交于点$P$，过点$P$作斜率$k(k>0)$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，$F$为抛物线的焦点，若$|F A|=3|F B|$，则直线$A B$的斜率$k$=?
【解析】联立直线AB方程和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式,可解得A或B的坐标,根据过两点的斜率计算公式即可求k.[详解]由题可知P(-1,0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})由已知|FA|=3|FB|得,x_{1}+1=3(x_{2}+1),即x_{1}=3x_{2}+2\textcircled{1}AB的方程:y=kx+k,与y^{2}=4x联立得:k^{2}x^{2}+(2k^{2}-4)x+k^{2}=0,则x_{1}x_{2}=1\textcircled{2},由\textcircled{1}\textcircled{2}解得x_{2}=\frac{1}{3},x_{1}=3,将x_{1}=3代入y^{2}=4x,由k>0知y_{1}>0,解得A(3,2\sqrt{3})\thereforek=\frac{2\sqrt{3}-0}{3-(-1)}=\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】设抛物线$y^{2}=8 x$的焦点与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的右焦点重合，则$b$=?
【解析】由题意可知:抛物线的焦点坐标为(2,0).在双曲线中:a^{2}=1,c^{2}=2^{2}=4,b^{2}=c^{2}-a^{2}=3\Rightarrowb=\sqrt{3}
【题目】以双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是?
【解析】
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F_{2}$，直线$l$过点$F_{2}$且与双曲线$C$右支交于$A$、$B$两点.若弦长$|A B|=5 a$，且$2|B F_{2}|=3|A F_{2}|$，则该双曲线的离心率为?
【解析】依题意得|AF_{1}|=4a,|BF_{1}|=5a,则\cos\angleF_{1}AB=\frac{2}{5},在AAF_{1}F_{2}中由余弦定理可得a,c的关系即可得离心率.如图所示:所以AF_{2}|=2a令左焦点为F_{1},由则双曲线的定义|AF_{1}|=4a,|BF_{1}|=5a则AABF是等腰三角形,\cos\angleF_{1}AB=\frac{2}{5}在AAF_{1}F_{2}中|F_{1}F_{2}|=2c,由余弦定理可得4c^{2}=(2a)^{2}+(4a)^{2}-2\times2a\times4a\times\cos\angleF_{1}AB整理可得\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{85}}{5}该双曲线的离心率为\underline{\sqrt{85}}
【题目】已知$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{8}=1$右支上一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线的左、右焦点，$O$为坐标原点，点$M$、$N$满足$\overrightarrow{F_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P M}(\lambda>0)$, $\overrightarrow{P N}=\mu(\frac{\overrightarrow{P M}}{| \overrightarrow{P M}|}+\frac{\overrightarrow{P F_{2}}}{| \overrightarrow{P F_{2}|}})$, $\overrightarrow{P N} \cdot \overrightarrow{F_{2} N}=0$，若$|\overrightarrow{P F_{2}}|=4$. 则以$O$为圆心，$O N$为半径的圆的面积为?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦距为$2 \sqrt{6}$，一条渐近线为$l$，且点$(1,0)$到$l$的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则双曲线的方程为?
【解析】分析】根据题中数据可先求得半焦距c,依据点(1,0)在双曲线的对称轴上,选用双曲线的任一渐近线方程结合点到直线的距离公式,即可得出a,b的关系,进而求解双曲线的方程根据题意,双曲线的半焦距c=\sqrt{6},且点(1,0)到双曲线的两渐近线的距离相等所以可选直线l的方程为bx-ay=0,则\frac{b}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=\frac{b}{c}=\frac{b}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}得b=2,所以a^{2}=c^{2}-b^{2}=2;所以双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{2}.\frac{y^{2}}{4}=1.
【题目】已知定点$M(2,0)$ , $N(-2,0)$ , $P$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$上的动点，则$\frac{9}{|P M|}+\frac{1}{|P N|}$的的最小值为?
【解析】斤);根据椭圆的定义可知|PM|+|PN|=6,化简(\frac{9}{|PM|}+\frac{1}{|PN|})\cdot\frac{|PM|+|PN|}{6}并结合基本不等式可求\frac{9}{|PM|}+\frac{1}{|PN|}的的最小值.由题可知:点M(-2,0)N(2,0)是椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1的焦点,所以|PM|+|PN|=2a=6所以\frac{9}{|PM|}+\frac{1}{|PN|}\overset\rightarrowM|+|PN|+\frac{|+|PN|}{|PN|}=\frac{10}{6}+\frac{3|PN|}{2|PM|}+\frac{|PM|}{6|PN|}\geqslant\frac{5}{3}+2\sqrt{\frac{3|PN|}{2|PM|}\cdot\frac{|PM|}{6|PN|}=\frac{8}{3},当且仅当\frac{DM|}{PN|}时等号成立,即3|PN|=|PM|时等号成立+\frac{1}{1PN}的最小值为\frac{8}{2},
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$中，以点$M(-1 , 2)$为中点的弦所在直线方程是?
【解析】
【题目】直线$l$经过抛物线$C$: $y^{2}=12 x$的焦点$F$，且与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，弦$A B$的长为$16$，则直线$l$的倾斜角等于?
【解析】求出抛物线的焦点坐标,写出直线方程,与抛物线方程联立,利用弦长公式,转化求解直线的斜率,得到倾斜角.直线l经过抛物线C:y^{2}=12x的焦点F(3,0).若直线/斜率不存在,则弦长为12不合题意,故直线l斜率存在,设为k,直线l方程为:y=k(x-3),且与抛物线C交于A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})两点可得k^{2}(x-3)^{2}=12x,即k^{2}x^{2}-(6k^{2}+12)x+9k^{2}=0可得x_{1}+x_{2}=\frac{6k^{2}+12}{k^{2}},弦AB的长为16,即\frac{6k^{2}+12}{k^{2}}+6=16,解得k=\pm\sqrt{3}.所以,直线的倾斜角为:\frac{\pi}{3}或\frac{2\pi}{3}.
【题目】已知点$A$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上一点，$F$为椭圆的一个焦点，且$A F \perp x$轴，$|A F|=c$ （ $c$为椭圆的半焦距），则椭圆的离心率是?
【解析】由题意不妨设A(c,c),代入椭圆方程得:\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}=1,解得e^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2},从而e=\frac{\sqrt{5}-1}{2},所以答案应填:\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
【题目】抛物线$y^{2}=-12 x$的一条弦的中点$M(-2,-3)$，则此弦所在的直线方程为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=-2 p x(p>0)$上的点$M(-4, m)$到焦点的距离为$5$，则$m$的值为?
【解析】根据抛物线的定义可知4+\frac{p}{2}=5,故p=2,2p=4,所以抛物线方程为y^{2}=-4x,当x=-4时y^{2}=16,y=\pm4.青】本小颗主要考查抛物线的定义,抛物线方程的求解,考杳抛物线上点的坐标的求法,属于其础题
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左顶点为$A$，右焦点为$F$，动点$B$在双曲线$C$上. 当$B F \perp A F$时，$|A F|=|B F|$，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】根据题意和所给条件可得c^{2}-ac-2a^{2}=0,由此齐次式可得e=2,再利用a,b,c之间的关系求得\frac{b}{a}即可得解.羊解】设双曲线的半焦距为c,则F(c,0),B(c,\pm\frac{b^{2}}{a})因为|AF|=|BF|所以\frac{b^{2}}{a}=a+c'所以c^{2}-ac-2a^{2}=0,即e^{2}-e-2=0,故e=2.所以双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点，$P$为$C$上一点，$\triangle P F_{1} F_{2}$的内心为点$I$，过$I$作平行于$x$轴的直线分别交$P F_{1}$, $P F_{2}$于点$A$、$B$，若椭圆$C$的离心率$e=\frac{1}{2}$，则$\frac {S_ {\Delta{P A B}}} {S_ \Delta{P F_{1} F_{2}}}$=?
【解析】根据椭圆的离心率可知a=2c,根据椭圆的定义可知APF_{1}F_{2}的周长为2(a+c)=6c,设APF_{1}F_{2}的内切圆半径为r,点P(x,y),利用S_{APF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}||y|=c|y|=pr(p为APF_{1}F_{2}周长的一半),可得|y|=3r,再根据\frac{S_{APAB}}{S_{APF_{1}F_{2}}}=(\frac{y-r}{y})^{2})^{2},即可求4号结果.解】设椭圆C:\frac{x2}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的焦距为2c,由题设\frac{c}{a}=\frac{1}{2},所以a=2c由椭圆的定义可知,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,|F_{1}F_{2}|=2c.APF_{1}F_{2}的周长为2(a+c)=6c,设APF_{1}F_{2}的内切圆半径为r,点P(x,y)又S_{APF}F_{2}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}||y|=c|y|设p为\trianglePF_{1}F_{2}周长的一半,则S_{APF}F_{2}=pr=3cr所以3cr=c|y|,得|y|=3r.由题意可知,_{APAB}\sim\trianglePF_{1}F_{2}得\frac{S_{APAB}}{S_{1}DF}=(\frac{y-r}{y})^{2}所以\frac{S_{APAB}}{S_{4PF}}=(\frac{3r-r}{3r})^{2}=\frac{4}{9}.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ , $A(a , 0)$ , $B(0 , b)$，原点到直线$AB$的距离为$c$($c$为半焦距) ，则椭圆离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{a1^{2}}-\frac{y^{2}}{b1^{2}}=\frac{1}{2}(a1>0, b1>0)$的焦点相同，则双曲线渐近线方程为?
【解析】由焦点相同可得a^{2}-b^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2},即a^{2}=3b^{2},由此可求出渐近线方程依题意椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)与双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{2}(a>0,b>0)的焦点相同,即与\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{\frac{b^{2}}{2}}=1(a>0,b>0)的焦点相同,可得:a^{2}-b^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2},即a^{2}=3b^{2}\therefore\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3},可得\frac{\frac{b}{\sqrt{2}}}{\frac{a}{\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\therefore双曲线的渐近线方程为:y=\pm\frac{\frac{b}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}x,y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x
【题目】抛物线的顶点在坐标原点，焦点是双曲线$x^{2}-2 y^{2}=8$的一个焦点，则此抛物线的焦点到其准线的距离等于是?
【解析】
【题目】过点$M(2,0)$作斜率为$1$的直线$l$，交抛物线$y^{2}=4 x$于$A$, $B$两点，则$|AB|$=?
【解析】
【题目】双曲线$8 k x^{2}-k y^{2}=8$的一个焦点为$(0,3)$，则$k$的值为?双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点为$F$，点$P$是渐近线上的点，且$|O P|=2$，则$|P F|$=?
【解析】根据双曲线方程求得渐近线方程以及夹角,结合六弦定理即可求得P知|OF|=c=2,渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,故两条渐近线的倾斜角为60^{\circ},120点P有如图的两种位置情况.当为P_{1}位置情况时,\angleP_{1}OF=60^{\circ},则\triangleOP_{1}F为等边三角形,则|PF|=2;当为P_{2}位置情况时,\angleP_{2}OF=120由余弦定理可得PF^{2}=OF^{2}+OP^{2}-2\timesOF\timesOP\times\cos120^{\circ},则PF|=2\sqrt{3}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左、右顶点分别为$A$、$B$, 点$P$是椭圆上一点，直线$P A$, $P B$的斜率分别为$k_{1}$, $k_{2}$，若$k_{1}=2$，则$k_{2}$=?
【解析】由题意知A(-2\sqrt{2},0),B(2\sqrt{2},0),设P(x,y),则k_{1}=\frac{y}{x+2\sqrt{2}},k_{2}=\frac{y}{x-2\sqrt{2}}k_{1}k_{2}=\frac{y^{2}}{x^{2}-8}=\frac{4(1-\frac{x^{2}}{8})}{x^{2}-8}=-\frac{1}{2}又k_{1}=2,所以k_{2}=-\frac{1}{4}.
【题目】设抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$(\frac{1}{2}, 0)$的动直线交抛物线于不同的两点$P$、$Q$，线段$P Q$的中点为$M$，则点$M$的轨迹方程为?
【解析】设直线PQ的方程为x=ty+\frac{1}{2},设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),然后联立直线方程与抛物线方程,运用韦达定理得到y_{1}+y_{2},继而得出x_{1}+x_{2},再根据中点坐标公示得出点M的坐标,消去参数t得到轨迹方程.设直线PQ的方程为x=ty+\frac{1}{2},设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),M(x,y)联立\begin{cases}y2=4x\\x=ty+\frac{1}{2}\end{cases},得y^{2}-4ty-2=0,则a=16t^{2}+8>0,所以y_{1}+y_{2}=4t,x_{1}+x_{2}=4t^{2}+1,由中点坐标公式得:M(2t^{2}+\frac{1}{2},2t)则由\begin{cases}x=2t^{2}+\frac{1}{2}\\y=2t\end{cases}消去t得,得点M的轨迹方程为y^{2}=2x-1.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-4}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，若在椭圆上存在点$P$使得$P F_{1} \perp P F_{2}$，且$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积是$2$，则该椭圆的长轴长为?
【解析】根据椭圆定义知|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,由PF_{1}\botPF_{2},得\trianglePF_{1}F_{2}为直角三角形,\therefore(|PF_{1}|)^{2}+(|PF_{2}|)^{2}=(2c)^{2},又\because\trianglePF_{1}F_{2}的面积为2,.\frac{1}{2}.|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2,则|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4(2a)^{2}=(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}=(|PF_{1}|)^{2}+(|PF_{2}|)^{2}+2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4c^{2}+8,可得a^{2}-c^{2}=2=b^{2},由\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-4}=1可得b^{2}=a^{2}-4即a^{2}-4=2,a=\sqrt{6},即2a=2\sqrt{6}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点，点$P$在$C$上，$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则$\cos \angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】由已知有a=1,b=\sqrt{3},c=2,\begin{cases}PF|+|PF_{2}=2\\|PF|=2|PF_{2}\end{cases},解得\begin{cases}PF_{1}=4\\PF_{2}=2\end{cases},则在APF_{1}F_{2}中,|F_{1}F_{2}|=2c=4,则\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{16+4-16}{2\times4\times2}=\frac{1}{4}
【题目】已知抛物线$E$: $y^{2}=2 p x(p>0)$，过其焦点$F$的直线$l$交抛物线$E$于$A$、$B$两点（点$A$在第一象限），若$S_{\triangle O A B}=-\frac{3}{2} \tan \angle A O B$，则$p$的值是?
【解析】S_{AOAB}=-\frac{3}{2}\tan\angleAOB=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|\overrightarrow{|OB|}\sin\angleAOB\therefore\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{C}\overrightarrow{2B}=-3设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})即x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=-3,\frac{(y_{1}y_{2})^{2}}{4p^{2}}+y_{1}y_{2}=-3设直线方程为x=my+\frac{p}{2},故\begin{cases}x=my+\frac{p}{2}\\y2=2px\end{cases}得到y^{2}-2pmy-p^{2}=0,y_{1}y_{2}=-p^{2}代入计算得到:p=2
【题目】已知$A$ , $B$是过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$焦点$F$的直线与抛物线的交点，$O$是坐标原点，满足$\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$ , $S_{\Delta O A B }=\sqrt{3}|A B|$, 则$p$的值为?
【解析】
【题目】若双曲线渐近线方程为$y=\pm \frac{4}{3} x$，且焦点都在圆$x^{2}+y^{2}=100$上，则双曲线方程为?
【解析】若双曲线的焦点在x轴上,则\frac{b}{a}=\frac{4}{3},焦点坐标为(10,0)由a^{2}+b^{2}=100,得a^{2}=36,b^{2}=64,所以双曲线的方程为\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1;若双曲线的焦点在y轴上,则\frac{a}{b}=\frac{4}{3},焦点坐标为(0,10)由a^{2}+b^{2}=100,得a^{2}=64,b^{2}=36,所以双曲线的方程为\frac{y^{2}}{64}-x^{2}-2x+1=0
【题目】若圆$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=1$的圆心与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的右焦点重合，则该圆的圆心坐标为?
【解析】由椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1可得a^{2}=9,b^{2}=5,则c^{2}=a^{2}-b^{2}=4,即c=2,所以椭圆的右焦点为(2,0),则该圆的圆心坐标为(2,0)
【题目】直线$y=x-2$与抛物线$y^{2}=2 x$相交于$A$、$B$两点，则$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(x_{1},y_{1}\cdot(x_{2},y_{2})=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}由\begin{cases}y=x-\\y^{2}=2x\end{cases}2,解得y^{2}-2y-4=0或x^{2}-6x+4=0,所以x_{1}x_{2}=4,y_{1}y_{2}=-4,所以\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=-4+4=0.
【题目】若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点$(4,0)$，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则椭圆的标准方程为?
【解析】因为椭圆中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,且椭圆经过点(4,0)离心率为\frac{\sqrt{3}}{2}当焦点在x轴时,设方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,则\begin{matrix}a=4\\e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},解得b=2\end{matrix}a=4a^{2}=b^{2}+c^{2}所以椭圆方程为\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1当焦点在y轴时,\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1则\begin{matrix}b=4&\\e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},解得\begin{cases}a=8\\b=4\\c=4\end{cases}c=4\sqrt{3}所以椭圆方程为\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{64}=1;a2=b^{2}+c^{2}所以椭圆的方程为\frac{x^{2}}{16}+:\frac{y^{2}}{(4}=1或\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$上一点$(2,2 \sqrt{2})$到此抛物线焦点的距离为?
【解析】点(2,2\sqrt{2})到此抛物线焦点的距离为2+\frac{p}{2}=2+1=3
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 px(p>0)$上一点$P(6, m)$到其焦点$F$的距离为$7$，则抛物线$C$的以点$M(2 , 1)$为中点的弦$A B$所在直线的方程为?
【解析】
【题目】过点$(2,-3)$且与椭圆$9 x^{2}+4 y^{2}=36$有共同的焦点的椭圆的标准方程为?
【解析】由9x^{2}+4y^{2}=36得:\frac{x2}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1,所以c^{2}=5,设所求椭圆为\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a>b>0)代入点(2,-3)得\frac{4}{b^{2}}+\frac{9}{a^{2}}=1,联立c^{2}=5=a^{2}+b^{2}解得a^{2}=15,b^{2}=10所以所求方程为\frac{y^{2}}{15}+\frac{x^{2}}{10}=1.
【题目】已知双曲线中心在原点，一个焦点为$F_{1}(-\sqrt{5}, 0)$，点$P$在双曲线上，且线段$P F_{1}$的中点坐标为$(0 , 2)$，则此双曲线的方程是?
【解析】设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1由题可得P(\sqrt{5},4),把P(\sqrt{5},4)代入双曲线标准方程\therefore\frac{5}{a^{2}}-\frac{16}{b^{2}}=1\becausec^{2}=a^{2}+b^{2}=5,解得a^{2}=1,b^{2}=4\because此双曲线的方程是x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为$\frac{1}{2}$，长轴为$8$的椭圆的标准方程为?
【解析】
【题目】已知$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一动点，$E F$为圆$N$:$(x-1)^{2}+y^{2}=1$的任意一条直径，那么$\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{P F}$的最大值为?
【解析】因为:\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PF}=(\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP})\cdot(\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP})=\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}\cdot(\overrightarrow{NE}+\overrightarrow{NF})+\overrightarrow{NP}^{2}=-|NE|\cdot|NF|\cdot\cos\pi-0+|NP|^{2}=-1+|NP|^{2}.又因为N为椭圆的右焦点,\therefore|NP|\in[a-c,a+c]=[1,3],\therefore\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PF}\in[0,8]
【题目】已知点$E(2,-2)$和抛物线$C$: $x^{2}=8 y$，过$C$的焦点且斜率为$k$的直线与$C$交于$P$、$Q$两点.若$\angle P E Q=90^{\circ}$，则$k$=?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$的两焦点，$P$为双曲线上的一点，且$\angle F_{1} P F_{2}=120^{\circ}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】由题意可得双曲线\frac{x2}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1,a=5,b=3,c=\sqrt{34},得F_{1}(-\sqrt{34},0),F_{2}(\sqrt{34},0),又|F_{1}F_{2}^{2}=34\times4,|PF_{1}|-|PF_{2}|=10,由余弦定理可得:|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|+|PF_{2}|-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos120^{\circ}=(|PF_{1}|-|PF_{2}|)^{2}+3|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=100+3|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=136\therefore|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=12\therefore\triangleF_{1}PF_{2}的面积S=\frac{1}{2}|PF_{1}|.|PF_{2}|\sin20^{\circ}=\frac{1}{2}\times12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3},

hbghlyj

【题目】设抛物线$y^{2}=4 x$上一点$P$到直线$x=-2$的距离为$5$，则点$P$到该抛物线焦点的距离是?
【解析】由抛物线的定义知:点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线x=1的距离,\overrightarrow{m},-----------抛物线焦点的距离是5-1=4.
【题目】已经抛物线方程$y^{2}=4 x$，则其准线方程为?
【解析】
【题目】已知离心率是$\sqrt{5}$的双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点与抛物线$y^{2}=20 x$的焦点重合，则该双曲线的标准方程为?
【解析】离心率是\sqrt{5}的双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线y^{2}=20x的焦点重合,可得\begin{cases}c=5\\\frac{c}{a}=\sqrt{5}\end{cases},可得a=\sqrt{5}则b^{2}=c^{2}-a^{2}=20所求的双曲线方程为:\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{20}=1
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$，直线$l$过椭圆$C$的左焦点$F$且交椭圆于$A$、$B$两点，$A B$的中垂线交$x$轴于$M$点，则$\frac{|F M|}{|A B|^{2}}$的取值范围为?
【解析】由椭圆的方程:\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1,可得左焦点F(-1,0).(i)当直线l的斜率为0时,则直线l为x轴,AB的中垂线为y轴,这时M与原点O重合,这时|AB|=2a=2\sqrt{2},|FM|=c=1,所以\frac{|FM|}{|AB^{2}}=\frac{1}{8}|(ii)当直线l的斜率不存在时,AB的中垂线为x轴,舍去,(iii)当直线的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my-1,由于直线l的斜率存在,所以m\neq0.设A,B的坐标分别为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})联立直线与椭圆的方程:\begin{cases}x=my-\\\frac{x^{2}}{2}+y2=\end{cases}my-1\Delta=(-2m)^{2}+4(2+m^{2})=8(m^{2}+1)>0,\thereforey_{1}+y_{2}=\frac{2m}{2+m^{2}},y_{1}y_{2}=-\frac{1}{2+m^{2}},则弦长|AB|=\sqrt{1+m^{2}}|y_{1}-y_{2}|=\frac{\sqrt{1+m^{2}}{2+m^{2}}}{=}\frac{2\sqrt{2}(1}{2+}\frac{+m^{2})}{\frac{m}{2}}x_{1}+x_{2}=m(y_{1}+y_{2})-2=\frac{2m^{2}}{2+m^{2}}-1=-\frac{4}{2+m^{2}}所以AB的中点坐标(-\frac{2}{2+m^{2}},\frac{m}{2+m^{2}}),所以直线AB的中垂线方程为:y-\frac{m}{2}-mx+\frac{2}{2+m2})令y=0,可得x=-\frac{1}{2},则\frac{y-2+m^{2}}{所以M(-\frac{1}{2})},0所以|FM|=|-1+\frac{2+m^{2}}{2+m^{2}}|=\frac{1+m^{2}}{2+m^{2}},所以\frac{|FM|}{|AR|^{2}}=\frac{1}{8}\times\frac{2+m^{2}}{1+m^{2}}=\frac{1}{8}(1+\frac{1}{1+m^{2}})\in(\frac{1}{8},\frac{1}{4}),综上所述\frac{|FM|}{|AB|^{2}}的取值范围是(\frac{1}{8},\frac{1}{4}),
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$,$F_{1}$,$F_{2}$分别为它的左、右焦点，$P$为双曲线上一点，设$|P F_{1}|=7$，则$|P F_{2}|$的值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$4 x^{2} +y^{2}=1$及直线$y=x+m$, 当直线被椭圆截得的弦最长时的直线方程为?
【解析】
【题目】设点$A(3 , 2)$以及抛物线$y^{2}=2 x$的焦点$F$与抛物线上的动点$M$的距离之和$|MA|+|MF|$为$S$，当$S$取最小值时，则点$M$的坐标为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点$P$与椭圆的两个焦点$F_{1}$、$F_{2}$的连线互相垂直，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】c^{2}=36-16=20,a^{2}=36\begin{cases}|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=12\\|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=4c^{2}=80\end{cases}|PF_{1}||PF_{2}|=\frac{(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}-(|PF_{2}|^{2}+|PF_{2}|^{2})}{2}=32S_{PF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}||PF_{2}|=16.
【题目】已知椭圆的焦点在$y$轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为$8$，焦距为$2 \sqrt{15}$，则此椭圆的标准方程为?
【解析】根据椭圆的定义可得a=4,c=\sqrt{15},再由b^{2}=a^{2}c^{2},即可求解.由已知2a=8,2c=2\sqrt{15},所以a=4,c=\sqrt{15}所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为\frac{y^{2}}{16}+x^{2}=1
【题目】焦点为$(3 , 0)$，且与双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$有相同的渐近线的双曲线方程是?
【解析】
【题目】点$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上一动点，则点$P$到点$(0,-1)$的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点F(1,0),点P到准线的距离与点P到点F的距离相等,本题即求点P到点(0,-1)的距离与到点F(1,0)的距离之和的最小值,画图可知最小值即为点(0,-1)与点F(1,0)间的距离,最小值为\sqrt{2}
【题目】若双曲线的标准方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$, 则此双曲线的准线方程为?
【解析】
【题目】若$a>1$，则双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1$的离心率的取值范围是?
【解析】由题意,双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1,可得双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+3}}{a}=\sqrt{1+\frac{3}{a^{2}}}因为a>1,可得e=\sqrt{1+\frac{3}{a^{2}}}\in(1,2),即双曲线的离心率的取值范围是(1,2)
【题目】斜率为$2$的直线$l$与抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$交于$A$、$B$两点，点$P(1,1)$为弦$A B$的中点，则抛物线的准线方程为?
【解析】设直线l的方程为:y-1=2(x-1),即y=2x-1,与y^{2}=2px联立得:4x^{2}-(4+2p)x+1=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),\triangle=(4+2p)^{2}-16>0\thereforex_{1}+x_{2}=\frac{4+2p}{4}=2\Rightarrowp=2^{,}满足\triangle>0抛物线的准线方程为:x=-\frac{p}{2}=-1
【题目】设抛物线$E$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，直线$l$: $y=k(x-1)$与$E$交于$A$、$B$，与$y$轴交于$C$，若$|A F|=|B C|$，则$|A B|$=?
【解析】由题设知直线l必过F点,且B在A,C之间,|AB|=|FC|=\sqrt{1+k^{2}},联立抛物线和直线方程整理并结合韦达定理有x_{1}+x_{2}=2+\frac{2}{k^{2}},而由抛物线定义可得|AB|=x_{1}+x_{2}+p,即可列方程求k^{2},进而求|AB|.羊解】由题设知:F(1,0),而直线l:y=k(x-1)过F点,又|AF|=|BC|\thereforeB在A,C之间,且|AB|=|FC|,C(0,-k),即|FC|=\sqrt{1+k^{2}}联立抛物线与直线方程,\begin{cases}y2=4x\\y=k(x-\end{cases},整理得k^{2}x^{2}-2(k^{2}+2)x+k^{2}=0且4>0,若A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=\frac{2(k^{2}+2)}{k^{2}}=2+\frac{2}{k^{2}},而|AB|=x_{1}+x_{2}+p=x_{1}+x_{2}+2\therefore4+\frac{4}{12}=\sqrt{1+k^{2}},可得k^{2}=8+4\sqrt{5},即|AB|=|FC|=\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{5}+2
【题目】设直线$l$: $y=\frac{1}{2} x+1$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1  (a>0)$的两条渐近线分别交于$P$、$Q$两点，若线段$P Q$的中点在直线$x=2$上，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的两条渐近线为y=\pm\frac{1}{a}x,\begin{cases}y=\frac{1}{2}x+1\\y=\frac{1}{1}x\\y=\frac{x}{2}x+1\\y=-\frac{1}{1}x\end{cases}解得x_{P}=\frac{2a}{2-a}所以\frac{x_{P}+x_{Q}}{2}=\frac{\frac{2a}{2-a}+\frac{-2a}{2+a}}{2}=2解得a^{2}=2,由b^{2}=1,所以c^{2}=a^{2}+b^{2}=3^{n}所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$E$: $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<1)$的左、右焦点，过点$F_{1}$的直线交椭圆$E$于$A$、$B$两点，若$|A F_{1}|=3|B F_{1}|$, $A F_{2} \perp x$轴，则椭圆$E$的方程为?
【解析】如下图,\becauseAF_{2}\botx轴,\thereforeAF_{2}=\frac{b^{2}}{a}=b^{2},设A(c,b^{2}),又\because|AF_{1}|=3|BF|,则B点坐标为(-\frac{5}{3}c,-\frac{1}{3}b^{2})带入椭圆为(-\frac{5}{3}c)^{2}+\frac{(-\frac{1}{3}b^{2})}{b^{2}}=1解得c^{2}=\frac{1}{3},b^{2}=\frac{2}{3},所以椭圆的方程为x^{2}+\frac{3}{2}y^{2}=1.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$， 点$P$在双曲线上，且$P F_{2} \perp x$轴，则$F_{2}$到直线$PF_{1}$的距离为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1$上不同的两点$A$、$B$满足$O A \perp O B$，其中$O$为坐标原点，则$|O A| \cdot|O B|$的最小值为?
【解析】由题意得直线OA与OB的斜率都存在且不为0和\underline{2\sqrt{3}},不妨设直线OA的方程为y=kx(k\neq0),A(x_{1},y_{1})^{3}B(x_{2},y_{2})\becauseOA\botOB,\therefore直线OB的方程为y=-\frac{1}{k}x由\begin{cases}\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1,\\y=kx\end{cases}得x^{2}=\frac{12}{4-3k^{2}}\therefore|OA|\cdot|OB|\geqslant24,当且仅当|OA|=|OB|=2\sqrt{6}时等号成立故|OA|\cdot|OB|的最小值为24
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在$x$轴上，椭圆上点$P(3 \sqrt{2} , 4)$到两焦点的距离之和是$12$，则椭圆的标准方程是?
【解析】
【题目】设$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$分别为曲线$y=\sqrt{x}$上不同的两点，$F(\frac{1}{4}, 0)$，若$|A F|=2|B F|$，且$x_{1}=p x_{2}+q$，则$\frac{p}{q}$=?
【解析】曲线y=\sqrt{x},化简为y^{2}=x,|AF|=2|BF|根据抛物线的定义得到x_{1}+\frac{1}{4}=2(x_{2}+\frac{1}{4})\Rightarrowx_{1}=2x_{2}+\frac{1}{4}又因为x_{1}=px_{2}+q,故p=2,q=\frac{1}{4},\frac{p}{q}=8.
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$的准线$l$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$相切，则$C$的离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知$F_{1}(-1 , 0)$ ,$ F_{2}(1 , 0)$是椭圆的两个焦点，过$F_{1}$的直线$l$交椭圆于$M$、$N$两点，若$\triangle M F_{2} N$的周长为$8$，则椭圆的标准方程为?
【解析】由题意可知\triangleMF_{2}N的周长为4a,从而可求a的值,进一步可求b的值,则椭圆方程可求由题意,4a=8,\thereforea=2,\becauseF_{1}(-1,0)、F_{2}(1,0)是椭圆的两焦点,\thereforeb^{2}=2^{2}-1=3,\therefore椭圆方程为:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1.
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m n \neq 0)$的右焦点与抛物线$y^{2}=8 x$的焦点相同，离心率为$2$，则此双曲线的方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1的中心为0(0,0),该双曲线的左焦点为F(-3,0)则抛物线的顶点为(3,0),焦点为(0,0),所以p=6,所以抛物线方程是)y^{2}=12(x+3)
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ , $A$是双曲线左支上的一点，且$|AF_{1}|=5$，那么$|AF_{2}|$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线$l$与$x$轴的交点为$A$、$M$是抛物线$C$上的点，且$M F \perp x$轴. 若以$A F$为直径的圆截直线$A M$所得的弦长为$2$，则$p$=?
【解析】由题意可得大致图形如下:由y^{2}=2px可得:A(-\frac{p}{2},0),F(\frac{p}{2},0),M(\frac{p}{2},\pmp)由抛物线的对称性可知,取M(\frac{p}{2},p)与M(\frac{p}{2},-p)结果一致,不妨令M(\frac{p}{2},p)\therefore以AF为直径的圆的方程为:x^{2}+y2=\frac{p^{2}}{4};直线AM方程为:x-y+\frac{p}{2}=0设圆心到直线距离为d,则d=\frac{\frac{p}{2}}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{\sqrt{2}p}{4}\therefore直线AM被圆解得弦长为:2\sqrt{\frac{p^{2}-\frac{p^{2}}{8}}=2\Rightarrowp=2\sqrt{2}本题正确结果:2\sqrt{2}
【题目】已知$A(0,1)$为椭圆$x^{2}+4 y^{2}=4$上一定点，点$P$为椭圆上异于$A$的一动点，则$|A P|$的最大值为?
【解析】椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,设点P(x,y),则-1\leqslanty<1,由x^{2}+4y^{2}=4得x^{2}=4-4y^{2},|AP|=\sqrt{3}\frac{x^{2}}{x}\therefore当y=-\frac{1}{3}时,|AP|取最大值\frac{4\sqrt{3}}{3}
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$作直线交抛物线于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点，记直线$O A$, $O B$的斜率分别为$k_{1}$, $k_{2}$，则$k_{1} \cdot k_{2}$=?
【解析】抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点F(\frac{p}{2},0)当过焦点F的直线斜率不存在时,直线方程可设为x=\frac{p}{2},不妨令A(\frac{p}{2},p),B(\frac{p}{2},-p)则k_{1}=\frac{p}{\frac{p}{2}}=2,k_{2}=\frac{-p}{2}=-2,故k_{1}\cdotk_{2}=2\times(-2)=-4当过焦点F的直线斜率存在时,直线方程可设为y=k(x-\frac{p}{2}),令A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})由\begin{cases}y=k(x-\frac{p}{2})\\y2=2px\end{cases}整理得4k^{2}x^{2}-4p(k^{2}+2)x+k^{2}p^{2}=0则x_{1}+x_{2}=\frac{p(k^{2}+2)}{k^{2}}x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4},y_{1}y_{2}=k^{2}(x_{1}-\frac{k}{2})(x_{2}-\frac{p}{2})=k^{2}x_{1}x_{2}-\frac{pk^{2}}{2}(x_{1}+x_{2})+\frac{p^{2k}^{2}}{4}k_{1}\cdotk_{2}=\frac{y_{1}}{x_{1}}\times\frac{y_{2}}{x_{2}}=\frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}}=k^{2}+\frac{-\frac{pk^{2}}{2}(x_{1}+x_{2})+\frac{p^{2}k^{2}}{1x_{2}}}=k^{2}+\frac{-\frac{pk^{2}}{2}\times\frac{p(k^{2}+2)}{k^{2}}+\frac{p^{2k2}}{4}}=-4综上,k_{1}\cdotk_{2}=-4
【题目】已知$\odot C_{1}$: $x^{2}+(y-2)^{2}=1$ ,$ \odot C_{2}$: $x^{2}+(y+2)^{2}=9$，动圆与$\odot C_{1}$ , $\odot C_{2}$均外切，则动圆圆心$M$的轨迹方程为?
【解析】求出两个圆的圆心与半径,通过动圆与已知圆的位置关系列出方程求解即可已知圆C_{1}:x^{2}+(y-2)^{2}=1和圆x^{2}+(y+2)^{2}=9,得圆C_{1}(0,2),r_{1}=1,圆C_{2}(0,-2),r_{2}=3设动圆圆心M(x,y),因为与圆C_{1}和圆C_{2}都相切,所以MC_{1}=r+1,MC_{2}=3+r即MC_{2}-MC_{1}=(r+3)-(1+r)=2<4=r_{1}+r_{2},所以点M的轨迹是以C_{1},C_{2}为焦点的双曲线的上支,其中a=1,c=2,所以点M的轨迹方程为y2-\frac{x^{2}}{3}=1(y>0)
【题目】已知抛物线$y=a x^{2}-1$的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形
面积为?
【解析】
【题目】已知$F$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的右焦点，$A$是双曲线上位于第一象限内的一点，$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O F}=|\overrightarrow{O F}|^{2}$，直线$O A$的方程为$y=\frac{2 \sqrt{3}}{3} x$，则双曲线的离心率为?
【解析】分析:由\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OF}=|\overrightarrow{OF}|^{2},可得AF\botx轴,从而求得A(c,\frac{b^{2}}{a}),代入直线OA的方程为y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x'可得结果.详\because\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OF}=|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OF}|\cos<AOF=|\overrightarrow{OF}|^{2}\therefore\overrightarrow{OA}\cos<A\overrightarrow{OF}=|\overrightarrow{OF}|.,\thereforeAF\botx轴,令x=c,得y_{A}=\frac{b^{2}}{a},\thereforeA(c,\frac{b^{2}}{a})又\becauseOA的方程为y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x'\therefore\frac{b^{2}}{c}=\frac{2\sqrt{3}}{3}'\therefore\frac{b^{2}}{ac}=\frac{a^{2}-c^{2}}{ac}=\frac{2\sqrt{3}}{3}即e-\frac{1}{e}=\frac{2\sqrt{3}}{3},e^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}e-1=0'e=\sqrt{3},
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左焦点$F$作$\odot O$: $x^{2}+y^{2}=a^{2}$的两条切线，记切点为$A$、$B$, 双曲线左顶点为$C$，若$\angle A C B=120^{\circ}$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】直线$y=x+2$与椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{3}=1$有两个公共点，则$m$的取值范围是?
【解析】
【题目】过点$(3,0)$且斜率为$\frac{4}{5}$的直线被椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$所截线段的中点坐标为?
【解析】过点(3,0)且斜率为\frac{4}{5}的直线方程为y-0=\frac{4}{5}(x-3),即y=\frac{4}{5}(x-3)联立椭圆方程\begin{cases}y=\frac{4}{5}(x-3)\\\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\end{cases},得x^{2}-3x-8=0设直线与椭圆交点为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=3,y_{1}+y_{2}=\frac{4}{5}(x_{1}+x_{2}-3-3)=-故所截线段的中点坐标为(\frac{3}{2},-\frac{6}{5}),故填:(\frac{3}{2},-\frac{6}{5})
【题目】已知实数$x$ , $y$满足方程$x^{2}+2 y^{2}-2=0$，则$x+y$的最大值为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 x$的一条弦被$A(4,2)$平分，那么这条弦所在的直线方程是?
【解析】设弦的两个端点的坐标,用点差法,即:代入抛物线方程后作差,代入A点坐标得到弦所在的直线的斜率,由点斜式求出直线的方程设弦的两个端点为M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})分别代入抛物线方程,得:y_{1}2=2x\textcircled{1}\textcircled{1}\textcircled{1}-\textcircled{2}得:y_{1}2-y_{2}^{2}=2(x_{1}-x_{2}),即\frac{y_{1}^{2}}{x_{1}-x_{2}}=又因为MN被点A(4,2)平分,所以y_{1}+y_{2}即弦MN所在的直线的斜率k=\frac{1}{2}所以这条线所在的直线方程为:y-2=\frac{1}{2}(x-4),即x-2y=0.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，若$P$为其上一点，且$|P F_{1}|=2 |P F_{2}|$，则双曲线离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则实数$m$=?
【解析】由题意可得a=\sqrt{m},b=1,c=\sqrt{1+m},则e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{1+m}}{\sqrt{m}}=\frac{\sqrt{5}}{2},解得m=4.
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$与圆$x^{2}+(y-1)^{2}=1$相交于两点，且这两点间的距离为$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$，则该抛物线的焦点到准线的距离为?
【解析】分析:先判定O(0,0)是两曲线的一个公共点,利用两点的距离和点在圆上确定另一交点的坐标再将点的坐标代入抛物线方程进行求解.详显然O(0,0)是抛物线y^{2}=2px(p>0)与圆x^{2}+(y-1)^{2}=1的一个交点设另一个交点为A(x,y),x>0,因为|oA|=\frac{2\sqrt{3}}{3},所以x^{2}+y^{2}=\frac{4}{3},联立\begin{cases}x^{2}+y^{2}=\frac{4}{3}\\x^{2}+(y-1)^{2}=1\end{cases},得A(\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2}{3})又A(\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{2}{3})在抛物线y^{2}=2px上,则\frac{4}{9}=2p\times\frac{2\sqrt{2}}{3},解得p=\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}即该抛物线的焦点到准线的距离为\frac{\sqrt{2}}{6}.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，经过原点的直线与$C$交于$A$、$B$两点，总有$\angle A F B \geq 120^{\circ}$ ,则椭圆$C$离心率的取值范围为?
【解析】如图,设椭圆右焦点为F_{2},由对称性知AFBF_{2}是平行四边形,\angleAF_{2}F=\angleBFF_{2}.\because\angleFB\geqslant120^{\circ},\therefore\angleFAF_{2}\leqslant60^{\circ}设|AF|=m,|AF_{2}|=n,由椭圆定义知m+n=2a,则_{mn\leqslant}\frac{(m+n)^{2}}{4}=a^{2},当且仅当m=n时等号成立,在\triangleAFF_{2}中,由余弦定理得\cos\angleFAF_{2}=\frac{m^{2}+n^{2}-|FF_{2}|^{2}}{2mn}=\frac{(}{}\frac{1-4c^{2}}{=\frac{4a^{2}-4c^{2}}{2mn}-1\geqslant\frac{4a^{2}-4c^{2}}{2a^{2}}-1=1-2e^{2}}又\angleFAF_{2}\leqslant60^{\circ},\cos\angleFAF_{2}\geqslant\frac{1}{2},\therefore1-2e^{2}\geqslant\frac{1}{2},解得0<e\leqslant\frac{1}{2}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的焦距是?
【解析】根据题意,椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1中,a=5,b=4,则c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3,则该椭圆的焦距2c=6;
【题目】若中心在原点，焦点在$x$轴上的双曲线的一条渐近线方程为$2 x-y=0$，则双曲线离心率为?
【解析】
【题目】已知过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，$O$是坐标原点，$|AF|=2$则$\Delta OAB$的面积是?
【解析】分析:由题意结合抛物线的性质求得BF的长度,结合图形的几何性质整理计算即可求得最终结果详抛物线y^{2}=4x的焦点F(1,0),p=2.由\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}即\frac{1}{2}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{2}\therefore|BF|=2.\because|AF|=2,|BF|=2,且抛物线方程中,当x=1时y=\pm2\thereforeAB=4,即AB为抛物线的通径,\thereforeS_{\DeltaABO}=\frac{1}{2}\timesOF\timesAB=\frac{1}{2}\times1\times4=2.
【题目】已知抛物线$y^{2}=20 x$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$的右焦点重合，则该双曲线的渐近线方程是?
【解析】
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{10-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1$表示双曲线，则实数$k$的取值范围为?
【解析】因为方程\frac{x^{2}}{10-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1表示双曲线,所以(10-k)(k-4)<0,解得k>10或k<4,所以实数k的取值范围为(-\infty,4)\cup(10,+\infty).
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$焦点$F$的直线与抛物线相交于$A$、$B$两点，$|A F|=2|B F|$ , $O$为坐标原点，且$\triangle A O B$的面积为$6 \sqrt{2}$，则抛物线$C$的标准方程为?
【解析】
【题目】若抛物线$x^{2}=2py$的焦点坐标为$(0 , 1)$，则准线方程为?
【解析】
【题目】已知点$A(0,4)$，抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(0<p<4)$的准线为$l$，点$P$在$C$上，作$P H \perp l$于$H$，且$|P H|=|P A|$，$\angle A P H=120^{\circ}$，则抛物线方程为?
【解析】设抛物线的焦点为F(0,\frac{p}{2}),|AF|=4-\frac{p}{2},由抛物线的定义可知,|PH|=|PF|\because|PH|=|PA|,\therefore|PA|=|PF|,不妨设点P在第一象限,过点P作PQ\boty轴于点Q,则Q为AF的中点,|AQ|=|FQ|=\frac{1}{2}|AF|=\frac{1}{2}(4-\frac{p}{2}),\because\frac{1}{2}(4-\frac{\frac{x}{2}}{2}),\because\angleAPH=120^{\circ},\therefore\angleAPQ=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ},\therefore|PQ|=\sqrt{3}|AQ|=\frac{\sqrt{3}}{2}(4-\frac{p}{2})^{,}|OQ|=|FQ|+|OF|=\frac{1}{2}(4-\frac{p}{2})+\frac{p}{2}=2+\frac{p}{4},\therefore点P的坐标为(\frac{\sqrt{3}}{2}(4-\frac{p}{2}),2+\frac{p}{4},\because点P在抛物线C上,\therefore\sqrt{3}(4-\frac{p}{2})]=2p\times(2+\frac{p}{4})^{,}化简得5p^{2}+112p-192=0,解之得p=\frac{8}{5}或-24(舍负)\therefore抛物线方程为x^{2}=\frac{16}{5}y
【题目】长度为$a$的线段$A B$的两个端点$A$、$B$都在抛物线$y^{2}=2 p x (p>0 , a>2 p)$上滑动，则线段$A B$的中点$M$到$y$轴的最短距离为?
【解析】
【题目】已知$P$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上一点，$F_{1}$, $F_{2}$为左右焦点，且$\angle F_{1} PF_{2}=90^{\circ}$, 若$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=9$，则$b$=?
【解析】令|F_{1}P|=m、|PF_{2}|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a\textcircled{1}Rt\triangleF_{1}PF_{2}中,由勾股定理可得(2c)^{2}=m^{2}+n^{2}\textcircled{2},由\textcircled{1}\textcircled{2}可得mn=2b^{2}\therefore\triangleF_{1}PF_{2}的面积是S=\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}\times2b^{2}=b^{2}=9,即b=3,
【题目】已知椭圆的中心为原点，离心率$e=\frac{\sqrt {3}}{2}$，且它的一个焦点与抛物线$x^{2}=-4 \sqrt {3} y$的焦点重合，则此椭圆方程为?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$的准线交圆$x^{2}+y^{2}+6 y-16=0$于点$A$、$B$，若$AB=8$，则抛物线的焦点为?
【解析】抛物线的准线方程为:y=-\frac{P}{2}圆x^{2}+y^{2}+6y\cdot16=0,可得圆心(0,\cdot3),半径为:5抛物线x^{2}=2py(p>0)的准线交圆x^{2}+y^{2}+6y-16=0于点A,B,若AB=8,可得:|\frac{p}{2}-3|=\sqrt{25-16}解得:p=12.抛物线x^{2}=24y.抛物线的焦点坐标:(0,6)
【题目】已知椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，且$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ , $A$点坐标$(0 , b)$ , $B$点 坐标$(0,-b)$ , $F$点坐标$(c, 0)$ , $T$点坐标$(3 c, 0)$，若直线$A T$与直线$BF$的交点在椭圆上，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的右焦点$F$到双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线的距离小于$\sqrt{3}$，则双曲线$E$的离心率的取值范围是?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1的右焦点为F(2,0),由条件可得\frac{2b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}<\sqrt{3},即4b^{2}<3c2,所以4(c^{2}-a^{2})<3c^{2},从而得e^{2}<4,进而解得离心率的取值范围是(1,2)
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$A$是双曲线左支上的一点，且$|A F_{1}|=5$, 那么$|A F_{2}|$=?
【解析】因为双曲线的方程为\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1\thereforea=3,b=1由双曲线的定义,又A是双曲线左支上的一点故:|AF_{2}|-|AF_{1}|=2a=6,\therefore|AF_{2}|=6+|AF_{1}|=1
【题目】已知双曲线的两个焦点$F_{1}(-\sqrt{5}, 0)$ , $F_{2}(\sqrt{5}, 0)$ , $P$是双曲线上一点且$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ ,$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|=2$，则双曲线的标准方程为?
【解析】本道题目先设出点P的坐标,结合\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0,|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2,计算点P的坐标,结合双曲线的性质,分别计算a,b的值,即可得出答案.[详解]设点P(x,y),\overrightarrow{PF_{1}}=(-\sqrt{5}-x,-y),\overrightarrow{PF_{2}}=(\sqrt{5}-x,-y)结合\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0,代入点坐标,计算得到x^{2}+y^{2}=5结合向量模长计算公式,则\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF}=100-20x^{2}=4计算得到P\frac{2\sqrt{30}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}计算得到|PF|-|PF_{2}|=2a=4,a=2结合a^{2}+b^{2}=c^{2},c=\sqrt{5},所以b=1故双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-y2=1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线为$y=2 x$，则双曲线的离心率为?
【解析】根据双曲线的渐近线的方程知\frac{b}{a}=2即c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2+(2a)^{2}}=\sqrt{5}a^{,}所以此又的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}
【题目】已知椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$M$在椭圆上且$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=0$，则点$M$到$x$轴的距离为?
【解析】
【题目】已知$F$是双曲线$M$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点，点$P$在$M$上，$O$为坐标原点，若$|O P|=2 b$ , $\angle P O F=\frac{\pi}{6}$，则$M$的离心率为?
【解析】由题意不妨设点P在第一象限,又|OP|=2b,\anglePOF=\frac{\pi}{6}得P(\sqrt{3}b,b),代入双曲线方程得\frac{3b^{2}}{a^{2}}-\frac{b^{2}}{b^{2}}=1,则a^{2}=\frac{3}{2}b^{2},所以c^{2}=a^{2}+b^{2}=\frac{5}{2}b^{2}故离心率e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}
【题目】已知直线$x-2 y+2=0$经过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为?离心率为?
【解析】
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的下、上顶点分别为$B_{1}$、$B_{2}$，若点$P$为椭圆上的一点，且直线$PB_{1}$、$PB_{2}$的斜率分别为$\frac{1}{4}$和$-1$，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知点$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上的动点，点$P$在$y$轴上射影是$M$，点$A(4,6)$，则$|P A|+|P M|$的最小值是?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$, 焦点为$F$准线为$l$, $P$为抛物线上一点,$P A \perp l$, $A$为垂足如果直线$A F$的斜率为$-\sqrt{3}$, 那么$|P F|$=?
【解析】由抛物线的参数方程为\begin{cases}x=8t^{2}\\y=8t\end{cases}得其标准方程为y^{2}=8x,\therefore准线:x=-2抛物线的焦点F(2,0),直线AF的方程为y=-\sqrt{3}(x-2),所以点A(-2,4\sqrt{3})P(6,4\sqrt{3}),从而|PF|=6+2=8,故选B.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$的一个焦点为$(0,1)$，则$m$=?
【解析】\because椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1的一个焦点为(0,1)\therefore焦点在y轴,且c=1,b^{2}=5,\thereforem=b^{2}+c^{2}=6,数答客为:6
【题目】抛物线$x^{2}=a y(a>0)$上的点$M(m, 1)$到其准线$l$的距离为$2$，则$a$=?
【解析】抛物线x^{2}=ay(a>0)准线l的方程为y=-\frac{a}{4},因为点M(m,1)到准线l的距离为2于是得1+\frac{a}{4}=2,解得a=4,所以a=4.故答家为:4
【题目】已知双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，过点$F$向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为$P$，交另一条渐近线于$Q$，若$5 \overrightarrow{P F}=3 \overrightarrow{F Q}$，则该双曲线$E$的离心率为?
【解析】由双曲线方程可得渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x设P在y=\frac{b}{a}x上,Q在y=-\frac{b}{a}x上,F(c,0)\therefore|PF|=\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b,又5\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FQ},\therefore|FQ|=\frac{5b}{3}\because\tan\anglePOF=\frac{b}{a},\therefore\tan\anglePOQ=\frac{2\tan\anglePOF}{1-\tan^{2}\anglePOF}=\frac{\frac{2b}{a}}{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}又OP\botPF,\therefore\tan\anglePOQ=\frac{|PQ|}{|OP|}=\frac{8b}{a},\therefore\frac{8b}{a}=\frac{2b}{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}},解得:\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4},\thereforee=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】设抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，其准线与$x$轴交于点$C$，过点$F$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B F}=0$，则$\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{C F}$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),由\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}=0,得到且点B(x_{2},y_{2})是以CF为直径的圆与抛物线的交点.联立方程组,求得_{x_{2}}=\frac{\sqrt{5}-2}{2}p'设直线AB的方程为x=my+\frac{p}{2},联立方程求得x_{1}=\frac{\sqrt{5}+2}{2}p再利用向量的数量积的运算公式,即可求求解并解】如图所示,设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),由\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BF}=0,可得x_{1}>x_{2}>0,且点B(x_{2},y_{2})是以CF为直径的圆与抛物线y^{2}=2px的交点,联立方程组\begin{cases}x_{2}^{2}+y_{2}=\frac{p^{2}}{4}\\y_{2}=2px_{2}\end{cases},解得x_{2}=\frac{\sqrt{5}-2}{2}p^{2}设直线AB的方程为x=my+\frac{p}{2},联立方程组\begin{cases}x=my+\frac{p}{2}\\y2=2px\end{cases},整理得x^{2}-(1+2m^{2})px+\frac{p^{2}}{4}=0,可得x_{1}x_{2}=\frac{y^{2}}{4},所以x_{1}=\frac{\sqrt{5}+2}{2}p'则\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CF}=(x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})\cdot(p,0)=p(x_{1}-x_{2})=2p^{2}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线上，且满足$|P F_{1}|+|P F_{2}|=2 \sqrt{5}$, 则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】不妨设点P在双曲线右支上.由双曲线的定义可得|PF_{1}|-|PF_{2}|=2\sqrt{3}又|PF|+|PF_{2}|=2\sqrt{5},两式联立得|PF|=\sqrt{5}+\sqrt{3},|PF_{2}|=\sqrt{5}-\sqrt{3}.又|F_{1}F_{2}|=4,所以|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2},即\trianglePF_{1}F_{2}为直角三角形所以S_{APF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}||PF_{2}|=1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m-3}=1$的一个焦点$F$到其一条渐近线的距离为$3$，则实数$m$的值是?
【解析】由题意得b=3,因此\begin{cases}m>3,\\m-3=3^{2}\end{cases}或\begin{cases}m<0,\\-m=3^{3},\end{cases}则实数m的值是12或-9.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$的渐近线方程是?
【解析】\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1,a=2,b=\sqrt{2},故渐近线方程为:y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，直线$l$过点$F_{2}$交双曲线右支于$P$、$Q$两点，若$|P F_{1}|=3|P F_{2}|$，$|P Q|=3|P F_{2}|$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】设|PF_{2}|=m,则|PF_{1}|=3m,|PQ|=3m,推出|QF_{2}|=2m,由双曲线的定义得\begin{cases}|QF_{1}|=4a\\m=a\end{cases}再在\trianglePQF_{1}和\triangleQF_{1}F_{2}应用余弦定理得\frac{5a^{2}-c^{2}}{4a^{2}}=\frac{2}{3},进而得答案设|PF_{2}|=m,则|PF_{1}|=3m,|PQ|=3m,\therefore|QF_{2}|=2m,由双曲线的定义,得\begin{cases}|PF_{1}|-|PF_{2}|=2m=2a\\OF,-|OF|=|OF,-2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}|PF_{1}|-|PF_{2}|=2m=2a\\|QF_{1}|-|QF_{2}|=|QF_{1}|-2m=2a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}|QF_{1}|=4a\\m=a\end{cases}此时,在\trianglePQF_{1}和\triangleQF_{1}F_{2}应用余弦定理得\cos\angleF_{1}QF_{2}=\frac{|QF_{1}|^{2}+|PQ|^{2}-|PF_{1}|^{2}}{2|QF_{1}||PQ|}=\frac{16a^{2}}{2}\frac{+9a^{2}-6}{\times4a\times3a}\frac{-9a^{2}}{3a}=\frac{2}{3}\cos\angleF_{1}QF_{2}=\frac{|QF_{1}|^{2}+|QF_{2}|^{2}-||}{2|QF_{1}|QF_{2}|}\frac{2}{3F_{2}}|F_{1}F_{2}|^{2}=\frac{16a2+4a2-4c^{2}}{2\times4a\times2a}=\frac{5a^{2}-c^{2}}{4a^{2}};所以\frac{5a^{2}-c^{2}}{4a^{2}}=\frac{2}{3},即3c^{2}=7a^{2},故\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{7}{3}所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{3}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$O$是坐标原点，过点$F_{2}$作$C$的一条渐近线的垂线，垂足为$P$, $P F_{1}$交双曲线的另一条渐近线于点$Q$，且满足$3\overrightarrow{F_{1} Q}=2 \overrightarrow{F_{1} P}$, 则双曲线的渐近线的斜率为?
【解析】不妨假设直线PF_{2}垂直于渐近线y=\frac{b}{a}x,由\begin{cases}\\\end{cases}y=\frac{b}{a}x解得点P(\frac{a^{2}}{c},\frac{ab}{c}),=-\frac{a}{b}(x-c又\overrightarrow{F_{1}Q}=\frac{2}{3}\overrightarrow{F_{1}P},且F_{1}(-c,0),则Q(\frac{2a2-c^{2}}{3c},\frac{2ab}{3c}),又Q点在直线y=-\frac{b}{a}x上,故\frac{2ab}{3c}=-\frac{b}{a}(\frac{2a^{2}-c^{2}}{3c}),\thereforeb^{2}=3a^{2}.故双曲线的渐近线的斜率为\pm\sqrt{3}
【题目】$P$、$Q$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的动点，则$|P Q|$的最大值为?
【解析】由于椭圆中长轴是最长的弦,所以|PQ|_{\max}=4
【题目】设点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆的左、右焦点，$I$为$\Delta P F_{1} F_{2}$的内心，若$S_{\Delta {P I F_{1}}}+S_{\Delta P I F_{2}}=2 S_{\Delta I F_{1} F_{2}}$，则该椭圆的离心率是?
【解析】设\trianglePF_{1}F_{2}的内切圆的半径为r.则S_{\DeltaPIF_{1}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdotr,S_{\DeltaPIF_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{2}|\cdotr,S_{\DeltaIF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|\cdotr因为S_{\trianglePIF_{1}}+S_{\trianglePIF_{2}}=2S_{\DeltaIF_{1}F_{2}}所以\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdotr+\frac{1}{2}|PF_{2}|\cdotr=2\times\frac{1}{2}\times|F_{1}F_{2}|\cdot'可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2|F_{1}F_{2}|所以该椭圆的离心率是e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}=\frac{|F_{1}F_{2}|}{|PF_{1}|+|PF_{2}|}=\frac{1}{2}
【题目】已知双曲线$C$与椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$有共同的焦点$F_{1}$、$F_{2}$，且离心率互为倒数. 若双曲线右支上一点$P$到右焦点$F_{2}$的距离为$4$，则$P F_{2}$的中点$M$到坐标原点$O$的距离等于?
【解析】
【题目】若抛物线$C$: $y=a x^{2}$经过点$(4,2)$，则抛物线的焦点坐标为?
【解析】解析依题意有2=a\cdot4^{2},所以a=\frac{1}{8}因此抛物线方程为x^{2}=8y,其焦点坐标为(0,2)
【题目】若直线$y=k x-1$与双曲线$x^{2}-y^{2}=4$仅有一个公共点，则满足条件的实数$k$组成的集合是?
【解析】
【题目】已知点$A$为抛物线$C$: $x^{2}=4 y$上一点，若点$A$到抛物线$C$焦点的距离为$2$，则点$A$的纵坐标$y_{A}$=?
【解析】由抛物线C:x^{2}=4y,可知抛物线的准线方程为:y=-1设抛物线C焦点F,AH\bot抛物线准线,由抛物线的定义知|AH|=|AF|=2结合图像可知,则点A到的距离为1,即点A的纵坐标y_{A}=1
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，经过点$M(-2,0)$的直线交$C$于$A$、$B$两点，若$O A \| B F$  ($O$为坐标原点)，则$|A B|$=?
【解析】抛物线C:y^{2}=8x的焦点为F,经过点M(-2,0)的直线交C于A,B两点由OA//BF(O为坐标原点)可得A是BM的中点,不妨设B(m,2\sqrt{2m}),可得A(\frac{m-2}{2},\sqrt{2},4的中点,不妨设B(m,2\sqrt{2m}),可得A(\frac{m-2}{2},\sqrt{2m})
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$上左支上一点$P$到右焦点的距离是$13$，则点$P$到左准线的距离是?
【解析】设点P(x,y),则x\leqslant-4,可得出y^{2}=\frac{9x^{2}}{16}-9,由点P到右焦点的距离是13可求得x的值,进而可求得点P到该双曲线左准线的距离.设点P(x,y),则x\leqslant-4,在双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1中,a=4,b=3,则c=5,该双曲线的右焦点为(5,0),由题意可得13=\sqrt{(x-})-5)^{2}+y^{2}=\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}-10x+25+\frac{9x^{2}}{16}-9}x^{2}-10x+16=|\frac{5x}{4}-4|=4-\frac{5x}{4}=13,解得x=-\frac{36}{5}该双曲线的左准线方程为x=-\frac{a^{2}}{c}=-1因此,点P到左准线的距离是d=-\frac{36}{6}+\frac{16}{6}=4
【题目】已知椭圆的两个焦点的坐标分别是$F_{1}(4,0)$ , $F_{2}(-4,0)$，并且该椭圆上一点$M$到点$F_{1}$、$F_{2}$的距离之和等于$10$，则该椭圆的标准方程为?
【解析】由|MF_{1}|+|MF|=2a=10,可求出a,由焦点坐标可得到c的值,进而结合b^{2}=a^{2}-c^{2},可求出b^{2},即可得到椭圆的方程.设椭圆的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,因为|MF_{1}|+|MF_{2}|=10,所以2a=10,即a=5又c=4,所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=5^{2}-4^{2}=9,所以椭圆方程为\frac{x2}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】设直线过双曲线$C$的一个焦点，且与$C$的一条对称轴垂直，与$C$交于$A$、$B$两点，$|A B|$为$C$的实轴长的$2$倍，则$C$的离心率为?
【解析】设双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),由题意,得\frac{2b^{2}}{a}=4a'即b^{2}=2a^{2}.c^{2}=3a2,所以双曲线的离心率为e=\sqrt{3}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{k-5}+\frac{y^{2}}{10-k}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆，则实数$k$的取值范围是?
【解析】由于方程\frac{x^{2}}{k-5}+\frac{y^{2}}{10-k}=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以10-k>k-5>0,解得5<k<\frac{15}{2}所以k的取值范围是(5,\frac{15}{2}).
【题目】抛物线$2 x^{2}+y=0$的焦点坐标是?
【解析】由2x^{2}+y=0可得x^{2}=-\frac{1}{2}y,所以抛物线图像开口向下且2p=\frac{1}{2},所以\frac{p}{2}=\frac{1}{8}所以焦点坐标为(0,-\frac{1}{8})的青】本题考查根据抛物线的标准方程求值点,属于简单题
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点为$F$，过原点的直线与双曲线相交于$A$、$B$两点若$|A B|=\sqrt{10}$ ,$|A F|=\sqrt{2}$ , $\cos \angle A B F=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$，则双曲线$C$的实轴长$2 a$=?
【解析】在AAFB中,由余弦定理可得|AF|^{2}=|AB|^{2}+|BF|^{2}-2|AB||BF|\cos\angleABF,即可得到|BF|,设F为双曲线的右焦点,连接BF,AF,根据对称性可得四边形AFBF是矩形,再利用双曲线的定义即可求解.在4AFB中,|AB|=\sqrt{10},|AF|=\sqrt{2},\cos\angleABF=\frac{2\sqrt{5}}{5}余弦定理可得|AF|^{2}=|AB|^{2}+|BF|^{2}-2|AB||BF|\cos\angleABF从而可得(|BF|-2\sqrt{2)^{2}=0,解得|BF|=2\sqrt{2},所以AAFB为直角三角形设F为双曲线的右焦点,连接BF,AF,根据对称性可得四边形AFBF是矩形,所以|BF|=|AF|=\sqrt{2},所以2a=|BF|-|BF|=\sqrt{2}
【题目】过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$, $B(x_{2}, y_{2})$两点，若$x_{1}+x_{2}=16$，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$的焦点，点$A$、$B$在椭圆上，若$\overrightarrow{F_{1} A}=5 \overrightarrow{F_{2} B}$; 则点$A$的坐标是?
【解析】方法1:直线F_{1}A的反向延长线与椭圆交于点B又\because\overrightarrow{F_{1}A}=5\overrightarrow{F_{2}B}由椭圆的对称性,得\overrightarrow{F_{1}A}=5\overrightarrow{B'}F_{1}设A(x_{1},y_{1}),B'(x_{2},y_{2})由于椭圆\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1的a=\sqrt{3},b=1,c=\sqrt{2}\thereforec=\frac{c}{a}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\frac{\sqrt{6}}{3},F_{1}(\sqrt{2},0)\because|F_{1}A|=\frac{\sqrt{6}}{3}|x_{1}+\frac{3\sqrt{2}}{2}||F_{1}B'|=\frac{\sqrt{6}}{3}|x_{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}|从而有:\frac{\sqrt{12}}{3}|x_{1}+\frac{3\sqrt{2}}{2}|=5\times\frac{\sqrt{6}}{3}|x_{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}|由于-\sqrt{3}\leqslantx_{1},x_{2}<\sqrt{3},+\frac{3\sqrt{2}}{2}>0,x_{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}>0,即\frac{\sqrt{6}}{3}(\frac{3\sqrt{2}}{2}+x_{1})=5\times\frac{\sqrt{6}}{3}(x_{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2})\frac{3\sqrt{2}}{2}+x_{1}=5(x_{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}).\textcircled{1}又\because三点A,F_{1},B'共线,\overrightarrow{F_{1}A}=5\overrightarrow{B'}F_{1}\therefore(x_{1}-(-\sqrt{2}),y_{1}\cdot0)=5(\sqrt{2}\cdotx_{2},0\cdoty_{2})\thereforex_{1}+\sqrt{2}=5(-\sqrt{2}-x_{2}).\textcircled{2}由\textcircled{1}+\textcircled{2}得:x_{1}=0.代入椭圆的方程得:y_{1}=\pm1\therefore点A的坐标为(0,1)或(0,-1)方法2:因为F_{1},F_{2}分别为椭圆\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1的焦点,则F_{1}(-\sqrt{2},0),F_{2}(\sqrt{2},0),设A,B的坐标分别为A(x_{A},y_{A}),B(x_{B},y_{B}),若\overrightarrow{F_{1}A}=5F_{2}\widehat{2};则\begin{cases}AA,yA=D\\x_{A}\sqrt{2}=5(x_{B}-\sqrt{2})\end{cases},所以\begin{cases}x_{B}=\frac{x_{+}+6\sqrt{2}}{5}\\y_{A}=5y_{B}\end{cases}因为A,B在椭圆上,所以\begin{cases}\frac{x_{3}}{3}+y_{A}=1\\x_{2}^{2}\\\frac{B}{3}+y_{B}^{2}=1\end{cases}代入解得\begin{cases}x_{1}=0\\y_{8}=\end{cases}a_{1}=0故A(0,\pm1).
【题目】顶点在原点，对称轴是$y$轴，并且经过点$P(-4,-2)$的抛物线方程为?
【解析】据题意,设抛物线的方程为x^{2}=ay.将点P(-4,-2)代入方程得16=-2a,a=-8所以抛物线的方程为x^{2}=-8y.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的右焦点为$F$，过点$F$向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为$M$，交另一条渐近线于$N$，若$2 \overrightarrow{M F}=\overrightarrow{F N}$，则双曲线的离心率?
【解析】如图所示渐近线OM的方程为bx+ay=0,右焦点为F(c,0),因此|FM|=\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b,过点F向ON作垂线,垂足为P,则|FP|=|FM|=b又因为2\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{FN},所以|FN|=2b,在直角三角形FPN中,\sin\angleFNP=\frac{|PF|}{|FN|}=\frac{b}{2b}=\frac{1}{2},所以\angleFNP=\frac{\pi}{6},故在三角形OMN中,\angleMON=\frac{\pi}{3},所以\angleFON=\frac{\pi}{6},所以\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3},即a=\sqrt{3}b,c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2b所以双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{2b}{\sqrt{3}b}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$上的点$(m, 2)$到其焦点的距离是?
【解析】将点(m,2)代入抛物线的方程得2^{2}=4m,解得m=1,故点的坐标为(1,2).由于\frac{p}{2}=1,根据抛物线的定义有点到焦点的距离为1+\frac{p}{2}=1+1=2.青】本小题主要考查抛物线上一点坐标的求法,考查抛物线的定义,属于基础题
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 ax$的准线为$x=-\frac{1}{4}$，则其焦点坐标为?
【解析】
【题目】已知$A$, $B$, $C$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上的三点，点$F(3 , 0)$，若$\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}={0}$，则$|F A|+|F B|+|F C|$=?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=20 y$的准线方程为?
【解析】由抛物线方程知:抛物线焦点在y轴上,且p=10,\therefore准线方程为y=-\frac{p}{2}=-5
【题目】准线方程为$y+1=0$的抛物线标准方程为?
【解析】由题得抛物线的准线方程为y=-1,所以抛物线的开口向上,设抛物线方程为x^{2}=2py,\therefore\frac{p}{2}=1,\thereforep=2,所以抛物线的标准方程为x^{2}=4y.
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的上顶点与抛物线$C^{\prime}$: $x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点$F$重合，$P$为$C$与$C^{\prime}$的一个公共点.若$C$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$|P F|=2$，则$p$=?
【解析】由椭圆上顶点与抛物线焦点相同,及椭圆离心率把a,b用p表示,由焦半径公式求得P点坐标,代入椭圆方程后可解得p值.解】由题意b=\frac{p}{2},又_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3},所以a=\frac{\sqrt{6}}{4}p又|PF|=2,所以y_{p}=2-\frac{p}{2},则x_{P}^{2}=2py_{P}=2p(2-\frac{p}{2})=4p-p^{2}所以\frac{4p-p^{2}}{\frac{6}{16}p^{2}}+\frac{(2-\frac{p}{2})^{2}}{\frac{1}{4}p^{2}}=1,化简得p^{2}-p-6=0,解得p=3(负的舍去)
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{169}+\frac{y^{2}}{144}=1$的右焦点为圆心，且与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的渐近线相切的圆的方程为?
【解析】
【题目】双曲线$mx^{2}-y^{2}=1$的虚轴长是实轴长的$2$倍，则$m$=?
【解析】
【题目】过双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点作圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$的两条切线，切点分别为$A$, $B$ ,若$\angle A O B=90^{\circ}$（$O$是坐标原点），则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{5}=1$的焦距为?
【解析】
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y=1$有共同渐近线的一个双曲线方程是?
【解析】与双曲线\frac{x^{2}}{2}-y=1有共同渐近线的双曲线方程\frac{x^{2}}{2}-y=k,k\neq0,如取k=2,则方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1.
【题目】与椭圆$4 x^{2}+9 y^{2}=36$有相同的焦点, 且过点$(-3 , 2)$的椭圆方程为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的两个焦点，$P$为椭圆$C$上一点，且$\overrightarrow{P F_{1}} \perp \overrightarrow{P F_{2}}$. 若$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为$9$，则$b$=?
【解析】
【题目】椭圆$C$的焦点在$x$轴上，焦距为$2$，直线$n$: $x-y-1=0$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，$F_{1}$是左焦点，且$F_{1} A \perp F_{1} B$，则椭圆$C$的标准方程是?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 x$的焦点是$F$，点$P$是抛物线上的动点，又有点$A(3,2)$，则当$|P A|+|P F|$取得最小值时，点$P$的坐标为?
【解析】将x=3代入抛物线方程y^{2}=2x中,得y=\pm\sqrt{6}.\because\sqrt{6}>2,\therefore点A在抛物线内部.如图,设抛物线上点P到准线l:x=-\frac{1}{2}的距离为d,由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,当PA\botl时,|PA|+d最小,最小值为\frac{7}{2}.此时点P的纵坐标为2,代入y^{2}=2x中,得x=2,\therefore点P的坐标为(2,2)
【题目】已知$F$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，过点$F$的直线$l$与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，与抛物线$C$的准线交于点$D$，若$F$是$A D$的中点，则$|F B|$=?
【解析】
【题目】若直线$y=k x+2$与双曲线$x^{2}-y^{2}=6$的右支交于不同的两点，则$k$的取值范围是?
【解析】由\begin{cases}y=kx+2\\x^{2}-y2=6\end{cases}得:(1-k^{2})x^{2}-4kx-10=0,(1)直线y=kx+2与双曲线x^{2}-y^{2}=6的右支相交于不同两点,即方程(1)有两个不后解,所以\frac{4>0}{1-k^{2}}>0,解得-\frac{\sqrt{15}}{3}<k<-1
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, $F_{1}$, $F_{2}$为其左右焦点,$|F_{1} F_{2}|=2 \sqrt{2}$, $B$为短轴的一个端点, 三角形$B F_{1} O$($O$为坐标原点) 的面积为$\sqrt{7}$, 则椭圆的长轴长为?
【解析】由题,设c^{2}=a^{2}-b^{2},c>0,因为|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{2},故c=\sqrt{2}.又三角形BF_{1}O的面积\frac{1}{2}bc=\sqrt{7}\Rightarrowb=\sqrt{14}故a=\sqrt{14+2}=4所以椭圆的长轴长为2a=8.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$，则抛物线的焦点坐标为?
【解析】由抛物线方程y^{2}=8x,可得2p=8,即p=4且焦点在x轴正半轴,则焦点坐标为(2,0).
【题目】已知$P$为抛物线$y^{2}=8 x$上动点，定点$A(3,1)$, $F$为该抛物线的焦点，则$P F+P A$的最小值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1 $,过$P(1, \frac{1}{2})$点作直线$l$交椭圆$C$于$A$、$B$两点，且点$P$是$A B$的中点，则直线$l$的方程是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}^{2}+4y_{1}^{2}=4,x_{2}^{2}+4y_{2}^{2}=4,\therefore(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+4(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0.\becauseP(1,\frac{1}{2})恰为线段AB的中点,即有x_{1}+x_{2}=2,y_{1}+y_{2}=1,\therefore(x_{1}-x_{2})+2(y_{1}-y_{2})=0,\therefore直线AB的斜率为k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}}=-\frac{1}{2}\therefore直线AB的方程为y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)即x+2v-2=0.由于P在椭圆内,故成立b答实为,x+2y-2=0
【题目】过点$(2 ,-2)$且与$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$有公共渐近线方程的双曲线方程为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的两个焦点，过点$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$|A B|=5$，则$\triangle A B F_{2}$的面积为?
【解析】设直线AB的方程为y=k(x+2),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立方程组,利用弦长公式和椭圆的定义,求得_{k}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3},得出直线AB的方程,再结合点到直线的距离公式和三角形的面积公式,即可求解.由椭圆\frac{x2}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1,可得a^{2}=9,b^{2}=5,则c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2即椭圆的焦点坐标分别为F_{1}(-2,0),F_{2}(2,0),设直线AB的方程为y=k(x+2),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})组\begin{cases}y=k(x+2)\\\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1\end{cases},可得(5+9k^{2})x^{2}+36k^{2}x+36k^{2}-45=0则x_{1}+x_{2}=-\frac{36k^{2}}{5+9k^{2}},x_{1}x_{2}=\frac{36k^{2}-45}{5+9k^{2}}根据椭圆的定义,可得推得|AB|=e(x_{1}+x_{2})+2a=\frac{2}{3}\times(-\frac{36k^{2}}{5+9k^{2}})+6=5解得k^{2}=\frac{1}{3},即k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3},此时直线方程为y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}(x+2)即直线方程为\sqrt{3}x-3y+2\sqrt{3}=0或-\sqrt{3}x+3}-2\sqrt{3}=0,又由点F_{2}到直线AB的距离都为d_{1}=\frac{|2\sqrt{3}+2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+9}}=2或d_{2}=\frac{|-2\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+9}}=2,所以\triangleABF_{2}的面积为S=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{1}{2}\times5\times2=5.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{a}=1$的右焦点为$(\sqrt{13} , 0)$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$的方程为$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=1$，则$C$的渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$过其焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点,过$A B$中点$M$作$y$轴垂线交$y$轴于点$N$, 若$|M N|=2$, 则$|A B|$=?
【解析】如图所示:BB_{1}\botl于B_{1},延长MN交l于D,则MD\botl于D因为MN\boty轴,所以MD\botl,在梯形AA_{1}B_{1}B中,M是AB中点,则MD为梯形AA_{1}B_{1}B的中位线,|AA_{1}|+|_{BB_{1}}|=2|MD|=2(2+2)=8而由抛物线的定义可知|AB|=|AA_{1}|+|BB_{1}|=8
【题目】已知抛物线$C$的顶点在原点，准线方程为$y=-2$，则抛物线$C$的标准方程为?
【解析】设抛物线C的标准方程为:x^{2}=2py(p>0)其焦点为(0,\frac{p}{2}),准线方程为y=-\frac{p}{2}=-2.可得:p=4,所以抛物线C的标准方程为:x^{2}=8y

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【题目】已知$A$、$F$是离心率为$2$的双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的右顶点和右焦点，记$A$、$F$到直线$b x-a y=0$的距离分别为$d_{1}$ , $d_{2}$，则$\frac{d_{1}}{d_{2}}$=?
【解析】设a>0,b>0,则双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的离心率为e=\frac{c}{a}=2,则c=2a,b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{3}a由题意可知A(a,0)、F(c,0),则d_{1}=\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{ab}{c}=\frac{1}{2}b,d_{2}=\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b,因此,\frac{d_{1}}{d_{2}}=\frac{1}{2}
【题目】过抛物线$y^{2}=6 x$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$两点，如果$x_{1}+x_{2}=8$，那么$|A B|$的值为?
【解析】抛物线y^{2}=6x的焦点为(\frac{3}{2},0),则由题意可得|AB|=x_{1}+x_{2}+p,因为x_{1}+x_{2}=8,p=3,所以|AB|=x_{1}+x_{2}+p=8+3=11,故答家为:11
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的中心作一直线交椭圆于$P$、$Q$两点，$F$是椭圆的一个焦点，则$\triangle P Q F$周长的最小值是?
【解析】如图所示,记椭圆的另一个焦点为F_{1}则根据椭圆的对称性知道:|QF|=|PF_{1}|,|PQ|=2|PO|,设P(a\cos\theta,b\sin\theta),则|PO|^{2}=a^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta=(a^{2}-b^{2})\cos^{2}\theta+b^{2}又因为a^{2}-b^{2}>0,\cos2\theta\geqslant0,所以|PO|^{2}\geqslantb^{2},即|PO|\geqslantb,|PQ|=2|PO|\geqslant2b所以APQF的周长为|QF|+|PF|+|PQ|=|PF_{1}|+|PF|+|PQ|=2a+|PQ|\geqslant2a+2b=10+8=18故填18
【题目】若直线$y=k x-2$与抛物线$y^{2}=8 x$交于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点的横坐标是$3$，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】在圆$x^{2}+y^{2}=8$上任取一点$P$，过点$P$作$x$轴的垂线段$P D$ , $D$为垂足，当点$P$在圆上运动时，线段$P D$的中点$M$的轨迹方程是?
【解析】设M(x,y),则P(x,2y);因为点P在圆x^{2}+y^{2}=8上运动,所以x^{2}+(2y)^{2}=8,即线段PD的中点M的轨迹方程是\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1
【题目】若直线$y=k x(k>0)$为双曲线$x^{2}-y^{2}=1$的一条渐近线，则$k$=?
【解析】\because双曲线x^{2}-y^{2}=1\thereforea=1,b=1\therefore渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pmx\because直线y=kx(k>0)为双曲线x^{2}-y^{2}=1的一条渐近线\thereforek=1
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$A$、$B$是抛物线上两点，且点$A$在第一象限内. 若$\overrightarrow{A F}=4 \overrightarrow{F B}$，则直线$A B$的方程的一般形式为?
【解析】由已知,F(1,0),直线AB的斜率不为0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})(y_{1}>0,y_{2}<0)直线AB的方程为x=my+1,联立抛物线方程得y^{2}-4my-4=0,y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=-4,又\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB},所以(1-x_{1},-y)=4(x_{2}-1,y_{2})所以y_{1}=-4y_{2},y_{1}y_{2}=-4y_{2}^{2}=-^{\frac{1}{4}}所以y_{2}=-1,y_{1}=4,从而y_{1}+y_{2}=3=4m,解得m=\frac{3}{4}所以AB方程为x=\frac{3}{4}y+1,即4x-3y-4=0.
【题目】斜率为$1$的直线与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$相交于$A$、$B$两点，$A B$的中点$M(m, 1)$，则$m$=?
【解析】
【题目】设点$M$、$N$均在双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$上运动，$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$C$的左、右焦点，则$|\overrightarrow{M F_{1}}+\overrightarrow{M F_{2}}-2 \overrightarrow{M N}|$的最小值为?
【解析】\becauseO为F_{1}F_{2}的中点,\therefore|\overrightarrow{MF}_{1}+\overrightarrow{MF_{2}}-2\overrightarrow{MN}|=|2\overrightarrow{MO}-2\overrightarrow{MN}|=2|\overrightarrow{NO}|\geqslant2a=4
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦距为$4$ , $A(2,3)$为$C$上一点，则$C$的渐近线方程为?
【解析】根据题意可得出该双曲线C的两个焦点的坐标,利用定义可得出a的值,结合双曲线的焦距可求出b的值,由此可得出双曲线C的渐近线方程.由题意知,双曲线C的左焦点为F_{1}(-2,0),右焦点为F_{2}(2,0)\because|AF_{1}|=\sqrt{(2+2)^{2}+3^{2}}=5,|AF_{2}|=\sqrt{(2-2)^{2}+3^{2}}=3,由双曲线的定义可得2a=||AF_{1}|-|AF_{2}||=2,\thereforea=1,b=\sqrt{2^{2}-a^{2}}=\sqrt{3}因此,双曲线C的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x
【题目】已知抛物线$y^{2}=-4 x$上的焦点$F$，点$P$在抛物线上，点$A(-2,1)$，则要使$|P F|+|P A|$的值最小的点$P$的坐标为?
【解析】利用抛物线的定义,将点P(m,n)到焦点F的距离|PF|转化为它到准线l:x=1的距离,利用不等式即可求得答案.因为抛物线y^{2}=-4x的焦点F.所以F(-1,0),其准线方程为l:x=1,因为点P在抛物线上,点A(-2,1),设点P在准线l:x=1上的射影为P'则|PF|=|PP|,|PF|+|PA|=|PA|+|PP|\geqslant|AP|=3(当A,P,P三点共线时取“=”),此时P点的纵坐标为n=1,所以1=-4m解得m=-\frac{1}{4},所以点P的坐标为(-\frac{1}{4},1)
【题目】以抛物线$x^{2}=16 y$的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$M$是椭圆上一点，$N$是$M F_{1}$的中点，若$O N=1$，则$|M F_{1}|$=?
【解析】如图所示,因为N是MF的中点,所以ON是\triangleMF_{1}F_{2}的中位线,所以MF_{2}=2.根据椭圆的定义,知|MF|+|MF_{2}|=2a=8,所以|MF|=8-2=6故填6.
【题目】已知双曲线$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$，则其渐近线方程是?离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=3 x$的焦点为$F$，斜率为$\frac{3}{2}$的直线$l$与$C$的交点为$A$、$B$，与$x$轴的交点为$P$ ,$|A F|+|B F|=4$，则$l$的方程是?
【解析】由题意,抛物线C:y^{2}=3x的焦点为F(\frac{3}{4},0),设直线l的方程为y=\frac{3}{2}x+m.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由抛物线的焦半径公式知|AF|+|BF|=x_{1}+x_{2}+\frac{3}{2}=4,可得x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2}联立方程组\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+m\\y2=3x\end{cases},整理得9x^{2}-(12m-12)x+4m^{2}=0,又由\triangle=(12m-12)^{2}-144m^{2}>0,解得m<\frac{1}{2},且x_{1}+x_{2}=-\frac{12m-12}{9}所以-\frac{12m-12}{9}=\frac{5}{2},解得m=.\frac{7}{8}所以直线l的方程为y=\frac{3}{2}x-\frac{7}{8},即12x-8y-7=0.
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{k-1}+\frac{y^{2}}{k-3}=1$表示双曲线，则实数$k$的取值范围是?
【解析】方程\frac{x2}{k-1}+\frac{y^{2}}{k-3}=1表示双曲线需满足(k-1)(k-3)<0\therefore1<k<3
【题目】从双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{5}=1$的左焦点$F$引圆$x^{2}+y^{2}=3$的切线$FP$交双曲线右支于点$P$, $T$为切点，$M$为线段$FP$的中点，$O$为坐标原点，则$| MO |-| MT |$=?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{10-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则$k$的取值范围是?
【解析】\because方程\frac{x2}{10-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1表示焦点在x轴上的椭圆.\therefore10-k>k-4>0,解得4<k<7.
【题目】直线$y=\sqrt{3} x$交椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$于$A$、$B$两点，$|A B|=4 \sqrt{3}$,$F$是椭圆的右焦点，若$A F \perp B F$，则$a$=?
【解析】如图,连接AF_{1},BF_{1},因为|OA|=|OB|,|OF_{1}|=|OF|,所以四边形AF_{1}BF为平行四边形又AF\botBF,所以四边形AF_{1}BF为矩形,所以\angleF_{1}AF=\frac{\pi}{2},则|OF_{1}|=|OF|=|OA|=2\sqrt{3},又直线y=\sqrt{3}x可知\angleAOF=\frac{\pi}{3},则|AF|=|OF|=|OA|=2\sqrt{3},根据勾股定理可知:|AF_{1}|=6,由椭圆定义可知:|AF|+|AF_{1}|=2\sqrt{3}+6=2a,所以a=3+\sqrt{3}.
【题目】抛物线$y=a x^{2}$的准线方程是$y=-1$, 则$a$的值为?
【解析】
【题目】已知$F$为抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点，过点$F$且斜率为$1$的直线与抛物线相交于$A$、$B$两点. 若$|A F|-|B F|=\sqrt{6}$，则线段$A B$的长为?
【解析】抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点F(\frac{p}{2},0),准线方程为x=-\frac{p}{2}所以直线AB的方程为:y=x--与抛物线方程联立得:.\frac{1}{2}x_{1}+x_{2}=3p,x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4},因为|AF|-|BF|=\sqrt{6},所以x_{1}-(-\frac{p}{2})-[x_{2}-(-\frac{p}{2})]=\sqrt{6}\Rightarrowx_{1}-x_{2}=\sqrt{6}\Rightarrow\sqrt{(x_{1}+x_{2})}\frac{1}{2}-_{2}=\sqrt{6}即9p^{2}-4.\frac{p^{2}}{4}=6\Rightarrowp=\frac{\sqrt{3}}{2}所以AB=x_{1}-(-\frac{p}{2})+x_{2}-(-\frac{p}{2})=x_{1}+x_{2}+p=4p=2\sqrt{3}
【题目】抛物线$y=a x^{2}$的准线方程是$y-2=0$，则$a$的值是?
【解析】抛物线方程y=ax^{2}可化为x^{2}=\frac{1}{a}y因为抛物线的准线方程为x-2=0,所以-\frac{1}{4a}=2,解得a=-\frac{1}{8},
【题目】若动点$P$与定点$F(1,1)$的距离和动点$P$与直线$l$: $3 x+y-4=0$的距离相等，则动点$P$的轨迹方程是?
【解析】本题考查抛物线的定义与方程,主要用于准确落实抛物线的定义,关键在于首先确定点在直线上然后可判定P在过定点F且与定直线垂直的直线上,从而利用直线的垂直关系求得P的轨迹方程.因为定点F(1,1)在直线l:3x+y-4=0上,所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线,就是经过定点F与直线l:3x+y-4=0垂直的直线所以动点P的轨迹方程是y-1=\frac{1}{3}(x-1)即x-3y+2=0.
【题目】已知过抛物线$x^{2}=8 y$的焦点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点，$|A F|=4$，则$|B F|$=?
【解析】
【题目】过点$M(-1,1)$的直线$l$交椭圆$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$于$A$、$B$两点，若$M$恰是线段$A B$的中点，则直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】过双曲线$C$的左焦点$F_{1}$且斜率为$\frac{1}{3}$的直线$l$交双曲线$C$的左右两支于$A$、$B$两点，若线段$A B$的垂平分线过双曲线$C$的右焦点$F_{2}$. 则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右顶点分别为$A$、$B$，点$P$在椭圆上异于点$A$、$B$，直线$A P$, $B P$与直线$x=10$分别交于$M$，$N$. 则线段$M N$的最小值为?
【解析】由题意可知:A(-5,0),B(5,0).因为点P在椭圆上异于点A,B,所以设P(x_{0},y_{0})(x_{0}\neq\pm5)即\frac{x_{0}2}{25}+\frac{y_{0}2}{9}=1,于是有:k_{PA}\cdotk_{PB}=\frac{y_{0}}{x_{0}+5}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-5}=\frac{\frac{9}{25}(25-x_{0}2)}{x_{0}^{2}-25}=-\frac{9}{25},直线AP的方程为:y=k_{PA}(x+5),令x=10,所以M的坐标为:(10,15k_{PA}),直线BP的方程为y=k_{PB}(x-5),令x=10,所以N的坐标为:(10,5k_{PB})MN=|15k_{PA}-5k_{PB}|=5|3k_{PA}+\frac{9}{25k_{PA}}|=5(3|k_{PA}|+|\frac{9}{25k_{PA}}|)\geqslant5\cdot2\sqrt{3\cdot|k_{PA}|\cdot|\frac{9}{25k_{PA}}}(当且仅当3|k_{PA}|=|\frac{9}{25k_{PA}}|即k_{PA}=\frac{\sqrt{3}}{5},k_{PB}=-\frac{3\sqrt{3}}{5}或k_{PA}=-\frac{\sqrt{3}}{5},k_{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{5}时,等号成立).
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$被直线$l$截得弦的中点坐标为$(\frac{1}{2}, 1)$，则直线$l$的方程?
【解析】由中点的坐标代入椭圆方程,可得\frac{1}{16}+\frac{1}{16}<1,即直线l与椭圆相交,设直线与椭圆的交点为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),可得\frac{x_{1}2}{4}+\frac{y_{1}2}{16}=1,\frac{x_{2}2}{4}+\frac{y_{2}2}{16}-=1,两式相减可得\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{4}+\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{16}=0由中点坐标公式可得x_{1}+x_{2}=1,y_{1}+y_{2}=2代入上式,可得直线l的斜率为k_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{4(x_{1}+x_{2})}{v+y}=-2.可得直线l的方程为y-1=-2(x-\frac{1}{2}),即为2x+y-2=0
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$在第一象限内的一点$A(3, b)$到抛物线焦点$F$的距离为$4$，若$P$为抛物线准线上任意一点，则当$\Delta P A F$的周长最小时，点$P$到直线$A F$的距离为?
【解析】由已知及抛物线的定义得点A到准线的距离为4,因此有3+\frac{p}{2}=4,解得p=2,故抛物线方程为y^{2}=4x,从而A(3,2\sqrt{3}).当\trianglePAF的周长最小即|PA|+|PF|的值最小设F关于准线的对称点为F_{1},则F_{1}(-3,0),连接AF_{1},则AF_{1}与准线的交点即为使得|PA|+|PF的值最小的点P,此时可求得P(-1\frac{2\sqrt{3}}{2}).又因为k_{AF}=\frac{2\sqrt{3}-0}{3-1}=\sqrt{3},所以直线AF的方程为y-0=\sqrt{3}(x-1),即\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0,故点P到直线AF的距离d=\frac{|-\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}
【题目】设$A$、$B$为抛物线$x^{2}=4 y$上的两动点，且线段$A B$的长为$6$ , $M$为线段$A B$的中点，则点$M$到$x$轴的最短距离为?
【解析】AA'\botx轴,BB'\botx轴,当直线AB不过焦点F时,点A,B,F能构成三角形ABF,此时点M到x轴的距离d=\frac{|AA|+|BB|}{2},而|AA'|=|AF|-1,|BB'|=|BF|-1,而|AF|+|BF|>|AB|=6,所以d=\frac{\sqrt{4F|+|BF|-2}}{2}}>2,当直线AB过焦点时,此时A,B,F在一条直线上,点M到x轴的距离d=\frac{|AA|+|BB|}{|AF|+|BF|-2}=2,所以点M到x轴的最短距离为2.老点:抛物线的几何性质
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\sqrt{5}$ ,$C$的焦点到其渐近线的距离为$5$，则$a$=?
【解析】由题可知,e=\frac{c}{a}=\sqrt{5},设双曲线一条渐近线为y=\frac{b}{a}x^{,}即bx-ay=0,结合点到直线距离公式,得d=\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bc}{c}=b,即b=5,又因为c^{2}=a^{2}+b^{2},联立解得a=\frac{5}{2}
【题目】若直线$2 x+4 y+m=0$经过抛物线$y=2 x^{2}$的焦点，则$m$=?
【解析】由抛物线的方程可得焦点坐标,代入直线方程可得m的值y=2x^{2}可化为x^{2}=\frac{1}{2}y,焦点坐标为(0,\frac{1}{8})由题意可得:2\times0+4\times\frac{1}{8}+m=0,故m=-\frac{1}{2}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，过右焦点的直线$l$与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$交于$A$、$B$两点，与$y$轴交于$M$点，且满足$\overrightarrow{A F_{2}}=3 \overrightarrow{F_{2} B}$，$\overrightarrow{M A}=\overrightarrow{A F_{2}}$，则椭圆的离心率为?
【解析】由\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AF_{2}}知A是MF_{2}的中点,因此x_{A}=\frac{c}{2},则y_{A}=\frac{b\sqrt{4a2-c^{2}}}{2a},再由\overrightarrow{AF}_{2}=3\overrightarrow{F_{2}B}得x_{B}=\frac{7c}{6},y_{B}=-\frac{b\sqrt{4a^{2}-c^{2}}}{6a},所以\frac{49c^{2}}{36a^{2}}+\frac{4a^{2}-c^{2}}{36a^{2}}=1,\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{3},e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
【题目】与圆$C_{1}$:$(x+3)^{2}+y^{2}=9$外切且与圆$C_{2}$:$(x-3)^{2}+y^{2}=1$内切的动圆圆心轨迹方程为?
【解析】设动圆圆心为P(x,y),半径为r由题意,C_{1}(-3,0),r_{1}=3;C_{2}(3,0),r_{2}=1,动圆与圆C外切,与与圆C_{2}外切,得|PC_{1}|=r+3,|PC_{2}|=r-1两式相减有|PC_{1}|-|PC_{2}|=4,所以动圆圆心在以C_{1},C_{2}为焦点的双曲线的右支上,a=2,c=3,b^{2}=c^{2}-a^{2}=5,故轨迹方程\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1(x\geqslant2)
【题目】抛物线$C$: $y=a x^{2}(a>0)$过点$(4 , 2)$，则抛物线$C$的焦点坐标为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$且与$x$轴垂直的直线与椭圆交于$A$、$B$两点，直线$A F_{2}$与椭圆的另一个交点为$C$，若$S_{\triangle A B C}=4 S_{\triangle B C F_{2}}$，则椭圆的离心率为?
【解析】设椭圆的左、右焦点分别为F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0),将x=-c代入椭圆方程可得y=\pm\frac{b^{2}}{a},可设A(-c,\frac{b^{2}}{a}),C(x,y)'由S_{\triangleABC}=4S_{\triangleBCF_{2}},得\overrightarrow{AF_{2}}=3\overrightarrow{F_{2}C},即有(2c,-\frac{b^{2}}{a})=3(x-c,y)所以2c=3x-3c,-\frac{b^{2}}{a}=3y'解得x=\frac{5c}{3},y=-\frac{b^{2}}{3a},代入椭圆方程可得\frac{25c^{2}}{9a^{2}}+\frac{b^{2}}{9a^{2}}=1,即25c^{2}+b^{2}=9a^{2}因为b^{2}=a^{2}-c^{2},所以a^{2}=3c^{2},即a=\sqrt{3}c所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}解得e=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】设$m$是常数，若$F(0,5)$是双曲线$\frac{y^{2}}{m}-\frac{x^{2}}{9}=1$的一个焦点，则$m$=?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点与椭圆$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点重合，则$p$的值为?
【解析】
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点$F$作直线$l$交抛物线$C$于$A$、$B$两点，若$A$到抛物线的准线的距离为$4$，则$|A B|$=?
【解析】\becausey2=4x,\therefore抛物线的准线为x=-1,F(1,0),又A到抛物线准线的距离为4,x_{A}+1=4,\thereforex_{A}=3,\becausex_{A}x_{B}=\frac{p^{2}}{4}=1,\thereforex_{B}=\frac{1}{3},\therefore_{AB}=x_{A}+x_{B}+p=3+\frac{1}{3}+2=\frac{16}{3}.
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m>0, n>0)$的右焦点为$F(2,0)$，离心率为$\frac{1}{2}$，则此椭圆的方程为?
【解析】因为椭圆\frac{x^{2}}{m2}+\frac{y^{2}}{n2}=1(m>0,n>0)的右焦点为F(2,0)所以,椭圆的焦点在x轴上,且c=2,因为离心率为\frac{1}{2},所以\frac{c}{m}=\frac{1}{2},解得m=4,所以n^{2}=m^{2}-c^{2}=16-4=12所以,椭圆的方程为\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过焦点的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，则直线的斜率为 时，$|A F|+4|B F|$取得最小值?
【解析】
【题目】已知$F$是抛物线$C$: $y^{2}=16 x$的焦点，$M$是$C$上一点，$F M$的延长线交$y$轴于点$N$，若$M$为$F N$的中点，则$|F N|$的值是?
【解析】由抛物线方程求得焦点坐标,设出N点坐标,利用中点坐标公式求得M点的坐标,代入抛物线方程并化简,由此计算出|FN|的值.[详解]依题意可知,抛物线的焦点F(4,0),设N(0,t),由中点坐标公式得M(2,\frac{t}{2}),代入抛物线方程得(\frac{t}{2})^{2}=32,即t^{2}=128.所以|FN|=\sqrt{16+t^{2}}=\sqrt{16+128}=12.青】本小颗主要考查直线和抛物线的位置关系,考杳中点坐标公式和两点间的距离公式,属于其础颗
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点，若存在过点$F_{1}$的直线$A B$交椭圆于$A$、$B$两点，使得$2|A F_{1}|=3|F_{1} B|$，$|B F_{2}|=2|B F_{1}|$，则此椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆上一个动点，$Q$为圆$M$: $x^{2}+y^{2}-10 x-8 y+40=0$上一个动点，则$|P F_{1}|+|P Q|$的最大值为?
【解析】由题意得:F_{1}(-2,0),F_{2}(2,0),根据椭圆的定义得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=6,\therefore|PF_{1}|=6-|PF_{2}|,圆M:x^{2}+y^{2}-10x-8y+40=0变形得(x-5)^{2}+(y-4)^{2}=1,即圆心M(5,4),半径r=1.要使|PF_{1}|+|PQ|最大,即|PF_{1}|+|PM|+r最大,又|PF_{1}|+|PM|=6-|PF_{2}|+|PM|,\therefore使|PM|-|PF_{2}|最大即可.如图所示:\therefore当P,F_{2},M共线时,|PM|-|PF_{2}|有最大值为|F_{2}M|=\sqrt{(5-2)^{2}+4^{2}}=5\therefore|PF|+|PM|=6-|PF_{2}|+|PM|的最大值为5+6=11,\therefore|PF_{1}|+|PQ|的最大值,即|PF_{1}|+|PM|+r的最大值为11+1=12
【题目】已知$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=1(m>0, n>0)$，则当$m n$取得最小值时，椭圆$\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{n^{2}}=1$的离心率是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一条渐近线方程为$y=-2 x$，则此双曲线离心率等于?
【解析】由题意知:-\frac{b}{a}=-2,即b=2a,\therefore_{e=\frac{c}{a}}=\frac{\sqrt{a^{2+b^{2}}}{a}=\sqrt{5}
【题目】若直线$l$:$y=\sqrt{2}(x+2 \sqrt{3})$过双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点$F$，且与双曲线$C$只有一个公共点，则双曲线$C$的方程为?
【解析】由题意,直线l与渐近线平行,且过左焦点F,所以可列关于a,b,c的三个等式,求解a,b,c,即可得双曲线方程.[详解]过双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,因为过双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的左焦点F的直线l:y=\sqrt{2}(x+2\sqrt{3})与双曲线C只有一个公共点,所以直线l与渐近线平行,得\frac{b}{a}=\sqrt{2},0=\sqrt{2}(-c+2\sqrt{3}),又因为a^{2}+b^{2}=c^{2},解得c=2\sqrt{3}a=2,b=2\sqrt{2},所以双曲线C的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1
【题目】若双曲线$3 m x^{2}-m y^{2}=3$的一个焦点坐标为$(0,-2)$，则$m$=?
【解析】双曲线3mx^{2}-my^{2}=3的一个焦点坐标为(0,-2)故m<0,这双曲线可化为:\frac{y^{2}}{-m}-\frac{x^{2}}{-m}=1故\frac{1}{m}+\frac{3}{m}=4,解得m=-1
【题目】设$k \in R$，若$\frac{y^{2}}{k}-\frac{x^{2}}{k-2}=1$表示焦点在$y$轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是?
【解析】根据焦点在y轴上可得\begin{cases}k>0\\k-2>0\end{cases},进而求得k>2,再求解半焦距c的范围即可解】若\frac{y^{2}}{k}-\frac{x2}{k-2}=1表示焦点在y轴上的双曲线,可得\begin{cases}k\\k\end{cases}k-2>00,可得k>2,半焦距c=\sqrt{k+k-2}=\sqrt{2k-2}>\sqrt{2}则半焦距的取值范围是:(\sqrt{2},+\infty)
【题目】已知直线$M N$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左右两支分别交于$M$、$N$两点，与双曲线$C$的右准线相交于$P$点，点$F$为右焦点，若$|\overrightarrow{F M}|=2|\overrightarrow{F N}|$, $\overrightarrow{N P}=\lambda \overrightarrow{P M}(0<\lambda<1)$，则实数$\lambda$的值为?
【解析】记M、N在右准线上的射影分别为点M_{1},N_{1},根据双曲线的第二定义可求得|MM_{1}|=2|NN_{1}|,进而根据\triangleMM_{1}P\sim\triangleNN_{1}P,可推断出|MP|=2|NP|,由此求出实数\lambda的值.羊解】记M、N在右准线上的射影分别为点M_{1},N_{1}.由|\overrightarrow{FM}|=2|\overrightarrow{FN}|及双曲线第二定义知:|MM_{1}|=2|NN_{1}|,\lambda\triangleMM_{1}P\sim\triangleNN_{1}P,所以|MP|=2|NP|,从而\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PM},则\lambda=\frac{1}{2}
【题目】抛物线$y^{2}=6 x$的准线方程为?
【解析】因为抛物线的焦点在x轴上,2p=6,那么其准线方程为x=-\frac{3}{2}
【题目】已知抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点$F$是椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的一个焦点，若$P$、$Q$是椭圆与抛物线的公共点，且直线$P Q$经过焦点$F$，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知抛物线$\Gamma$: $y^{2}=2 p x  (p>0)$的焦点为$F$，斜率为$1$的直线$l$与抛物线$\Gamma$相交于$A$、$B$两点，若$|A F|=3$, $|B F|=5$，则$|A B|$=?
【解析】如图所示:因为|AF|=3,|BF|=5,所以|AA|=3,|BB|=5,则|BD|=2,因为直线l的斜率为1,所以|AB|=\sqrt{2}|BD|=2\sqrt{2}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$P$到其右焦点$F_{2}$的距离为$5$，则点$P$到其左准线的距离为?
【解析】结合椭圆的方程可得:a^{2}=16,b^{2}=9,c其离心率e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{7}}{4},由椭圆的第一定义可知:PF_{1}=2a-PF_{2}=8-5=3,设点P到其左准线的距离为d,由椭圆的第二定义可得:\frac{PF_{1}}{d}=\frac{3}{d}=\frac{\sqrt{7}}{4},解得:d=\frac{12\sqrt{7}}{7}.即点P到其左准线的距离为\underline{12\sqrt{7}}.
【题目】抛物线$y=10 x^{2}$的焦点到准线的距离是?
【解析】抛物线y=10x^{2}的标准方程为x^{2}=\frac{1}{10}y,则2p=\frac{1}{10},\thereforep=\frac{1}{20}即抛物线y=10x^{2}的焦点到准线的距离是\frac{1}{20}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左、右焦点. 若$P$是该椭圆上的一个动点，则$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的最大值为?
【解析】
【题目】如果$F_{1}$为椭圆的左焦点，$A$、$B$分别为椭圆的右顶点和上顶点，$P$为椭圆上的点，当${P F_{1}} \perp {F_{1} A}$，$P O // A B$($O$为椭圆的中心)时，椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$的离心率为?
【解析】由双曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x2}{16}=1可得:a=3,b=4,c=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5故e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$作倾斜角为$90^{\circ}$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，若线段$A B$的长为$8$，则抛物线的准线方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点为$F$、$O$为坐标原点，$P$为双曲线$C$右支上一点，$|P F|-|P O|=2 a$，则双曲线$C$的离心率的取值范围是?
【解析】设双曲线C的右焦点为F_{1},由双曲线的定义可知|PF|-|PF_{1}|=2a,又|PF|-|PO|=2a.所以|PO|=|PF_{1}|,设c^{2}=a^{2}+b^{2},则P点的横坐标为\frac{c}{2},因为点P在双曲线上,显然有\frac{c}{2}\geqslanta,即e=\frac{c}{a}\geqslant2.所以离心率e的取值范围是2,+\infty).
【题目】已知双曲线$C$:$x^{2}-\frac{y^{2}}{n}=1(n>0)$的焦点到它的渐近线的距离为$\frac{1}{2}$，则$C$的离心率为?
【解析】根据条件可得a^{2}=1,b^{2}=n,则c=\sqrt{1+n},焦点坐标为(\pm\sqrt{1+n},0)渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x\Leftrightarrowbx\pmab的值.的值.故c=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.所以离心率e=\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{2}故答案)5
【题目】从抛物线$y^{2}=4 x$上一点$P$引其准线的垂线，垂足为$M$，设抛物线的焦点为$F$，且$|P F|=5$，则$\triangle M P F$的面积为?
【解析】由抛物线的定义可知|PF|=|PM|=5,并且点P到准线的距离x_{p}+1=5,\thereforex_{p}=4,y_{p}=\pm4,\thereforeS=\frac{1}{2}\times5\times4=10
【题目】已知双曲线$C$过点$(1, \sqrt{5})$，且渐近线方程为$y=\pm 2 x$，则$C$的离心率为?
【解析】设C的方程为4x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0).\becauseC过点(1,\sqrt{5}),代入4x^{2}-y^{2}=\lambda解得:\lambda=-1,\thereforeC的方程为y^{2}-4x^{2}=1,即:y^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1\thereforea=1,b=\frac{1}{2}故:c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\therefore离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】已知$M(2,0)$, $P$是圆$N$: $x^{2}+4 x+y^{2}-32=0$上一动点，线段$M P$的垂直平分线交$N P$于点$Q$，则动点$Q$的轨迹方程为?
【解析】圆N:x^{2}+4x+y2-32=0可化为(x+2)^{2}+y^{2}=6^{2},所以N(-2,0),半径r=6,|MN|=4.依题意|QP|=|QM|,所以|QN|+|QM|=|QN|+|QP|=|NP|=6>|MN|.所以Q的轨迹为椭圆,2a=6,2c=4,a=3,c=2,b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{\frac{}{1}}所以动点Q的轨迹方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1
【题目】已知$A$、$B$、$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m, n>0)$上不同的三点，且$A$，$B$连线经过坐标原点，
若直线$P A$, $P B$的斜率乘积$k_{P A} \cdot k_{P B}=-2$，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】一动圆$M$与圆$O_{1}$: $x^{2}+(y+3)^{2}=1$外切，与圆$O_{2}$: $x^{2}+(y-3)^{2}=81$内切，则动圆圆心$M$的轨迹方程为?
【解析】设动圆半径为r,根据题意知:MO_{1}=1+r,MO_{2}=9-r,故MO_{1}+MO_{2}=10>6故轨迹为椭圆,2a=10,2c=6,故a=5,b=4,故轨迹方程为:\frac{y^{2}}{25}+\frac{x2}{16}=1
【题目】若$A(3,2)$ , $F$为抛物线$y^{2}=2 x$的焦点，$P$为抛物线上任意一点，则$|P F|+|P A|$的最小值为?
【解析】设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD\therefore要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,为3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}
【题目】与椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{10}=1$共焦点，且通过点$P(-3,2)$的椭圆方程是?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=4 y$准线上任一点$R$作抛物线的两条切线，切点分别为$M$、$N$，若$O$是坐标原点，则$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$=?
【解析】
【题目】$x^{2}+4 y^{2}=16$的离心率等于?与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是$x+\sqrt{3} y=0$的双曲线方程是?
【解析】椭圆x^{2}+4y^{2}=16的标准方程是\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1,其中a=4,b=2,c=2\sqrt{3},e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\because双曲线的一条渐近线方程是x+\sqrt{3}y=0,\therefore可设双曲线的方程为\frac{x^{2}}{\lambda}+\frac{y^{2}}{\frac{2}{3}}=1(\lambda>0)\because椭圆焦点的坐标是(\pm2\sqrt{3},0)\therefore双曲线的焦点坐标是(\pm2\sqrt{3},0)\therefore\lambda+\frac{\lambda}{3}=12,\lambda=9即双曲线的方程是\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1.答案:\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知点$P(x1 , y1)$是曲线$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上任意一点，则$x1-2 y1$的最大值为?
【解析】
【题目】已知点$P$是圆$C$: $x^{2}+y^{2}-8 x-8 y+28=0$上任意一点，曲线$N$: $x^{2}+4y^2=4$与$x$轴交于$A$，$B$两点，直线$OP$与曲线$N$交于点$M$，记直线$MA$，$MB$，$OP$的斜率分别为$k_{1}$，$k_{2}$，$k_{3}$，则$k_{1} \cdot k_{2} \cdot k_{3}$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$F$是抛物线$C$:$y^{2}=4 x$的焦点，过$F$且斜率为$\sqrt{3}$的直线交$C$于$A$，$B$两点. 设$|FA|>|FB|$，则$\frac{|F A |}{|F B|}$的值等于?
【解析】
【题目】存在第一象限的点$M(x_{0}, y_{0})$在椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上,使得过点$M$且与椭圆在此点的切线$\frac{x_{0} x}{a^{2}}+\frac{y_{0} y}{b^{2}}=1$垂直的直线经过点$(\frac{c}{2}, 0)$($c$为椭圆半焦距), 则椭圆离心率的取值范围是?
【解析】因为过点椭圆的切线\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1,所以切线的斜率为-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}},由\frac{y_{0}}{x_{0}-\frac{c}{2}}\times(-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}})=-1,解得x_{0}=\frac{a^{2}}{2}<a,解得\frac{c}{a}>\frac{1}{2},所以椭圆离心率的取值范围是(\frac{1}{2},1)
【题目】已知点$F(1,0)$是抛物线$C$: $y^{2}=2 p x$的焦点，则$p$=?
【解析】
【题目】已知点$N(\frac{5}{2}, 1)$，抛物线$y^{2}=6 x$的焦点为$F$，点$M$是抛物线上任意一点，则$\triangle M N F$周长的最小值是?
【解析】抛物线y^{2}=6x的焦点为F(\frac{3}{2},0),准线l的方程为x=-\frac{3}{2}过点M作MM\botl,垂足为M,则|MM|=|MF|,所以\triangleMNF的周长为|MF|+|MN|+|FN|=|MM|+|MN|+\sqrt{2}\geqslant|MN|+\sqrt{2}=\frac{5}{2}-(-\frac{3}{2})+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}当且仅当M,M,N三点共线时等号成立.
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线与$x$轴的交点为$K$，点$P$是抛物线上一点，则$\frac{|P F|}{|P K|}$的最小值为?
【解析】作PA垂直于准线交准线于点A,则\frac{|PF|}{|PK|}=\frac{|PA|}{|PK|}=\sin\angleAKP,当直线KP与抛物线相切时,\frac{|PF|}{|PK|}取得最小值,设此时KP的直线方程为x=my-1,联立直线与抛物线方程,消元,根据A=0得到方程,即可解得.详解】作PA垂直于准线交准线于点A,则|PF|=|PA|,则\frac{|PF|}{|PK|}=\frac{|PA|}{|PK|}=\sin\angleAKP,当直线KP与抛物线相切时,\frac{|PF|}{|PK}取得最小值,设此时KP的直线方程为x=my-1,与y^{2}=4x联立,得y^{2}-4my+4=0,A=16m^{2}-16=0,即m=\pm1,则\sin\angleAKP=\frac{\sqrt{2}}{2},则\frac{|PF|}{|PK|}的最小值为\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】经过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$，倾斜角为$30^{\circ}$的直线$l$与$C$交于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点$M$的横坐标为$7$，那么$p$=?
【解析】根据题意可以得过焦点的倾斜角为30^{\circ}直线方程为y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\frac{p}{2}),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立\begin{cases}y^{2}=2px\\y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\frac{p}{2})\end{cases}可得:\Rightarrowx^{2}-7px+\frac{p^{2}}{4}=0\becauseAB的中点M的横坐标为7\thereforex_{1}+x_{2}=7p=14,计算得出:p=2,
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的右焦点为$F$，则点$F$到该双曲线的渐近线的距离为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上任一点到其上顶点的最大距离恰好等于该椭圆的中心到其准线的距离，则该椭圆的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】若双曲线的一个顶点坐标为$(3,0)$,焦距为$10$,则它的标准方程为?
【解析】根据顶点坐标求得a,根据焦距求得c,进而根据b^{2}=c^{2}-a^{2}求得b,进而求得双曲线的标准方程依题意可知a=3,c=5\thereforeb=\sqrt{25-9}=4根据顶点坐标可知焦点在x轴,\therefore双曲线的方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1.
【题目】已知椭圆$G$的中心在坐标原点，长轴在$x$轴上，离心率为$\frac{\sqrt {3}}{2}$，且$G$上一点到$G$的两个焦点的距离之和为$12$，则椭圆$G$的方程为?
【解析】
【题目】已知$F$是抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点，过$F$的直线$l$与$C$交于$A$、$B$两点，线段$A B$中点的纵坐标为$4$，则$|A B|$=?
【解析】由题意,焦点为F(2,0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})的中点为M(x_{0},4),设直线/的斜率为k,所以\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=4,又y_{1}^{2}=8x_{1},y_{2}^{2}=8x_{2},两式相减得:(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=8(x_{1}-x_{2}),故\frac{y_{1}^{2}y_{2}}{x_{1}-x_{2}}.\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=4,故k=1,直线l为:y=x-2,所以x_{0}=6,|AB|=x_{1}+x_{2}+p=2x_{0}+4=16
【题目】已知直线与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$交于$A$、$B$两点，设线段$A B$的中点为$P$，若直线的斜率为$k_{1}$，直线$O P$的斜率为$k_{2}$，则$k_{1} k_{2}$等于?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一条渐近线经过点$(1,2)$，则该双曲线的离心率的值为?
【解析】
【题目】已知双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$，则此双曲线的离心率为?其焦点到渐近线的距离为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，设点$M$在长轴$A_{1} A_{2}$上，过点$M$作垂直于$A_{1} A_{2}$的直线交椭圆于$P$，则使得$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}<0$的$M$点的横坐标取值范围是?
【解析】由于点P满足\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}<0,则点P在以F_{1}F_{2}为直径的圆内,圆的方程为x^{2}+y^{2}=3,联立产程\begin{cases}x2+y^{2}=3\\x^{2}+4y2=4\end{cases},削去y得:x2=\frac{8}{3},x=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3},M点的横坐标取值范围是(-\frac{2\sqrt{6}}{3},\frac{2\sqrt{6}}{3})
【题目】斜率为$-\frac{1}{3}$的直线$l$被椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$截得的弦恰被点$M(1,1)$平分，则$C$的离心率是?
【解析】设直线l与椭圆的交点为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})因为弦恰被点M(1,1)平分,所以x_{1}+x_{2}=2,y_{1}+y_{2}=2由\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1,\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1,两式相减可得:\frac{(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}{a^{2}}+\frac{(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})}{b^{2}}=(化简可得:\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}},因为直线l的斜率为-\frac{1}{3},所以\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-=-\frac{1}{3}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3}所以离心率e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】设抛物线$C$:$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$M$在$C$上，$|M F|=2$，若以$M F$为直径的圆过点$(0,1)$，则$C$的焦点到其准线的距离为?
【解析】\because抛物线C方程为y^{2}=2px(p>0),\therefore焦点F(\frac{p}{2},0),准线方程为x=-\frac{p}{2}设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+\frac{p}{2}=2,可得x=2-\frac{p}{2},因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为\frac{2-\frac{p}{2}+\frac{p}{2}}{2}=1由已知圆半径也为1,据此可知该圆与y轴相切于点(0,1),故圆心纵坐标为1,则M点纵坐标为2,即M(2-\frac{p}{2},2),代入抛物线方程得4=2p(2-\frac{p}{2}),所以p=2,则C的焦点到准线距离为2,
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}=1$上的一点到两焦点的距离的乘积为$M$，则$M$的最大值为?
【解析】记椭圆的两个焦点分别为F_{1},F_{2},椭圆上任意一点为P,有|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=4\sqrt{2}则_{M}=|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\leqslant(\frac{|PF_{1}|+|PF_{2}|}{2})^{2}=8^{\circ}当且仅当|PF_{1}|=|PF_{2}|=2\sqrt{2}即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,等号成立,即M的最大值为8
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上一点$M(4,-4)$，点$A$、$B$是抛物线$C$上的两动点，且$\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$，则点$M$到直线$A B$的距离的最大值是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),\therefore\begin{cases}y_{1}^{2}=4x_{1},\\y_{2}^{2}=4x_{2},\end{cases}\thereforek_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}},\thereforel_{AB}.y-y_{1}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}(x-x_{1}).\because点M在抛物线上,\thereforek_{MA}=\frac{4}{y_{1}-4},k_{MB}=\frac{y}{y_{2}}\frac{4}{-4}\because\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(-1,\thereforey_{1}y_{2}-4(y_{1}+y_{2})+32=0,\thereforel_{AB}x-\frac{y^{2}}{y_{1}+y_{2}}+y_{1}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}x+\frac{y_{1}y_{2}}{y_{1}+y_{2}}-(x-8)+4,\therefore直线AB恒过点N(8,4),则点M到直线AB的距离的最大值为|MN|=\sqrt{(8-4)^{2}+(4+4)^{2}}=4\sqrt{5}
【题目】已知斜率为$1$的直线$l$与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$交于$A$，$B$两点，且$|A B|=4 \sqrt{5}$, 则直线$l$的方程为?
【解析】设直线l的方程为y=x+m,代入双曲线方程可得x^{2}-2mx-m^{2}-8=0,因为|AB|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=4\sqrt{5},所以\sqrt{2}\cdot\sqrt{4m^{2}-4\times(-m^{2}-8})=4\sqrt{m^{2}+4}=4\sqrt{5}解得m=\pm1,所以直线l的方程为y=x\pm1,
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的一个焦点是$F$，动点$P$是椭圆上的点，以线段$P F$为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是?
【解析】先设F_{1}是椭圆的另一个焦点,M是线段PF的中点,根据三角形的中位线及椭圆的定义可得|MO|=\frac{1}{2}|PF_{1}|=\frac{1}{2}(2a-|PF|)=a-\frac{1}{2}|PF|,再根据两圆的位置关系得到结论.详解】设F_{1}是椭圆的另一个焦点,M是线段PF的中点,根据题意得,|MO|=\frac{1}{2}|PF_{1}|=\frac{1}{2}(2a-|PF|)=a-\frac{1}{2}|PF|即以长轴长为直径的圆与以线段PF为直径的圆相内切,所以定圆的圆心是O(0,0),半径r=a=2所以定圆的方程为x^{2}+y^{2}=4,
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，且椭圆$C$上存在点$P$使得$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}<0$，则实数$m$的取值范围为?
【解析】由题意得,椭圆C上存在点P使得\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF}_{2}<0即存在点P使得\angleF_{1}PF_{2}为钝角.故只需\angleF_{1}PF_{2}的最大值能够为钝角即可.当焦点在x轴上时,由椭圆的性质有,当P在上下顶点时,\angleF_{1}PF_{2}取最大值,此时若\angleF_{1}PF_{2}>\frac{\pi}{2},则\angleF_{1}PO>\frac{\pi}{4},故\sqrt{4-m}>\sqrt{m},解得m<2.当焦点在y轴上时,由椭圆的性质有,当P在左右顶点时,\angleF_{1}PF_{2}取最大值.此时若\angleF_{1}PF_{2}>\frac{\pi}{2},则\angleF_{1}PO>\frac{\pi}{4},故\sqrt{m-4}>2,解得m>8.故m的取值范围为(0,2)\cup(8,+\infty)
【题目】设$b \in R$，若曲线$y^{2}=-|x|+1$与直线$y=-x+b$有公共点，则$b$的取值范围是?
【解析】y^{2}=-|x|+1=\begin{cases}-x+1,x\geqslant0\\x+1,x\leqslant0\end{cases}如图所示:当直线y=-x+b与曲线y^{2}=-x+1相\Square时\begin{cases}y2=-x+1\\v=-x+b\end{cases}\Rightarrowx^{2}+(1-2b)x+b^{2}-1=0,\Delta=(1-2b)^{2}-4(b^{2}-1)=0,解得b=\frac{5}{4}当直线yy=-x+b与曲线y^{2}=x+1相切时,\begin{cases}y^{2}=x+1\\v=-x+b\end{cases}\Rightarrowx^{2}-(2b+1)x+b^{2}-1=0,\triangle=(2b+1)^{2}-4(b^{2}-1)=0,解得b=-\frac{5}{4}因为曲线y^{2}=-|x|+1与直线y=-x+b有公共点,所以b的取值范围为[-\frac{5}{4},\frac{5}{4}].
【题目】直线$y=x+1$与双曲线$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$相交于$A$、$B$两点，$|A B|$=?
【解析】设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}).联立\begin{cases}y=x+1\\3x^{2}-2y2=6\end{cases},消去y并整理得x^{2}-4x-8=0,由韦达定理得x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=-8,由弦长公式得|AB|=\sqrt{1+1^{2}}.|x,x_{1}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{x}}=\sqrt{2}\times\sqrt{4^{2}-4\times(-8)}=4\sqrt{6}
【题目】已知抛物线的方程为$y^{2}=4 x$,则其焦点到准线的距离为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1;其焦点到准线的距离为2.
【题目】已知$M$是曲线$y=4 x^{2}+1$上的一个动点，且点$M$为线段$O P$的中点，则动点$P$的轨迹方程为?
【解析】设P(x,y),M(x_{0},y_{0})\becauseM为OP中点\becauseM在曲线y=4x^{2}+1上\therefore\begin{cases}x_{0}=\frac{x}{2}\\y_{0}=\frac{y}{2}\end{cases},即M(\frac{x}{2},\frac{y}{2})\thereforeP点轨迹方程为:y=2x^{2}+2
【题目】若$x$ , $y$满足方程$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，则$y-x$的最大值为?
【解析】因为椭圆方程为\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,故可设椭圆参数方程为:\begin{cases}x=2\cos\theta\\v=\sin\theta\end{cases}则y-x=\sin\theta-2\cos\theta=\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi),\sqrt{5}\sin(\theta+\varphi)\in[-\sqrt{5},\sqrt{5}],所以y-x的最大值为\sqrt{5}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ ,过点$(1,0)$作倾斜角为$45^{\circ}$的直线$l$交椭圆于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点，则$\triangle A O B$的面积为?
【解析】
【题目】若抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$上一点$(5, t)$到焦点的距离为$6$ ,$P$ , $Q$分别为抛物线与圆$(x-6)^{2}+y^{2}=1$上的动点，则$|P Q|$的最小值为?
【解析】根据抛物线定义有5+\frac{p}{2}=6,即可求参数p,再将问题转化为求圆心A(6,0)到抛物线上点最小距离,结合两点距离公式及二次函数性质即可求|PQ|的最小值.[详解]由题设及抛物线定义知:5+\frac{p}{2}=6,可得p=2,故C:y^{2}=4x而(x-6)^{2}+y^{2}=1的圆心为A(6,0),半径为1所以|PQ|最小,则A,Q,P共线且|PQ|=|AP|-1,故只需|AP|最小,令P(x,y),则|AP|=\sqrt{(x-6)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x-4)^{2}+20},且x\geqslant0,当x=4时,|AP|_{\min}=2\sqrt{5},故|PQ|的最小值为2\sqrt{5}-1
【题目】一个焦点为$(-6,0)$且过点$(5 ,-2)$的双曲线标准方程是?
【解析】
【题目】若点$O$和点$F$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的中心和左焦点，点$P$为椭圆上的任意一点，则$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}$的最大值为?
【解析】由椭圆方程得到F,O的坐标,设P(x,y)(-2\leqslantx\leqslant2),利用数量积的坐标运算将\overrightarrow{OP}\overrightarrow{FP}转化为二次函数最值求解.由椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,可得F(-1,0),点O(0,0),设P(x,y)(-2\leqslantx\leqslant2),则\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{FP}=x^{2}+x+y^{2}=x^{2}+x+3(1-\frac{x^{2}}{4})=\frac{1}{4}x^{2}+x+3=\frac{1}{4}(x+2)^{2}+2,-2\leqslantx\leqslant2当x=2时,\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{FP}取得最大值6
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦距为 (用数字填写)?
【解析】双曲线\frac{x2}{10}-\frac{y^{2}}{2}=1中有:a^{2}=10,b^{2}=2,所以c^{2}=a^{2}+b^{2}=12'c=2\sqrt{3}所以焦距为2c=4\sqrt{3}
【题目】双曲线$4 x^{2}-3 y^{2}=-12$的渐近线方程为?
【解析】该双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{3}=1,它的焦点在y轴上,其中a=2,b=\sqrt{3},所以渐近线方程为y=\pm\frac{a}{b}x=\pm\frac{2}{\frac{2}{5}}x=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}x
【题目】已知双曲线$x^{2}-y^{2}=1$，点$F_{1}$、$F_{2}$为其两个焦点，点$P$为双曲线上一点，若$PF_{1} \perp PF_{2}$，则$|PF_{1}|+|PF_{2}|$的值为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{n}-y^{2}=1(n>1)$的焦点为$F_{1}$, $F_{2} $,$P$在双曲线上，且满足:$|P F_{1}|+|P F_{2}|=2 \sqrt{n+2}$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积是?
【解析】由题:设F_{1}、F_{2}是双曲线的左右焦点,P为右支上一点,|PF_{1}|-|PF_{2}|=2\sqrt{n}\textcircled{1}|PF_{1}|+|PF_{2}|=2\sqrt{n+2}\textcircled{2},由\textcircled{1}\textcircled{2}解得:|PF|=\sqrt{n}+\sqrt{n+2},|PF_{2}|=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}得:|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2},\thereforePF_{1}\botPF_{2}又由\textcircled{1}\textcircled{2}分别平方后作差得:PF_{1}\cdotPF_{2}=2,则\trianglePF,F,的面积是:1
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于$A$、$B$两点，若线段$A B$的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为双曲线右支上一点，$P F_{2}$与圆$x^{2}+y^{2}=b^{2}$切于点$G$, 且$G$为$P F_{2}$的中点，则该双曲线的离心率$e$=?
【解析】根据题意可得|PF_{2}|=2a,|PF_{1}|=4a,\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},根据勾股定理,得到a,c关系,求出离心率连接PF_{1},因为O、G分别是F_{1}F_{2}、PF_{2}的中点所以OG/\!/PF_{1},因为OG\botPF_{2}所以PF_{1}/\!/OG,PF_{1}\botPF_{2}因为OG=b,所以PF_{1}=2b,所以PF_{2}=2b-2a,由勾股定理得(2b)^{2}+(2b-2a)^{2}=(2c)^{2}=4a^{2}+4b^{2}所以b=2a,因此e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}
【题目】双曲线$x^{2}-y^{2}=1$的右支上到直线$y=x$的距离为$\sqrt{2}$的点的坐标是?
【解析】设所求点的坐标为(a,b)(a>0),则此点是方程组\begin{cases}a2-b^{2}=1\\\frac{|a-b|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2}\end{cases}的解,结合a>0即可得点的坐标.设所求点的坐标为(a,b)(a>0),则\begin{cases}a2-b^{2}=1\textcircled{1}\\\frac{|a-b|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\textcircled{2}}\end{cases}由\textcircled{1}得a^{2}=1+b^{2}即a=\sqrt{1+b^{2}}>b所以\textcircled{2}式为:a-b=2\textcircled{3},将a=b+2代入a^{2}-b^{2}=1可得b=-\frac{3}{4},所以a=\frac{5}{4}所求点的坐标为:(\frac{5}{4},-\frac{3}{4})
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的两个焦点，$P$在椭圆上，且满足$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积是?
【解析】由题意,得\begin{cases}\\|PF|^{2}+\end{cases}即\begin{cases}|PF_{1}|+|PF_{2}|=4\\|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|-|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=12\end{cases},则3|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4^{2}-12,即|PF_{1}|.|PF_{2}|=\frac{4}{3},所以APF_{1}F_{2}的面积为S=\frac{1}{2}|PF_{1}|.|PF_{2}|\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{2+m}=1$的焦距为$4$，则$m$=?
【解析】因为\frac{x2}{15}+\frac{y^{2}}{y+m}=1表示椭圆,所以m>-2且m\neq13.当椭圆的焦点在x轴上时,a^{2}=15,b^{2}=2+m,所以15=2+m+2^{2},即m=9;当椭圆的焦点在y轴上时,a2=2+m.b^{2}=15,所以2+m=15+2^{2},即m=17;故答家为:9或17
【题目】椭圆$x^{2}+9 y^{2}=25$的长轴长为?短轴长为?焦点坐标为?顶点坐标为?
【解析】由题意知:椭圆标准方程为\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\thereforea=5,b=\frac{5}{3},c=\frac{10\sqrt{2}}{3},即长轴长为10,短轴长为\frac{10}{3},焦点坐标(\pm\frac{10}{3}\sqrt{2},0),顶点坐标(\pm5,0),(0,\pm\frac{5}{3})
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆的方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程为$y=\frac{3}{4} x$,$P$为该双曲线上一点，$F_{1}$、$F_{2}$为其左、右焦点，且$P F_{1} \perp P F_{2}$,$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|=18$，则该双曲线的方程为?
【解析】根据渐近线方程得斜率可得\frac{b}{a}=\frac{3}{4},根据双曲线的定义以及勾股定理可得b=3,可得c=5,a=4从而可得双曲线的方程.设c=\sqrt{a^{2}+b^{2}},则由渐近线方程为y=\frac{3}{4}x,\frac{b}{a}=\frac{3}{4}又\begin{cases}||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a,\\|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2},\end{cases}|\frac{|F_{1}F_{2}|}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4a^{2}所以\begin{cases}|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|\overrightarrow{P}\\|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=4c^{2}.\end{cases}两式相减,得2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4b^{2},而|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=18,所以b^{2}=9所以b=3,所以c=5,a=4,故双曲线的方程为\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1.
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$、$M$是抛物线$C$上的点若$\triangle O F M$的外接圆与抛物线$C$的准线相切,且该圆的面积为$36 \pi$,则$p$的值为?
【解析】设\triangleOFM外接圆的圆心为O_{1},则|O_{1}O|=|O_{1}F|=|O_{1}M|,所以O_{1}在线段OF的垂直平分线上.又因为圆O_{1}与抛物线的准线相切,所以点O_{1}在抛物线上,所以O_{1}(\frac{p}{4},\frac{\sqrt{2}}{2})又因为圆面积为36\pi,所以圆半径为6,所以\frac{p^{2}}{16}+\frac{1}{2}p^{2}=36,解得p=8.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4}=1(a>2)$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则$a$=?
【解析】
【题目】已知$a>b>0$,$e_{1}$,$e_{2}$分别是圆雉曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$和$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率，设$m=\lg e_{1}+\lg e_{2}$，则$m$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知动点$P$到定点$(2,0)$的距离和它到定直线$l$: $x=-2$的距离相等，则点$P$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】中心在原点，焦点在$x$轴上的双曲线的一条渐近线经过点$(2,-1)$，则它的离心率为?
【解析】由题意得,\frac{b}{a}=\frac{1}{2},\therefore离心率e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2},故填:\frac{\sqrt{5}}{2}.
【题目】焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{t}=1$上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于$1$，则$t$的取值范围为?
【解析】由题意得a-c>1,即2-\sqrt{4-t}>1,解得3<t<4
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$|M F_{1}|\cdot|M F_{2}|$的最大值为$25$，则$a$=?
【解析】

hbghlyj

【题目】已知椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<2)$的右焦点为$F$. 短轴的一个端点为$M$，直线$l$: $3 x-4 y=0$，若点$M$到直线$l$的距离不小于$\frac{4}{5}$ , 则椭圆$E$的离心率的取值范围是?
【解析】根据椭圆的对称性不妨取M(0,b),点M到直线l的距离d=\frac{b\times0-4\timesb|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{4b}{5}\geqslant\frac{4}{5},\thereforeb\geqslant1,又\because0<b<2,\therefore1\leqslantb<2.\thereforee^{2}=\frac{4-b^{2}}{4}=1-\frac{b^{2}}{4}\in(0,\frac{3}{4}],\thereforee\in(0,\frac{\sqrt{3}}{2}]
【题目】设直线$y=k x$与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$相交于$A$、$B$两点，分别过$A$、$B$向$x$轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则$k$等于?
【解析】
【题目】焦点在$y$轴上，焦距为$2 \sqrt{6}$且过点$(\sqrt{2}, \sqrt{3})$的椭圆的标准方程为?
【解析】由题意可设椭圆方程为:\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\because焦距为2\sqrt{6},即2c=2\sqrt{6},\thereforec=\sqrt{6},\thereforea^{2}=b^{2}+6,则\frac{y^{2}}{b^{2}+6}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1.代入点(\sqrt{2},\sqrt{3})得:\frac{3}{b^{2}+6}+\frac{2}{b^{2}}=1,解得:b^{2}=3,a^{2}=9\therefore椭圆的标准方程为:\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{3}=1.
【题目】若抛物线的准线方程为$2 x+3 y-1=0$, 焦点为$(-2,1)$, 则抛物线的对称轴方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率$e$=?
【解析】由\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1,可得a=2,b=3,故c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$的右准线方程是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点为$F$、$A$为椭圆在第一象限内的点，连接$A F$并延长交椭圆于点$B$，连接$A O$($O$为坐标原点) 并延长交椭圆于点$C$，若$S_{\triangle A B C}=3$，则点$C$的坐标为?
【解析】求得F(1,0),设AB的方程为x=my+1,联立椭圆方程,运用韦达定理,以及完全平方公式,结合题意可得S_{\triangleABO}=S_{\triangleAOF}+S_{\triangleBOF}=\frac{1}{2}\cdot|OF|\cdot|y_{1}-y_{2}|=\frac{3}{2},即有|y_{1}-y_{2}|=3,平方后由韦达定理,即可求得C的坐标羊解】根据题意画出图象:由题意可得F(1,0),设AB的方程为x=my+1,联立椭圆方程可得(4+3m^{2})y^{2}+6my-9=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})可得y_{1}+y_{2}=-\frac{6m}{4+3m^{2}},y_{1}y_{2}=-\frac{9}{4+3m^{2}}由O为AC的中点,且\triangleABC的面积为3,可得\triangleABO的面积为\frac{3}{2}S_{\DeltaABO}=S_{\DeltaAOF}+S_{\DeltaBOF}=\frac{1}{2}\cdot|OF|\cdot|y_{1}-y_{2}|=\frac{3}{2}即有|y-y_{2}|=3,可得\frac{36m^{2}}{(4+3m2)^{2}}+\frac{36}{4+3m^{2}}=9化为9m4+8m^{2}=0,即m=0则AB\botx轴,可得A(1,\frac{3}{2})根据点A与C关于原点对称\therefore点C的坐标为(-1,-\frac{3}{2})
【题目】若直线$y=k x-2$与抛物线$y^{2}=8 x$相交于不同的两点$A$、$B$，且$A B$中点纵坐标为$2$，则$k$=?
【解析】直线y=kx-2代入抛物线y^{2}=8x,消去y,可得一元二次方程,利用线段AB的中点的纵坐标为2,结合韦达定理,即可求出k的值.羊解】直线y=kx-2代入抛物线y^{2}=8x,消去y可得k^{2}x^{2}+(-4k-8)x+4=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=\frac{4k+8}{k^{2}},\because线段AB的中点的纵坐标为2,\thereforey_{1}+y_{2}=4,\thereforek(x_{1}+x_{2})-4=4\thereforek^{4k+8}-4=4\thereforek=2.
【题目】已知双曲线$C$:$ x^{2}-y^{2}=1$的右焦点为$F$,则点$F$到双曲线$C$的一条渐近线的距离为?
【解析】
【题目】设抛物线$y^{2}=2 x$的焦点为$F$，准线为$l$，弦$A B$过点$F$且中点为$M$，过点$F$、$M$分别作$A B$的垂线交$l$于点$P$ , $Q$ ,若$|A F|=3|B F|$，则$|F P|\cdot| M Q |$=?
【解析】
【题目】已知$l$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线，$l$与圆$(x-c)^{2}+y^{2}=a^{2}$(其中$c^{2}=a^{2}+b^{2}$)相交于$A$、$B$两点，若$|A B|=a$, 则$C$的离心率为?
【解析】由题意可知,双曲线的一条渐近线方程为:bx+ay=0,圆(x-c)^{2}+y^{2}=a^{2}的圆心(c,0),半径为:a,l为双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线l与圆(x-c)^{2}+y^{2}=a^{2}(其中c^{2}=a^{2}+b^{2})相交于A,B两点,若|AB|=a,可得\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+(\frac{a}{2})^{2}=a^{2},可得4b^{2}=3a^{2},可得4(c^{2}-a^{2})=3a^{2}解得_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{2}
【题目】设$F$为抛物线$C$: $y^{2}=6 x$的焦点，过$F$且倾斜角为$30^{\circ}$的直线交$C$于$A$、$B$两点，则线段$A B$的中点到$x$轴的距离为?
【解析】(解析)先根据抛物线方程求得焦点坐标,根据直线的斜率求得直线的方程与抛物线方程联立消去y,根据韦达定理求得x_{A}+x_{B}的值,即可求出中点坐标,可得答案.依题意可知抛物线C:y^{2}=6x焦点为(\frac{3}{2},0).直线AB的方程为y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\frac{3}{2})代入抛物线方程得x^{2}-21x+\frac{9}{4}=0,可得x_{A}+x_{B}=21,设线段AB的中点为(x_{0},y_{0})\thereforex_{0}=\frac{21}{2}\thereforey_{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}(\frac{21}{2}-\frac{3}{2})=3\sqrt{3}与睛)求解时注意抛物线的定义的灵活应用,即把弦长公式和弦的中点坐标联系起来
【题目】已知点$M$到定点$F$ $(1,0)$的距离和它到定直线$l$: $x=4$的距离的比是常数$\frac{1}{2}$，设点$M$的轨迹为曲线$C$，则曲线$C$的轨迹方程是?
【解析】设点M(x,y),利用条件可得\frac{\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}{|x-4|}=\frac{1}{2},化简可得曲线C的轨迹方程,从而可得到结论.设点M(x,y),则据题意有\frac{\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}}{|x-4|}=\frac{1}{2}则4[(x-1)^{2}+y2]=(x-4)^{2},即3x^{2}+4y^{2}=12,\therefore\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,故曲线C的轨迹方程是\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的焦点坐标为?
【解析】
【题目】方程$\frac{x^{2}}{24-k}+\frac{y^{2}}{16+k}=1$表示椭圆，则实数$k$的取值范围是?
【解析】\because方程\frac{x^{2}}{24-k}+\frac{y^{2}}{16+k}=^{1}表示椭圆,\begin{cases}24-k>0\\16+k>0\end{cases}(24-k\neq16+k解得-16<k<4或4<k<24\thereforek的取值范围是:(-16,4)\cup(4,24)
【题目】设$P$为直线$y=\frac{b}{3 a} x$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$左支的交点，$F_{1}$是左焦点，$P F_{1}$垂直于$x$轴，则双曲线的离心率$e$=?
【解析】设P(x,\frac{b}{3a}x),则由题意,知c=|x|.因为PF_{1}垂直于x轴,则由双曲线的通径公式知|\frac{b}{3a}|=\frac{b^{2}}{a},即\frac{b}{3a}c=\frac{b^{2}}{a},所以b=\frac{c}{3}.又由a^{2}=c^{2}-b^{2},得a^{2}=\frac{8}{9}c^{2},所以e=\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{2}}{4}
【题目】若双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{k}=1$的一条渐近线的斜率是$-2$，则实数$k$的值为?
【解析】求出a、b,由题意可得出-\frac{b}{a}=-2,进而可:在双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{k}=1中,k>0,a=1,b=\sqrt{k}由于该双曲线的一条渐近线的斜率为-2,则-\frac{b}{a}=-\frac{\sqrt{k}}{1}=-2'解得k=4
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$有相同的渐近线，且过点$P(2,1)$的双曲线标准方程为?
【解析】设双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1有相同的渐近线的双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=\lambda,(\lambda\neq0),把点P(2,1)代入出2.羊解】设双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1有相同的渐近线的双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=\lambda(\lambda\neq0)把点P(2,1)代入,得:\lambda=\frac{1}{2}\therefore所求双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1
【题目】过点$P(2,2)$的直线与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A$、$B$两点，且$\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{0}$，则此直线的方程为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}^{2}=4x_{1},y_{2}^{2}=4x_{2}故y_{1}^{2}-y_{2}^{2}=4x_{1}-4x_{2},整理得到(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=4(x_{1}-x_{2}),k_{AB}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}因为\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0},故P为AB的中点,所以y_{1}+y_{2}=4所以k_{AB}=1,故直线方程为y=1\times(x-2)+2=x
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2^{t}}-\frac{y^{2}}{4^{t}+4}=1(t \in R)$，则$C$的离心率的最小值是?
【解析】由双曲线方程可得a^{2}=2^{t},b^{2}=4^{t}+4,然后e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{4^{1}+4}{2^{t}}}=\sqrt{2^{t}+\frac{4}{2^{t}}+1},然后用基本不等式即可求解因为双曲线C:\frac{x^{2}}{2^{1}}.所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{1}\frac{,所以a^{2}=2^{t},b^{2}}{2^{+4}}=\sqrt{2^{t}+\frac{4}{2^{t}}+1}\geqslant\sqrt{2\sqrt{4}+1}=\sqrt{5}当且仅当2^{t}=\frac{4}{2^{t}},即t=1时等号成立
【题目】点$P(x, y)$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上的动点，$F_{1}$、$F_{2}$为其左、右焦点，则$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的取值范围是?
【解析】因为F_{1},F_{2}为椭圆\frac{x2}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1左、右焦点,所以F_{1}-1,0),F_{2}(1,0)又点P(x,y)是椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1上的动点,所以可设P(2\cos\theta,\sqrt{3}\sin\theta)所以\overrightarrow{PF}_{1}=(-1-2\cos\theta,-\sqrt{3}\sin\theta),\overrightarrow{PF_{2}}=(1-2\cos\theta,-\sqrt{3}\sin\theta)因此\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=(-1-2\cos\theta)(1-2\cos\theta)+3\sin^{2}\theta=4\cos2\theta+3\sin^{2}\theta-1=2+\cos2\theta因为0\leqslant\cos^{2}\theta\leqslant1,所以2\leqslant2+\cos2\theta\leqslant3,所以\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF}_{2}的取值范围是[2,3].
【题目】以双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是?
【解析】
【题目】直线$l$与抛物线$y^{2}=2 x$ 交于点$A$, $B$，以线段$A B$为直径的圆$M$恰与抛物线的准线相切，若圆$M$的面积为$16 \pi$，则直线$l$的斜率为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$的顶点坐标为原点，焦点在$x$轴上，直线$y=x$与抛物线$C$交于$A$、$B$两点. 若$P(2,2)$为线段$A B$的中点，则抛物线$C$的方程为?
【解析】设抛物线的方程为y^{2}=2px,由抛物线方程与直线y=x消去y得关于x的方程,解出A、B的横坐标.再结合中点坐标公式和点P(2,2)为AB的中点,得p=2,从而得到抛物线的方程详解]设抛物线的方程为y^{2}=2px,(p>0)由\begin{cases}y2=2px\\v=x\end{cases}消去y,得x^{2}-2px=0,得x_{1}=0,x_{2}=2p,直线被抛物线截得弦AB,且点P(2,2)为AB的中点=2,得p=2,所以抛物线的方程为v2=4x
【题目】若动点$P$到点$A(0 , 1)$的距离比到直线$l$: $y=-2$的距离小$1$，则动点$P$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】短轴长为$\sqrt{5}$，离心率$e=\frac{2}{3}$的椭圆两焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$作直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$的周长为?
【解析】先根据条件求解出椭圆的长半轴长a,再分析出\triangleABF_{2}的周长即为4a,由此可得结果设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,因为短轴长为\sqrt{5},离心率e=\frac{2}{3},所以\begin{cases}\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\\2b=\sqrt{5}\\a2=b^{2}+c2\end{cases}所以a^{2}=\frac{9}{4},所以a=\frac{3}{2},又因为\triangleABF_{2}的周长为|AF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{1}|+|BF_{2}|由椭圆定义可知\triangleABF_{2}的周长为4a=6,
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的离心率是?
【解析】由x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1可得,a=1,b=\sqrt{3}\Rightarrowc=2,所以双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的离心率是e=\frac{c}{a}=2,
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与直线$y=2 x$垂直，则其离心率为?
【解析】根据渐近线方程y=\pm\frac{b}{a}x',可得a=2b,根据c=\sqrt{a^{2+b^{2}}=\sqrt{5b^{2}}=\sqrt{5}b以及离心率公式可得答案因为渐近线方程y=\pm\frac{b}{a}x'所以\frac{b}{a}=\frac{1}{2},则a=2b,c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5b^{2}}=\sqrt{5}b.故离心率为\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}b}{2b}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2-m^{2}}=1$表示椭圆，则实数$m$的取值范围是?
【解析】方程\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2-m^{2}}=1表示椭圆,则\begin{cases}m>0\\2-m2>0\\m\neq2-m^{2}\end{cases}解得m\in(0,1)\cup(1,\sqrt{2}).
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的焦点到双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$渐近线的距离为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点为(1,0),双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1渐近线为y=\pm\frac{3}{4}x,3x\pm4y=0,所求距离为d=\frac{3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{3}{5}
【题目】已知$F$为双曲线$C$: $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的上焦点，$A$为$C$的上顶点，$B$为$C$上的点，且$B F$垂直于$y$轴. 若$A B$的斜率为$\frac{1}{3}$，则$C$的离心率为?
【解析】因为A为C的上顶点,所以A(0,a),因为F为双曲线的上焦点,所以F(0,c),因为B为C上的点,且BF垂直于y轴.所以_{B}(\frac{b^{2}}{a},c)所以^{k}AB=\frac{c-a}{\frac{b^{2}}{a}-0}=\frac{1}{3}即c^{2}-3ac+2a^{2}=0,即e^{2}-3e+2=0,解得e=2或e=1(舍去)
【题目】已知$M(1,0)$为抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$对称轴上一点，且过该点的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，则直线$O A$ , $O B$斜率乘积为?
【解析】设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),则^{k}OA=\frac{y_{1}}{x_{1}}=\frac{y_{1}}{\frac{y_{1}^{2}}{2p}}=\frac{2p}{y_{1}},同理可得k_{OB}=\frac{2p}{y_{2}}若直线AB与x轴重合,则直线AB与抛物线y^{2}=2px(p>0)只有一个交点,不合乎题意设直线AB的方程为x=my+1,联立\begin{cases}y2=2px\\x=my+1\end{cases},可得y^{2}-2mpy-2p=0,由韦达定理可得y_{1}y_{2}=-2p因此,直线OA、OB斜率乘积为k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{4p^{2}}{y_{1}y_{2}}=\frac{4p^{2}}{-2p}=-2p
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的焦点，点$P$是$C$上的动点，则$P F_{1}$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{y^{2}}{6}-\frac{x^{2}}{3}=1$，则以双曲线中心为顶点，以双曲线准线为准线的抛物线方程为?
【解析】双曲线\frac{y^{2}}{6}-\frac{x^{2}}{3}=1的准线方程为:y=\pm\frac{a^{2}}{c}\Rightarrowy=\pm2,由题意可知,抛物线的准线方程为y=\pm2,所以标准方程为x^{2}=\pm8y
【题目】设直线$y=2 x+t(t \neq 0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$两条渐近线分别交于点$A$、$B$，若点$P(4 t, 0)$满足$|P A|=|P B|$，则该双曲线的渐近线方程是?
【解析】
【题目】直线$l$:$2 x-y+2=0$过椭圆左焦点$F_{1}$和一个顶点$B$，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】在椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点为$F_{1}$,$ F_{2}$，点$P$在椭圆上，若$|P F_{1}|=4$，则$|P F_{2}|$=? $\angle F_{1} P F_{2}$的大小为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$, $F_{1}$, $F_{2}$是该椭圆的左、右焦点，点$A(4,1)$ , $P$是椭圆上的一个动点，当$\triangle A P F_{1}$的周长取最大值时，$\triangle A P F_{1}$的面积为?
【解析】分析:先利用椭圆的定义将椭圆上的点到左焦点的距离转化为到右焦点的距离,再利用平面几何知识进行求解.详连接AF_{2},PF_{2},由椭圆方程\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1,得a=5,F_{1}(-4,0),F_{2}(4,0),则AAPF_{1}的周长为|PF_{1}|+|PA|+|AF_{1}|=10+|PA|-|PF_{2}|+|AF_{1}|\leqslant10+|AF_{2}|+|AF_{1}|(当且仅当P在射线AF_{2}上时取等号),在椭圆方程\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1中令x=4,得y=-\frac{9}{5},则|AP|=\frac{14}{5},S_{AAPF_{1}}=\frac{1}{2}\times8\times\frac{14}{5}=\frac{56}{5}
【题目】已知双曲线方程为$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$，则双曲线的上焦点的坐标是?
【解析】双曲线\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1的焦点在y轴上,且焦距为2\sqrt{16+9}=10因此,该双曲线的上焦点坐标为(0,5)
【题目】设$F$为抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点，直线$y-x+1=0$与抛物线$C$有公共点$M$，且$M F$与抛物线$C$的对称轴垂直，则$p$=?
【解析】抛物线C:x^{2}=2py(p>0)的对称轴为y轴,且F(0,\frac{p}{2})又MF与抛物线C的对称轴垂直,设M(x_{0},y_{0}),则y_{0}=\frac{p}{2},x_{0}=y_{0}+1=\frac{p}{2}+1又点M(x_{0},y_{0})在抛物线上,所以有(\frac{p}{2}+1)^{2}=2p\cdot\frac{p}{2}解得p=2或p=-\frac{2}{3}(舍去)所以p=2,
【题目】已知$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆的两焦点，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的周长为?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1中,a=2,b=\sqrt{3},c=1,椭圆的定义可知APF_{1}F_{2}周长为|PF_{1}|+|PF_{2}|+|F_{1}F_{2}|=2a+2c\thereforeAPF_{1}F_{2}周长为4+2=6,
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左焦点$F$作圆$x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$的切线，切点为$E$，延长$F E$交双曲线右支于点$P$，若$E$为$P F$的中点，则双曲线的离心率为?
【解析】记右焦点为F_{2},由题意,E是FP中点,O是FF_{2}中点,因此OE//PF_{2}且|PF_{2}|=2|OE|=a又E是切点,即OE\botPF,所以PF_{2}\botPF,由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF_{2}|=3a,所以(3a)^{2}+a^{2}=(2c)^{2},解得e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率$e=\frac{\sqrt{5}}{5}$，其中一个顶点坐标为$(0,2)$，则椭圆的方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m}=1$的焦点坐标为$(-6,0)$和$(6,0)$，则$m$的值为?
【解析】\because焦点在x轴的双曲线标准方程\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a>0,b>0)\thereforea^{2}=25,b^{2}=-m^{,}c^{2}=6^{2}=36又\becausec^{2}=a^{2}+b^{2}\therefore36=25-m,即m=-11
【题目】一条渐近线方程是$x+\sqrt{3} y=0$的双曲线，它的一个焦点与方程是$y^{2}=16 x$的抛物线的焦点相同，此双曲线的标准方程是?
【解析】因为抛物线y^{2}=16x,所以其焦点为(4,0)因为双曲线的一条渐近线是x+\sqrt{3}y=0.所以,设双曲线方程为\frac{x^{2}}{3\lambda}-\frac{y^{2}}{\lambda}=1所以3\lambda+\lambda=16,\lambda=4故所求的双曲线方程为\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1】本题考查通过双曲线的渐近线和焦点求标准方程,属于简单题
【题目】已知$F$是抛物线$y^{2}=2 x$的焦点，$A$为抛物线上的动点，点$B(-\frac{1}{2}, 0)$，则当$\frac{|A B|}{|A F|}$取最大值时，$|A B|$的值为?
【解析】设A(x,y),则AB=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+3x+\frac{1}{4}},而|AF|=x+\frac{1}{2},所以\frac{|AB|^{2}}{|AF|^{2}}=\frac{x^{2}+3x+\frac{1}{4}}{x^{2}+x+\frac{1}{4}}=1+\frac{2}{x+\frac{1}{4x}+1}\leqslant1+\frac{2}{2\sqrt{x\cdot\frac{1}{4x}}+1}=2,当且仅当x=\frac{1}{2}时等号成立,所以\frac{|AB|}{|AF|}取最大值时x=\frac{1}{2},此时|AB|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\frac{1}{4}}=\sqrt{2}.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$的离心率等于?渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$:$y=2 x^{2}$的焦点为$F$，准线为$l$， 以$F$为圆心且与$l$相切的圆与该抛物线相交于$A$、$B$两点，则$|AB|$=?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为双曲线右支上一点，若$|P F_{1}|=6$，且$\cos \angle F_{1} P F_{2}=\frac{5}{6}$，则双曲线的离心率为?
【解析】因为|PF_{1}|=6,则|PF_{2}|=6-2a,且|F_{1}F_{2}|=2c=2\sqrt{a^{2}+1}.又\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{5}{6},由余弦定理\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}}{2|PF_{1}||PF_{2}|}=\frac{s}{(}即\frac{5}{6}=\frac{36+36-24a+4a2-4a2-4}{2\times6\times(6-2a)},解得a=2.所以c=\sqrt{5},所以双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{m-1}-\frac{y^{2}}{m}=1(m \in R)$表示双曲线，则实数$m$的取值范围为?
【解析】利用双曲线方程的特点,可得m(m-1)>0,解不等式,即可求出实数m的取值范围[详解]若因为方程\frac{x2}{m-1}-\frac{y^{2}}{m}=1(m\inR)表示双曲线所以m(m-1)>0,解得m>1或m<0,所以实数m的取值范围是m>1或m<0.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$2$，则直线$b x-3 a y=0$的倾斜角为?
【解析】\becausee=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{a2+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=2,则\frac{b}{a}=\sqrt{3}所以,直线bx-3ay=0的斜率为_{k}=\frac{b}{3a}=\frac{\sqrt{3}}{3}因此,直线bx-3ay=0的倾斜角为\frac{\pi}{6}.
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，$O$为坐标原点，$M$为抛物线上一点，且$|M F|=4|O F|$，$\Delta MFO$的面积为$4 \sqrt{3}$，则该抛物线的方程为?
【解析】
【题目】设双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$e$，其渐近线与圆$M$:$(x-2)^{2}+y^{2}=e^{2}$相切，则$m$=?
【解析】由题意可知m<0,双曲线的渐近线方程为\frac{x}{\sqrt{2}}\pm\pm\frac{y}{\sqrt{-m}}=0,即\sqrt{-m}\pm\sqrt{2}y=0且e^{2}=1+\frac{-m}{2},圆心到渐近线的距离为\frac{|2\sqrt{-m}}{\sqrt{2-m}}|=e=\sqrt{1-\frac{m}{2}}化简得(m+2)^{2}=0,解得m=-2,
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上有两点$P$、$Q$(不是长轴的端点)，$O$为原点，若直线$O P$, $O Q$斜率分别为$K_{1}$、$K_{2}$，且满足$K_{1} K_{2}=-\frac{3}{4}$，则$\overrightarrow{O P}^{2}+\overrightarrow{O Q}^{2}$=?
【解析】设P、Q的坐标分别为(2\cos\alpha,\sqrt{3}\sin\alpha),(2\cos\beta,\sqrt{3}\sin\beta)\becauseK_{1}K_{2}=-\frac{3}{4},\therefore\frac{\sqrt{3}\sin\alpha}{2\cos\alpha}.\frac{\sqrt{3}\sin\beta}{2\cos\beta}=-\frac{3}{4},即\cos(\alpha-\beta)=0,\therefore\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\inZ,不妨取\beta=\alpha+\frac{\pi}{2},\therefore(\overrightarrow{OP})^{2}+(\overrightarrow{OQ})^{2}=4\cos^{2}\alpha+3\sin2\alpha+4\sqrt{3}\sina\cos\alpha+4\cos^{2}\beta+3\sin^{2}\beta+4\sqrt{3}\sin\beta\cos\beta=4\cos^{2}\alpha+3\sin2\alpha+4\sqrt{3}\sina\cos\alpha+4\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha-4\sqrt{3}\sin\alpha\coso=4+3=7.
【题目】中心在原点，准线方程为$x = \pm 4$，离心率等于$\frac{1}{2}$的椭圆方程是?
【解析】由题意可知\frac{a2}{c}=4,e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\thereforea=2,c=1\thereforeb^{2}=3,椭圆方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】圆心在抛物线$y=\frac{1}{2} x^{2}(x<0)$上，并且与抛物线的准线及$y$轴都相切的圆的方程是?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，离心率为$\frac{1}{2}$，过$F_{2}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，$\triangle A B F_{1}$的周长为$8$，则该椭圆的短轴长为?
【解析】由AABF的周长为8,利用椭圆的定义可得a的值,再根据离心率为\frac{1}{2}求出c的值,从而求得b的值,进而可得结果.详解]因为4ABF的周长为8,所以F_{1}A+F_{1}B+F_{2}A+F_{2}B=4a=8,a=2,因为离心率为\frac{1}{2},所以\frac{c}{a}=\frac{1}{2},c=\frac{1}{2}a=1,由a^{2}=b^{2}+c2,解得b=\sqrt{3}则该椭圆的短轴长为2\sqrt{3},
【题目】已知$F$为抛物线$y^{2}=4 \sqrt{3} x$的焦点，过点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$ ,则$|A B|$=?
【解析】过抛物线y^{2}=4\sqrt{3}x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}.则直线的斜率存在,设直线AB为y=k(x-\sqrt{3}),且k>0所以\begin{cases}y=k(x-\sqrt{3})\\y^{2}=4\sqrt{3}x\end{cases},整理可得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}x_{2}=3,且x_{1}>\sqrt{3}>x_{2}(1)由\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB},则\sqrt{3}-x_{1}=3(x_{2}(2)将(1)(2)联立可求出\begin{cases}x_{1}=3\sqrt{3}\\x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}或\begin{cases}x_{1}=\sqrt{3}\\x_{2}=\sqrt{3}\end{cases}(舍去)所以|AB|=x_{1}+x_{2}+p=3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}.
【题目】已知抛物线$y^{2}=-4 \sqrt{2} x$的焦点到双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】因为抛物线的焦点坐标为(-\sqrt{2},0),双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,所以\frac{|-\sqrt{2}b-0|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5},即c=\sqrt{10}b,c^{2}=10(c^{2}-a^{2}),所以e^{2}=\frac{10}{9}所以e=\frac{\sqrt{10}}{3}.
【题目】与圆$x^{2} + y^{2}-4 x=0$外切，且与$y$轴相切的动圆圆心的轨迹方程为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$的左、右焦点，过原点$O$且倾斜角为$60^{\circ}$的直线与椭圆$C$的一个交点为$M$，若$|\overrightarrow{M F_{1}}+\overrightarrow{M F_{2}}|=|\overrightarrow{M F_{1}}-\overrightarrow{M F_{2}}|$，则椭圆$C$的长轴长为?
【解析】设直线为y=\sqrt{3}x,代入\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1解得x^{2}=\frac{a^{2}}{1+a^{2}},y^{2}=\frac{3a^{2}}{1+a^{2}}因为|\overrightarrow{MF}_{1}+\overrightarrow{MF_{2}}|=|\overrightarrow{MF_{1}}-\overrightarrow{MF_{2}}|所以2|\overrightarrow{OM}|=|\overrightarrow{F_{1}F}|,所以4(\frac{a^{2}}{1+a^{2}}+\frac{3a^{2}}{1+a^{2}})=4c^{2},又因为a_{2}=b^{2}+c^{2},b^{2}=3,解得a^{2}=3+2\sqrt{3}所以椭圆C的长轴长为2\sqrt{3+2\sqrt{3}}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4 a^{2}}+\frac{y^{2}}{3 a^{2}}=1(a>0)$的左焦点为$F$，直线$x=m$与椭圆相交于点$A$、$B$，当$\triangle F A B$的周长最大时，$\triangle F A B$的面积是?
【解析】
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{20}=1$的焦点，点$P$在双曲线上，若点$P$到焦点$F_{1}$的距离等于$9$，则点$P$到焦点$F_{2}$的距离等于?
【解析】
【题目】已知动圆过定点$A(-4,0)$，且与圆$x^{2}+y^{2}-8 x-84=0$相切，则动圆的圆心$P$的轨迹方程是?
【解析】根据圆心P到定点A(-4,0)与圆x^{2}+y^{2}-8x-84=0圆心的距离之和为定值判断即可圆x^{2}+y^{2}-8x-84=0即圆(x-4)^{2}+y^{2}=100,圆心为B(4,0),半径为10又因为A(-4,0)在圆(x-4)^{2}+y^{2}=100内,故动圆与圆(x-4)^{2}+y^{2}=100内切.设动圆半径为r,则圆心P到A(-4,0)与B(4,0)的距离之和为d=r+10-r=10.故动圆的圆心P是以A(-4,0)与B(4,0)为焦点,2a=10的椭圆,故a=5,c=4,b=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3故动圆的圆心P的轨迹方程是\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$，过定点$T(p , 0)$作两条互相垂直的直线$l_{1}$,$l_{2}$，若$l_{1}$与抛物线交于$P$、$Q$，若$l_{2}$与抛物线交于$M$ , $N$, $l_{1}$的斜率为$k$. 某同学正确地已求出了弦$P Q$的中点为$(\frac{p}{k^2}+p , \frac{p}{k})$，请写出弦$M N$的中点?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=a x$的焦点为$F(1 , 0)$，过焦点$F$的直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，若$A B=8$，则直线的方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左支上一点$P$到左焦点的距离为$10$，则点$P$到右焦点的距离为?
【解析】由双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1的方程可得a=4,由双曲线的定义可得点P到右焦点的距离等于2a加上点P到左焦点的距离,故点P到右焦点的距离为8+10=18,
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$，$B(x_{2} , y_{2})$两点，若$x_{1}+x_{2}=6$，那么$|AB|$等于?
【解析】
【题目】已知$F$是双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点，$P$是$C$上一点，且$P F$与$x$轴垂直，点$A$的坐标是$(1 , 3) $,则$\triangle A P F$的面积为?
【解析】由双曲线方程求出焦点F的坐标,由垂直求出P点坐标,再求出A到直线PF的距离,由三角形面积公式可得面积.因为F是双曲线C:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的右焦点,所以F(2,0).因为PF\botx轴,所以可设P的坐标为(2,y_{P}).因为P是C上一点,所以4-\frac{y_{P}}{2}=1,解得y_{P}=\pm3,所以P(2,\pm3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以S_{\triangleAPF}=\frac{1}{2}\times|PF|\times1=\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{3}{2}
【题目】直线$y=k x+1$与椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$总有公共点，则$m$的值是?
【解析】
【题目】椭圆$x^{2}+m y^{2}=1(m>1)$的左右顶点分别$A$、$B$，过点$B$作$x$轴的垂线$l$，点$P$是直线$l$上的一点，连接$P A$交椭圆于点$C$，坐标原点为$O$，且$O P \perp B C$，则$m$=?
【解析】椭圆x^{2}+my^{2}=1(m>1)的左右顶点分别为A、B,过点B作x轴的垂线l,点P是直线l上的一点,可设P(1,t),k_{PO}=t,k_{BC}=-\frac{1}{t},BC的方程为:y=-\frac{1}{t}(x-1)k_{AP}=\frac{t}{2},AP的方程为:y=\frac{t}{2}(x+1)所以\begin{cases}y=-\frac{1}{t}(x-1)\\y=\frac{t}{2}(x+1)\end{cases},解得:C(\frac{2-t^{2}}{2+t^{2}},\frac{2t}{2+t^{2}})所以:(\frac{2-t^{2}}{2+t^{2}})^{2}+m(\frac{2t}{2+t^{2}})^{2}=1,可得4-4t^{2}+4t^{4}+4mt^{2}=4+4t^{2}+4t^{4},解得m=2.
【题目】已知双曲线过点$(4, \sqrt{3})$, 且渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{2} x$, 则该双曲线的标准方程为?
【解析】当焦点在x轴时设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a>0,b>0)依题意可得\begin{cases}42(\sqrt{3})^{2}\\\frac{4}{a}-\frac{\sqrt{a}}{b^{2}}=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=4\\a=\frac{1}{2}\end{cases},此时双曲线方程为\frac{x2}{4}-y^{2}=1;当焦点在y轴时设双曲线方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,(a>0,b>0).依题意可得\begin{cases}\sqrt{3})^{2}\\\frac{a^{2}}{a^{2}}-\frac{4^{2}}{b^{2}}=1,a\end{cases}综上可得双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1
【题目】已知双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{2} x$，且双曲线与椭圆$4 x^{2}+9 y^{2}=36$有公共焦点，则双曲线的方程是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的中心为$O$，右焦点为$F$、右顶点为$A$，右准线与$x$轴的交点为$H$，则$\frac{|FA |}{|OH|}$的最大值为?
【解析】
【题目】过点$P(2,2)$作抛物线$y^{2}=2 x$的切线$l$，切线$l$在$y$轴上的截距为?
【解析】设切线斜率为k,则切线方程y-2=k(x-2),联立方程\begin{cases}y-2=k(x-2)\\y2=2x\end{cases}可得ky^{2}-2y-4k+4=0则A=4-4k(-4k+4)=0,解得k=\frac{1}{2}即切线方程为y-2=\frac{1}{2}(x-2)取x=0,得v=1.\therefore切线l在v轴上的截距为1+-----------------
【题目】若双曲线的渐近线方程为$y=\pm 3 x$，它的一个焦点是$(\sqrt{10}, 0)$，则双曲线的标准方程是?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (b>0)$的渐近线方程式为$y=\pm \frac{1}{2} x$，则$b$等于?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$ , $F$为$C$的焦点，过点$(-2,0)$且斜率为$\frac{2}{3}$的直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，则$|A F|+|B F|$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由题意可得直线方程为y=\frac{2}{3}(x+2),与抛物线方程联立\begin{cases}y=\frac{2}{3}(x+2)\\y^{2}=4x\end{cases}得x^{2}-5x+4=0,所以x_{1}+x_{2}=5,由抛物线焦半径公式得|AF|+|BF|=x_{1}+\frac{p}{3}+x_{2}+\frac{p}{2}=x_{1}+x_{2}+p=5+2=7.故答客为:7.
【题目】设$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上的一个动点，$F$是焦点，若$B(4,2)$，则$|P B|+|P F|$的最小值为?
【解析】求出抛物线的准线方程,把P到焦点F距离转化为它到准线的距离,然后利用三点共线性质得最小值.如图,过P作PM与准线x=-1垂直,垂足为M,则|PF|=|PM|,\therefore|PF|+|PB|=|PM|+|PB|,易知当B,P,M三点共线时,|PM|+|PB|最小,最小值为4-(-1)=5.\therefore|PB|+|PF|的最小值为5
【题目】如果双曲线过点$P(6 , \sqrt{3})$，渐近线方程为$y=\pm \frac{x}{3}$，则此双曲线的方程为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{k+2}+\frac{y^{2}}{k+1}=1$的左、右焦点，过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$\triangle A B F_{2}$的周长为$8$，则$k$的值为?
【解析】
【题目】以双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$与$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{3}=1$有公共渐近线，且一个焦点为$(4,0)$，则双曲线$C$的标准方程为?
【解析】设双曲线C:\frac{x2}{5}-\frac{y^{2}}{3}=t,则5t+3t=4^{2},t=2\therefore\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{6}=1
【题目】若双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线被圆$(x-2)^{2}+y^{2}=4$所截得的弦长为$2 \sqrt{3}$，则$C$的离心率为?
【解析】不妨设双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线为bx+ay=0,因为渐近线被圆(x-2)^{2}+y^{2}=4所截得的弦长为2\sqrt{3}所以圆心到渐近线的距离为_{d}=\sqrt{2^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=1即\frac{|2b+0|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=1,所以\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3},所以双曲线C的离心率为e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】已知椭圆$C$的方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0>b>5)$ ,$ A(-4,0)$ , $B(-1,0)$，椭圆$C$上存在一点$P$使得$|P A|=2|P B|$，则实数$b$的最大值为?
【解析】设P(x,y),\becauseA(-4,0),B(-1,0),|PA|=2|PB|\therefore(x+4)^{2}+y^{2}=4[(x+1)^{2}+y2],\thereforex^{2}+y2=4,即点P的轨迹为以原点为圆心,2为半径的圆.又点P在椭圆C上,\therefore圆x^{2}+y2=4与椭圆C有交点\therefore0<b\leqslant2.实数b的最大值为2.
【题目】已知抛物线$C$:$y^{2}=x$的焦点为$F$，$A(x_{0}, y_{0})$是$C$上一点，$|A F|=\frac{5}{4} x_{0}$，则$x_{0}$=?
【解析】
【题目】抛物线$y=-\frac{x^{2}}{8}$的准线方程是?
【解析】
【题目】已知点$P(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$, $M$, $N$是椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$上的两个动点，记直线$P M$, $P N$, $M N$的斜率分别为$k_{1}$, $k_{2}$, $k$，若$k_{1}+k_{2}=0$，则$k$=?
【解析】设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2}),直线MN:y=kx+m,联立\begin{cases}y=kx+m\\x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1\end{cases}得(2+k^{2})x^{2}+2kmx+m^{2}-2=0,则有x_{1}+x_{2}=-\frac{2km}{2+k^{2}},x_{1}x_{2}=\frac{m2-2}{2+k^{2}};因为k_{1}+k_{2}=0,m_{n},y_{1}-1)(x_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2})+(y_{2}-1)(x_{1}-\frac{\sqrt{2}}{2})=0整理可得2kx_{1}x_{2}+(m-1-\frac{\sqrt{2}}{2}k)(x_{1}+x_{2})-\sqrt{2}(m-1)=0^{x}所以k=\sqrt{2}
【题目】如图，在平面直角坐标系$x O y$中，$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，$B$，$C$分别为椭圆的上、下顶点，直线$B F_{2}$与椭圆的另一个交点为$D$，若$\cos \angle F_{1} B F_{2}$=$\frac{7}{25}$，则直线$CD$的斜率为?
【解析】
【题目】要使直线$y=k x+1  (k \in R)$与焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{a}=1$总有公共点，实数$a$的取值范围是?
【解析】
【题目】离心率$e=\frac{2}{3}$，短轴长为$8 \sqrt{5}$的椭圆标准方程为?
【解析】
【题目】设抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$F$作直线$l$与抛物线分别交于两点$A$、$B$，若点$M$满足$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$，过$M$作$y$轴的垂线与抛物线交于点$P$，若$|P F|=2$，则$M$点的横坐标为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点F(1,0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),M(x_{0},y_{0}),P(x,y_{0}),直线AB方程为y=k(x-1)\therefore\begin{cases}y^{2}=4x\\y=k(x-1)\end{cases}\thereforeky^{2}-4y+4=0\thereforey_{1}+y_{2}=\frac{4}{k},\thereforey_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{2}{k}\becausey_{0}^{2}=4x\thereforex=\frac{1}{k^{2}}\because|PF|=2\thereforex=1\thereforek^{2}=1\thereforex_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+1=3
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点是双曲线$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{p}=1$的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】根据题意可得出关于p的方程,解出正数p的值,可得出双曲线的标准方程,进而可得出双曲线的渐近线方程抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点坐标为(\frac{p}{2},0),由题意可知,点(\frac{p}{2},0)为双曲线\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{p}=1的一个焦点,则\sqrt{8+p}=\frac{p}{2},整理很p^{2}-4p-32=0,\becausep>0,解得p=8,所以,双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}=1因此,双曲线的渐近线方程为y=\pmx
【题目】已知双曲线$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$与双曲线$C_{2}$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$有相同的渐近线，且$C_{1}$的右焦点为$F(\sqrt{5} , 0)$，则$a$=? $b$=?
【解析】
【题目】设$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1$上一点，$M$，$N$分别是两圆$(x-2)^{2}+y^{2}=1$和$(x+2)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$上的点，则$|P M|+|P N|$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知点$P$是椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$上任意一点，则点$P$到直线$l$:$ x-y+2 \sqrt{3}=0$距离的最小值为?
【解析】设与椭圆C相切,且平行于l的直线为y=x+m,联立椭圆整理可得:3x^{2}+4mx+2m^{2}-2=0,则\triangle=16m^{2}-24(m^{2}-1)=0\thereforem=\pm\sqrt{3},又两平行线的距离d=\frac{|m-2\sqrt{3}|}{\sqrt{2}}\thereforeP到直线l:x-y+2\sqrt{3}=0距离的最小值为d=\frac{|\sqrt{3}-2\sqrt{3}|}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1$的顶点坐标为?
【解析】由双曲线\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1,得a=3,得顶点坐标为(3,0),(-3,0).
【题目】$P$是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{15}=1$右支上一点，$M$、$N$分别是圆$(x+4)^{2}+y^{2}=4$和$(x-4)^{2}+y^{2}=4$上的点，则$|P M|-|P N|$的最大值为?
【解析】注意两个圆的圆心分别是双曲线的两个焦点,利用双曲线定义做,连接P与左焦点F_{1}延长与下半圆交于M点,PF_{2}交上半圆于N点,显然|PM|-|PN|=(|PF_{1}|+2)-(|PF_{2}|-2)=2a+4是最大值.羊解】圆(x+4)^{2}+y^{2}=4的圆心是(-4,0),半径是2,圆(x-4)^{2}+y^{2}=4的圆心是(4,0),半径是2,连接P与左焦点F_{1}延长与下半圆交于M点,PF_{2}交上半圆于N点显然|PM|-|PN|=(|PF_{1}|+2)-(|PF_{2}|-2)=2a+4=6是最大值故答案是:6.
【题目】椭圆$x^{2}+3 y^{2}=1$的短轴长为?
【解析】由题可得椭圆的标准方程为x^{2}+\frac{y^{2}}{3}=1,则a^{2}=1即a=1,b^{2}=\frac{1}{3}即b=\frac{\sqrt{3}}{3}.所以短轴长为\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, $A(2,0)$长轴的一个端点，弦$B C$过椭圆的中心$O$，且$\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=0$, $|\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B}|=2|\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A}|$，则椭圆的焦距为?
【解析】如图所示:因为\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0,所以\overrightarrow{AC}\bot\overrightarrow{BC}.又因为|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|=2|\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}|,所以|\overrightarrow{BC}|=2|\overrightarrow{AC}|即\triangleAOC为等腰直角三角形.因为A(2,0),所以C(1,1).又因为C(1,1)在椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1上,所以\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=1.因为a=2,解得b^{2}=\frac{4}{3}.所以\_c=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt[2]{6}}{3},焦距为\frac{4}{3}\sqrt{6}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{3}=1$上的一条渐近线方程为$y=\sqrt{3} x$，则抛物线$y^{2}=4 a x$上一点$M(2, y_0)$到该抛物线焦点$F$的距离是?
【解析】
【题目】椭圆$M$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆$M$上任一点，且$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$的最大值的取值范围是$[2 c^{2}, 3 c^{2}]$，其中$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$，则椭圆$M$的离心率的取值范围是?
【解析】\because|PF_{1}||PF_{2}|的最大值为a^{2},\therefore由题意知2c^{2}\leqslanta^{2}\leqslant3c^{2},\therefore\sqrt{2}c\leqslanta\leqslant\sqrt{3}c,\therefore\frac{\sqrt{3}}{3}\leqslante\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\because椭圆离心率e的取值范围是|\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{2}}{2}|
【题目】动点$P$在曲线$y=2 x^{2}+1$上移动，则点$P$和定点$A(0,-1)$连线的中点的轨迹方程是?
【解析】设P(x_{0},y_{0}),且点P和定点A(0,-1)连线的中点为(x,y)则\begin{cases}\frac{x_{0}}{2}=x\\\frac{y_{0}-1}{2}=y\end{cases},且y_{0}=2x_{0}^{2}+1,所以\begin{cases}x_{0}=2x\\y_{0}=2y\end{cases}因此2y+1=2\times(2x)^{2}+1,即y=4x^{2}.所以点P和定点A(0,-1)连线的中点的轨迹方程是y=4x^{2},
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左、右焦点，点$P$在椭圆上运动，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$的最大值是?
【解析】因为点P在椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1上,|由椭圆的定义可知|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=2\sqrt{5}又由|PF_{1}||PF_{2}|\leqslant(\frac{|PF_{1}+|PF_{2}|}{2})^{2}=(\sqrt{5})^{2}=5'当且仅当|PF_{1}|=|PF_{2}|时取等号所以|PF_{1}||PF_{2}|的最大值为5.
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F(2,0)$，则$p$=?过点$A(3,2)$向其准线作垂线，记与抛物线的交点为$E$，则$|E F|$=?
【解析】由抛物线焦点为F(\frac{P}{2},0)可得\frac{p}{2}=2,所以p=4.所以抛物线方程为y^{2}=8x,分析可知点A(3,2)在抛物线的内部,由点A(3,2)向抛物线的准线x=-2作垂线,此垂线方程为y=2,将y=2代入抛物线方程y^{2}=8x可得x=\frac{1}{2},即E(\frac{1}{2},2),所以|EF|=\sqrt{(2-\frac{1}{2})^{2}+2^{2}}=\frac{5}{2}
【题目】设常数$m \in R$，抛物线$y=m x^{2}$的准线方程是$y=-1$，则$m$=?
【解析】抛物线y=mx^{2}的标准方程为x^{2}=\frac{1}{m}y^{\circ}则抛物线的准线方程为:y=-\frac{1}{4m},由抛物线y=mx2的准线方程是y=-1,所以-\frac{1}{4m}=-1,得m=\frac{1}{4},
【题目】已知双曲线$C$的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的长轴端点、焦点，则双曲线$C$的渐近线方程是?
【解析】\because椭圆的方程为\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1\therefore椭圆长轴端点为(-4,0),(4,0),焦点为(-3,0),(3,0)\because双曲线C的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆\frac{x2}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1的长轴端点、焦点\therefore对于双曲线,c=4,a=3,则b=\sqrt{7}\therefore双曲线的渐近线的方程为y=\pm\frac{\sqrt{7}}{3}x
【题目】抛物线$y=12 x^{2}$的焦点到准线的距离为?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{10-m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则$m$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$的中心为坐标原点，焦点在$y$轴上，$F_{1}$、$F_{2}$为$C$的两个焦点，$C$的短轴长为$4$，且$C$上存在一点$P$，使得$|P F_{1}|=6|P F_{2}|$，写出$C$的一个标准方程?
【解析】因为|PF_{1}|=6|PF_{2}|,所以|PF_{1}|+|PF_{2}|=7|PF_{2}|=2a,则|PF_{2}|=\frac{2a}{7},又因为a-c\leqslant|PF_{2}|\leqslanta+c,所以\frac{2a}{7}\geqslanta-c,即\frac{c}{a}\geqslant\frac{5}{7}根据题意可设C的方程为\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a>b>0),因为椭圆C的短轴长为4,则2b=4可得,b=2,又由\frac{c}{a}\geqslant\frac{5}{7},可得\sqrt{1-}\frac{2}{2}=\sqrt{1-\frac{4}{a2}}\geqslant\frac{5}{7},解得a^{2}\geqslant\frac{49}{6}所以其中椭圆C的一个标准方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】过点$P(3 , 2)$且与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$有相同渐近线方程的双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=16 x$上一点$M$到$x$轴的距离等于$12$，则点$M$到此抛物线的焦点的距离为?
【解析】依题意可知点M的纵坐标|y_{M}|=12,代入抛物线方程求得x_{M}=9,抛物线的准线为x=-\frac{p}{2}=-4,根据抛物线的定义可知点M与焦点F间的距离MF=x_{M}+\frac{p}{2}=9+4=13效答安为.13
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P(0, y_{0})(y_{0}>0)$，以$O P$为直径的圆与直线$y=\frac{b}{a} x$的交点为$O$、$M$，且点$M$在线段$P F_{2}$上，若$\frac{S_{\Delta M F_{2} O} }{S_{\Delta P M O}}=7$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】因为\frac{S_{AMF_{2}O}}{S_{APMO}}=7,即\frac{|MF_{2}|}{|MP|}=7,由OM\botPF_{2},故|MF_{2}|=\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bc}{c}=b,则|PM|=\frac{b}{7}则Rt\trianglePOF_{2}中,可得|OF_{2}^{2}|=|MF_{2}||F_{2}P|即c^{2}=b\cdot\frac{8}{7}b=\frac{8}{7}(c^{2}-a^{2}),故c^{2}=8a^{2},故e=\frac{c}{a}=2\sqrt{2}答案为:2\sqrt{2}
【题目】设$D$为椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{5}=1$上任意一点，$A(0,-2)$ , $B(0,2)$，延长$A D$至点$P$，使得$|P D|=|B D|$，则点$P$的轨迹方程为?
【解析】如图,由椭圆方程x^{2}+\frac{y^{2}}{5}=1,得a^{2}=5,b^{2}=1,所以c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2,则A(0,-2),B(0,2)为椭圆两焦点,所以|DA|+|DB|=2a=2\sqrt{5},由于|PD|=|BD|,则|PA|=|PD|+|DA|=|BD|+|DA|=2\sqrt{5}所以点P的轨迹是以A为圆心,以2\sqrt{5}为半径的圆,其方程为x^{2}+(y+2)^{2}=20.
【题目】设$A$ , $B$是两个定点，$|AB|=2$，动点$P$满足$|P A|+|P B|=t$，若$P$点的轨迹是椭圆，则$t$的取值范围是?
【解析】
【题目】双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=1$的渐近线方程为?若双曲线$C$的右顶点为$A$，过$A$的直线$l$与双曲线$C$的两条渐近线交于$P$、$Q$两点，且$P A=2 A Q$，则直线$l$的斜率为?
【解析】
【题目】已知直线$l$过抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，$l$与$C$交于$A$、$B$两点，过点$A$、$B$分别作$C$的切线，且交于点$P$，则点$P$的轨迹方程为?
【解析】不妨将抛物线翻转为x^{2}=4y,设翻转后的直线l的方程为y=kx+1,翻转后的A,B两点的坐标分别为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),则联立\begin{cases}x^{2}=4y\\y=kx+\end{cases}得x^{2}-4kx-4=0\textcircled{1},易得抛物线x^{2}=4y在点A处的切线方程为y-\frac{1}{4}x^{2}=\frac{1}{2}x_{1}(x--x_{1}),同理可得抛物线x^{2}=4y在点B处的切线方程为y-\frac{1}{4}x_{2}^{2}=\frac{1}{2}x_{2}(x-x_{2}),联立\begin{cases}y-\frac{1}{4}x_{1}^{2}=\frac{1}{2}x_{1}(x-x_{1})\\y-\frac{1}{1x_{2}}=\frac{1}{1x},(x-x_{2})\end{cases}得y=\frac{1}{4}x_{1}x_{2},再由\textcircled{1}可得x_{1}x_{2}=-4,所以v=-1,故原抛物线C相应的点P的轨迹方程为x=-1,
【题目】已知点$(4 , 2)$是直线$l$被椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$所截得的线段的中点，则直线$l$的斜率是?
【解析】
【题目】设双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的离心率为?
【解析】解析过程略
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1  (a>0)$的一条渐近线为$y=k x (k>0)$，离心率$e=\sqrt{5} k$，则双曲线方程为?
【解析】
【题目】曲线$C$:$|x^{2}-y^{2}-1|=1$与直线$l$: $y=k x-1$有$4$个交点，则$k$的取值范围是?
【解析】曲线C:|x^{2}-y^{2}-1|=1化简为x^{2}-y^{2}=0即y=\pmx,或x^{2}-y^{2}=2,所以曲线C表示两题相交直线与双曲线,曲线C与直线l由4个交点,所以与两直线y=\pmx有两个交点.只需k\neq\pm1,直线l与双曲线x^{2}-y^{2}=2有两个交点,联立\begin{cases}y=kx-1\\x^{2}-y^{2}=2\end{cases}消去y得,(1-k^{2})x^{2}+2kx-3=0,方程有两个解须\begin{cases}k^{2}-1\neq0\\4=4k^{2}-12(1-k^{2})>0\end{cases}解得-\frac{\sqrt{6}}{2}<k<\frac{\sqrt{6}}{2}且k\neq\pm1,所以所求的k的取值范围是(-\frac{\sqrt{6}}{2},-1)\cup(
【题目】斜率为$\frac{1}{2}$的直线与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$相交于$A$、$B$两点，$A B$的中点$M(m, \frac{1}{2})$，则$m$=?
【解析】先设直线AB为y=\frac{1}{2}x+b,然后代入到椭圆方程中消去x得到关于y的一元二次方程,进而可表示出A、B两点的纵坐标的和,进而可表示出M的坐标,然后结合AB的中点M(m,\frac{1}{2}),可确定答案.羊解】设直线AB为:y=\frac{1}{2}x+b,代入椭圆方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1得到:4y^{2}-6by+3b^{2}-3=0,y_{A}+y_{B}=\frac{3}{2}b,y_{M}=\frac{1}{2}(y_{A}+y_{B})=\frac{3}{4}b=\frac{1}{2},所以b=\frac{2}{3},直线AB为:y=\frac{1}{2}x+\frac{2}{3},AB的中点M(m,\frac{1}{2})可得\frac{1}{2}=\frac{1}{2}m+\frac{2}{3},\thereforem=-\frac{1}{3},
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点的坐标为?
【解析】由椭圆的标准方程求得椭圆的c,可求得椭圆的左焦点坐标.根据椭圆\frac{x^{2}}{2}+y2=1的标准方程得a^{2}=2,b^{2}=1,\thereforec^{2}=1,\thereforec=1,所以左焦点的坐标为(-1,0)
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点$F$的直线$l$与抛物线交于$P$、$Q$两点，与抛物线的准线交于点$M$，且$\overrightarrow{F M}=3 \overrightarrow{F P}$，则$|\overrightarrow{F P}|$=?
【解析】如图:过点P作PH垂直准线于H,则|PH|=|PF|,由\overrightarrow{FM}=3\overrightarrow{FP}有\frac{|MP|}{|MF|}=\frac{2}{3}由三角形相似得\frac{|PH|}{P}=\frac{|PH|}{4}=\frac{|MP|}{|MF|}=\frac{2}{3}所以|PH|=\frac{8}{3},所以|\overrightarrow{FP}|=\frac{8}{3}.
【题目】过双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$的左焦点$F_{1}$作一条$l$交双曲线左支于$P$、$Q$两点，若$|PQ|=4$ , $F_{2}$是双曲线的右焦点，则$\triangle PF_{2} Q$的周长是?
【解析】由题意,|PF_{2}|-|PF_{1}|=2,|QF_{2}|-|QF_{1}|=2.\because|PF_{1}|+|QF_{1}|=|PQ|=4,\therefore|PF_{2}|+|QF_{2}|-4=4,\therefore|PF_{2}|+|QF_{2}|=8\therefore\trianglePF_{2}Q的周长是|PF_{2}|+|QF_{2}|+|PQ|=8+4=12.
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$2$，则实数$m$的值为?
【解析】由双曲线的离心率为2,利用双曲线的简单性质,由已知条件能求出实数m的值\because双曲线\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{m}=1的离心率为2,\frac{\sqrt{2+m}}{\sqrt{2}}=2,解得m=6.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4+k}+\frac{y^{2}}{3+k}=1$的焦点坐标为?
【解析】

hbghlyj

【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点$F$与双曲线$\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{9}=1$的右焦点重合，抛物线的准线与$x$轴的交点为$K$，点$A$在抛物线上且$|A K|=\sqrt{2}|A F|$，则$\triangle A F K$的面积为?
【解析】由双曲线\frac{x^{2}}{7}-\frac{y^{2}}{9}=1得右焦点为(4,0)即为抛物线y^{2}=2px的焦点,\therefore\frac{p}{2}=4,解得p=8.\therefore抛物线的方程为y^{2}=16x.其准线方程为x=-4,\thereforeK(-4,0).过点A作AM\bot准线,垂足为点M则|AM|=|AF|.\therefore|AK|=\sqrt{2}|AM|\therefore\angleMAK=45^{\circ}.\therefore|KF|=|AF|.S_{AAKF}=\frac{1}{2}|KF|^{2}=\frac{1}{3}\times8^{2}=32.
【题目】若直线$y=k x-1$与双曲线$x^{2}-y^{2}=4$始终有公共点，则$k$取值范围是?
【解析】\begin{cases}x^{2}-y^{2}=4\\y=kx-1\end{cases},x^{2}-(kx-1)^{2}=4,(1-k^{2})x+2kx-5=0当1-k^{2}=0,k=\pm1时,显然符合条件;当1-k^{2}\neq0时,则_{A}=20-16k^{2}=0,k=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】曲线$x^{2}+\frac{y^{2}}{5}=1$的焦点坐标为?
【解析】c=\sqrt{5-1}=2,且焦点在y轴上,则焦点坐标为(0,\pm2)
【题目】若点$A$的坐标为$(3 , 2)$ , $F$为抛物线$y^{2}=2 x$的焦点，点$P$在该抛物线上移动，为使得$PA+PF$取得最小值，则$P$点的坐标为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1(x \geq 0, y \geq 0)$与直线$x-y-5=0$的距离的最小值为?
【解析】在坐标系中画出椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1(x\geqslant0,y\geqslant0)与直线x-y-5=0的图形如图:可知(3,0)到直线x\cdoty+5=0的距离最小,d=\frac{|3-5|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一条渐近线方程是$y= \sqrt{3} x$，它的一个焦点与抛物线$y^{2}=32 x$的焦点相同. 则双曲线的方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率为?
【解析】由题可知:a=4,b=3,由c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5所以离心率e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}
【题目】动圆$x^{2}+y^{2}-(4 m+2) x-2 m y+4 m^{2}+4 m+1=0$的圆心的轨迹方程是?
【解析】把圆的方程化为标准方程得:[x-(2m+1)]^{2}+(y-m)^{2}=m2(m\neq0),则圆心坐标为\begin{cases}x=2m+1\\y=m\end{cases},因为m\neq2m+1,因为m\neq0,得到x\neq1,消去m可得x-2y-1=0,
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$, 过点$P(4,0)$的直线与抛物线相交于$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$两点, 则$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$的最小值是?
【解析】设直线AB方程为x=my+4,代入抛物线方程并整理得y^{2}-4my-16=0,则y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=-16,y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=(y_{1}+y_{2})^{2}-2y_{1}y_{2}=16m^{2}+32,所以当m=0时,y_{1}^{2}+y_{2}^{2}取得最小值32.
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，交其准线$l$于点$C$. 若$\overrightarrow{C F}=2 \overrightarrow{F A}$，且$A F=8$, 则线段$A B$的长为?
【解析】分别作AD\botl,BE\botl,如图所示,由抛物线定义知,AD=AF=8,BE=BF,由\overrightarrow{CF}=2\overrightarrow{FA}知,CF=16,CA=24,设BF=x,则BE=x,CB=16-x所以\frac{CB}{CA}=\frac{BE}{AD},即\frac{16-x}{24}=\frac{x}{8},解得x=4,所以AB=AF+FB=12,故答客为:12
【题目】椭圆$x^{2}+3 y^{2}=6$的焦距是?
【解析】
【题目】已知抛物线$y=ax^{2}(a<0)$焦点为$F$，过$F$作直线$L$交拋物线于$A$ , $B$两点，则$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点到准线的距离为$1$,则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为?
【解析】\because抛物线y^{2}=2px的焦点到准线的距离为1,\thereforep=1,设直线与抛物线的交点坐标为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),当直线斜率不存在时,直线方程为x=\frac{1}{2},交点坐标为A(\frac{1}{2},1),B(\frac{1}{2},-1),弦长为AB=2,当直线斜率存在时,可设为y=k(x-\frac{1}{2})(k\neq0),联立\begin{cases}y2=2x\\y=k(x-1)\end{cases}化简得k^{2}x^{2}-(k^{2}+2)x+\frac{k^{2}}{4}=0,\therefore|AB|=x_{1}+x_{2}+1=2+\frac{2}{k^{2}}>2,故此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长为2,
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{a^{2}+5}+\frac{y^{2}}{2 a^{2}+1}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则实数$a$的取值范围是?
【解析】由题意可得a^{2}+5>2a^{2}+1,即a^{2}<4,可得-2<a<2,即a的曲折范围是(-2,2).
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1$的实轴长为?
【解析】因为双曲线\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1中a^{2}=3,所以a=\sqrt{3},因此实轴长为2a=2\sqrt{3}
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的右焦点为$F(3,0)$，且点$F$到双曲线$C$的一条渐近线的距离为$1$，则双曲线$C$的标准方程为?
【解析】因为双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的右焦点为F(3,0)所以c=3又因为点F到双曲线C的一条渐近线bx-ay=0的距离为1所以\frac{|bc|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=b=1从而a^{2}=c^{2}-b^{2}=8所以双曲线C的标准方程为\frac{x^{2}}{8}-y^{2}=1
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$上一点$P$到椭圆左焦点的距离为$7$，则点$P$到右焦点的距离为?
【解析】根据椭圆的定义|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a\Leftrightarrow7+|PF_{2}|=20,解得:|PF_{2}|=20-7=13,故填:13.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为?
【解析】作出图形,设过椭圆右焦点F_{2}且垂直于长轴的弦为AB,计算出|AF_{1}|,再利用椭圆的定义可得出关于a、c的等式,进而可求得椭圆的离心率的值.如下图所示,设椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F_{1}F_{2}设过椭圆右焦点F_{2}且垂直于长轴的弦为AB,则|AB|=2c,|AF_{2}|=\frac{1}{2}|AB|=c.由勾股定理可得|AF_{1}|=\sqrt{|AF_{2}|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}}=\sqrt{5}c,由椭圆的定义可得|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a,即\sqrt{5}c+c=2a,所以,该椭圆的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}}
【题目】已知圆$C$: $x^{2}+y^{2}-16 y+48=0$与双曲线$E$: $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线相切，则$E$的离心率为?
【解析】先求出双曲线的渐近线,再利用圆心到渐近线的距离等于半径即可得出a,b,c之间系,c^{2}=a^{2}+b^{2},即可求离心率.由x^{2}+y^{2}-16y+48=0得x^{2}+(y-8)^{2}=4^{2},所以圆心C(0,8),半径r=4.双曲线E:\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线为ax-by=0由题意得圆心到渐近线的距离d=\frac{|-8b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{8b}{c}=4,所以b=\frac{1}{2}c,所以a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}c'所以e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3},
【题目】如果双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与直线$\sqrt{3} x-y+\sqrt{3}=0$平行，则双曲线的离心率为?
【解析】\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0平行,\frac{b}{a}=\sqrt{3},\therefore离心率e=\frac{c}{a}=2.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左，右焦点，$P$为渐近线上一点，若$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】先在\trianglePF_{1}F_{2}中利用余弦定理求出|F_{1}F_{2}|,再利用勾股定理判断\trianglePF_{1}F_{2}为直角三角形,再利用直角三角形求出\frac{b}{a}的值,再利用\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}进行求解.[详解]双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x设|PF_{1}|=2|PF_{2}|=2x>0,在\trianglePF_{1}F_{2}中,因为\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ},所以|F_{1}F_{2}|^{2}=x^{2}+4x^{2}-2x\times2x\cos60^{\circ}=3x^{2}即|F_{1}F_{2}|=\sqrt{3}x,且\trianglePF_{1}F_{2}为直角三角形;所以在\triangleOPF_{2}中,PF_{2}\botOF_{2},|PF_{2}|=x,|OF_{2}|=\frac{\sqrt{3}}{2}x,所以\frac{b}{a}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3},则双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{1+\frac{4}{3}}=\frac{\sqrt{21}}{3}
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为第二象限内椭圆上的一点，连接$P F_{2}$交$y$轴于点$N$，若$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ ,$|F_{1} F_{2}|=4|O N|$，其中$O$为坐标原点，则该椭圆的离心率为?
【解析】因为\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF}_{2}=0,所以\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ}由题意可得\triangleF_{2}ON\sim\triangleF_{2}PF_{1},则\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|}=\frac{|ON|}{|OF_{2}|}因为|F_{1}F_{2}|=4|ON|,所以\frac{|ON|}{|OF_{2}|}=\frac{1}{2},所以\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|}=\frac{|ON|}{|OF_{2}|}=\frac{1}{2}因为|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,所以|PF_{1}|=\frac{2a}{3},|PF_{2}|=\frac{4a}{3}所以|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=4c^{2},可得\frac{4a^{2}}{9}+\frac{16a^{2}}{9}=4c^{2},解得e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}
【题目】设抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上一点$P(2, m)$到$y$轴的距离是到焦点距离的一半，则抛物线的标准方程为?
【解析】由题意可得2+\frac{p}{2}=2\times2,解得p=4,故该抛物线的标准方程为y^{2}=8x
【题目】已知$F$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点，$O$为坐标原点，过$F$的直线与$C$的两条渐近线的交点分别为$M$、$N$，若$\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{M F}=0$，$|M N|=b$，则$C$的离心率为?
【解析】首先根据\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MF}=0可得OM\botMF,可计算|MF|=b,结合|MN|=b可得\triangleOFN是等腰三角形,且|ON|=c,再由渐进线的斜率可计算出点N坐标,即可求出点M坐标,利用|OM|=a结合b^{2}=c^{2}-a^{2}可得a,c之间的关系,即可求解.rite.因为\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MF}=0,所以\overrightarrow{OM}\bot\overrightarrow{MF},即OM\botMF所以|MF|为点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离,|MF|=\frac{bc}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=\frac{bc}{c}=b所以|MF|=|MN|=b,可得点M为NF的中点.又因为OM\botMF,所以|ON|=|OF|=c,所以|OM|=c^{2}-b^{2}=a^{2},设双曲线的左焦点为F_{1},\angleF_{1}ON=\theta,N(x,y)则_{\tan\theta}=\tan(\pi-\angleFON)=-\tan\angleFON=\frac{b}{a},因为c^{2}=a^{2}+b^{2},所以\cos\theta=\frac{a}{c},\sin\theta=\frac{b}{c}所以x=-|ON|\cos\theta=-c\cdot\frac{a}{c}=-a,y=|ON|\sin\theta=c\cdot\frac{b}{c}=b'所以N(-a,b),因为M为NF中点,所以M(\frac{c-a}{2},\frac{b}{2})|OM|^{2}=(\frac{c-a}{2})^{2}+(\frac{b}{2})^{2}=a^{2},将b^{2}=c^{2}-a^{2}代入整理可得:(c-a)^{2}+c^{2}-a^{2}=4a^{2}即2c^{2}-2ac-4a^{2}=0,所以e^{2}-e-2=0,可得(e-2)(e+1)=0,解得:e=2或e=-1(舍),
【题目】已知$F$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点，直线$y=\frac{b}{a} x$交椭圆于$A$、$B$两点，若$\cos \angle A F B=\frac{1}{3}$，则椭圆$C$的离心率是?
【解析】
【题目】以双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程为?
【解析】了根据双曲线的方程求得右焦点和其中一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式求得圆的半径,进而求得圆的方程.由题意,双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1,可得a=2,b=1,则c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5}则双曲线的右焦点为F(\sqrt{5},0),其中一条渐近线方程为y=-\frac{1}{2}x,即x+2y=0所以点F到渐近线x+2y=0的距离为d=\frac{|\sqrt{5}\times1-2\times0|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=1,所以以双曲线的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程为(x-\sqrt{5})^{2}+y2=1
【题目】斜率为$1$，且过抛物线$y=\frac{1}{4} x^{2}$的焦点的直线被抛物线截得的弦长为?
【解析】先将抛物线y=\frac{1}{4}x^{2},转化为标准方程,求得焦点坐标,由斜率为1,得到直线方程y=x+1,然后与抛物线方程联立,利用弦长公式求解.[详解]由抛物线y=\frac{1}{4}x^{2}得x^{2}=4y,\thereforep=2,所以焦点坐标为(0,1),因为斜率为1,所以过焦点的直线方程为y=x+1,由\begin{cases}y=x+1,\\x^{2}=4y,\end{cases}消去x,得y^{2}-6y+1=0.设该直线与抛物线的交点A,B的坐标分别为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}).则y_{1}+y_{2}=6,所以直线被抛物线截得的弦长为y_{1}+\frac{p}{2}+y_{2}+\frac{p}{2}=y_{1}+y_{2}+p=6+2=8.
【题目】已知点$F$为椭圆$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点，点$P$为椭圆$\Gamma$上任意一点，点$O$为坐标原点，则$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}$的最大值为?
【解析】设点P的坐标为(x,y),则-2\leqslantx\leqslant2,可得出y^{2}=3-\frac{3}{4}x^{2},利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{FP}的最大值设点P的坐标为(x,y),则-2\leqslantx\leqslant2,则\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,可得y^{2}=3-\frac{3}{4}x^{2},椭圆\Gamma的左焦点为F(-1,0),\overrightarrow{OP}=(x,y),\overrightarrow{FP}=(x+1,y),则\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{FP}=x(x+1)+y^{2}=x^{2}+x+3-\frac{3}{4}x^{2}=\frac{1}{4}x^{2}+x+3=\frac{1}{4}(x+2)^{2}+2二次函数f(x)=\frac{1}{4}(x+2)^{2}+2在区间[-2,2]上单调递增.所以,f(x)_{\max}=f(2)=\frac{1}{4}\times4^{2}+2=6.因此,\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{FP}的最大值为6.故答客为:6睛)本题考查椭圆中向量数量积最值的求解,考查了椭圆有界性以及二次函数基本性质的应用,考查计管能力屋干中生“所
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$，过点$Q(-\frac{p}{2}, 0)$作直线交$C$于$A$、$B$两点，过$A$、$B$分别作$l$的垂线交$l$于$D$、$E$两点，设$A E$ , $B D$的斜率分别为$k_{1} $, $k_{2}$，则$|\frac{1}{k_{1}}-\frac{1}{k_{2}}|$的最小值为?
【解析】由已知可设l:x=ky-\frac{p}{2},代入y^{2}=2px得:y^{2}-2pky+p^{2}=0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=2pk,y_{1}y_{2}=p^{2}由A=4p^{2k^{2}}-4p^{2}>0,得k^{2}>1.()|\frac{1}{k_{1}}-\frac{1}{k_{2}}|=|\frac{x_{1}+x_{2}+p}{y_{2}-y_{1}}|=\frac{k^{2}}{\sqrt{k^{2}-1}}设\sqrt{k^{2}-1}=t>0,则|\frac{1}{k_{1}}-\frac{1}{k_{2}}|=\frac{k^{2}}{\sqrt{k^{2}-1}}=\frac{t^{2}+1}{t}=t+\frac{1}{t}\geqslant2当且仅当t=1,即k=\pm\sqrt{2}取到最小值为2.
【题目】设$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上的一个动点，$F$是抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，若$B(3 , 2)$，则$| P B|+| P F|$的最小值为?
【解析】过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P_{1},如图,则|P_{1}Q|=|P_{1}F|.则有|PB|+|PF|\geqslant|P_{1}B|+|P_{1}Q|=|BQ|=4即|PB|+|PF|的最小值为4.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$，焦距为$2 c$，且$2 a^{2}=3 c$,双曲线上一点$P$满足$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=2$($F_{1}$ , $F_{2}$为左、右焦点)，则$|\overrightarrow{PF_{1}}| \cdot |\overrightarrow{P F_{2}}|$=?
【解析】
【题目】已知一条抛物线的焦点是直线$l$: $y=-x-t(t>0)$与$x$轴的交点，若抛物线与直线$l$交两点$A$、$B$，且$|A B|=2 \sqrt{6}$，则$t$=?
【解析】直线与x轴的交点为(-t,0),设抛物线方程为y^{2}=-4tx,直线方程为x=t设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),联立直线与抛物线的方程可得:x^{2}+6tx+t^{2}=0则:|AB|=2t-(x,+x)=8t=2\sqrt{6},\sqrt{6}
【题目】已知抛物线$C$:$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$A$在抛物线$C$上，且满足$|A F|=3$，则以点$A$为圆心，$A F$为半径的圆截$y$轴所得弦长为?
【解析】由题意,抛物线y^{2}=4x,可得焦点F(1,0)设A(x_{0},y_{0}),根据抛物线的定义,可得|AF|=x_{0}+1=3,解得x_{0}=2即A到y轴的距离为d=2,所以圆截y轴所得弦长为2\sqrt{R^{2}-d^{2}}=2\sqrt{3^{2}-2^{2}}=2\sqrt{5}
【题目】已知双曲线的一个焦点与抛物线$y^{2}=8 x$的焦点$F$重合，抛物线的准线与双曲线交于$A$、$B$两点，且$\triangle O A B$的面积为$6$($O$为原点),则双曲线的标准方程为?
【解析】\becausey^{2}=8x,\therefore\frac{p}{2}=2,即y2=8x焦点为(2,0),即\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的焦点为(2,0),\thereforea^{2}+b^{2}=4,\textcircled{1}又\because\triangleOAB的面积为6,x=-c时,y=\pm\frac{b^{2}}{a},\thereforeA(-c,\frac{b^{2}}{a}),B(-cS_{\DeltaAOB}=\frac{1}{2}\times2\times\frac{2b^{2}}{a}=6,得b^{2}=3a,\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}得,\begin{cases}a2=1\\b^{2}=3\end{cases}双曲线的方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1
【题目】已知抛物线$x^{2}=4 y$的焦点为$F$，准线为$l$ , $P$为抛物线上一点，过$P$作$P A \perp l$于点$A$，当$\angle A F O=30^{\circ}$($O$为坐标原点)时，$P F$=?
【解析】由抛物线的方程x^{2}=4y可得焦点到准线的距离,再由\angleAFO=30^{\circ},可求得点P的横坐标,代入抛物线方程即可得点P的纵坐标,再由抛物线的定义即可求得PF.如图令l与y轴交点为B,在Rt\triangleABF中,\angleAFB=30^{\circ},BF=2,所以AB=\frac{2\sqrt{3}}{3},若P(x_{0},y_{0}),则x_{0}=\frac{2\sqrt{3}}{3},代入x^{2}=4y中,则y_{0}=\frac{1}{3},所以PF=PA=y_{0}+1=\frac{4}{3}.
【题目】一条渐近线方程是$x+\sqrt {3} y=0$的双曲线，它的一个焦点与方程是$y^{2}=16 x$的抛物线的焦点相同，此双曲线的标准方程是?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=12 x$上一点$M$到抛物线焦点的距离为$9$，则点$M$到$x$轴的距离为?
【解析】抛物线y^{2}=12x的准线为x=-3,点M到抛物线焦点的距离等于点M到准线的距离,所以点M横坐标为6,代入抛物线解析式,可求得纵坐标为\pm6\sqrt{2},则点M到x轴的距离为6\sqrt{2}
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$与$x$轴交于$A$、$B$两点，点$M$是椭圆$C$上异于$A$、$B$的任意一点，记直线$M A$ , $M B$的斜率分别为$k_{M A}$，$k_{M B}$，则$k_{M A} \cdot k_{M B}$=?
【解析】利用椭圆的性质得出A(-2,0),B(2,0),设M(x_{0},y_{0}),利用两点的斜率公式以及椭圆的方程化简k_{MA}\cdotk_{MB},即可得出答案.由题意可得A(-2,0),B(2,0)设M(x_{0},y_{0}),则_{k_{MA}}\cdotk_{MB}=\frac{y_{0}}{x_{0}+2}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-2}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=\frac{2-\frac{1}{2}x_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=-\frac{1}{2}
【题目】已知抛物线$H$:$ 4x^{2}=y $的准线$l$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线交于$A$、$B$两点，若$|A B|=\frac{1}{8}$, 则双曲线$C$的离心率$e$=?
【解析】已知抛物线H:4x^{2}=y即x^{2}=\frac{1}{4}y的准线l为y=\frac{1}{16}与双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x'当y=\frac{1}{16}时x=\pm\frac{a}{16b},又因为|AB|=\frac{1}{8},所以\frac{a}{8b}=\frac{1}{8},\thereforea=b,c^{2}=a^{2}+b^{2}=2a^{2},所以c=\sqrt{2}a则双曲线C的离心率e==\frac{c}{a}=\sqrt{2}
【题目】已知过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点，$|A F|=2$，则$|B F|$=?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点F为(1,0),准线为x=-1,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})由抛物线的定义可得|AF|=x_{1}+1=2,解得x_{1}=1,y_{1}=\pm2,即有AB\botx轴,可得BF=|AF|=2
【题目】在抛物线$y^{2}=-4 x$上求一点$P$，使其到焦点$F$的距离与到$A(-2 , 1)$的距离之和最小，则该点的坐标是?
【解析】
【题目】设$F_{1}$,$F_{2}$为双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在双曲线上且满足$\angle F_{1} P F_{2}=90°$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积是?
【解析】
【题目】已知双曲线两渐近线方程为$2 x \pm y=0$，焦点到渐近线的距离为$2$，则此双曲线的标准方程?
【解析】因为渐近线方程为2x\pmy=0,可设双曲线方程为4x^{2}-y^{2}=\lambda,当\lambda>0时,方程化为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1,此时焦点为(\pm\frac{\sqrt{5\lambda}}{2},0)则焦点到渐近线的距离为\frac{\sqrt{5\lambda}}{\sqrt{5}}=2,即\lambda=4,标准方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1当\lambda<0时,方程化为\frac{y^{2}}{-\lambda}-\frac{x^{2}}{-\frac{2}{4}}=1,此时焦点为(0,\pm\frac{\sqrt{-52}}{2})则焦点到渐近线的距离为\frac{\sqrt{-5\lambda}}{\sqrt{5}}=2'解得\lambda=-16,标准方程为\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1所以此双曲线的标准方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1或\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左、右焦点，点$P$在双曲线右支上且满足$|P F_{2}|=|F_{1} F_{2}|$，双曲线的渐近线方程为$4 x \pm 3 y=0$，则$\cos \angle P F_{1} F_{2}$=?
【解析】设双曲线的半焦距为c,求得双曲线的渐近线方程可得a,b,c的关系,求出\trianglePF_{1}F_{2}的三条边,运用余弦定理可求\cos\anglePF_{1}F_{2}值.设双曲线的半焦距为c由双曲线的渐近线方程,可得\frac{b}{a}=\frac{4}{3}则c=\sqrt{a^{2+b^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{16}{9}a^{2}}=\frac{5}{3}a,在\trianglePF_{1}F_{2}中,|PF_{2}|=|F_{1}F_{2}|=2c,|PF_{1}|=2c+2a,由余弦定理可得\cos\anglePF_{1}F_{2}=\frac{(2c)^{2}+(2c+2a)^{2}-(2c)^{2}}{2\times2c(2c+2a)}=\frac{a+c}{2c}=\frac{a+\frac{5}{3}a}{\frac{10}{3}a}=\frac{4}{5}.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$|F_{2} A|+|F_{2} B|=14$，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】圆$x^{2}+y^{2}+4 y=0$截抛物线$x^{2}=4 y$的准线所得弦长为?
【解析】由x^{2}+y^{2}+4y=0,得x^{2}+(y+2)^{2}=4,则圆心为(0,-2),半径r=2,抛物线x^{2}=4y的准线为y=-1,则圆心(0,-2)到准线y=-1的距离d=1所以圆x^{2}+y^{2}+4y=0截抛物线x^{2}=4y的准线所得弦长为2\sqrt{r2-d^{2}}=2\sqrt{2^{2}-1^{2}}=2\sqrt{3}
【题目】设$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆的左、右焦点，若$|P F_{1}|\cdot | P F_{2} |=12$，则$\angle F_{1} P F_{2}$的大小?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1,可得2a=8,设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,可得\begin{cases}m+n=2a=8\\mn=12\end{cases}化简可得:\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{1}{2},\therefore\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ},
【题目】已知直线$l$与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点为$(3,2)$，则线段$A B$的长度为?
【解析】依题意显然直线的斜率存在,设直线为y-2=k(x-3),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由\begin{cases}y-2=\\y^{2}=4x\end{cases}=k(x-3),消去y整理得k^{2}x^{2}-(6k^{2}+4-4k)x+(2-3k)^{2}=0当k=0时,显然不成立当k\neq0时,x_{1}+x_{2}=\frac{6k^{2}+4-4k}{l^{2}}又\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=3得\frac{6k^{2}+4-4k}{l^{2}}=6,解得k=1.当k=1时直线x-y-1=0,又焦点F(1,0)满足直线x-y-1=0.所以|AB|=|FA|+|FB|=(x_{1}+1)+(x_{2}+1)=x_{1}+x_{2}+2,又x_{1}+x_{2}=6,\therefore|AB|=8.均答家为:8
【题目】已知点$F$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点，点$B$是短轴的一个端点，线段$B F$的延长线交椭圆$C$于点$D$，且$\overrightarrow{B F}=2 \overrightarrow{F D}$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】由椭圆的性质求出BF的值,利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D的横坐标.再由椭圆的第二定义求出\overrightarrow{FD}的值,又由\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD},建立关于a、c的方程,解方程求出\frac{c}{a}的值如图,BF=\sqrt{b^{2}+c}^{2}=a作DD_{1}\boty轴于点D_{1},则由\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD}得:\frac{|\overrightarrow{OF}|}{|DD_{1}|}=\frac{|\overrightarrow{BF}|}{|BD|}=\frac{2}{3}所以,|\overrightarrow{DD_{1}}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{OF}|=\frac{3}{2}c即x_{D}=\frac{3}{2}c,由椭圆的第二定义得\overrightarrow{FD}=(\frac{a^{2}}{c}\cdot\frac{3}{2}c)=a\cdot\frac{3c^{2}}{2a}又由\overrightarrow{BF}=2|\overrightarrow{FD}|,得a=2(a\cdot\frac{3c^{2}}{2})a^{2}=3c^{2},解得e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3},
【题目】抛物线$y^{2}=12 x$上与焦点的距离等于$6$的点的坐标是?
【解析】由抛物线定义可知抛物线y^{2}=12x上的点(x,y)与焦点的距离为x+3,由已知,可得x=3,代入抛物线方程可得y=\pm6
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{25}=1$的左焦点为$F$，点$P$为双曲线右支上一点，且$P F$与圆$x^{2}+y^{2}=16$相切于点$N$、$M$为线段$P F$的中点，$O$为坐标原点，则$|M N|-|M O|$=?
【解析】
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$，其左焦点为$F(-2,0)$，过$F$作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点$N$，且与另一条渐近线交于点$M$，若$\overrightarrow {M N}=\overrightarrow{N F}$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】画出图形,由\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NF},可得N是FM的中点,再结合题意可得ON垂直平分FM,再由双曲线的两条渐近线关于y对称,从而可得\angleFON=\angleMOE=\angleNOM=60^{\circ},进而可求出双曲线渐近线方程因为\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NF},所以N是FM的中点因为FM\botON,所以ON垂直平分FM.所以\angleFON=\angleNOM因为双曲线的两条渐近线关于y对称,所以\angleFON=\angleMOE,因为\angleFON+\angleMOE+\angleNOM=180^{\circ}所以\angleFON=\angleMOE=\angleNOM=60^{\circ}所以双曲线的渐近线方程为y=\pm\tan60^{\circ}x=\pm\sqrt{3}x.
【题目】直线$y=k x+1$被椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$截得的线段长为 （用$a$ , $k$表示）?
【解析】联立方程组,按照k\neq0、k=0分类,结合韦达定理、弦长公式即可得解由题意\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1\\y=kx+1\end{cases},化简得(1+a2k^{2})x^{2}+2ka^{2}x=0,当k\neq0时,A>0,设交点坐标分别为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=-\frac{2ka^{2}}{1+a2k^{2}},x_{1}x_{2}=0,此时截得的线段长为\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{1+k^{2}}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-}\frac{2a^{2}|k|}{4x_{1}x_{2}}=\frac{2a_{1}+a^{2}k^{2}}{\sqrt{1+k^{2}}}当k=0时,截得的线段长为0,满足上式;综上,直线y=kx+1被椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)截得的线段长为\frac{2a^{2}|k|}{1+a2k^{2}}\sqrt{1+k^{2}}
【题目】一动圆$M$与圆$C_{1}$:$(x+1)^{2}+y^{2}=25$内切，且与圆$C_{2}$:$(x-1)^{2}+y^{2}=1$外切，则动圆圆心$M$的轨迹方程是?
【解析】由圆与圆的位置关系可得|MC_{1}|+|MC_{2}|=6>|C_{1}C_{2}|,再由椭圆的定义即可得解.由题意,圆C_{1}:(x+1)^{2}+y^{2}=25的圆心为(-1,0),半径为5,圆C_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1的圆心为(1,0),半径为1,设动圆的圆心M(x,y),半径为R,动圆与圆C_{1}:(x+1)^{2}+y^{2}=25内切,与圆C_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1外切所以|MC_{1}|=5-R,|MC_{2}|=1+R所以|MC_{1}|+|MC_{2}|=5-R+1+R=6>|C_{1}C_{2}|所以M的轨迹是以原点为中心,焦点在x轴上的椭圆,且2a=6,c=1.所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=8,\therefore椭圆的方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$的直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$相切于点$T$，且直线$l$与双曲线$C$的右支交于点$P$，若$\overrightarrow{T P}=3 \overrightarrow{F_{1} T}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】如图由题可知|OF|=|OF_{2}|=c,|OT|=a,则|F|T|=b又\because\overrightarrow{TP}=3\overrightarrow{F_{1}T},\therefore|TP|=3b,\therefore|F_{1}P|=4b又\because|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,\therefore|PF_{2}|=4b-2a作F_{2}M//OT,可得|F_{2}M|=2a,|TM|=b,则|PM|=2b在\triangleMPF_{2},|PM|^{2}+|MF_{2}|^{2}=|PF_{2}|^{2},即c^{2}=(2b-a)^{2},即2b=a+c又\becausec^{2}=a^{2}+b^{2},化简可得3c^{2}-2ac-5a^{2}=0,同除以a2得3e^{2}-2e-5=0解得e=\frac{5}{2}或e=-1(舍去)所以双曲线的离心率为\frac{5}{2}.
【题目】若抛物线$y^{2}=2 x$上有两点$A$、$B$，且$A B$垂直于$x$轴，若$|A B|=2 \sqrt{2}$，则点$A$到抛物线的准线的距离为?
【解析】求出抛物线的准线,再利用弦长求出点A的纵坐标,代入抛物线求出点A,由抛物线的定义即可求解由抛物线y^{2}=2x,其准线方程为x=-\frac{1}{2}\becauseAB垂直于x轴,|AB|=2\sqrt{2},A到x轴的距离为\sqrt{2}假设A在y轴上侧,即y=\sqrt{2},代入抛物线y^{2}=2x,求得x=1.点A到抛物线的准线的距离d=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}
【题目】抛物线$y^{2}=a x$的准线方程为$x=\frac{1}{2}$，则$a$=?
【解析】\because抛物线y^{2}=ax的准线方程为x=\frac{1}{2}\thereforex=-\frac{a}{4}=\frac{1}{2},解得:a=-2,
【题目】已知双曲线与椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{6}=1$有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{3} x$，则此双曲线方程为?
【解析】求出椭圆焦点坐标,即双曲线焦点坐标,有c的值,渐近线方程得\frac{b}{a}=\frac{1}{3},利用a^{2}+b^{2}=c^{2}可解得a,b得双曲线方程.由题意椭圆焦点为(\pm\sqrt{10},0),\thereforec=\sqrt{10},设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),则\frac{b}{a}=\frac{1}{3},由\begin{cases}\frac{b}{a}=\frac{1}{3}\\a^{2}+b^{2}=c^{2}=10\end{cases}解得a=.\therefore双曲线方程为\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1.
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=2 m x$的焦点为$F$，若抛物线$C$上的点$M$到焦点$F$的距离与到$y$轴的距离之差为$2$，则$m$=?
【解析】抛物线C:y2=2mx的焦点为F(\frac{m}{2},0),准线方程x=-\frac{m}{2}设M(x_{0},y_{0}),由抛物线的定义知:|(x_{0}+\frac{m}{2})-x_{0}|=2,解得m=\pm4.
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是椭圆上一点，$|P F_{1}|=\lambda|P F_{2}|$ ,$(\frac{1}{2} \leq \lambda \leq 2)$ , $\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{2}$，则椭圆离心率的取值范围为?
【解析】设|PF_{2}|=t,则|PF_{1}|=\lambdat,由椭圆定义可得(\lambda+1)t=2a即(\lambda+1)^{2}t^{2}=4a^{2},由勾股定理可得(\lambda^{2}+1)t^{2}=4c^{2},两式相除可得e^{2}=\frac{\lambda^{2}+1}{(\lambda+1)^{2}},再令m=\lambda+1\in[\frac{3}{2},3]由函数的性质可得e^{2}的范围,进而可得椭圆离心率的取值范围.羊解】设F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0),由椭圆的定义可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a设|PF_{2}|=t,则|PF_{1}|=\lambdat,所以(\lambda+1)t=2a,即(\lambda+1)^{2}t^{2}=4a^{2},\textcircled{1}因为\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{2},所以(2^{2}+1)t^{2}=4c^{2},\textcircled{2}两式相除可得\frac{\lambda^{2}+1}{(\lambda+1)^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=e^{2},令m=\lambda+1\in[\frac{3}{2},3]可得\lambda=m-1所以e^{2}=\frac{\lambda^{2}+1}{(\lambda+1)^{2}}=\frac{(m-1)^{2}+1}{m^{2}}=\frac{m2-2m+2}{m^{2}}=2\cdot(\frac{1}{m})^{2}-2\cdot\frac{1}{m}+=2\cdot(\frac{1}{m}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2}因为\frac{3}{2}\leqslantm\leqslant3,所以\frac{1}{3}\leqslant\frac{1}{m}\leqslant\frac{2}{3},所以当\frac{1}{m}=\frac{1}{2}即m=2,\lambda=1时e^{2}取得最小值\frac{1}{2},此时e最小为\frac{\sqrt{2}}{2}当\frac{1}{m}=\frac{1}{3}或\frac{2}{3}即m=3,\lambda=\frac{3}{2}时e^{2}取得最大值\frac{5}{9},此时e最大为\frac{\sqrt{5}}{3}所以椭圆离心率的取值范围为\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslantx\leqslant\frac{\sqrt{5}}{3},
【题目】设双曲线的焦点在$x$轴上，两条渐近线为$y=\pm \frac{1}{2} x$，则双曲线的离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知双曲线的一条渐近线为$y=2 x$，且经过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，则双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】定长为$4$的线段$M N$两端点在抛物线$y^{2}=x$上移动，设点$P$为线段$M N$的中点，则点$P$到$y$轴距离的最小值为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的左右焦点为$F_{1}$ , $F_{2}$ ,一直线过$F_{1}$交椭圆于$A$，$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$的周长为?
【解析】因为F_{1},F_{2}为椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1的左右焦点,又一直线过F_{1}交椭圆于A、B两点所以有:|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a=8,|BF_{1}|+|BF_{2}|=2a=8,所以AABF_{2}的周长为|AB|+|AF_{2}|+|AF_{1}|=|AF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{1}|+|BF_{2}|=16
【题目】椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$、$M$为椭圆$C$上的动点，则$\frac{1}{M F_{1}}+\frac{1}{M F_{2}}$的最小值为?
【解析】由\frac{1}{IF_{1}}+\frac{1}{IF_{2}}=\frac{MF_{1}+MF_{2}}{MF_{1}\cdotMF_{2}}=\frac{10}{MF_{1}\cdotMF_{2}},MF_{1}\cdotMF_{2}的最大值为a^{2}=25,能求出\frac{1}{MF_{1}}+\frac{1}{MF_{2}}的最小值.\because椭圆C:\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1的左右焦点为F_{1},F_{2},M为椭圆C上的动点,\therefore\frac{1}{MF_{1}}+\frac{1}{MF_{2}}=\frac{MF_{1}+MF_{2}}{MF_{1}\cdotMF_{2}}\frac{10}{MF_{1}\cdotMF_{2}}\becauseMF_{1}\cdotMF_{2}的最大值为a^{2}=25,\frac{1}{MF_{1}}+\frac{1}{MF_{2}}的最小值d_{\min}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$与$F_{2}$，点$P$在直线$x-\sqrt{3} y+4+\sqrt{3}=0$上，当$\angle F_{1} P F_{2}$取得最大值时，$\frac{|P F_{1}|}{|P F_{2}|}$的值为?
【解析】由\frac{x^{2}}{4}+y2=1可得a=2,b=1,所以c=\sqrt{3},所以焦点F_{1}(-\sqrt{3},0),F_{2}(\sqrt{3},0)要使得\angleF_{1}PF_{2}最大,则过F_{1},F_{2},P三点的圆必定与直线x-\sqrt{3}y+4+\sqrt{3}=0相切于点P.直线x-\sqrt{3}y+4+\sqrt{3}=0交x轴于点A(-4-\sqrt{3},0).因为\angleAPF_{1}=\angleAF_{2}P,\anglePAF_{1}=\angleF_{2}AP所以\triangleAPF_{1}\triangleAF_{2}P,可得\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|}=\frac{|AP|}{|AF_{2}|}所以|\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|}=\sqrt{\frac{|AP|^{2}^{2}}{|AF_{2}|^{2}}}=\sqrt{\frac{|AF_{1}|=4,|AF_{2}|=4+2\sqrt{3}}{|AF_{2}|^{2}2}|}=\sqrt{\frac{|AF_{1}|}{|AF_{2}|}}=\sqrt{\frac{4}{4+2\sqrt{3}}}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1,
【题目】已知椭圆$M$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，直线$l$与椭圆$M$相交于$A$、$B$两点，点$D(1, \frac{1}{2})$是弦$A B$的中点，则直线$l$的方程为?
【解析】设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),因为直线l与椭圆M相交于A,B两点所以有\begin{cases}\frac{x_{1}^{2}}{4}+y_{1}^{2}=1\\\frac{x_{2}}{4}+y_{2}=1\end{cases},两式作差得:y_{1}-y_{2}^{2}=\frac{x_{2}}{4}-\frac{x_{1}}{4}整理得k_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{1}{4}\times\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}}因为点D(1,\frac{1}{2})是弦AB的中点,所以x_{1}+x_{2}=2,y_{1}+y_{2}=1,所以k_{AB}=-\frac{1}{2}所以直线l的方程为y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(x-1),整理得x+2y-2=0
【题目】设点$P$是以$F_{1}$、$F_{2}$为左右焦点的双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$右支上一点，且满足$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$，直线$P F_{1}$与圆$x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}$有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为?
【解析】由题意,PF_{2}=a,PF_{1}=3a,所以a^{2}+(3a)^{2}=(2c)^{2},所以离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}
【题目】椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，焦距为$4$，椭圆上的点到一个焦点的最大距离为$5$，则椭圆上的点到一个焦点的最小距离为?
【解析】根据椭圆的几何性质,椭圆上的点到一个焦点的最大距离为a+c,由已知焦距为4,且椭圆上的点到一个焦点的最大距离为5所以可知c=2,a=3.所以,椭圆上的点到一个焦点的最小距离为a-c=1
【题目】$P$为抛物线$y^{2}=4 x$上任意一点，$P$在$y$轴上的射影为$Q$，点$M(4 , 5)$，则$P Q$与$P M$长度之和的最小值为?
【解析】
【题目】已知$P$为抛物线$y^{2}=16 x$上的一个动点，设$P$到抛物线准线的距离为$d$，点$Q(0,-3)$，那么$|P Q|+d$的最小值为?
【解析】抛物线y^{2}=16x的焦点F(4,0),准线为x=-4,如图,过P作PM垂直准线于点M,则|PF|=|PM|=d所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|,由图可知当P,Q,F三点共线时,|PQ|+|PF|取得最小值,即最小值为|FQ|,|FQ|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5,所以|PQ|+d的最小值为5,
【题目】已知圆$C$过双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是?
【解析】由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点,所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4,\pm\frac{4\sqrt{7}}{3})\therefore它到中心(0,0)的距离为d=\sqrt{16+\frac{112}{9}}=\frac{16}{3}
【题目】已知两点$A(-3,0)$, $B(3,0)$，若$|P A|-|P B|=\pm 4$，那么$P$点的轨迹方程是?
【解析】设P点的坐标为(x,y)因为|PA|-|PB|=\pm4\Rightarrow||PA|-|PB||=4所以P点的轨迹为焦点在x轴的双曲线且c=3,2a=4\Rightarrowa=2所以b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{5}所以P点的轨迹方程为:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{45}=1$上一点$P$到左焦点$F_{1}$的距离为$13$，则点$P$到右焦点$F_{2}$的距离为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，且$P F_{2}$垂直$x$轴，若直线$P F_{1}$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的焦点坐标是?
【解析】由题,a^{2}=9,b^{2}=4,c^{2}=a^{2}-b^{2}=5,所以c=\pm\sqrt{5},故焦点坐标为(\pm\sqrt{5},0)
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{3+k}+\frac{y^{2}}{2-k}=1$表示双曲线，则$k$的取值范围为?
【解析】
【题目】圆心在直线$y=x$上，且在第一象限，并且经过点$(-1,2)$，且被$x$轴截得的弦长为$4 \sqrt{2}$的圆的方程为?
【解析】设圆心为(a,a),半径为r,由题知a>0,过点(-1,2),则(a+1)^{2}+(a-2)^{2}=r^{2}被x轴截得的弦长为4\sqrt{2}则a_{2}+(\frac{4\sqrt{2}}{2})^{2}=r^{2}由\begin{cases}(a+1)\\\end{cases}^{2}+(a-2)解得\begin{cases}a=3\\r=\sqrt{17}\end{cases}.故圆的方程为(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=17
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，右顶点为$A$，点$P$在过$A$且垂直于$x$轴的直线$l$上，当$\Delta F_{1} F_{2} P$的外接圆面积达最小时，$P A$长等于半焦距，则该椭圆的离心率为?
【解析】设\triangleF_{1}F_{2}P的外接圆的圆心为O,则O'在F_{1}F_{2}的垂直平分线上又\becauseP在x=a上,O在y轴上\therefore|OP|\geqslanta,即当\triangleF_{1}F_{2}P的外接圆的半径为|OP|=a时,面积最小由题意可知,|PA|=|OO|=c,|OP|=|OF_{2}|=a在直角三角形O'OF_{2}中,c^{2}+c^{2}=a^{2},即e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$的焦距为?
【解析】椭圆x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1,a=2,b=1,则c=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}椭圆x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1的焦距为:2\sqrt{3}
【题目】抛物线$M$:$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，双曲线$x^{2}-y^{2}=1$的一条渐近线与抛物线$M$交于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F$的面积为?
【解析】由已知F(2,0),双曲线的一条渐近线为y=x,由\begin{cases}y=x\\y2=8x\end{cases}得\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}或\begin{cases}x=8\\y=8\end{cases},即A(0,0),B(8,8),所以S_{\triangleABF}=\frac{1}{2}\times2\times8=8.
【题目】已知曲线$Q$: $\frac{x^{2}}{2 a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(x>0)$，点$A$、$B$在曲线$Q$上，且以$A B$为直径的圆的方程是$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$. 则$a$=?
【解析】因为AB是圆的直径,必过圆心(2,1)点,设AB所在直线方程为l_{AB}:y-1=k(x-2)设A、B点坐标分别为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),都在Q上,故\begin{cases}\frac{x^{2}}{2a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\\\frac{x^{2}}{2a}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\end{cases}(因为(2,1)是AB的中点),即k=联立直线AB与Q的方程:\begin{cases}y=x-1\\\frac{x^{2}}{2a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\end{cases}\Rightarrowx^{2}-4x+2+2a^{2}=0又|AB|=2,即|AB|^{2}=4,即(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=4,又因为y_{1}-y_{2}=x_{1}-x_{2},则有4=2(x_{1}-x_{2})^{2}=2[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]=2[4^{2}-4(2+2a^{2})]即8-8a^{2}=2,\thereforea=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，过$F_{1}$的直线$l$与双曲线$C$的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交$Q$、$P$两点，且$|P Q|-|P F_{2}|=a$，双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】过F_{1}的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,设垂足为A,易得|F_{1}A|=b,\cos\angleQF_{1}O=\frac{b}{c},又|PQ|-|PF_{2}|=a,所以|PF_{1}|-|QF_{1}|-|PF_{2}|=a,而|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,故|QF_{1}|=a|QF_{2}|=3a,在\triangleQF_{1}O中,利用余弦定理可得:9a^{2}=a^{2}+4c^{2}-2a\times2c\times\frac{b}{c},即2a^{2}=c^{2}-aba^{2}+ab-b^{2}=0,得:\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}+1}{2},故渐近线方程为:y=\pm\frac{\sqrt{5}+1}{2}x
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b}=1$的右焦点为$(3,0)$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】一动圆与两圆$(x+2)^{2}+y^{2}=1$,$(x-2)^{2}+y^{2}=4$都外切,则动圆圆心的轨迹方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的上、下焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ ,过$F_{1}$且与$y$轴垂直的直线交椭圆于$A$、$B$两点，直线$A F_{2}$与椭圆的另一个交点为$C$，若$S_{\triangle  A B C}=3 S_{\triangle B C F_{2}}$，则椭圆的离心率为?
【解析】由题意可得F_{1}(0,c),F_{2}(0,-c)\becauseAB过点F_{1}且与y轴垂直,\therefore点A坐标为(-\frac{b^{2}}{a},c).又S_{\DeltaABC}=3S_{ABCF_{2}},\therefore|AF_{2}|=2|F_{2}C|即\overrightarrow{AF}_{2}=2\overrightarrow{F_{2}C}\therefore\overrightarrow{F_{2}C}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AF_{2}}=\frac{1}{2}(\frac{b^{2}}{a},-2c)=(\frac{b^{2}}{2a},-c)\therefore点C(\frac{b^{2}}{2a},-2c)\because点C在椭圆上,\therefore\frac{4c^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=1'由b^{2}=a^{2}-c^{2}可得\frac{4c^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}-c^{2}}{4a^{2}}=1即4e^{2}-\frac{1}{4}e^{2}+\frac{1}{4}=1解得e=\frac{\sqrt{5}}{5}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$到准线的距离与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的长轴长相等,则抛物线的标准方程为?
【解析】在椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1中,a=3,b=2,故长轴长为6,由抛物线的焦点F到准线的距离与椭圆的长轴长相等可得p=6,故抛物线的标准方程为y^{2}=12x,
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$，点$M(-1,1)$，过$C$的焦点且斜率为$k$的直线与$C$交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$，则实数$k$的值为?
【解析】因为抛物线C:y^{2}=4x的焦点F(1,0),所以过C的焦点且斜率为k的直线为y=k(x-1),联立方程组\begin{cases}y^{2}=4x\\y=k(x-1)\end{cases},消去x得ky^{2}-4y-4k=0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=\frac{4}{k},y_{1}y_{2}=-4联立方程组\begin{cases}y^{2}=4x\\y=k(x-1)\end{cases},消去y得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0由一元二次方程的根与系数关系知x_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}},x_{1}x_{2}=1,因为\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0,所以(x_{1}+1,y_{1}+1)\bullet(x_{2}+1,y_{2}+1)=0,所以x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1+y_{1}y_{2}-(y_{1}+y_{2})+1=0所以1+\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}+1-4-\frac{4}{k}+1=0,解得k=2
【题目】顶点在原点，对称轴是$y$轴，且焦点在直线$3 x-4 y-24=0$上的抛物线的标准方程是?
【解析】依题意,抛物线的标准方程是x^{2}=2my,直线3x-4y-24=0中,令x=0可求得抛物线的焦点坐标,从而求得答案.详解】\because抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,\therefore抛物线的标准方程为x^{2}=2my,\because其焦点在直线3x-4y-24=0上,\therefore令x=0得y=-6,\therefore焦点F(0,-6)\thereforem=-12.\therefore抛物线的标准方程是x^{2}=.A_{1},
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{m^{2}-1}-y^{2}=1(m>1)$的右焦点到直线$x+y=0$的距离为$\sqrt{2}$，则$C$的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的渐近线方程为$x \pm \sqrt{3} y=0$，则双曲线离心率$e$=?
【解析】
【题目】抛物线$(y-1)^{2}=4(x-1)$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】设$O$为坐标原点，$P$是以$F$为焦点的抛物线$y^{2}=2 p x  (p>0)$上任意一点，$Q$是线段$P F$上的点，且$2|\overrightarrow{P Q}|=|\overrightarrow{Q F}|$，则直线$O Q$的斜率的最大值为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=4 a x$的准线方程是$x=-2$，则$a$=?
【解析】利用抛物线的准线方程可求得实数a的值[详解]抛物线y^{2}=4ax的准线方程为x=-a,则-a=-2,因此,a=2
【题目】若抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$上的点$(m, 3)$到焦点的距离是$5$, 则$m^{2}$=?
【解析】因为(m,3)是抛物线x^{2}=2py(p>0)上的点,所以点(m,3)到焦点的距离3-(-\frac{p}{2})=5,解得p=4,所以抛物线方程为x^{2}=8y.点(m,3)代入x^{2}=8y得m^{2}=24
【题目】已知直线$y=k x-2(k>0)$与抛物线$C$: $x^{2}=8 y$相交于$A$、$B$两点，$F$为$C$的焦点，若$|F A|=2|F B|$，则$k$=?
【解析】由|FA|=2|FB|得:|AM|=2|BN|,所以故点B为AP的中点,|OB|=\frac{1}{2}|AF|,|OB|=|BF|,得B(2\sqrt{2},1),所以k_{AB}=k_{PB}=\frac{1-(-2)}{2\sqrt{2}-0}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}由已知,直线y=kx-2(k>0)过点P(0,-2),恰好是抛物线C:x^{2}=8y的准线l:y=-2与y轴的交点,如下图所示,过点A,B分别作AM\botl于M,BN\botl于N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|\therefore点B为AP的中点,连接OB,则|OB|=\frac{1}{2}|AF|,\thereforeOB=BF,\therefore点B的纵坐标为1,B(2\sqrt{2},1)\thereforek_{AB}=k_{PB}=\frac{1-(-2)}{2\sqrt{2}-0}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的一条渐近线与圆$C$:$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4$相切，切点在第三象限，则$a$=?
【解析】由题知:y=\frac{1}{a}x与圆(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=4相切,所以圆心到渐近线的距离d=\frac{|1+2a|}{\sqrt{1+a^{2}}}=2,解得a=\frac{3}{4}
【题目】过点$A(-2,2)$与双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$有公共渐近线的双曲线方程是?
【解析】利用待定系数法设出所求双曲线标准方程\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0),再将点A(-2,2)代入可解得结果[详解]设与双曲线\frac{x2}{2}-y^{2}=1有公共渐近线的双曲线标准方程是\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0)因为双曲线\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1过A(-2,2),所以\frac{4}{2}-4=\lambda,即\lambda=-2,所以所求双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{4}=1
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$的焦距等于?
【解析】根据椭圆方程,求出a,b,即可求解.设椭圆的焦距为2c,椭圆方程为\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1\thereforea^{2}=5,b^{2}=4,\thereforec=1
【题目】已知以$F$为焦点的抛物线$y^{2}=4 x$上的两点$A$, $B$满足$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$，则弦$AB$的中点到准线的距离为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=-4 \sqrt{2} x$的焦点为$F$，准线为$l$，以$F$为圆心且与$l$相切的圆的方程是?
【解析】因为抛物线方程为y^{2}=-4\sqrt{2}x,故可得F(-\sqrt{2},0),准线方程x=\sqrt{2}则以F为圆心且与l相切的圆的半径为2\sqrt{2}故满足题意的圆方程为(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}=8
【题目】若曲线$x^{2}-x y+2 y+k=0$经过点$P(-t, t)(t \in R)$，则$k$的取值范围是?
【解析】曲线x^{2}-xy+2y+k=0经过点P(-t,t),则t^{2}+t^{2}+2t+k=0,即k=-2t^{2}-2t=-2(t+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{2},故k\in(-\infty,\frac{1}{2}]
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$焦点为$F$，弦$A B$过$F$ , $A B$中点$M(x_{m}, y_{m})$ , $x_{m}=\frac{3}{4} p$. 则$y_{m}$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),焦点弦AB方程为:x=my+\frac{p}{2}\textcircled{1}与抛物线方程联立可得y^{2}-2pmy-p^{2}=0,则y_{1}+y_{2}=2pm\Rightarrowm=\frac{y_{1}+y_{2}}{2p}代入\textcircled{1}可得直线AB方程为2px-(y_{1}+y_{2})y-p^{2}=0,因为点M(\frac{3}{4}p,y_{m})为线段AB的中点,所以\frac{1}{2}p^{2}=(y_{1}+y_{2})y_{m}=2y_{m}2,\thereforey_{m}=\pm\frac{p}{2}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ ,两条渐近线分别为$l_{1}$ , $l_{2}$. 过点$F_{2}$且与$l_{1}$垂直的直线分别交$l_{1}$ , $l_{2}$于$P$、$Q$两点，$O$为坐标原点，若满足$\overrightarrow{O F_{2}}+\overrightarrow{O Q}=2 \overrightarrow{O P}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】如图所示,不妨设渐近线l_{1}的斜率大于0.由\overrightarrow{OF_{2}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP}得,P是线段F_{2}Q的中点又因为OP\botF_{2}Q,所以\angleQOP=\angleF_{2}OP=\angleF_{1}OQ.又\angleF_{1}OQ+\angleF_{2}OP+\angleQOP=\pi,所以\angleF_{2}OP=\frac{\pi}{3}故直线l_{1}的斜率为\sqrt{3},即\frac{b}{a}=\sqrt{3},故e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=2
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ ,过$F_{2}$的直线与椭圆交于$A$、$B$两点，若$\triangle A B F_{1}$的面积为$\frac{4}{3}$，则$\frac{|F_{2} A|}{|F_{2} B|}$=?
【解析】如图所示:当直线AB斜率为零时,显然不符合题意,由题意可知,F_{1}(-1,0),F_{2}(1,0)设直线AB:x=my+1,A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),不妨假设点A在x轴上方.由\begin{cases}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\\x=my+1\end{cases}化简可得,(m^{2}+2)y^{2}+2my-1=0.所以y_{1}+y_{2}=-\frac{2m}{m^{2}+2},y_{1}y_{2}=\frac{-}{m^{2}}\frac{-1}{+2}即\triangleABF_{1}的面积为\frac{1}{2}\times|F_{1}F_{2}|\times|y_{1}-y_{2}|=\frac{4}{3},即|y_{1}-y_{2}|=\frac{4}{3},于是有当m=1时,y_{1}+y_{2}=-\frac{2}{3},所以y_{1}=+\frac{4}{m^{2}+2}=\frac{16}{9},化简得,2m^{4}-m^{2}-1=0,解得m^{2}=1,所以y_{1}y_{2}=-\frac{1}{3}\frac{1}{3},y_{2}y_{2}=-1,所以\frac{|F_{2}A|}{|F_{2}B|}=|\frac{y_{1}}{y_{2}}|=\frac{1}{3}当m=-1时,y_{1}+y_{2}=\frac{2}{3},y_{1}=1,y_{2}=-\frac{1}{3},所以\frac{|F_{2}A|}{|F_{2}B|}=|\frac{y_{1}}{y_{2}}|=3.同理可知,当点B在x轴上方时,\frac{|F_{2}A|}{|F_{2}B|}=\frac{1}{3}或3.

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【题目】已知点$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$上的一点,$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线的两个焦点,若$|P F_{1}|+|P F_{2}|=4 \sqrt{2}$, 则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】不妨设P在双曲线的右支上,由双曲线的定义可知|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2\sqrt{2},又|PF_{1}|+|PF_{2}|=4\sqrt{2}\therefore|PF_{1}|=3\sqrt{2},|PF_{2}|=\sqrt{2},又|F_{1}F_{2}|=2c=2\sqrt{3},\therefore\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{PF_{1}2+PF_{2}-F_{1}F_{2}^{2}}{2PF_{1}\cdotPF_{2}}=\frac{2}{3},\sin\angleF_{1}PF_{2}=\sqrt{1^{2}-\cos^{2}\angleI}-\frac{\sqrt{5}}{3},\therefore\trianglePF_{1}F_{2}的面积为\frac{1}{2}\times3\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{5}}{3}=\sqrt{5}.
【题目】已知$A$、$B$、$C$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$上的三个点，$A B$经过原点$O$ , $A C$经过右焦点$F$，若$B F \perp A C$且$3|A F|=|A C|$，则该双曲线的离心率是?
【解析】由题意得:如图,设左焦点为F,|AF|=m,连接AF',BF,CF又3|AF|=|AC|,则|FC|=2m,|AF|=2a+m,|CF|=2a+2m,|FF|=2c所以四边形FAFB为矩形所以在Rt\triangleAFC中,|AF|^{2}+|AC|^{2}=|CF|^{2},即(2a+m)^{2}+(3m)^{2}=(2a+2m)^{2}化简得m=\frac{2a}{3}又在Rt\triangleAFF中,|AF|^{2}+|AF|^{2}=|FF|^{2},所以(2a+\frac{2a}{3})^{2}+(\frac{2a}{3})^{2}=(2c)^{2},化简得\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{17}{9},即e=\frac{\sqrt{17}}{3}
【题目】若双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的离心率为$2$，则$b$=?
【解析】\because双曲线C:x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)的离心率为2\therefore\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{1}}=2\thereforeb=\sqrt{3}
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1(a>0)$的焦点到斩近线的距离为?
【解析】设双曲线的右焦点F(c,0),其中一条渐近线方程y=\frac{b}{a}x'即bx-ay=0则点(c,0)到直线bx-ay=0的距离d=\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bc}{c}=b即双曲线的焦点到渐近线的距离d=b,由双曲线方程可知,C:\frac{x2}{a}-\frac{y^{2}}{5}=1(a>0),b=\sqrt{5}即焦点到新近线的距离为\sqrt{5}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$为直线$x=-\frac{a^{2}}{c}$上的一个动点 (不在坐标轴上)，则当$\angle F_{1} P F_{2}$的最大值为$\frac{\pi}{6}$时，椭圆的离心率是?
【解析】由题意,点P为直线x=-\frac{a2}{c}上的一个动点,设点P(-\frac{a^{2}}{c},m),因为F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0),可得_{k}-\frac{b^{2}}{m},k_{PF_{2}}=-\frac{c^{2}+a^{2}}{m}可得\tan\angleF_{1}PF_{2}\frac{c2}{2}=\frac{c}{\sqrt{(c^{2}+a^{2})b^{2}}}=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},又由c^{2}=a^{2}-
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=2$的左、右焦点，点$P$在$C$上，$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$\triangle F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】不妨设点P在双曲线的右支上,则|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=2\sqrt{2},|F_{1}F_{2}|=2c=4在\triangleF_{1}PF_{2}中,由余弦定理,\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}}{2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|}=\frac{(|PF_{1}|-|PF_{2}|)^{2}+2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|-|F_{1}F_{2}|^{2}}{2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|}=\frac{1}{2}\therefore|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=8,\thereforeS=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\sin60^{\circ}=2\sqrt{3}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{m-1}+\frac{y^{2}}{3-m}=1$的焦点在$x$轴上，则实数$m$的取值范围是?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{m-1}+\frac{y^{2}}{3-m}=1的焦点在x轴上,\thereforem-1>3-m>0,解得:2<m<3,
【题目】双曲线$m x^{2}+y^{2}=1$的实轴长是虚轴长的$2$倍，则$m$=?
【解析】由已知条件得双曲线mx^{2}+y^{2}=1的标准方程为y^{2}-\frac{x^{2}}{-\frac{1}{m}}=则a^{2}=1,b^{2}=-\frac{1}{m},实轴长为2,虚轴长为2\sqrt{-\frac{1}{m}}
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，其准线交$x$轴于点$C$，过点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点，若$\angle C B F=90^{\circ}$，则$|A F|-|B F|$=?
【解析】设直线的方程与抛物线联立求出两根之积.若CBF=90^{\circ},可得\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{FB}=0,可得B的坐标进而求出A的坐标,由抛物线的性质:到焦点的距离等于到准线的距离可得结论由抛物线的方程可得:焦点F(2,0),准线方程为x=-2.\thereforeC的坐标(-2,0).由抛物线的对称性,假设直线AB的斜率大于0,设直线AB的方程为:y=k(x-2)设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),在x轴上方,即x_{1}>x_{2}联立直线与抛物线的方程可得:\begin{cases}y=k(x-\\y^{2}=8x\end{cases}-2)消掉y可得:k^{2}x^{2}-(4k^{2}+8)x+4k^{2}=0,x_{1}+x_{2}=\frac{8+4k^{2}}{k^{2}},x_{1}x_{2}=4--\textcircled{1}若\angleCBF=90^{\circ}可得\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{FB}=0.即(x_{2}+2,y_{2})(x_{2}-2,y_{2})=0即x_{2}2-4+y_{2}=0,故x_{2}^{2}+8x_{2}-4=0,可得x_{2}=-4+2\sqrt{5}代入\textcircled{1}可得x=2\sqrt{5}+4由抛物线的性质:到焦点的距离等于到准线的距离可得|AF|-|BF|=(x_{1}+2)-(x_{2}+2)=x_{1}-x_{2}=(2\sqrt{5}+4)-(2\sqrt{5}-4)=8
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过右焦点$F$且斜率为$k(k>0)$的直线与椭圆$C$相交于$A$、$B$两点. 若$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$，则$k$=?
【解析】由已知e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2},所以a=2b,所以a=\frac{2}{\sqrt{3}}c,b=\frac{c}{\sqrt{3}},则椭圆方程\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1变为\frac{3}{4}x^{2}+3y^{2}=c^{2}.设AA(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),又\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB},所以(c-x_{1},-y_{1})=3(x_{2}-c,y_{2}),所以\begin{cases}c-x_{1}=3(x_{2}\\-y_{1}=3y_{2}\end{cases}所以\begin{cases}x_{1}+3x_{2}=4c\\y_{1}+3y_{2}=0\end{cases}\frac{3}{4}x_{1}^{2}+3y_{1}^{2}=c^{2}\textcircled{1}\frac{3}{4}x_{2}^{2}+3y_{2}^{2}=c^{2}\textcircled{2}.\textcircled{1}-9\times\textcircled{2},得\frac{3}{4}(x_{1}+3x_{2})(x_{1}-3x_{2})+3(y_{1}+3y_{2})(y_{1}-3y_{2})=-8c^{2},所以\frac{3}{4}\times4c(x_{1}-3x_{2})=-8c^{2},所以x_{1}-3x_{2}=-\frac{8}{3}c,所以x_{1}=\frac{2}{3}c,x_{2}=\frac{10}{9}c,从而y_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{3}c^{2}y_{2}=\frac{\sqrt{2}}{9},所以A(\frac{2}{3}c,-\frac{\sqrt{2}}{3}c),B(\frac{10}{9}c,\frac{\sqrt{2}}{9}c),故k=\sqrt{2}
【题目】设抛物线$x^{2}=4 y$的焦点为$F$、$A$为抛物线上第一象限内一点，满足$|A F|=2$，已知$P$为抛物线准线上任一点，当$|P A|+|P F|$取得最小值时，$\Delta P A F$的外接圆半径为?
【解析】分析:根据抛物线的定义可知|AF|=y_{0}+\frac{p}{2}=y_{0}+1=2,解得y_{0}=1,得A(2,1),作抛物线的焦点F(0,1),关于抛物线准线y=-1的对称点得F_{1}(0,-3),连接AF_{1}交抛物线的准线y=-1于点P,使得|PA|+|PF|取得最小值,此时点P的坐标为(1,-1),在APAF中,分别应用正、余弦定理,即可求解结果.详由抛物线x^{2}=4y的方程可知F(0,1),设A(x_{0},y_{0}),又由|AF|=2,根据抛物线的定义可知|AF|=y_{0}+\frac{p}{2}=y_{0}+1=2.解得y_{0}=1,代入抛物线的方程,可得x_{0}=2,即A(2,1),作抛物线的焦点F(0,1),关于抛物线准线y=-1的对称点得F_{1}(0,-3)连接AF_{1}交抛物线的准线y=-1于点P,此时能使得|PA|+|PF|取得最小值此时点P的坐标为(1,-1),由余弦定理得\cos\angleAPF=\frac{(\sqrt{5})+(\sqrt{5}}{2}\times\sqrt{5}\times\sqrt{5}-\frac{3}{5},则\sin\angleAPF=\frac{4}{5}由正弦定理得2R=\frac{|AF|}{\sin\angleAPF}=\frac{2\times5}{4}=\frac{5}{2},所以R=\frac{5}{4},即三角形外接圆的半径为R=\frac{5}{4}
【题目】已知椭圆中心在原点，它在$x$轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，并且这个焦点到椭圆的最短距离为$4(\sqrt {2}-1)$，则椭圆的方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆的长轴长是短轴长的$2$倍，则椭圆的离心率等于?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$:$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线为$l$，点$A \in l$，线段$A F$交抛物线$C$于点$B$，若$\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{F B}$则$|\overrightarrow{A F}|$=?
【解析】过B作准线为l的垂线,垂足为B_{1},准线l与x轴交于点M,AABB_{1}与AAFM相似得:\frac{|AB|}{|AF|}=\frac{|B_{1}B|}{|MF|}令|FB|=m,由抛物线定义得|B_{1}B|=m,|AB|=2m,|AF|=3m,代入\frac{|AB|}{|AF|}=\frac{|B_{1}B|}{|MF}得:\frac{2m}{3m}=\frac{m}{2},m=\frac{4}{3},所以|\overrightarrow{AF}|=3m=4.
【题目】抛物线$x=\frac{1}{10} y^{2}$的焦点到准线的距离是?
【解析】将抛物线的方程化为标准方程,即可求得结果抛物线的标准方程为y^{2}=10x,则2p=10,可得p=5.因此,抛物线x=\frac{1}{10}y2的焦点到准线的距离是5
【题目】已知点$A(1,0)$，直线$l$: $y=2 x-4$，点$R$是直线$l$上的一点. 若$\overrightarrow{R A}=\overrightarrow{A P}$，则点$P$的轨迹方程为?
【解析】设点P的坐标为(x,y),点R(m,n),则n=2m-4\textcircled{1}.由\overrightarrow{RA}=\overrightarrow{AP}可得(1-m,-n)=(x-1,y)\therefore1-m=x-1,-n=y,即m=2-x,n=-y,代入\textcircled{1}可得y=2(2-x)-4,化简可得y=2x,
【题目】过双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$右支上一点$P$作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点$M$、$N$、$O$为坐标原点，设$\Delta O M N$的面积为$S$，若$S \geq \frac{b^{2}}{2}$，则双曲线$C$的离心率取值范围为 (用区间作答)?
【解析】设P(m,n),y=-\frac{b}{a}x+d是过P与渐近线y=-\frac{b}{a}x平行的直线,交y轴于D(0,d)点,与渐近线y=\frac{b}{a}x交于M(x_{1},y_{1}),联立\begin{cases}y=-\frac{b}{a}x+d\\y=\frac{b}{a}x\end{cases}解得x_{1}=\frac{bm+an}{2b}则S_{\triangleDOM}=\frac{1}{2}|x_{1}\cdotd|,由题知四边形OMPN是平行四边形又P(m,n)在双曲线上,应满足\frac{m^{2}}{a^{2}}-\frac{n^{2}}{b^{2}}=1,即b^{2}m^{2}-a^{2}n^{2}=a^{2}b^{2}则S_{OMPN}=2S_{\DeltaOMP}=2(S_{\DeltaOPD}-S_{\DeltaDMO})=|md|-|x_{1}\cdotd|=|(m-x_{1})d|=|\frac{(bm-an)(bm+an)}{2ab}|=\frac{a2b^{2}}{2ab}=\frac{ab}{2}则S=\frac{1}{2}S_{OMPN}=\frac{ab}{4}\geqslant\frac{b^{2}}{2},解得\frac{b}{a}\leqslant\frac{1}{2}可得离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a2}}\leqslant\frac{\sqrt{5}}{2}所以离心率的范围为(1,\frac{\sqrt{5}}{2}]'
【题目】已知双曲线$k x^{2}-y^{2}=1$的一条渐近线与直线$2 x+y+1=0$垂直，那么双曲线的离心率为?渐近线方程为?
【解析】
【题目】直线$l$过点$(a, 0)$且垂直于$x$轴，若直线$l$被抛物线$y^{2}=4 a x$截得线段长为$4$，则抛物线的焦点坐标为?
【解析】由题意可得a不为0,当a>0时,\begin{cases}x=a\\y^{2}=4a^{2}\end{cases}\Rightarrowy+2a,所以4a=4,a=1,抛物线的焦点为(1,0)当a<0时,.x=a^{a2}\Rightarrowy=\pm2a,所以4a=4,a=1,抛物线的焦点为(1,0).
【题目】已知$F_{1}(0,-2)$ , $F_{2}(0,2)$为椭圆的两个焦点，过$F_{2}$作椭圆的弦$A B$，若$\triangle A F_{1} B$的周长为$16$，则该椭圆的标准方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左顶点为$A$，过点$(-\frac{6}{5}, 0)$的直线$M N$与椭圆交于点$M$、$N$两点，($M$, $N$均异于点$A$)，若直线$A M$, $A N$的斜率分别为$k_{1}$, $k_{2}$，则$|4 k_{1}-k_{2}|$的最小值为?
【解析】当MN的斜率不存在,可求得M(-\frac{6}{5},\frac{4}{5}),N(-\frac{6}{5},-\frac{4}{5}),进而求得k_{1}=1,k_{2}=-1,得|4k_{1}-k_{2}|=5;当斜率存在时,设直线为y=k(x+\frac{6}{5}),联立椭圆,利用韦达定理可求得k_{1}k_{2}=-1,再利用基本不等式可求出|4k_{1}-k_{2}|的最小值解】当直线MN的斜率不存在时,直线方程为x=-\frac{6}{5}求得M(-\frac{6}{5},\frac{4}{5}),N(-\frac{6}{5},-\frac{4}{5}),又A(-2,0),\thereforek_{1}=\frac{\frac{4}{5}-0}{-\frac{6}{5}+2}=1,k_{2}=\frac{-\frac{4}{5}-0}{-\frac{6}{5}+2}=-1此时|4k_{1}-k_{2}|=5;当直线MN的斜率存在时,设直线的方程为y=k(x+\frac{6}{5})联立椭圆方程得(100k^{2}+25)x^{2}+240k^{2}x+144k^{2}-100=0,\because(-\frac{6}{5},0)在椭圆内,则显然A>0,设M(x_{1},y),N(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}\thereforey_{1}y_{2}=k^{2}(x_{1}+\frac{6}{5})(x_{2}+\frac{6}{5})=k^{2}[x_{1}x_{2}\thereforek_{1}k_{2}=\frac{y_{1}}{x_{1}+2}\cdot\frac{y_{2}}{x_{2}+2}=\frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x}则|4k_{1}-k_{2}|=|4k_{1}+\frac{1}{k_{1}}|=|4k_{1}|+\frac{1}{|k_{1}|}\geqslant2\sqrt{|4k_{1}|\cdot|\frac{100k^{2}+25}{|k_{1}}|}=4,当且仅当|4k_{1}|=\frac{1}{|k_{1}},即k_{1}=\pm\frac{1}{2}时等号成立,综上,|4k_{1}-k_{2}|的最小值为4.
【题目】已知双曲线$C$的中心为坐标原点，点$F(2,0)$是双曲线$C$的一个焦点，过点$F$作渐近线的垂线$l$，垂足为$M$，直线$l$交$y$轴于点$E$，若$|F M|=3|M E|$，则双曲线$C$的方程为?
【解析】设双曲线C的方程为:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,由已知得:由点到直线的距离公式可得|FM|=b,由|FM|=3|ME|及勾股定理可得OE=\sqrt{(\frac{4b}{3})^{2}-4},又因为FE与渐近线垂直,\therefore\frac{\sqrt{(\frac{4b}{3})^{2}-4}{2}}=\frac{a}{b}结合a^{2}=4-b^{2},可得b^{2}=3,a^{2}=1\therefore双曲线C的方程:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1,故答案
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 x$的焦点为$F$，直线$l$过$F$与$C$交于$A$、$B$两点，若$|A F|=|B F|$，则$y$轴被以线段$A B$为直径的圆截得的弦长为?
【解析】如图所示:由于|AF|=|BF|,所以l\botx轴所以圆心坐标为F(\frac{1}{2},0),半径为r=1弦长为2\sqrt{1-(\frac{1}{2})^{2}}=\sqrt{3}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{m+4}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率是$\frac{1}{2}$，则实数$m$的值为?
【解析】
【题目】顶点在原点，焦点在$x$轴上的抛物线，截直线$2 x-y+1=0$所得弦长为$\sqrt{15}$，则抛物线方程为?
【解析】1设所求抛物线方线方程联式[将弦长用a表示出来,即可解得a,进而得出抛物线方程.设所求抛物线方程为y2=a(a\neq0),已知直线变形为y=2x+1设直线与抛物线交于A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})联立\begin{cases}y^{2}=ax,\\y=2x+1,\end{cases}消去y得(2x+1)^{2}=ax,整理得4x^{2}+(4-a)x+1=0x_{1}+x_{2}=-\frac{a-4}{4},x_{1}x_{2}=\frac{1}{4}=\sqrt{15}解得a=12或a=-4,均符合题意.所以所求抛物线方程为v2=12x或y2=-4x
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ,过$P(2,1)$点作直线$l$交椭圆$C$于$A$、$B$两点，且点$P$是$A B$的中点，则直线$l$的方程是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})因为点P(2,1)是AB的中点,可得x_{1}+x_{2}=4,y_{1}+y_{2}=2,由\begin{cases}\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\\\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{cases},两式相减得\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{4(x_{1}+x_{2})}{9(y_{1}+y_{2})}=-\frac{4\times4}{9\times2}=-\frac{8}{9},即k_{AB}=-\frac{8}{9},所以直线AB的方程为y-1=-\frac{8}{9}(x-2),即8x+9y-25=0.数答客为:8x+9v-25=0.
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$M$在抛物线上，$M N$垂直$x$轴于点$N$. 若$|M F|=6$，则$M$的横坐标为?
【解析】设M(x_{0},y_{0}),则|MF|=x_{0}+1=6,所以x_{0}=5故答家为:5
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左顶点为$A_{1}$，右焦点为$F_{2}$、$P$为双曲线右支上一点，则$\overrightarrow{P A_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的最小值为?
【解析】
【题目】过点$M(2 ,-2 p)$作抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$的两条切线，切点分别为$A$、$B$，若线段$A B$中点的纵坐标为$6$，则抛物线的方程为?
【解析】
【题目】以原点为顶点，$x$轴为对称轴且焦点在$2 x-4 y+3=0$上的抛物线方程是?
【解析】
【题目】若圆$(x-\sqrt{3})^{2}+(y-1)^{2}=9$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$经过第二、四象限的渐近线交于$A$、$B$两点，且$|A B|=2 \sqrt{6}$，则此双曲线的离心率为?
【解析】依题意可知双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)经过第二、四象限的渐近线方程为bx+ay=0因为|AB|=2\sqrt{6},圆(x-\sqrt{3})^{2}+(y-1)^{2}=9的圆心为(\sqrt{3},1),半径为3所以圆心到渐近线的距离为d=\sqrt{9-6}=\sqrt{3}即\frac{|\sqrt{3}b+a|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{3},解得a=\sqrt{3}b,所以c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2b,所以双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{2b}{\sqrt{3}b}=\frac{2\sqrt{3}}{3},
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，$P$是椭圆上的一个动点，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$的最大值是?
【解析】|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\leqslant(\frac{|PF_{1}|+|PF_{2}|}{2})^{2}=(\frac{2a}{2})^{2}=25(当且仅当|PF_{1}|=|PF_{2}|时取等号)
【题目】经过椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点$F_{1}$作倾斜角为$60^{\circ}$的直线$l$，直线$l$与椭圆相交于$A$、$B$两点，则线段$A B$的长为?
【解析】\frac{x^{2}}{2}+y2=1中,a^{2}=2,b^{2}=1,所以c^{2}=a^{2}-b^{2}=1,即c=1,故左焦点为F_{1}(-1,0),而\tan60^{\circ}=\sqrt{3},故直线l为:y=\sqrt{3}(x+1),联立\frac{x^{2}}{2}+y2=1得:则由弦长公式得:AB=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}\cdot\sqrt{(-\frac{12}{7})^{2}-4\times\frac{4}{7}}=\frac{8\sqrt{2}}{7}太定理得:x_{1}+x_{2}=-\frac{12}{7},x_{1}x_{2}=\frac{4}{7}
【题目】已知$F$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{4}=1$的右焦点,$P$是$C$上一点,$A(-2,1)$, 当$\triangle A P F$周长最小时,其面积为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{k+8}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，则$k$的值为?
【解析】椭圆的离心率满足e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-(\frac{b}{a})^{2}}.当椭圆焦点在x轴上时,\sqrt{1-\frac{9}{k+8}}=\frac{1}{2},解得k=4.当椭圆焦点在y轴上时,\sqrt{1-\frac{k+8}{9}}=\frac{1}{2},解得k=-\frac{5}{4}.故填4或-\frac{5}{4}.[
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{2+m}-\frac{y^{2}}{m+1}=1$表示椭圆，则实数$m$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$上一点$(x_{0}, y_{0})$到其焦点的距离为$x_{0}^{2}$，则$x_{0}$=?
【解析】
【题目】若$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左、右两个焦点，$M$是椭圆上的动点，则$\frac{1}{|M F_{1}|}+\frac{1}{|M F_{2}|}$的最小值为?
【解析】(分析)由椭圆定义可将所求式子化为\frac{4}{|MF_{1}|}|\overrightarrow{MF_{2}}|,利用基本不等式可求得|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|的^{\frac{1}{2}}值,代入即可求得所求式子的最小值.由椭圆定义可知:|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a=4\frac{1}{|MF_{1}|}+\frac{1}{|MF_{2}|}=\frac{|MF_{1}|+|MF_{2}|}{|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|}=\frac{4}{|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|}|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|\leqslant4(当且仅当|MF_{1}|=|MF_{2}|时取等号)\frac{1}{|MF|}+\frac{1}{|MF_{2}|}>1即\frac{1}{|MF|}+\frac{1}{|MF|}一最小值为1
【题目】已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线$x+2 y-3=0$，则该双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知动点$M(x, y)$满足$5 \sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=|3 x+4 y+12|$，则$M$点的轨迹曲线为?
【解析】由5\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=|3x+4y+12|得\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=\frac{|3x+4y+12|}{5},当时左边表示点(x,y)和点(1,2)的距离,等式的右边表示点(x,y)到直线3x+4y+12=0的距离整个等式表示的意义是点(x,y)到点(1,2)的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等,故其轨迹为抛物线
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=4 y$的焦点为$F$，点$P$为直线$x-y-2=0$上的动点，过点$P$作抛物线$C$的两条切线$P A$, $P B$，其中$A$、$B$为切点.则原点$O$到直线$A B$距离的最大值为?
【解析】
【题目】抛物线$y=8 x^{2}-(m+1) x+m-7$的顶点在$x$轴上，则$m$=?
【解析】
【题目】准线方程为$x=2$的抛物线的标准方程是?
【解析】抛物线的准线方程为x=2,说明抛物线开口向左,且p=2\times2=4,所以抛物线的标准方程是v2=-8x.
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$有共同的渐近线，且经过点$(-3 , 2 \sqrt{3})$的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的一条弦被点$A(4 , 2)$平分，那么这条弦所在的直线方程式为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1(m>0, n>0)$的离心率为$2$，有一个焦点与抛物线$y^{2}=4 m x$的焦点重合，则$n$的值为?
【解析】抛物线y^{2}=4mx的焦点坐标为(m,0)\because双曲线\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1(m>0,n>0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y^{2}=4mx的焦点重合\thereforec=m\because双曲线\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1(m>0,n>0)的离心率为2\thereforea=\frac{1}{2}m\thereforea^{2}=m=\frac{1}{4}m^{2},即m=4\because_{c^{2}=a^{2}+b^{2}}=4+n=16\thereforen=12
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的离心率为$2$，则$\frac{b}{a}$=?
【解析】
【题目】圆$x^{2}+y^{2}=9$的切线$M T$过双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{12}=1$的左焦点$F$，其中$T$为切点，$M$为切线与双曲线右支的交点，$P$为$M F$的中点，则$|P O|-|P T|$=?
【解析】记右焦点F,|FF|=\sqrt{OF^{2}-|or|}=b\Rightarrow|P|=|PF|-|TF|=\frac{1}{2}|MF|-b,|PO|=\frac{1}{2}|PF|\Rightarrow|PO|-|PF|=b-\frac{1}{2}|MF|-|MF|=b-a=2\sqrt{3}-3
【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在$x$轴上，离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，且过点$P(-5,4)$，则椭圆的方程为?
【解析】设椭圆的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)由题意得e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}\thereforec=\frac{\sqrt{5}}{5}a'\thereforeb^{2}=a^{2-c^{2}=\frac{4a^{2}}{5},}又点P(-5,4)在椭圆上\therefore\frac{25}{a^{2}}+\frac{80}{4a^{2}}=\frac{45}{a^{2}}=1,解得a^{2}=45,\thereforeb^{2}=36'\therefore椭圆的方程为\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{36}=1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两条渐近线分别为直线$l_{1}$ , $l_{2}$经过右焦点$F$且垂直于$l_{1}$的直线$l$分别交$l_{1}$ , $l_{2}$于$A$、$B$两点，且$\overrightarrow{F B}=3 \overrightarrow{A F}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】由题意得|\overrightarrow{FA}|=b,|\overrightarrow{FB}|=3b,|\overrightarrow{OA}|=a,\tan\angleBOF=\tan\angleAOF=\frac{b}{a}\tan\angleBOA=\tan2\angleBOF=\frac{4b}{a},解方程即可求解.羊解】由题意得|\overrightarrow{FA}|=b,|\overrightarrow{FB}|=3b,|\overrightarrow{OA}|=a,由题得\tan\angleBOF=\tan\angleAOF=\frac{b}{a}\therefore\tan\angleBOA=\frac{4b}{a}=\tan2\angleBOF=\frac{\frac{b}{a}+\frac{b}{a}}{1-(\frac{b}{a})^{2}}整理得a^{2}=2b^{2},即a^{2}=2(c^{2}-a^{2}),\therefore3a^{2}=2c^{2},e^{2}=\frac{3}{2},即e=\frac{\sqrt{6}}{2}.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$A$在双曲线上，且$A F_{2} \perp x$轴，若$\frac{|A F_{1}|}{|A F_{2}|}=\frac{5}{3}$，则双曲线的离心率等于?
【解析】
【题目】斜率为$1$的直线$l$过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$，若$l$与圆$(x-5)^{2}+y^{2}=8$相切，则$p$等于?
【解析】先求焦点坐标,再根据圆心到直线l距离等于半径求p的值抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点F(\frac{p}{2},0),所以直线l:y=x-\frac{p}{2}因为l与圆(x-5)^{2}+y^{2}=8相切所以\frac{|5-\frac{p}{2}|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\thereforep=2^{或18}
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线$l$，交抛物线$C$的准线于点$A$，与抛物线$C$的一个交点为$B$，且$\overrightarrow{A B}=k \overrightarrow{B F}(k \geq \sqrt{2})$. 若$l$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线垂直，则该双曲线离心率的取值范围是?
【解析】依题意可知直线l的斜率存在且不为0过B作BC与抛物线的准线垂直,垂足为C根据抛物线的定义可知BF=BC,因为\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BF}(k\geqslant\sqrt{2}),所以|AB|=k|BF|=k|BC|所以\frac{1}{k}=\frac{|BC|}{|AB|}=\cos\angleABC,因为k\geqslant\sqrt{2},所以\frac{1}{k}\in(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]'所以\cos\angleABC\in(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]'所以\angleABC\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})所以\tan\angleABC\in[1,+\infty),即直线l的斜率的取值范围为[1,+\infty)又l与双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线y=-\frac{b}{a}x垂直,所以\frac{a}{b}\geqslant1所以双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a2+b^{2}}{a2}}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}\leqslant\sqrt{1+1}=\sqrt{2},又e>1,所以1<e\leqslant\sqrt{2},即该双曲线离心率的取值范围是1<e\leqslant\sqrt{2}.
【题目】过抛物线$y^{2}=x$的焦点$F$作一直线交抛物线于$M(x_{1}, y_{1})$,$N(x_{2}, y_{2})$两点，如果$x_{1}+x_{2}=1$，则线段$M N$的中点到准线的距离等于?
【解析】由抛物线方程y^{2}=x,得p=\frac{1}{2}因为x_{1}+x_{2}+p=\frac{3}{2},所以MN的中点到抛物线准线的距离为\frac{x_{1}+x_{2}}{2}+\frac{p}{2}=\frac{3}{4}
【题目】在抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上，横坐标为$4$的点到焦点的距离为$5$，则$p$的值是?
【解析】抛物线准线为x=-\frac{p}{2},横坐标为4的点到焦点的距离为5,所以\frac{p}{2}=1\thereforep=2
【题目】已知椭圆的一个顶点是$(0 , \sqrt{3})$，且离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则椭圆的标准方程是?
【解析】a是长半轴长,b短半轴长,\becauseb=\sqrt{b^{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{2-c}}{a^{2}}}=\sqrt{1-e^{2}}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2},\thereforea=2b.若椭圆的焦点在x轴上,则b=\sqrt{3},a=2\sqrt{3};若椭圆的焦点在y轴上,则a=\sqrt{3},b=\frac{\sqrt{3}}{2}所以椭圆的标准方程是\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1或\frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{\frac{3}{4}}=1
【题目】已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点与顶点，若双曲线的离心率为$2$，则椭圆离心率为?
【解析】
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$有相同渐近线，且经过点$(3 \sqrt{3} ,-3)$的双曲线的标准方程是?
【解析】解析:设所求双曲线的方程为\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=\lambda(\lambda\neq0)因为所求双曲线经过点(3\sqrt{3},-3),所以\frac{27}{16}-\frac{9}{9}=\lambda\Rightarrow\lambda=\frac{11}{16},所以所求双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{11}-\frac{y^{2}}{\frac{99}{16}}=
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$M$在$C$的渐近线上，且$M F_{1} \perp M F_{2}$ ,$|M F_{1}|=2 b+|M F_{2}|$，则$\frac{b^{2}}{a^{2}}$=?
【解析】不妨设点M在第一象限,设|MF_{1}|=m,|MF_{2}|=n,则m=2b+n,而MF_{1}\botMF_{2},故m^{2}+n^{2}=4c^{2},联立两式可得,mn=2c^{2}-2b^{2},联立\begin{cases}y=\frac{b}{a}x\\x^{2}+y^{2}=c^{2}\end{cases},可得M(a,b),由三角形的面积公式可得\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}\cdot2cb,即c^{2}-b^{2}=cb^{,}故a^{2}=bc,即a^{4}=b^{2}c^{2},故a^{4}=b^{2}(a^{2}+b^{2}),故b^{4}+a^{2}b^{2}-a^{4}=0,则(\frac{b}{a})^{4}+(\frac{b}{a})^{2}-1=0^{,}解得\frac{b^{2}}{a2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}故填:\frac{\sqrt{5}-1}{2}
【题目】已知双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{2} x$，两顶点之间的距离为$4$，双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线$l$与$C$相交于$A$、$B$两点，且$A$、$B$两点在准线上的射影分别为$M$, $N$ , $\frac{S_{\Delta M F N}}{S_{\triangle A F M}}=\lambda$, $\frac{S_\triangle {B F N}}{S_{\triangle M F N}}=\mu$，则$\frac{\lambda}{\mu}$=?
【解析】如图:设\angleMAF=\theta,AF=a,BF=b,由抛物线定义可得:AM=a,BN=b,\angleMFO+\angleNFO=\angleMFA+\angleNFB=\frac{\pi}{2}在AMAF中,由余弦定理可得:MF^{2}=2a^{2}(1-\cos\theta),同理:MF^{2}=2b^{2}(1+\cos\theta)故S_{\DeltaMAF}=\frac{1}{2}a^{2\sin\theta},S_{\DeltaNBF}=\frac{1}{2}b^{2}\sin\theta,(S_{AMNF})^{2}=\frac{1}{4}MF^{2}\cdotNF^{2}=a^{2}b^{2}\sin^{2}\theta,故\frac{\lambda}{\mu}=\frac{(S_{AMNF)}^{2}}{S_{AMAF}\cdotS_{ANBF}}=4,
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$P(x, y)$为该抛物线上的动点，又点$A(-1,0)$,则$\frac{|P F|}{| P A|}$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的离心率与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的离心率互为倒数关系，则$b$=?
【解析】由椭圆、双曲线方程,结合它们的离心率互为倒数,即可得双曲线的离心率为2,即可求b的值由椭圆方程知:e=\frac{1}{2},即双曲线的离心率为2,\therefore\frac{b^{2}+4}{4}=4,解得b=-2\sqrt{3}(舍)或b=2\sqrt{3},
【题目】点$P$是椭圆$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}$的一个交点，且$2 \angle P F_{2} F_{1}=\angle P F_{1} F_{2}$，其中$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$C_{1}$的左、右焦点，则椭圆$C_{1}$的离心率为?
【解析】如图:\because椭圆C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的焦点F_{1}(-\sqrt{a^{2}-b^{2}},0)),F_{2}(\sqrt{a2-b^{2}},0),而圆x^{2}+y^{2}=a^{2}-b^{2}的半径r=\sqrt{a^{2}-b^{2}},因此\trianglePF_{1}F_{2}为直角三角形又2\anglePF_{2}F_{1}=\anglePF_{1}F_{2},\therefore\anglePF_{2}F_{1}=30^{\circ},\anglePF_{1}F_{2}=60^{\circ},|F_{1}F_{2}|=2r=2c,|PF_{2}|=\sqrt{3}c,|PF_{1}|=c,由椭圆的定义可知|PF_{2}|+|PF_{1}|=\sqrt{3}c+c=2a,椭圆的离心率e=\frac{2c}{2a}=\frac{2c}{\sqrt{3}c+c}=\sqrt{3}-1.
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x  (p>0)$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{10}=1$的右焦点重合，则实数$p$的值是?
【解析】\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{10}=1的右焦点为(4,0),所以\frac{p}{2}=4,\thereforep=8.
【题目】过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点的弦$A B$以$(4 , a)$为中点，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{4}=1$的离心率为?
【解析】由双曲线标准方程知a^{2}=2,b^{2}=4,c^{2}=a^{2}+b^{2}=6,则e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}.故本题答案应填\sqrt{3}
【题目】已知点$M(0,5)$点$P$在曲线$x^{2}=8 y$上运动，点$Q$在圆$x^{2}+(y-2)^{2}=1$上运动，则$\frac{|P M|^{2}}{|P Q|}$的最小值为?
【解析】抛物线x^{2}=8y的准线方程为l:y=-2,焦点F(0,2)过P作PB\botl,垂足为B,由抛物线的定义可得|PF|=|PB|,圆x^{2}+(y-2)^{2}=1的圆心为F(0,2),半径r=1.可得|PQ|的最大值为|PF|+r=|PF|+1,由\frac{|PM|^{2}}{PQ}\geqslant\frac{|PM^{2}}{|PF|+1},可令|PF|+1=t,(t>1),可得|PF|=t-1=|PB|=y_{P}+2,即y_{P}=t-3,x_{P}^{2}=8(t-3),可得\frac{|PM|^{2}}{|PF|+1}=\frac{(t-3-5)^{2}+8(t-3)}{t}=t+\frac{40}{t}-8\geqslant2\sqrt{t\times\frac{40}{t}}-8=4\sqrt{10}-8当且仅当t=\frac{40}{1},即t=2\sqrt{10}时,上式取得等号,则\frac{|PM|^{2}}{PO}的最小值为:4\sqrt{10}-8,
【题目】以双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的中心为椭圆$C$的中心，并以双曲线的焦点为椭圆$C$的焦点且过点$(5 , 0)$的椭圆$C$的标准方程是?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1的焦点为F_{1}(-3,0),F_{2}(3,0)因为双曲线的焦点为椭圆C的焦点,椭圆的半焦距为c=3,又因为椭圆C过点(5,0)所以半长轴为a=5.所以b^{2}=16,所以椭圆C的标准方程是\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{9 k^{2}}-\frac{y^{2}}{4 k^{2}}=1$与圆$x^{2}+y^{2}=1$没有公共点，求实数$k$的取值范围为?
【解析】由双曲线\frac{x^{2}}{9k^{2}}-\frac{y^{2}}{4k^{2}}=1与圆x^{2}+y^{2}=1没有公共点,可知圆的半径的长小于双曲线实半轴的长,由此可求出k的取值范双曲线\frac{x^{2}}{9k^{2}}-\frac{y^{2}}{4k^{2}}=1焦点在x轴上,所以a^{2}=9k^{2}可得长半轴长a=3|k|,由x^{2}+y^{2}=1可知圆心为(0,0),半径为1若双曲线\frac{x2}{9k^{2}}-\frac{y^{2}}{4k^{2}}=1与圆x^{2}+y^{2}=1没有公共点则3|k|>1,即|k|>\frac{1}{3}所以k>\frac{1}{3}或k<-\frac{1}{3}所以实数k的取值范为(-\infty,-\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3},+\infty)
【题目】抛物线$y^{2}=-8 x$的焦点坐标为?准线方程为?
【解析】
【题目】如图，过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$作直线交$C$于$A$、$B$两点，过$A$、$B$分别向$C$的准线$l$作垂线，垂足为$A_{1}$、$B_{1}$，已知$\triangle A A_{1} F$与$\triangle B B_{1} F$的面积分别为$9$和$1$，则$\triangle A_{1} B_{1} F$的面积为?
【解析】设直线AB:x=my+\frac{p}{2}代入抛物线方程,消元可得y^{2}-2pmy-p^{2}=0,设A(x_{1}y_{1}),B(x_{2}y_{2}),则y_{1}y_{2}=-p^{2},y_{1}+y_{2}=2pnS_{\DeltaAA_{1}F}=\frac{1}{2}|AA_{1}|\times|y_{1}|=\frac{1}{2}|x_{1}+\frac{p}{2}|\times|y_{1}|=\frac{1}{2}(\frac{y_{1}^{2}}{2p}+\frac{p}{2})\times|y_{1}|=9S_{\DeltaBB_{1}F}=\frac{1}{2}|BB_{1}|\times|y_{2}|=\frac{1}{2}|x_{2}+\frac{p}{2}|\times|y_{2}|=\frac{1}{2}(\frac{y^{2}}{2p}+\frac{p}{2})\times|y_{2}|=1\thereforeS_{\DeltaAA_{1}F}\cdotS_{\DeltaBB_{1}F}=[\frac{(y_{1}y_{2})^{2}}{4p^{2}}+\frac{p^{2}}{4}+\frac{1}{4}(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})]\times|y_{1}y_{2}|=[\frac{p^{4}}{4p^{2}}+\frac{p^{2}}{4}+\frac{1}{4}(4p^{2}\timesm^{2}+2p^{2})]\timesp^{2}=\frac{p^{2}}{4}(m2+1)=9,m^{2}+1=\frac{36}{m^{4}}\therefores_{\DeltaA_{1}B_{1}F}=\frac{p}{2}|y_{1}-y_{2}|=\frac{p}{2}\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}=p\sqrt[2]{m^{2+1}}=6
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$两焦点$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆上一点，若$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的内切圆半径为?
【解析】由题意方程可得,a=5,b=4,\thereforec=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3,即|F_{1}F_{2}|=6,设|PF_{1}|=t_{1},|PF_{2}|=t_{2},则根据椭圆的定义可得:t_{1}+t_{2}=10,\textcircled{1}在\triangleF_{1}PF_{2}中,\because\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{3},\therefore根据余弦定理可得:t_{1}^{2}+t_{2}^{2}-2t_{1}t_{2}\cdot\cos\frac{\pi}{3}=6^{2},\textcircled{2}联立\textcircled{1}\textcircled{2}得t_{1}\cdott_{2}=\frac{64}{3},\therefores_{\DeltaF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}t_{1}t_{2}\cdot\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\times\frac{64}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{16\sqrt{3}}{3}设\triangleF_{1}PF_{2}内切圆半径为r,\because\triangleF_{1}PF_{2}的周长为L=10+6=16,面积为_{S}=\frac{16\sqrt{3}}{3},则S_{\triangleF_{1}PF_{1}}=\frac{1}{2}Lr,\thereforer=\frac{2S}{L}=\frac{2\sqrt{3}}{3},
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，直线$l$与$C$交于$A$、$B$两点，线段$A B$的垂直平分线交$x$轴于点$P(4,0)$，则$|A F|+|B F|$=?
【解析】由题意得F(1,0),设线段AB的中点为M(x_{0},y_{0})则|AF|+|BF|=x_{A}+1+x_{B}+1=2x_{0}+2,设直线l的斜率为k,则线段AB的垂直平分线方程为y-y_{0}=-\frac{1}{k}(x-x_{0})令y=0,得x=ky_{0}+x_{0},即4=ky_{0}+x_{0},又\begin{cases}y_{A}^{2}=4x_{A}\\y_{B}^{2}=4x_{B}\end{cases},作差得\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=\frac{4}{y_{A}+y_{B}}整理得ky_{0}=2所以x_{0}=2|AF|+|BF|=6
【题目】已知双曲线$x^{2}-y^{2}=1$,$A_{1}$,$A_{2}$是它的两个顶点，点$P$是双曲线上的点，且直线$P A_{1}$的斜率是$\frac{1}{2}$，则直线$P A_{2}$的斜率为?
【解析】设P(x_{0},y_{0}),则x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=1,\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-1}=1,\becauseA_{1}(-1,0),A_{2}(1,0),设直线PA_{1}的斜率为k_{1},直线PA_{2}的斜率为\thereforek_{1}k_{2}=\frac{y_{0}}{x_{0}+1}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-1}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-1}=1\becausek_{1}=\frac{1}{2}\thereforek_{2}=2.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的一条渐近线方程为$3 x+2 y=0$，则$b$=?
【解析】\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{4}x,又3x+2y=0斜率为-\frac{3}{2},故\frac{b}{4}=\frac{3}{2}\Rightarrowb=6
【题目】已知椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的两焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P(x_{0}, y_{0})$满足$0<\frac{x_{0}^{2}}{2}+y_{0}^{2}<1$，则$|P F_{1}|+|P F_{2}|$的取值范围为?
【解析】
【题目】若$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的左、右焦点，点$P$在双曲线$C$上，$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$P$到$x$轴的距离为?
【解析】根据双曲线方程可求得|F_{1}F_{2}|,根据双曲线焦三角形面积公式可求得S_{AF}PF_{2},不小用面积桥得结果详解】由双曲线方程可知:F_{1}(-\sqrt{5},0),F_{2}(\sqrt{5},0)|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{5}由双曲线焦点三角形面积公式得:S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=b^{2}\cot\frac{\angleF_{1}PF_{2}}{2}=\cot30^{\circ}=\sqrt{3}又S_{AF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|\cdot|y_{P}|y_{P}|=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5},即P到x轴距离为\frac{\sqrt{15}}{5}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$A$、$B$为抛物线上的两个动点，且$\angle A F B=60^{\circ}$，过弦$A B$的中点$M$作拋物线准线的垂线$M N$，垂足为$N$，则$\frac{|A B|}{|M N|}$的最小值为?
【解析】如图所示:过A,C作准线的垂直,垂足分别为C,D.设|AF|=m,|BF|=n,则|AC|=m,|BD|=n,M是AB中点,且AC,MN,BD都与准线l垂直,则它们平行因此|MN|=\frac{1}{2}(|AC|+|BD|)=\frac{m+n}{2},由余弦定理得:\times(\frac{m+n)^{2}}{2}=\frac{m+n}{2}当且仅当m=n时等号成立,故\frac{|AB|}{|MN|}\geqslant\frac{\frac{1}{2}(m+n)}{2}(m+n)=1,即|\frac{|AB|}{|MN|}的最小值为1.
【题目】若直线$y=kx+2$与抛物线$y^{2}=4 x$仅有一个公共点，则实数$k$=?
【解析】
【题目】若点$A(3 , 1)$，$F$为抛物线$y^{2}=2 x$的焦点，点$M$在抛物线上移动，则使$|MA|+|MF|$取最小值时,点$M$的坐标是?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的$\frac{1}{4}$，则该双曲线的渐近线方程是?
【解析】
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的渐近线方程是?若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点与双曲线$C$的一个焦点重合，则$p$=?
【解析】由题意得,a=\sqrt{3},b=1,c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2,\therefore渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\frac{p}{2}=2\Rightarrowp=4,故填:y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x'4.
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$, 右顶点为$A$，上顶点为$B$，已知，$A B=\frac{\sqrt{3}}{2} F_{1} F_{2}$, 椭圆的离心率为?
【解析】由题意可得|AB|^{2}=a^{2}+b^{2},|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2},再结合AB=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_{1}F_{2}|,化简可得a^{2}=2c^{2},从而求得.解】由题意知,|AB|^{2}=a^{2}+b^{2},|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2},B=\frac{\sqrt{3}}{2}F_{F}F_{2}.\cdota^{2}+b^{2}=\frac{3}{4}\cdot4c^{2},即a^{2}+a^{2}-c^{2}=3c^{2}即a^{2}=2c^{2},故_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，过$F$作斜率为$-1$的直线交双曲线的渐近线于点$P$，点$P$在第一象限，$O$为坐标原点，若$\triangle O F P$的面积为$\frac{a^{2}+b^{2}}{8}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=\frac{b}{a}x过焦点,斜率为-1的直线方程为y=-(x-c),联立\begin{cases}y=\frac{b}{a}x\\v=-x+c\end{cases},得ay=b(c-y),即y=\frac{bc}{a+b};则S_{\triangleOPF}=\frac{1}{2}\times\frac{bc}{a+b}\timesc=\frac{a^{2}+b^{2}}{8},解得a=3b,即c=\sqrt{10}b,即双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{3}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线与圆$(x-3)^{2}+y^{2}=225$相切，双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3} x$，它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长?
【解析】
【题目】若双曲线方程为$x^{2}-2 y^{2}=1$，则它的左焦点的坐标为?
【解析】
【题目】已知椭圆和双曲线有共同焦点$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是它们的一个交点，且$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，记椭圆和双曲线的离心率分别为$e_{1}$, $e_{2}$，则$\frac{1}{e_{1} e_{2}}$的最大值是?
【解析】设椭圆的长半轴长为a_{1},双曲线的半实轴长为a_{2},根据椭圆及双曲线的定义:|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a_{1},|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a_{2},解得|PF_{1}|=a_{1}+a_{2},|PF_{2}|=a_{1}-a_{2},设|F_{1}F_{2}|=2c\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{3},则在\triangleF_{1}PF_{2}中,由余弦定理可得:4c^{2}=(a_{1}+a_{2})^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}-2(a_{1}+a_{2})(a_{1}-a_{2})\cos\frac{\pi}{3},化简得a_{1}^{2}+3a_{2}^{2}=4c^{2},即\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{3}{e_{2}^{2}}=4\geqslant\frac{2\sqrt{3}}{e_{1}e_{2}},\therefore\frac{1}{e_{1}e_{2}}\leqslant\frac{2}{3}\sqrt{3},故填\frac{2}{3}\sqrt{3}.
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1$的一个焦点在抛物线$y^{2}=8 x$的准线上，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】抛物线y^{2}=8x的准线为x=-2,由题意可得双曲线的一个焦点为(-2,0)由双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1'可得a^{2}+3=4,解得a^{2}=1,所以双曲线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=所以渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x
【题目】已知$E(1,-2)$ , $F(-3,4)$ , $M$为平面上一个动点满足$|M E|=\frac{3}{2}|M F|$，则$M$的轨迹方程为?
【解析】设M(x,y),由条件|ME|=\frac{3}{2}|MF|得,+1)^{2}+(y+2)^{2}=\frac{3}{2}\sqrt{(x+3)^{2}+(y-4}两边平方,化简整理得x^{2}+y^{2}+\frac{62}{5}x-\frac{88}{5}y+41=0
【题目】抛物线$y=a x^{2}$的准线方程是$y=1$，则实数$a$=?
【解析】抛物线y=ax^{2}化为标准方程:x^{2}=\frac{1}{a}y'其准线方程是y=1,而x^{2}=-2\times\frac{1}{(-2a)}y,a<0所以\frac{1}{4a}=1,即a=-\frac{1}{4}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$，则抛物线$C$的准线方程为?
【解析】由抛物线方程,求出p=2,可求准线方程抛物线C:y^{2}=4x,所以2p=4,p=2,准线方程为x=-\frac{p}{2}=-1,
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$有相同的焦点，且离心率为$\frac{3}{5}$的椭圆的标准方程为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，弦$A B$过$F_{1}$，若$\triangle A B F_{2}$的内切圆周长为$\pi$, $A$, $B$两点的坐标分别为$(x_{1}, y_{1})$, $(x_{2}, y_{2})$, 则$|y_{1}-y_{2}|$值为?
【解析】依题意可得F_{1}(-3,0),F_{2}(3,0),因为弦AB过点F_{1},所以\DeltaABF_{2}的周长l=|AB|+|AF_{2}|+|BF_{2}|=|AF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{1}|+|BF_{2}|=4a=20因为\triangleABF_{2}的内切圆周长为\pi所以其内切圆的半径为r=\frac{1}{2}则S_{\triangleABF_{2}}=\frac{1}{2}rl=5,而S_{\DeltaABF_{2}}=S_{\DeltaAF_{1}F_{2}}+S_{\DeltaBF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|y_{1}-y_{2}|\cdot|F_{1}F_{2}|所以|y_{1}-y_{2}|=\frac{2S_{\triangleABF}}{|F_{1}F_{2}|}=\frac{2\cdot5}{6}=\frac{5}{3}.
【题目】已知点$P(m , 4)$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的两个焦点，若$\triangle P F_{1} F_{2}$的内切圆的半径为$\frac{3}{2}$，则此椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】抛物线$y=a x^{2}  (a \neq 0)$的准线方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线过点$(2, \sqrt{2})$，且两条渐近线为$y=\pm \frac{1}{2} x$，则该双曲线方程为?
【解析】由已知(2,\sqrt{2})在y=\frac{1}{2}x的左上方,可知双曲线焦点在y轴上,设方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,(a>0,b>0)\begin{cases}b=2a\\\frac{2}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1\end{cases}解得\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}所以方程为y^{2}-\frac{x^{2}}{4}=1.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$一条渐近线方程是$y=\frac{4}{5} x$，则其离心率为?
【解析】
【题目】已知点$M$在椭圆$\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{9}=1$上运动，点$N$在圆$x^{2}+(y-1)^{2}=1$上运动，则$|M N|$的最大值为?
【解析】不妨设点M为(x_{0},y_{0}),y_{0}\in[-3,3],则\frac{x_{0}^{2}}{18}+\frac{y_{0}^{2}}{9}=1^{2}.则x_{0}^{2}=18-2y_{0}^{2}设圆x^{2}+(y-1)^{2}=1的圆心为P,则P坐标为(0,1)则|MN|的最大值,即为|MP|的最大值与圆x^{2}+(y-1)^{2}=1的半径1之和当y_{0}\in[-3,3]时,|MP|\leqslant2\sqrt{5},当且仅当y_{0}=-1时取得等号故|MN|\leqslant2\sqrt{5}+1.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>0)$，若其左焦点到右顶点的距离为$2$，则$a$的值为?
【解析】由已知得左焦点为(-\sqrt{a^{2}-1},0),由右顶点为(a,0),左焦点到右顶点的距离为\sqrt{a^{2}-1}+a=2可得答案.[详解]由已知得a^{2}>b^{2}=1^{2}=a^{2}-b^{2}=a^{2}-1(a>0)所以左焦点为(-\sqrt{a^{2}-1},0),右顶点为(a,0),左焦点到右顶点的距离为\sqrt{a^{2}-1}+a=2,解得a=\frac{5}{4}
【题目】若圆$(x-4)^{2}+y^{2}=4$与双曲线$C$: $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线相切，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】解析】双曲线的渐近线方程为ax-by=0,由圆心到直线的距离等于半径得出\frac{b^{2}}{a^{2}}=3,最后根据离心率的概念得出结果.设双曲线的一条渐近线为y=\frac{a}{b}x,即ax-by=0因为其与圆(x-4)^{2}+y^{2}=4相切,故\frac{|4a|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=2整理可得\frac{b^{2}}{a^{2}}=3^{,}故离心率为e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=2'
【题目】经过点$M(2,1)$作直线$l$交椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$于$A$、$B$两点，且$M$为$A B$的中点，则直线$l$的方程为?(写成一般式)
【解析】由题,设A(x_{1},y_{1})B(x_{2},y_{2})则\begin{cases}\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1\\\frac{x^{2}}{9}+\frac{y_{2}}{5}=1\end{cases}作差可得\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{5(x_{1}+x_{2})}{9(y_{1}+y_{2})}因为M为AB的中点,所以\begin{cases}x_{1}+x_{2}=4\\y_{1}+y_{2}=2\end{cases}则\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{5\times4}{9\times2}=-\frac{10}{9},即k_{1}=-\frac{10}{9},所以直线l为y-1=-\frac{10}{9}(x-2).整理可得10x+9y-29=0,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$C$:$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的两个焦点，过$F_{1}$作$C$的渐近线的垂线，垂足为$P$. 若$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为$\sqrt{3}$，则$C$的离心率为?
【解析】由题,a=1,焦点F_{1}(-c,0),渐近线方程为y=-bx,根据点到直线距离公式得PF_{1}=\frac{bc}{\sqrt{b^{2}+1}}=b,根据勾股定理得PO=a,在Rt\triangleF_{1}PO中,利用等面积法可得,P到x轴的距离h=\frac{b}{c},所以S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}\times2c\times\frac{b}{c}=b=\sqrt{3},离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{1+3}=2
【题目】已知$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上任意一点，$Q$是圆$(x-4)^{2}+y^{2}=1$上任意一点，则$|P Q|$的最小值为?
【解析】设点P的坐标为(\frac{1}{4}m^{2},m),圆(x\cdot4)^{2}+y^{2}=1的圆心坐标A(4,0)\therefore|PA|^{2}=(\frac{1}{4}m^{2}-4)^{2}+m^{2}=\frac{1}{16}(m^{2}-8)^{2}+12\geqslant12,\therefore|PA|\geqslant2\sqrt{3}\becauseQ是圆(x\cdot4)^{2}+y^{2}=1上任意一点,\thereforePQ//的最小值为2\sqrt{3}.1
【题目】设$A B$是椭圆$\Gamma$的长轴，点$C$在$\Gamma$上，且$\angle CBA=\frac{\pi}{4}$，若$AB=4$ , $B C=\sqrt{2}$，则$\Gamma$的两个焦点之间的距离为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$、$Q$是抛物线$C$上一点且点$Q$在第一象限，若$|Q F|=5$，则$Q$点的坐标为?
【解析】设该点坐标为(x,y)根据抛物线定义可知x+2=5,解得x=3,代入抛物线方程求得y=\pm2\sqrt{6}\becauseP在第一象限,\thereforeP(3,2\sqrt{6})
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$短轴的两个顶点为焦点，且过点$A(4 ,-5)$的双曲线的标准方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点$(2 , \sqrt {2})$与$(\sqrt {2} , 0)$，则双曲线的焦点坐标为?
【解析】
【题目】设圆$C$的圆心与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}=1(a>0)$的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线$l$: $x-\sqrt{3} y=0$被圆$C$截得的弦长等于$2$，则$a$的值为?
【解析】双曲线的\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}=1的右焦点坐标为(\sqrt{a^{2+2}},0)由题知圆心C(\sqrt{a2+2},0),双曲线的渐近线方程为\sqrt{2}x\pmay=0,圆心C到渐近线的距离d=\frac{\sqrt{2}\sqrt{a^{2}+2}}{\sqrt{a^{2}+2}}=\sqrt{2},即圆C的半径为\sqrt{2}由直线l被圆C截得的弦长为2及圆C的半径为\sqrt{2},圆心C到直线l的距离为d=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=1'即又d=\frac{|\sqrt{a^{2}+2}-0\times\sqrt{3}|}{\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}}=\frac{|\sqrt{a^{2}+2}|}{2}=解得a=\pm\sqrt{2},由条件a>0,故a=\sqrt{2}
【题目】已知两定点$A(-1,0)$, $B(1,0)$，如果平面内动点$C$满足条件$|C A|=\sqrt{3}|C B|$，则$S_\triangle{A B C}$的最大值是?
【解析】设动点C坐标,再由几何条件|CA|=\sqrt{3}|CB|,可得C轨迹方程,进一步可得所求解设C(x,y),由|CA|=\sqrt{3}|CB|,\_可得\sqrt{(x+1)^{2}+(y-0)^{2}}=\sqrt{3}\sqrt{(x-1)^{2}+(y-0)^{2}}整理得:x^{2}+y^{2}-4x+1=0,即(x-2)^{2}+y^{2}=3所以S_{AABC}=\frac{1}{2}\times|AB|\timesh_{AB}(h_{AB}表示\triangleABC中AB边上的高)显然(h_{AB})_{\max}=\sqrt{3},所以S_{AABC}最大值为\sqrt{3}
【题目】已知抛物线$x^{2}=4 y$，斜率为$-\frac{1}{2}$的直线交抛物线于$A$、$B$两点若以线段$A B$为直径的圆与抛物线的准线切于点$P$，则点$P$到直线$A B$的距离为?
【解析】设直线的方程为y=-\frac{1}{2}x+b,联立抛物线的方程x^{2}=4y,消去y得x^{2}+2x-4b=0,所以A=4+16b>0\frac{a}{a}+\frac{4+100>0}{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),所以x_{1}+x_{2}=-2,x_{1}\cdotx_{2}=-4b因为P(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},-1)\thereforeP(-1,-1)所以\overrightarrow{PA}=(x_{1}+1,y_{1}+1),\overrightarrow{PB}=(x_{2}+1,y_{2}+1)由题得\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(x_{1}+1)(x_{2}+1)+(y_{1}+1)(y_{2}+1)=0,\thereforeb=所以直线的方程为y=-\frac{1}{2}x+1,即x+2y-2=0所以点P到直线AB的距离为\frac{|-1-2-2|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\sqrt{5}.故填\sqrt{5}.

hbghlyj

【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$的右焦点为$F$，则$F$到其中一条渐近线的距离为?
【解析】对于任意双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,其中一个焦点F(\pmc,0)到渐近线y=\pm\frac{b}{a}x(即bx\pmay=0)的距离为d=\frac{|bc\pma\times0|}{\sqrt{b^{2}+(\pma)^{2}}}=\frac{|bc|}{c}=b.又b^{2}=4\Rightarrowb=2,焦点F到其中一条渐近线的距离为2故填:2.与睛)本小题主要考查双曲线焦点到渐近线的距离,考查点到直线距离公式,属于基础题
【题目】已知双曲线$C$的离心率为$\frac{5}{2}$，左、右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$A$在$C$上，若$|F_{1} A|=2|F_{2} A|$，则$\cos \angle A F_{2} F_{1}$=?
【解析】由双曲线的定义,得|F_{1}A|-|F_{2}A|=|F_{2}A|=2a,则|F_{1}A|=4a,因为双曲线的离心率为\frac{5}{2},则|F_{1}F_{2}|=2c=5a,在\triangleAF_{1}F_{2}中,\cos\angleAF_{2}F_{1}=\frac{25a^{2}+4a2-16a^{2}}{2\times5a\times2a}=\frac{13}{20};故填\frac{13}{20}
【题目】若双曲线$x^{2}-4 y^{2}=4$的左、右焦点是$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$的直线交左支于$A$、$B$两点，若$|A B|=5$，则$\triangle A F_{2} B$的周长是?
【解析】\because若双曲线x^{2}-4y^{2}=4的左、右焦点是F_{1},F_{2},过F_{1}的直线交左支于A,B两点||AF_{2}|-|AF_{1}|=2a=4||BF_{2}|-|BF_{1}|=2a=4|AF_{2}|+|BF_{2}|=8+|AF|+|BF_{1}|=8+|AB|\because|AB|=5\therefore|AF_{2}|+|BF_{2}|=13\therefore\triangleAF_{2}B的周长为18
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$上的一点$P$到椭圆一个焦点的距离为$5$，则点$P$到另一个焦点的距离为?
【解析】设所求距离为d,由题意得a=4.根据椭圆的定义得2a=5+d\Rightarrowd=2a-5=3,故点P到另一个焦点的距离为3.与睛】本题老杳了椭圆的定义,属于其科题
【题目】已知$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的两个焦点，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积是?
【解析】在椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1中,a=2,b=1,c=\sqrt{3}由椭圆的定义可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=4,|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{3}在\triangleF_{1}PF_{2}中,\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ},由余弦定理可得_{12}=|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos60^{\circ}=(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}-3|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=16-3|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|,解得|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=\frac{4}{3}因此,S_{\trianglePF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】已知$A(-2,0)$ , $B(2,0)$，若曲线$(\frac{x}{a}+\frac{y}{b})(\frac{x}{a}-\frac{y}{b})=0(a>0, b>0)$上存在点$P$满足$|P A|-|P B|=2$，则$\frac{b}{a}$的取值范围是?
【解析】若A(-2,0),B(2,0),且|PA|-|PB|=2<|AB|=4,则点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上,且2a=2,c=2,\thereforea=1,b=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},\therefore双曲线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1(x>0)其渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,则曲线(\frac{x}{a}+\frac{y}{b})(\frac{x}{a}-\frac{y}{b})=0(a>0,b>0)上存在点P满足|PA|-|PB|=2.等价于y=\pm\frac{b}{a}x与双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1(x>0)相交,\therefore0<\frac{b}{a}<\sqrt{3}
【题目】已知点$P$是曲线$x=\frac{1}{4} y^{2}$上任意一点，过点$P$向$y$轴引垂线，垂足为$H$，点$Q$是曲线$y=e^{x}$上任意一点，则$|PH|+|PQ|$的最小值为?
【解析】如图所示:|PH|=|PF|-1,|PH|+|PQ|=|PQ|+|PF|-1\geqslant|QF|-1即求|QF|最小值设Q(x,e^{x}),则|QF|^{2}=(x-1)^{2}+(e^{x})^{2}=e^{2x+x}-2x+1设函数f(x)=e^{2x+x^{2}-2x+1},f'(x)=2e^{2x}+2x-2,f'(0)=0f\"(x)=4e^{2x}+2>0,f'(x)单调递增故f(x)在(-\infty,0)上单调递减,在(0,+\infty)上单调递增f(x)_{\min}=f(0)=2,|QF|的最小值为\sqrt{2}当Q(0,1),P,Q,F共线时,|PH|+|PQ|有最小值为\sqrt{2}-1[
【题目】已知直线$x-y-4=0$与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$交于$A$、$B$两点，且$AB$中点的横坐标为$3$，则椭圆的离心率为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=6,由\begin{cases}x-y-4=0\\b^{2}x^{2}+a^{2}y2=a^{2}b^{2}\end{cases},得(a^{2}+b^{2})x^{2}-8a^{2}x+16a^{2}-a^{2}b^{2}=0,所以x_{1}+x_{2}=\frac{8a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=6,a^{2}=3b^{2},也即是2a^{2}=3c^{2},椭圆的离心率e=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}.
【题目】已知$A(-\frac{1}{2}, 0)$, $B$是圆$F$:$(x-\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=4$($F$为圆心) 上一动点，线段$A B$的垂直平分线交$B F$于$P$，则动点$P$的轨迹方程为?
【解析】先根据题意可知|BP|+|PF|正x而PB|=|PA|,进而可知|AP|+|PF|=2.根据椭圆的定义可知,点P的轨迹为以A,F为焦点的椭圆,根据A,F求得a,c,进而求得b,答案可得依题意可知|BP|+|PF|=2,|PB|=|PA|\therefore|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知,点P的轨迹为以A,F为焦点的椭圆,a=1,c=\frac{1}{2},则有b=\frac{\sqrt{3}}{2}故点P的轨迹方程为x^{2}+\frac{4}{3}y^{2}=1
【题目】已知点$P$是抛物线$y^{2}=-2 x$上的一个动点，则点$P$到点$M(0,2)$的距离与点$P$到该抛物线准线的距离之和的最小值为?
【解析】如下图,P在抛物线准线的投影为P',抛物线的焦点为F,则F(-\frac{1}{2},0),依把物线的足义知P到设抛物线准线的距离为|PP|=|PF|,
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{p^{2}}=1$的左焦点在抛物线$y^{2}=2 p x$的准线上，则$p$的值为?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点为$F$，已知点$A$、$B$为抛物线上的两个动点，且满足$\angle A F B=60^{\circ}$，过弦$A B$的中点$C$作该抛物线准线的垂线$C D$，垂足为$D$，则$\frac{|A B|}{|C D|}$的最小值为?
【解析】设|AF|=a,|BF|=b,作AQ垂直于准线于Q,BP垂直于准线于P,由抛物线定义,得|AF=|AQ|,|BF|=|BP|,在\triangleAFB中,由余弦定理|AB|^{2}=(a+b)^{2}-3ab,再由均值不等式可得AB|\geqslant\frac{1}{2}(a+b)=|CD|,即得解设|AF|=a,|BF|=b,作AQ垂直于准线于Q,BP垂直于准线于P由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|在梯形ABPQ中,有2|CD|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得,|AB|^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos60^{\circ}=a^{2}+b^{2}-ab配方得,|AB|^{2}=(a+b)^{2}-3ab,又\becauseab\leqslant(\frac{a+b}{2})^{2},\therefore(a+b)^{2}-3ab\geqslant(a+b)^{2}-\frac{3}{4}(a+b)^{2}=\frac{1}{4}(a+b)^{2}得到|AB|\geqslant\frac{1}{2}(a+b)=|CD|,当且仅当a=b时等号成立\frac{|AB|}{|CD|}\geqslant1,即\frac{|AB|}{|CD|}的最小值为1收答案为
【题目】已知点$A(\sqrt{2},1) $为抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$上一点，则$A$到其焦点$F$的距离为?
【解析】因为点A(\sqrt{2},1)在抛物线上,故2=2p,则p=1,抛物线方程为x^{2}=2y,焦点坐标为F(0,\frac{1}{2}),准线方程为y=-\frac{1}{2}所以点A(\sqrt{2},1)到准线的距离为1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}所以AF=\frac{3}{2}.
【题目】若$a>2$，则双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(a+1)^{2}}=1$的离心率$e$的取值范围是?
【解析】运用双曲线的离心率公式和二次函数的单调性,计算可得e的取值范围.[详解]双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(a+1)^{2}}=1,可得e^{2}=\frac{a^{2}+(a+1)^{2}}{a^{2}}=2+\frac{2}{a}+\frac{1}{a^{2}}=(\frac{1}{a}+1)^{2}+1由a>2,可得0<\frac{1}{a}<\frac{1}{2},则e^{2}\in(2,\frac{13}{4}),可得e\in(\sqrt{2},\frac{\sqrt{13}}{2})
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x$的准线方程为$x=-2$，点$P$为抛物线上的一点，则点$P$到直线$y=x+3$的距离的最小值为?
【解析】由题设得抛物线方程为y^{2}=8x,设P点坐标为P(x,y).则点P到直线y=x+3的距离为:d=\frac{|x-y+3|}{\sqrt{2}}=\frac{|8x-8y+24|}{8\sqrt{2}}=\frac{|y2-8y+24|}{8\sqrt{2}}=\frac{|(y-4)^{2}+8|}{8\sqrt{2}}\geqslant\frac{\sqrt{2}}{2}当且仅当y=4时取最小值\underline{\sqrt{2}}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，该椭圆上一点到两焦点的距离之和为$12$，则$a$=? $b$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与直线$l$: $x+\sqrt{3} y=0$垂直，且$C$的一个焦点到$l$的距离为$2$，则$C$的标准方程为?
【解析】由题意得:\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{3}},而C的一个焦点到的距离为\frac{c}{2}=2,c=4,所以a=2,b=2\sqrt{3},c的标准方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1
【题目】已知$A$、$F$分别是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的下顶点和左焦点，过$A$且倾斜角为$60^{\circ}$的直线$l$分别交$x$轴和椭圆$C$于$M$、$N$两点，且$N$点的纵坐标为$\frac{3}{5} b$，若$\Delta F M N$的周长为$6$，则$\Delta F A N$的面积为?
【解析】画出图形,由条件可得出\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},b=\sqrt{3}c,然后可得出M为椭圆的右焦点,然后由椭圆的定义可得2a+2c=6,从而可算出a,b,c的值,然后利用S_{\triangleFAN}=\frac{1}{2}\cdot|FM|\cdot[\frac{3}{5}b-(-b)]算出答案即可.羊解】如图所示由题意得,A(0,-b),F(-c,0),直线MN的方程为y=\sqrt{3}x-b把y=\frac{3}{5}b代入椭圆方程解得x=\frac{4}{5}a,\thereforeN(\frac{4}{5}a\frac{3}{5}b)\becauseN在直线MN上,\therefore\frac{3}{5}b=\sqrt{3}\times\frac{4}{5}a-b,解得\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}又a^{2}=b^{2}+c^{2},\therefore(\frac{2}{\sqrt{3}}b)^{2}=b^{2}+c^{2},解得b=\sqrt{3}c令y=\sqrt{3}x-b=0,则M(\frac{b}{\sqrt{3}},0),即M(c,0),\thereforeM为椭圆的右焦点,\therefore|FM|=2c,由椭圆的定义可知,|NF|+|NM|=2a,\because\triangleFMN的周长为6,\therefore2a+2c=6,\because\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},\thereforea=2c,\thereforec=1,a=2,b=\sqrt{3}\therefore_{S_{\DeltaFAN}}=\frac{1}{2}\cdot|FM|\cdot[\frac{3}{5}b-(-b)]=c\cdot\frac{8}{5}b=\frac{8\sqrt{3}}{5}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{9}=1$的短轴长为?
【解析】根据椭圆方程确定焦点位置求解.因为6<9,所以椭圆的焦点在y轴上,所以b^{2}=6则椭圆\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{9}=1的短轴长为2b=2\sqrt{6}
【题目】直线$y=x-1$被椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$截得的弦长为?
【解析】由题意,\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}+y2=\\y=x-1\end{cases}消去y整理得,x(5x-8)=0,设直线y=x-1被椭圆\frac{x^{2}}{4}+y2=1的交点为(m,m-1)(n,n-1),故|m-n|=\frac{8}{5},故直线y=x-1被椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1截得的弦长为_{d}=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{2}\times\frac{8}{5}=\frac{8\sqrt{2}}{5},
【题目】如果以抛物线$y^{2}=4 x$过焦点的弦为直径的圆截$y$轴所得的弦长为$4$, 该圆的方程是?
【解析】设过焦点的直线与抛物线焦点A,B坐标分别为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),由抛物线定义可得半径与圆心的关系,再由圆截y轴所得的弦长为4和勾股定理得出相应关系,设出直线,联立抛物线方程,利用韦达定理从而求得结果.详解]设过焦点的直线与抛物线交点A,B坐标分别为(x_{1},y_{1},(x_{2},y_{2}),圆心C即AB中点(x_{0},y_{0})由抛物线定义得:|AB|=x_{1}+x_{2}+p=2x_{0}+2,所以r=x_{0}+1,因为圆截y轴所得的弦长为4,所以由勾股定理得r^{2}=4+x_{0}^{2},即\begin{cases}r=x_{0}+1\\r2=4+x_{0}^{2}\end{cases}解得x_{0}=\frac{3}{2},所以r=\frac{5}{2},设过焦点的直线方程为x=ay+1,则\begin{cases}x=ay\\y2=4x\end{cases}_{y+}^{0}1,整理得y2-4ay-4=0.于是y_{1}+y_{2}=4a,即y_{0}=2a消去y得x^{2}-(2+4a^{2})x+1=0所以x_{1}+x_{2}=2+4a^{2},即x_{0}=1+2a^{2}=\frac{3}{2},解得a=\pm\frac{1}{2},y_{0}=2a=\pm1,所以该圆的方程是(x-\frac{3}{2})^{2}+(y\pm1)^{2}=\frac{25}{4}.
【题目】已知曲线$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{k^{2}-k}=1$. 当曲线表示圆时$k$的取值是?
【解析】因为曲线\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{k^{2}-k}=1,所以曲线表示圆时,满足条件:k^{2}-k=2,解之得2或-1;当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时,满足条件:k^{2}-k>2即k>2或k<-1;当曲线表示双曲线时,满足条件:k^{2}-k<0即0<k<1.故应填2或-1;k>2或k<-1;0<k<1.
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$和双曲线$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$的公共焦点为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是两曲线的一个交点，则$\angle {F}_{1} P {F}_{2}$=?
【解析】
【题目】已知双曲线的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上,求得焦点坐标和渐近线方程,由题意可得a,b的关系,进而得到所求双曲线的渐近线方程.当焦点在x轴上的双曲线方程设为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a,b>0)渐近线方程为bx\pmay=0,焦点为(\pmc,0)可得焦点到渐近线的距离为\frac{bc}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=b=2a则所求渐近线方程为y=\pm2x;当焦点在y轴上的双曲线方程设为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a,b>0)渐近线方程为by\pmax=0,焦点为(0,\pmc)可得焦点到渐近线的距离为\frac{bc}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=b=2a则所求渐近线方程为y=\pm\frac{1}{2}x;综上可得,渐近线方程为y=\pm2x或y=\pm\frac{1}{2}x
【题目】若抛物线$y^{2}=2 px(p>0)$过点$(1 , 2)$，则$p$等于?该抛物线的焦点$F$的坐标为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$E$: $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<1)$的左、右焦点，过点$F_{1}$的直线交椭圆$E$于$A$、$B$两点，若$|A F_{1}|=3|B F_{1}|$ ,$ A F_{2} \perp x$轴，则$b$的值为?
【解析】如图所示:设F_{2}(c,0),由焦半径公式可得|AF_{1}|=a+ex_{0}=1+c^{2},因为|AF_{1}|=3|BF_{1}|,所以2c=3(-c-x_{B}),即x_{B}=-\frac{5c}{3},因此|BF|=1-\frac{5c^{2}}{3},由|AF_{1}|=3|BF_{1}|可得1+c^{2}=3(1-\frac{5c^{2}}{3}),可得c^{2}=\frac{1}{3},所以b^{2}=\frac{2}{3},应填x^{2}+\frac{3}{2}y^{2}=1.
【题目】直线$y=k x-3$与双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$有且只有一个公共点，但直线与双曲线不相切，则实数$k$的值是?
【解析】\because直线y=kx-3与双曲线\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1有且只有一个公共点,但直线与双曲线不相切\therefore直线y=kx-3与双曲线\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1的渐近线平行\because双曲线\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1的渐近线为y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}\thereforek=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则双曲线的离心率为?
【解析】设双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1虚轴的一个端点(0,b)到它的一条渐近线y=bx(b>0)的距离为\frac{\sqrt{3}}{2},可得\frac{b}{\sqrt{1+b^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2},解得b=\sqrt{3},则双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+3}=2,
【题目】若曲线$\frac{x^{2}}{a-4}+\frac{y^{2}}{a+5}=1$的焦点为定点，则焦点坐标是?
【解析】当a-4>0,a+5>0时,曲线表示焦点在y轴上的椭圆,所以c=\sqrt{(a+5)-(a-4)}=3,所以焦点为(0,\pm3);当a-4<0,a+5>0时,曲线表示焦点在y轴上的双曲线,即\frac{y^{2}}{a+5}-\frac{x^{2}}{4-a}=1,所以c=\sqrt{(a+5)+(4-a)}=3,所以焦点为(0,\pm3),综上的所述焦点坐标为(0,\pm3)
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1$上的两个焦点，$P$是椭圆上一点，且$P F_{1} \perp P F_{2}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】设|PF_{1}|=r_{1},|PF_{2}|=r_{2},根据椭圆的定义和勾股定理求出r_{1}r_{2}=128,再根据三角形的面积公式可求得结果.由\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1得a^{2}=100,b^{2}=64,所以a=10,c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{100-64}=6所以|F_{1}F_{2}|=2c=12,设|PF_{1}|=r_{1},|PF_{2}|=r_{2},所以r_{1}+r_{2}=2a=20,所以r^{2}+r_{2}^{2}+2r_{1}r_{2}=400,因为PF_{1}\botPF_{2},所以r^{2}+r_{2}^{2}=4c^{2}=144所以144+2r_{r_{2}}=400,所以rr_{2}=128,所以\triangleF_{1}PF_{2}的面积为\frac{1}{7}r_{1},=\frac{1}{3}\times128=64
【题目】已知直线$y=x-1$与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$交于$A$、$B$两点，则线段$A B$的长为?
【解析】设A(x_{1},y),B(x_{2},y_{2})联立\begin{cases}y=x-1\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases}\Rightarrow7x^{2}-8x-8=0A=64+4\times7\times8=288>0,x_{1}+x_{2}=\frac{8}{7},x_{1}x_{2}=-\frac{8}{7},
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线$l$与抛物线交于$M$、$N$两点，若$\overrightarrow{M F}=4 \overrightarrow{F N}$，则直线$l$的斜率为?
【解析】如图,作MB垂直准线于B,作NC垂直准线于C,根据抛物线定义,可得MB=MF,NC=NF.作NA垂直MB于A,设FN=m,则MN=5m,MA=MF-NF=3m.在直角三角形AMN中,\tan\angleNMA=\frac{AN}{AM}=\frac{4}{3},\therefore直线l的斜率为\pm\frac{4}{3},
【题目】过定点$F(0,1)$且与直线$y=-1$相切的动圆圆心$M$的轨迹方程为?
【解析】由题知,点M到点F的距离等于它到直线y=-1的距离,\therefore点M的轨迹是以F(0,1)为焦点,y=-1为准线的抛物线\therefore所求轨迹方程为x^{2}=4y.
【题目】双曲线$x^{2}-y^{2}=2019$，左右顶点分别为$A_{1}$、$A_{2}$、$P$为双曲线右支上一点，且$\angle A_{1} P A_{2}=10^{\circ}$，则$\angle P A_{1} A_{2}$=?
【解析】设直线A_{1}P,A_{2}P的倾斜角分别为\alpha,\beta,则\tan\alpha\tan\beta=\frac{2019}{2019}=1.故\alpha+\beta=90^{\circ},而\beta-\alpha=10^{\circ},故\alpha=40^{\circ}
【题目】已知抛物线$C$:$4 x+a y^{2}=0$恰好经过圆$M$:$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1$的圆心，则抛物线$C$的焦点坐标为?
【解析】圆M的圆心为(1,2),代入4x+ay2=0得a=-1,将抛物线C的方程化为标准方程得y^{2}=4x,故焦点坐标为(1,0).
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的两个焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{1}$且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于点$M$、$N$，则$\Delta M N F_{2}$的周长是?
【解析】根据椭圆的定义可求\triangleMNF_{2}的周长.\triangleMNF_{2}的周长为|MN|+|MF_{2}|+|NF_{2}|=|MF_{1}|+|NF|+|MF_{2}|+|NF_{2}|=2\times2+2\times2=8
【题目】已知抛物线$C$的顶点在坐标原点，焦点为$F(1,0)$，过焦点$F$的直线$l$与抛物线$C$相交于$A$, $B$两点，若直线$l$的倾斜角为$45^{\circ}$，则弦$AB$的中点坐标为?
【解析】由已知抛物线方程为y^{2}=4x,直线l方程为y=x-1,代入抛物线方程得(x-1)^{2}=4x即x^{2}-6x+1=0,x_{1}+x_{2}=6,AB中点的横坐标为x_{0}=\frac{6}{2}=3,则y_{0}=x_{0}-1=2,故中点为(3,2)
【题目】直线$y=x+4$与双曲线$x^{2}-y^{2}=1$的交点坐标为?
【解析】由\begin{cases}y=x+4\\x2-y2=1\end{cases},解得:x=-\frac{17}{8},y=\frac{15}{8}所以直线y=x+4与双曲线x^{2}-y^{2}=1的交点坐标为(-\frac{17}{8},\frac{15}{8})[占睛)本题考查了直线与曲线的交点问题,联立方程即可求解
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$A$的坐标为$(-2,0)$，直线$x+2=k y(k>0)$与$C$交于$M$、$N$两点，$\overrightarrow{A N}=2 \overrightarrow{A M}$，则$ \overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}$=?
【解析】】联立\begin{cases}x+2=ky\\y2=4x\end{cases},得y^{2}-4ky+8=0,得到y_{1}+y_{2}=4k,y_{1}y_{2}=8,再由\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AM},求得y_{1}=2,y_{2}=4,进而求得M,N的坐标,再利用向量的数量积的运算,即可求解由题意,抛物线C:y^{2}=4x的焦点为F(1,0)联立方程组\begin{cases}x+2=ky\\y2=4x\end{cases},整理得y^{2}-4ky+8=0,设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=4k,y_{1}y_{2}=8,因为\overrightarrow{AN}=2\overrightarrow{AM},则(x_{2}+2,y_{2})=2(x_{1}+2,y_{1}),所以y_{2}=2y_{1},解得y_{1}=2,y_{2}=所以k=\frac{3}{2},则直线方程为2x-3y+4=0,可得M(1,2),N(4,4)所以\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=(0,2)\cdot(3,4)=8.
【题目】已知点$P(2 ,-3)$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$上一点，双曲线两个焦点间的距离等于$4$，则该双曲线方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{n}-\frac{y^{2}}{12-n}=1$的离心率为$\sqrt{3}$，则$n$=?
【解析】
【题目】设$A$ , $B$是抛物线$y=-\frac{1}{4} x^{2}$上的两个动点，且$|A B|=6$, 则$AB$的中点$M$到$x$轴的距离的最小值为?
【解析】
【题目】一动圆与圆$x^{2}+y^{2}+4 x+3=0$外切，同时与圆$x^{2}+y^{2}-4 x-45=0$内切，记该动圆圆心的轨迹为$M$，则曲线$M$上的点到直线$x-2 y-1=0$的距离的最大值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$的右焦点为$F$，点$M$在$C$上，点$N$为线段$M F$的中点，点$O$为坐标原点，若$|M F|=2|O N|=4$，则$C$的离心率为?
【解析】设椭圆C的左焦点为F,由椭圆定义得|MF|+|MF|=2a.即4+|MF|=2a(*)\becauseO为线段FF的中点,N为线段MF的中点.由中位线的性质得|MF|=2|ON|=4,代入(r)式,解得a=4,故其离心率e=\frac{\sqrt{a^{2}-9}}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，其准线$l$与$x$轴交于点$A$，点$M$在抛物线$C$上，当$\frac{|M A|}{|M F|}=\sqrt{2}$时，$\Delta A M F$的面积为?
【解析】不妨设点M为第一象限内的点,如下图所示,过点M作MP与抛物线的准线垂直,垂足点为P,则|MF|=|MP|当\frac{|MA|}{|MF|}=\sqrt{2}=\frac{|MA|}{|MP|}=\frac{1}{\cos\angleA},则\cos\angleAMP=\frac{\sqrt{2}}{2},所以,\angleAMP=\frac{\pi}{4},易知MP/\!/AF,则\angleMAF=\angleAMP=\frac{\pi}{4},所以,直线AM的斜率为1,直线AM的方程为y=x+1,联立\begin{cases}y=x+1\\y2=4x\end{cases},解得\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases},即点M(1,2),易知|AF|=2,因此,S_{\triangleAMF}=\frac{1}{2}|AF|\times2=\frac{1}{2}\times2\times2=2.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\sqrt{5}$，且其虚轴长大于$1$，则双曲线$C$的一个标准方程可以为?
【解析】依题意得\frac{c}{a}=\sqrt{5},则\frac{b}{a}=\sqrt{(\frac{c}{a})^{2}-1}=2^{n}又其虚轴长大于1,故2b>1令b=2,得a=1,于是得双曲线C的一个标准方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1,
【题目】$M(1,1)$到抛物线$y=a x^{2}$准线的距离为$2$，则$a$=?
【解析】抛物线y=ax^{2}化为:x^{2}=\frac{1}{a}y,它的准线方程为:y=-\frac{1}{4a}点M(1,1)到抛物线y=ax^{2}准线的距离为2,可得1+\frac{1}{4a}|=2解得a=\frac{1}{4}或a=-\frac{1}{12}
【题目】已知椭圆中心在原点，一个焦点为$F(0,-2 \sqrt{3})$，且长轴长是短轴长的$2$倍，则该椭圆的标准方程为?
【解析】根据焦点坐标,长轴,短轴关系及椭圆中a^{2}=b^{2}+c^{2},联立方程组求得a^{2},b^{2},即求椭圆方程由椭圆焦点为F(0,-2\sqrt{3}),知椭圆焦点在y轴上,设为\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)由题设c=2\sqrt{3},a=2b\becausea^{2}=b^{2}+c^{2},即4b^{2}=b^{2}+12'解得a^{2}=16,b^{2}=4所以椭圆方程为:\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{4}=1.
【题目】已知双曲线的焦距为$10$，双曲线上的点到两个焦点之间的距离之差的绝对值为$8$，则该双曲线标准方程的焦点坐标是?
【解析】由题意知:焦点在x轴上时,坐标为(5,0),(-5,0);焦点在y轴上时,焦点坐标为(0,5),(0,-5).故焦点为:(5,0),(-5,0)或(0,5),(0,-5)
【题目】已知$F$是双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$的右焦点，$P$是$C$的左支上一动点，$A(0,6 \sqrt{6})$，则$\triangle A P F$周长的最小值为?
【解析】由双曲线方程x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1可知,a=1,c=3,故F(3,0),F_{1}(-3,0),当点P在双曲线左支上运动时,由双曲线定义知|PF|-|PF_{1}|=2,所以|PF|=|PF_{1}|+2,从而AAPF的周长=|AP|+|PF|+|AF|=|AP|+|PF_{1}|+2+|AF|.因为|AF|=\sqrt{3^{2}+(6\sqrt{6})^{2}}=15^{为}定值,所以当(|AP|+|PF_{1}|)最小时,AAPF的周长最小,由图象可知,此时点P在线段AF_{1}与双曲线的交点处(如图所示),此时|AF_{1}|=\sqrt{3^{2}+(6\sqrt{6})^{2}}=15^{,}所以AAPF周长的最小值为32.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点到一条渐近线的距离为$3 a$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】由标准方程可得渐近线方程,利用点到直线的距离构造方程,求得\frac{b}{a}的值,从而得到渐近线方程[详解]\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow渐近线方程为:y=\pm\frac{b}{a}x由双曲线对称性可知,两焦点到两渐近线的距离均相等\therefore取渐近线y=\frac{b}{a}x,焦点(c,0)\therefore3a=\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bc}{c}=b\Rightarrow\frac{b}{a}=3\therefore渐近线方程为:y=\pm3x本题正确结果:y=\pm3x
【题目】已知$P$为双曲线$\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1$上一点，若以$O P$($O$为坐标原点) 为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别相交于$A$、$B$两点，则$|A B|$的最小值为?
【解析】写出双曲线的渐近线方程,易知\angleAOB=\frac{\pi}{3},结合O,P,A,B四点共圆,设该圆的半径为R,由正弦定理可得\frac{|AB|}{\sin\frac{\pi}{3}}=2R,从而|AB|=\sqrt{3}R,故只需求R的最小值,显然当点P位于双曲线的顶点时,直径|OP|最小,即R最小,求出R的最小值,即可得解.由题意知,双曲线\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,易知O,P,A,B四点共圆,设该圆的半径为R,易知\angleAOB=\frac{\pi}{3},由正弦定理可得\frac{|AB|}{\sin\frac{\pi}{2}}=2R,故|AB|=\sqrt{3}R.故要求|AB|的最小值,只需求R的最小值即可显然当点P位于双曲线的顶点时,|OP|最小,即R最小,且_{R_{\min}}=\frac{|OP|}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}所以|AB|_{\min}=\sqrt{3}R_{\min}=\frac{3}{2}
【题目】设点$P(x_{1}, y_{1})$在椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$上，点$Q(x_{2}, y_{2})$在直线$x+2 y-8=0$上，则$3|x_{2}-x_{1}|+6|y_{2}-y_{1}|$的最小值为?
【解析】由题意,设\begin{cases}x_{1}=2\sqrt{2}\cos\alpha\\y=\sqrt{2}\sin\alpha\end{cases},\alpha\in[0,2\pi),则3|x_{2}-x_{1}|+6|y_{2}-y_{1}|=3|x_{2}-2\sqrt{2}\cos\alpha|+6|y_{2}-\sqrt{2}\sin\alpha|=3(|x_{2}-2\sqrt{2}\cos\alpha|+2|y_{2}-\sqrt{2}\sin\alpha|)3(|x|2\sqrt{2}\cos\alpha|+2|,-\sqrt{2}\sin\alpha)\geqslant3|x_{2}+2y.-2\sqrt{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)=3|8-4\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})|\geqslant3|8-4|=12,当且仅当\alpha=\frac{\pi}{4}时取“=”.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的焦距为?
【解析】由题意,得a^{2}=4,b^{2}=1,则c^{2}=a^{2}-b^{2}=3,2c=2\sqrt{3},即焦距为2\sqrt{3}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一点$P$到左焦点的距离为$\frac{5}{2}$，则它到右准线的距离为?
【解析】
【题目】直线$l$:$ y-x+2=0$与抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$交于$A$、$B$两点，过$A B$的中点$M$作$y$轴的垂线交抛物线于点$N$，若满足$\angle A N B=\frac{\pi}{2}$，则$p$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立方程\begin{cases}y-x+2=0\\y^{2}=2px\end{cases}得y^{2}-2py-4p=0,显然A>0,由韦达定理得:y_{1}+y_{2}=2p,y_{1}y_{2}=-4p,所以|AB|=\sqrt{1+(\frac{1}{k})^{2}}\frac{1}{4})^{2}|y_{1}-y_{2}|=\sqrt{2}\times\sqrt{4p^{2}+16p},y_{M}=p则x_{M}=p+2,x_{N}=\frac{p}{2},则|MN|=|x_{M}-x_{1}|=\frac{p}{2}+2,又因为M为AB的中点,且\angleANB=\frac{\pi}{2},所以|AB|=2|MN|,所以\sqrt{2}\times\sqrt{4p^{2}+16p}=p+4,解得p=\frac{4}{7}
【题目】抛物线$y=a x^{2}(a>0)$的焦点与椭圆$\frac{y^{2}}{10}+x^{2}=1$的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是?
【解析】\because椭圆\frac{y^{2}}{10}+x^{2}=1的焦点为(0,\pm3),抛物线y=ax^{2}(a>0)的焦点坐标为(0,3)\therefore\frac{1}{4a}=3,得a=\frac{1}{12},即抛物线的标准方程为x^{2}=12y因此,抛物线的准线方程是y=-3.
【题目】焦点在$x$轴上，经过点$P(4 ,-2)$和点$Q(2 \sqrt{6} , 2 \sqrt{2})$的双曲线的标准方程为?
【解析】设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)将点(4,-2)和(2\sqrt{6},2\sqrt{2})代入方程得\begin{cases}\frac{16}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1,\\\frac{24}{a^{2}}-\frac{8}{b^{2}}=1,\end{cases}解得a^{2}=8,b^{2}=4,所以双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{k+2}+\frac{y^{2}}{k+1}=1$的左右焦点，弦$A B$过$F_{1}$，若$\triangle A B F_{2}$的周长为$8$，则椭圆的离心率是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{3 m}=1$的一个焦点为$F(0 , 2)$，则$m$=?
【解析】
【题目】已知直线$y=2 x$是双曲线$C$:$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】\because直线y=2x为双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线,所以\frac{b}{a}=2,\thereforeb=2a,\thereforeb^{2}=4a^{2},\thereforec^{2}-a^{2}=4a^{2},\thereforec^{2}=5a^{2}\thereforee=\frac{c}{a}=\sqrt{5}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$的左、右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，椭圆上一点$P$满足$|P F_{1}|=\frac{5}{2}$，则$|P F_{2}|$=?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1中,a^{2}=9,即a=3,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=6因为|PF_{1}|=\frac{5}{2},所以|PF_{2}|=6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$=?
【解析】由题意,得\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1的左、右焦点分别为F(-1,0),F_{2}(1,0),设以椭圆短轴为直径的圆上任意一点P(\sqrt{3}\cos\theta,\sqrt{3}\sin\theta),则\overrightarrow{PF}_{1}=(-1-\sqrt{3}\cos\theta,-\sqrt{3}\sin\theta)\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=(1-\sqrt{3}\cos\theta,-\sqrt{3}\sin\theta)\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=(1-\sqrt{3}\cos\theta)(-1-\sqrt{3}\cos\theta)+3\sin^{2}\theta=3\sin^{2}\theta+3\cos^{2}\theta-1=2;故填2【技巧
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左, 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$A$是$C$的一条渐近线上的一点，且$O A \perp F_{1} A $,$|A F_{2}|=2|A F_{1}|$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】\because双曲线C方程为:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),\therefore双曲线C的渐近线方程为:bx\pmay=0,假设A是双曲线C渐近线bx+ay=0上的一点,双曲线的左焦点为F(-c,0)右焦点为F_{2}(c,0)如图示:离为:|F_{1}A|=\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b,\therefore|AO|=\sqrt{|OF_{1}^{2}-|AF_{1}|^{2}}=a在Rt\triangleAOF_{1}中,\cos\angleAOF_{1}=\frac{|OA|}{|OF|}=\frac{a}{c}又\because|AF_{2}|=2|AF_{1}|,\therefore|AF_{2}|=2|AF_{1}|=2b,在\triangleAOF_{2}中根据余弦定理:\cos\angleAOF_{2}=\frac{|OA|^{2}+|OF_{2}|^{2}-|AF_{2}|^{2}}{2|OA|\times|OF_{2}|}=\frac{5a^{2}-}{2a}又\because\angleAOF_{1}+\angleAOF_{2}=180^{\circ},\therefore\cos\angleAOF_{1}+\cos\angleAOF_{2}=0\therefore\frac{a}{c}+\frac{5a^{2}-3c^{2}}{2ac}=0,\therefore7a^{2}=3c^{2},\therefore\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{7}{3},\thereforee=\frac{\sqrt{21}}{3}.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的渐近线与圆$x^{2}-4 x+y^{2}+2=0$相交，则双曲线的离心率的取值范围是?
【解析】有双曲线方程可得其渐近线方程为:y=\pm\frac{b}{a}x^{,}即bx\pmay=0,圆的标准方程为:(x-2)^{2}+y^{2}=2,不妨考查渐近线bx+ay=0与圆相交,则:\frac{|2b+0|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}<\sqrt{2}整理可得:\frac{2b}{c}<\sqrt{2},即:2(c^{2}-a^{2})<c^{2}则e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}<2,e<\sqrt{2}由双曲线的性质可知双曲线的离心率e>1,综上可得:双曲线的离心率的取值范围是(1,\sqrt{2}).
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1(a>0)$的离心率为$2$，则$a$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1(a>0)的离心率为2,|1+\frac{3}{a^{2}}=2解得a=1
【题目】设已知抛物线$C$的顶点在坐标原点，焦点为$F(1 , 0)$，直线$l$与抛物线$C$相交于$A$、$B$两点.若$A B$的中点为 $(2 , 2)$，则直线$l$的方程为?
【解析】抛物线的方程为y^{2}=4x,A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),则有x_{1}\neqx_{2}\begin{cases}y_{1}=4x_{1}\\y_{2}=4x_{2}\end{cases}两式相减得y_{1}^{2}-y_{2}^{2}=4(x_{1}-x_{2}),\therefore\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}=\therefore直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
【题目】已知双曲线$C$的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$，右焦点为$F$，若点$N(0,6)$, $M$是双曲线$C$的左支上一点，则$\Delta F M N$周长的最小值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$和圆$x^{2}+y^{2}-8 x+15=0$，则圆心$C$到双曲线渐近线的距离为?
【解析】由题得圆x^{2}+y^{2}-8x+15=0的圆心为(4,0)双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1的渐近线方程为y=\frac{\sqrt{5}}{2}x'即\sqrt{5}x-2y=0所以圆心C到双曲线渐近线的距离为\frac{|4\sqrt{5}|}{\sqrt{5+4}}=\frac{4}{3}\sqrt{5}.
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，若$|A F|=p+2$ ,$|B F|=p-1$，则$p$=?
【解析】设A,B两点的坐标分别为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),显然直线AB的斜率存在设直线AB的方程为y=k(x-\frac{p}{2})(k\neq0),联立方程\begin{cases}y^{2}=2px\\y=k(x-\frac{p}{2})\end{cases}又由|AF|=p+2,|BF|=p-1,\begin{cases}\frac{p^{2k2}}{4}=0,\\x_{1}+\frac{p}{2}=p+2,\\x_{2}+\frac{p}{2}=p-1,\end{cases},可得\begin{cases}x_{1}=p+\frac{p}{2},\\x_{2}=\frac{p}{2}-1,\end{cases}有(p+\frac{p}{2})(\frac{p}{2}-1)=\frac{p^{2}}{4},解得p=4.
【题目】设$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上的点，若$F_{1}$, $F_{2}$是椭圆的两个焦点，则$|P F_{1}|+|P F_{2}|$等于?
【解析】
【题目】不论$a$为何值时，直线$(a-1) x-y+2 a+1=0$恒过定点$P$，则过$P$点的抛物线的标准方程为?
【解析】因为不论a为何值时,直线(a-1)x-y+2a+1=0恒过定点P,则过点(x+2)a+(-x-y+1)=0故x=-2,y=3,因此过点p的抛物线的方程为x^{2}=\frac{4}{3}y或y^{2}=-\frac{9}{2}x
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1(m>0)$的一条渐近线的方程是$y= \sqrt{2} x$，则$m$=?
【解析】
【题目】已知点$A(3,4)$，$F$是抛物线$y^{2}=8 x$的焦点，$M$是抛物线上的动点，当$|A M|+|M F|$最小时，$M$点坐标是?
【解析】由题知点A在抛物线内.设M到准线的距离为|MK|,则|MA|+|MF|=|MA|+|MK|当MA|+|MK最小时,M点坐标是(2,4).
【题目】已知$F$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左焦点，过$F$作$x$轴的垂线交$C$与$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】由F为椭圆C:\frac{x2}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1的左焦点,可得F(-2\sqrt{3},0),由过F作x轴的垂线交C与A,B两点,设A点在B点上方,可得A(-2\sqrt{3},1),BA(-2\sqrt{3},-1),可得|AB|=2,故答案:2.睛)本题主要考查椭圆的性质,考查运算能力,属于基础题
【题目】设$O$为坐标原点，直线$x=a$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的两条渐近线分别交于$D$、$E$两点，若$\triangle O D E$的面积为$1$，则双曲线$C$的焦距的最小值为?
【解析】由题可得D(a,b),E(a,-b),利用\triangleODE的面积可得ab=1,根据c^{2}=a^{2}+b^{2}利用基本不等式可求.双曲线的渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x',所以D(a,b),E(a,-b)因为\triangleODE的面积为1,所以a\cdot2b\cdot\frac{1}{2}=1,即ab=1,因为c^{2}=a^{2}+b^{2},所以2c=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}\geqslant2\sqrt{2ab}=2\sqrt{2},当且仅当a=b=1时等号成立,即双曲线的焦距的最小值为2\sqrt{2}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点分别是$F_{1}$ , $F_{2}$ ,过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，且满足$|A F_{1}|=2|B F_{1}|=|F_{1} F_{2}|$，则椭圆的离心率为?
【解析】设|AF_{1}|=2|BF_{1}|=|F_{1}F_{2}|=2c,则|AF_{2}|=2a-2c.|BF_{2}|=2a-c,则AAF_{1}F_{2}与ABF_{1}F_{2}中,分别由余弦定理得\cos\angleAF_{1}F_{2}+\cos\angleBF_{1}F_{2}=0,\frac{2-(2a-c)^{2}}{4c^{2}}=0
【题目】已知椭圆$x^{2}+m y^{2}=1(m>1)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$m$=?
【解析】由题意得:椭圆化成标准方程为x^{2}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{m}}=1\because椭圆的离心率为\frac{\sqrt{3}}{2},\thereforee^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4},a^{2}=4b^{2},又m>1,\therefore\frac{4}{m}=1,故m=4.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的准线方程为$x=-2$，焦点为$F$，准线与$x$轴的交点为$A$、$B$为抛物线$C$上一点，且满足$\sqrt{5}|B F|=2|A B|$，则点$F$到$A B$的距离为?
【解析】
【题目】若双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点为$F$，右顶点为$A$、$P$为$E$的左支上一点，且$\angle P A F=60^{\circ}$ ,$|P A|=|A F|$，则$E$的离心率是?
【解析】由已知得|PA|=|AF|=a+c,\therefore|PF|=a+c设E的右焦点为F'由余弦定理得|PF'|^{2}=(a+c)^{2}+(2c)^{2}-2(a+c)(2c)\cos60^{\circ}\therefore|PF'|=\sqrt{3c^{2}+a^{2}}由双曲线定义|PF'|-|PF|=2a,即\sqrt{3c^{2}+a^{2}}-(a+c)=2a\thereforec^{2}-3ac-4a^{2}=0,即e^{2}-3e-4=0\thereforee=4或-1(舍去)
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=2$的渐近线方程为?
【解析】\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x[详解]x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=2即\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1的渐近线方程为y=\pm\sqrt{\frac{8}{2}}x即y=\pm2x
【题目】已知点$M(\sqrt{3}, 0)$，直线$y=k(x+\sqrt{3})$与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$相交于$A$ , $B$两点，则$\triangle A B M$的周长为?
【解析】【分】斤】确定点M(\sqrt{3},0)为椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1的右焦点,直线y=k(x+\sqrt{3})过椭圆的左焦点,由椭圆的定义.可得\triangleABM的周长.由题意,椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1中a=1,b=1,c=\sqrt{3}\therefore点M(\sqrt{3},0)为椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1的右焦点,直线y=k(x+\sqrt{3})过椭圆的左焦点.\therefore由椭圆的定义,可得\triangleABM的周长为4a=4\times2=8.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{64}=1$上一点$P$到它的一个焦点的距离为$7$，则点$P$到另一个焦点的距离等于?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{64}=1的a=4,b=8,c=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}设左右焦点为F_{1},F_{2},则由双曲线的定义,得|PF|-|PF_{2}|=2a=8,可设|PF|=7,则有|PF_{2}|=15或|PF_{2}|=-1(舍去)
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点到其准线的距离为$\frac{1}{2}$，则该抛物线的方程为?
【解析】\because已知抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点到其准线的距离为p=\frac{1}{2}\therefore该抛物线的方程为y2=x,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的渐近线方程为$y=\pm \frac{3}{4} x$, 则它的离心率为?
【解析】\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的焦点在x轴上,\therefore渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,又\because渐近线方程为y=\frac{3}{4}x,\therefore\frac{b}{a}=\frac{3}{4},\therefore\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{9}{16},\becauseb^{2}=c^{2}-a^{2}\therefore\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{9}{16},化简得\frac{c^{2}}{a^{2}}-1=\frac{9}{16},即e^{2}=\frac{25}{16},e=\frac{5}{4},
【题目】设抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线为$l$ , $P$为抛物线上一点，$PA \perp l$, $A$为垂足，如果$AF$的倾斜角为$\frac{2 \pi}{3}$，则$|PF|$=?
【解析】由抛物线的定义可知:|PF|=|PA|\therefore\triangleAPF为等腰三角形,、又\angleAFx=\frac{2\pi}{3},\therefore\triangleAPF为等边三角形.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1$的一条渐近线和圆$x^{2}+y^{2}-4 x+3=0$相切，则该双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】与椭圆$x^{2} + 4 y^{2}=16$有共同焦点，且一条渐近线方程是$x+\sqrt{3} y=0$的双曲线的方程是?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$和双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的公共焦点为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是两曲线的一个交点，那么$\cos \angle F_{1} PF_{2}$的值?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，渐近线分别为$l_{1}$, $l_{2}$，点$P$在第一象限内且在$l_{1}$上，若$l_{2} / /  P F_{2}$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2}=1$与$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$有相同的离心率，则$m$=?
【解析】
【题目】已知直线$l$与抛物线$C$: $y^{2}=4 x$相交于$A$、$B$两点，且$|A B|=6$，则当$A B$中点的横坐标最小时，直线$l$的斜率为?
【解析】设抛物线的焦点为F(1,0)连接AF,BF,则|AF|+|BF|\geqslant|AB|,所以(x_{A}+1)+(x_{B}+1)\geqslant6,则\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\geqslant2,即AB中点的横坐标的最小值为2,当且仅当AB过焦点F时取到最小值.设直线l:y=k(x-1),代入C:y^{2}=4x,可得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,所以x_{A}+x_{B}=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}=4,可得k=\pm\sqrt{2},
【题目】已知$F$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点，$A$、$B$是椭圆$C$上的两个相异动点，若$A B$中点的横坐标为$1$，则$F$到直线$A B$距离的最小值为?
【解析】
【题目】抛物线$y=2 x^{2}$上的一点$M$到焦点的距离为$1$，则点$M$的纵坐标为?
【解析】由题意得,抛物线的标准方程为x^{2}=\frac{1}{2}y,准线方程为y=-\frac{1}{8},设点M(-6,6),根据抛物线的定义可知,点M到焦点的距离等于点M到准线的距离,所以y_{0}+\frac{1}{8}=1,解得y_{0}=\frac{7}{8}
【题目】以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且过点$P(-2 ,-4)$的抛物线标准方程为?
【解析】
【题目】已知$B$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左准线与$x$轴的交点，点$A(0 , b)$，若满足$A P=2 A B$的点$P$在双曲线上，则该双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P(a , b)$满足$|P F_{2}|=|F_{1} F_{2}|$.则椭圆的离心率为?
【解析】设F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)(c>0),因为|PF_{2}|=|F_{1}F_{2}|,则\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}=2c,整理得2c^{2}+ac-a^{2}=0,两边同除以a^{2}得2(\frac{c}{a})^{2}+\frac{c}{a}-1=0,所以\frac{c}{a}=-1(舍)或\frac{c}{a}=\frac{1}{2}所以椭圆的离心率e=\frac{1}{2}.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{m}=1(m>0)$的离心率为$\frac{5}{4}$，则$m$等于?
【解析】
【题目】已知双曲线方程为$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$，则以双曲线左顶点为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{m+3}+\frac{y^{2}}{m-6}=1(m>6)$，则其焦距为?
【解析】根据椭圆方程求c,即得焦距.\because\frac{x^{2}}{m+3}+\frac{y^{2}}{m-6}=1(m>6)\thereforec^{2}=m+3-(m-6)=9\thereforec=3,2c=6.
【题目】在抛物线$y^{2}=8 x$上有一点$P$，它到焦点的距离是$20$，则$P$点的坐标是?
【解析】
【题目】抛物线$y=3 x^{2}$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的两个焦点，点$P$在双曲线上，若线段$P F_{1}$的中点在$y$轴上，则$\frac{|P F_{1} |}{|P F_{2}|}$的值是?
【解析】根据方程求出焦点坐标,由线段PF_{1}的中点在y轴上求出x_{p}=\sqrt{7},代入双曲线方程得P(\sqrt{7},\frac{3}{2})分别求出|PF_{1}|,|PF_{2}|即可得解.由双曲线方程\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1知a=2,b=\sqrt{3},c=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}设F_{1}(-\sqrt{7},0),F_{2}(\sqrt{7},0),线段PF_{1}的中点在y轴上,则\frac{x_{p}+(-\sqrt{7})}{2}=0^{,}解得x_{p}=\sqrt{7},因为点P在双曲线上,满足双曲线方程,即\frac{7}{4}-\frac{y_{p}^{2}}{3}=1,y_{p}=\pm\frac{3}{2}所以\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|}=\frac{11}{3}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2 }}{ b ^{2}}=1 (a>0 , b>0)$的左、右焦点，若双曲线左支上存 在一点$P$使得$\frac{|PF_{2}|^{2}}{|PF_{1}|}=8 a$，则双曲线的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线$C$的右支上，$|O P|=|O F_{2}|$($O$为坐标原点)，若直线$P F_{2}$与$C$的左支有交点，则$C$的离心率的取值范围为?
【解析】设P位于第四象限,可知0<k_{PF_{2}}<\frac{b}{a},设P(x,y),由|OP|=|OF_{2}|和P在双曲线上可构造方程组求得P点坐标,由此表示出k_{PF_{2}},由0<k_{PF_{2}}<\frac{b}{a}化简可得\frac{b}{a}>2^{,}根据e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}可求得结果羊解】由双曲线方程知其渐近线方程为:y=\pm\frac{b}{a}x;不妨设P位于第四象限,则若直线PF_{2}与C的左支有交点,则0<k_{PF_{2}}<\frac{b}{a}设P(x,y),由|OP|=|OF_{2}|得:x^{2}+y^{2}=c^{2},又\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\frac{-\frac{b^{2}}{c}-0}{b^{2}+c^{2}}=\frac{}{a\sqrt{l}}整理可得:a^{2}<c^{2}-2ab,即c^{2}-a^{2}=b^{2}>2ab'\therefore\frac{b}{a}>2\thereforee=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}>\sqrt{5},即C的离心率的取值范围为(\sqrt{5},+\infty)
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的顶点到其渐近线的距离为?
【解析】根据题意得双曲线的顶点为(\pm2,0),渐近线方程为y=\pm\frac{1}{2}x.根据对称性,不妨取顶点(2,0),渐近线方程为y=\frac{1}{2}x,所以顶点(2,0)到渐近线方程为y=\frac{1}{2}x的距双曲线C:\frac{x^{2}}{4}-y2=1的顶点到其渐近线的距离为\underline{2\sqrt{5}}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点到原点的距离为$5$，则实数$p$的值为?
【解析】抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点到原点的距离为5,则\frac{p}{2}=5,解得p=10.
【题目】以双曲线$x^{2}-y^{2}=2$的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程为?
【解析】
【题目】已知焦点在$x$轴上的椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，直线$l$过$F_{1}$，且和椭圆$C$交于$A$、$B$两点，$\overrightarrow{A F_{1}}=3 \overrightarrow{F_{1} B}$ , $3|\overrightarrow{B F_{2}}|=5|\overrightarrow{A F_{2}}|$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】因为|AF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{1}|+|BF_{2}|=4a,又\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{F_{1}B},3|\overrightarrow{BF_{2}}|=5|\overrightarrow{AF_{2}}|所以\frac{4}{3}|AF_{1}|+\frac{8}{3}|AF_{2}|=4a,即|AF_{1}|+2|AF_{2}|=3a,又|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a,所以|AF_{1}|=|AF_{2}|=a,所以A在椭圆的短轴上,不妨设A为上端点,设B(x_{0},y_{0})则A(0,b),又因为F_{1}(-c,0),所以\overrightarrow{AF_{1}}=(-c,-b),\overrightarrow{F_{1}B}=(x_{0}+c,y_{0})所以|-b=3}0^{+3c},故B(-\frac{4}{3}c,-\frac{b}{3})
【题目】已知双曲线$x^{2}-y^{2}=m$与椭圆$2 x^{2}+3 y^{2}=m+1$有相同的焦点，则实数$m$=?
【解析】根据焦点相同,则焦距相等,建立方程求解[详解]由2x^{2}+3y^{2}=m+1可得\frac{x2}{2}+\frac{y^{2}}{\frac{m+1}{3}}=1,由x^{2}-y^{2}=m可得\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m}=1所以焦点在x轴上,且\frac{m+1}{2}-\frac{m+1}{3}=m+m解得m=\frac{1}{11}
【题目】已知方程$2$$(\lambda+4) x^{2}+(\lambda^{2}-3 \lambda+2) y^{2}=1$表示椭圆，则$\lambda$的取值范围为?
【解析】
【题目】若双曲线$C$: $2 x^{2}-y^{2}=m(m>0)$与抛物线$y^{2}=16 x$的准线交于$A$, $B$两点，且$|A B|=4 \sqrt{3}$则$m$的值是?
【解析】抛物线y^{2}=16x的准线l:x=-4,因为双曲线C与抛物线y^{2}=16x的准线l:x=-4交于A,B两点,|AB|=4\sqrt{3},所以A(-4,2\sqrt{3}),B(-4,-2\sqrt{3}),将A点坐标代入双曲线方程得2(-4)^{2}-(2\sqrt{3})^{2}=m^{,}所以m=20.
【题目】双曲线$4 x^{2}-y^{2}=16$的渐近线方程是?
【解析】令双曲线的右边为0,可得4x^{2}-y^{2}=0,整理化简即可得到双曲线的渐近线方程y=\underline{+}2x
【题目】已知$F$是抛物线$x^{2}=4 y$的焦点，$P$为抛物线上的动点，且$A$的坐标为$(\frac{3}{2},-1)$，则$\frac{|P F|}{|P A|}$的最小值是?
【解析】过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线定义可得|PF|=|PM|,所以\frac{|PF|}{|PA|}=\frac{|PM|}{|PA|}=\sin\anglePAM,故当PA和抛物线相切时,\frac{|PF|}{|PA|}最小,再利用斜率公式及导数的几何意义确定切点P的坐标,即可求解.[详解]抛物线x^{2}=4y的焦点F(0,1),准线方程为y=-1,过点P作PM垂直于准线,M为垂足则由抛物线定义可得|PF|=|PM|,所以\frac{|PF|}{|PA|}=\frac{|PM|}{|PA|}=\sin\anglePAM,\anglePAM为锐角,故当\anglePAM最小时,\frac{|PF|}{|PA|}最小故当PA和抛物线相切时,\frac{|PF|}{|PA|}最小,设切点P(2\sqrt{a},a),由y=\frac{1}{4}x^{2}的导数为y=\frac{1}{2}x则PA的斜率为\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{a}=\sqrt{a}=\frac{a+1}{2\sqrt{a}-\frac{3}{3}},求得a=4,可得P(4,4),所以|PM|=5,|PA|=\frac{5\sqrt{5}}{2},|\frac{|PF|}{|PA|}=\frac{|PM|}{|PA|}=即\frac{|PF|}{|DA|}的最小值是\frac{2\sqrt{5}}{5}睛)本题主要考查了抛物线的定义,直线的斜率,导数的几何意义,属于中档题
【题目】动点$M$在椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$上，过$M$作$x$轴的垂线，垂足为$N$，点$P$满足$ \overrightarrow{N P}=\sqrt{2} \overrightarrow{N M}$. 则点$P$的轨迹方程?
【解析】令M(x_{0},y_{0}),N(x_{0},0),P(x,y)则\overrightarrow{NP}=(x-x_{0},y),\overrightarrow{NM}=(0,y_{0})\because\overrightarrow{NP}=\sqrt{2}\overrightarrow{NM}\therefore(x-.x_{0},y)=\sqrt{2}(0,y_{0}\therefore\begin{cases}x-x_{0},y)=\vee2(\\x-x_{0}=0\\y=\sqrt{2}y_{0}\end{cases}即\therefore\begin{cases}x_{0}=0\\y_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}y\end{cases}代入\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1可得\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}=1即x^{2}+y^{2}=2
【题目】已知$A$、$B$为抛物线$E$: $y^{2}=4 x$上两点，经过坐标原点$O$以$A B$为直径且面积最小的圆的标准方程为?
【解析】由题意可得:直线AB的斜率一定不为零,故设直线l_{AB}:x=my+n联立抛物线方程消去x可得y^{2}-4my-4n=0设点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=-4n\because点O在以AB为直径的圆上\therefore故\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y+y_{1}y_{2}=解得n=0(舍)或n=4,即直线AB恒过定点(4,0)利用几何性质可知:若要使圆的面积最小,则直径AB最短\therefore|AB|=\sqrt{1+m^{2}}\cdot\sqrt{(y,+y)^{2}-4y,y}=4\sqrt{m^{4}+5m^{2}+4}>8(此时m=0,即直线AB垂直于x轴)\therefore圆的标准方程为(x-4)^{2}+y2=16.

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【题目】过点$P(3 \sqrt{3}, 4)$的直线$l$交抛物线$C$: $x^{2}=18 y$于$A$、$B$两点，若弦$A B$的中点恰好为$P$，则直线$l$的倾斜角为?
【解析】显然直线的斜率存在,设直线斜率为k,交抛物线于A(x_{1},y_{1})B(x_{2},y_{2}),代入抛物线方程作差得:x_{1}2-x_{2}=18(y_{1}-y_{2}),整理得:\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{18},所以_{k}=\frac{\sqrt{3}}{3},故倾斜角为\frac{\pi}{6}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点为$F_{2}$，点$M$在圆$O$: $x^{2}+y^{2}=3$上，且$M$在第一象限，过点$M$作圆$O$的切线交椭圆与$P$、$Q$两点，则$\Delta P F_{2} Q$的周长为?
【解析】设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),利用焦点半径公式可求|PF_{2}|,|QF_{2}|,再根据勾股定理可求|PM|、|QM|,注意根据点在椭圆上化简|PM|、|QM|后可求APF_{2}Q的周长圆O的半径为\sqrt{3},椭圆的短半轴长为\sqrt{3}依据M在第一象限可以得到P,Q在y轴的右侧设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),则|PF_{2}|=2-\frac{1}{2}x_{1},|QF_{2}|=2-\frac{1}{2}x_{2}且x_{1}>0,x_{2}>0.又|PM|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-3}=\sqrt{x_{1}^{2}+3(1-\frac{x^{2}}{4})-3=\frac{1}{2}x_{1}'}同理|QM|=\frac{1}{2}x_{2}'所以APF_{2}Q的周长为2-\frac{1}{2}x_{1}+2-\frac{1}{2}x_{2}+\frac{1}{2}x_{1}+\frac{1}{2}x_{2}=4,
【题目】设双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的右焦点为$F$，左右顶点分别为$A_{1}$ , $A_{2}$，过$F$且与双曲线$C$的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线相交于$P$，若$P$恰好在以$A_{1} A_{2}$为直径的圆
上，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的右焦点$F$的坐标为?若顶点在原点的抛物线$C$的焦点也为$F$，则其标准方程为?
【解析】
【题目】已知$F$是抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点，$M$是$C$上一点，$F M$的延长线交$y$轴于点$N$. 若$M$为$F N$的中点，则$|F N |$=?
【解析】
【题目】椭圆$3 x^{2}+4 y^{2}=12$的焦距为?
【解析】由题意,该椭圆标准方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,可得其焦距为2c=2\sqrt{4-1}=2
【题目】过抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点，若$3|A F|=|B F|$ , $O$为坐标原点，则$\frac{|O F|}{|A F|}$=?
【解析】过A作AE\bot准线,过B作BG\bot准线,过A作AD\botBG交BG于点D,交y轴于点C设|AF|=x,则|BF|=3x,F(0,\frac{p}{2}),准线:y=-\frac{p}{2}根据抛物线性质得:|AE|=|AF|=x,|BG|=|BF|=3x,|AB|=x+3x=4x,|BD|=3x-x=2x,|FC|=px,由图可知:\frac{AF}{AB}=\frac{FC}{BD},即\frac{x}{4x}=\frac{p-x}{2x},解得x=\frac{2}{3}p,则\frac{|OF|}{|AF|}=\frac{\frac{p}{2}}{\frac{2}{3}p}=\frac{3}{4}
【题目】斜率为$1$的直线$l$与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$相交于$A$、$B$两点，则$|A B|$的最大值为?
【解析】设直线方程为y=x+b,代入椭圆方程并化简得5x^{2}+8bx+4b^{2}-4=0-\frac{8b}{5},x_{1}\cdotx_{2}=\frac{4b^{2}-4}{5},4=64b^{2}-20(4b^{2}-4)=-16b^{2}+1+1\cdot\sqrt{\frac{64b^{2}}{25}-\frac{16b^{2}-16}{5}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{-16b^{2}+80}{25}},当b=0时,b^{2}-20(4b^{2}-4)=-16b^{2}+80>0,-\sqrt{5}<b<\sqrt{5}|AB|_{\max}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{80}{25}}=\frac{4}{}\sqrt{10}.有本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和椭圆相交所得弦长最大值的求法,属于中档题
【题目】已知动点$P(x, y)$在椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上，若$A(3,0)$，点$M$满足$|A M|=1$，且$\overrightarrow{P M} \cdot \overrightarrow{A M}=0$，则$|P M|$的最小值是?
【解析】\because\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{AM}=0,\therefore\overrightarrow{PM}\bot\overrightarrow{AM},\therefore|\overrightarrow{PM}|^{2}=\overrightarrow{AP}|^{2}-|\overrightarrow{AM}|^{2}=|\overrightarrow{AP}|^{2}-1,\therefore点M的轨迹为以为以点A为圆心,1为半径的圆,\because|\overrightarrow{PM}|^{2}=|\overrightarrow{AP}|^{2}-1,|\overrightarrow{AP}|越小,|\overrightarrow{PM}|越小,结合图形知,当P点为椭圆的右顶点时,\overrightarrow{AP}|取最小值a-c=5-3=2,\therefore|\overrightarrow{PM}|最小值是\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.故选B.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$的左、右焦点分别是$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$作倾斜角为$120^{\circ}$的直线与椭圆的一个交点为$M$，若$M F_{1}$垂直于$M F_{2}$，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】以抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$焦点$F$为端点的一条射线交抛物线于点$A$，交$y$轴于点$B$，若$|A F|=2$, $|B F|=3$，则$p$=?
【解析】依题意可得F(\frac{p}{2},0),设A(x_{1},y_{1}),则|AF|=x_{1}+\frac{p}{2}=2,因为|AF|=2,|BF|=3,所以|AB|=|BF|-|AF|=3-2=1,所以\frac{|AB|}{|BF|}=\frac{1}{3},又\frac{|AB|}{|BF|}=\frac{x_{1}}{\frac{P}{2}}=\frac{2x_{1}}{P}所以\frac{2x_{1}}{p}=\frac{1}{3},所以p=6x_{1},所以x_{1}+\frac{6x_{1}}{2}=2,解得x_{1}=\frac{1}{2},所以p=6x_{1}=6\times\frac{1}{2}=3.
【题目】已知抛物线$C$:$x^{2}=8 y$的焦点为$F$，过点$P(0,-2)$的直线$l$与抛物线相交于$M$、$N$两点，且$|M F|+|N F|=32$，若$Q$是直线$l$上的一个动点，$B(0,3)$，则$|Q F|+|Q B|$的最小值为?
【解析】因为直线/过点P(0,-2),所以设直线/的方程为y=kx-2,M(x_{1},y_{1},N(x_{2},y_{2})联立方程组\begin{cases}x=\frac{y+2}{k},\\x^{2}=8y\end{cases},得y^{2}+(4-8k^{2})y+4=0,则y_{1}+y_{2}=8k^{2}-4,根据抛物线的定义可知|MF|+|NF|=y_{1}+y_{2}+4=32,解得k=\pm2,取k=2(k=-2时所得结果一致),则直线l的方程为y=2x-2,设点B(0,3)关于直线l的对称点为B(x_{0},y_{0}),根据垂直平分性,可列出方程组\begin{cases}\frac{y_{0}+3}{2}=x_{0}-2\\\frac{y_{0}-3}{x_{0}}=-\frac{1}{2}\end{cases},\begin{cases}x_{0}=4\\y_{0}=1\end{cases},即B'(4,1)此时线段FB与直线l的交点即为使得|QF|+|QB|取得最小值的点,因为F(0,2),所以最小距离为|FB|=\sqrt{(4-0)^{2}+(1-2)^{2}}=\sqrt{17}
【题目】点$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上一点，$P$到该抛物线焦点的距离为$4$，则点$P$的横坐标为?
【解析】
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a>0)$的两个焦点分别为$F_{1}(-2,0)$, $F_{2}(2,0)$, $P$为双曲线上一点，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$等于?
【解析】由双曲线的焦点坐标求出c,然后推出双曲线方程,利用双曲线的定义可得||PF_{1}|-|PF_{2}||=2结合余弦定理,即可得结果.因为双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a>0)的两个焦点分别为F_{1}(-2,0),F_{2}(2,0)所以c=2,a=1,由双曲线的定义可得||PF_{1}|-|PF_{2}||=2,4=|PF_{1}|^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|+|PF_{2}|^{2}余弦定理可得16=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|PF_{2}|\cos60^{\circ}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|PF_{1}||PF_{2}|即|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=12,
【题目】已知双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点为$A(2,0)$. 若$A$到$E$的一条渐近线的距离为$1$，则$E$的离心率为?
【解析】由题意可知,双曲线E:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线为,y=\pm\frac{b}{a}x,又双曲线E的右顶点为A(2,0),所以a=2,又A到E的一条渐近线的距离为1,所以\frac{|b|}{\sqrt{1+\frac{b^{2}}{4}}}=1,所以b=\frac{2\sqrt{3}}{3},所以\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}所以E的离心率为\sqrt{1+\frac{b^{2}}{2}}=\frac{\sqrt[2]{3}}{3}
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$F$的直线交抛物线于$A$ ,$B$两点，且$|F A| \cdot|F B|=6$，则$| AB|$=?
【解析】由抛物线y^{2}=4x,得F(1,0),当直线AB垂直与x轴时,|FA|=|FB|=2,不符合故可设直线AB:y=k(x-1),联立抛物线得k^{2}x^{2}-2(k^{2}+2)x+k^{2}=0所以x_{1}x_{2}=1由抛物线的焦半径可知|FA|=x_{1}+1,|FB|=x_{2}+所以|FA|\cdot|FB|=(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=2+x_{1}+x_{2}=6所以x_{1}+x_{2}=4,|AB|=|FA|+|FB|=x_{1}+x_{2}+2=6
【题目】直线$l$过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点$F$，且与抛物线交于$A$、$B$两点，若线段$AB$的中点到$y$轴的距离是$2$，则$|AB|$=?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点$P$，使$(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F_{2}}) \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0 $（ $O$为坐标原点)，且$3|P F_{1}|=4|P F_{2}|$，则双曲线的离心率为?
【解析】取PF_{2}的中点M,则由(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF_{2}}).\overrightarrow{PF_{2}}=0,得2\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0,即\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0即PF_{1}\botPF_{2},由3|\overrightarrow{PF_{1}}|=4|\overrightarrow{PF_{2}}|,设|PF_{1}|=4x_{1}|PF_{2}|=3x_{1}|F_{1}F_{2}|=2c,则(4x)^{2}+(3x)^{2}=4c^{2}即x=\frac{2}{5}c,由椭圆的定义,得2a=|PF_{1}|-|PF_{2}|=\frac{2}{5}c,a=\frac{1}{5}c,则椭圆的离心率e=\frac{c}{a}=5
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$的直线交曲线$C$右支于$P$、$Q$两点，且$P Q \perp P F_{1}$，若$3|P Q|=4|P F_{1}|$，则$C$的离心率等于?
【解析】如图,设|PQ|=4t(t>0),由3|PQ|=4|PF_{1}|可得|PF_{1}|=3t由双曲线定义,有|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,所以|PF_{2}|=3t-2a,|QF_{2}|=|PQ|-|PF_{1}|=t+2a,又|QF_{1}|-|QF_{2}|=2a,所以|QF_{1}|=t+4a,因为PQ\botPF_{1},所以|PF_{1}|+|PF_{2}|^{2}=4c^{2},|PF_{1}|^{2}+|PQ|^{2}=|QF_{1}^{2}|即(3t)^{2}+(3t-2a)^{2}=4c^{2\textcircled{1}},(3t)^{2}+(4t)^{2}=(t+4a)^{2}\textcircled{2},由\textcircled{2}解得t=a,代入\textcircled{1},得(3a)^{2}+(3a-2a)^{2}=4c^{2},即10a^{2}=4c^{2}所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{10}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点$P$到左焦点$F$的距离为$6$，则$P$点到左准线的距离为?
【解析】
【题目】若$A$、$B$是曲线$x=\sqrt{y^{2}+2}$上不同的两点，$O$为坐标原点，则$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$的取值范围是?
【解析】先整理化简得\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1(x\geqslant0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),得到\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},分AB\botx轴和AB不垂直于x轴,两种情况讨论,当AB不垂直于x轴,设l_{AB}:y=kx+m,两方程联立消y,得到关于x的一元二次方程,再利用韦达定理,代入\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},化简整理即可得出结果.解】\becausex=\sqrt{y^{2}+2}可化为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1(x\geqslant\sqrt{2}),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}\cdotx_{2}>0,则\overrightarrow{OA}=(x_{1},y_{1}),\overrightarrow{OB}=(x_{2},y_{2}),\therefore\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}'若AB\botx轴,此时x_{1}=x_{2},y_{1}=-y_{2}.\therefore\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x^{2}-y^{2}=2,若AB不垂直于x轴,设l_{AB}:y=kx+m,(y=kx+m\begin{cases}x2-y2=2\\\end{cases}\therefore(1-k^{2})x^{2}-2kmx-m^{2}-2=\thereforex_{1}+x_{2}=\frac{2km}{1-k^{2}},x_{1}\cdotx_{2}==\frac{-m^{2}-2}{1-k^{2}}=\frac{m^{2}+2}{k^{2}-1}>0则k^{2}>1,\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}+(kx_{1}+m)(kx_{2}+m)=(1+k)^{2}\frac{-m^{2}-2}{1-k^{2}}+km\frac{2km}{1-b^{2}}+m^{2}=\frac{2k^{2}+2}{k^{2}-1}=2+\frac{4}{k^{2}-1}又\becausek^{2}>1,k^{2}-1>0,\therefore\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}>2\therefore\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\in[2,+\infty)
【题目】已知$F$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点，点$P$在椭圆上，且$P$到原点$O$的距离等于半焦距，$\triangle P O F$的面积为$6$，则$b$=?
【解析】设P(x_{0},y_{0}),\because点P在椭圆上,\therefore\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1\textcircled{1}又\because点P到原点O的距离等于半焦距\therefore\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=c,即x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=c^{2}\textcircled{2}\because\trianglePOF的面积为6.\therefore\frac{1}{2}\timesc\times|y_{0}|=6,可得|y_{0}|=\frac{12}{c}\textcircled{3}把\textcircled{3}代入\textcircled{2}得,x_{0}^{2}=c^{2}-\frac{144}{c^{2}}144a^{2}把\textcircled{3}代入\textcircled{1}得,x_{0}^{2}=a^{2}-\frac{144a^{2}}{b^{2}c^{2}}c^{2}-\frac{144}{c^{2}}=a^{2}-\frac{144a^{2}}{b^{2}c^{2}}故得b=2\sqrt{:}
【题目】设抛物线$x^{2}=12 y$的焦点为$F$，经过点$P(2 , 1)$的直线$l$与抛物线相交于$A$、$B$两点，又知点$P$恰为$AB$的中点，则$|AF|+|BF|$=?
【解析】
【题目】若直线$m x-y+m=0$与抛物线$y=x^{2}-4 x+3$的两个不同交点都在第一象限，则实数$m$的取值范围为?
【解析】\becausey=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1,由mx-y+m=0,得y=m(x+1),则直线mx-y+m=0过定点(-1,0)在同一平面直角坐标系中画出直线与抛物线的大致图象如图,\because若直线与抛物线的两个不同交点都在第一象限,\therefore由图可知,0<m<\frac{3-0}{0-(-1)},即0<m<3,
【题目】若双曲线$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$, $P(\sqrt{2}, 1)$为$C$上一点，一个焦点到一条渐近线的距离为$2$，则双曲线的标准方程为?
【解析】设双曲线的右焦点为(c,0),一条渐近线为bx-ay=0根据点到直线的距离公式\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b=2\frac{2}{2})^{2}-\frac{1^{2}}{b^{2}}=1\thereforea^{2}=\frac{8}{5},b=2,所以双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的上顶点为$B$，右焦点为$F(2,0)$ , $M(-\frac{\sqrt{2} a}{2}, 0)$，且满足$B F \perp B M$，则椭圆$C$的标准方程为?
【解析】根据题意,椭圆C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的上顶点为B,则B(0,b)则\overrightarrow{BF}=(2,-b),\overrightarrow{BM}=(-\frac{\sqrt{2}a}{2},-b)若BF\botBM,则有\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{BM}=-\sqrt{2}a+b^{2}=0,则有b^{2}=\sqrt{2}a又由椭圆的右焦点为F(2,0),即c=2,则有a^{2}-b^{2}=c^{2}=4解可得:a=2\sqrt{2},则b=2,所以椭圆C的方程为\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】过椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点，斜率为$1$的直线被椭圆$C$截得的弦长为?
【解析】设直线与椭圆相交的两个交点坐标为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})椭圆C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1的左焦点为(-1,0)所以直线的方程为y=x+1则\begin{cases}y=x+1\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases}\Rightarrow7x^{2}+8x-8=0所以x_{1}+x_{2}=-\frac{8}{7},x_{1}x_{2}=-\frac{8}{7}所以该直线别椭圆所截的弦长为\sqrt{1+1^{2}}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\frac{24}{7}数答安为:24
【题目】已知双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点为$F$、$P$是双曲线$C$的左支上一点，$M(0,2)$，则$\triangle P F M$周长最小值为?
【解析】\becauseF(2,0),M(0,2)\therefore|FM|=2\sqrt{2},\trianglePFM周长最小,即PM+PF最小,设左焦点为F_{1},由双曲线的定义可得PM+PF=PM+2+PF_{1},而PM+PF_{1}的最小值为MF_{1}=2\sqrt{2},\thereforePM+2+PF_{1}的最小值为2+4\sqrt{2},故填2+4\sqrt{2}.
【题目】已知$P(x_{1}, y_{1})$ , $Q(x_{2}, y_{2})$是抛物线$y^{2}=4 x$上两点，且$x_{1}+x_{2}+2=\frac{2}{3} \sqrt{3}|P Q|$ , $F$为焦点，则$\angle P F Q$最大值为?
【解析】由题得,x_{1}+x_{2}+2=x_{1}+1+x_{2}+1=|PF|+|QF|=\frac{2}{3}\sqrt{3}|PQ|,即|PQ|=\frac{\sqrt{3}}{2}(|PF|+|QF|)故_{\cos\anglePFQ}=\frac{|PF|^{2}+}{2|P}|OF|^{2}-|PO|^{2}\underline{|PF|}=\frac{|PF|^{2}+|QF|^{2}-\frac{3}{4}(|PF|+|QF|)^{2}}{|PF|}-|QF|即\cos\anglePFQ\geqslant-\frac{1}{2}.因为\anglePFQ\in(0,\pi).且余弦函数在(0,\pi)内单调递减故\anglePFQ\leqslant\frac{2\pi}{3}.当且仅当|PF|=|QF|时成立.
【题目】抛物线$y^{2}=2 x$上点$P$到直线$x-y+3=0$上距离最短的点的坐标为?
【解析】
【题目】已知$P$为双曲线$3 x^{2}-5 y^{2}=15$上的点,$F_{1}$, $F_{2}$为其两个焦点,且$\triangle F_{1} PF_{2}$的面积是$3 \sqrt{3}$, 则$\angle F_{1} PF_{2}$的大小为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线的右支上，且$|P F_{1}|=4|P F_{2}|$, 则此双曲线的离心率$e$的最大值为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$上$A$、$B$两点满足$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$，过坐标原点$O$向直线$A B$引垂线，垂足为$P$，则$\triangle O F P$($F$为抛物线的焦点) 面积的最大值为?
【解析】依题意,设A(\frac{y^{2}}{8},y_{1}),B(\frac{y_{2}^{2}}{8},y_{2})(y_{1}y_{2}\neq0),由\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0得:\frac{y^{2}y_{2}^{2}}{64}+y_{1}y_{2}=0^{,}解得y_{1}y_{2}=-64,设直线AB上任意点M(x,y),则\overrightarrow{AM}//\overrightarrow{AB},而\overrightarrow{AM}=(x-\frac{y^{8}}{8},y-y),\overrightarrow{AB}=(\frac{y_{2}^{2}-y_{1}^{2}}{8},y_{2}-y_{1}于是得:(x-\frac{y^{2}}{8})(y_{2}-y_{1})-(y-y_{1}(\frac{y_{2}^{2}-y_{1}^{2}}{8})=0^{,}又y_{1}\neqy_{2},化简整理得:x-8-\frac{y_{1}+y_{2}}{8}y=0'因此,直线AB方程为:x-8-\frac{y_{1}+y_{2}}{8}y=0,该直线恒过定点Q(8,0),又OP\botAB于点P则点P的轨迹是以OQ为直径的圆(除原点O外),从而得点P到x轴距离最大值为圆的半径4,又焦点F(2,0),所以\triangleOFP面积的最大值为S=\frac{1}{2}\times2\times4=4
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与$3 x+y-4=0$平行，则$C$的离心率为?
【解析】由题意知:-\frac{b}{a}=-3,则C的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{10}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点，$P Q$是过焦点$F_{1}$那么$|P F_{2}|+|Q F_{2}|-| P Q|$的值是?
【解析】
【题目】已知焦点在$x$轴上的双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm x$，则该双曲线的离心率为?
【解析】已知双曲线的焦点在x轴上设双曲线的方程为:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),则双曲线C的渐近线方程为:y=\pm\frac{b}{a}x'又因为双曲线C的渐近线方程为y=\pmx,所以\frac{b}{a}=1,双曲线的离心率为e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{2}
【题目】若点$M$到点$F(4,0)$的距离比它到定直线$x+5=0$的距离小$1$，则点$M$满足的方程为?
【解析】点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离少1.所以点P到点F(4,0)的距离与到直线x+4=0的距离相等所以其轨迹为抛物线,焦点为F(4,0),准线为x+4=0,所以方程为y2=16x
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$, $F_{2}$, 弦$A B$过点$F_{1}$, 若$\triangle A B F_{2}$的内切圆周长为$\pi$, $A$, $B$两点的坐标分别为$(x_{1} , y_{1})$，$(x_{2} , y_{2})$，则$|y_{1}-y_{2}|$=?
【解析】由题意作图辅助,易知\triangleABF_{2}的内切圆的半径长r=\frac{1}{2},从而借助三角形的面积,利用等面积法求解即可.由题意作图如下\therefore\triangleABF_{2}的内切圆的半径长r=\frac{1}{2},又\because\triangleABF_{2}的周长1=4a=16,故S_{\triangleABF}=\frac{1}{2}\times16\times\frac{1}{2}=4,且S_{\triangleABF}=\frac{1}{2}\times|F_{1}F_{2}|\times|y_{1}\cdoty_{2}|=3|y_{1}\cdoty_{2}|故|y_{1}\cdoty_{2}|=\frac{4}{3}
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$的右焦点为$F$，过原点的直线与椭圆$C$交于两点$A$、$B$，则$\triangle A B F$的面积的最大值为?
【解析】在椭圆C中,a=2\sqrt{2},b=2,则c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2,则F(2,0)由题意可知,A、B关于原点对称,当A、B为椭圆C短轴的端点时,\triangleABF的面积取得最大值,且最大值为\frac{1}{3}\timesc\times2b=4均终安为.4
【题目】点$F$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，点$P$在抛物线$C$上，若$|PF|=5$，则点$P$的坐标为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的两个焦点，$P$为椭圆$C$上的一点，且$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$,若$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为$9$，则$b$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点$F_{1}(-2 \sqrt{5}, 0)$，右焦点$F_{2}(2 \sqrt{5}, 0)$，离心率$e=\frac{\sqrt{5}}{2}$. 若点$P$为双曲线$C$右支上一点，则$|P F_{1}|-|P F_{2}|$=?
【解析】由题意c=2\sqrt{5},e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2},\thereforea=4,|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=8.
【题目】已知点$P$在直线$x+y+5=0$上，点$Q$在抛物线$y^{2}=2 x$上，则$P Q$的最小值等于?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点$P$到一个焦点的距离为$7$，则$P$到另一个焦点的距离是?
【解析】由椭圆\frac{x2}{25}+\frac{y2}{16}=1,可知a=5.由椭圆的定义可知椭圆上的点到两个焦点的距离和为2a=10.点P到一个焦点的距离为7,则P到另一个焦点的距离是10-7=3
【题目】已知方程$x^{2} +\frac {y^{2}}{m}=1$表示的曲线是焦点在$y$轴上且离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆，则$m$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，若存在过原点的直线交椭圆于$A$、$B$两点，且$A F \perp B F$，则椭圆的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$2 x^{2}+3 y^{2}=6$，则$|x|+\sqrt {3} y$的最大值$M$=?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{13-m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1$的焦距为$6$，则$m$=?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{13-m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1的焦距为6即c=3,椭圆\frac{x^{2}}{13-m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1的焦点可能在x轴上或在y轴上,当焦点在x轴上时c^{2}=13-m-(m-2)=9解得m=3;当焦点在y轴上时c^{2}=(m-2)-(13-m)=9,解得m=12,综上m=3或12
【题目】如果椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$的弦被点$(4 , 2)$平分，则这条弦所在的直线方程是?
【解析】设弦为AB,且A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),代入椭圆方程得\frac{x_{1}^{2}}{36}+\frac{y_{1}^{2}}{9}=1,\frac{x^{2}}{36}+\frac{y_{2}^{2}}{9}=1'两式作差并化简得\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y}=-\frac{1}{2},即弦的斜率为-\frac{1}{2},由点斜式得y-2=-\frac{1}{2}(x-4),化简得v=-0.5x+4.
【题目】过点$P(-2,-4)$的抛物线的标准方程为?
【解析】由于P(-2,-4)在第三象限,抛物线开口向左或者向下.当抛物线开口向下时,设抛物线方程为y^{2}=-2px,代入P点坐标得16=-2p\times(-2),p=4,抛物线方程为y^{2}=-8x.当抛物线开口向下时,设抛物线的方程为x^{2}=-2py,代入P点坐标得4=-2p\times(-4),p=\frac{1}{2},所以抛物线方程为x^{2}=-y.综上所述,抛物线的方程为y^{2}=-8x或x^{2}=-y的有
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$M$到左焦点$F_{1}$的距离为$2$ , $N$是$M F_{1}$的中点，则$|O N|$等于?
【解析】根据椭圆的定义:|MF_{1}|+|MF_{2}|=10,所以|MF_{2}|=8,N是MF_{1}中点,o是F_{1}F_{2}的中点,所以ON=\frac{1}{2}|MF_{2}|=4.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$的两个焦点，$P$是椭圆$E$上任一点，则$\overrightarrow{F_{1} P} \cdot \overrightarrow{F_{2} P}$的取值范围是?
【解析】由a^{2}=4,b^{2}=2,解得:c^{2}=a^{2}-b^{2}=2,所以c=\sqrt{2},不妨令F_{1}(-\sqrt{2},0),F_{2}(\sqrt{2},0),因为P是椭圆E上任一设点,设P(m,n)(-\sqrt{2}\leqslantn\leqslant\sqrt{2}),则\frac{m^{2}}{4}+\frac{n^{2}}{2}=1,即m^{2}=4-2n^{2},其中\overrightarrow{F_{1}P}\cdot\overrightarrow{F_{2}P}=(m+\sqrt{2},n)\cdot(m-\sqrt{2},n)=m^{2}-2+n^{2}=2-n^{2},因为-\sqrt{2}\leqslantn\leqslant\sqrt{2},所以0\leqslantn^{2}\leqslant2,0\leqslant2-n^{2}\leqslant2,所以\overrightarrow{F_{1}P}\cdot\overrightarrow{F_{2}P}的取值范围是[0,2].
【题目】直线$y=\sqrt{3} x$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线，双曲线的离心率是?
【解析】分析:利用双曲线的渐近线方程,推出a,b的关系,然后求解双曲线的离心率即可详双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的一条渐近线方程为y=\sqrt{3}x,可得\frac{b}{a}=\sqrt{3},即\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=3解得e=2.
【题目】直线$y=2 x$与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$无交点，则该双曲线离心率的最大值为?
【解析】
【题目】过点$M(-6,3)$且和双曲线$x^{2}-2 y^{2}=2$有相同的渐近线的双曲线方程为?
【解析】设双曲线方程为:x^{2}-2y^{2}=\lambda,双曲线过点M(-6,3)则:\lambda=x^{2}-2y^{2}=36-2\times9=18,故双曲线方程为:x^{2}-2y^{2}=18,即\frac{x^{2}}{18}-\frac{y^{2}}{9}=1睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}=\lambda(\lambda\neq0),再由条件求出2的值即可
【题目】设直线$x-3 y+m=0(m \neq 0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两条渐近线分别交于点$A$、$B$，若点$P(m, 0)$满足$|P A|=|P B|$，则该双曲线的离心率是?
【解析】由双曲线的方程可知,渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x'分别与x-3y+m=0(m\neq0)联立,解因为点P(m,0)满足|PA|=|PB|,所以\frac{3mb}{\frac{3b^{2}-a}{a^{2}}-0}=-3,所以a=2b,所以c=\sqrt{5}b,所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$有共同的渐近线，并且经过点$(2, \sqrt{5})$的双曲线方程是?
【解析】设与双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1有共同的渐近线的双曲线的方程为x^{2}-4y^{2}=\lambda,\because该双曲线经过点(2,\sqrt{5}),\therefore\lambda=4-4\times5=-16.\therefore所求的双曲线方程为:x2-4y2=-16整理得\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{16}=1
【题目】点$M$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$上任意点，则点$M$到直线$x+y-7=0$的距离的最大值为?
【解析】设与直线x+y-7=0平行的直线x+y=m与椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1相切,联立\begin{cases}\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1\\x+y=m\end{cases}得,25x^{2}-18mx+9m^{2}-144=0,则A=(18k)^{2}-4\times25\times(9k^{2}-144)=0,解得k=5或k=-5,由椭圆和x+y-7=0的位置关系,取离直线x+y-7=0远的切线x+y=5.此时切点M是椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1上到直线x+y-7=0的距离最大的点,等于两平行直线的距离d=\frac{|5+7|}{\sqrt{2}+1^{2}}=6\sqrt{2}
【题目】已知点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的一点，且以$P$两焦点为顶点的三角形的面积为$2 \sqrt{5}$，求点$P$的坐标?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$上任一点到定直线$l$: $x=-1$的距离与它到定点$F$的距离相等，则该定点$F$的坐标为?
【解析】因为2p=4,所以p=2,可得\frac{p}{2}=1,故焦点坐标为(1,0),即定点的坐标为(1,0)
【题目】若双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$的一个焦点与抛物线$y^{2}=8 x$的焦点重合，则$m$的值为?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{16-m}+\frac{y^{2}}{m+4}=1$表示椭圆，则实数$m$的取值范围为?
【解析】因为方程\frac{x^{2}}{16-m}+\frac{y2}{m+4}=1表示椭圆,所以\begin{cases}16-m>0\\m+4>0\end{cases}16-m\neqm+4解得-4<m<16且m\neq6.所以实数m的取值范围为(-4,6)\cup(6,16).
【题目】设点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$与圆$x^{2}+y^{2}=3 b^{2}$的一个交点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆的左、右焦点，且$|P F_{1}|=3|P F_{2}|$，则椭圆的离心率为?
【解析】由题意设PO=x,\anglePOF_{1}=\theta,在\trianglePOF_{1}与\trianglePOF_{2}中分别用余弦定理得\cos\theta=\frac{c^{2}+x^{2}-(\frac{3a}{2})^{2}}{2\timesc\timesx}\textcircled{1},-\cos\theta=\frac{c^{2}+x^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}{2\timesc\timesx}\textcircled{2},由\textcircled{1}\textcircled{2}解得x^{2}=\frac{5a^{2}}{4}-c^{2}=3b^{2}所以\frac{7a^{2}}{4}-2c^{2}=0,故e=\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{14}}{4}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，点$P$在椭圆上，若线段$P F_{1}$的中点在$y$轴上，则$|P F_{1}|$=?
【解析】设P(x_{p},y_{p}),中点m(0,n).由题意得F_{1}(\sqrt{7},0),F_{2}(-\sqrt{7},0),a=4,e=\frac{\sqrt{7}}{4}由线段PF的中点在y轴上则有\frac{x_{p}+\sqrt{7}}{2}=0'x_{p}=-\sqrt{7},代入\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1中得P点坐标为(-\sqrt{7}\frac{9}{4})或(-\sqrt{7},-\frac{9}{4})根据焦半径公式可得,|PF_{1}|=\frac{23}{4},|PF_{2}|=\frac{9}{4}\frac{|PF_{1}|}{|PF_{1}}=\frac{23}{9}|PF_{2}|
【题目】两个焦点的坐标分别是$(-4 , 0)$ ,$(4 , 0)$，椭圆上一点$P$到两焦点的距离的和等于$10$的椭圆标准方程为?
【解析】
【题目】已知两定点$P_{1}(1,0)$, $P_{2}(4,0)$，则到点$P_{2}$距离等于到点$P_{1}$的距离的$2$倍的动点$Q$的轨迹方程为?
【解析】设动点Q的坐标为(x,y)\thereforeP_{2}Q=2P_{1}Q即2\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}},整理可得:x^{2}+y^{2}=4即动点Q的轨迹方程为:x^{2}+y^{2}=4
【题目】焦点在$y$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，则$m$=?
【解析】由已知可知a^{2}=m,b^{2}=3,\thereforec^{2}=a^{2}-b^{2}=m-3.\becausee=\frac{c}{a}=\frac{1}{2},\thereforee^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{m-3}{m}=1-\frac{3}{m}=\frac{1}{4}\cdotsm=4
【题目】若双曲线$3 x^{2}-y^{2}=m$的虚轴长为$2$，则实数$m$的值为?
【解析】分别讨论m>0,m<0两种情况,根据双曲线的虚轴长,即可得出结果因为双曲线3x^{2}-y^{2}=m的虚轴长为2,\textcircled{1}当m>0时,双曲线方程可化为\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{m}=1,有\sqrt{m}=1,得m=1;\textcircled{2}当m<0时,双曲线方程可以化为\frac{y^{2}}{m}-\frac{x^{2}}{-\frac{m}{3}}=1,得m=-3;故实数m的取值为-3或1
【题目】已知过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$右焦点且倾斜角为$45^{\circ}$的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是?
【解析】因为过双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)右焦点且倾斜角为45的直线与双曲线右支有两个交点,所以双曲线的渐进线y=\frac{b}{a}x的倾斜角小于45^{\circ},所以\frac{b}{a}<1,即b^{2}<a^{2},c^{2}-a^{2}<a^{2},解得1<e<\sqrt{2}
【题目】过抛物线$y=\frac{1}{4} x^{2}$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1} , y_{1})$, $B(x_{2} , y_{2})$两点，若$y_{1}+y_{2}=2 \sqrt {2}$，则弦长$|AB|$的值为?
【解析】
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{n+1}+\frac{y^{2}}{n+5}=1$表示椭圆，则该椭圆的焦点坐标为?
【解析】由题意n+5>n+1知焦点在y轴上因为n+5-n-1=4,所以椭圆的焦点坐标为(0,\pm2)
【题目】已知椭圆$C$的标准方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，若过点$P(2,1)$的直线$l$与椭圆$C$在第一象限相切于点$M$，则点$M$的坐标为?
【解析】当切点在第一象限时,斜率存在且不为0,设切线的方程为:y=kx+m,k<0,由于过P点可得:1=2k+m,\textcircled{1}联立直线l与椭圆的方程\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases},整理可得:(3+4k^{2})x^{2}+8kmx+4m^{2}-12=0则\triangle=(8mk)^{2}-4(3+4k^{2})(4m^{2}-12)=0,可得m^{2}=3+4k^{2}\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}可得:k=-\frac{1}{2},m=2,所以切线方程为:y=-\frac{1}{2}x+2;可得整理的方程为:x^{2}-2x+1=0,解得x=1,代入切线的方程可得y=\frac{3}{2}即切点M(1,\frac{3}{2}),所以直线l的方程为:y=-\frac{1}{2}x+2,切点M的坐标(1,\frac{3}{2})
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{3+k}+\frac{y^{2}}{2-k}=1$表示椭圆，则实数$k$的取值范围为?
【解析】
【题目】若双曲线$x^{2}-y^{2}=1$上的右支上一点$P(a, b)$到直线$y=x$的距离为$\sqrt{2}$，则$a+b$的值为?
【解析】由点P(a,b)在双曲线上,则a^{2}-b^{2}=1,即(a+b)(a-b)=1,又点P到直线y=x的距离d=\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},所以|a-b|=2,又点P在右支上,则a>b,所以a-b=2,所以(a+b)\times2=1,所以a+b=\frac{1}{2}
【题目】抛物线$y^{2}=2 x$上的动点$P$到直线$y=2 x+1$的距离最小值是?
【解析】由于点P在抛物线y^{2}=2x上,故可设为P(\frac{y_{0}^{2}}{2}该点到直线y=2x+1的距离为\frac{|y_{0}^{2}-y_{0}+1|}{\sqrt{5}}=当y_{0}=\frac{1}{2}时,取得最小值为\frac{3\sqrt{5}}{20},
【题目】已知$F$是椭圆$C$的一个焦点，$B$是短轴的一个端点，线段$BF$的延长线交$C$于点$D$，且$\overrightarrow{B F}=2 \overrightarrow{F D}$，则$C$的离心率为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$的左、右焦点，点$P$在$C$上，$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则$\cos \angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】根据双曲线的定义得|PF_{1}|-|PF_{2}|=2\sqrt{2},结合题设条件得出|PF_{1}|,|PF_{2}|,由余弦定理即可得出\cos\angleF_{1}PF_{2}.由题意可得,\begin{cases}\\|PF_{1}|-|PF_{2}|=2\sqrt{2},|PF|=2|PF_{2}|,解得:|PF_{1}|=4\sqrt{2},|PF_{2}|=2\sqrt{2}因为|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{2+2}=4,所以\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}}{2|PF_{1}\cdot|PF_{2}|}=\frac{32+8-16}{2\times4\sqrt{2}\times2,b}=\frac{3}{4}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{8}-y^{2}=1$有公共的焦点，则$b$=?
【解析】由题意得两条曲线的c^{2}值相等,\therefore25-b^{2}=8+1,求得b^{2}=16,又因为b>0,则b=4
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$M(-\frac{p}{2}, 0)$，过点$F$的直线与此抛物线交于$A$、$B$两点，若$|A B|=12$  且$\tan \angle A M B=2 \sqrt{2}$，则$p$=?
【解析】设直线AB:x=my+\frac{p}{2},设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立\begin{cases}x=my+\frac{p}{2}\\y2=2px\end{cases},整理可得:y^{2}-2mpy-p^{2}=0,可得y_{1}+y_{2}=2mp,y_{1}y_{2}=-p^{2},所以k_{AM}+k_{BM}==\frac{y_{1}(my_{2}+p)+y_{2}(my_{1}+l}{(mv+p)(mv_{0}+P)}(my_{1}+p)(my_{2}+P)\frac{y_{2}}{+\frac{P}{2my_{1}y_{2}+p(y_{1}y_{2})}}{(my_{1})}p)(my_{2}+p)=\frac{2m\cdot(-p)+p\cdot(2mp)}{(my_{1}p)(my_{2}+p)}=0,所以可得\angleAMF=\angleBMF,所以\tan\angleAMB=\frac{1}{1}\frac{2}{1-\tan^{2}\angleAMF}=2\sqrt{2},又\angleAMF为锐角,解得_{\tan\angleAMF}=\frac{\sqrt{2}}{2},设AF>BF,如图作AH\botx轴交于H,由题意可得M在抛物线的准线上,作准线l,作AA\botl,垂足为A,则_{\tan\angleAMF}=\frac{AH}{MH}=\frac{AH}{AA}=\frac{AH}{AF}=\sin\angleAFH=\frac{\sqrt{2}}{2}所以\angleAFH=\frac{\pi}{4},所以m=1,所以|AB|=\sqrt{1+m^{2}}|y_{1}-y_{2}|=\sqrt{(1+m^{2})[(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}]=4p=12,所以p=3.
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点为$F$，点$P(x_{0}, \frac{1}{2})$在$C$上，且$|P F|=\frac{3}{4}$，则$p$=?
【解析】由焦半径公式,|PF|=y_{0}+\frac{p}{2}=\frac{1}{2}+\frac{p}{2}=\frac{3}{4},解得p=\frac{1}{2}
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，过$F$作与$x$轴垂直的直线交抛物线于$A$、$B$两点，若$|A B|=3$，则$p$=?
【解析】因为过焦点F作与x轴垂直的直线交抛物线于A,B两点,所以AB为通径,即2p=3,解得p=\frac{3}{7}.
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左，右焦点，$P$为椭圆上一点，$M$是$F_{1} P$的中点，$|O M|=3$，则$P$点到椭圆左焦点的距离为?
【解析】根据题意知,OM是\trianglePF_{1}F_{2}中位线,\becauseOM=3,\therefore|PF_{2}|=6,\becausePF\bot|PF_{2}|=2a=10,\therefore|PF|=4.
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (0<b<1)$的左、右焦点，过$F_{1}$斜率为$1$的直线与椭圆相交于$A$、$B$两点，且$|A B|=\frac{4}{3}$，则$b$的值为?
【解析】通过椭圆方程可求点F_{1}的坐标,又过F_{1}的直线l的斜率为1可以求得直线1的方程,联立直线l与椭圆方程,利用两点间距离公式计算即得b的值详解】依题意,F_{1}(-\sqrt{1-b^{2}},0),F_{2}(\sqrt{1-b^{2}},0)\because过F_{1}的直线l的斜率为1,\therefore直线l的方程为:y=x+\sqrt{1-b^{2}},设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立直线l与椭圆方程,消去y整理得:(1+b^{2})x^{2}+2\sqrt{1-b^{2}}x+1-2b^{2}=0,\frac{\sqrt{3}}{2}解得:b=\sqrt{2}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$焦点$F$恰好是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的右焦点，且双曲线过点$(\frac{3 a^{2}}{p}, \frac{2 b^{2}}{p})$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左. 右焦点，点$P$在双曲线上，若$P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ , $\angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$，则双曲线的离心率为?
【解析】不妨假设点P在双曲线右支上,则|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a30^{\circ},故|PF_{1}|=2|PF_{2}|.故|PF_{1}|=4a,|PF_{2}|=2a,而\tan\anglePF_{1}F_{2}=\frac{|PF_{2}|}{|F_{1}F_{2}|}=\frac{2a}{2c}=\frac{\sqrt{3}}{3}故e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}
【题目】已知点$P(-3,3)$，过点$M(3,0)$作直线，与抛物线$y^{2}=4 x$相交于$A$、$B$两点，设直线$P A$ , $P B$的斜率分别为$k_{1}$ , $k_{2}$，则$k_{1}+k_{2}$=?
【解析】
【题目】已知$a>b>0$，椭圆$C_{1}$的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$，双曲线$C_{2}$的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , $C_{1}$与$C_{2}$的离心率之积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$C_{2}$的渐近线方程为?
【解析】解析:椭圆C_{1}的离心率为\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a},双曲线C_{2}的离心率为\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}所以\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cdot\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},即a^{4}=4b^{4},所以a=\sqrt{2}b,所以双曲线C_{2}的渐近线方程是y=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}x,即x+\sqrt{2}y=0.
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F(1,0)$，直线$l$: $y=x+m$与抛物线交于不同的两点$A$、$B$. 若$0 \leq m<1$，则$\Delta F A B$的面积的最大值是?
【解析】由于抛物线的焦点为(1,0),故p=2,抛物线方程为y^{2}=4x,联立\begin{cases}y=x+m\\y2=4x\end{cases}得x^{2}+(2m-4)x+m^{2}=0,x_{1}+x_{2}=4-2m,x_{1}\cdotx_{2}=m^{2}.由于直线和抛物线有两个交点,故判别式A=(2m-4)^{2}-4m^{2}>0,解得m<1.由弦长公式得|AB|=\sqrt{1+1}\sqrt{(4-2m)^{2}-4m^{2}}=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{1-m}.焦点(1,0)到直线x-y+m=0的距离为d=\frac{|1+m|}{\sqrt{2}}.故三角形FAB的面积为\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}\cdot\sqrt{1-mm\cdot\frac{|1+m|}{\sqrt{1-m}}\cdot|1+m|,由于0\leqslantm<1,故上式可化为2\sqrt{(1-m)(1+}m)^{2}=2\sqrt{-m^{3}}m^{2}+m+1\cdot令f(m)=-m^{3}-m^{2}+m+1(0\leqslantm<1),f^{'}(m)=-3m^{2}-2m+1=-(3m-1)(m+1),故当m\in(0,\frac{1}{3})时,函数递增,当m\in(\frac{1}{3},1)时,函数递减,故当m=\frac{1}{3}时取得最大值,此时
【题目】设椭圆标准方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$，则该椭圆的离心率为?
【解析】在椭圆\frac{x2}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1中,a=5,b=4,则c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3因此,该椭圆的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}
【题目】双曲线$x^{2}+ky^{2}=1$的一条渐近线的斜率是$2$，则$k$的值为?
【解析】由题意k<0,渐近线为x\pm\sqrt{-k}y=0,所以\frac{1}{\sqrt{-k}}=2,解得k=-\frac{1}{4}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$且满足$a \leq \sqrt{3}$，若离心率为$e$，则$e^{2}+\frac{1}{e^{2}}$的最小值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b<0)$的右顶点、右焦点分别为$A$、$F$，它的左准线与$x$轴的交点为$B$，若$A$是线段$B F$的中点，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】点$P(a , b)$是双曲线$x^{2}-y^{2}=1$右支上一点，且$P$到渐近线距离为$\sqrt{2}$，则$a+b$=?
【解析】
【题目】长为$3$的线段$A B$的端点$A$ , $B$分别在$x$ , $y$轴上移动，动点$C(x , y)$满足$\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}$，则动点$C$的轨迹方程是?
【解析】
【题目】已知直线$y=x+m$被椭圆$4 x^{2}+y^{2}=1$截得的弦长为$\frac{2 \sqrt{2}}{5}$，则$m$的值为?
【解析】由把直线y=x+m代入椭圆方程得:4x^{2}+y^{2}=1即:5x^{2}+2mx+m^{2}-1=0,设该直线与椭圆相交于两点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则x_{1},x_{2}是方程5x^{2}+2mx+m^{2}-1=0的两根,由韦达人\frac{2}{2}=\frac{2m}{5},x_{1}x_{2}=\frac{m^{2}-1}{5},\therefore|AB|=\sqrt{2}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{\frac{4m^{2-4}}{5}=\frac{2\sqrt{2}}{5}\thereforem\pm\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】两定点$A(-2,0)$ , $B(2,0)$及定直线$l$: $x=\frac{10}{3}$，点$P$是$l$上一个动点，过$B$作$B P$的垂线与$A P$交于点$Q$，则点$Q$的轨迹方程为?
【解析】设P(\frac{10}{3},y_{1}),若y_{1}=0,则BP:x=0,BP的斜率为0,此时过B作BP的垂线与AP交于点Q,所以点Q的坐标为(2,0);若y_{1}\neq0,则k_{BP}=\frac{y_{1}}{\frac{10}{3}-2}=\frac{3y_{1}}{4}\neq0,所以过B作BP的垂线斜率为\frac{-1}{\frac{3y_{1}}{4}}=-\frac{4}{3y_{1}},而k_{AP}=\frac{y_{1}}{\frac{10}{3}+2}=\frac{3y_{1}}{16}\neq0.设Q(x,y)(x\neq\pm2),k_{BQ}=\frac{y}{x-2},k_{AQ}=\frac{y}{x+2}根据A,Q,P三点共线,以及AQ\botBQ可得\frac{3y}{16}=\frac{y}{x+2},\frac{3y}{4}.\frac{y}{x-2}=-1'所以4y^{2}=4-x^{2}\Rightarrow\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,综上,点Q的轨迹方程为\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1(x\neq-2)
【题目】已知点$Q(-2 \sqrt{2} , 0)$及抛物线$x^{2}=-4 y$上一动点$P(x , y)$，则$|y|+| P Q |$的最小值为?
【解析】抛物线焦点F(0,-1),抛物线的准线方程为y=1,则|y|+|PQ|=d-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1\geqslant|QF|1,计算得到答案.如图,抛物线焦点F(0,-1),抛物线的准线方程为y=1设点P到准线距离为d,则|y|+|PQ|=d-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1\geqslant|QF|-1=\sqrt{8+}当PQF三点共线时等号成立,所以|y|+|PQ|的最小值为2.
【题目】设斜率为$1$的直线$l$过抛物线$y^{2}=a x(a>0)$的焦点$F$，且和$y$轴交于点$A$，若$\triangle O A F$（$O$为坐标原点）的面积为$8$，则$a$的值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{1}$的直线$l$与双曲线$C$的左支交于$A$、$B$两点，$\triangle B F_{1} F_{2}$的面积是$\triangle A F_{1} F_{2}$面积的三倍，$\angle F_{1} A F_{2}=90^{\circ}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】由\triangleBF_{1}F_{2}的面积是\triangleAF_{1}F_{2}面积的三倍,\angleF_{1}AF_{2}=90^{\circ},可得\frac{|AF_{1}|}{|AB|}=\frac{1}{4}设|AF_{1}|=m,|BF_{1}|=3m,则|AF_{2}|=m+2a,|BF_{2}|=3m+2a由|AB|^{2}+|AF_{2}|^{2}=|BF_{2}|^{2},解得m=a,则|AF_{1}|=a,|AF_{2}|=3a,再由|AF_{1}|^{2}+|AF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}得10a^{2}=4c^{2}所以双曲线C的离心率e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}
【题目】点$M(1,1)$到抛物线$y=a x^{2}$的准线的距离是$2$, 则$a$=?
【解析】由抛物线的标准方程:x^{2}=\frac{1}{a}y,则抛物线的焦点坐标(0,\frac{1}{4a})准线方程:y=-\frac{1}{4a},由M(1,1)到抛物线y=ax^{2}的准线的距离是2,则|1-(-\frac{1}{4a})|=2,解得:a=\frac{1}{4}或a=-\frac{1}{12}a=\frac{1}{4}或a=-\frac{1}{1}
【题目】圆心在抛物线$y=\frac{1}{2} x^{2}$上, 并且和该抛物线的准线及$y$轴都相切的圆的标准方程为?
【解析】\because圆心在抛物线y=\frac{1}{2}x^{2}\therefore设P(t,\frac{1}{2}t^{2})为圆心,且准线方程为y=-\frac{1}{2}\because与抛物线的准线及y轴相切,\therefore|t|=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{2}\thereforet=\pm1.\therefore圆的标准方程为(x\pm1)^{2}+(y-\frac{1}{2})^{2}=1
【题目】以抛物线$y=\frac{1}{4} x^{2}$的焦点为圆心，且与双曲线$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$的一条渐近线相切的圆的方程?
【解析】由题意知,抛物线x^{2}=4y,所以焦点坐标为(0,1)又双曲线\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1的渐近线方程为y=\pm2x,不妨取y=2x,即2x-y=0设圆的半径为r,由题意得r=\frac{|2\times0-1|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5}所以圆的方程为:x^{2}+(y-1)^{2}=\frac{1}{5}.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{k}=1$的离心率为$\frac{2}{3}$，则实数$k$=?
【解析】由题意可得\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9},对椭圆的焦点位置进行分类讨论,可得出关于实数k的等式,由此可求得实数k的取值范围.作解】因为e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4}{9},可得\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9}.若椭圆的焦点在x轴上,则\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{k}{4}=\frac{5}{9},解得k=\frac{20}{9}若椭圆的焦点在y轴上,则\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{4}{k}=\frac{5}{9},解得k=\frac{36}{5}综上所述,k=\frac{20}{9}或\frac{36}{5}
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左. 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$.已知点$M(0, \frac{\sqrt{15}}{2} b)$，线段$M F_{2}$交椭圆于点$P$、$O$为坐标原点若$|P O|+|P F_{1}|=2 a$ ,则该椭圆的离心率为?
【解析】根据椭圆定义知|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a,又\because|PO|+|PF_{1}|=2a,\therefore|PF_{2}|=|PO|,由三角形MOF_{2}为直角三角形可得点P是MF_{2}的中点,\becauseF_{2}(c,0),\thereforeP(\frac{c}{2},\frac{\sqrt{15}b}{4})'把点P代入椭圆方程中得\frac{(c}{a^{2}}+\frac{\sqrt{15}b}{b^{2}}=1\Rightarrow\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}\Rightarrowe=\frac{1}{2}
【题目】设$F_{1}$和$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在双曲线上，且满足$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$，则$\triangle F_{1} P F_{2}$的面积是?
【解析】
【题目】已知$A B$为圆$O$: $x^{2}+y^{2}=1$的直径，点$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一动点，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$的最小值为?
【解析】方法一:依据对称性,不妨设直径AB在x轴上,P(2\cosx,\sqrt{3}\sinx),A(-1,0),B(1,0)从而\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(2\cosx-1)(2\cosx+1)+3\sin^{2}x=2+\cos^{2}x\geqslant2
【题目】设抛物线$y^{2}=8 x$，过焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，线段$A B$的中点的横坐标为$2$，则$|A B|$=?
【解析】由抛物线方程可知其准线方程为x=-2,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=2,即x_{1}+x_{2}=4.由抛物线的定义可知|AF|=x_{1}+2,|BF|=x_{2}+2,所以|AB|=|AF|+|BF|=(x_{1}+2)+(x_{2}+2)=(x_{1}+x_{2})+4=8.
【题目】以双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点$F$为圆心，半焦距为半径作圆，与双曲线的渐近线交于$O$、$A$、$B$三点. 若$\triangle A O B$的周长为$7 a$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】\because双曲线的一个焦点为F(c,0),双曲线的一条渐近线为y=\frac{b}{a}x,即bx\cdotay=0,\therefore焦点到渐近线的距离d=\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bc}{c}=b所以圆心到渐近线的距离为b,因为圆的半径为c,所以|OA|=2\sqrt{c^{2}-b^{2}}=2a,同理|OB|=2a因为\tan\angleAOx=\frac{b}{a},所以\sin\angleAOx=\frac{b}{c},所以|AB|=2|OA|\sin\angleAOx=2\times2a\times\frac{b}{c}=\frac{4ab}{c}所以2a+2a+\frac{4ab}{c}=7a,得4b=3c,所以16(c^{2}-a^{2})=9c^{2},解得e=\frac{c}{a}=\frac{4\sqrt{7}}{7}
【题目】抛物线$y^{2}+8 x=0$的焦点坐标是?
【解析】\because抛物线方程y^{2}=-8x\therefore焦点在x轴,p=4\therefore焦点坐标为(-2,0)
【题目】抛物线$x^{2}=4 y$的弦$A B$过焦点$F$，且$A B$的长为$6$，则$A B$的中点$M$的纵坐标?
【解析】由已知p=2,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则AB|=y_{1}+y_{2}+p=6,y_{1}+y_{2}=4,所以\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=2
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=4 y$的焦点为$F$，直线$A B$与抛物线$C$相交于$A$、$B$两点，若$2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}-3 \overrightarrow{O F}=\overrightarrow{0}$，则弦$A B$的中点到抛物线$C$的准线的距离为?
【解析】依题意得抛物线x^{2}=4y的焦点F(0,1),准线方程是y=-1.\because2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}即2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OF})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OF})=\overrightarrow{0}\therefore2\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0},\thereforeF,A,B三点共线.由题意得直线AB的斜率存在且不为零,设直线AB的方程为y=kx+1(k\neq0),由\begin{cases}y=kx+1\\x^{2}=4y\end{cases},消去y整理得x^{2}-4kx-4=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}x_{2}=-4,\textcircled{1}又由2\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{0}得2x_{1}+x_{2}=0,\textcircled{2}\thereforex^{2}_{1}=2.设弦AB的中点为M,过A,B,M分别作准线的垂线,垂足分别为A_{1},B_{1},M_{1},则|MM_{1}|=\frac{1}{2}(|AA_{1}|+|BB_{1}|)=\frac{1}{2}[(y_{1}+1)+(y_{2}+1)]=\frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})+1=\frac{1}{8}(x_{1}^{2}+x_{2}2)+1=\frac{1}{8}(x_{1}^{2}+\frac{16}{x_{2}})+1=\frac{1}{8}(2+8)+1=\frac{9}{4}数答客为:^{9}
【题目】已知$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为$3 x-y=0$、设$F_{1}$, $F_{2}$分别为双曲线的左、右焦点、若$|P F_{2}|=3$，则$|P F_{1} |$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=1$，点$A(a, 2 a)$, $B(a-2,2 a-4)$，若线段$A B$与椭圆$C$有公共点，则实数$a$的取值范围是?
【解析】由于点A,B均在直线l:y=2x上,联立直线与椭圆\begin{cases}\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{8}=\\y=2x\end{cases}可得l与椭圆C的交点分别为M(1,2),N(-1,-2),且|MN|=|AB|=2\sqrt{5}所以只需点A或点B在线段MN上,均能保证线段AB与椭圆有公共点所以-1\leqslanta\leqslant1或-1\leqslanta-2\leqslant1,解得-1\leqslanta\leqslant3.
【题目】如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为?
【解析】

hbghlyj

【题目】已知点$P$为中心在坐标原点的椭圆$C$上的一点，且椭圆的右焦点为$F_{2}(\sqrt{5}, 0)$，线段$P F_{2}$的垂直平分线为$y=2 x$，则椭圆$C$的方程为?
【解析】点P为中心在坐标原点的椭圆C上的一点,且椭圆的右焦点为F_{2}(\sqrt{5},0),可得c=\sqrt{5}与直线PF_{2}的垂直经过F_{2}的直线方程:y=-\frac{1}{2}(x-\sqrt{5}),x+2y-\sqrt{5}=0,F_{2}到垂直平分线为y=2x的距离为:\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2,原点到直线x+2y-\sqrt{5}=0的距离为:可得a=2+1=3,所以b=2,则椭圆C的方程为\frac{x^{2}}{0}+\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上有三个不同的点$A$、$B$、$C$，抛物线的焦点为$F$，且满足$\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=0$，若边$B C$所在直线的方程为$4 x+y-20=0$，则$p$=?
【解析】由\begin{cases}4x+y-2\\y2=2px\end{cases})=0可得2y^{2}+py-20p=0.由\triangle>0,有p>0,或p<-160.设B(x_{1},y_{1}),C(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=-\frac{p}{2}\thereforex_{1}+x_{2}=(5-\frac{y_{1}}{4})+(5-\frac{y_{2}}{4})=10+\frac{p}{8}.设A(x_{3},y_{3}),抛物线的焦点为F,且满足\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}\therefore(x_{1}-\frac{p}{2},y_{1})+(x_{2}-\frac{p}{2},y_{2})+(x_{3}-\frac{p}{2},y_{3})=0,\thereforex_{1}+x_{2}+x_{3}=\frac{3p}{2}y_{1}+y_{2}+y_{3}=0,\thereforex_{3}=\frac{11}{8}p-10,y_{3}=\because点A在抛物线上,\therefore(\frac{k}{4}^{2}=2p(\frac{11}{8}p-10),\thereforep=8
【题目】抛物线$y=\frac{1}{a} x^{2}(a \neq 0)$的焦点坐标为?
【解析】
【题目】已知$A(3 , 1)$ , $B(-4 , 0)$ , $P$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上的一点，则$P A+P B$的最大值为?
【解析】依题意可知,椭圆a=5,b=3,c=4,故B为椭圆的左焦点,设椭圆的右焦点为F(4,0),根据椭圆的定义,有|PA|+|PB|=|PA|+2a-|PF|=2a+|PA|-|PF|.根据三角形两边的差小于第三边可知|PA|-|PF|\leqslant|AF|,故|PA|+|PB|的最大值为2a+|AF|=10+\sqrt{(3-4)^{2}+}\frac{1}{2}
【题目】抛物线$y=4 x^{2}$的焦点到准线的距离为?
【解析】
【题目】已知$M$、$N$为抛物线$y^{2}=8 x$上两点，$O$为坐标原点，且$\angle M O N=90^{\circ}$，则$|M N|$的最小值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$的两个焦点分别为$F_{1}(-2,0)$ , $F_{2}(2,0)$，离心率为$e=\frac{1}{2}$，点$P$在椭圆$C$上，且$\angle F_{1} P F_{2}=30^{\circ}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】由椭圆定义得|F_{1}P|+|PF_{2}|=8,由余弦定理得\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{|F_{1}P|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}}{2|F_{1}P|\times|PF_{2}|},结合可得|F_{1}P|\times|PF_{2}|的值,从而得答案.由已知得c=2,e=\frac{1}{2},所以a=4,由椭圆定义得|F_{1}P|+|PF_{2}|=2\times4=8,由余弦定理得\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{|F_{1}P|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}}{2|F_{1}P|\times|PF_{2}|}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}即(|F_{1}P|+|PF_{2}|)^{2}-2|F_{1}P|\times|PF_{2}|-16=\sqrt{3}|F_{1}P|\times|PF_{2}|,|F_{1}P|\times|PF_{2}|=\frac{48}{2+\sqrt{3}}则\triangleF_{1}PF_{2}的面积为S=\frac{1}{2}\times|F_{1}P|\times|PF_{2}|\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\times\frac{48}{2+\sqrt{3}}\times\frac{1}{2}=24-12\sqrt{3}.
【题目】过$(3,-6)$且与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$有相同渐近线的双曲线的标准方程为?
【解析】\because与双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1有相同的渐近线,\therefore设双曲线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=2(\lambda\neq0)将(3,-6)代入,可得3^{2}-\frac{(-6)^{2}}{2}=\lambda.\therefore\lambda=-9,\therefore所求双曲线的标准方程是\frac{y^{2}}{18}-\frac{x^{2}}{9}=1.
【题目】若中心在原点，焦点在$y$轴上的双曲线离心率为$\sqrt{3}$，则此双曲线的渐近线方程为?
【解析】设双曲线方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,则其渐近线方程为y=\pm\frac{a}{b}x,\becausee=\sqrt{3},\thereforee^{2}-\frac{b^{2}}{a^{2}}=3-\frac{b^{2}}{a^{2}}=1,解得\frac{b}{a}=\sqrt{2},\therefore\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}\therefore双曲线渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x
【题目】已知$O$为坐标原点，$A(-5,0)$ , $B(5,0)$，点$P$满足$|P A|+|P B|=14$，点$P(x0, y0)$又满足$\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=2$，则点$P$的坐标是?
【解析】由A(-5,0),B(5,0),点P满足|PA|+|PB|=14>|AB|,2a=14,c=5\Rightarrowb^{2}=a^{2}-c^{2}=24由椭圆的定义可得点P在椭圆\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{24}=1上,又点P(x,y)满足\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=2\Rightarrow|PA|-|PB|=2<|AB|,由双曲线的定义可得点P在x^{2}-\frac{y^{2}}{24}=1(x\geqslant1)上,联立椭圆方程与双曲线方程可得y=\pm\frac{24}{5},x=\frac{7}{5}所以点P的坐标是(\frac{7}{5},\pm\frac{24}{5})
【题目】已知$A(-1,0)$, $B(2,0)$, 直线$l$: $x+2 y+a=0$上存在点$M$, 使得$M A^{2}+2 M B^{2}=10$, 则实数$a$的取值范围为?
【解析】设M(x,y),由MA^{2}+2MB^{2}=10得(x+1)^{2}+y^{2}+2[(x-2)^{2}+y^{2}]=10整理得3x^{2}-6x+3y^{2}=1,由题意可得直线l:x+2y+a=0与3x^{2}-6x+3y^{2}=1有交点,联立得15x2-(24-6a)x+3a^{2}-4=0\therefore\Delta=(24-6a)^{2}-60(3a^{2}-4)\geqslant0整理得3a^{2}+6a-17\leqslant0解得-1-\frac{\sqrt[2]{15}}{3}\leqslant\frac{a}{5}\leqslant-1+\frac{2\sqrt{15}}{3}
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线截圆$x^{2}+y^{2}-2 y-1=0$所得弦长为$2$，则抛物线的焦点坐标为?
【解析】抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线为x=-\frac{p}{2}把圆化成标准方程为x^{2}+(y-1)^{2}=2,得圆心M(0,1),半径r=\sqrt{2}圆心到准线的距离为\frac{p}{2},所以(\frac{p}{2})^{2}+(\frac{2}{2})^{2}=(\sqrt{2})^{2},即p=2,所以焦点坐标为(1,0)与】本题考查求抛物线的标准方程中的参数问题进而求焦点坐标,涉及抛物线的准线和圆的弦长问题难弯路易
【题目】椭圆$x^{2}+m y^{2}=1$的焦点在$y$轴上,长轴长是短轴长的两倍,则$m$的值为?
【解析】
【题目】已知点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的一点, 且以$P$及两焦点为顶点的三角形的面积为$2 \sqrt{5}$, 求点$P$的坐标?
【解析】设F_{1}F_{2}是椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1的左、右焦点,则F_{1}(-\sqrt{5},0),F_{2}(\sqrt{5},0)设P(x,y)是椭圆上的点,则\frac{1}{2}\times2\sqrt{5}\times|y|=2\sqrt{5},\thereforey=\pm2,将y=\pm2代入椭圆方程得:\frac{x^{2}}{0}+\frac{2^{2}}{4}=1,\thereforex=0,则点P的坐标为(0,\pm2)b答家为:(0+2)
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$的一条渐近线方程为$3 x-2 y=0$，则$a$的值为?
【解析】
【题目】与双曲线$x^{2}-4 y^{2}=4$有共同的渐近线，并且经过点$(2 , \sqrt {5})$的双曲线方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{5}{12} x$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-x^{2}=1$的渐近线为$y=\pm \sqrt{2} x$，则该双曲线的离心率为?
【解析】设双曲线的焦距为2c.双曲线\frac{y^{2}}{a^{2}}-x^{2}=1得b=1,渐近线方程的斜率为\frac{a}{b}=a=\sqrt{2}c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3},e=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】已知$F_{1}(-1,0)$, $F_{2}(1,0)$是椭圆$C$的两个焦点，过$F_{2}$且垂直于$x$轴的直线交$C$于$A$、$B$两点且$|A B|=3$, 则$C$的方程为?
【解析】依题意设椭圆C的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),由条件可得A(1,\frac{b^{2}}{a}),B(1,-\frac{b^{2}}{a}),因|AB|=\frac{b^{2}}{a}-(-\frac{b^{2}}{a})=\frac{2b^{2}}{a}=3,即2b^{2}=3a,所以\begin{cases}2b^{2}=3a,\\a^{2}-b^{2}=c^{2}=1,\end{cases}解得\begin{cases}a=2,\\b=\sqrt{3},\end{cases}所以椭圆C的方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1.故选C.
【题目】焦点在直线$3 x-4 y-12=0$上的抛物线的标准方程是?
【解析】
【题目】已知抛物线的方程$y=2 x^{2}$，其准线方程为?
【解析】因为抛物线方程为y=2x^{2},化成标准式为x^{2}=\frac{1}{2}y,所以2p=\frac{1}{2}所以其准线方程为y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{8},即y=-\frac{1}{8}
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1  (m<4)$的离心率为$\frac{1}{2}$，则$m$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$的中心在坐标原点，左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，渐近线分别为$l_{1}$, $l_{2}$，过点$F_{2}$且与$l_{1}$垂直的直线分别交$l_{1}$,$l_{2}$于$P$、$Q$两点，且$\overrightarrow{O F_{2}}+\overrightarrow{O Q}=2 \overrightarrow{O P}$，则双曲线的离心率为?
【解析】依题意设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x',右焦点F_{2}(c,0)不妨设l_{1}:y=\frac{b}{a}x,l_{2}:y=-\frac{b}{a}x由于\overrightarrow{OF_{2}}+\overrightarrow{OQ}=2\overrightarrow{OP},所以P是线段QF_{2}的中点由于QF_{2}\botl_{1},所以l_{1}是线段QF_{2}的垂直平均分所以三角形OF_{2}Q是等腰三角形,则|OQ|=|OF_{2}|=c.直线l_{1}的斜率为\frac{b}{a},则直线QF_{2}的斜率为-\frac{a}{b}所以直线QF_{2}的方程为y=-\frac{a}{b}(x-c),由\begin{cases}y=-\frac{a}{b}(x-c)\\v=-\frac{b}{x}\end{cases}解得x_{Q}=\frac{a_{2}c}{a^{2}-b^{2}},y_{Q}=\frac{abc}{b^{2}-a^{2}}则x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2}=c^{2},即(\frac{a_{2}c}{a^{2}-b^{2}})^{2}+(\frac{abc}{b^{2}-a^{2}})^{2}=c^{2},化简得\frac{b^{2}}{a^{2}}=3'所以双曲线的离心率为e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a2}}=2.
【题目】已知点$A(0,2)$及椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上任意一点$P$，则$|P A|$最大值为?
【解析】设P(x_{0},y_{0}),则-2\leqslantx_{0}\leqslant2,-1\leqslanty_{0}\leqslant1\because|PA|^{2}=x_{0}^{2}+(y_{0}-2)^{2}=1\begin{matrix}4&0\\|PA|&=4(1-y_{0}^{2})+(y_{0}^{-2})^{2}=-3y_{0}^{2}-4y_{0}+8=-3(y_{0}+\frac{2}{3})^{2}+\frac{28}{3}\because-1\leqslanty_{0}\leqslant1,而-1\leqslant-\frac{2}{3}\leqslant1,\therefore当y_{0}=-\frac{2}{3}时,|PA|^{2}=\frac{28}{3}即|PA|=\frac{2\sqrt{21}}{3}
【题目】设双曲线的一个焦点为$F$; 虚轴的一个端点为$B$，如果直线$F B$与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$焦点的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，$|A B|=8$，则线段$AB$的中点横坐标为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，$|F_{1} F_{2}|=2$，过椭圆左焦点且斜率为$2$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$S_{\triangle A B F_{2}}=4$，则弦长$|A B|$=?
【解析】\becauseS_{\triangleABF}=4,\therefore\frac{1}{2}\times2c\times|y_{A}-y_{B}|=4又\because|F_{1}F_{2}|=2,\therefore|y_{A}-y_{B}|=4,\because直线过椭圆左焦点且斜率.4=\sqrt{1+(\frac{1}{2})^{2}}\times4=2\sqrt{5}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，则它的右准线的方程为?
【解析】右准线的方程为x=\frac{a^{2}}{c},即为x=\frac{4}{\sqrt{4-3}},x=1
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦距为$2 c$，圆$M$: $x^{2}+y^{2}-2 c y=0$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，若$O A \perp O B$($O$为坐标原点)，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】圆M的方程为x^{2}+(y-c)^{2}=c^{2},表示以(0,c)为圆心,以c为半径的圆.因为OA\botOB,所以AB为圆M的直径,且|AB|=2c.故点A,B的坐标分别为(-c,c),(c,c)由点A,B在椭圆C上,故\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}}=1,所以\frac{c^{2}}{b^{2}}=1-\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}}整理得b^{2}=ac'所以a^{2}-c^{2}=ac,即e^{2}+e-1=0解得e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}(舍去负值)答案:\frac{\sqrt{5}-1}{2}
【题目】一条渐近线方程为$y=x$，且过点$(2,4)$的双曲线方程为?
【解析】
【题目】双曲线$C$与椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}=1$有相同的焦点，且$C$的渐近线为$x \pm  \sqrt {3} y=0$，则双曲线$C$的方程是?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$与直线$y=2 x$有交点，则离心率$e$的取值范围为?
【解析】如图所示,\because双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点则:\frac{b}{a}>2\therefore_{e}=\sqrt{1+(\frac{b)}{a}^{2}}>\sqrt{5}即离心率e的取值范围为(\sqrt{5},+\infty)
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线与圆$F$:$(x-2)^{2}+y^{2}=3$相切，且双曲线$C$的一个焦点与圆$F$的圆心重合，则双曲线$C$的方程为?
【解析】双曲线渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x^{x}由双曲线渐近线与圆F:(x-2)^{2}+y^{2}=3相切可得:\frac{2b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{2b}{c}=\sqrt{3}又双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合,所以c=2,故b=\sqrt{3},a=1,所以双曲线的方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=
【题目】已知双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm \frac{5}{2} x$，且过点$(3,8)$，则双曲线$C$的方程为?
【解析】设双曲线C的方程为\frac{25}{4}x^{2}-y^{2}=\lambda,将点(3,8)的坐标代入双曲线C的方程,求出\lambda的值,即可得出双曲线C的方程.由于双曲线C的渐近线方程为y=\pm\frac{5}{2}x,可双曲线C的方程为\frac{25}{4}x^{2}-y^{2}=\lambda.由于双曲线C过点(3,8),所以,\lambda=\frac{25}{4}\times3^{2}-8^{2}=-\frac{31}{4}所以,双曲线C的方程为\frac{25}{4}x^{2}-y^{2}=-\frac{31}{4},即\frac{4y^{2}}{31}-\frac{25x^{2}}{31}=1
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点为$A$，以$A$为圆心，$b$为半径作圆$A$，圆$A$与双曲线$C$的一条渐近线交于$M$、$N$两点.若$|M N|=b$，则$C$的离心率为?
【解析】由题得双曲线的渐近线方程为bx-ay=0.由题得\triangleAMN是等边三角形,边长为b.所以点A到渐近线的距离为\frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{|ab|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{ab}{c},\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}\sqrt{3}
【题目】$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$上一点，双曲线的一条渐近线为$3 x-2 y=0$, $F_{1}$, $F_{2}$分别是左、右焦点，若$|P F_{1}|=5$，则$P$到双曲线右准线的距离是?
【解析】
【题目】若$A$、$B$是抛物线$y^{2}=4 x$上的不同两点，弦$A B$(不平行于$y$轴) 的垂直平分线与$x$轴相交于点$P(4,0)$，则弦$A B$中点的横坐标为?
【解析】设点A、B的坐标分别是(x_{1},y_{1})、(x_{2},y_{2})(x_{1}\neqx_{2}),则y_{1}^{2}=4x_{1},y_{2}^{2}=4x_{2}.两式相减得(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=4(x_{1}-x_{2}),因x_{1}\neqx_{2},即有y_{1}+y_{2}\neq0设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M(x_{M},y_{M}),则k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}=\frac{2}{y_{M}}从而AB的垂直平分线l的方程为y-y_{M}=,=-\frac{y_{M}}{2}(x-x_{M}),又点P(4,0)在直线l上,所以-y_{M}=-\frac{y_{M}}{2}(4-x_{M}),而y_{M}\neq0,解得x_{M}=2,弦AB中点的横坐标为2.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$，则以点$M(-1,2)$为中点的弦所在直线方程为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的两个焦点，椭圆上存在一点$P$，使$\angle F_{1} PF_{2}=60^{\circ}$，则椭圆离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$O$为坐标原点，过点$P(a,-2)$作两条直线与抛物线$C$: $x^{2}=4 y$相切于$A$、$B$两点，则$\triangle A O B$面积的最小值为?
【解析】分析:求出以A为切点的切线方程为y-y_{1}=\frac{1}{2}x_{1}(x-x_{1}),B为切点的切线方程为y=\frac{1}{2}x_{2}x-\frac{1}{4}x_{2}^{2},代入P(a,-2),可得-2=\frac{a}{2}x_{2}-y_{2},-2=\frac{a}{2}x_{1}-y_{1}'\therefore过AB的直线方程为\frac{a}{2}x-y+2=0,利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式,可得S=2\sqrt{a^{2}+8}\geqslant2\sqrt{8}=4\sqrt{2}.详设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),\becausey=\frac{1}{4}x^{2},y'=\frac{1}{2}x,\therefore以A为切点的切线方程为y-y_{1}=\frac{1}{2}x_{1}(x-x_{1}),即y-\frac{1}{4}x_{1}^{2}=\frac{1}{2}x_{1}x-\frac{1}{2}x_{1}^{2},\thereforey=\frac{1}{2}x_{1}x-\frac{1}{4}x_{1}^{2}同理B为切点的切线方程为y=\frac{1}{2}x_{2}x-\frac{1}{4}x_{2}^{2},代入P(a,-2)可得-2=\frac{a}{2}x_{2}-y_{2},-2=\frac{a}{2}x_{1}-y_{1}'\therefore过AB的直线方程为\frac{a}{2}x-y+2=0,联立\begin{cases}x^{2}=4y\\\frac{a}{2}x-y+2=0\end{cases},8=0,.4a^{2}+32>0,x_{1}\frac{a^{2}}{4}|x_{1}-x_{2}|=又O到直线AB的距离为^{d}a2+4S=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+4}\cdot\sqrt{a^{2}+8}.\frac{4}{1}当a=0时,等号成立,
【题目】若双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{3}{4} x$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，椭圆上存在一点$P$，使得$|P F_{1}|-|P F_{2}|=2 b$,$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|=\frac{3}{2} a b$, 则椭圆的离心率为?
【解析】由双曲线的定义可得,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,由PF|-|PF_{2}|=2b,|PF|.|PF_{2}|=\frac{3}{2}ab,则有|PF|=a+b,|PF_{2}|=a-b,\therefore|PF|\cdot|PF_{2}|=a^{2}-b^{2}=\frac{3}{2}ab,即有(3b-4a)(3b+a)=0即有a=2b,所以c^{2}=a^{2}-b^{2}=3b^{2},\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}b}{2b}=\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的一条渐近线方程为$y=\frac{1}{2} x$，则$a$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{1}{a}x,所以,\frac{1}{a}=\frac{1}{2},解得a=2
【题目】过双曲线$M$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左顶点$A$作斜率为$1$的直线$l$，若$l$与双曲线$M$的两条渐近线分别相交于$B$、$C$，且$|A B|=|B C|$，则双曲线$M$的离心率是?
【解析】过双曲线M:x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的左顶点A(-1,0)作斜率为1的直线l:y=x+1,若l与双曲线M的两条渐近线x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0分别相交于点B(x_{1},y_{1}),c(x_{2},y_{2})联立方程组\begin{cases}x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\\y=x+1\end{cases}代入消元得(b^{2}-1)x^{2}-2x-1=0,\begin{cases}x_{1}+x_{2}=\frac{2}{b^{2}-1}\\\end{cases}_{2}=-2x_{1}x.|x_{1}x_{2}=\frac{1}{1-b^{2}}|=|BC|,则B为AC中点,2x_{1}=-1+代入解得\begin{cases}x_{1}=-\frac{1}{4}\\x_{2}=\frac{1}{3}\end{cases}\thereforeb^{2}=9,双曲线M的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{10}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$，左顶点为$A$，点$P$、$Q$在椭圆上，且$P F \perp A F$，若$\tan \angle P A F=\frac{1}{2}$，则椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率$e$为?
【解析】[解析]根据x_{P}=c,求得y_{P}=\frac{b^{2}}{a},再由_{\tan}\anglePAF=\frac{PF}{AF}=\frac{\frac{b^{2}}{a}}{a+c}=\frac{1}{2},即可得解.由PF\botAF,可得x_{P}=c,代入椭圆方程\frac{x_{p}}{a^{2}}+\frac{y_{P}}{b^{2}}=1(a>b>0),可得y_{P}=\pm\frac{b^{2}}{a}由_{\tan\anglePAF}=\frac{PF}{AE}=\frac{\frac{b^{2}}{a}}{a+c}=\frac{1}{2},得2b^{2}=a(a+c),又b^{2}=a^{2}-c^{2}可得2(a^{2}-c^{2})=a^{2}-ac\Rightarrow2c^{2}+ac-a^{2}=0\Rightarrow2e^{2}+e-1=0解得:e=\frac{1}{2}或-1(舍)
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线经过双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点,则实数$p$=?
【解析】因为抛物线y^{2}=2px的准线为x=-\frac{p}{2},依题意,直线x=-\frac{p}{2}经过双曲线的左焦点(-2,0),所以p=4,
【题目】设直线$l$: $y=x+1$与椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$相交于$A$、$B$两点，与$x$轴相交于左焦点$F$，且$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$，则椭圆的离心率$e$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立方程组可得y_{1}+y_{2},y_{1}y_{2},由\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}可得y_{1}=-3y_{2},进而可得a^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}+4b^{2})=0,再由椭圆的焦点坐标可得a,即可得解.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),将直线l:y=x+1代入椭圆方程,消去x化简得(a^{2}+b^{2})y^{2}-2b^{2}y+b^{2}(1-a^{2})=0.所以y_{1}+y_{2}=\frac{2b^{2}}{a^{2}+b^{2}},y_{1}y_{2}=\frac{b^{2}(1-a^{2})}{a^{2}+b^{2}}又\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB},所以y_{1}=-3y_{2},所以-2y_{2}=\frac{2b^{2}}{a_{2}+b^{2}},-3y_{2}=\frac{b^{2}(1-a2)}{a^{2}+b^{2}},又直线l:y=x+l过椭圆C的左焦点F所以F(-1,0),所以a2-b^{2}=c2=1,所以a2=2或a2=1(舍去)所以a=\sqrt{2},椭圆离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$，若$\angle A O B=120^{\circ}$，则$|A B|$=?
【解析】如图,抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0).设直线AB的斜率为k,可得直线AB的方程为y=k(x-1).代入抛物线方程消去x,得y^{2}-\frac{4}{k}y-4=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由根与系数的关系可得:y_{1}+y_{2}=\frac{4}{k},y_{1}y_{2}=-4,x设|OA|=m,|OB|=n,\because\angleAOB=120^{\circ},\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=mn\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}m\because\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=-3,\thereforemn=6,则\triangleAOB的面积为\frac{1}{2}mm\sin120^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{2},解得_{k}=\pm\frac{4\sqrt{11}}{11}.不妨取k=\frac{4\sqrt{11}}{1},则AB=x_{1}+x_{2}+2=\frac{y_{1}+y_{2}}{k}+4=\frac{4}{k^{2}}+4=\frac{27}{4}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的左焦点坐标是?右准线方程是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，点$M$在椭圆$C$上，线段$M F_{2}$与圆$x^{2}+y^{2}=b^{2}$相切于点$E$，且点$E$为线段$M F_{2}$的中点，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点,连接OM,PF_{2},\becauseM,O分别是PF_{2},F_{1}F_{2}的中点,\thereforeMO/\!/PF_{1},且|PF_{1}|=2|MO|=2b,OM\botPF_{2},\thereforePF_{1}\botPF_{2},|F_{1}F_{2}|=2c,\thereforePF_{2}|=2\sqrt{c^{2}-b^{2}},根据椭圆的定义,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,\therefore2b+2\sqrt{c^{2}-b^{2}}=2a\thereforea-b=\sqrt{c^{2}-b^{2}},两边平方得:a^{2}-2ab+b^{2}=c^{2}-b^{2},c^{2}=a^{2}-b^{2}代入并化简得:2a=3b\thereforeb=\frac{2}{3},a=1,c=\frac{\sqrt{5}}{3},e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，准线为$l$ , $P$是$l$上一点，$Q$是直线$P F$与$C$的一个交点，若$\overrightarrow{P F}=3 \overrightarrow{Q F}$，则$|Q F|$=?
【解析】求得直线PF的方程,与y^{2}=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求.设Q到1的距离为d,则|QF|=d,\because\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{QF},\therefore|PQ|=2d,\therefore不妨设直线PF的斜率为\sqrt{3},\becauseF(2,0)\therefore直线PF的方程为y=\sqrt{3}(x-2)与y^{2}=8x联立可得x=\frac{2}{3}F|=d=\frac{8}{a},
【题目】设抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，其准线与$x$轴交于点$C$，过点$F$作它的弦$A B$，若$\angle C B F=90^{\circ}$，则$|AF|-|BF|$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点$F_{2}$的坐标为$(2,0)$, $F_{1}$为椭圆$C$的左焦点，$P$为椭圆上一点，若$\tan \angle F_{1} P F_{2}=\frac{4}{3}$, $S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=6$，则椭圆$C$方程为?
【解析】由面积公式和余弦定理得|PF_{1}||PF_{2}|和|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}的值,进而得到|PF_{1}|+|PF_{2}|的值即可求解[详解]由题知c=2,又\tan\angleF_{1}PF_{2}=\frac{4}{3},则\sin\angleF_{1}PF_{2}=\frac{4}{5},\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{3}{5},故S_{\DeltaPF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}\times|PF_{1}||PF_{2}|\times\frac{4}{5}=6\therefore|PF_{1}||PF_{2}|=15则_{\cos\angleF_{1}PF_{2}}=\frac{3}{5}=\frac{|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-16}{2\times15}\therefore|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=34则(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}+2|PF_{1}||PF_{2}|=64\therefore2a=8,a=4,则b^{2}=16-4=12故椭圆C方程为\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线与抛物线$y=\frac{1}{2} x^{2}+2$相切，则该双曲线的离心率为?
【解析】双曲线渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x,不妨取y=\frac{b}{a}x联立渐近线与抛物线方程得x^{2}-\frac{2b}{a}x+4=0\because渐近线与抛物线相切\therefore(-\frac{2b}{a})^{2}-4\times1\times4=0,\therefore\frac{4b^{2}}{a^{2}}=16,\thereforeb^{2}=4a^{2}\thereforec^{2}=a^{2}+b^{2}=5a^{2}\thereforee=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{5}
【题目】若双曲线经过点$(3, \sqrt{2})$，且渐近线方程是$y=\pm \frac{1}{3} x$，则双曲线的方程是?
【解析】利用渐近线方程为y=\pm\frac{1}{3}x,设双曲线的方程是y^{2}-\frac{x^{2}}{9}=\lambda,代入点(3,\sqrt{2})即可求解根据渐近线方程为y=\pm\frac{1}{3}x,设双曲线的方程是y^{2}-\frac{x^{2}}{9}=\lambda,因为双曲线过点(3,\sqrt{2}),所以\lambda=2-\frac{9}{9}=1,所以双曲线的方程为y^{2}-\frac{x^{2}}{9}=1
【题目】与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$有共同焦点，且焦点到渐近线距离等于$1$的双曲线方程为?
【解析】\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1的焦点为(\pm\sqrt{9-5},0)=(\pm2,0)因为双曲线焦点到渐近线距离等于半虚轴长,所以b=1,\becausec=2\thereforea=\sqrt{3}\therefore\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1
【题目】已知$F_{1}$为椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点，直线$y=x-1$与椭圆交于$A$、$B$两点，那么$|F_{1} A|+|F_{1} B|$=?
【解析】将直线与椭圆联立方程整理得3x^{2}-4x=0\thereforeA(0,-1),B(\frac{4}{3},\frac{1}{3}),F_{1}=(-1,0)|F_{A}|=\sqrt{2},F_{1}B=\frac{5}{3}\sqrt{2}F_{1}A+F_{1}B=\frac{8\sqrt{2}}{3}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$的两个焦点，$M$是椭圆上一点，且$M F_{1} \perp M F_{2}$，则$\Delta F_{1} M F_{2}$的面积为?
【解析】
【题目】已知双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$，则渐近线方程为?
【解析】根据双曲线的几何意义得到:渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,已知双曲线的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1,代入基本量得到y=\pm\sqrt{3}x故结果为v=+\sqrt{3}x
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点$P$到其左准线的距离为$10$, $F$是该椭圆的左焦点，若点$M$满足$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F})$(其中$O$为坐标原点)，则$|O M|$=?
【解析】先由圆锥曲线的统一定义得到P到F的距离,再根据椭圆的定义得到P到右焦点F_{2}的距离,而|\overrightarrow{OM}|即为APFF_{2}中与PF_{2}平行的中位线,从而得到|\overrightarrow{OM}|的长.详解】设椭圆的右焦点为F_{2},半焦距为c,则椭圆的离心率为\frac{c}{a}=\frac{3}{5}由\frac{|PF|}{10}=e=\frac{3}{5}得到|PF|=6,故|PF_{2}|=10-6=4.因为\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}),故M为PF的中点,而OF=OF_{2},故|\overrightarrow{OM}|=\frac{1}{2}|PF_{2}|=2
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的$\frac{1}{4}$，则该双曲线的离心率是?
【解析】点(c,0)到直线y=\frac{b}{a}x的距离为:d=\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{bc}{c}=b=\frac{1}{4}\times2c=\frac{c}{2},所以4b^{2}=c^{2},4(c^{2}-a^{2})=c^{2},\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{4}{3},所以\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
【题目】已知双曲线过点$(3,-2)$，且与椭圆$4 x^{2}+9 y^{2}=36$有相同焦点，则双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，过点$F$的直线$l$: $2 kx-2 y-3 ka=0$与双曲线$C$交于$A$、$B$两点. 若$\overrightarrow{AF}=7\overrightarrow{FB}$，则实数$k$=?
【解析】在2kx-2y-3ka=0中令y=0得x=\frac{3a}{2},所以c=\frac{3a}{2},则b^{2}=c^{2}-a^{2}=\frac{5a^{2}}{4}设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\2kx-2y-3ka=0\end{cases},消去x得(\frac{b^{2}}{k^{2}}-a^{2})y^{2}+\frac{3ab^{2}}{k}y+\frac{5a2b^{2}}{4}=0y_{1}+y_{2}=\frac{3kab^{2}}{a^{2k}^{2}-b^{2}},y_{1}y_{2}=\frac{5k^{2}a2b^{2}}{4(b^{2}-a^{2k^{2})}由\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{7FB}得y_{1}=-7y_{2}',y_{1}+y_{2}=-6y_{2}所以y_{1}y_{2}=-7y_{2}^{2}=-7\times\frac{k^{2}a_{2}b^{4}}{4(a2k^{2}-b}k=\pm\sqrt{3}
【题目】已知$F_{1}$，$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一 点$P$，使得线段$PF_{1}$的垂直平分线过点$F_{2}$，则离心率的范围是?
【解析】
【题目】倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线过抛物线$y^{2}=2 x$的焦点$F$，交抛物线于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】由抛物线y^{2}=2x得焦点F(\frac{1}{2},0),再求得直线的方程,将直线的方程与抛物线的方程联立得出交点的坐标的关系x_{1}+x_{2}=3,再由抛物线的定义可求得线段的长由抛物线y^{2}=2x得焦点F(\frac{1}{2},0),\therefore倾斜角为\frac{\pi}{4}的直线过焦点F的方程为:y=x-\frac{1}{2},与抛物线y^{2}=2x联立得x^{2}-3x+\frac{1}{4}=0,令A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=3,由抛物线的定义得|AF|=x_{1}+\frac{1}{2},|BF|=x_{2}+\frac{1}{2},\therefore|_{AB}|=x_{1}+\frac{1}{2}+x_{2}+\frac{1}{2}=x_{1}+x_{2}+1=4,
【题目】若动点$M$满足$\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=6$，则点$M$的轨迹方程为?
【解析】设A(-5,0),B(5,0)由于动点M(x,y)的轨迹方程为\sqrt{(x+5)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=6则|MA|-|MB|=6<10,故点M到定点A(-5,0)与到定点B(5,0)的距离差为6则动点M(x,y)的轨迹是以(\pm5,0)为焦点,以6为实轴长的双曲线的右支由于2a=6,c=5,则b^{2}=c^{2}-a^{2}=25-9=16故M的轨迹的标准方程为:\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1(x>0)
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，若$|P F_{1}|=4$，则$|P F_{2}|$=?$\angle F_{1} P F_{2}$的大小为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ , $P(\sqrt{2}, 1)$为$C$上一点，离心率$e=\sqrt{2}$，则双曲线的标准方程为?
【解析】根据题意可得\begin{cases}\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{2}\\\frac{(\sqrt{2})^{2}}{a}-\frac{1^{2}}{2}=1\end{cases},所以a=b=1,所以双曲线的标准方程为x^{2}-y^{2}=1.b答:为:x2-y2=1
【题目】实数$x$，$y$满足$x^{2}-y^{2}=4$，若$\frac{y+2}{x}+m>0$恒成立，则实数$m$的取值范围为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m+2}=1(m>0)$的一条渐近线方程为$y=2 x$，则$m$=?
【解析】由双曲线\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m+2}=1(m>0)可得渐近线方程为y=\pm\sqrt{\frac{m+1}{m}}x,而题设双曲线\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m+2}=1(m>0)的一条渐近线方程为y=2x,\therefore\sqrt{\frac{m+2}{m}}=2即m=\frac{2}{3}.
【题目】在椭圆$C$中$F$为一个焦点，$A$、$B$为两个顶点.若$|F A|=3$ ,$|F B|=2$，则$|A B|$的所有可能值为?
【解析】分类讨论F,A,B三点的位置,利用椭圆的几何性质即可求解由题意|FA|=3,|FB|=2,,A,B两点不可能同时是短轴上的两个定点当F,A,B三点均在长轴上,则\begin{cases}a+c=3\\a-c=2\end{cases},解得a=\frac{5}{2},所以|AB|=2a=5;当F与A在长轴上,且分布在y轴两侧,B在短轴上,则\begin{cases}|FB|=a=2\\|FA|=a+c=3\end{cases},解得c=1,b=\sqrt{3},所以|AB|=\sqrt{2^{2}+3}=\sqrt{7}当F,B均在长轴上,且分布在y轴同一侧,则\begin{cases}|FB|=a-c=2\\|FA|=a=3\end{cases}解得a=3,c=1,b^{2}=a^{2}-c^{2}=2\sqrt{2},所以|AB|=\sqrt{3^{2}+8}=\sqrt{17}
【题目】已知点$P(2,4)$在抛物线$C$: $y^{2}=2 p x$上，过其焦点$F$且倾斜角为$45^{\circ}$的直线$l$与$C$交于$M$、$N$两点，则$\triangle P M N$的面积为?
【解析】依题意求出抛物线方程,即可求出焦点坐标,从而求出直线l的方程,联立直线与抛物线方程,利用抛物线焦点弦公式求出弦MN,再利用点到直线的距离求出点P(2,4)到直线l的距离,从而求出三角形的面积;因为P(2,4)在抛物线C:y^{2}=2px,所以4^{2}=2p\times2,所以p=4,即抛物线方程为y^{2}=8x焦点F(2,0),直线l的倾斜角为45^{\circ},所以直线l的方程为y=x-2联立直线与抛物线方程得\begin{cases}y^{2}=8x\\y=x-2\end{cases}消去y得x^{2}-12x+4=0,设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})所以x_{1}+x_{2}=12,所以MN=x_{1}+x_{2}+p=16,点P(2,4)到直线l的距离d=\frac{4}{\sqrt{1^{2}+(}}\frac{4}{+(-1)^{2}}=2\sqrt{2}所以S_{\DeltaPMN}=\frac{1}{2}MN\cdotd=\frac{1}{2}\times16\times2\sqrt{2}=16\sqrt{2}
【题目】已知$O$为坐标原点，$A$、$B$为抛物线$y^{2}=2 p x(p \geq 0)$上异于点$P$的两个动点，且$\angle A O B=90^{\circ}$，若点$O$到直线$A B$的距离的最大值为$8$，则$p$的值为?
【解析】设直线OA的方程为y=kx,联立方程\begin{cases}y=kx\\y2=2px\end{cases},解得点A(\frac{2p}{k^{2}},\frac{2p}{k})\because直线OB的方程为y=-\frac{1}{k}x,\thereforeB(2pk^{2},-2pk),\therefore直线AB的方程为y+2pk=\frac{\frac{2p}{k}+2pk}{\frac{2p}{12}-2pk^{2}}(x-2pk^{2}),即y+2pk=\frac{k}{1-k^{2}}(x-2pk^{2})令y=0得,x=2p,\therefore直线AB必过定点(2p,0),\therefore当直线AB垂直于x轴时,点O到直线AB的距离的最大,\therefore2p=8,\thereforep=4.人答案为:4
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的渐近线方程为$y=\pm \sqrt{3} x$，则它的离心率为?
【解析】利用双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,可得\frac{b}{a}=\sqrt{3},结合离心率公式,即可求得结论.由题意,\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x^{2}\therefore\frac{b}{a}=\sqrt{3}\thereforee^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=1+(\frac{b}{a})^{2}=4
【题目】已知$F$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点，点$M$在$C$的右支上，坐标原点为$O$，若$|F M|=2|O F|$，且$\angle O F M=120^{\circ}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】设双曲线C的左焦点为F_{1},由题意可得|MF|=|F_{1}F|=2c,\angleMFF_{1}=120^{\circ},由余弦定理有|MF_{1}^{2}|=|MF|^{2}+|F_{1}F|^{2}-2|MF|\cdot|F_{1}F|\cos\angleMFF_{1}=4c^{2}+4c^{2}-2\cdot4c^{2}\cdot(-\frac{1}{2})=12c^{2}即有|MF_{1}|=2\sqrt{3}c,由双曲线的定义可得|MF_{1}|-|MF|=2a,即为2\sqrt{3}c-2c=2a,即有_{c}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}a'所以双曲线C的离心率为_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}
【题目】已知抛物线$y^{2}=ax$过点$A(\frac{1}{4}, 1)$，那么点$A$到此抛物线的焦点的距离为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$，线段$A B$的两个端点$A$、$B$在椭圆上移动，且$|A B|=2$, $M(x_{0}, y_{0})$是$A B$的中点，则$x_{0}$的最大值是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),F为椭圆的右焦点由题意,椭圆的长半轴长a=2,短半轴长b=1,半焦距c=\sqrt{3},\therefore|AF|=\sqrt{(x_{1}-\sqrt{3})^{2}+y_{1}^{2}}=\sqrt{(x_{1}-\sqrt{3})^{2}+1-\frac{x_{1}^{2}}{4}}=\sqrt{\frac{(4-\sqrt{3}x_{1}^{2}}{4}}=2-\frac{\sqrt{3}}{2}x_{1}理可得,BF=2-\frac{\sqrt{3}}{2}x_{2}而2=|AB|\leqslant|AF|+|BF|=(2-\frac{\sqrt{3}}{2}x_{1})+(2-\frac{\sqrt{3}}{2}x_{2})=4-\frac{\sqrt{3}}{2}(x_{1}+x_{2})=4-\sqrt{3}x_{0}即2\leqslant4-\sqrt{3}x_{0},解得x_{0}\leqslant\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与$y=\sqrt{3} x-1$平行，且它的一个焦点在抛物线$y^{2}=8 \sqrt{2} x$的准线上，则双曲线的方程为?
【解析】抛物线y^{2}=8\sqrt{2}x的准线为x=-2\sqrt{2},由题意可得c=2\sqrt{2},设双曲线的一条渐近线与y=\sqrt{3}x-1平行,由题意可得\frac{b}{a}=\sqrt{3},即b^{2}=3a^{2},解得a^{2}=2,b^{2}=6,\therefore双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{6}=1.所以答案应填:\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{6}=1
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$作直线$l$，与抛物线交于$A$、$B$两点，与准线交于$C$点，若$\overrightarrow{F C}=4 \overrightarrow{F B}$，则$|\overrightarrow{A B}|$=?
【解析】根据抛物线的方程y^{2}=4x,可得焦点坐标F(1,0),准线l:x=-1,过点B作BB_{1}\bott,垂直为B_{1},则|BB_{1}|=|BF|,又由\overrightarrow{FC}=4\overrightarrow{FB},所以|\overrightarrow{FC}|=4|\overrightarrow{FB}|,则|BC|=3|BF|=3|BB_{1}|,在直角ABCB_{1}中,因为|BC|=3|BB_{1}|,所以\tan\angleB_{1}BC=\frac{B_{1}C}{BC}=2\sqrt{2}即直线AB的斜率为k=2\sqrt{2},所以直线AB的方程为y=2\sqrt{2}(x-1)设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立方程组\begin{cases}y=2\sqrt{2}(x-1)\\y2=4x\end{cases}整理得2x^{2}-5x+2=0所以x_{1}+x_{2}=\frac{5}{2},所以|AB|=|AF|+|BF|=x_{1}+x_{2}+p=\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的顶点到渐近线的距离为?
【解析】
【题目】已知椭圆$5 x^{2}-k y^{2}=5$的一个焦点是$(0 , 2)$，则$k$=?
【解析】\because5x^{2}-ky^{2}=5\therefore\frac{y^{2}}{-k}+\frac{x^{2}}{1}=1因为椭圆5x^{2}-ky^{2}=5的一个焦点是(0,2)所以\frac{5}{-1}-1=2^{2}\thereforek=-1
【题目】已知$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,$M$, $N$是椭圆的左、右顶点，$P$是椭圆上任意一点，且直线$P M$ , $P N$的斜率分别为$k_{1}$, $k_{2}$, $(k_{1} k_{2} \neq 0)$，若$|k_{1}|+|k_{2}|$的最小值为$1$，则椭圆的离心率为?
【解析】依题意可得M,N坐标分别为(-a,0),(a,0),设P(x,y),则k_{1}=\frac{y}{x+a},k_{2}=\frac{y}{x-a},则k|+k_{2}=|\frac{y}{x+a}|+|\frac{y}{x-a|}=\frac{2dy}{a^{2}-x^{2}}=\frac{2b^{2}}{ay}\geqslant\frac{2b^{2}}{ab}=\frac{2b}{a},所以\frac{2b}{a}=1,即b=\frac{1}{2}a,从而c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a'则e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】若抛物线的焦点在直线$x-2 y+2=0$上，则抛物线的标准方程是?
【解析】因为直线x-2y+2=0与x轴交点为(-2,0),与y轴交点为(0,1).所以当抛物线焦点为(-2,0)时,抛物线方程为y^{2}=-8x;当抛物线焦点为(0,1)时,抛物线方程为x^{2}=4y
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$，直线$y=\frac{b}{3}$与$C$交于$A$、$B$两点，若以$A B$为直径的圆经过点$F$，则$C$的离心率为?
【解析】设F(c,0)(c>0),将y=\frac{b}{3}代入椭圆方程得x=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}a'不妨设A(-\frac{2\sqrt{2}a}{3},\frac{b}{3})B(\frac{2\sqrt{2}a}{3},\frac{b}{3})\overrightarrow{AF}=(c+\frac{2\sqrt{2}a}{3},-\frac{b}{3}),\overrightarrow{BF}=(c-\frac{2\sqrt{2}a}{3},-\frac{b}{3})因为以AB为直径的圆经过点F,所\overrightarrow{AF}\cdot\overrightarrow{BF}=0即(c+\frac{2\sqrt{2}a}{3})(c-\frac{2\sqrt{2}a}{3})+\frac{b^{2}}{9}=0'整理得c^{2}-\frac{8}{9}a^{2}+\frac{b^{2}}{9}=0,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{4}=1(m>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，则其渐近线方程为?
【解析】分析:离心率公式计算可得m,再由渐近解析:双曲线\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{4}=1(m>0)的离心率为\sqrt{3},可得b=2,c=\sqrt{m+4}\therefore由题意可得e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{m+4}}{\sqrt{m}}=\sqrt{3},\therefore解得m=2.\therefore双曲线方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=\therefore渐近线方程为y=\pm\sqrt{2}x.
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点$A$作斜率为$-1$的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为$B$、$C$. 若$\overrightarrow{A B}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}$，则双曲线的离心率是?
【解析】直线:y=-x+a与渐近线l_{1}:bx\cdotay=0交于B(\frac{a^{2}}{a+b},\frac{ab}{a+b})1与渐近线l_{2}:bx+ay=0交于C(\frac{a2}{a-b},\frac{-ab}{a-b})\becauseA(a,0)\therefore\overrightarrow{AB}=(\frac{ab}{a+b},\frac{ab}{a+b}),\overrightarrow{BC}=(\frac{2a2b}{a^{2}-b^{2}},\frac{2a2b}{a^{2}-b^{2}})\cdot\frac{ab}{a+b}=\frac{a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}b=2a\cdotc^{2}\cdota^{2}=4a^{2}2=\frac{c^{2}}{a^{2}}=5,\thereforee=\sqrt{
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点为$F$，左准线为$l$，点$A∈l$,线段$A F$交椭圆$C$于点$B$若$\overrightarrow {F A}={3 \overrightarrow{F B}}$，则$|\overrightarrow{A F}|$=?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=-4 x$的准线方程为?
【解析】抛物线y^{2}=-4x的焦点在x轴上,且开口向左,2p=4,\frac{p}{2}=1\therefore抛物线y^{2}=-4x的准线方程为x=1,
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，$P$是双曲线$C$右支上一点，若$|P F_{1}|+|P F_{2}|=4 a $, $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则双曲线$C$的渐近线方程是?
【解析】由双曲线定义可知|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,且|PF_{1}|+|PF_{2}|=4a那么可以求出|PF_{1}|=3a,|PF_{2}|=a\trianglePF_{1}F_{2}中,由余弦定理可得\cos60^{\circ}=\frac{|PF_{1}^{2}+|PF_{2}^{2}-|F_{1}F_{2}|}{2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|}即\frac{1}{2}=\frac{(3a)^{2}+a^{2}-4c^{2}}{2\times3a\timesa}即3a^{2}=10a^{2}-4c^{2},4c^{2}=7a^{2},且a^{2}+b^{2}=c^{2}那么\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4},故渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}x,即\sqrt{3}x\pm2y=0.
【题目】设抛物线$E$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，过点$F$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，过弦$A B$的中点$M$作$E$的准线的垂线，与抛物线$E$交于点$P$，若$|P F|=\frac{7}{2}$，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$:$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，准线为$l$ , $P$是$l$上一点，$Q$是直线$P F$与$C$的一个交点，若$\overrightarrow{F P}=4 \overrightarrow{F Q}$，则$|Q O|$=?
【解析】由题意设Q(\frac{t^{2}}{8},t),P(-2,m),因\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FQ},所以(4,-m)=4(\frac{t^{2}}{8}-2,t),故t^{2}=8所以|QO|=\sqrt{\frac{t^{4}}{64}+t^{2}}=\sqrt{1+8}=3
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m^{2}+2}=1$的右焦点到其渐近线的距离为$\sqrt{3}$，则此双曲线的离心率为?
【解析】设倾斜角为_{\theta},\tan^{2}\theta=\frac{m2+2}{m}=\frac{(\sqrt{3})^{2}}{m^{2}+m+2-3}\Rightarrow(m+1)(m-1)(m^{2}+2)=0\Rightarrowm=1\Rightarrowe=\sqrt{\frac{4}{1}}=2.
【题目】椭圆$8 x^{2}+3 y^{2}=24$的焦点坐标为?
【解析】椭圆方程化简为标准型为:\frac{x2}{3}+\frac{y^{2}}{8}=1据此可得椭圆的焦点坐标为(0,-\sqrt{5}),0,\sqrt{5}
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点与圆$x^{2}+y^{2}+m x-4=0$的圆心重合，则$m$的值是?
【解析】抛物线的焦点坐标为(1,0),圆的圆心坐标为(-\frac{m}{2},0),故-\frac{m}{2}=1即m=-2,填-2
【题目】已知$F$为抛物线$y^{2}=3 x$的焦点，$P$为抛物线上任一点，$A(3 , 2)$为平面上一定点，则$|PF|+|PA|$的最小值为?
【解析】
【题目】设点$P$是曲线$y=x^{2}$上的一个动点，曲线$y=x^{2}$在点$P$处的切线为$l$，过点$P$且与直线$l$垂直的直线与曲线$y=x^{2}$的另一交点为$Q$，则$PQ$的最小值为?
【解析】
【题目】点$A(1,1)$, $F_{1}$是椭圆$5 x^{2}+9 y^{2}=45$的左焦点，点$P$是椭圆上一动点，则$|P A|+|P F_{1}|$的最大值是?
【解析】将5x^{2}+9y^{2}=45变形为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1,设F_{2}为椭圆的右焦点,则F_{2}(2,0),由椭圆定义知|PA|+|PF_{1}|=|PA|+6-|PF_{2}|\leqslant6+|AF_{2}|=6+\sqrt{2},当且仅当P为AF_{2}的延长线与椭圆的交点时取等号.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$的周长为?
【解析】根据椭圆的定义,直接计算结果.[详解]\DeltaABF_{2}的周长l=|AB|+|AF_{2}|+|BF_{2}|=|AF_{1}|+|BF_{2}|+|AF_{2}|+|BF_{2}|=(|AF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{1}|+|BF_{2}|)=4a,由椭圆方程可知a^{2}=25\Rightarrowa=5,所以\triangleABF_{2}的周长l=20.
【题目】已知直线$y=k x+1(k \neq 0)$交抛物线$x^{2}=4 y$于$E$和$F$两点，以$E F$为直径的圆被$x$轴截得的弦长为$2 \sqrt{7}$，则$k$=?
【解析】由\begin{cases}y=kx+1\\x^{2}=4y\end{cases}消去y整理得x^{2}-4kx-4=0,设E(x_{1},y_{1}),F(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=4k,x_{1}x_{2}=-4,\thereforey_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2})+2=4k^{2}+2.由抛物线的定义可得|EF|=y+y_{2}+2=4k^{2}+4.\therefore以EF为直径的圆的半径为\frac{1}{2}|EF|=2k^{2}+2,圆心到x轴的距离为\frac{1}{2}(y_{1}+y_{2})=2k^{2}+1.由题意得(2k^{2}+2)^{2}=(\sqrt{7})^{2}+(2k^{2}+1)^{2}解得k=+1然安。
【题目】已知椭圆方程为$9 x^{2}+16 y^{2}=144$，则它的长轴长为?短轴长为?焦距为?离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F(3,0)$，上、下顶点分别为$A$、$B$，直线$A F$交$\Gamma$于另一点$M$，若直线$B M$交$x$轴于点$N(12,0)$，则$\Gamma$的离心率是?
【解析】由题意,得A(0,b),B(0,-b),则直线AM、BN的方程分别为\frac{x}{3}+\frac{y}{b}=1,\frac{x}{12}-\frac{y}{b}=1,联立两直线方程,得M(\frac{24}{5},-\frac{3b}{5}),则\frac{24^{2}}{25a2}+\frac{9}{25}=1,解得a=6,则该椭圆的离心率为e=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}
【题目】已知椭圆的长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍, 则该椭圆的离心率为?
【解析】题意得a=\sqrt{3}b,结合a^{2}=b^{2}+c^{2},得出\frac{c}{a}.由题意2a=\sqrt{3}\times2b\thereforea=\sqrt{3}b,所以\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}.睛】本题考查求椭圆离心率,掌握关系式_{a2}=b^{2}+c2是解题关键
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，$P$是以$F_{1} F_{2}$为直径的圆与该双曲线的一个交点，且$\angle P F_{1} F_{2}=2 \angle P F_{2} F_{1}$ ,则双曲线的离心率是?
【解析】设|F_{1}F_{2}|=2c,由于P是以F_{1}F_{2}为直径的圆与该双曲线的一个交点则\triangleF_{1}F_{2}P是直角三角形,\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ}由\anglePF_{1}F_{2}=2\anglePF_{2}F_{1},则\anglePF_{1}F_{2}=60^{\circ}\therefore|PF_{2}|=\sqrt{3}c,|PF_{1}|=c,\therefore|PF_{2}|-|PF_{1}|=\sqrt{3}c-c=2a,\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1.
【题目】7. 已知点 $F_{1} $， $F_{2}$ 为椭圆 $C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$ 和双曲线 $C_{2}$:$ \frac{x^{2}}{a'^{2}}-\frac{y^{2}}{b'^{2}}=1 (a'>0, b'>0)$ 的公共焦点，点 $P$ 为两曲线的一个交点，且满足 $\angle F_{1} P F_{2}=90°$ ，设椭圆与双曲线的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}=$？
【解析】
【题目】若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过两点$(4 , 0)$和$(0 , 2)$，则该椭圆的离心率等于?
【解析】
【题目】已知圆$C_{1}$:$(x+2)^{2}+y^{2}=1$和圆$C_{2}$:$(x-2)^{2}+y^{2}=81$，动圆$M$同时与圆$C_{1}$及圆$C_{2}$相切，则动圆圆心$M$的轨迹方程是?
【解析】由题,设动圆M的半径为r,圆C_{1}的半径为r_{1}=1,圆C_{2}的半径为r_{2}=9,则当动圆M与圆C_{1}外切,与圆C_{2}内切时,|MC_{1}|=r_{1}+r,|MC_{2}|=r_{2}-r,所以|MC_{1}|+|MC_{2}|=(r_{1}+r)+(r_{2}-r)=r_{1}+r_{2}=10因为圆心分别为(-2,0),(2,0),根据椭圆的定义可得,2a=10,则a=5,c=2,所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=25-4=21,则动圆圆心M的轨迹方程是\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{21}=1;当动圆M与圆C_{1}及圆C_{2}内切时,|MC_{1}|=r-r_{1}|MC_{2}|=r_{2}所以|MC_{1}|+|MC_{2}|=(r-r_{1})+(r_{2}-r)=r_{2}-r_{1}=8,则2a=8,即a=4所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=16-4=12,则动圆圆心M的轨迹方程是\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1
【题目】过抛物线$x^{2}=-4 y$的焦点的直线$l$交抛物线于$P(x_{1}, y_{1})$, $Q(x_{2}, y_{2})$两点，若$y_{1}+y_{2}=-6$，则$|P Q|$=?
【解析】依题意可得x^{2}=-4y的焦点为(0,-1),设过焦点(0,-1)的直线为y=kx-1,则令kx-1=-\frac{x^{2}}{4}即x^{2}+4kx-4=0.\because直线l交抛物线于P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})两点\therefore由韦达定理得x_{1}+x_{2}=-4k,x_{1}x_{2}=-4\becausey_{1}+y_{2}=-6\thereforey_{1}+y_{2}=kx_{1}-1+kx_{2}-1=k(x_{1}+x_{2})-2=-4k^{2}-2=-6\thereforek^{2}=1\therefore|PQ|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{16k^{2}+16}=8
【题目】$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的右支上一动点,$F$是双曲线的右焦点,已知$A(3,1)$, 则$|P A|+|P F|$的最小值是?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$的焦点分别为$F_{1}$和$F_{2}$，点$P$在椭圆上，如果线段$P F_{1}$的中点在$y$轴上，那么$\cos \angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】依题意,可求得a=2\sqrt{3},b=\sqrt{3},c=3,设P的坐标为(x,y),由线段PF1的中点在y轴上,可求得P(3,\pm\frac{\sqrt{3}}{3}),继而可求得|PF||与|PF2|,利用余弦定理即可求得答案
【题目】已知直线$y=2 x-3$与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点，$O A $, $O B$的斜率分别为$k_{1}$ , $k_{2}$，则$\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}$=?
【解析】直线y=2x-3与抛物线y^{2}=4x联立,求出A,B的坐标,即可求出\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}直线y=2x-3与抛物线y^{2}=4x联立,可得y^{2}-2y-6=0,\thereforey=1\pm\sqrt{7}\thereforeA(2+\frac{\sqrt{7}}{2},1+\sqrt{7})',B(2-\frac{\sqrt{7}}{2},1-\sqrt{7})\therefore\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}=\frac{2+\frac{\sqrt{7}}{2}}{1+\sqrt{7}}+\frac{2-\frac{\sqrt{7}}{2}}{1-\sqrt{7}}=\frac{1}{2},
【题目】$P$是抛物线$x^{2}=4 y$上一点，抛物线的焦点为$F$，且$|P F|=5$，则$P$点的纵坐标为?
【解析】抛物线x^{2}=4y的准线方程为y=-1,焦点的坐标为(0,1),设P点的纵坐标为(x,y)则\begin{cases}x^{2}=4y\\y+1=5\end{cases}\"\begin{cases}x=\pm4\\y=4\end{cases}\"所以答案应填4.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0 , b>0)$的左、右焦点分别是$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$作倾斜角为$30^{\circ}$的直线交双曲线右支于$M$点，若$M F_{2}$垂直于$x$轴，则双曲线的离心率为?
【解析】在\triangleMF_{1}F_{2}中,因为\angleMF_{1}F_{2}=30^{0},F_{1}F_{2}=2c,所以MF_{1}=\frac{4\sqrt{3}}{3}c,MF_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}c,由双曲线的定义得:2a=|MF_{1}|-|MF_{2}|=\frac{2\sqrt{3}}{3}c,所以e=\sqrt{3}.

hbghlyj

【题目】以抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为圆心且过点$P(5,-2 \sqrt{5})$的圆的标准方程为?
【解析】易知点P在抛物线上,且F的坐标为(1,0)则|PF|=5+\frac{p}{2}=5+1=6,故所求圆的标准方程为(x-1)^{2}+y^{2}=36.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>a>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，离心率为$e$ ,$P$为双曲线$C$的右支上一点，且$P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ , $B$为圆$x^{2}+y^{2}=b^{2}$上的一点，且$\overrightarrow{O B}=\frac{2}{\sqrt{21}} \overrightarrow{O P}$，则$\frac{a^{2}+e^{2}}{b}$的最小值为?
【解析】由题意可得|\overrightarrow{OB}|=b,所以|\overrightarrow{OP}|=\frac{\sqrt{21}}{2}|\overrightarrow{OB}|=\frac{\sqrt{21}}{2}b,所以\frac{\sqrt{21}}{2}b=\sqrt{(\frac{b^{2}}{a})^{2}+c^{2}},所以\frac{21}{4}b^{2}=\frac{b^{4}}{a^{2}}+a^{2}+b^{2},所以4a^{4}+4b^{4}-17a^{2}b^{2}=0,所以(4a^{2}-b^{2})(a^{2}-4b^{2})=0,所以4a^{2}=b^{2}或a^{2}=4b^{2}所以2a=b或a=2b.因为b>a>0,所以b=2a.所以c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2}+4a^{2}}=\sqrt{5}a,所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}所以\frac{a^{2}+e^{2}}{b}=\frac{a^{2}+5}{2a}=\frac{1}{2}(a+\frac{5}{a})\geqslant\frac{1}{2}\times2\sqrt{a\cdot\frac{5}{a}}=\sqrt{5},当且仅当a=\sqrt{5}时,等号成立
【题目】已知点$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$的左、右焦点，$P$是该双曲线上的一点，且$|P F_{1}|=2|P F_{2}|=16$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的周长是?
【解析】\because|PF_{1}|=2|PF_{2}|=16,\therefore|PF_{1}|-|PF_{2}|=16-8=8=2a,\thereforea=4又b^{2}=9,\thereforec^{2}=25,\therefore2c=10.\thereforeAPF_{1}F_{2}的周长为|PF_{1}|+|PF_{2}|+|F_{1}F_{2}|=16+8+10=34
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$与双曲线$C_{2}$的公共焦点，$A$是$C_{1}$、$C_{2}$，在第二象限的公共点，若$\angle F_{1} A F_{2}=\frac{\pi}{3}$，则$C_{2}$的离心率为?
【解析】由题意首先求得双曲线中c的值,然后结合椭圆的定义和余弦定理可求得a的值,最后利用离心率的定义即可求得双曲线的离心率.羊解】设C_{2}\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1(a_{1}b_{1}>0),由题意知c=c_{1}=\sqrt{3}由椭圆的定义得AF_{1}+AF_{2}=2a=4,在\triangleF_{1}AF_{2}中,由余弦定理:(2c)^{2}=12=AF_{1}^{2}+AF_{2}^{2}-2AF_{1}\cdotAF_{2}\cos\frac{\pi}{3}=(AF_{1}+AF_{2})^{2}-3AF_{1}\cdotAF_{2}=16-3AF_{1}\cdotAF_{2}解得AF_{1}\cdotAF_{2}=\frac{4}{3},\therefore(AF_{1}-AF_{2})^{2}=(AF_{1}+AF_{2})^{2}-4AF_{1}\cdotAF_{2}=\frac{32}{3},假设F_{1}F_{2}分别为左、右焦点,AF_{2}>AF_{1},则AF_{2}-AF_{1}=\frac{4}{3}\sqrt{6}=2a_{1},解得a_{1}=\frac{2}{3}\sqrt{6}所以C_{2}的离心率e=\frac{c_{1}}{a_{1}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:\textcircled{1}求出a,c,代入公式e=\frac{c}{a}\textcircled{2}只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b^{2}=c^{2}-a^{2}转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a^{2}转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率为$2$，则此双曲线的渐近线方程?
【解析】由题可知,离心率e=\frac{c}{a}=2,即c=2a.又a2+b^{2}=c^{2}=4a^{2},即b^{2}=3a^{2},则\frac{b}{a}=\sqrt{3},故此双曲线的渐近线方程为v=+\sqrt{3}x.
【题目】双曲线$2 x^{2}-y^{2}=2$的焦点坐标为?
【解析】双曲线方程即:x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1,其中a^{2}=1,b^{2}=2,故c^{2}=3,c=\sqrt{3}由双曲线的方程可知双曲线焦点在x轴上,故焦点坐标为(\pm\sqrt{3},0)
【题目】过点$(3,0)$的直线与抛物线$y^{2}=6 x$的两交点为$A$、$B$，与$y$轴的交点为$C$，若$\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{B C}$，则$|A B|$=?
【解析】设AB方程为y=k(x-3),联立方程得k^{2}x^{2}-(6k^{2}+6)x+9k^{2}=0,利用韦达定理x_{1}+x_{2}=\frac{6k^{2}+6}{k^{2}},x_{1}x_{2}=9,根据\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{BC}得到k,解得答案羊解】设AB方程为y=k(x-3),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(0,-3k),\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\overrightarrow{BC}=(-x_{2},-3k-y_{2})\because\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{BC},\thereforex_{1}=4x_{2},由\begin{cases}y=k(x-3)\\y^{2}=6x\end{cases},得k^{2}x^{2}-(6k^{2}+6)x+9k^{2}=0x_{1}+x_{2}=\frac{6k^{2}+6}{k^{2}},x_{1}x_{2}=9,9,x_{2}=\frac{3}{2},\frac{6k^{2}+6}{k^{2}}=\frac{15}{2},k^{2}=4\begin{matrix}\\AB=\sqrt{(1+k^{2})}\end{matrix}^{2}\frac{9\sqrt{5}}{2}
【题目】已知抛物线$C$的方程为$y^{2}=4 x$, $F$为抛物线$C$的焦点，倾斜角为$45^{\circ}$的直线$l$过点$F$交抛物线$C$于$A$、$B$两点，则线段$A B$的长为?
【解析】抛物线C:y^{2}=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,依题意,直线l的方程为:y=x-1,由\begin{cases}y=x-1\\y2=4x\end{cases}消去x并整理得:x^{2}-6x+1=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=6,于是得|AB|=|AF|+|BF|=x_{1}+1+x_{2}+1=8所以线段AB的长为8.
【题目】已知抛物线$C$：$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，准线与$x$轴的交点为$K$，点$A$在抛物线上，且$|AK|= \sqrt{2} |AF|$,$O$是坐标原点，则$|OA|$=?
【解析】
【题目】点$p(x , y)$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$上的任意一点，$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的两个焦点，且$\angle F_{1} P F _{2} \leq 90^{\circ}$，则该椭圆的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知直线$x+2 y-3=0$与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$相交于$A$、$B$两点，且线段$A B$的中点在直线$3 x-4 y+1=0$上，则此椭圆的离心率为?
【解析】联立\begin{cases}x+2y-3=0\\3x-4y+1=0\end{cases},得x=1,y=1,故直线x+2y-3=0与3x-4y+1=0的交点为M(1,1),线段AB的中点为M(1,1)设x+2y-3=0与\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的交点分别为A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=2,y_{1}+y_{2}=2,直线x+2y-3=0的斜率k=-\frac{1}{2}分别把A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})代入椭圆方程\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),得\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{b}}=1\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{2}{2}}=1\end{cases}两式相减整理,得\frac{(y+y_{2})(y-y_{2})}{即\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}x_{1}+x_{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}},\frac{b}{2}=-\frac{b}{a^{2}},a^{2}=2b^{2},a=\sqrt{2}b=\sqrt{2}c,e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2},
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的焦距为$4$. 则$a$的值为?
【解析】因为双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的焦距为4.所以2c=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2\sqrt{a2+1}=4,解得a=\sqrt{3}
【题目】顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点$P(-4,-2)$的抛物线的标准方程是?
【解析】根据P(-4,-2)的位置,分别考虑抛物线的焦点在x轴负半轴、y轴负半轴,由此计算出抛物线方程.羊解】当抛物线的焦点在x轴负半轴时,设y^{2}=-2px(p>0),代入点P(-4,-2)所以4=8p,所以p=\frac{1}{2},所以y^{2}=-x;当抛物线的焦点在y轴负半轴时,设x^{2}=-2py(p>0),代入点P(所以16=4p,所以p=4,所以x^{2}=-8y
【题目】中心在原点的双曲线，其渐近线方程是$y=\pm \sqrt{3} x$，且过点$(\sqrt{2}, \sqrt{3})$，则双曲线的标准方程为?
【解析】因为该双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,所以设该双曲线方程为3x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0),将点(\sqrt{2},\sqrt{3})代入得:6-3=\lambda\Rightarrow\lambda=3,即该双曲线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知抛物线的标准方程为$y=-8 x^{2}$，则该抛物线的准线方程为?
【解析】将抛物线方程化为标准形式,再由抛物线准线方程即可得解.由题意,抛物线方程y=-8x^{2}即x^{2}=-\frac{1}{8}y,所以该抛物线的准线方程为y=\frac{1}{32}
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的离心率为$3$，其渐近线与圆$x^{2}+y^{2}-6 y+m=0$相切，则$m$=?
【解析】因双曲线的渐近线为bx\pmay=0,圆的标准方程为x^{2}+(y-3)^{2}=9-m,故圆心C(0,3),r=\sqrt{9-m}.又\frac{c}{a}=3\Rightarrowc=3a,b=2\sqrt{2}a,由题设可得\frac{3a}{\sqrt{a^{2}}+b^{2}}=\frac{3a}{c}=1,即\sqrt{9-m}=1,解之得m=8,故应填答案8
【题目】如果双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率是椭圆$D$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$离心率的倒数，那么$C$的渐近线方程为?
【解析】
【题目】若在抛物线$y^{2}=4 x$上求一点$Q$，使它到点$A(7,8)$与到准线的距离之和最小，则点$Q$的坐标是?
【解析】\because抛物线方程为y^{2}=4x,\therefore抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由抛物线的定义,点Q到准线的距离等于它到焦点的距离所求的最小值即为|QA|+|QF|的最小值.根据平面几何知识,可得当A、Q、F三点共线时,|QA|+|QF|最小,由此可得|QA|+|QF|的最小值为A到焦点F(1,0)的距离此时直线AF的斜率k=\frac{4}{3},直线AF的方程为y=\frac{4}{3}(x-1)联立\begin{cases}y=\frac{4}{3}(x-1)\\v2=4x\end{cases},解得\begin{cases}x=4\\y=4\end{cases}或\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\y=-1\end{cases}(舍去)即点Q的坐标是(4,4),
【题目】已知点$M$在抛物线$y^{2}=2 p x$上，$M$点的横坐标为$4$，且$M$到焦点$F$的距离为$5$，则$p$的值为?
【解析】由题意,抛物线的准线为x=-\frac{p}{2},则4+\frac{p}{2}=5,解得p=2
【题目】已知点$F$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点，过$F$作一条渐近线的垂线，垂足为$A$，若$\triangle O A F$(点$O$为坐标原点) 的面积为$2$，双曲线的离心率$e \in[\sqrt{17}, \sqrt{65}]$，则$a$的取值范围为?
【解析】由题意可知:点F到渐近线的距离等于_{d}=\frac{|bc|}{c}=b'从而S_{\triangleOAF}=\frac{1}{2}ab=2即ab=4,又e^{2}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}}\in[17,65],所以\frac{b^{2}}{a^{2}}\in[16,64]则\frac{b}{a}\in[4,8],又ab=4,所以\frac{4}{a^{2}}\in[4,8],解得a\in[\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】以抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为$2$的双曲线方程是?
【解析】由题意可知抛物线线y^{2}=4x焦点为(1,0),顶点在坐标原点,所以在双曲线中,a=1,且焦点在x轴上,又离心率为2,可得c=2,所以b^{2}=c^{2}-a2=3,所以所求双曲线的方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知$A B$为抛物线$x^{2}=4 y$的一条长度为$8$的弦，当弦$A B$的中点离$x$轴最近时，直线$A B$的斜率为?
【解析】由题意得抛物线的准线方程为l:y=-1,过A作AA_{1}\botl于A_{1},过B作BB_{1}\botl于B_{1}-2设弦AB的中点为M,过M作MM_{1}\botl于M_{1},则2|MM_{1}|=|AA_{1}|+|BB_{1}|.设抛物线的焦点为F,则|AF|+|BF|\geqslant|AB|,即|AA_{1}|+|BB_{1}|=|AF|+|BF|\geqslant8(当且仅当A.B,F三点共线时等号成立),所以|AA_{1}|+|BB_{1}|=2|MM_{1}|\geqslant8,解得|MM_{1}|\geqslant4,即弦AB的中点到x轴的最短距离为:4-1=3,所以点M的纵坐标为(x_{0},3),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),F(0,1),x_{1}^{2}=4y_{1},x_{2}^{2}=4y_{2}\therefore所以直线AB的斜率k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{4}=\frac{x_{0}}{2}=\frac{3-1}{x_{0}-0}\thereforex_{0}=\pm2,此时k=\pm1,当弦AB的中点离x轴最近时,直线AB的斜率为\pm1.
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线方程为$y=\pm \frac{4}{3} x$，则双曲线的离心率$e$=?
【解析】由题意得双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{4x}{3},所以\frac{b}{a}=\frac{4}{3},则双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{16}{9}}=\frac{5}{3},
【题目】抛物线$C$: $x^{2}=2 p y$，其焦点到准线$l$的距离为$4$，则准线$l$被圆$x^{2}+y^{2}-6 x=0$截得的弦长为?
【解析】首先求得准线/的方程为y=\pm2,x^{2}+y^{2}\cdot6x=0\Rightarrow(x-3)^{2}+y^{2}=9,圆心(3,0)到准线y=\pm2的距离为2故弦长为2\sqrt{9-2^{2}}=2\sqrt{5}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$F$的直线与抛物线$C$的两个交点分别为$A$、$B$，且满足$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$ , $E$为$A B$的中点，则点$E$到抛物线准线的距离为?
【解析】依题意可得F(1,0),准线为x=-1设直线AB的方程为:x=ty+1,代入y^{2}=4x,得y^{2}-4ty-4=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),所以E(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})则y_{1}+y_{2}=4t,y_{1}y_{2}=-4,因为\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB},所以(1-x_{1},-y)=3(x_{2}-1,y_{2}),所以-y_{1}=3y_{2},即y_{1}=-3y_{2},所以-3y_{2}+y_{2}=4t,所以y_{2}=-2t,y_{1}=6t所以(-2t)\cdot6t=-4,所以t^{2}=\frac{1}{3},所以x_{1}+x_{2}=t(y_{1}+y_{2})+2=4t^{2}+2=\frac{4}{2}+2=\frac{10}{2},所以点E到抛物线准线的距离为\frac{x_{1}+x_{2}}{2}-(-1)=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}
【题目】若$\frac{x^{2}}{|m|-1}+\frac{y^{2}}{m}=1$表示双曲线，则实数$m$的范围是?
【解析】若\frac{x2}{|m|-1}+\frac{y^{2}}{m}=1表示双曲线则(|m|-1)\cdotm<0,显然m\neq0当m<0时,不等式可化为(-m-1)\cdotm<0解不等式可得m<-1或m>0.即m<-1当m>0时,不等式可化为(m-1)\cdotm<0解不等式可得0<m<1即0<m<1综上可知使\frac{x^{2}}{m-1}+\frac{y^{2}}{m}=1表示双曲线的m的取值范围为(-\infty,-1)\cup(0,1)
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为$10$，点$P(2 , 1)$在$C$的渐近线上，则$C$的方程为?
【解析】
【题目】离心率为$\frac{5}{4}$的双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的渐近线方程为?
【解析】\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的离心率为\frac{5}{4},即e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4},令c=5k(k>0),则a=4k,故而可得
【题目】抛物线$x^{2}=4 y$上的点到其焦点的最短距离为?
【解析】抛物线x^{2}=4y的焦点F(0,1),设点P(t,\frac{t^{2}}{4})为抛物线x^{2}=4y上任意一点,所以当t=0,即点P为抛物线顶点时,|PF|取最小值1.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点为$F$，过$F$的直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$相切于点$T$，且直线$l$与双曲线$C$的右支交于点$P$，若双曲线$C$的离心率为$\frac{5}{3}$，则$|P T|$=?
【解析】设双曲线C的右焦点为G,过G作GH\botPF于H.由中位线定理知:|GH|=2|OT|=2a,|FH|=2|FT|=2b,因为e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}\Rightarrowb=\frac{4}{3}a.设|PT|=\lambda|FT|=3b(\lambda>0),由双曲线定义知:|PG|=|PF|-2a=(\frac{4}{3}),-\frac{2}{3})a.又因为|PH|=|PF|-|FH|=(\lambda+1)b-2b=(2-1)b=\frac{4}{3}(\lambda-1)a,由勾股定理知:|PH|+|G|^{2}_{=}|PG|^{2}\Rightarrow\frac{16}{9}(\lambda-1)^{2}+4=(\frac{4}{3}\lambda-\frac{2}{3})^{2}\Rightarrow\lambda=3;
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{16}=1  (a>0)$经过点$(3,0)$，则该双曲线的渐近线方程是?
【解析】因为双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{16}=1(a>0)经过点(3,0)所以\frac{9}{a^{2}}=1,所以a=3,所以双曲线方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1,所以其渐近线方程为y=\pm\frac{4}{3}x.
【题目】设$A(-1,0)$, $B(1,0)$，若直线$y=k x  (k>0)$上存在一点$P$满足$|P A|+|P B|=4$，且$\Delta P A B$的内心到$x$轴的距离为$\frac{2 \sqrt{21}}{21}$，则$k$=?
【解析】因为|PA|+|PB|=4>|AB|=2,所以点P在以A,B为焦点的椭圆上,且椭圆的长轴长为4,焦距为2.所以2a=4,2c=2,即a=2,c=1,所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=4-1=3^{n}所以该椭圆方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1不妨设P(x_{0},y_{0}),联立\begin{cases}y=kx\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases}解得\begin{cases}x_{0}=\frac{12}{3+4k^{2}}\\|y_{0}=\sqrt{\frac{12k^{2}}{3+4k^{2}}}\end{cases}因为\trianglePAB的内心到的距离为\frac{3+4k^{2}}{21},所以\triangleFAB的内切圆的半径r=\frac{2\sqrt{21}}{21},所以\trianglePAB的面积为\frac{1}{2}(PA+|_{PB}|+|AB|)r=\frac{1}{2}(2a+2c)r=(a+c)r=3\times\frac{2\sqrt{21}}{21}=\frac{2\sqrt{21}}{7}又\trianglePAB的面积为\frac{1}{2}|AB||y_{0}|=\frac{1}{2}\times2\sqrt{\frac{12k^{2}}{3+4k^{2}}}\sqrt{\frac{12k^{2}}{3+4k}}所以\sqrt{\frac{12k^{2}}{3+4k^{2}}};\frac{2\sqrt{21}}{7},解得k^{2}=1,又k>0,所以k=1
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，右顶点为$A$、$O$为原点，若$|O F|=2|O A|$，则$C$的渐近线方程为?
【解析】\because|OF|=2|OA|,\thereforec=2a,\becausea^{2}+b^{2}=c^{2}=4a^{2},则可得\frac{b}{a}=\sqrt{3}所以C的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x.
【题目】已知抛物线$C$: $4 x^{2}+m y=0$恰好经过圆$M$:$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1$的圆心，则抛物线$C$的焦点坐标为?
【解析】由题可得圆M的圆心为(1,2)代入4x^{2}+my=0得m=-2,将抛物线C的方程化为标准方程得x^{2}=\frac{1}{2}y故焦点坐标为(0,\frac{1}{8})
【题目】已知双曲线的一条渐近线方程是$y=\frac{\sqrt{3}}{2} x$，焦距为$2 \sqrt {7}$，则此双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】已知点$P(0 , 1)$，椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=m(m>1)$上两点$A$、$B$满足$\overrightarrow{A P}=2\overrightarrow{PB}$，则当$m$=?时，点$B$横坐标的绝对值最大.
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}得-x_{1}=2x_{2},1-y_{1}=2(y_{2}-1)\therefore-y_{1}=2y_{2}-3因为A,B在椭圆上,所以\frac{x_{1}^{2}}{4}+y_{1}^{2}=m,\frac{x_{2}^{2}}{4}+y_{2}^{2}=m,与\frac{4x_{2}^{2}}{4_{2}^{2}}+(2y_{2}-3)^{2}=m,\therefore\frac{x_{2}^{2}}{4}+(y_{2}\frac{3}{2})^{2}-\frac{m}{4},对应相减得y_{2}-\frac{3+m}{4}x_{2}^{2}-\frac{1}{4}(m^{2}-10m+9)\leqslant4,当且仅当m-5时取最大值
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$，过点$F$作圆$x^{2}+y^{2}=b^{2}$的切线，若两条切线互相垂直，则$C$的离心率为?
【解析】由题意,椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),可得右焦点为F(c,0)因为过点F(c,0)作圆x^{2}+y^{2}=b^{2}的切线,可得\sqrt{2}b=c,则2b^{2}=c^{2}即2(a^{2}-c^{2})=c^{2},即2a^{2}=3c^{2},可得\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{3},所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】已知斜率为$1$的直线过椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的右焦点，交椭圆于$A$、$B$两点，则弦$A B$的长为?
【解析】
【题目】在焦点在$x$轴的椭圆过点$P(3 , 0)$，且长轴长是短轴长的$3$倍，则其标准方程为?
【解析】
【题目】$P$为抛物线$y=2 x^{2}$上一动点，当点$P$到直线$2 x-y-4=0$的距离最短时，$P$点的坐标是?
【解析】设P(x,2x^{2}),则点P到直线2x-y-4=0的距离为\frac{|2x-2x^{2}-4|}{\sqrt{5}}=\frac{|2(x-\frac{1}{2})^{2}+}{\sqrt{5}}所以当x=\frac{1}{2}时,点P到直线2x-y-4=0的距离最短,此时P(\frac{1}{2},\frac{1}{2})
【题目】已知$a>b>0$ , $e_{1}$ , $e_{2}$分别是圆锥曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$和$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率，设$m=\lg e_{1}+\lg e_{2}$,则$m$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点, $P$为椭圆$C$上的一点, 且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$, $S_{\Delta P F_{1} F_{2}}=3 \sqrt{3}$, 则$b$=?
【解析】设|PF_{1}|=t_{1},|PF_{2}|=t_{2},则由椭圆的定义可得:t_{1}+t_{2}=2a\textcircled{1}在\triangleF_{1}PF_{2}中利用余弦定理得:t_{1}^{2}+t_{2}^{2}-2t_{1}t_{2}\cdot\cos60^{\circ}=4c^{2}\textcircled{2}联立\textcircled{1}\textcircled{2}得,3t_{1}t_{2}=4a^{2}-4c^{2}=4b^{2},即t_{1}t_{2}=\frac{4b^{2}}{3}所以_{S_{APF_{1}F_{2}}}=3\sqrt{3}=\frac{1}{2}t_{1}t_{2}\cdot\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}b^{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\thereforeb=3
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{2}$的直线$l$交双曲线的右支于$A$、$B$两点，且$|F_{1} F_{2}|=|F_{1} B|$，$\overrightarrow{A F_{2}}=2 \overrightarrow{F_{2} B}$，则双曲线的离心率为?
【解析】令|F_{1}B|=|F_{1}F_{2}|=2c,则|F_{2}B|=2c-2a,依题意,|AF_{2}|=4(c-a),|AF_{1}|=4c-2a等腰\triangleF_{1}F_{2}B中,\cos\angleF_{1}F_{2}B=\frac{\frac{1}{2}|BF_{2}|}{|F_{1}F_{2}|}=\frac{c-a}{2c},而\cos\angleF_{1}F_{2}A=-\cos\angleF_{1}F_{2}B在\triangleF_{1}F_{2}A中,由余弦定理|AF_{1}|^{2}=|F_{1}F_{2}|+|AF_{2}|-2|F_{1}F_{2}||AF_{2}|\cos\angleF_{1}F_{2}A得:(4c-2a)^{2}=(2c)^{2}+16(c-a)^{2}-2\cdot2c\cdot4(c-a)(-\frac{c-a}{2c}),整理得:3c^{2}-8ac+5a^{2}=0,即3e^{2}-8e+5=0,而e>1,解得e=\frac{5}{3}所以双曲线的离心率为\frac{5}{3}.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点，$P$为双曲线左支上任意一点，则$\frac{|P F_{2}|^{2}}{|P F_{1}|}$的最小值为?
【解析】
【题目】已知椭圆中心在原点，且一个焦点为$F(0,3 \sqrt{3})$，直线$4 x+3 y-13=0$与其相交于$M$, $N$两点，$M N$中点的横坐标为$1$，则此椭圆的方程是?
【解析】解设椭圆方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),依题意c=3\sqrt{3}设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2}),可得\frac{y_{2}}{a^{2}}+\frac{x_{1}^{2}}{B^{2}}=1;\frac{y_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{x_{2}^{2}}{b^{2}}=1两式作差化简可得:\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{a_{2}}{b^{2}}\cdot\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}}=-\frac{4}{3}直线4x+3y-13=0与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为1则x_{1}+x_{2}=2,则y_{1}+y_{2}=6,\therefore\frac{a^{2}}{b^{2}}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4}{3},且a^{2}-b^{2}=27,解得b^{2}=9,a^{2}=36,\therefore椭圆的标准方程是:\frac{y^{2}}{26}+\frac{x^{2}}{0}=1
【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在$x$轴上，长轴长为$12$，离心率为$\frac{1}{3}$，则椭圆的方程为?
【解析】设长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则2a=12,a=6,e=\frac{c}{a}=\frac{c}{6}=\frac{1}{3},c=2所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=32,又焦点在x轴,所以椭圆方程为\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1
【题目】已知直线$l_{1}$: $3 x-4 y-9=0$和直线$l_{2}$: $y=-\frac{1}{4}$，拋物线$y=x^{2}$上一动点$P$到直线$l_{1}$和直线$l_{2}$的距离之和的最小值是?
【解析】
【题目】已知抛物线$E$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，位于第一象限的两点$A$、$B$均在$E$上，若$|F A|=3$,$|F B|=5$,$|A B|=2 \sqrt{2}$，则直线$A B$的倾斜角为?
【解析】如图,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,过A作AE\botBD于E,则|AF|=|AC|=3,|BF|=|BD|=5,所以|BE|=2,因为|AB|=2\sqrt{2}所以\sin\angleEAB=\frac{|BE|}{|AB|}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},因为\angleEAB\in(0,\frac{\pi}{2}),所以\angleEAB=\frac{\pi}{4}所以直线AB的倾斜角为\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$P(x, y)$为该抛物线上的动点，又点$A(-1,0)$，则$\frac{|P F|}{|P A|}$的最小值是?
【解析】根据抛物线的定义,可求得|PF|=x+1,又|PA所以\frac{|PF|}{|PA|}=\frac{x+1}{\sqrt{y^{2}+(x+1)^{2}}}\textcircled{1}.因为y^{2}=4x,令\frac{2}{x+1}=t,则\textcircled{1}式可化简为\overline{\sqrt{1}}\underline{1}t^{2}+2t+1=其中t\in(0,2],即可求得-\sqrt{3}最小值为\frac{\sqrt{2}}{2},所以\frac{|PF|}{|PA|}的最小值为\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】若$O$、$F$、$B$分别是椭圆的中心，焦点和短轴的端点，$\angle B F O=\frac{\pi}{3}$，则此椭圆的离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左, 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线上，$\Delta P F_{1} F_{2}$的内切圆圆心为$I$，且满足$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=\overrightarrow{P I} \cdot \overrightarrow{P F_{1}}$,$P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ,则双曲线$C$的离心率为?
【解析】由\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=\overrightarrow{PI}\cdot\overrightarrow{PF}_{1},即\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}-\overrightarrow{PI}\cdot\overrightarrow{PF_{1}}=0,即\overrightarrow{PF_{1}}\cdot(\overrightarrow{PF_{2}}-\overrightarrow{PI})=\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{IF_{2}}=0所以PF_{1}\botIF_{2},又IF_{2}是\anglePF_{2}F_{1}的角平分线,所以F_{1}F_{2}=PF_{2},即2c=\frac{b^{2}}{a},即2ac=b^{2},所以c^{2}-a^{2}=2ac,从而e^{2}-2e-1=0,解得e=\sqrt{2}+1或e=-\sqrt{2}+1(舍去)
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$ ,弦$AB$的中点$P$到$y$轴的距离为$2$，则弦$AB$的长的最大值为?
【解析】
【题目】已知$m \in R$，若过定点$A$的动直线$m x-y=0$和过定点$B$的动直线$x+m y+1=0$交于点$P(x1, y1)$，则$P A+P B$的最大值为?
【解析】A(0,0),B(-1,0),动直线mx-y=0与动直线x+my+1=0相互垂直,所以P点轨迹为以AB为直径的圆,PA^{2}+PB^{2}=AB^{2}=1\thereforePA+PB\leqslant2\sqrt{\frac{PA^{2}+PB^{2}}{2}}=\sqrt{2}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，$P$为椭圆上任一点，点$M$的坐标为$(6 , 4)$，则$|P M|+| P F_{1}|$的最大值为?
【解析】
【题目】抛物线$y=-8 x^{2}$的准线方程是?
【解析】因为抛物线y=-8x^{2}的标准方程为:x^{2}=-\frac{1}{8}y,因此2p=\frac{1}{8},即p=\frac{1}{16}所以其准线方程为:y=\frac{1}{32}.
【题目】已知$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\frac{75}{4}}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的焦点，若$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】由椭圆方程知,a^{2}=25,b^{2}=\frac{75}{4},所以c^{2}=\frac{25}{4},所以c=\frac{5}{2},2c=5.在\trianglePF_{1}F_{2}中,|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos60^{\circ},即25=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\textcircled{1}.由椭圆的定义得10=|PF_{1}|+|PF_{2}|,即100=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}+2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\textcircled{2}\textcircled{2}\textcircled{1}得3|PF_{1}\cdot|PF_{2}|=75,所以|PF|\cdot|PF_{2}|=25,所以_{S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|P.F_{1}\cdot\sin60^{\circ}=25\sqrt{3}
【题目】设抛物线$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，准线为$l$ , $P$为抛物线上一点，$P A \perp l$ , $A$为垂足.如果直线$A F$的斜率为$-\sqrt{2}$,  那么$|P F|$=?
【解析】抛物线的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,直线AF的方程为y=-\sqrt{2}(x-2),与准线方程为x=-2联立,可得点A(-2,4\sqrt{2}),P(4,4\sqrt{2}),根据抛物线的定义可得.|PF|=|PA|=4+2=8,
【题目】已知动圆$M$与圆$C_{1}$:$(x+5)^{2}+y^{2}=16$外切，与圆$C_{2}$:$(x-5)^{2}+y^{2}=16$内切，则动圆圆心的轨迹方程为?
【解析】设动圆的圆心M(x,y),半径为r,则可得\begin{cases}|MC_{1}|=4+r\\|MC_{2}|=r-4\end{cases}”消r得|MC_{1}|-|MC_{2}|=8,则由双曲线的定义可知,点M的轨迹就是以C_{1},C_{2}为焦点,实轴长2a-8的双曲线的右支,所以其轨迹方程为\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1(x>0)【方法点晴】本题设动圆的半径为r,则以参数r为桥梁,容易得出|MC_{1}|,|MC,|的表示,从而把r消去便得|MC,|-|MC,|-8,从而发现点M的轨迹就是双曲线的一支.学生常见的错误在于不会引进动圆的半径x为参数,作为解题的桥梁,第二,学生自以为点M的轨迹是整条双曲线,而不是与.这就是双曲线的定义理解不全所是致的,此题有利于学生对双曲线的定义的理解,是道好颗
【题目】抛物线$y^{2}=16 x$的准线经过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{8}=1$的一个焦点，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】过双曲线$x^{2}-y^{2}=4$的左焦点$F_{1}$有一条弦$PQ$在左支上，若$|PQ|=7$ , $F_{2}$是双曲线的右焦点，则$\triangle PF_{2} Q$的周长是?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点到两焦点的距离之和为?
【解析】\because4<9,\thereforea^{2}=9,\thereforea=3,利用椭圆的定义可知椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1上一点到两焦点的距离之和为2a=6.
【题目】以原点为中心，长轴长是短轴长的$\sqrt{3}$倍，一个焦点为$(0, \sqrt{2})$的椭圆的标准方程是?
【解析】由题意,设椭圆的方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),因为以原点为中心,长轴长是短轴长的\sqrt{3}倍,一个焦点为(0,\sqrt{2})所以2a=2b\times\sqrt{3},c=\sqrt{2},又a^{2}=b^{2}+c^{2}联立方程求解得a^{2}=3,b^{2}=1所以椭圆的标准方程为\frac{y^{2}}{3}+x^{2}=1
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的左焦点到直线$3 x-4 y-4=0$的距离为?
【解析】设左焦点为F(-2,0),则左焦点到直线3x-4y-4=0的距离为d=\frac{3\times(-2)-4\times0}{3^{2}+4^{2}}4\times0-4
【题目】过抛物线$x^{2}=8 y$的焦点$F$作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$两点，若$y_{1}+y_{2}=8$，则线段$A B$的长为?
【解析】由抛物线定义得|AF|=y_{1}+\frac{p}{2},|BF|=y_{2}+\frac{p}{2}所以|AB|=|AF|+|BF|=y+y+p=12.
【题目】已知斜率为$2$的直线$l$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$交于$A$、$B$两点，若点$P(2,1)$是线段$A B$的中点，则$C$的离心率等于?
【解析】根据点差法列式求解得a^{2}=b^{2},再利用b^{2}=c^{2}.-a2替换,即可得离心率.[f(x)点P(2,1)是线段AB的中点,所以\frac{2}{2}=0\Rightarrow\frac{4}{a^{2}}-\frac{2(y_{1}-y_{2})}{b^{2}(x_{1}-x_{2})}=0,又因为直线l斜率为2,所以a^{2}=b^{2},即a^{2}=c^{2}-a^{2}\Rightarrow\frac{c}{a}=\sqrt{2}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，直线$3 x+4 y=0$，则椭圆上点到这条直线的最长距离是?
【解析】设椭圆上任意一点P(2\cos\theta,\sqrt{3}\sin\theta)所以点P到直线3x+4y=0的距离为d则d=\frac{|6\cos\theta+4\sqrt{3}\sin\theta}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}当|\sin(\theta+\varphi)|=1时,有_{d}|_{=}^{2\sqrt{21}|\sin(\theta+\varphi)|}(\tan\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2})
【题目】直线$l$交椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点坐标为$(1, \frac{1}{2})$. 则直线$l$的方程为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),代入椭圆方程有\frac{x_{1}2}{2}+y_{1}^{2}=1,\frac{x_{2}}{2}+y_{2}=1,两式相减得\underline{(x_{2}-x}\frac{c_{1}(x_{2}+x_{1}}{2}=-(y_{2}+y_{1}(y_{2}-y_{y},,即\underline{(x_{2}-x_{1})^{2}}=-(y_{2}-y_{1},所以_{k_{AB}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-1,所以直线l的方程为y-\frac{1}{2}=-(x-1),即2x+2y-3=0.方法
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$的一条渐近线为$y=\sqrt{2} x$，则实数$a$的值为?
【解析】\because\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\therefore双曲线\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1的渐近线y=\pm\frac{a}{\sqrt{2}}x\because双曲线\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1的一条渐近线为y=\sqrt{2}x\therefore\pm\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}解得a=\pm2
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过焦点$F_{2}$且垂直于$x$轴的直线与双曲线相交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{F_{1} A} \cdot \overrightarrow{F_{1} B}=0$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上两点$A$、$B$与中心$O$的连线互相垂直，则$\frac{1}{|O A|^{2}}+\frac{1}{|O B|^{2}}$=?
【解析】
【题目】斜率为$2$的直线$l$被双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$截得的弦恰被点$M(2,1)$平分，则$C$的离心率是?
【解析】分析:设出弦两端点的坐标,代入双曲线方程后作差可得a,b的关系式,从而求得离心率详设直线l的与双曲线的两个交点为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{\frac{2}{2}}=1\end{cases}两式相减得\frac{(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}{x_{1}+x_{2}=4,y_{1}+y_{2}=2,\frac{y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})}{x_{1}}y_{2}_{2}}=0,即\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}}=x_{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\cdot\frac{x_{1}+x_{2}^{2}}{y_{1}+y_{2}},又由已知所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}.
【题目】若$m x^{2}+y^{2}=1$的长轴是短轴的$2$倍，则$m$=?
【解析】
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$有共同的渐近线，并且过点$A(6,8)$的双曲线的标准方程为?
【解析】设所求双曲线为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=\lambda(\lambda\neq0),把点(6,8)代入,得\frac{36}{9}-\frac{128}{16}=\lambda解得\lambda=4,\therefore所求的双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{64}-\frac{x^{2}}{36}=1\cdot
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左顶点与抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点的距离为$4$，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为$(-2 ,-1)$，则双曲线的焦距为?
【解析】由题意,双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交点坐标为(-2,-1)即点(-2,-1)在抛物线的准线上,故-\frac{p}{2}=-2,得p=4则抛物线的焦点坐标为(2,0)于是,双曲线的左顶点为(-2,0),即a=2又点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,则其渐近线方程为y=\pm\frac{1}{2}x由双曲线性质可得,b=1,进而c=\sqrt{5}故焦距为2\sqrt{5}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的斜率为正的渐近线为$l$，若曲线$E$: $\sqrt{4 x-x^{2}}$上存在不同$3$点到$l$的距离为$1$，则双曲线$C$的离心率的取值范围是?
【解析】已知l:y=\frac{b}{a}x'曲线E:y=\sqrt{4x-x^{2}}表示以点A(2,0)为圆心,2为半径的圆的上半部分(包含端点),点A到直线l的距离d_{1}=\frac{2b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},曲线E:y=\sqrt{4x-x^{2}}的一个端点B(4,0)到直线l的距离d_{2}=\frac{4b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},等价于2-d_{1}>1且d_{2}\geqslant1,即\frac{1}{4}\leqslant\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}<\frac{1}{2},解不等式即得解[详解]由题意知:y=\frac{b}{a}x'曲线E:y=\sqrt{4x-x^{2}}即(x-2)^{2}+y^{2}=4(y\geqslant0),表示以点A(2,0)为圆心,2为半径的圆的上半部分(包含端点).点A到直线l的距离d_{1}=\frac{2b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}曲线E的一个端点B(4,0)到直线l的距离d_{2}=\frac{4b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}因为曲线E:y=\sqrt{4x-x^{2}}上存在不同3点到l的距离为l,所以2-d_{1}>1且d_{2}\geqslant1,整理得\frac{1}{4}\leqslant\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}<\frac{1}{2},故\frac{1}{4}\leqslant\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{a}{b})^{2}}}<\frac{1}{2},则2<\sqrt{1+\frac{a^{2}}{b^{2}}}\leqslant4所以\frac{1}{16}\leqslant\frac{b^{2}}{c^{2}}<\frac{1}{4},即\frac{1}{16}\leqslant1-\frac{1}{e^{2}}<\frac{1}{4},得\frac{4\sqrt{15}}{15}\leqslante<\frac{2\sqrt{3}}{3}\frac{\sqrt{15}}{15},\frac{2\sqrt{3}}{3})
【题目】若椭圆的两焦点是$(-2,0)$ ,$(2,0)$，且该椭圆过点$(2,3)$，则该椭圆的标准方程是?
【解析】
【题目】双曲线$M$: $x^{2}-(y-1)^{2}=1$的虚轴长为?
【解析】双曲线M:x^{2}-(y-1)^{2}=1,虚半轴为1虚轴长为:2.
【题目】已知点$M$的坐标是$(1,1)$ , $F_{1}$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的左焦点，$P$是椭圆上的动点，则$|P F_{1}|+|P M|$的取值范围是?
【解析】\because|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=6那么|PF_{1}|=6-|PF_{2}|则|PF_{1}|+|PM|=6-|PF_{2}|+|PM|=6+(|PM|-|PF_{2}|)根据三角形三边关系可知,当点P位于P_{1}时,|PM|-|PF_{2}|的差最小.此时F_{2}与M点连线交椭圆于P_{1},易得-|MF_{2}|=-\sqrt{2},此时,|PF_{1}|+|PM|也得到最小值,其值为6-\sqrt{2}当点P位于P_{2}时,|PM|-|PF_{2}|的差最大,此时F_{2}与M点连线交椭圆于P_{2}易得|MF_{2}|=\sqrt{2},此时|PF_{1}|+|PM|也得到最大值,其值为6+\sqrt{2}则所求范围是[6-\sqrt{2},6+\sqrt{2}]
【题目】抛物线$x^{2}=\frac{1}{4} y$的准线方程是?
【解析】本题考查根据抛物线的方程求准线方程,判定开口方向,求得p的值,然后根据公式得出准线方程抛物线x^{2}=\frac{1}{4}y中,y\geqslant0,是一原点为顶点,开口方向向上的抛物线,2p=\frac{1}{4}\therefore抛物线的准线方程为y=-\frac{1}{16},
【题目】若椭圆$x^{2}+m y^{2}=1$的一个焦点与抛物线$x^{2}=4 y$的焦点重合，则$m$=?
【解析】抛物线x^{2}=4y的焦点为(0,1),椭圆x^{2}+my^{2}=1的一个焦点与抛物线x^{2}=4y的焦点重合可得\sqrt{\frac{1}{m}-1}=1^{x}解得m=\frac{1}{2}
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$，如果$x_{1}+x_{2}=8$，则$|A B|$=?
【解析】抛物线y^{2}=4x,p=2,设抛物线焦点为F,则|AB|=|AF|+|BF|=x_{1}+x_{2}+p=10.的时)本题考查了抛物线的弦长,考查了焦半径知识,考查了学生的计算求解能力,属于基础题
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{7}=1$有公共焦点，且长轴长为$8$的椭圆方程为?
【解析】首先根据题中所给的双曲线的方程写出其焦点坐标,从而确定椭圆的焦点所在轴并且得到c=3.再根据椭圆的长轴长,得到a=4,利用椭圆中a,b,c的关系,求得b^{2}=7,进而得到椭圆的方程因为椭圆与双曲线\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{7}=1有相同的焦点(\pm3,0)所以c=3,因为长轴长为8,所以2a=8,a=4,所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=16-9=7,所以椭圆的方程为\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$与圆$M$:$(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}=r^{2}(0<r<\sqrt{2})$，过椭圆$C$的上顶点$P$做圆$M$的两条切线分别与椭圆$C$相交于$A$、$B$两点 (不同于$P$点)，则直线$P A$与直线$P B$的斜率之积等于?
【解析】圆M:(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}=r2(0<r<\sqrt{2}),由椭圆方程\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1得其上顶点P(0,\sqrt{2}).0<r<\sqrt{2},\therefore过P作圆M的两条切线的斜率存在.不妨令PA,PB的直线方程为y=kx+\sqrt{2},则圆心M(-\sqrt{2},0)到此直线kx-y+\sqrt{2}=0的距离等于半径r,即\frac{|-\sqrt{2}k+\sqrt{2}|}{\sqrt{k^{2}+1}}=r化简得(2-r2)k^{2}-4k+2-r2=0,\thereforek_{PA}\cdotk_{PB}=\frac{2-r^{2}}{2-r^{2}}=1,
【题目】已知抛物线$y=a x^{2}(a \in R)$的准线方程为$y=-1$, 则$a$=?
【解析】
【题目】已知焦点在$x$轴上的双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{3} x$，则该双曲线的离心率为?
【解析】由题意得\frac{b}{a}=\frac{1}{3}\Rightarrowa:b:c=3:1:\sqrt{10}\Rightarrowe=\frac{\sqrt{10}}{3}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的焦点到渐近线的距离为?
【解析】焦点(\pm5,0),渐近线y=\pm\frac{4}{3}x,即4x-3y=0,则d=\frac{20}{5}=4
【题目】直线$y=kx-2$交抛物线$y^{2}=8 x$于$A$,$B$两点，若$AB$中点的横坐标是$2$, 则  $|A B|$?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>1, b>0)$的焦距为$2 c$，直线$l$过点$(a, 0)$和$(0, b)$，且点$(1,0)$到直线$l$的距离与点$(-1,0)$到直线$l$的距离之和$s \geq \frac{4}{5} c$，则双曲线离心率$e$的取值范围为?
【解析】设直线l的方程为\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,即bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,得点(1,0)到直线的距离d_{1}=\frac{b(a-1)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}点(-1,0)到直线的距离d_{2}=\frac{b(a+1)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}所以s=d_{1}+d_{2}=\frac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{2ab}{c}由s\geqslant\frac{4}{5}c,得\frac{2ab}{c}\geqslant\frac{4}{5}c,即5a\sqrt{c^{2}-a^{2}}\geqslant2c^{2}因为e=\frac{c}{a},所以5\sqrt{e^{2}-1}\geqslant2e^{2},所以25(e^{2}-1)\geqslant4e^{4}即4e^{4}-25e^{2}+25\leqslant0,所以\frac{5}{4}\leqslante^{2}\leqslant5(e>1),所以\frac{\sqrt{5}}{2}\leqslante\leqslant\sqrt{5}即e的取值范围为|\frac{\sqrt{5}}{2},\sqrt{5}|.
【题目】直线$x-2 y+2=0$与椭圆$x^{2}+4 y^{2}=4$相交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】方程$\frac{x^{2}}{m-3}+\frac{y^{2}}{9-m}=1$表示椭圆，则$m$的取值范围是?
【解析】因为\frac{x^{2}}{m-3}因为\frac{m-3}{m-3}+\frac{y^{2}m}{m-3}=1表示椭圆,所以\begin{cases}9-m>0\\m-3\neq9-m\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3<m<9\\m\neq6\end{cases}即m的范围是3<m<9且m\neq6,
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，直线$l$过点$F_{2}$交双曲线右支于$P$、$Q$两点，若$|P F_{1}|=3|P F_{2}|$,$|P Q|=4|P F_{2} |$,则双曲线$C$的离心率为?
【解析】设|PF_{2}|=m,则|PF_{1}|=3m,|PQ|=4m,推出|QF_{2}|=3m,由双曲线的定义,通过判断\trianglePQF_{1}是直角三角形,得到(3a)^{2}+a^{2}=(2c)^{2},求解离心率即可.设|PF_{2}|=m,则|PF_{1}|=3m,|PQ|=4m,\therefore|QF_{2}|=3m,由双曲线的定义,得\begin{cases}|PF_{1}|-|PF_{2}|=2m=2a\\|QF_{1}|-|QF_{2}|=|QF_{1}|-3m=2a\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}|QF_{1}|=5a\\m=a\end{cases}则此时满足|PF_{1}^{2}+|PQ|=|QF_{1}^{2},\therefore\trianglePQF_{1}是直角三角形且\angleQPF_{1}=90^{\circ},\therefore|PF_{1}^{2}+|PF_{2}^{2}|=|F_{1}F_{2}^{2}\Rightarrow(3a)^{2}+a^{2}=(2c)^{2}得e=\frac{\sqrt{10}}{2}
【题目】已知椭圆$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1(a_{1}>b_{1}>0)$与双曲线$C_{2}$:$ \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{2}^{2}}=1(a_{2}>0, b_{2}>0)$有公共的焦点$F_{1}$、$F_{2}$，设$P$是$C_{1}$、$C_{2}$的一个交点，$C_{1}$与$C_{2}$的离心率分别是$e_{1}$, $e_{2}$，若$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，则$e_{1} e_{2}$的最小值为?
【解析】
【题目】已知抛物线的顶点在原点，焦点在$y$轴上，抛物线上的点$P(a,-2)$到焦点的距离为$3$，则抛物线的方程是?
【解析】设抛物线方程为x^{2}=-2py(p>0),由抛物线的定义(或焦半径公式)可求得p.设x^{2}=-2py(p>0),抛物线上的点P(a,-2)到焦点的距离为点P到准线y=\frac{p}{2}的距离则\frac{p}{2}+2=3,解得p=2,则抛物线方程为x^{2}=-4y
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，抛物线上一点$M(2, m)$满足$|M F|=6$，则抛物线$C$的方程为?
【解析】求得抛物线的准线方程,由抛物线的定义推导出2+\frac{p}{2}=6,解得p,由此能求出抛物线的方程.[详解]\because抛物线C:y^{2}=2px(p>0),\therefore抛物线准线方程是x=-\frac{p}{2},因为抛物线上一点M(2,m)到焦点的距离是6,所以由抛物线的定义可得点M(2,m)到准线的距离也是6,即2+\frac{p}{2}=6,解得p=8,\therefore抛物线的方程是y^{2}=16x
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{16}=1(a>0)$的一个焦点$F(3 , 0)$，则$a$=?
【解析】
【题目】若点$P$是抛物线$y=x^{2}$上任意一点，则点$P$到直线$y=x-2$的最小距离为?
【解析】当P到直线y=x-2距离最小时,P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,\therefore所求最小距离d=\frac{|\frac{1}{2}-\frac{\therefore}{4}-2|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{8}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率$e \in[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$，则$m$的取值范围为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的左右焦点分别是$F_{1}$、$F_{2}$，椭圆上有一点$P$ , $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则三角形$F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】\because椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1,\thereforea=4,b=3,c=\sqrt{7}又\becauseP为椭圆上一点,\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ},F_{1},F_{2}为左右焦点,\therefore|F_{1}P|+|PF_{2}|=2a=8|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{7},|F_{1}F_{2}|^{2}=(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}-2|F_{1}P|\cdot|PF_{2}|-2|F_{1}P|\cdot|PF_{2}|\cos60^{\circ}=64-3|F_{1}P|\cdot|PF_{2}|=28,\therefore|F_{1}P|\cdot|PF_{2}|=12.\thereforeS_{\DeltaPF_{F}}=\frac{1}{2}|F_{1}P|\cdot|PF_{2}|\sin60^{\circ}=3\sqrt{3}数答家为:2.2
【题目】已知过抛物线$C$: $x^{2}=8 y$的焦点$F$的直线$l$交$C$于$A$、$B$两点，若点$A$的横坐标为$2$，则点$B$到$C$的准线的距离为?
【解析】由已知得F(0,2),准线方程为y=-2因为点A的横坐标为2,所以点A的纵坐标为\frac{1}{2},即A(2,\frac{1}{2})所以直线l的斜率为_{k}=\frac{2-\frac{1}{2}}{0-2}=-所以直线l的方程为y=-\frac{3}{4}x+2,由\begin{cases}y=-\frac{3}{4}x+2\\x^{2}=8y\end{cases},得x^{2}+6x-16=0,解得x=2或x=-8,所以点B的纵坐标为8所以点B到C的准线的距离为8+2=10,
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m-5}=1$的一个焦点到中心的距离为$3$，那么$m$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$y=x^{2}$的焦点为$F$，过点$F$的直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，若$|A B|=3$，则线段$A B$的中点到$x$轴的距离为?
【解析】如图,F为焦点,AB中点为E,抛物线准线l的方程:y=-\frac{1}{4}分别过A、E、B做/的垂线并交l于点L,M,N.又根据抛物线性质,|FA|=|AL|,|FB|=|BN|,\therefore|AL|+|BN|=|FA|+|FB|=|AB|=3,\therefore|EM|=\frac{3}{3},\therefored=|EM|-\frac{1}{4}=\frac{3}{2}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}
【题目】已知$F$是椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的左焦点，过原点$O$的直线交椭圆$C$于$P$、$Q$两点，若$|PF | \cdot|  QF |=9$，则$|PQ|$=?
【解析】
【题目】$P(x_{0}, y_{0})(x_{0} \neq \pm a)$是椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上一点，$M$、$N$分别是椭圆$E$的左、右顶点，直线$P M$, $P N$的斜率之积$-\frac{1}{5}$，则椭圆的离心率为?
【解析】依题意M(-a,0),N(a,0),\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrowy_{0}^{2}=(a^{2}-x_{0}^{2})\cdot\frac{b^{2}}{a^{2}}k_{PM}\cdotk_{PN}=\frac{y_{0}}{x_{0}+a}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-a}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}=-\frac{1}{5},\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{5}e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}
【题目】椭圆$a x^{2}+b y^{2}+a b=0(a<b<0)$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{2}-x^{2}=1$的渐近线方程为?
【解析】根据双曲线的渐近线方程的定义求解.[详解]\because双曲线的方程为\frac{y^{2}}{2}-x^{2}=双曲线的渐近线方程为\sqrt{2}x\pmy=0
【题目】在椭圆$\frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1$上有两个动点$P$ , $Q$ ,$ E(0,1)$为定点，$E P \perp E Q$，则$\overrightarrow{E P} \cdot \overrightarrow{Q P}$的最小值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>0)$的焦点$F_{1}$、$F_{2}$，抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点为$F$，若$\overrightarrow{F_{1} F}=3 \overrightarrow{F F_{2}}$，若$z \geq a^{2}-p^{2}$恒成立，则$z$的取值范围为?
【解析】由题意\overrightarrow{F_{1}F}=3\overrightarrow{FF_{2}},故F_{1}F_{2},F三点共线,即椭圆焦点在x轴上,a>1故椭圆的焦点为F_{1}(-\sqrt{a^{2}-1},0),F_{2}(\sqrt{a^{2}-1},0),抛物线的焦点F(\frac{p}{2},0)用坐标表示\overrightarrow{F_{1}F}=3\overrightarrow{FF_{2}},有(\frac{p}{2}+\sqrt{a^{2}-1},0)=3(\sqrt{a^{2}-1}-\frac{p}{2},0)可得p=\sqrt{a2-1},即a^{2}-p^{2}=故z\geqslanta^{2}-p^{2}=]即z的取值范围为[1,+\infty)
【题目】设斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的直线$l$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$交于不同的两点$P$、$Q$，若点$P$、$Q$在$x$轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是?
【解析】把x=c代入双曲线方程\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),得:y=\pm\frac{b^{2}}{a}所以A,B两点的坐标分别为:(c,\frac{b^{2}}{a}),(-c,-\frac{b^{2}}{a})由题意得:\frac{b^{2}}{ac}=\frac{\sqrt{2}}{2}c^{2}-a^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}ac\Rightarrowe^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}e-1=0解得:e=\sqrt{2}或e=-\frac{\sqrt{2}}{2}(舍去)所以答案填:\sqrt{2}
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上的点$A(x_{0}, 2)$到焦点的距离是点$A$到$y$轴距离的$2$倍，则$p$=?
【解析】抛物线的准线方程为x=-\frac{p}{2}.由抛物续的性质可得x_{0}+\frac{p}{2}=2x_{0},所以x_{0}=\frac{p}{2}\textcircled{1}而A(x_{0},2)在抛物线y^{2}=2px(p>0)上,即4=2px_{0}\textcircled{2}.由\textcircled{1}\textcircled{2}可得p=2.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的左焦点坐标是?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1可得a=\sqrt{3},b=1,则c=2,所以双曲线的左焦点坐标为(-2,0)
【题目】已知直线$x-y-1=0$与抛物线$y=a x^{2}$相切，则$a$=?
【解析】直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切,切点为(x_{0},y_{0})则有{y_{0}=ax_{0}^{2}平得a=\frac{1}{4}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与直线$x+2 y-1=0$平行，则双曲线的离心率为?
【解析】由题意,双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,因为双曲线的一条渐近线与直线x+2y-1=0平行可得-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2},即\frac{b}{a}=\frac{1}{2},则e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】若椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{10-a}+\frac{y^{2}}{a-2}=1$，且此椭圆的焦距为$4$，则实数$a$=?
【解析】因为\frac{x2}{10-a}+\frac{y^{2}}{a-2}=1是椭圆的方程,所以10-a>0且a-2>0,所以2<a<10由椭圆的方程可得c^{2}=|10-a-(a-2)|=|12-2a|,又2c=4,所以|12-2a|=4,解得a=4或a=8.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，若$M F \perp x$轴，$M F$的中点为$P$，点$A$，$B$为双曲线顶点，当$\angle A P B$最大时，点$M$恰好在双曲线上，则该双曲线的离心率为?
【解析】设P(c,y_{0}),y_{0}>0,A为左顶点,B为右顶点\therefore当\angleAPB最大时,\tan\angleAPB最大又\angleAPB=\angleAPF-\angleBPF,\tan\angleAPF=\frac{c+a}{y_{0}},\tan\angleBPF=\frac{c-a}{y_{0}}\therefore\tan\angleAPB=\frac{\tan\angleAPF-\tan\angleBPF}{1+\tan\angleAPF\cdot\tan\angleBPF}\frac{b^{2}}{y_{0}}=\frac{a}{b},当且仅当y_{0}=\frac{b^{2}}{y_{0}},即为y_{0}=b时取等号\therefore此时点P的坐标为(c,b),点M的坐标为(c,2b)将点M的坐标代入双曲线方程,得\frac{c^{2}}{a^{2}}-\frac{4b^{2}}{b^{2}}=1,得\frac{c}{a}=\sqrt{5}\therefore当\angleAPB最大时,该双曲线离心率为\sqrt{5}

hbghlyj

【题目】过双曲线$C$:$ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点作圆$x^{2} + y^{2}=a^{2}$的两条切线，切点分别为$A$、$B$，若$\angle A O B=120 ° $（$O$是坐标原点），则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$的一个焦点$F_{1}$的直线与椭圆交于$A$、$B$两点，则$A$、$B$与椭圆的另一焦点$F_{2}$构成的$\Delta A B F_{2}$的周长为?
【解析】\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1\thereforea^{2}=3\thereforea=\sqrt{3}\therefore4a=4\sqrt{3},由椭圆定义可知\triangleABF_{2}的周长为4a=4\sqrt{3}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1$的焦距等于$2$，则$m$的值为?
【解析】
【题目】已知圆$C_{1}$:$(x-2)^{2}+y^{2}=4$ , $C_{2}$:$(x+r)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$，若圆$C_{3}$与$C_{1}$和$C_{2}$均外切，且圆$C_{3}$的圆心的轨迹$\Omega$的离心率为$3$，则$r$的取值集合是?
【解析】由圆与圆的位置关系可得|C_{1}C_{3}|=2+R,|C_{2}C_{3}|=r+R,按照0<r<2、r=2、r>2分类,结合双曲线性质列方程即可得解.由题意圆C_{1}的圆心C_{1}(2,0),半径为2,圆C_{2}的圆心C_{2}(-r,0),半径为r且|C_{1}C_{2}|=2+r,设圆C_{3}的半径为R,因为圆C_{3}与C_{1}和C_{2}均外切,所以|C_{1}C_{3}|=2+R,|C_{2}C_{3}|=r+R当0<r<2时,0<|C_{1}C_{3}|-|C_{2}C_{3}|=2-r<2+r,此时圆C_{3}的圆心的轨迹为双曲线的-部分所以圆C_{3}的圆心的轨迹的离心率e=\frac{|C_{1}C_{2}|}{|C_{1}C_{3}|-|C_{2}C_{3}|}\frac{2+r}{2-}=3,解得r=1当r=2时,|C_{1}C_{3}|-|C_{2}C_{3}|=2-r=0,不合题意;当r>2时,0<|C_{2}C_{3}|-|C_{1}C_{3}|=r-2<2+r此时圆C_{3}的圆心的轨迹为双曲线的一部分所以圆C_{3}的圆心的轨迹的离心率e=\frac{|C_{1}C_{2}|}{|C_{2}C_{3}|-|C_{1}C_{3}|}=\frac{2+r}{r-2}=3,解得r=4;所以r的取值集合是{1,4}.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的左右焦点，过$F_{1}$的直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}=b^{2}$相切于点$M$，且$|M F_{2}|=2|M F_{1}|$，则直线$l$的斜率是?
【解析】设F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)设直线l的斜率为k,可得直线l的方程为y=k(x+c),由过F_{1}的直线l与圆x^{2}+y^{2}=b^{2}相切,可得\frac{|kc|}{\sqrt{1+k^{2}}}=b,平方可得b^{2}(1+k^{2})=k^{2}c^{2},\textcircled{1}在直角三角形OMF_{1}中,可得|MF_{1}|=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=a,即有|MF_{2}|=2|MF_{1}|=2a,由OM为三角形MF_{1}F_{2}的中线,可得(2|OM|)^{2}+(|F_{1}F_{2}|)^{2}=2(|MF_{1}|^{2}+|MF_{2}|^{2})即为4b^{2}+4c^{2}=2(a^{2}+4a^{2}),即有10a^{2}=10(c^{2}-b^{2})=4b^{2}+4c^{2},即有3c^{2}=7b^{2}代入\textcircled{1}可得,1+k^{2}=\frac{7}{3}k^{2},解得k=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.用直线和圆相切的条件:d=r,以及平面几何中三角形的勾股定理和中线长公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
【题目】已知动点$P$到定点$(1,0)$的距离等于它到定直线$l$: $x=-1$的距离，则点$P$的轨迹方程为?
【解析】因为动点P到定点(1,0)的距离等于它到定直线l:x=-1的距离由抛物线的定义,可得点P的轨迹是以(1,0)为焦点,以及l:x=-1为准线的抛物线.设抛物线方程为:y^{2}=2px(p>0),则p=2,即所求轨迹方程为:y2=4x.
【题目】已知$P$为椭圆$4 x^{2}+y^{2}=4$上的点，$O$为原点，则$|O P|$的取值范围是?
【解析】\because椭圆方程为4x^{2}+y^{2}=4\therefore椭圆的标准方程为x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1\thereforea^{2}=4,b^{2}=1\becauseP为椭圆上的点,O为原点\therefore|OP|的取值范围是1,2
【题目】已知椭圆$x^{2} \sin \alpha-y^{2} \cos \alpha=1(0<\alpha<2 \pi)$的焦点在$y$轴上，则$\alpha$的取值范围是?
【解析】椭圆x^{2}\sin\alpha-y2\cos\alpha=1(0<\alpha<2\pi)化为标准方程得\frac{x^{2}}{\sin\alpha}+\frac{y^{2}}{-\cos\alpha}=1\because它的焦点在y轴上,\therefore0<-\cos\alpha<\sin\alpha,\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt{2}\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})>0,则0<\alpha<\frac{3\pi}{4},综上可得\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{3\pi}{4},\therefore\alpha\in(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})
【题目】已知点$M$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$上的动点，作$M D \perp x$轴. 垂足为$D$. 点$P$在线段$M D$上，且$\frac{|D M|}{|D P|}=\frac{3}{2}$，当点$M$运动时，点$P$的轨迹方程?
【解析】设P(x,y),M(x_{0},y_{0}),\therefore\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{9}=1^{;}\becauseMD\botx轴,P在MD上且\frac{|DM|}{|DP|}=\frac{3}{2},\therefore\begin{cases}x=x_{0}\\\frac{y_{0}}{v}=\frac{3}{2}\end{cases}\begin{cases}x_{0}=x\\y_{0}=\frac{3}{2}y\end{cases}\therefore\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}=1,即点P的轨迹方程为x^{2}+y^{2}=4.
【题目】过抛物线$y^{2}=2 x$的焦点$F$作直线交抛物线于$A$ , $B$两点，若$|AB|=\frac{25}{12}$ ,$|AF|<|BF|$，则$|AF|$=?
【解析】
【题目】已知圆$M$: $x^{2}+(y-1)^{2}=1$，圆$N$: $x^{2}+(y+1)^{2}=1$，直线$l_{1}$ , $l_{2}$分别过圆心$M$、$N$且$l_{1}$与圆$M$相交于$A$ , $B$ , $l_{2}$与圆$N$相交于$C$、$D$、$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的任意一动点，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P D}$的最小值为?
【解析】易知点M、N为椭圆的两个焦点,所以|M|+|PN|=4.同时,结合图像已知,MA+MB=0,MA\cdotMB=-1'NC+N=0,NC\cdotN=-1'所以\overset\rightarrowPA_{=}(PM+\frac{\overset\rightarrowPC\cdot}{P_{D}}+MA)\cdot(PM+MB)+(\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NC})\cdot(\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{ND})=\frac{\sqrt{m}}{PM^{2}}+\frac{\sqrt[m]{A}}{PM}.(MA+MB)+MA\cdotMB+PN^{2}+PN.(N'C+MD+N^{x}\cdotM\frac{\pi}{D}=|PM|^{2}+0-1+|PN|^{2}+0-1=|PM|^{2}+|PN^{2}|-2又因(\frac{x+y}{2})^{2}\leqslant\frac{x^{2}+y^{2}}{2},所以|\overrightarrow{PM}|^{2}+|\overrightarrow{PN}|^{2}\geqslant\frac{|PM|+|PN|^{2}}{2}=8'M^{2}+|NN^{2}-2\geqslant\frac{(|M|+||N|)^{2}}{2}-2=6'故\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}\geqslant6因此\frac{\sqrt{1}}{PA}\cdot\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}的最小值为6.
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$与过其焦点$F$的直线 $l$交于$A$、$B$两点，且$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=-\frac{3}{4}$，其中$O$为坐标原点，则$|A F|+4|B F|$的最小值为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左，右焦点，$P$为椭圆上任一点，点$M$的坐标为$(6,4)$,则$|PM|+|PF_{1}|$的最大值为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$,$A(-a, 0)$, $B(0, b)$,$C(0,-b)$分别为其三个顶点.直线$C F$与$A B$交于点$D$，若椭圆的离心率$e=\frac{1}{3}$，则$\tan \angle B D C$=?
【解析】做出图像可知:\angleBDC=\angleBAO+\angleCFO,利用两角和的正切表示\tan\angleBDC,有\tan\angleBAO=\frac{b}{a},\tan\angleCFO=\frac{b}{c},根据离心率可求出\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{b}{c}=2\sqrt{2},代入正切公式即可求出结果.由图像可知:\angleBDC=\angleBAO+\angleDFA=\angleBAO+\angleCFO所以\tan\angleBDC=\tan(\angleBAO+\angleCFO)=\frac{\tan\angleBAO+\tan\angleCFO}{1-\tan\angleBAO\tan\angleCFO}=\frac{\frac{b}{a}+\frac{b}{c}}{1-\frac{b}{a}\cdot\frac{b}{c}}因为离心率e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3},可设a=3m,c=m,那么b=2\sqrt{2}m,极有\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3},\frac{b}{c}=2\sqrt{2},代入上式得\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}+2\sqrt{2}}{1-\frac{2\sqrt{2}}{3}\times2\sqrt{2}}=-\frac{8\sqrt{2}}{5}.
【题目】写出一个与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$渐近线相同的双曲线的标准方程 (不同于原双曲线)?
【解析】与双曲线\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1渐近线相同的双曲线可设为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=\lambda,(\lambda\neq0)当\lambda=1时,和原双曲线完全相同,故得到\lambda\neq1,故得到\frac{x^{2}}{9\lambda}-\frac{y^{2}}{4\lambda}=1(\lambda\neq0,\lambda\neq1)中的一个,即满足条件的双曲线可令\lambda=2即可得到方程为:\frac{x^{2}}{18}-\frac{y^{2}}{8}=1
【题目】点$P$是椭圆$\frac{y^{2}}{5}+\frac{x^{2}}{4}=1$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$是焦点，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$\triangle F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】
【题目】已知双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{2}=1$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】由双曲线方程可知:a=2\sqrt{2},b=\sqrt{2}\therefore渐近线方程为:y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}x=\pm\frac{1}{2}x本题正确结果:y=\pm\frac{1}{2}x
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$，双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的一条渐近线与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，且$A F \perp B F$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】设双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的一条渐近线为y=\sqrt{3}x,代入椭圆方程,可得x^{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{b^{2}+3a^{2}}即有A(\frac{ab}{\sqrt{b^{2}+3a^{2}}},\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{b^{2}+3a^{2}}}),B(-\frac{ab}{\sqrt{b^{2}+3a^{2}}},\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{b^{2}+3a^{2}}}),由AF\botBF可得,|OF|=\frac{1}{2}|AB|,即为c=\frac{2ab}{\sqrt{b^{2}+3a^{2}}},\thereforec^{2}(4|a^{2}-c^{2})=4a^{2}(4a^{2}-c^{2}),\thereforec^{4}-8a^{2}c^{2}+4a^{4}=0\thereforee^{4}-8e^{2}+4=0,\thereforee^{2}=4-2\sqrt{3},\thereforee=\sqrt{3}-1
【题目】与直线$x=-2$相切，且经过点$(2 , 0)$的动圆圆心$C$的轨迹方程是?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$，其焦点为$F$，$P$是抛物线上一点，定点$A(6 , 3)$，则$|PA|+| PF |$的最小值是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率为$2$ ,它的一个焦点与抛物线$y^{2}=16 x$的焦点相同，那么该双曲线的渐近线方程为?
【解析】\because双曲线的一个焦点与抛物线y^{2}=16x的焦点相同,\therefore焦点为(4,0),\thereforec=4,\because双曲线的离心率为2,\therefore\frac{c}{a}=2,\thereforea=2,\becausec^{2}=a^{2}+b^{2},\thereforeb=2\sqrt{3},\therefore双曲线的渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{2\sqrt{3}}{2}x=\pm\sqrt{3}x'\therefore双曲线的渐近线方程为\sqrt{3}x\pmy=0
【题目】已知$P$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为$C$的左右焦点，若$\triangle P F_{1} F_{2}$的内切圆的直径为$a$，则双曲线$C$的离心率的取值范围为?
【解析】如图所示,设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,P为双曲线的右支上一点,设P(s,t),由双曲线的第二定义:e=\frac{|PF|}{d}(d为P到双曲线的焦点F相应准线的距离),可得m=es+a,n=es-a,由APF_{1}F_{2}的面积可得\frac{1}{2}\cdot2c\cdot|t|=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot(m+n+2c),即为2c|t|=a(es+c),即2c|t|=cs+ca,则a=2|t|-s有解,不妨设t>0,可得2t-s>0,可得t=\frac{1}{2}s+\frac{1}{2}a,由渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,且P(s,t)在双曲线上,可得\frac{b}{a}>\frac{1}{2}时,方程a=2|t|-s有解睛】本题主要考查了双曲线的定义的应用,以及双曲线的离心率的求解,其中求双曲线的离心率(或范围),常见有两种方法:\textcircled{1}利用定义法,求出a,c的值,代入公式e=\frac{c}{a};\textcircled{2}只需要根据条件得到关于a,b,c的齐次式,转化为a,c的齐次式,然后转化为关于e的方程,即可得e的值(范围),着重考查了推理与运算能力,属于中档试题
【题目】已知椭圆$4 x^{2}+y^{2}=1$与直线$y=x+m$有公共点，则实数$m$的取值范围是?
【解析】由\begin{cases}4x^{2}+y^{2}=1\\y=x+m\end{cases},得5x^{2}+2mx+m^{2}-1=0因为直线与椭圆有公共点,所以A=4m^{2}-20(m^{2}-1)\geqslant0,即m^{2}\leqslant\frac{5}{4},解得-\frac{\sqrt{5}}{2}\leqslantm\leqslant\frac{\sqrt{5}}{2}.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$，以$P(-2,0)$为圆心，半径为$5$的圆与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，若$|O A|=\sqrt{17}$(点$O$为坐标原点)，则$p$=?
【解析】在\triangleAOP中,利用余弦定理求得\cos\angleAOP,进而得到\cos\angleAOx,然后由|OA|=\sqrt{17},求得点A的坐标,代入抛物线方程求解.如图所示:在\triangleAOP中,|AP|=5,|OP|=2,|OA|=\sqrt{17}由余弦定理得\cos\angleAOP=\frac{OP^{2}+OA^{2}-AP^{2}}{2OP\cdotOA}=-\frac{\sqrt{17}}{17}所以\cos\angleAOx=\frac{\sqrt{17}}{17}所以A(1,4),代入方程y^{2}=2px(p>0).解得p=8.
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点重合，则$p$的值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$是双曲线左支上一点且$|P F_{1}|+|P F_{2}|=8$，则$\frac{\sin \angle P F_{1} F_{2}}{\sin \angle P F_{2} F_{1}}$=?
【解析】根据双曲线方程求出a,再根据双曲线的定义可知|PF_{2}|-|PF_{1}|=4,即可得到|PF_{1}|、|PF_{2}|再由正弦定理计算可得;[详解]因为双曲线为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1,所以a=2、c=3,因为点P是双曲线左支上一点且|PF_{1}|+|PF_{2}|=8,所以|PF_{2}|-|PF_{1}|=4,所以|PF_{1}|=2,|PF_{2}|=6,在\trianglePF_{1}F_{2}中,由正弦定理可得\frac{|PF_{1}|}{\sin\anglePF_{2}F_{1}}=\frac{|PF_{2}|}{\sin\anglePF_{1}F_{2}},所以\frac{\sin\anglePF_{1}F_{2}}{\sin\anglePF_{2}F_{1}}=\frac{|PF_{2}|}{|PF_{1}|}=3;
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过$M(4 , 0)$的直线$l$交$C$于$A$、$B$两点，设$\Delta O A F$ , $\Delta O B F$的面积分别为$S_{1}$、$S_{2}$，则$S_{1}+2 S_{2}$的最小值为?
【解析】由抛物线C:y^{2}=4x得焦点F(1,0),又直线l交C于A、B两点,所以直线l的斜率不为0,则设直线l的方程为x=my+4,A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立\begin{cases}x=my+4\\y2=4x\end{cases},整理得y^{2}-4my-16=0,则y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=-16,又S_{\DeltaOAF}=S_{1}=\frac{1}{2}\cdotOF\cdot|y_{1}|=\frac{1}{2}|y_{1}|,S_{\DeltaOBF}=S_{2}=\frac{1}{2}\cdotOF\cdot|y_{2}|=\frac{1}{2}|y_{2}|又\frac{1}{2}|y_{1}|+|y_{2}|\geqslant2\sqrt{\frac{1}{2}|y_{1}|-|y_{2}|}=\sqrt{\frac{1}{2}\times16}=4\sqrt{2},当且仅当\frac{1}{2}|y_{1}|=|y_{2}||y_{1}|=4\sqrt{2}|y_{2}|=2\sqrt{2}时取等号,所以S_{1}+2S_{2}的最小值为4\sqrt{2}
【题目】点$A$在抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上，$F$为$C$的焦点，以$A F$为直径的圆与$y$轴只有一个公共点$M$，且点$M$的坐标为$(0,2)$，则$|A F|$=?
【解析】A的坐标为(\frac{y^{2}}{4},y),根据\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{MA}=0可,然后再根据抛物线的定义可得|AF|的由抛物线的方程为y^{2}=4x可得其焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1.设点A的坐标为(\frac{y^{2}}{4},y),则\overrightarrow{MF}=(1,-2),\overrightarrow{MA}=(\frac{y^{2}}{4},y-2)由题意得点M在以AF为直径的圆上,\thereforeMF\botMA,\therefore\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{MA}=\frac{y^{2}}{4}-2(y-2)=\frac{y^{2}}{4}-2y+4=0,整理得y2-8y+16=(y-4)^{2}=0,解得y=4由抛物线的定义可得|AF|=\frac{y^{2}}{4}+1=4+1=5
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，过$F_{1}$作$x$轴的垂线交$C$于$A$、$B$两点，若$|A B|=2|F_{1} F_{2}|$，则$C$的离心率为?
【解析】可令x=-c,代入双曲线的方程可得y=\pm\frac{b^{2}}{a}可得|AB|=\frac{2b^{2}}{a},若|AB|=2|F_{1}F_{2}|,可得\frac{2b^{2}}{A}=4c,即c^{2}-a^{2}=2ac,由e=\frac{c}{a},可得e^{2}-2e-1=0,e>1解得e=1+,故答家为,1.5
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{6}+y^{2}=1$的左右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，直线$AB$过点$F_{1}$且交椭圆于$A$ , $B$两点，则$\Delta A B F_{2}$的周长为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上一点$M(1, m)$到其焦点的距离为$5$，则$m$=?
【解析】由抛物线y^{2}=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,由抛物线的定义可得1+\frac{p}{2}=5,解得p=8,即y^{2}=16x,把点M(1,m)代入抛物线的方程y^{2}=16x,解得m^{2}=16,解得m=\pm4.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点为$F_{1}$，点$P$在椭圆上，如果线段$P F_{1}$的中点$M$在$y$轴上，那么点$P$的纵坐标是?
【解析】
【题目】已知过焦点$F$的直线$l$与双曲线$\Gamma$的两条渐近线交于$A$、$B$两点，与$x$轴交于点$C$，若$O$是坐标原点，$O A=O C$ ,$B C=2 A B$, 则$\Gamma$的离心率是?
【解析】如图所示,设双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,直线l:x=my+c,其中C(c,0)联立方程组\begin{cases}x=my+c\\y=\frac{b}{a}x\end{cases},解得x=\frac{ac}{a-bm},y=\frac{bc}{a-bm},即A(\frac{ac}{a-bm},\frac{bc}{a-bm})同理可得B(\frac{ac}{a+bm},-\frac{bc}{a+bm}),因为BC=2AB,可得2x_{A}=x_{B}+x_{C},整理得3a=bm,又因为OA=OC,可得(\frac{ac}{a+bm})^{2}+(\frac{bc}{a+bm})^{2}=c^{2},整理得a^{2}+b^{2}=16a^{2}即a^{2}+c^{2}-a^{2}=16a^{2},即\frac{c^{2}}{a^{2}}=16,所以双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=4
【题目】若$A(-3,0)$,$B(0 ,\sqrt{3})$，$O$为坐标原点，点$C$在第二象限内，且$\angle {AOC}=60^{\circ}$，${OC}=\lambda {OA}+{OB}$，则实数$\lambda$的值是?
【解析】
【题目】过双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的一个焦点作圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$的两条切线，切点分别
为$A$、$B$，若$\angle A O B=120^{\circ}$（$O$是坐标原点），则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{m+9}+\frac{y^{2}}{5-m}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则实数$m$的取值范围是?
【解析】由已知条件可得m+9>5-m>0,从而可求出实数m的取值范围因为方程\frac{x^{2}}{m+9}+\frac{y^{2}}{5-m}=1表示焦点在x轴上的椭圆所以m+9>5-m>0,解得-2<m<5,所以实数m的取值范围为(-2,5)
【题目】若直线$y=k x-1$与双曲线$x^{2}-y^{2}=4$只有一个公共点，则$k$的取值范围为?
【解析】
【题目】以椭圆$9 x^{2}+4 y^{2}=36$的长轴端点为短轴端点，且过点$(-4,1)$的椭圆标准方程是?
【解析】
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点$F$引它的渐近线的垂线，垂足为$M$，延长$F M$交$y$轴于点$E$，若$F M=M E$则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$与双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$有相同的渐近线，且过点$A(\sqrt{3},-3)$，则双曲线$C$的标准方程是?
【解析】
【题目】$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一点，$A(1,0)$,$B(1,1)$，求$|P A|+|P B|$的最大值为?
【解析】由a^{2}=4,b^{2}=3则椭圆的左焦点F(-1,0),|PA|+|PB|=2a-|PF|+|PB|=4+|PB|-|PF|\leqslant4+|BF|=4+\sqrt{5}所以|PA|+|PB|<4+\sqrt{5}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的离心率$e \in[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ ,直线$y=-x+1$交椭圆于$M$、$N$两点，$O$为坐标原点，且$\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{O N}=0$，则椭圆短轴长的最小值是?
【解析】设M(x,y),N(x_{2}y_{2}),由\begin{cases}y=-x+1\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}化简得(a^{2}+b^{2})x^{2}-2a^{2}x+a^{2}-a^{2}b^{2}=0\frac{x_{1}+x_{2}=\frac{2a2}{a^{2}+b^{2}},x_{1}x_{2}}{\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}=\frac{a^{2}-a2b^{2}}{a_{1}x_{2}+b^{2}}-x_{2}+1))=2x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1=0代入解得a^{2}=\frac{b^{2}}{2b^{2}-1}e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=2-2b^{2}\in[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]\frac{\sqrt{3}}{2}\leqslantb\leqslant\frac{\sqrt{14}}{4}\frac{\frac{y}{2}}{\sqrt{3}}\leqslant\frac{\sqrt{14}}{2},所以椭圆短轴长的最小值是\sqrt{3}.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ ,过$F_{1}$的直线分别交双曲线的两条渐近线于点$P$、$Q$，若$P$是线段$F_{1} Q$的中点，且$Q F_{1} \perp Q F_{2}$，则双曲线的离心率为?
【解析】由图和对称性可知,OP是线段F_{1}P的垂直平分线,又OQ是RtAF_{1}QF_{2}斜边中线,所以\angleF_{1}OP=\anglePOQ=\angleQOF_{2}=60^{\circ},所以e=\sqrt{1+\tan^{2}60^{\circ}}=2
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$，点$P(x_{0}, y_{0})$是直线$b x-a y+2 a=0$上任意一点，若圆$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=1$与双曲线$C$的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为?
【解析】双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=\frac{b}{a}x,即bx-ay=0\becauseP(x_{0},y_{0})是直线bx-ay+2a=0上任意一点,则直线bx-ay+2a=0与直线bx-ay=0的距离d=\frac{|2a|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{2a}{c}\because圆(x-x_{0}^{2}+(y-y_{0})^{2}=1与双曲线C的右支没有公共点,\therefored\geqslant1,即\frac{2a}{c}\geqslant1,得e=\frac{c}{a}\leqslant2,又e>1,\thereforee的取值范围为(1,2],
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(a+3)^{2}}=1(a>0)$的一条渐近线方程为$y=2 x$，则$a$=?
【解析】元]根据双曲线的标准方程可判断焦点在x轴上,则渐近线方程为y=\frac{b}{a}x,即\frac{b}{a}=2,故可得a+3=b=2a,求解即可因为渐近线方程为y=2x,且焦点在x轴上,所以\frac{b}{a}=2,即b=2a,因为a>0,所以a+3>0,则a+3=b=2a,所以a=3
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{m}=1$的虚轴长为$6 \sqrt{2}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】根据双曲线方程的几何性质可得结果由题得2b=6\sqrt{2},所以b=3\sqrt{2},又a^{2}=6,m=b^{2}=18,所以c^{2}=6+18=24,所以c=2\sqrt{6}.所以双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=2
【题目】直线$l$过抛物线$x=a y^{2}(a>0)$的焦点，并且与$x$轴垂直，若$l$被抛物线截得的线段长为$4$,则$a$=?
【解析】抛物线方程整理得y^{2}=\frac{1}{a}x,焦点(\frac{1}{4a},0)l被抛物线截得的线段长即为通径长\frac{1}{a},故\frac{1}{a}=4,a=\frac{1}{4};
【题目】已知椭圆$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<6)$与圆$C_{2}$: $x^{2}+y^{2}=9$，若在圆$C_{2}$上任意一点$P$作圆的切线交椭圆于$A$、$B$两点，使得$\angle A O B=\frac{\pi}{2}$（$O$为坐标原点)，则椭圆$C_{1}$的离心率的值是?
【解析】若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=\pm3代入椭圆方程得到:y^{2}=b^{2}(1-\frac{9}{a^{2}})\because\angleAOB=\frac{\pi}{2},\thereforeb^{2}(1-\frac{9}{a^{2}})=9,化简得:9(a^{2}+b^{2})=a^{2}b^{2};若直线AB的斜率存在,设直线方程为y=kx+m,\because直线AB与圆C_{2}:x^{2}+y^{2}=9相切,由\begin{cases}\frac{|m|}{\sqrt{1+k^{2}}=3,\\\frac{y=k+m}{x^{2}+\frac{y^{2}}{2}}=1\end{cases},得:(a2k^{2}+b^{2}x^{2}+2a^{2}kmx+a^{2m-a}2b^{2}=0,则x_{1}+x_{2}=-\frac{2a2km}{(a^{2k}+b^{2})}1^{x}_{2}=\frac{a2m^{2}-a2b^{2}}{(a2k^{2}+b^{2})}\because\angleAOB=\frac{\pi}{2}\therefore\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}+(kx_{1}+m)(kx_{2}+m)=(1+k^{2})x_{1}x_{2}+km(x_{1}+x_{2})+m^{2},即\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=x_{1}x_{2}+(kx_{1}+m)(kx_{2}+m)=(1+k^{2})x_{1}x_{2}+km(x_{1}+x_{2})+m^{2}=0,即\frac{(1+k^{2})(a^{2}m^{2}-a^{2}b}{(a2k^{2}+b^{2})}2)-\frac{2a2k^{2}m^{2}}{(a2k^{2}+b^{2})}+m^{2}=0,整理得m^{2}(a^{2}+b^{2})=a^{2}b^{2}(1+k^{2})又\becausem^{2}=9(1+k^{2}),\therefore9(a^{2}+b^{2})=a2b^{2},综上所述:9(a^{2}+b^{2})=a^{2}b^{2}将a=6代入有b=2\sqrt{3},即c=2\sqrt{6},则_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{25}=1$的渐近线方程是?
【解析】由\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{25}=1得渐近线方程为y=\pm\frac{5}{4}x,化简得5x\pm4y=0
【题目】已知抛物线$x^{2}=2 a y$的准线方程为$y=4$，则$a$的值为?
【解析】由已知-\frac{2a}{4}=4,解得a=-8
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$上一点$P$到点$F_{1}(-5,0)$的距离为$7$，则点$P$到点$F_{2}(5,0)$的距离为?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1的a=3,由题意得|PF_{1}|=7.由双曲线的定义可得||PF|-|PF_{2}||=2a=6,即|7-|PF_{2}||=6,解得|PF_{2}|=13或|PF_{2}|=1,又|PF_{2}|\geqslantc-a=2,所以|PF_{2}|=13
【题目】设$F$为抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，$A$、$B$、$C$为该抛物线上三点，若$\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0}$，则$|\overrightarrow{F A}|+|\overrightarrow{F B}|+|\overrightarrow{F C}|$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3}),又F(1,0),由\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0},即(x_{1}-1,0)+(x_{2}-1,0)+(x_{3}-1,0)=0,所以(x_{1}-1)+(x_{2}-1)+(x_{3}-1)=0,即x_{1}+x_{2}+x_{3}=3,|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|+|\overrightarrow{FC}|=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\frac{3}{2}p=6.故答家为:6.
【题目】已知双曲线$x^{2}-my^{2}=1$的一条渐近线与直线$2 x-y+1=0$垂直，则实数$m$=?
【解析】
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为点$F$，过原点$O$的直线与椭圆交于$P$、$Q$两点，若$\angle P F Q=120^{\circ}$ ,$|O F|=\sqrt{3}$ ,$|O P|=\sqrt{7}$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】根据题意,取椭圆的右焦点为F_{1},连接PF_{1},QF_{1},作图如下:故四边形FPF_{1}Q为平行四边形,则\angleFPF_{1}=60^{\circ}设|PF|=x,由椭圆定义可知|PF|=2a-x,在\triangleFOP和\triangleFOP中由余弦定理可得:x^{2}=|OF|^{2}+|OP|^{2}-2|OF||OP|\cos\angleFOP(2a-x)^{2}=|OF_{1}|^{2}+|OP|^{2}-2|OF_{1}|OP|\cos\angleF,OP又\cos\angleFOP=-\cos\angleFOP,上述两式相加可得:x^{2}+(2a-x)^{2}=20,即x^{2}-2ax+2a^{2}-10=0;在\triangleFPF_{1}中,由余弦定理可得:|FF_{1}^{2}=|PF|^{2}+|PF_{1}|^{2}-2|PF|PF_{1}|\cos60^{\circ}即12=x^{2}+(2a-x)^{2}-x(2a-x),则x(2a-x)=8,-x^{2}+2ax=8;故可得a^{2}=9,则a=3,又c=\sqrt{3},故椭圆离心率为\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】已知圆$C$: $x^{2} + y^{2}-6 x-4 y+8=0$. 以圆$C$与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是准线上一点，且$P F _{1} \perp PF_{2}$, $\overrightarrow {PF_{1}} \cdot  \overrightarrow {PF_{2}}=4 ab$，则双曲线的离心率是?
【解析】
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{169}+\frac{y^{2}}{144}=1$的右焦点为圆心，且与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的两条渐近线都相切的圆方程?
【解析】
【题目】双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=1$的焦距长为?
【解析】a=1,b=\sqrt{3},\becausec^{2}=a^{2}+b^{2},\thereforec=2,焦距长2c=4
【题目】已知$P(x, y)$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上一点，若不等式$2 x-y+a \geq 0$恒成立，则$a$的取值范围是?
【解析】根据题意设P(2\cos\theta,\sin\theta),即x=2\cos\theta,y=\sin\theta,代入不等式得:2x-y+a=4\cos\theta-\sin\theta+a=\sqrt{17}\cos(\theta+\varphi)+a\geqslant0(\tan\varphi=\frac{1}{4})恒成立,即-a\leqslant\sqrt{17}\cos(\theta+\varphi)恒成立,又-1\leqslant\cos(\theta+\varphi)\leqslant1,-a\leqslant-\sqrt{17},即a\geqslant\sqrt{17},故a的取值范围为[\sqrt{17},+\infty)
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{9-k}+\frac{y^{2}}{4+k}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则实数$k$的取值范围为?
【解析】焦点在x轴上,且满足分母大于0,所以-k)>4+k\begin{cases}9-k>0\\4+k>0\end{cases}解得k的范围为-4<k<\frac{5}{2}即k\in(-4,\frac{5}{2})
【题目】已知离心率为$e$的双曲线和离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$的椭圆有相同的焦点$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是两曲线的一个公共点，若$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$e$=?
【解析】设|PF_{1}|=x,|PF_{2}|=y,不妨设x>y,|F_{1}F_{2}|=2c,椭圆长轴长为2a,双曲线的实轴长为2a',则\begin{cases}x+y=2a\\x-y=2a'\end{cases}\begin{cases}x=a+a'\\y=a-a\end{cases},由\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ},得(2c)^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos60^{\circ},即4c^{2}=x^{2}+y^{2}-xy,4c^{2}=(a+a)^{2}+(a-a)^{2}-(a+a)(a-a),化简得4c^{2}=a^{2}+3a^{2}4=(\frac{a}{c})^{2}+3(\frac{a'}{c})^{2},即4=2+\frac{3}{e^{2}}'e=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】抛物线的顶点在原点，焦点在直线$x-2 y-4=0$上，则抛物线的标准方程为?
【解析】x-2y-4=0过点(4,0),(0,-2)若(4,0)为焦点,则抛物线开口向右,\frac{p}{2}=4,2p=16,抛物线方程为y^{2}=16x.若(0,-2)为焦点,则抛物线开口向下,\frac{p}{3}=2,2p=8,抛物线方程为x^{2}=-8y
【题目】抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且它过点$P(-2,2 \sqrt{2})$，则抛物线的方程是?
【解析】
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{15}=1$上的一点$P$到它的一个焦点的距离等于$3$，则点$P$到另一个焦点的距离为?
【解析】【分木斤】根据双曲线定义即可求得P到另外一个点的距离,根据c与p到一个焦点距离的大小比较即可得到解双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{15}=1,根据双曲线定义可知,a=1,b=\sqrt{15},c=4|PF_{1}|-|PF_{2}||=2a,且||PF_{1}|-|PF_{2}||<|F_{1}F_{2}|所以||PF_{1}|-|PF_{2}||=2且||PF_{1}|-|PF_{2}||<8且P到它的一个焦点的距离等于3,设|PF_{1}|=2代入||PF_{1}|-|PF_{2}||=2则解得|PF_{2}|=5或|PF_{2}|=1因为c大于P到它的一个焦点的距离3,所以|PF_{2}|>3所以|PF_{1}|=5点,本题考查了双曲线的定义及性质的简单应用,注意要讨论得到的解是否符合题设要求,属于中档图
【题目】斜率为$1$的直线与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$相交于$A$, $B$两点,$AB$的中点$M(m, 1)$，则$m$=?
【解析】
【题目】在抛物线$y=x^2$上的点?处的切线倾斜角为$\frac{\pi}{4}$?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的右焦点坐标为?
【解析】由\frac{x2}{25}+\frac{y2}{9}=1可得a^{2}=25,b^{2}=9,\cdotc=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4,可得椭圆的右焦点坐标为(4,0)
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点. 若$|A F|=8|O F|$($O$为坐标原点)，则$\frac{|A F|}{|B F|}$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),F(\frac{p}{2},0),则由抛物线的定义可得|AF|=x_{1}+\frac{p}{2}=8\times\frac{p}{2}\Rightarrowx_{1}=\frac{7p}{2},则y_{1}^{2}=2px_{1}\Rightarrowy_{1}=\sqrt{7}p,A(\frac{7p}{2},\sqrt{7}p),故k_{AB}=\frac{\sqrt{7}p}{3p}=\frac{\sqrt{7}}{3},故直线AB的方程为y=\frac{\sqrt{7}}{3}(x-\frac{p}{2})代入抛物线方程整理可得\frac{7}{9}x^{2}-\frac{25}{9}px+\frac{7}{36}p^{2}=0,则x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4}\Rightarrowx_{2}=\frac{p}{14},则|BF|=x_{2}+\frac{p}{2}=\frac{4p}{7},所以\frac{|AF|}{BF}=7,应填答案7
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$上的一点$P$到两焦点的距离的乘积为$m$，当$m$取最大值时，点$P$的坐标是?
【解析】由椭圆的定义得到PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=4,再利用基本不等式由m=|PF_{1}||PF_{2}|\leqslant(\frac{PF_{1}+PF_{2})^{2}}{2}求解记椭圆的两个焦点分别为F_{1},F_{2},由椭圆的定义得:|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=4.则m=|PF_{1}||PF_{2}|\leqslant\frac{(PF_{1}+PF_{2})^{2}}{2}=4,当且仅当|PF_{1}|=|PF_{2}|=2取等号即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,m取得最大值4\therefore点P的坐标为(0,-\sqrt{2})或(0,\sqrt{2})
【题目】已知$F$是抛物线$C$: $x^{2}=4 y$的焦点.$O$是坐标原点，$A$是$C$上一点，$\triangle O F A$外接圆$\odot B$($B$为圆心）与$C$的准线相切，则过点$B$与$C$相切的直线的斜率?
【解析】抛物线C:x^{2}=4y的焦点F(0,1),准线方程为y=-1,\triangleOFA外接圆圆心B在OF的垂直平分线y=\frac{1}{2}设B(a,\frac{1}{2}),又\because\odotB与C的准线相切,\therefore\odotB的半径为\frac{3}{2},\therefore|OB|=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2},a^{2}=2,a=\pm\sqrt{2}又\becauseB(\pm\sqrt{2},\frac{1}{2})满足抛物线C的方程,而抛物线的切线与抛物线只有一个交点,\thereforeB为切线的切点曲线C:x^{2}=4y,得y=\frac{1}{4}x^{2},y'=\frac{1}{2}x,y'所以过点B与C相切的直线的斜率\frac{\sqrt{2}}{2}.
【题目】设$F$为抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，$A$ , $B$ , $C$为该抛物线上三点，若$\overrightarrow {F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=0$，则$|\overrightarrow{F A}|+|\overrightarrow{F B}|+|\overrightarrow{F C}|$的值为?
【解析】
【题目】与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$有相同的渐近线，且过点$(2 , 2)$的双曲线的标准方程是?
【解析】
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一个焦点$F$作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段$O F$($O$为原点) 的垂直平分线上，则双曲线的离心率为?
【解析】设垂足为D,根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=”b″ax,焦点为F(\sqrt{a^{2}+b^{2}},0)所以D点坐标(\underline{\sqrt{a^{2+b^{2}}},\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2}\thereforekDF=\"=-b/\"a\becauseOD\botDF\thereforekDF\cdotkOD=-1\thereforeb/a=\"a\"/b,即a=b\thereforee=\"c\"/a=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{}=
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$的焦点，点$A$、$B$在椭圆上，若$\overrightarrow{F_{1} A}=5 \overrightarrow{F_{2} B}$, 则点$A$的坐标是?
【解析】
【题目】已知$F$是双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=1$的右焦点，$P$是$C$的左支上一点，$A(0, \sqrt{2})$.当$\triangle A P F$周长最小时，该三角形的面积为?
【解析】若M为左焦点,则|PF|-|PM|=2a=2,而F(\sqrt{2},0),A(0,\sqrt{2}),则|AF|=2.由\triangleAPF周长为|AF|+|PF|+|AP|=|AF|+|PM|+|AP|+2=|PM|+|AP|+4.当且仅当A,P,M三点共线时\triangleAPF周长最小,此时|AM|=|PM|+|AP|=2,所以,此时\triangleAFM为腰长为2的等腰直角三角形.令|AP|=x,则|PM|=2-x,故|PF|=4-x,而|AF|=2,在\triangleAPF中x^{2}+4=(4-x)^{2},可得x=\frac{3}{2},故三角形的面积为\frac{1}{2}\times2\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$，直线$l$与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点坐标为$(2,2)$，则直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】若双曲线的方程为$4 x^{2}-9 y^{2}=36$，则其实轴长为?
【解析】
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$, $F_{2}$，在$C$的右准线$l$上存在一点$P$，使$\angle F_{1}  F_{2} P=120^{\circ}$, $30^{\circ} \leq \angle F_{1} PF_{2}<60^{\circ}$，则椭圆$C$的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$O$为坐标原点，抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$、$P$为$C$上一点，$P F$与$x$轴垂直，$Q$为$x$轴上一点，且$P Q \perp O P$，若$|F Q|=6$，则$C$的准线方程为?
【解析】抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点F(\frac{p}{2},0).\becauseP为C上一点,PF与x轴垂直,所以P的横坐标为\frac{p}{2},代入抛物线方程求得P的纵坐标为\pmp,不妨设P(\frac{p}{2},p),因为Q为x轴上一点,且PQ\botOP,所以Q在F的右侧又\because|FQ|=6,\thereforeQ(6+\frac{p}{2},0),\therefore\overrightarrow{PQ}=(6,-p)因为PQ\botOP,所以\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OP}=\frac{p}{2}\times6-p^{2}=0,\becausep>0,\thereforep=3,所以C的准线方程为x=-\frac{3}{2}
【题目】若抛物线$y=a x^{2}$的焦点坐标为$(0,2)$, 则实数$a$的值为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=4 y$, $A(0,3)$，若抛物线$C$上存在点$P(x_{0}, y_{0})(x_{0} \neq 0)$，使得过点$P$的切线$l \perp P A$ ,设$l$与$y$轴交于点$E$，则$\Delta A P E$的面积为?
【解析】先对函数求导得到y=\frac{1}{2}x,求出直线直线l的斜率,根据斜率公式,写出直线AP的斜率,由两直线垂直,得到\frac{x_{0}}{2}.\frac{y_{0}-?}{x_{0}}1'与x_{0}^{2}=4y_{0}联立求出点P坐标,进而可求出三角形面积作解】由x^{2}=4y可得y=\frac{1}{4}x^{2},y=\frac{1}{2}x,所以直线l的斜率k=y|x=x_{0}=\frac{1}{2}x_{0}又直线AP的斜率为\frac{y_{0}-3}{x_{0}}因为切线l\botPA,所以\frac{x_{0}}{2}.\frac{y_{0}-3}{x_{0}}=-1又x_{0}^{2}=4y_{0},解得x_{0}=\pm2,y_{0}=不妨设P(2,1),则直线l的方程为y-1=x-2,即y=x-1.所以E(0,-1),则\triangleAPE的面积为\frac{1}{4}\times4\times2=4.
【题目】设已知抛物线$C$的顶点在坐标原点，焦点为$F(1 , 0)$，直线$l$与抛物线$C$相交于$A$ , $B$两点. 若$A B$的中点为$(2 , 2)$，则直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】直线$x-y-1=0$与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A$、$B$两点，过线段$A B$的中点作直线$x=-1$的垂线，垂足为$M$，则$\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}$=?
【解析】如图,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则_{M}(-1,\frac{y_{1}+y_{2}}{2}),联立\begin{cases}x-y-\\v2=4x\end{cases}所以\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(x_{1}+1,\frac{y_{1}-y_{2})}{2})(x_{2}+1,\frac{y_{2}-y_{1}}{2})=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1-\frac{(y_{1}-y_{2})^{2}}{4},所以y_{1}+y_{2}=4,y_{1}y_{2}=-4则x_{1}+x_{2}=y_{1}+y_{2}+2=6,x_{1}x_{2}=(y_{1}+1)(y_{2}+1)=y_{1}y_{2}+y_{1}+y_{2}+1=-4+4+1=1(y_{1}-y_{2})^{2}=(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}=16+16=32,故\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1-\frac{(y_{1}-y_{2})^{2}}{4}=1+6+1-8=0'
【题目】已知定点$A$、$B$，且$|A B|=8$，动点$P$满足$|P A|-|P B|=4$，则$|P A|$的最小值是?
【解析】因为动点P满足|PA|-|PB|=4<|AB|=8,所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支则2a=4,2c=8,即a=2,c=4,b^{2}=12,不妨设焦点在x轴上,则双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1(x\geqslant2)左焦点为A(-4,0),右焦点为B(4,0),设P(x_{0},y_{0}),(x_{0}\geqslant2),则\frac{x_{0}2}{4}-\frac{y_{0}2}{12}=1'所以|PA|的最小值是6,
【题目】$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的右支上一点，$M$、$N$分别是圆$(x+5)^{2}+y^{2}=9$和$(x-5)^{2}+y^{2}=4$上的点，则$|P M|-|P N|$的最大值为?
【解析】\because\frac{x2}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\thereforea^{2}=16b^{2}=9则c^{2}=25故双曲线的两个焦点为F_{1}(-5,0),F_{2}(5,0)F_{1}(-5,0),F_{2}(5,0)也分别是两个圆的圆心,半径分别为r_{1}=3,r_{2}=2_{PF_{2}}-2=2\times4+5=l
【题目】已知点$P$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$上的一个动点，点$Q$是圆$E$: $x^{2}+(y-4)^{2}=3$上的一个动点，则$|PQ|$的最大值是?
【解析】由圆E:x^{2}+(y-4)^{2}=3可得圆心为E(0,4),又点Q在圆E上\therefore|PQ||EP|+|EQ|=|EP|+\sqrt{3}(当且仅当直线PQ过点E时取等号)设P(x_{1},y_{1})是椭圆C上的任意一点,则\frac{x^{2}}{9}+y_{1}^{2}=1'即x_{1}^{2}=9-9y_{1}^{2}.\becauseEP|^{2}=x_{1}^{2}+(y_{1}-4)^{2}=9-9y_{1}^{2}+(y_{1}-4)^{2}=-8(y_{1}+\frac{1}{2})^{2}+27\becausey_{1}\in[-1,1],\therefore当y_{1}=-\frac{1}{2}时,|EP|^{2}取得最大值27,即PQ|\leqslant3\sqrt{3}+\sqrt{3}=4\sqrt{3}\because|PQ|的最大值为4\sqrt{3}
【题目】直线$l$过抛物线$C$:$ y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$，与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，与其准线交于点$D$，若$|A F|=6$ , $\overrightarrow{D B}=2 \overrightarrow{B F}$，则$p$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{n}-\frac{y^{2}}{12-n}=1$的离心率是$\sqrt{3}$。则$n$=?
【解析】
【题目】已知$O$是坐标原点，抛物线$C$:$ x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点为$F$ ,$|O F|=\frac{3}{4}$，过点$F$且斜率为$\sqrt{3}$的直线$l$与抛物线$C$交于$A$，$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】由|OF|=\frac{3}{4}知\frac{p}{2}=\frac{3}{4},所以p=\frac{3}{2},所以抛物线的方程为x^{2}=3y,焦点F(0,\frac{3}{4}),所以过点F且斜率为\sqrt{3}的直线l的方程为y=\sqrt{3}x+\frac{3}{4},联立\begin{cases}y=\sqrt{3}x+\frac{3}{4},\\x^{2}=3v\end{cases}消去x得16y^{2}-168y+9=0.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=\frac{21}{2},利用焦x^{2}=3y,|AB|=y_{1}+y_{2}+p=\frac{21}{2}+\frac{3}{2}=12,故|AB|=12.
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的焦点到双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的渐近线的距离是?
【解析】双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的渐近线为\sqrt{3}x-y=0y^{2}=4x的焦点(1,0)到渐近线距离为\frac{\sqrt{3}}{2}.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$的直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$相切于点$T$，且直线$l$与双曲线$C$的右支交于点$P$，若$F_{1} P=3 F_{1} T$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】【分析斤】画出图像,根据线段成比例的性质与双曲线的定义进行列式求解出a,b,c的关系,再化简求得离心率即可.如图,由题可知则|OF_{1}|+|OF_{2}|=c,|OT|=a,则|F_{1}T|=b,又\overrightarrow{F_{1}P}=3\overrightarrow{F_{1}T},\therefore|TP|=2b,|F_{1}P|=3b,又\because|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,|PF_{2}|=3b-2a作F_{2}M//OT,可得|F_{2}M|=2a,|TM|=b.则|PM|=b.在\triangleMPF_{2}中,|PM|^{2}+|MF_{2}|^{2}=|PF_{2}|^{2};即b^{2}+(2a)^{2}=(3b-2a)^{2},得2b=3a,又\becausec^{2}=a^{2}+b^{2}.化简可得4c^{2}=13a^{2}.
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的离心率为?
【解析】\becausea=1,b=\sqrt{3}\thereforec=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2,e=\frac{c}{a}=2
【题目】$M$是抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上一点,$F$是抛物线$C$的焦点,$O$为坐标原点则$|M F|=2$, $K$是抛物线$C$的准线与$x$轴的交点则$\angle M K O$=?
【解析】分析:设M(x_{1},y_{1})(y_{1}>0),得M(1,2),所以\overrightarrow{KM}=(2,2),\overrightarrow{KO}=(1,0),由向量的夹角公式可求\angleMKO.详由抛物线的对称性不妨设M(x_{1},y_{1})(y_{1}>0),则x_{1}+1=2,得M(1,2)因为K(-1,0),O(0,0),所以\overrightarrow{KM}=(2,2),\overrightarrow{KO}=(1,0),可得\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{KO}=2|\overrightarrow{KM}|=2\sqrt{2},|\overrightarrow{KO}|=\cos\angleMKO=\cos\langle\overrightarrow{KM},\overrightarrow{KO}\rangle=\frac{\overline{KI}}{|\overrightarrow{KM}}\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{KO}=\frac{\sqrt{2}}{2},所以\angleMKO=45^{\circ}
【题目】椭圆$9 x^{2}+25 y^{2}=225$的焦点坐标是?
【解析】将椭圆方程整理为标准方程,即可得\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1则a^{2}=25,b^{2}=9,故c^{2}=a^{2}-b^{2}=16则c=4,又椭圆焦点在x轴上,故焦点坐标为(4,0),(-4,0).
【题目】过抛物线$y=\frac{1}{4} x^{2}$焦点$F$的直线交该抛物线于$A$, $B$两点，则线段$AB$中点的轨迹方程为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$的左、右焦点，点$A$、$B$在椭圆$\Gamma$上，且不是椭圆的顶点. 若$\overrightarrow{F_{1} A}+\lambda \overrightarrow{F_{2} B}=\overrightarrow{0}$，且$\lambda>0$，则实数$\lambda$的值为?
【解析】因为\overrightarrow{F_{1}A}+\lambda\overrightarrow{F_{2}B}=\overrightarrow{0},所以\overrightarrow{F_{1}A}=\lambda\overrightarrow{BF},所以F_{1}A//BF_{2}又\lambda>0,且A,B不是椭圆的顶点.根据椭圆的对称性可知,四边形F_{1}AF_{2}B一定为平行四边形.如图:所以F_{1}A=F_{2}B所以\overrightarrow{F_{1}A}=\overrightarrow{BF},即\lambda=1,
【题目】已知点$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上动点，$F$是抛物线的焦点，点$A$的坐标为$(-1,0)$，则$\frac{P F}{P A}$的最小值为?
【解析】由题意可得,抛物线y^{2}=4x的焦点F(1,0),准线方程为x=-1,过P做PM垂直于准线,M为垂足,如图所示。由抛物线定义可得|PF|=|PM|,则\frac{PF}{PA}=\frac{PM}{PA}=\sin\anglePAM,\anglePAM为锐角故当\anglePAM最小时,\frac{PF}{PA}最小,即当PA与抛物线相切时,\frac{\widehat{P}F}{PA}最小。设直线PA斜率为k,所以直线PA的方程为y=k(x+1),与抛物线联立\begin{cases}y=k(x+1)\\y^{2}=4x\end{cases}可得k^{2}x^{2}+(2k^{2}-4)x+k^{2}=0,因为相切,所以方程只有一个实根,故_{A}=(2k^{2}-4)^{2}-4\timesk^{2}\timesk^{2}=0,解得k^{2}=1,k=\pm1,不妨令k=1,此时\anglePAx=45^{\circ},\anglePAM=45^{\circ},所以\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}。
【题目】过椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点$A$且斜率为$k$的直线交椭圆$C$于另一点$B$，且点$B$在$x$轴上的射影恰为右焦点$F$,若$\frac{1}{3}<k<\frac{1}{2}$，则椭圆的离心率$e$的取值范围是?
【解析】由题意可知,点A的坐标为(-a,0),点B的坐标为(c,\frac{b^{2}}{a}),所以直线AB的斜率k=\frac{\frac{b^{2}}{a}}{c+a}=\frac{b^{2}}{ac+a^{2}}=\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}+ac}=\frac{1-e^{2}}{1+e},因为\frac{1}{3}<k<\frac{1}{2},所以\frac{1}{3}<\frac{1-e^{2}}{1+e}<\frac{1}{2},从而得到离心率e的取值范围为(\frac{1}{2},\frac{2}{3})
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线被圆$x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$截得的弦长为$2$，则该双曲线的离心率为?
【解析】圆的标准方程为(x-3)^{2}+y2=4,圆心为(3,0),半径为r=2,一条渐近线方程为bx-ay=0,圆心到渐近线距离为d=\frac{3b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},因为弦长为2,所以(\frac{3b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}})^{2}=2^{2}-1^{2},所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{16}=1$上一点$P$，其焦点为$F_{1}$, $F_{2}$ , $P F_{1} \perp P F_{2}$，则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】设PF_{1}=m,PF_{2}=n,由双曲线定义和勾股定理可得m-n=12,m^{2}+n^{2}=208,求出mn=32,即可得出面积.设P为双曲线右支上的一点,PF_{1}=m,PF_{2}=n,由双曲线方程可得a=6,b=4,c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2\sqrt{13}则由双曲线的定义可得m-n=2a=12,\becausePF_{1}\botPF_{2},\thereforem^{2}+n^{2}=(2c)^{2}=208,则(m-n)^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn=208-2mn=144,解得mn=32\thereforeS_{\DeltaPF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}mn=16.
【题目】设$M$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是该椭圆的左、右焦点.若$|M F_{1}|=4|M F_{2}|$，则点$M$的坐标为?
【解析】
【题目】已知圆$C$:$(x+1)^{2}+y^{2}=25$及点$A(1,0)$, $Q$为圆上一点，$AQ$的垂直平分线交$CQ$于$M$，则点$M$的轨迹方程为?
【解析】由题意可得|MA|+|MC|=|MQ|+|MC|=R=5>|AC|,\thereforeM点的轨迹是以A,C为焦点的椭圆,\thereforea=\frac{5}{2},c=1,\thereforeb^{2}=\frac{21}{4},方程为\frac{4x^{2}}{25}+\frac{4y^{2}}{21}=1
【题目】直线$l$经过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$，交抛物线于$A$、$B$两点，则$\frac{1}{|A F|}+\frac{1}{|B F|}$=?
【解析】
【题目】已知$P$是抛物线$y^{2}=2 x$上动点，$A(\frac{7}{2}, 4)$，若点$P$到$y$轴的距离为$d_{1}$，点$P$到点$A$的距离为$d_{2}$，则$d_{1}+d_{2}$的最小值是?
【解析】由抛物线的方程及点A的坐标可判断点A在抛物线的外部。由抛物线的定义可得d_{1}=PF-\frac{1}{2},进而可得d_{1}+d_{2}=PF+PA-\frac{1}{2},由图可知当三点P、F、A共线时,取最小值即为AF-\frac{1}{2},再由两点间的距离公式可求得结果。因为y^{2}=2\times\frac{7}{2}=7<4^{2},所以点A在抛物线的外部。因为点P在抛物线上,所以d_{1}=PF-\frac{1}{2}(其中点F为抛物线的焦点,则d_{1}+d_{2}=PF+PA-\frac{1}{2}\geqslantAF-\frac{1}{2}=\sqrt{(\frac{7}{2}-\frac{1}{2})^{2}+4^{2}}-\frac{1}{2}=5-\frac{1}{2}=\frac{9}{2},当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号.同的本题主要考查抛物线的方程与定义,考查分析求解、转化能力,属于基础题。在求抛物线上的点到准线的距离时,注意其与抛物线上的点到焦点距离的互相转化。
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的两个焦点$M$为$C$上点，$\Delta M F_{1} F_{2}$的内心$I$的纵坐标为$2-\sqrt{3}$，则$\angle F_{1} M F_{2}$的余弦值为?
【解析】如图,由题意知AMF_{1}F_{2}的内切圆的半径为2-\sqrt{3},又由三角形的内切圆半径r=\frac{2S}{周长}即S=\frac{1}{2}(2-\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1,又由焦点三角形的面积S=b^{2}\tan(\frac{1}{2}\angleF_{1}MF_{2})=\tan(\frac{1}{2}\angleF_{1}MF_{2})所以\tan(\frac{1}{2}\angleF_{1}MF_{2})=1,所以\angleF_{1}MF_{2}=\frac{\pi}{2},所以\cos\angleF_{1}MF_{2}=(
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，过点$F$的直线$l$与$C$交于$A$、$B$两点，若$|A F| \cdot|B F| \leq 32$，则直线$l$倾斜角的范围是?
【解析】由抛物线的方程可得F(2,0)当直线的斜率不存在时,则A(2,4),B(2,-4),此时|AF|\cdot|BF|=4\times4=16,满足要求当直线的斜率存在时,设直线l:y=k(x-2),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})由\begin{cases}y=k(x-2)\\y2=8x\end{cases},得k^{2}x^{2}-4(k^{2}+2)x+4k^{2}=0,则_{A}=64k^{2}+64>0且x_{1}+x_{2}=4(x_{1}x_{2}=4故|AF|=x_{1}+2,|BF|=x_{2}+2,|AF|\cdot|BF|=x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4=\frac{16}{k^{2}}+16\leqslant32,解得k\geqslant1或k\leqslant-1,所以直线倾斜角的范围是[\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}].
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，过点$F$的直线交抛物线于点$A$、$B$，交抛物线准线$l$于点$D$，若$B$是$A D$的中点，则弦$|A B|$的长为?
【解析】依题意,抛物线p=4,焦点F(2,0),准线l的方程为:x=-2.由于直线AB过F(2,0),且与y轴有交点,所以直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k(x-2)设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),x_{1}>0,x_{2}>0.由\begin{cases}y=k(x-2)\\,,2=8\end{cases}消去y并化简得k^{2}x^{2}-(4k^{2}+8)x+4k^{2}=0,所以\begin{cases}y^{2}=8x\\x_{1}+x_{2}=\frac{4k^{2}+8}{k^{2}}\\x_{1}\cdotx_{2}=4\end{cases}过A作AM\botl,交l于M;过B作BN\botl,交l于N根据抛物线的定义可知|AF|=|AM|=x_{1}+\frac{p}{2}=x_{1}+2.|BF|=|BN|=x_{2}+\frac{p}{2}=x_{2}+2,由于B是线段AD的中点,所以BN是三角形DAM的中位线,所以|AM|=2|BN|,即x_{1}+2=2(x_{2}+2)\Rightarrowx_{1}=2x_{2}+2,代入x_{1}\cdotx_{2}=4得(2x_{2}+2)\cdotx_{2}=4,解得x_{2}=1(负根舍去),所以x_{1}=2x_{2}+2=4所以|AB|=x_{1}+x_{2}+p=1+4+4=9.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$|M F_{1}| \cdot|M F_{2}|$的最大值为?
【解析】由椭圆的定义可得:|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a=8,由基本不等式得|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|\leqslant(\frac{|MF_{1}|+|MF_{2}|}{2})^{2}=16^{\circ},当且仅当|MF_{1}|=|MF_{2}|时,等号成立,故|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|的最大值为16

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【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$(-2,0)$且斜率为$\frac{2}{3}$的直线与$C$交于$M$、$N$两点，则$\overrightarrow{F M} \cdot  \overrightarrow{F N}$=?
【解析】抛物线C:y^{2}=4x的焦点为F(1,0),过点(-2,0)且斜率为\frac{2}{3}的直线为:3y=2x+4联立直线与抛物线C:y^{2}=4x,消去x可得:y^{2}\cdot6y+8=0,解得y_{1}=2,y_{2}=4,不妨M(1,2),N(4,4),\overrightarrow{FM}=(0,2),\overrightarrow{FN}=(3,4)则\overrightarrow{FM}\cdot\overrightarrow{FN}=(0,2)\cdot(3,4)=8.
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$为$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$左右焦点，$M \in E$，且$M F_{2} \perp F_{1} F_{2}$,$\angle M F_{1} F_{2}=30^{\circ}$，则$E$的离心率$e$=?
【解析】
【题目】长度为$a$的线段$A B$的两个端点$A$、$B$都在抛物线$y^{2}=2 P x(P>0, a>2 P)$上滑动，则线段$A  B$的中点$M$到$y$轴的最短距离为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线$l$，交抛物线于$A$、$B$两点，若线段$A B$中点的横坐标为$4$，则$|A B|$等于?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由线段AB中点的横坐标为4得:\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=4,所以x_{1}+x_{2}=8,由抛物线焦点弦长公式得:|AB|=x_{1}+x_{2}+p=8+2=10,故填:10.青】本题主要考查了抛物线的焦点弦长公式|AB|=x_{1}+x_{2}+p及中点坐标公式\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=x+
【题目】过点$A(4,-1)$和双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$右焦点的直线方程为?
【解析】
【题目】已知$F$是抛物线$y=\frac{1}{8} x^{2}$的焦点，$P$是该抛物线上的动点，则$P F$中点的轨迹方程是?
【解析】将y=\frac{1}{8}x2化为x^{2}=8y,即F(0,2)设抛物线上的点P(a,b),PF的中点为M(x,y),则a=2x,b=2y-2,则(2x)^{2}=8(2y-2),即PF中点的轨迹方程是x2-4y+4=0.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F_{1}(2 \sqrt{2}, 0)$，点$A$的坐标为$(0,1)$，点$P$为双曲线左支上的动点，且$\Delta A P F_{1}$周长的最小值为$8$，则双曲线的离心率为?
【解析】设双曲线的左焦点为F_{2}(-2\sqrt{2},0),又|AF_{1}|=3.所以\triangleAPF的周长为l=|AF_{1}|+|PF_{1}|+|AP|=3+|PF_{1}|+|AP|.由双曲线的定义得|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,即|PF_{1}|=|PF_{2}|+2a,即l=3+2a+|PF_{2}|+|AP|当A,P,F_{2}三点共线时,周长/取得最小值,此时|PF_{2}|+|AP|=|AF_{2}|=3,所以3+2a+3=8,解得a=1,所以e=\frac{c}{a}=2\sqrt{2}
【题目】若椭圆$C$的对称轴为坐标轴，焦点在$y$轴上，且椭圆$C$的离心率为$\frac{4}{5}$，面积为$20 \pi$，则椭圆$C$的标准方程为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两焦点为$F_{1}$ , $F_{2}$ , 一直线过$F_{1}$交椭圆于$P$、$Q$，则$\triangle P Q F_{2}$的周长为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$的长轴长为$4$，短轴长为$3$，则$C$的离心率为?
【解析】因为\frac{b}{a}=\frac{2b}{2a}=\frac{3}{4},所以e=\sqrt{1-(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}
【题目】已知抛物线$C$以$F(0 , 1)$为焦点，$x$轴为准线，则此抛物线的方程是?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直线$l$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点且线段$A B$的中点为$M(3,2)$，则直线$l$的斜率为?
【解析】由题意可得e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3},整理可得a=\frac{\sqrt{6}}{2}b设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1,两式相减可得\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{a^{2}}\frac{\frac{y_{2}}{b^{2}}=1,\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}+y_{2}}}{b^{2}}=0\becauseAB的中点为M(3,2),\thereforex_{1}+x_{2}=6,y_{1}+y_{2}=4,则直线斜率k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{2}}=-\frac{b^{2}}{2}\cdot\frac{x_{1}+x_{2}}{\frac{2}{3}\times\frac{6}{4}}=-1
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率$e \in[\frac{\sqrt{2}}{2} , 1)$，则$m$的取值范围为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点相同，则$a$=?
【解析】
【题目】抛物线$y=a x^{2}$的准线方程是$y=\frac{1}{32}$，则$a$的值是?
【解析】先把抛物线方程整理成标准方和呈,进而求导准线方程,再根据抛物线性质得出准线方程.详整理抛物线方程得x^{2}=\frac{1}{a}y,\therefore准线方程为p=\frac{1}{4a}=\frac{1}{32}\because抛物线方程开口向下,\therefore参数值为-8.
【题目】已知$M$为圆$x^{2}+y^{2}=9$上的动点，$A(6,0)$为一定点，动点$P$满足$\overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P M}$，则动点$P$的轨迹方程是?
【解析】设点M(x,y),P(a,b),则x^{2}+y^{2}=9,\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PM},即(a-6,b)=2(x-a,y-b).\begin{cases}a-6=2x-2a\\b=2y-2b\end{cases},解得\begin{cases}x=\frac{3a-6}{2}\\v=\frac{3b}{}\end{cases}代入x^{2}+y^{2}=9,(\frac{3a-6}{2})^{2}+(\frac{3b}{2})^{2}=9化简得:(a-2)^{2}+b^{2}=4,即动点P(a,b)满足(a-2)^{2}+b^{2}=4,所以动点P的轨迹方程是(x-2)^{2}+y2=4
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$的左，右焦点，过$F_{2}$且斜率为$k(k<-1)$的直线$l$交双曲线右支于$P$、$Q$两点，若$\Delta F_{1} P Q$的面积为$4$，则直线$l$与$y$轴的交点坐标为?
【解析】由题意结合双曲线的性质可得F_{1}(-\sqrt{3},0),F_{2}(\sqrt{3},0),设直线l的方程为x=my+\sqrt{3},m=\frac{1}{k}\in(-1,0),P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),联立方程利用韦达定理可得y_{1}+y_{2}y_{1}y_{2},再利用S_{\triangleF_{1}PQ}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|\cdot|y_{1}-y_{2}|即可求得m,即可得解.羊解】由题意F_{1}(-\sqrt{3},0),F_{2}(\sqrt{3},0),设直线l的方程为x=my+\sqrt{3},m=\frac{1}{k}\in(-1,0)设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),则\begin{cases}x=my+\sqrt{3}\\\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1\end{cases},消去x得(m^{2}-2)y^{2}+2\sqrt{3}my+1=0,4>0所以y_{y_{5}+y_{2}e=\frac{2}{2}|\frac{\sqrt{3}m}{2FFF_{2}},\sqrt{x}|y_{y}=\frac{1}{m_{2}-2}\times\sqrt{3}|y_{1}-y_{2}|=\sqrt{3}.\sqrt{(\frac{2\sqrt{3}}{1})^{1}y_{2}^{2}-4yy}.2所以\frac{\sqrt{m^{2}+1}}{\sqrt{(m^{2}-2)^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}即2(m^{2}-2)^{2}=3(m^{2}+1),解得m^{2}=\frac{1}{2}或m^{2}=5(舍去)所以_{m}=-\frac{\sqrt{2}}{2}或m=\frac{\sqrt{2}}{2}(舍去)所以x=-\frac{\sqrt{2}}{2}y+\sqrt{3}即y=-\sqrt{2}x+\sqrt{6}所以直线l与y轴的交点坐标为(0,\sqrt{6})
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$过点$(2 , 1)$，则$a$的取值范围是?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，若椭圆上存在点$P$使线段$P F_{1}$与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段$P F_{1}$的中点，则该椭圆的离心率为?
【解析】\frac{\sqrt{5}}{3}设线段PF_{1}的的中点为M,则OM=b,由OM是\triangleF_{1}PF_{2}的中位线.\thereforeOM=\frac{1}{2}PF_{2}\RightarrowPF_{2}=2b,再由椭圆的定义可得PF_{1}=2a-2b,MF_{1}=\frac{1}{2}PF_{1}=a-b在Rt\triangleOMF_{1}中,(a-b)^{2}+b^{2}=c^{2}\becausea^{2}=b^{2}+c^{2}\Rightarrow2a=3b\Rightarrow4a^{2}=9b^{2}=9(a^{2}-c^{2})可得e=\frac{\sqrt{5}}{3}老点:椭圆的离心率
【题目】$P$为双曲线$3 x^{2}-5 y^{2}=15$上的点，$F_{1}$、$F_{2}$为其两个焦点，且$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为$3 \sqrt{2}$，则$\angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】双曲线3x^{2}-5y^{2}=15可化为:\frac{x2}{5}-\frac{y^{2}}{3}=1,a=\sqrt{5},b=\sqrt{3},,c=2\sqrt{2}设\angleF_{1}PF_{2}=\alpha,|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,m>n,则m-n=2\sqrt{5}\textcircled{1},\becauseAF_{1}PF_{2}的面积为3\sqrt{3},\therefore\frac{1}{2}mn\sin\alpha=3\sqrt{3}\textcircled{2},又\because32=m^{2}+n^{2}-2mn\cos\alpha\textcircled{3},由\textcircled{1}\textcircled{2}\textcircled{3}可得a=\frac{\pi}{3}.
【题目】点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$是其焦点，若$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$, $\Delta F_{1} P F_{2}$面积为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$，点$(\frac{p}{2}, 1)$是抛物线上一点，则抛物线上纵坐标为$3$的点到准线的距离为?
【解析】根据点(\frac{p}{2},1)是抛物线上一点,求得抛物线的方程,再利用抛物线的定义求解因为点(\frac{p}{2},1)是抛物线上一点,所以1=2p\times\frac{p}{2},解得p=1,故抛物线方程为y^{2}=2x.令y=3,得x=\frac{9}{2}.所以抛物线上纵坐标为3的点到准线的距离为\frac{9}{2}+\frac{p}{2}=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=5.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}(-c, 0)$ , $F_{2}(c, 0)$，其渐近线方程为$y=\pm 2 x$，焦距为$2 \sqrt{10}$. 点$P$在双曲线$C$上，且在第一象限内，若$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为$4 \sqrt{10}$，则点$P$的坐标为?
【解析】由已知可得\frac{b}{a}=2'c=\sqrt{10},可求得双曲线方程,由S_{\trianglePF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}\times2c\timesy_{0}=4\sqrt{10},计算可求得结果\because双曲线的焦点在x轴上,\therefore\frac{b}{a}=2,即b=2a,而c=\sqrt{10}\therefore10=a^{2}+4a^{2},\thereforea^{2}=2,b^{2}=8,\therefore双曲线方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1设点P(x_{0},y_{0})(x_{0}>0,y_{0}>0),由题可知\frac{1}{2}\times2c\timesy_{0}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{10}\timesy_{0}=4\sqrt{10}解得y_{0}=4,把点P(x_{0},4)的坐标代入双曲线方程\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1,得x_{0}=\sqrt{6}.\therefore点P的坐标为(\sqrt{6},4).
【题目】若点$O$和点$F_{1}(-\sqrt{2}, 0)$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1  (a>0)$的中心和左焦点，点$P$为双曲线右支上的任意一点，则$\frac{|P F_{1}|^{2}}{|O P|^{2}+1}$的取值范围为?
【解析】因为点O和点F_{1}(-\sqrt{2},0)分别为双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的中心和左焦点,所以c=\sqrt{2},则c^{2}=a^{2}+1=2,则a^{2}=1,即双曲线的方程为x^{2}-y^{2}=1,设P(x,y),则x\geqslant1,则\frac{|PF|^{2}}{|OP|^{2}+1}=\frac{(x+\sqrt{2})^{2}+y^{2}}{x^{2+y^{2}+1}}=\frac{x^{2}+2\sqrt{2}x+2+x^{2}-1}{x^{2}+x^{2}-1+1}=\frac{2x^{2}+2\sqrt{2}x+1}{2x^{2}}=1+\frac{\sqrt{2}}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{x})^{2},因为x\geqslant1,所以_{1}+\frac{\sqrt{2}}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{x})^{2}>1'又_{1}+\frac{\sqrt{2}}{x}+\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{x})^{2}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{x}+\sqrt{2})^{2},因为x\geqslant1,所以0<\frac{1}{x}\leqslant1,即当\frac{1}{x}=1时,1+\frac{\sqrt{2}}{x}+\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{x})^{2}=\frac{1}{2}\cdot(\frac{1}{x}+\sqrt{2})^{2}取得最大值为\frac{1}{2}\cdot(1+\sqrt{2})^{2}=\frac{3}{2}+\sqrt{2},所以\frac{|PF_{1}|^{2}}{OP|^{2}+1}的取值范围为(1,\frac{3}{2}+\sqrt{2}].
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$F$作直线$l$与抛物线分别交于$A$、$B$两点，若第一象限的点$M(t, 2)$，满足$\overrightarrow{O M}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$(其中$O$为坐标原点)，则$|A B|$=?
【解析】由条件得F(1,0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),直线AB方程为:x=my+1,m\inR.联立\begin{cases}x=my+1\\y2=4x\end{cases},则y^{2}-4my-4=0,且y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=-4由条件可知y_{1}+y_{2}=4m=4,解得m=1,t=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{m(y_{1}+y_{2})+2}{2}=3所以|AB|=2(3+1)=8,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线与圆$x^{2}+(y+2)^{2}=1$没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为?
【解析】设圆心为C(0,-2),双曲线的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心C(0,-2)到渐近线bx+ay=0的距离d=\frac{|0-2a|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{2a}{c}>1,解之可得1<e<2,故双曲线离心率的取值范围是(1,2),答案应填:(1,2).
【题目】过$C(-1,-1)$作$x^{2}=4 y$的两条切线，切点分别是$A$、$B$，若直线$A B$的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，则$a+b$=?
【解析】由x^{2}=4y,即y=\frac{1}{4}x^{2},所以y=\frac{1}{2}x,设A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),则过A的切线为y-y_{1}=\frac{1}{2}x_{1}(x-x_{1}),即x_{1}x-2y-2y_{1}=0,将C(-1,-1)代入得-x_{1}+2-2y_{1}=0,则过B的切线为y-y_{2}=\frac{1}{2}x_{2}(x-x_{2}),即x_{2}x-2y-2y_{2}=0,将C(-1,-1)代入得-x_{2}+2-2y_{2}=0,所以A、B均满足-x-2y+2=0,所以AB:x+2y=2,即\frac{x}{2}+y=1,所以a=2、b=1,所以a+b=3;
【题目】已知点$A(-1,0)$, $B(1,0)$及抛物线$y^{2}=2 x$，若抛物线上点$P$满足$|P A|=m|P B|$，则$m$的最大值为?
【解析】设P(y^{2}/2,y),由题意可设P(y^{2}/2,y),由题意可得m^{2}=\frac{PA^{2}}{PB^{2}}=\frac{(\frac{y}{2}+1)^{2}+y^{2}}=\frac{y+44+8y}{y+4}=1+\frac{8y^{2}}{y^{4+4}}\leqslant1+\frac{8y^{2}}{2\sqrt{4v4}}=3\thereforem\leqslant\sqrt{3},当且仅当y^{2}=2时,等号成立。
【题目】方程$\frac{x^{2}}{k+1}+\frac{y^{2}}{k-2}=1$表示双曲线，则实数$k$的取值范围是?
【解析】\because方程\frac{x^{2}}{k+1}+\frac{y^{2}}{k-2}=1表示双曲线,\therefore(k+1)(k-2)<0,\therefore-1<k<2.
【题目】已知点$P(0,1)$，椭圆$\frac{x^{2}}{4 m}+\frac{y^{2}}{m}=1(m>1)$上两点$A$、$B$，存在异于$P$、$A$、$B$的点$E$，满足$\overrightarrow{E P}=\frac{1}{4} \overrightarrow{E A}+\frac{3}{4} \overrightarrow{E B}$，则点$B$的横坐标的取值范围为?
【解析】由\overrightarrow{EP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{EA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{EB}可得\frac{1}{4}\overrightarrow{EP}-\frac{1}{4}\overrightarrow{EA}=\frac{3}{4}\overrightarrow{EB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{EP}即\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{PB}.\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{PB}设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则\overrightarrow{AP}=(-x_{1},1-y_{1}),\overrightarrow{PB}=(x_{2},y_{2}-1)1=3x_{2}x_{1}=-3x_{2}1-y_{1}=3(y_{2}-1)1.即\begin{cases}3\\y\end{cases}\therefore=4-3y又点A,B均在椭圆上则\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}+y_{1}=m\\\frac{x^{2}}{4}+y_{2}=m\end{cases}即\begin{cases}9x_{2}^{2}\\\frac{4}{}\end{cases}-3y_{2}^{2}=m,解得y_{2}=\frac{m+2}{3},而x_{2}^{2}=4(m-y_{2}^{2})=\frac{y_{2}^{2}}{3})^{2}]=-\frac{4}{9}(m-\frac{5}{2})^{2}+1,又m>1,\thereforex_{2}^{2}\leqslant1,x_{2}\in[-1,1]
【题目】已知双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm 3 x$，写出双曲线$C$的一个标准方程?
【解析】当双曲线C的焦点在x轴上时,设方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)所以根据题意得\frac{b}{a}=3,不妨设a=1,则b=3所以方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左顶点为$A_{1}$ ,右焦点为$F_{2}$、$P$为双曲线右支上一点，则$\overrightarrow{P A_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$最小值为?
【解析】
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{3+k}+\frac{y^{2}}{2-k}=1$，表示焦点在$y$轴的椭圆，则$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点与椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$的左焦点重合，则$p$的值为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m>n>0)$和双曲线$\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{b}=1(a>0 , b>0)$有相同焦点$F_{1}$ , $F_{2}$ , $P$ 是两曲线的公共点，则$|PF_{1}| \cdot|PF_{2} |$的值是?
【解析】
【题目】抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线$x-y+2=0$上，则此抛物线方程为?
【解析】抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线x-y+2=0上所以抛物线的焦点为(-2,0)或(0,2)所以\frac{p}{2}=-2或\frac{p}{2}=2则抛物线的方程为:y2=-8x或x^{2}=8y】本题考查通过焦点求抛物线方程,属于简单题
【题目】若方程$(k-1) x^{2}+(2 k-5) y^{2}=1$表示的曲线为双曲线，则实数$k$的取值范围为?
【解析】因为方程(k-1)x^{2}+(2k-5)y^{2}=1表示双曲线故(k-1)(2k-5)<0,解得k\in(1,\frac{5}{3}).
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$的直线交椭圆$C$于$A$、$B$两点，且$\angle A F_{1} B=90^{\circ}$. 圆$M$与$F_{1} A$的延长线，$F_{1} B$的延长线，直线$A B$都相切，则圆$M$的半径为?
【解析】
【题目】若双曲线的一个焦点为$(\sqrt{10}, 0)$，且渐近线方程为$y=\pm 3 x$，则该双曲线的方程是?
【解析】因为双曲线的渐近线方程为y=\pm3x,且一个焦点为(\sqrt{10},0).所以可设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),因为c=\sqrt{10},所以a^{2}+b^{2}=10,又因为\frac{b}{a}=3,解得a=1,b=3,所以双曲线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】设椭圆方程$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$为椭圆上任意一点，则$\frac {|P F_{1}|^{2}} {|P F_{2}|}$的最大值为?
【解析】由题可知:a=2,b=\sqrt{3},c=1,|PF_{1}|+|PF_{2}|=4,所以|PF_{1}|=4-|PF_{2}所以\frac{|PF_{1}|^{2}}{|PF_{2}|}=\frac{(4-|PF_{2}|)^{2}}{|PF_{2}|}=|PF_{2}|+\frac{16}{|PF_{2}|}-8由a-c\leqslant|PF_{2}|\leqslanta+c,即1\leqslant|PF_{2}|\leqslant3,令t=|PF_{2}|,t\in[1,3]则y=\frac{|PF_{1}|^{2}}{|PF_{2}|}=t+\frac{16}{t}-8,y'=1-\frac{16}{t^{2}}=\frac{t^{2}-16}{t^{2}}若t\in[1,3],y'<0,所以函数y=t+\frac{16}{t}-8在[1,3]递减所以y_{\max}=1+\frac{16}{1}-8=9
【题目】$P$点在椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上运动,$Q$,$R$分别在两圆$(x+1)^{2}+y^{2}=1$和$(x-1)^{2}+y^{2}=1$上运动，则$| P Q|+| P R| $的最大值为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$是椭圆$5 x^{2}+9 y^{2}=45$的左焦点，$P$是椭圆上的动点，$A(1,0)$，则$|P A|+|P F_{1}|$的最小值为?
【解析】先把椭圆方程化为标准方程,由此求得两焦点坐标,利用椭圆定义把|PF_{1}|化为2a-|PF_{2}|,再根据数形结合即可求出结果.由已知可得椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1,则c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-5=4,\thereforec=2.\therefore焦点坐标分别为F_{1}(-2,0),(2,0)又由椭圆定义可得|PF_{1}+|PF_{2}|=2a=6,\therefore|PF_{1}|=6-|PF_{2}|\therefore|PA|+|PF_{1}|=6+|PA|-|PF_{2}|.利用几何性质可得当点P在椭圆左端点时|PA|+|PF|有最小值且此时最小值为6-|AF_{2}|=6-1=5,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线与直线$2 x+y+1=0$垂直，则双曲线的离心率$e$=?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$与双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$有公共的焦点$F_{1}$、$F_{2}$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】由题意可得:焦点坐标为(\pm2,0),所以b^{2}+3=4\Rightarrowb^{2}=1,所以双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x
【题目】设抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$，过抛物线上点$A(3, y_{0})$作$l$的垂线，垂足为$B$. 设$C(\frac{7}{2} p, 0)$,$A F$与$B C$相交于点$E$若$|F E|=2|A E|$，则$p$的值为?
【解析】由题意可得:AB//CF,则\triangleABE\sim\triangleFCE,结合|FE|=2|AE|可知:\frac{|AB|}{|CF|}=\frac{|AE|}{|FE|}=\frac{1}{2}由题意可知:|AB|=3+\frac{p}{2},|CF|=\frac{7}{2}p-\frac{p}{2}=3p据此有:\frac{3+\frac{p}{2}}{3p}=\frac{1}{2},求解关于实数p的方程可得:p=3
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，以$F_{1} F_{2}$为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为$P$，若$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则双曲线的离心率为?
【解析】\because以F_{1}F_{2}为直径的圆的圆心是(0,0),半径为:c;故圆的标准方程为:x^{2}+y^{2}=c^{2}又\because双曲线的其中一条渐近线方程为:y=\frac{b}{a}x不妨设P在第一象限联立\begin{cases}y=\frac{b}{a}x\\x^{2}+y^{2}=c^{2}\end{cases}可得:\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}\becauseF_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)根据两点间距离公式可得:故:\sqrt{(a+c)^{2}+b^{2}}=2\sqrt{(a-c)^{2}+b^{2}}+c^{2+b^{2}}c_{n}=2\sqrt{2c^{2}-2ac}\cdot3c=5a,即\frac{c}{a}=\frac{5}{2}\thereforee=\frac{5}{3}双曲线的离心率为:\frac{5}{3}
【题目】双曲线 $25 x^{2}-16 y^{2}=400$ 的实轴长为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点分别为$F_{1} $, $F_{2}$, 实轴长为$6$，渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{3} x$，动点$M$在双曲线左支上，点$N$为圆$E$: $x^{2}+(y+\sqrt{6})^{2}=1$上一点，则$|M N|+|M F_{2}|$的最小值为?
【解析】由题意可得2a=6,即a=3,渐近线方程为y=\pm\frac{1}{3}x,即有\frac{b}{a}=\frac{1}{3}即b=1,可得双曲线方程为\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1焦点为F_{1}(-\sqrt{10},0),F_{2},(\sqrt{10},0),由双曲线的定义可得|MF_{2}|=2a+|MF_{1}|=6+|MF_{1}|,由圆E:x^{2}+(y+\sqrt{6})^{2}=1可得E(0,-\sqrt{6}),半径r=1,|MN|+|MF_{2}|=6+|MN|+|MF_{1}|.连接EF_{1},交双曲线于M,圆于N.可得|MN|+|MF_{1}|取得最小值,且为|EF_{1}|=\sqrt{6+10}=4.则则|MN|+|MF_{2}|的最小值为6+4-1=9.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$的渐近线方程是 (一般式 )?
【解析】令\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=0,解得2x-3y=0和2x+3y=0
【题目】曲线$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x |x|}{4}=1$与直线$y=x+3$的交点个数是?
【解析】
【题目】点$M(10,0)$到抛物线$y^{2}=10 x$上的点的距离的最小值为?
【解析】设抛物线上的点N(x_{0},y_{0}),则MN=\sqrt{(x_{0}-10)^{2}+y_{0}^{2}}=\sqrt{(x_{0}-10)^{2}+10x_{0}}=\sqrt{x_{0}^{2}-10x_{0}+100}=\sqrt{(x_{0}-5)^{2}+75}故当x_{0}=5时MN取最小值\sqrt{75}=5\sqrt{3}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知${F}_{1}$ ,$ F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点. 若$|F_{2} A|+|F_{2} B|=12$，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b}=1$左右焦点，点$A$在双曲线$C$上，若$A F_{1} \perp A F_{2}$，且$\angle A F_{1} F_{2}=30^{\circ}$，则$b$=?
【解析】根据双曲线的定义求出|F_{1}F_{2}|,然后呆得参数b的值.由题意c=\sqrt{4+b},|F_{1}F_{2}|=2c=2\sqrt{4+b},因为AF_{1}\botAF_{2},且\angleAF_{1}F_{2}=30^{\circ}所以|AF_{1}|=|F_{1}F_{2}|\cos\anglePF_{1}F_{2}=2c\cos30^{\circ}=\sqrt{3}c,同理|AF_{2}|=所以|AF_{1}|-|BF_{1}|=\sqrt{3}c-c=2\times\sqrt{4}=4,c=\frac{4}{\sqrt{3}}\frac{1}{4}=2(\sqrt{3}+1)所以b=[2(\sqrt{3}+1)]^{2}-4=12+8\sqrt{3}
【题目】如果双曲线$\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$上一点$P$到它的右焦点的距离是$8$，那么$P$到它的右准线的距离是?
【解析】利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为\frac{8}{e}=8\times\frac{8}{10}=\frac{32}{5}
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=8 y$的焦点为$F$，过点$P(0,-1)$斜率为$k(k>0)$的直线$l$与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，$A B$的中点$Q$到$x$轴的距离为$3$，若$M$是直线$l$上的一个动点，$E(3,0)$，则$||M F|-| M E||$的最大值为?
【解析】设直线l的方程为y=kx-1(k>0),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})联立\begin{cases}y=kx-\\x^{2}=8y\end{cases}1,得x^{2}-8kx+8=0,所以x_{1}+x_{2}=8k,所以x_{Q}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=4k,所以y_{Q}=kx_{Q}-1=4k^{2}-1因为AB的中点Q到x轴的距离为3,所以4k^{2}-1=3,k>0,所以k=1,则直线l的方程为y=x-1,设点F关于直线l的对称点为F'(a,b),所以\frac{2+b}{2}=\frac{a}{2}-1,且\frac{b-2}{a}=-1,解得a=3,b=-1,所以点F关于直线l的对称点为F'(3,-1),所以|MF|-|ME||=||MF'|-|ME||\leqslant|EF'|=1,当M在射线F'E与直线l的交点时,取等号,
【题目】设$F$是双曲线的一个焦点，点$P$在双曲线上，且线段$PF$的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为?
【解析】不妨设\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,F(c,0),则点P(-c,\pm2b),从而有\frac{c^{2}}{a^{2}}-\frac{4b^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow\frac{c^{2}}{a^{2}}=5\Rightarrowe=\sqrt{5}.
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的左焦点重合，则抛物线方程为?
【解析】\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1的左焦点坐标为(-2,0),则\frac{p}{2}=-2,解得:p=-4,所以抛物线的方程为y2=-8x
【题目】能够说明"方程$(m-1) x^{2}+(3-m) y^{2}=(m-1)(3-m)$的曲线是椭圆"的一个$m$的值是?
【解析】
【题目】设点$F$为抛物线$C$: $y^{2}=2 p x  (p>0)$的焦点，点$A(0,2)$, 若线段$A F$的中点$B$在抛物线上，则$|B F|$=?
【解析】焦点F的坐标为(\frac{p}{2},0),则线段AF的中点B的坐标为(\frac{p}{4},1)又点B在抛物线上,将点B的坐标代入抛物线方程可得1=\frac{p^{2}}{2},解得p=\sqrt{2}或-\sqrt{2}(舍去),则点F的坐标为(\frac{\sqrt{2}}{2},0),点B的坐标为(\frac{\sqrt{2}}{4},1),由两点间的距离公式可得|BF|=(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4})^{2}+(0-1)^{2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，抛物线上的两点$A$、$B$满足$|A F|=2$ ,$|B F|=6$，则弦$A B$的中点到$y$轴距离为?
【解析】根据抛物线的焦半径公式分别求出点A,B的坐标,再根据中点公式求出弦AB的中点横坐标,即求出答案.设点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),焦点F(1,0).由题可得,x_{1}+1=2,x_{2}+1=6,解得x_{1}=1,x_{2}=5.所以弦AB的中点横坐标为\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{1+5}{2}=3,故弦AB的中点到y轴距离为3.
【题目】椭圆的焦距长等于它的短轴长，则离心率为?
【解析】由题知2c=2b,即b=c,所以a^{2}=c^{2}+b^{2}=2c^{2},即a=\sqrt{2}c,所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$有共同的渐近线，并且过点$A(6 , 8 \sqrt{2})$的双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】已知$(4,0)$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的右焦点，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】由题意结合双曲线的性质可得4+b^{2}=4^{2},解得b^{2}=12,则双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{\frac{b^{2}}{4}}x=\pm\sqrt{3}x
【题目】方程$x^{2}+(k-1) y^{2}=k+1$表示焦点在$x$轴上的双曲线，则实数$k$的取值范围是?
【解析】将双曲线方程化为标准方程,再利用方程x^{2}+(k-1)y^{2}=k+1表示焦点在x轴上的双曲线,构建不等式组,从而可求实数k的取值范围双曲线方程可化为:\frac{x^{2}}{k+1}-\frac{y^{2}}{\frac{k+1}{1-k}}=1\because方程x^{2}+(k\cdot1)y^{2}=k+1表示焦点在x轴上的双曲线\because\begin{cases}k+1>0\\\frac{k+1}{1-k}>0\end{cases}1<k<1故实数k的取值范围是
【题目】已知抛物线$C_{1}$: $x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点到双曲线$C_{2}$: $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$的渐近线的距离为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，则实数$p$的值为?
【解析】计算焦点为(0,\frac{p}{2}),渐近线方程为3x-4y=0,利用点到直线的距离公式得到答案抛物线C_{1}:x^{2}=2py(p>0)的焦点为(0,\frac{p}{2})双曲线C_{2}:\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1的一条渐近线为y=\frac{3}{4}x,即3x-4y=0故d=\frac{|-2p|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{5},即p=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】点$P$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$上的一动点，则点$P$到直线$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$的距离的最小值为?
【解析】设与\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1平行的直线l:\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=m,当t与椭圆C相切时有:\begin{cases}\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=m\\x^{2}+2y^{2}=2\end{cases},所以41x^{2}-64\times3mx+32\times9m^{2}-18=0所以\triangle=(64\times3)^{2}m^{2}-4\times41\times9(32m^{2}-2)=0,所以m=\pm\frac{\sqrt{41}}{12}由题意取m=\frac{\sqrt{41}}{12}时,t:4x+3y-\sqrt{41}=0到直线\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1的距离较小此时t:4x+3y-\sqrt{41}=0与\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1(即l:4x+3y-12=0)的距离为d=\frac{|12-\sqrt{41}|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{12-\sqrt{41}}{5}所以点P到直线\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1距离的最小值为\frac{12-\sqrt{41}}{5},
【题目】已知抛物线的顶点为原点，焦点为$F(1,0)$，过焦点的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，过$A B$的中点$M$作准线的垂线与抛物线交于点$P$，若$|A B|=6$，则点$P$的坐标为?
【解析】抛物线的顶点为原点,焦点为F(1,0),可得抛物线为:y^{2}=4x,p=2,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P,|AB|=6设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),|AB|=6=x_{1}+x_{2}+p可得x_{1}+x_{2}=4.过焦点的直线设为y=k(x-1),则:\begin{cases}y^{2}=4x\\y=k(x-1)\end{cases}可得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,x_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}}=4,解得k=\pm\sqrt{2}y_{1}+y_{2}=\pm\sqrt{2}(x_{1}+x_{2}-2)=\pm2\sqrt{2},中点的纵坐标为:\pm\sqrt{2},代入抛物线方程可得:x=\frac{1}{2}.则点P的坐标为:(\frac{1}{3},\pm\sqrt{2})
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$的右焦点为$F$，过点$F$且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点$P$、$M$在直线$P F$上，且满足$\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{P F}=0$，则$\frac{|P M|}{|P F|}$=?
【解析】双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1'F(\sqrt{5},0),渐近线方程为y=\pm2x.设过点F且平行于双曲线的一条渐近线方程为y=2(x-\sqrt{5})代入双曲线的方程,可得x=\frac{3\sqrt{5}}{5}\cdots即P(\frac{3\sqrt{5}}{5},-\frac{4\sqrt{5}}{5}由直线OM:y=-\frac{1}{2}x和直线y=2(x-\sqrt{5})可得M(\frac{4\sqrt{5}}{5},-\frac{2\sqrt{5}}{5}),即有\frac{|PM|}{|PF|}==\frac{|\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}|}{|\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{5}|}=\frac{1}{2}
【题目】若点$P$在以$F_{1}$ , $F_{2}$为焦点的椭圆上，$PF_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ,$ \tan \angle P F_{1} F_{2}=\frac{3}{4}$，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$的弦$A B$的中点$M$的坐标为$(2,1)$，则$A B$的方程为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),设直线AB的斜率为k.有\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1'\frac{x_{2}^{2}}{16}+\frac{y_{2}^{2}}{4}=1两式相减可得\frac{1}{16}(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})+\frac{1}{4}(y_{1}^{2}-y_{2})=0,所以\frac{1}{16}+\frac{1}{4}\cdot\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{x^{2}-x^{2}}=0所以\frac{1}{16}+\frac{1}{4}\cdotk\cdot\frac{y_{M}}{x_{M}}=0,由x_{M}=2,y_{M}=所以k=-\frac{1}{2},又直线过(2,1)可得直线方程为x+2y-4=0,
【题目】已知直线$y=k(x+2) ,(k>0)$与抛物线$y^{2}=8 x$相交于$A$、$B$两点，$F$为抛物线的焦点，若$F A=2 F B$，则$k$=?
【解析】联立直线与抛物线方程,再由根与系数关系结合抛物线定义和|FA|=2|FB|,列出方程组,即可求出结果.[详解]由题意,设A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),由抛物线定义可得|FA|=x_{1}+2,|FB|=x_{2}+2因为|FA|=2|FB|,所以x_{1}+2=2(x_{2}+2),即x_{1}=2x_{2}+2\textcircled{1};联立\begin{cases}y=k(x+2)\\y2=8x\end{cases},整理得k^{2}x^{2}+(4k^{2}-8)x+4k^{2}=0,所以_{A}=(4k^{2}-8)^{2}-16k^{4}>0,故-1<k<1,又\begin{cases}x_{1}+x_{2}=\frac{8-4k^{2}}{k^{2}}\textcircled{2}\\x_{1}x_{2}=4\textcircled{3}\end{cases},由\textcircled{1}\textcircled{2}\textcircled{3}解得k=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}满足题意.
【题目】已知点$P$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$上任意一点，直线$l$: $x-y+1=0$与两坐标轴分别交于$M$、$N$两点，则$\Delta P M N$面积的最大值为?
【解析】由题意,M(-1,0),N(0,1),则|MN|=\sqrt{2},P是椭圆C:\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1上任意一点,所以可设点P的坐标为(3\cos\theta,4\sin\theta),则点P到直线l的距离d=\frac{|3\cos\theta-4\sin\theta+1|}{\sqrt{2}}\leqslant\frac{5+1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}得S_{\trianglePMN}=\frac{1}{2}\cdot|MN|\cdotd\leqslant\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=3故答客为:3
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$与动直线$l$:$ y=\frac{3}{2} x+m$相交于$A$、$B$两点，则实数$m$的取值范围为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上横坐标为$\frac{a}{3}$的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离，则椭圆离心率$e$的取值范围是?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，双曲线上一点$P$满足$|P F_{1}|=12$，则$|P F_{2}|$=?
【解析】根据双曲线的定义直接求解即可.由双曲线的定义可得|PF_{1}|-|PF_{2}||=10,即|12-|PF_{2}|=10所以|PF_{2}|=2或|PF_{2}|=22,均满足|PF|\geqslantc-a=\sqrt{34}-5.
【题目】双曲线$m x^{2}-n y^{2}=1$左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，左右顶点分别为$A$、$B$、$P$为双曲线渐近线上一点，若以$F_{1} F_{2}$为直径的圆经过$P$点，且$\angle A P B=\frac{\pi}{3}$. 则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】以$\frac{y^{2}}{12}-\frac{x^{2}}{4}=1$的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{k-3}+\frac{y^{2}}{k+3}=1  (k \in R)$表示双曲线，则$k$的范围是?
【解析】
【题目】直线$y=-2 x-3$与曲线$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x|x|}{4}=1$的公共点的个数为?
【解析】分析:先分类讨论化简曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x|x|}{4}=1的方程,再数形结合分析得到公共点的个数详当x\geqslant0时,曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x|x|}{4}=1化为\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1,当x<0时,曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x|x|}{4}=1化为\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1,所以曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x|x|}{4}=1是半个双曲线和半个椭圆组成的图形因为\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1的渐近线为y=\pm\frac{3}{2}x,直线y=-2x-3的斜率-2<-\frac{3}{2}数形结合分析得直线y=-2x-3与曲线\frac{y^{2}}{x|x|}=1的公共点的个数为2个
【题目】已知直线$y=x-1$和椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{m-1}=1  (m>1)$交于$A$、$B$两点，若以$AB$为直径的圆过椭圆的
左焦点$F$，则实数$m$的值为?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{9}=1(a>0)$的一个焦点是$(0, \sqrt{13})$，则该双曲线的渐近线方程是?
【解析】双曲线\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{9}=1(a>0)的一个焦点是(0,\sqrt{13}),可得a^{2}+9=13,解得a=2,所以双曲线\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1的渐近线方程是y=\pm\frac{2}{3}x
【题目】平面内动点$P$到点$F(0,2)$的距离和到直线$l$: $y=-2$的距离相等，则动点$P$的轨迹方程为是?
【解析】由题意知,该点轨迹是以F(0,2)为焦点,y=-2为准线的抛物线,其中p=4,所以方程为x^{2}=8y.睛】本题主要考查了抛物线的定义,抛物线的标准方程,属于中档题
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$和双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$有共同焦点$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是它们的一个交点，且$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为?
【解析】椭圆的长半轴长为5,双曲线的半实轴长为a根据椭圆及双曲线的定义:|PF_{1}|+|PF_{2}|=10,|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a所以|PF_{1}|=5+a,|PF_{2}|=5-a,|F_{1}F_{2}|=8,\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{3},由余弦定理可得,64=(5+a)^{2}+(5-a)^{2}-2(5+a)(5-a)\cos\frac{\pi}{3}整理得a^{2}=13,e=\frac{c}{a}=\frac{4}{\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{13}}{13}
【题目】已知$A B$是过抛物线$y^{2}=4 x$焦点$F$的弦，$P$为该抛物线准线上的动点，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$的最小值为?
【解析】由抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0),\therefore直线AB的方程可设为x=ty+1,代入抛物线方程得y2-4ty-4=0,设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=4t,y_{1}y_{2}=-4,又P为该抛物线准线上的动点,可设P(-1,m),则\overrightarrow{PA}=(x_{1}+1,y_{1}-m)=(ty_{1}+2,y_{1}-m)\overrightarrow{PB}=(x_{2}+1,y_{2}-m)=(ty_{2}+2,y_{2}-m)\therefore\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(ty_{1}+2)(ty_{2}+2)+(y_{1}-m)(y_{2}-=(t^{2}+1)y,y_{2}+(2t-m)(y_{1}+y_{2})+4+m^{2}=(2t-m)^{2}\geqslant0
【题目】已知点$M(-1,2)$和抛物线$C$: $y^{2}=4 x$，过$C$的焦点$F$的直线$l$与$C$交于$A$、$B$两点，若$\angle A M B=90^{\circ}$，则直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】已知点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上一点，过点$P$的一条直线与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$相交于$A$、$B$两点，若存在点$P$，使得$|P A| \cdot|P B|=a^{2}-b^{2}$，则椭圆的离心率取值范围为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle A F_{1} B$周长为?
【解析】由\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1,得a=6,b=3,由题意可得\triangleAF_{1}B周长为|AB|+|AF_{1}|+|BF_{1}|=|AF_{2}|+|BF_{2}|+|AF_{1}|+|BF_{1}|=4a=24
【题目】已知直线$y=\frac{x}{2}$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x由题意可知\frac{b}{a}>\frac{1}{2},\thereforee=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{a2+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}>\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{4}=1$的渐近线方程是?
【解析】
【题目】已知$O$为坐标原点，点$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点，$A$为椭圆$C$上的一点，且$A F_{2} \perp F_{1} F_{2}$ ,$ A F_{1}$与$y$轴交于点$B$，则$|O B|$=?
【解析】因为AF_{2}\botF_{1}F_{2},所以AF_{2}的长度是椭圆C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1通径的一半,即|AF_{2}|=\frac{3}{2},因为|F_{1}O|=|F_{2}O|,所以OB是三角形AF_{1}F_{2}的中位线,即|OB|=\frac{1}{2}|AF_{2}|=\frac{3}{4}.
【题目】过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点作直线交抛物线于点$A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$，若$x_{1}+x_{2}=6$，则线段$A B$的中点$M$到抛物线准线的距离为?
【解析】
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左焦点为$F$，点$P$为双曲线右支上的一点，且$P F$与圆$x^{2}+y^{2}=16$相切于点$N$、$M$为线段$P F$的中点，$O$为坐标原点，则$|M N|-|M O|$=?
【解析】由题意可知:双曲线\frac{x2}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1焦点在x轴上,a=4,b=3,c=5设双曲线的右焦点F_{1}(5,0),左焦点F(-5,0),由OM为\trianglePFF_{1}中位线,则|OM|=\frac{1}{2}|PF_{1}|由PF与圆x^{2}+y^{2}=16相切于点N,则\triangleONF为直角三角形\therefore|NF|^{2}=|OF|^{2}-|ON|^{2}=25-16=9,则|NF|=3,\therefore|MN|=|MF|-|NF|=|MF|-3,由|MF|=\frac{1}{2}|PF|,\therefore|MN|\cdot|MO|=\frac{1}{2}|PF||PF_{1}|=\frac{1}{2}(|PF|\cdot|PF_{1}|)\cdot3=\frac{1}{2}\times2a\cdot3=1,\therefore|MN|\cdot|MO|=1
【题目】已知有相同焦点$F_{1}$、$F_{2}$的椭圆和双曲线交于点$P$ ,$|P O|=|F_{1} F_{2}|$，椭圆和双曲线的离心率分别是$e_{1}$ , $e_{2}$，那么$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}$=?(点$O$为坐标原点)
【解析】设椭圆的长半周长为a_{1},双曲线的实半轴长为a_{2},它们的半焦距都为c.并设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,根据椭圆的定义和双曲线的定义可得m+n=2a_{1},m-n=2a_{2}在APOF_{1}中,由余弦定理得|PF_{1}|^{2}=|OF_{1}|^{2}+|OP|^{2}-2|OF_{1}||OP|\cos\anglePOF_{1}即m^{2}=c^{2}+4c^{2}-2c\times2c\cos\anglePOF_{1}在APOF_{2}中,由余弦定理得|PF_{2}|^{2}=|OF_{2}|^{2}+|OP|^{2}-2|OF_{2}||OP|\cos\anglePOF_{2}即n^{2}=c^{2}+4c^{2}-2c\times2c\cos\anglePOF_{1}又由\anglePOF_{1}=\pi-\anglePOF_{2},两式相加,则m^{2}+n^{2}=10c^{2},又由m^{2}+n^{2}=(m+n)^{2}-2mn=2a_{1}^{2}+2a_{2}^{2},所以2a_{1}^{2}+2a_{2}^{2}=10c^{2}\Rightarrowa_{1}^{2}+a_{2}^{2}=5c^{2}所以\frac{a^{2}}{c^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}}=5,即\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}=5.题主要考查了椭圆与双曲线的定义及其几何性质的求解,其中解答中利用椭圆和双曲线的定义,以及在APOF_{1}和APOF_{2}中,利用余弦定理,两式相加,求得m^{2}+n^{2}=10c^{2}是解答的关键,若重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题
【题目】点$P(x, y)$在曲线$4(x-2)^{2}+y^{2}=4$上运动，则$\frac{y}{2 x}$的最大值为?
【解析】根据题意\frac{y}{2x}表示椭圆上的点和原点连线的斜率的\frac{1}{2},设y=kx,由y=kx与(x-2)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1有交点得出k的取值范围,进而得出\frac{y}{2x}的最大值.因为4(x-2)^{2}+y^{2}=4,所以(x-2)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1,表示中心为(2,0),长轴在x=2上,短轴在x轴上,顶点坐标为(1,0),(3,0),(2,2),(2,-2)的椭圆,\frac{y}{2x}可以看成是原点与椭圆上的点P(x,y)连线的斜率的\frac{1}{2},设y=kx,因为y=kx与(x-2)^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1相交,所以,由\begin{cases}y=kx\\4(x-2)^{2}+y^{2}=4\end{cases}消去y得,4(x-2)^{2}+k^{2}x^{2}=4整理得(4+k^{2})x^{2}-16x+12=0.所以A=16^{2}-4\times(4+k^{2})\times12\geqslant0,解得-\frac{2\sqrt{3}}{3}\leqslantk\leqslant\frac{2\sqrt{3}}{3}.所以k_{\max}=\frac{2\sqrt{3}}{3},所以(\frac{y}{2x})_{\max}=\frac{1}{2}k_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
【题目】抛物线$y^{2}=x$，其上一点$P$到$A(3 ,-1)$与到焦点距离之和为最小，则$P$点坐标为?
【解析】因为点A(-3,1)在抛物线内部,如图所示,点P,作PQ\botl于Q,过A作AB\botl于B|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|\geqslant|AB|.故当且仅当P,A,B共线时,|PA|+|PF|的值最小.此时点P坐标为P(x_{0},-1),代入y^{2}=x,得x_{0}=1.故点P的坐标为(1,-1).
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的左、 右焦点，点$P$在$C$上，则$\triangle P F_{1} F_{2}$的周长为?
【解析】由椭圆方程知a=3,c=\sqrt{9-5}=2,P在椭圆上.所以|PF_{1}|+|PF_{2}|+|F_{1}F_{2}|=2a+2c=2\times3+2\times2=10.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的准线为$l $,过$M(1,0)$且斜率为$k$的直线与$l$相交于点$A$与抛物线$C$的一个交点为$B$. 若$\overrightarrow{A M}=2 \overrightarrow{M B}$，则$k$=?
【解析】如图:由题意,M到准线的距离为2,\because\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB},\thereforeB的横坐标为2,代入抛物线C:y^{2}=4x,可得y=\pm2\sqrt{2},\thereforeB的坐标为(2,\pm2\sqrt{2}),\thereforek=\frac{\pm2\sqrt{2}}{2-1}=\pm2\sqrt{2}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的两焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$作直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$的周长为?
【解析】略
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{6}-\frac{x^{2}}{3}=1$的离心率为?
【解析】双曲线\frac{y^{2}}{6}-\frac{x^{2}}{3}=1,可得a=\sqrt{6},b=\sqrt{3},则c=3,所以e=\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】设中心在原点的双曲线与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1中c=1,\because中心在原点的双曲线与椭圆\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1有公共的焦点,\therefore双曲线中c=1,\because椭圆\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1的离心率为\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2},椭圆与双曲线的离心率互为倒数.\therefore双曲线的离心率为\sqrt{2},\therefore双曲线中a=\frac{\sqrt{2}}{2},b^{2}=c^{2}-a^{2}=\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore双曲线的方程为2x^{2}-2y^{2}=1
【题目】抛物线$y=-\frac{3}{4} x^{2}$的准线方程为?
【解析】
【题目】顶点在原点，且过点$(-4,4)$的抛物线的标准方程是?
【解析】当抛物线开口向上时,设抛物线方程为x^{2}=2py,(p>0),将点(-4,4)代入得2p=4所以抛物线方程为x^{2}=4y;当抛物线开口向左时,设抛物线方程为y^{2}=2px,(p>0),将点(-4,4)代入得2p=-4,所以抛物线方程为y^{2}=-4x.综上可得所求抛物线方程为y^{2}=-4x或x^{2}=4v.老占.抛物线方程
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的两个焦点是$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$|A F_{2}|-|B F_{1}|=4$，则$|A B|$=?
【解析】根据椭圆的定义有\begin{cases}|AF_{1}|+|AF_{2}|=10\\|BF_{1}|+|BF_{2}|=10\end{cases}两式相减得|AF_{2}|-|BF_{1}|+|AF_{1}|-|BF_{2}|=0,即|AF_{2}|-|BF_{1}|=|BF_{2}|-|AF_{1}|=4,也即|AF_{2}|=4+|BF_{1}|,|BF_{2}|=4+|AF_{1}|\textcircled{1},两式相加得|AF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{1}|+|BF_{2}|=20,即|AB|+|AF_{2}|+|BF_{2}|=20将\textcircled{1}代入上式得|AB|+|AF_{1}|+|BF_{1}|+8=20,即2|AB|=12,|AB|=6.
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{24}=1$的两个焦点，$P$是双曲线上的点，且$|P F_{1}|+|P F_{2}|=14$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积等于?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$，焦点为$F$，准线为$l$, $P$为抛物线上一点，$P A \perp l$ , $A$为垂足，如果直线$A F$的斜率为$-\sqrt{3}$，那么$\triangle P A F$的面积为?
【解析】分析:首先根据题中所给的抛物线的方程,求得抛物线的准线方程和焦点坐标,设出A点的坐标根据两点斜率坐标公式求得y_{A}=2\sqrt{3},从而得到y_{P}=2\sqrt{3},代入抛物线的方程,求得对应的横坐标,之后求得相应的线段的长度,根据面积公式求得三角形的面积详因为y^{2}=4x,所以准线l:x=-1,F(1,0),因为PA\botl,垂足为A,所以设A(-1,y_{A})因为k_{AF}=-\sqrt{3},所以\frac{y_{A}-0}{-1-1}=-\sqrt{3},所以y_{A}=2\sqrt{3},所以y_{P}=2\sqrt{3},把y_{P}=2\sqrt{3}代入y^{2}=4x中,得x_{P}=3,所以|AP|=3-(-1)=4,所以S_{PAF}=\frac{1}{2}\times|AP|\times|y_{P}|=\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3},故答案是4\sqrt{3}
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点$F$作圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$的切线，切点为$E$，延长$FE$交双曲线于点$P$，$O$为坐标原点，若$\overrightarrow{O E}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O F}+\overrightarrow{O P})$，则双曲线的离心率为?
【解析】由题意,双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,焦点F(c,0)则|OF|=c,|OE|=a,所以|EF|=b,因为\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}),则E是PF的中点,OE为AFFP的中位线,则|PF|=2|EF|=2b,|PF|=2a,由双曲线的定理可知|PF|-|PF|=2a,则b=2a,所以双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a2}}=\sqrt{5}.睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中合理用题设条件,借助双曲线的定义和三角形的中位线,求得a,b的关系式是解答的关键,若重考查了数形结合思想,及转化思想的应用,属于中档试题.
【题目】曲线$y=-\sqrt{4-x^{2}}(x \leq 1)$的长度是?
【解析】
【题目】已知某双曲线的渐近线方程为$3 x \pm 2 y=0$，且该双曲线经过点$(2,-3 \sqrt{2})$，则该双曲线的实轴长为?
【解析】由双曲线的渐近线为3x\pm2y=0和经过点(2,-3\sqrt{2}),可以判断双曲线的焦点在y轴上,设该双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{k^{2}}=1(a>0,b>0)则\frac{a}{b}=\frac{3}{2},\frac{18}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1,得a=3,所以该双曲线的实轴长为6
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{64}-\frac{x^{2}}{16}=1$上一点$P$与它的一个焦点的距离等于$1$，那么点$P$与另一个焦点的距离等于?
【解析】由双曲线的方程可得实半轴长为a=8,虚半轴长为b=4,故c=\sqrt{80}=4\sqrt{5}因为点P与一个焦点的距离等于1,而a+c=8+4\sqrt{5}>1,故点P与该焦点同在x轴的上方或下方故点P与另一个焦点的距离为1+2a=17
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<2)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$, $P$为椭圆上一点，$|P F_{1}|=3$, $\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，则$b$=?
【解析】作出图形,利用椭圆的定义可求得|PF_{2}|,利用余弦定理可求得c的值,进而可求得b的值根据椭圆的定义:|PF_{2}|=2a-3=1,4c^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos\frac{\pi}{3}=7\thereforec^{2}=\frac{7}{4},则b^{2}=a^{2}-c^{2}=4-\frac{7}{4}=\frac{9}{4},所以,b=\frac{3}{2}
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的上、下焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，左、右顶点分别为$B_{1}$、$B_{2}$，点$P$在椭圆上，$\overrightarrow{F_{2} P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{F_{1} B_{1}}$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】易知点F_{1}(0,c)、F_{2}(0,-c)、B_{1}(-b,0),\overrightarrow{F_{2}P}=(x,y+c),\overrightarrow{F_{1}B_{1}}=(-b,-由\overrightarrow{F_{2}P}=\frac{1}{2}\overrightarrow{F_{1}B_{1}}可得\begin{cases}x=-\frac{b}{2}\\y+c=-\frac{c}{2}\end{cases},可得\begin{cases}x=-\frac{b}{2}\\y=-\frac{3c}{2}\end{cases}即点P(-\frac{b}{2},-\frac{3c}{2}),
【题目】设椭圆的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，上顶点为$B$，若$B F_{2}=F_{1} F_{2}=2$，则该椭圆的标准方程为?
【解析】由于椭圆的左、右焦点分别为F_{1},F_{2},上顶点为B,若BF_{2}=F_{1}F_{2}=2所以2c=2,解得c=1,a^{2}=4,故椭圆的方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，若点$M(-1,1)$，且$M A \perp M B$，则弦$A B$的长度为?
【解析】易知点F(1,0),设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})若直线AB与x轴重合,则该直线与抛物线C只有一个公共点,不合乎题意.所以,直线AB与x轴不可能重合,设直线AB的方程为x=my+1,联立\begin{cases}x=my+1\\y2=4x\end{cases},消去x并整理得y^{2}-4my-4=0,4=16m^{2}+16>0,由韦达定理得y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=-4,\overrightarrow{MA}=(x_{1}+1,y_{1}-1)=(my_{1}+2,y_{1}-1),同理\overrightarrow{MB}=(my_{2}+2,y_{2}-1)\becauseMA\botMB,则\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(my_{1}+2)\cdotsmy_{2}+2)+(y_{1}-1)(y_{2}-1)=0.即(m^{2}+1)y_{1}y_{2}+(2m-1)(y_{1}+y_{2})+5=0,整理得4m^{2}-4m+1=0,解得m=\frac{1}{2}所以,|AB|=x_{1}+x_{2}+2=m(y_{1}+y_{2})+4=4m^{2}+4=5.
【题目】已知直线$l$与椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$交于$A$和$B$两点，点$(4 , 2)$是线段$A B$的中点，则直线$l$的方程是?
【解析】

hbghlyj

【题目】已知直线$l_{1}$: $4 x-3 y+11=0$和直线$l_{2}$: $x=-1$，抛物线$y^{2}=4 x$上一动点$P$到直线$l_{1}$和直线$l_{2}$的距离之和的最小值是?
【解析】\because抛物线y^{2}=4x的焦点F(1,0),P到直线l_{2}的距离等于P到抛物线的焦点的距离\thereforeP到直线l_{1}和直线l_{2}的距离之和的最小值是F(1,0)到直线l_{1}的距离,即\frac{|4+11|}{5}=3.
【题目】若抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$上的点$P$到焦点的距离为$8$，到$x$轴的距离为$6$，则抛物线$C$的方程是?
【解析】根据抛物线的定义,可得结果.根据抛物线定义,\frac{p}{2}=8-6=2,解得p=4故抛物线C的方程是x^{2}=8y.
【题目】已知点$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上的点，设点$P$到抛物线准线的距离为$d_{1}$，到圆$(x+3)^{2}+(y-3)^{2}=1$上一动点$Q$的距离为$d_{2}$,则$d_{1}+d_{2}$的最小值是?
【解析】连接抛物线的焦点与圆心,由抛物线的定义知这两点连线的长度减去圆的半径即我所求的最小距离,\because抛物线的焦点是(1,0),圆心是(-3,3),\therefored_{1}+d_{2}的最小值是4
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a+1}=1$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线上，若$P F_{1} \perp P F_{2}$，则点$P$到坐标原点$O$的距离的最小值为?
【解析】利用已知条件PF_{1}\botPF_{2},点P到坐标原点O的距离为c,转化求解c的最小值即可.[详解]双曲线\frac{x2}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a+1}=1的两个焦点为F_{1},F_{2},点P在双曲线上,若PF_{1}\botPF_{2}则点P到坐标原点O的距离为c,所以c=\sqrt{a^{2}+a+1}=\sqrt{(a+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2},当且仅当a=-\frac{1}{2}时,取得最小值:\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】过点$(2,4)$且与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$有相同渐近线的双曲线$C^{\prime}$的方程为?
【解析】设双曲线C的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=\lambda(\lambda\neq0)将(2,4)代入可得1-2=-1=\lambda,所以双曲线C的方程为\frac{y2}{8}-\frac{x^{2}}{4}=1
【题目】已知$P$是抛物线$N$: $x^{2}=8 y$上一点，点$A(-1,3)$,$B(0,2)$，则$\triangle P A B$周长的最小值为?
【解析】易知B(0,2)是抛物线N的焦点,AB=\sqrt{2},\trianglePAB周长为|PA|+|PB|+|AB|=|PA|+|PB|+\sqrt{2}结合抛物线定义可知|PA|+|PB|的最小值为点A(-1,3)到抛物线N的准线y=-2的距离,即3-(-2)=5,所以\trianglePAB周长的最小值为5+\sqrt{2}
【题目】已知直线$l_{1}$: $\sqrt{3} x+y+5=0$，抛物线$C$: $x^{2}=4 y$的焦点为$F$，准线为$l_{2}$ ,$A$是抛物线$C$上的一点，$A$到$l_{1}$ , $l_{2}$的距离分别为$d_{1}$ , $d_{2}$ ,则$d_{1}+d_{2}$的最小值为?
【解析】如图,设A在l_{2}上的射影为M,A在l_{1}上的射影为N.由抛物线的定义得AM=AF,所以d_{1}+d_{2}=AN+AF\therefore当A,F,N三点共线时,d_{1}+d_{2}取得最小值,此时最小值为F到直线l_{1}的距离\frac{|1+5|}{2}=3
【题目】已知直线$y=k x+m(k>0)$与抛物线$C$: $y^{2}=4 x$及其准线分别交于$M$、$N$两点，$F$为抛物线的焦点，若$3 \overrightarrow {F M}=\overrightarrow{M N}$，则$k$等于?
【解析】抛物线C:y^{2}=4x的焦点F(1,0),直线l:y=kx+m过抛物线的焦点,\thereforek+m=0过N做NN'\bot准线x=-1,垂足为N',由抛物线的定义,|NN'|=|NF由\angleNNM与直线l倾斜角相等,由3\overrightarrow{FM}=\overrightarrow{MN}则\cos\angleNNM=\frac{|NN'|}{|MN|}=\frac{1}{3},则\tan\angleNNM=\pm2\sqrt{2},因为k>0\therefore直线l的斜率k=2\sqrt{2},
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{m^{2}}-y^{2}=1(m>0)$的离心率为$2$，则$m$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{m^{2}}-y^{2}=1(m>0)的离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{m^{2}+1}}{m}=2,\thereforem=\frac{\sqrt{3}}{3}即答案为\frac{\sqrt{3}}{3}.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的左、右焦点，过$F_{2}$的直线$l$与双曲线的右支分别交于$A$、$B$两点，$\Delta A F_{1} F_{2}$的内切圆半径为$r_{1}$ , $\Delta B F_{1} F_{2}$的内切圆半径为$r_{2}$，若$r_{1}=2 r_{2}$，则直线$l$的斜率为?
【解析】充分利^{^{2}}|得|AM|=|AN||F_{1}M|=|F_{1}E|,|F_{2}N|=|F_{2}E|,再结合双曲线的定义得F_{1}E|-|F_{2}E|=2a,从而可求得\triangleAF_{1}F_{2}的内心的横坐标a,即有CD\botx轴,在\triangleCEF_{2},\triangleDEF_{2}中,运用解直角三角形知识,及正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率羊解】记\triangleAF_{1}F_{2}的内切圆圆心为C,易见C、E横坐标相等,则|AM|=|AN|,|F_{1}M|=|F_{1}E||F_{2}N|=|F_{2}E|,由|AF_{1}|-|AF_{2}|=2a,即|AM|+|MF_{1}|-(|AN|+|NF_{2}|)=2a,得|MF_{1}|-|NF_{2}|=2a,即|F_{1}E|-|F_{2}E|=2a,记C的横坐标为x_{0},则E(x_{0},0)于是x_{0}+c-(c-x_{0})=2a,得x_{0}=a_{1}同样内心D的横坐标也为a,则有CD\botx轴.设直线的倾斜角为\theta,则\angleOF_{2}D=\frac{\theta}{2},\angleCF_{2}O=90^{\circ}-\frac{\theta}{2}在\triangleCEF_{2}中,\tan\angleCF_{2}O=\tan(90^{\circ}-\frac{\theta}{2})=\frac{r_{1}}{|EF|}在\triangleDEF_{2}中,\tan\angleDF_{2}O=\tan\frac{\theta}{2}=\frac{r_{2}}{|EF|},由r_{1}=2r_{2},可得2\tan\frac{\theta}{2}=\tan(90^{\circ}-\frac{\theta}{2})=\cot\frac{\theta}{2}解得\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2},则直线的斜率为\tan\theta=\frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^{2}\frac{\theta}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}由对称性可得直线l的斜率为\pm2\sqrt{2}
【题目】已知椭圆的中心在原点，且经过点$P(3,0)$, $a=3 b$，则椭圆的标准方程为?
【解析】当焦点在x轴上时,设椭圆方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a_{1}>b_{1}>0),由椭圆过点P(3,0),知又a_{1}=3b_{1},解得b_{1}^{2}=1,a_{1}^{2}=9,故椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1;当焦点在y轴上时,设椭圆方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a_{2}>b_{2}>0),由椭圆过点P(3,0),知\frac{0}{a_{2}^{2}}+\frac{4}{l}\frac{9}{2}=1又a_{2}=3b_{2},解得a_{2}^{2}=81,b_{2}^{2}=9,故椭圆的标准方程为\frac{y^{2}}{81}+\frac{x^{2}}{9}=1综上,椭圆的标准方程为\frac{y^{2}}{81}+\frac{x^{2}}{0}=1或\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1.青】本题考查椭圆的标准方程的求解,解题的关键就是求出a,b,c,同时也要注意椭圆焦点的位置,考查运管求解能力,保于其础题
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，第一象限内的$A$、$B$两点都在$C$上，$O$为坐标原点，若$\angle A F O=\angle A F B=\frac{\pi}{3}$ ,$|A B|=2 \sqrt{7}$，则点$A$的坐标为?
【解析】根据所给条件,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为D,M,设A(x_{1},y_{1},由F(\frac{p}{2},0)且\angleAFO=\frac{\pi}{3},结合抛物线焦半径公式可得|DF|=\frac{p}{2}-x_{1}=\frac{|AF|}{2}=\frac{x_{1}+\frac{p}{2}}{2},从而求得|AF|=\frac{2p}{3},|BF|=2p,再解\triangleABF即可得解.如图,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为D,M设A(x_{1},y_{1}),由F(\frac{p}{2},0)且\angleAFO=\frac{\pi}{3}所以|DF|=\frac{|AF|}{2}\frac{p}{2}-x_{1}|AF|=\frac{x_{1}+\frac{p}{2}}{2}所以x_{1}=\frac{p}{6},所以|AF|=\frac{p}{6}同理|BF|=2p,故在\triangleABF\cos\angleAFB=\frac{|AF|^{2}+|BF|^{2}-|AB|^{2}}{2|AF|\cdot|BF|}=\frac{\frac{4}{9}p^{2}+4p^{2}-28}{2\times\frac{2}{3}p\times2p}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}解得p=3,所以x_{1}=\frac{1}{2},y_{1}=\sqrt{3},所以A(\frac{1}{2},\sqrt{3}),
【题目】已知$F$为双曲线$C$: $x^{2}-m y^{2}=3 m(m>0)$的一个焦点，则点$F$到$C$的一条渐近线的距离为?
【解析】分析:把双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标及一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式即可得到结论.详双曲线C:x^{2}-my^{2}=3m(m>0)可化为\frac{x2}{3m}-\frac{y^{2}}{3}=1,\therefore一个焦点为(\sqrt{3m+3},0),一条渐近线方程为x+\sqrt{m}y=0\therefore点F到C的一条渐近线的距离为\frac{\sqrt{3m+3}}{\sqrt{1+m}}=\sqrt{3}
【题目】已知直线$l$与抛物线$C$: $y^{2}=x$交于$A$、$B$两点.且线段$A B$的中点在直线$y=1$上，若$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$($O$为坐标原点），则$\triangle A O B$的面积为?
【解析】由题意知:直线l的斜率不为0,所以设直线l的方程为x=my+t(t\neq0)由\begin{cases}x=my+t\\y2=x\end{cases},消x得y^{2}-my-t=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=m,y_{1}y_{2}=-t,A=m^{2}+4t>0,因为线段AB的中点在直线y=1上,所以y_{1}+y_{2}=2,即m=2.因为\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0,所以x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=y_{1}y_{2}+(my_{1}+t)(my_{2}+t)=y_{1}y_{2}+m^{2}y_{1}y_{2}+mt(y_{1}+y_{2})+t^{2}=y_{1}y_{2}+4y_{1}y_{2}+2t\times2+t^{2}=t^{2}-t=0,解得t=1或t=0(舍)所以y_{1}+y_{2}=2,y_{1}y_{2}=-1,直线l的方程为x=2y+1,所以|AB|=\sqrt{1+2^{2}}\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}=2\sqrt{10}原点O到直线l的距离为d=\frac{|0-0-1|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}所以\triangleAOB的面积为\frac{1}{2}\times|AB|\timesd=\frac{1}{2}\times2\sqrt{10}\times\frac{\sqrt{5}}{5}=\sqrt{2}
【题目】点$A$、$B$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$右支上的两点，$AB$中点到$y$轴的距离为$4$，则$AB$的最大值为?
【解析】设右焦点为F,AB中点为M,AB\leqslantAF+BF=e(x_{A}-\frac{a^{2}}{c}+x_{B}-\frac{a^{2}}{c})=e(2x_{M}-\frac{2a^{2}}{c})=\frac{3}{2}(2\times4-\frac{2\times4}{3})=8
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦 点分别为$ F_{1}$, $F_{2}$，若椭圆上存在一点$P$使$|P F_{1}|=e|P F_{2}|$, 则该椭圆的离心率$e$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$A$、$F$分别是椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>\sqrt{3})$的下顶点和左焦点，过$A$且倾斜角为$60^{\circ}$的直线$l$交椭圆$C$于$M$点（异于点$A$)，且$\Delta F A M$的周长为$4 a$，则$\triangle F A M$的面积为?
【解析】如图所示,设右焦点为F,A,M在椭圆上,则有|FA|+|FA|=2a,|FM|+|FM|=2a,故|FA|+|FM|+|FA|+|FM|=4a又\triangleFAM的周长为4a,\therefore|AM|=|FA|+|FM|即A、F、M三点共线,又直线l的倾斜角为60^{\circ},\therefore直线l的斜率为\sqrt{3},而A(0,-\sqrt{3}),F(c,0),即\frac{-\sqrt{3}-0}{0-c}=\sqrt{3},则c=1.从而a=2,则椭圆方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1.联立\begin{cases}的方程为y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}.\\y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}\end{cases},解得A(0,-\sqrt{3}),M(\frac{8}{5},\frac{3\sqrt{3}}{5})\therefores_{\DeltaFAM}=\frac{1}{2}\times2\times(\frac{3\sqrt{3}}{5}+\sqrt{3})=\frac{8\sqrt{3}}{5}
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线$l$交$C$于$A$、$B$两点，设$A$、$B$在$y$轴上的投影分别为$A^{\prime}$, $B^{\prime}$，若$|A B|=\frac{3}{2}(|A A^{\prime}|+|B B^{\prime}|)$，则直线$l$的斜率为?
【解析】由抛物线的定义可知:|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+1+|BB|+1=|AA|+|BB|+2=\frac{3}{2}(|AA|+|BB|)\therefore|AA|+|BB|=4,\therefore|AB|=6.设直线l的倾斜角为\alpha,则|AB|=\frac{4}{\sin^{2}\alpha}=6,\therefore\sin^{2}a=\frac{2}{3}.\tan\alpha=\pm\sqrt{2}即直线/的斜率为\pm\sqrt{2}
【题目】已知动圆$P$与定圆$B$: $x^{2}+y^{2}+2 \sqrt{5} x-31=0$内切，且动圆$P$经过一定点$A(\sqrt{5}, 0)$. 则动圆圆心$P$的轨迹$E$的方程是?
【解析】由B:x^{2}+y^{2}+2\sqrt{5}x-31=0可得(x+\sqrt{5})^{2}+y2=36\therefore圆心B(-\sqrt{5},0),半径r=6,\because动圆P与定圆B:x^{2}+y2+2\sqrt{5}x-31=0内切,且过A(\sqrt{5},0),\therefore|PA|+|PB|=6.\therefore动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点,长轴长为6的椭圆设椭圆方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)则2a=6,a=3,c=\sqrt{5},\thereforeb^{2}=a^{2}-c^{2}=4.\therefore椭圆的方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1.
【题目】已知椭圆$E$的短轴长为$6$，焦点$F$到长轴端点的距离为$9$，则椭圆$E$的离心率等于?
【解析】
【题目】若双曲线焦点为$(\sqrt{5} , 0)$，渐近线方程为$y=\pm \frac{x}{2}$，则此双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$k x^{2}-2 y^{2}=k$的离心率为$\sqrt{3}$，则实数$k$的值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1$，其焦点在$x$轴上，则其焦距为?
【解析】\because椭圆方程为\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1,焦点在x轴上,\thereforec=\sqrt{8-m^{2}},\therefore该椭圆方程的焦距为2\sqrt{8-m^{2}}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$2$，且双曲线$C$与椭圆$\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$有相同的焦点. 点$P$在双曲线$C$上，过点$P$分别作双曲线$C$两条渐近线的垂线，垂足分别为$A$，$B$，则$|A B|$的最小值为?
【解析】由题意可得\begin{cases}e=\frac{c}{a}=2,\\c=\sqrt{5-1}=2,\end{cases},则a^{2}=1,b^{2}=4-1=3,故双曲线C的方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1,其渐近线方程为\sqrt{3}\pmy=0,设点P(x_{0},y_{0}),|PA|=m,|PB|=n,则_{m}=\frac{|\sqrt{3}x_{0}+y_{0}|}{2}2=\frac{|\sqrt{3}x_{0}-y_{0}}{2}x_{0}-y_{0}^{2}|.因为点P在双曲线C上,所以x^{2}-\frac{y_{0}^{2}}{0}=1,则mn=\frac{3}{4}.因为渐近线\sqrt{3}x-y=0以\angleAOB=\frac{2\pi}{3},故\angleAPB=\frac{\pi}{3},在\triangleAPB中,由余弦定理可得|AB|^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos\frac{\pi}{3}=m^{2}+n^{2}-mn\geqslantmn=\frac{3}{4},当且仅当m=n等号成立,则AB\geqslant\frac{\sqrt{3}}{2}即|AB|的最小值为\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】已知抛物线方程为$x^{2}=4 y$，过点$M(0 , m)$的直线交抛物线于$A(x_{1} , y_{1})$ , $B(x_{2} , y_{2})$两点，且$x_{1} x_{2}=-4$，则$m$的值为?
【解析】
【题目】过抛物线$E$: $y^{2}=4 x$的焦点$F$任作两条互相垂直的直线$l_{1}$ , $l_{2}$，分别与抛物线$E$交于$A$、$B$两点和$C$、$D$两点，则$|A B|+4|C D|$的最小值为?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$上一点$M$到焦点的距离是$a(a>\frac{p}{2})$，则点$M$的纵坐标是?
【解析】依题意抛物线的准线方程为y=-\frac{p}{2},根据抛物线的定义,M到焦点的距离等于到准线的距离,故点M的纵坐标是a-\frac{p}{2}.青】本小题主要考查抛物线的定义,考查抛物线上点的坐标的求法,属于基础题
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{7-m}+\frac{y^{2}}{4}=1$表示椭圆，则实数$m$的取值范围是?
【解析】由条件可知\begin{cases}7-m>0\\7-m\neq4\end{cases},解得:m<7且m\neq3,所以实数m的取值范围是(-\infty,3)\cup(3,7)
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1(a>2)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，若$C$上存在点$P$使得$P F_{1} \perp P F_{2}$，则双曲线$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{8}=1$的离心率的取值范围是?
【解析】因为C上存在点P使得PF_{1}\botPF_{2},所以\angleF_{1}PF_{2}\geqslant90^{\circ},椭圆中,c_{椭}^{2}\geqslantb^{2}=4\Rightarrowa^{2}=4+c_{椭}^{2}\geqslant8因此,e_{双}^{2}=\frac{a^{2}+8}{a^{2}}=1+\frac{8}{a^{2}}\leqslant2\Rightarrowe_{双}\in(1,\sqrt{2}]
【题目】已知$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$是焦点，$\angle F_{1} P F_{2}$取最大值时的余弦值为$\frac{1}{3}$, 则此椭圆的离心率为?
【解析】先利用余弦定理和基本不等式判断|PF_{1}|=|PF_{2}|=a时\angleF_{1}PF_{2}取最大值,余弦值最小为\frac{2b^{2}}{a^{2}}-1=\frac{1}{3},解得\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{3},再利用e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}计算离心率即可.羊解]依题意|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,|F_{1}F_{2}|=2c,a^{2}=b^{2}+c^{2},当\angleF_{1}PF_{2}取最大值时,即\cos\angleF_{1}PF_{2}最小,即\cos\angleF_{1}PF_{2}的最小值为\frac{1}{3}而_{\cos\angleF_{1}PF_{2}}=\frac{|PF_{1}|^{2}+|}{2|PI}\frac{DF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}}{1+|PF_{2}|}=\frac{(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|-4c^{2}}{2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|}=\frac{4a^{2}-2|PF_{1}|}{2|PF_{1}|}.\frac{1+\cdot|PF_{2}|-4}{|\cdot|PF_{2}|}而|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\leqslant\frac{(|PF_{1}|+|PF_{2}|)^{2}}{4}=a^{2},当且仅当|PF_{1}|=|PF_{2}|=a时等号成立故_{\cos\angleF_{1}PF_{2}\geqslant\frac{2b^{2}}{a2}}-1^{4}当且仅当|PF_{1}|=|PF_{2}|=a时等号成立所以\cos\angleF_{1}PF_{2}的最小值为\frac{2b^{2}}{a^{2}}-1=\frac{1}{3},即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{3}故e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a2-b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
【题目】已知焦点在$x$轴上的椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$的焦距为$\sqrt{3}$，则$m$的值为?
【解析】焦点在x轴上的椭圆x^{2}+\frac{y^{2}}{m}=1的焦距为\sqrt{3},所以a=1,b=\sqrt{m},c=\frac{\sqrt{3}}{2}因为a^{2}=b^{2}+c^{2},所以_{1}^{2}=\sqrt{m}^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2},解得m=\frac{1}{4}
【题目】已知$O$为坐标原点，$F$为抛物线$C$: $y^{2}=2 x$的焦点，直线$l$: $y=m(2 x-1)$与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，点$A$在第一象限，若$|A F|=2|B F|$，则$m$的值为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),利用焦半径的公式代入|AF|=2|BF|,并与抛物线方程联立,求得点A,B的坐标,再代入斜率公式求得m的值.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),直线l过抛物线C的焦点F(\frac{1}{2},0)\because|AF|=2|BF|,\therefore\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB},所以x_{1}-\frac{1}{2}=2(\frac{1}{2}-x_{2}),,=-2y_{2}\thereforex_{1}=\frac{3}{2}-2x_{2}'由y_{1}^{2}=2x_{1},y_{2}^{2}=2x_{2}得\begin{cases}4y_{2}^{2}=3-4x\\y_{2}^{2}=2x_{2}\end{cases}\thereforex_{2}=\frac{1}{4},y_{2}^{2}=\frac{1}{2},y_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore_{2m}=\frac{0+\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}=2\sqrt{2}'m=\sqrt{2}
【题目】已知点$M(-2,-3)$，点$F(2,0)$为抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点，第一象限内的点$P$在抛物线$C$上，则$\frac{|P M|}{|P F|}$的最大值为?
【解析】由已知得p=4,所以抛物线C的方程为y^{2}=8x,准线l:x=-2设P(x,y)(x>0,y>0),在Rt\trianglePMH中,\frac{|PM|}{|PH|}=\frac{\sqrt{(x+2)^{2}+(y+3)^{2}}}{x+2}=\sqrt{1+(\frac{y+3}{x+2})^{2}}\frac{1+(y+3)^{2}}{\frac{y^{2}+2}{8}+\frac{1}{2}}{^{2}}所以|PF|=|1+|\frac{(--3)^{2}+2}{由基本不等式可得+\frac{25}{1}-6\geqslant2\sqrt{x}x^{2}5}-6=4(当且仅当t=5时等号成立所以\frac{|\frac{PM}{1+2}}{|PFF|}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1$过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点，则此双曲线的渐近线方程为?
【解析】y^{2}=8x的焦点为(2,0)\therefore\sqrt{m}=2\thereforem=4\therefore渐近线为y=\pm\frac{1}{2}x
【题目】椭圆$16x^{2}+9 y^{2}=144$的焦点坐标?
【解析】
【题目】若抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离是?
【解析】
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1$的一条渐近线为$\sqrt{3} x+y=0$，则$C$的焦距为?
【解析】双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1的渐近线为y=\pm\frac{\sqrt{3}}{a}x'由于双曲线的一条渐近线为\sqrt{3}x+y=0\Rightarrowy=-\sqrt{3}x.故\frac{\sqrt{3}}{|a|}=\sqrt{3}\Rightarrowa=\pm1c^{2}=a^{2}+b^{2}=1+3=4\Rightarrowc=2C的焦距为2c=4.
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{4+k}+\frac{y^{2}}{2-k}=1$表示椭圆，则实数$k$的取值范围为?
【解析】根据椭圆标准方程的要求求解即可.4+k>0\begin{cases}4+k>0\\2-k>0\\k+4+2\end{cases}(k+4\neq2-k,\begin{cases}k>-4\\k<2\\k\neq-1\end{cases},即k\in(-4,-1)\cup(-1,2)
【题目】若双曲线的两准线间的距离是焦距的$\frac{3}{5}$，则双曲线的离心率为?
【解析】双曲线的两准线的距离为:2\frac{a^{2}}{c},两焦点间的距离为:2c,根据题意可由:\frac{2a^{2}}{c}=\frac{3}{5}\times2c化简为:5a^{2}=3c2解得:e=\frac{\sqrt{15}}{2},所以答案为:\frac{\sqrt{15}}{2}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{a}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则实数$a$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线与椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{6}=1$有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{2} x$，则此双曲线方程为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，$A$，$B$在抛物线上，且$\angle A F B=\frac{\pi}{2}$，弦$A B$的中点$M$在其准线上的射影为$N$，则$\frac{|MN |}{|AB|}$的最大值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$短轴的端点$P(0, b)$, $Q(0,-b)$，长轴的一个端点为$M$ ,$A B$为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若$P A$, $P B$的斜率之积等于$-\frac{1}{4}$，则$P$到直线$Q M$的距离为?
【解析】不妨设椭圆P(0,b),A(x_{0},y_{0}),则B点坐标为(x_{0}-,y_{0}),则\frac{y_{0}-b}{x_{0}}\times\frac{y_{0}-b}{x_{0}}=\frac{1}{4},由于\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1,则-\frac{b^{2}}{a^{2}}=-\frac{1}{4},则\frac{b}{a}=\frac{1}{2}不妨设M(a,0),直线QM方程为bx-ay-ab=0,则P到直线QM的距离为d=\frac{|2ab|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{2\frac{b}{a}}{\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$和$B(x_{2}, y_{2})$两点，若$x_{1}+x_{2}=3 p$，则$|A B|$=?
【解析】利用抛物线的定义直接求解即可.设抛物线的焦点为F,则由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x_{1}+\frac{p}{2}+x_{2}+\frac{p}{2}=x_{1}+x_{2}+p=3p+p=4p
【题目】过点$M(2,1)$作斜率为$-\frac{1}{2}$的直线与椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$相交于$A$、$B$两点，若$M$是线段$A B$的中点，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),\frac{x_{1}2}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1\textcircled{1},\frac{x_{2}2}{a^{2}}+\frac{y_{2}}{b^{2}}=1\textcircled{2}\becauseM是线段AB的中点,\therefore\frac{x_{1}+x_{2}}{a^{2}+(-\frac{1}{2})\cdot\frac{2}{b^{2}}=0},\textcircled{1}\textcircled{2}两式相减可得\frac{x_{1}2-x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}-y_{2}}{b^{2}}=0\thereforea=2b,\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】抛物线$x^{2}=4 y$的准线方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$的离心率为$2$，它的一个焦点是抛物线$x^{2}=8 y$的焦点，则双曲线$C$的标准方程为?
【解析】抛物线x^{2}=8y的焦点为F(0,2),所以在双曲线中,c=2,e=\frac{c}{a}=\frac{2}{a}=2,\thereforea=1,b^{2}=c^{2}-a^{2}=3,所以所求双曲线方程为:y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=1
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点且斜率为$2$的直线与$C$交于$A$、$B$两点，以$A B$为直径的圆与$C$的准线有公共点$M$，若点$M$的纵坐标为$2$，则$p$的值为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),AB中点为N分析可得以AB为直径的圆与C的准线相切.再利用点差法求点M的纵坐标即可求得p的值.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),AB中点为N(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}),则AB=x_{1}+x_{2}+p,故半径为\frac{x_{1}+x_{2}+p}{2}又中点N(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})到准线x=-\frac{p}{2}的距离为\frac{x_{1}+x_{2}+p}{2}.故以AB为直径的圆与C的准线相切,且M(-\frac{p}{2},\frac{y_{1}+y_{2}^{2}}{2})为切点.故\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=2,即y_{1}+y_{2}=4又\begin{cases}y_{1}=2px_{1}\\y_{2}=2px_{2}\end{cases}\Rightarrowy_{1}^{2}-y_{2}^{2}=2p(x_{1}-x_{2})\Rightarrow\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{2p}{y_{1}+y_{2}},又直线斜率为2,y_{1}_{+y_{2}}=4,故2=\frac{2p}{4}\Rightarrowp=4.数答客本题干要:了点差法求解弦中点的问题,同时也考查了佳点弦与准线的性质,属于中等题型
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，若$|P F_{1}|=4$,$\angle F_{1} P F_{2}$的大小为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$ , $P(4 , y)$在抛物线上，则$|P F|$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点为$F$，若抛物线$C$上的点$M(2, y_{0})$满足$|M O|=|M F|$ ($O$为坐标原点)，则$p$=?
【解析】分析】根据两点之间的距离公式以及|MO|=|MF|,可得p^{2}-4py_{0}=0,然后根据点M(2,y_{0})在抛物线上,可得2^{2}=2py_{0},联立方程,可得p.由题可知:\sqrt{(2-0)^{2}+(y_{0}-0)^{2}}=\sqrt{(2-0)^{2}+(y_{0}-}\frac{P}{2})^{2}2-4py_{0}=0又\because2^{2}=2py_{0},p>0,\thereforep^{2}-4p\times\frac{2}{p}=0,\thereforep=-2\sqrt{2}(舍)或p=2\sqrt{2}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{n}-y^{2}=1(n>1)$的两个焦点为$F_{1}$ , $F_{2}$ , $P$在双曲线上,且满足$|PF_{1}|+|P F_{2}|=2 \sqrt{n+2}$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=2 x$的焦点$F$作直线交抛物线于$A$、$B$两点，若$|A B|=\frac{25}{12}$, $|A F|<|B F|$, 则$|A F|$=?
【解析】设|AF|=m,|BF|=n,则\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{p},又|AB|=\frac{25}{12},所以m+n=\frac{25}{12},mn=\frac{25}{24}则m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{4}【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦点弦问题时,常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题,属于难题
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的右焦点与抛物线$y^{2}=12 x$的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为?
【解析】抛物线y^{2}=12x的焦点F(3,0)\because双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的右焦点与抛物线y^{2}=12x的焦点重合\therefore4+b^{2}=c^{2}=9,解得b=\sqrt{5},所以2b=2\sqrt{5}
【题目】过点$M(-1,2)$作抛物线$y^{2}=4 x$的两条切线，切点分别为$A$、$B$两点，则$A B$的中点到抛物线准线的距离为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，上顶点为$D$，且$\angle F_{1} D F_{2}=120^{\circ}$，若第一象限的点$A$、$B$在$C$上，$|A F_{2}|=2$ ,$|B F_{2}|=4$ ,$|A B|=3$，则直线$A B$的斜率为?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的左、右焦点分别为F_{1}F_{2},上顶点为D,且\angleF_{1}DF_{2}=120^{\circ}所以,\angleF_{1}DO=60^{\circ},由椭圆的几何性质可知|DF_{1}|=a,|OF_{1}|=c,椭圆的离心率为e=\frac{c}{a}=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),则0<x_{1}<a_{1}0<x_{2}<a_{2}=|ex_{1}-a|=a-ex_{1}=2,同理可得|BF_{2}|=a-ex_{2}=4,所以,|BF_{2}|-|AF_{2}|=e(x_{1}-x_{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}(x_{1}-x_{2})=2'解得x_{1}-,x_{2}=.4\sqrt{3},设直线AB的斜率为k,由弦长公式可得|AB|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sqrt{1+k^{2}}=3解得k=\pm\frac{\sqrt{11}}{4}.因为点A、B都在第一象限,则k<0,故_{k}=-\frac{\sqrt{11}}{4}.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别是$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$作倾斜角为$45^{\circ}$的直线与椭圆的一个交点为$M$，若$M F_{2}$垂直于$x$轴，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】设$AB$是椭圆$\Gamma$的长轴，点$C$在$\Gamma$上，且$\angle CBA=\frac{\pi}{4}$，若$AB=4$ , $BC=\sqrt{2}$，则$\Gamma$的两个焦点之间的距离为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ,点$(a, b)$在直线$y=2 x$ ,则双曲线$C$的离心率为?
【解析】因为点(a,b)在直线y=2x上,则有b=2a,即\frac{b}{a}=2,则离心率为\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{5}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=a x$的准线方程为$x=-1$，则$a$=?
【解析】抛物线y^{2}=ax的准线方程是x=-\frac{a}{4},所以-\frac{a}{4}=-1,解得a=4.
【题目】过双曲线$G$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点$A$作斜率为$1$的直线$m$，分别与两渐近线交于$B$、$C$两点，若$|AB|=2|AC|$，则双曲线$G$的离心率为?
【解析】
【题目】$F$是抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，过$F$的直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点，若$|A F|=10$，则$\triangle O A B$的面积为?
【解析】设点A为第一象限内的点,设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),利用抛物线的定义可求得点A的坐标,可得出直线AB的方程,将直线AB的方程与抛物线的方程联立,列出韦达定理,求出|y_{1}-y_{2}|的值由此可求得\triangleOAB的面积.设点A为第一象限内的点,设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})抛物线y^{2}=4x的准线方程为x=-1,由抛物线的定义可得|AF|=x_{1}+1=10,解得x_{1}=9由于点A为第一象限内的点,则y_{1}>0,可得y_{1}=\sqrt{4x_{1}}=6,即点A(9,6),直线AF的斜率为k_{AF}=\frac{6}{9-1}=\frac{3}{4},所以,直线AB的方程为y=\frac{3}{4}(x-1),即x=\frac{4}{3}y+1.联立\begin{cases}x=\frac{4}{3}y+1\\y2=4x\end{cases},消去x并整理可得y^{2}-\frac{16}{3}y-4=0,由韦达定理可得y_{1}+y_{2}=\frac{16}{3},\thereforey_{2}=\frac{16}{3}-y_{1}=\frac{16}{3}-6=-\frac{2}{3}因此,S_{\triangleOAB}=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y-y_{2}|=\frac{1}{2}\times1\times6+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}.
【题目】已知直线$y=k x-1$和双曲线$x^{2}-y^{2}=1$的左右两支各交于一点，则$k$的取值范围是?
【解析】设两个交点坐标分别为A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2})联立直线与双曲线\begin{cases}y=kx-1\\x^{2}-y^{2}=1\end{cases},化简得(1-k^{2})x^{2}+2kx-2=0(1-k^{2}\neq0)因为直线y=kx-1和双曲线x^{2}-y^{2}=1的左右两支各交于一点所以两个交点的横坐标符号相反,即x_{1}\cdotx_{2}=\frac{-2}{1-k^{2}}<0解不等式可得-1<k<1所以k的取值范围是(-1,1)青】本题考查了直线与双曲线的位置关系,交点间的坐标关系,属于基础题
【题目】方程$\frac{x^{2}}{16-m}+\frac{y^{2}}{m+4}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则实数$m$的取值范围为?
【解析】由题意,方程\frac{x2}{16-m}+\frac{y^{2}}{m+4}=1表示焦点在x轴上的椭圆.所以实数m的取值范围为(-4,6).
【题目】设抛物线$C$: $y=\frac{1}{4} x^{2}$的焦点为$F$，直线$l$过焦点$F$，且与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，$|A F|=3$，则$\frac{S_{\Delta A O F}}{S_{\Delta B O F}}$=?
【解析】抛物线焦点为(0,1),由于直线和抛物线有两个交点,故直线斜率存在.根据抛物线的定义可知|AF|=y_{A}+1=3,故A的纵坐标为2,横坐标为\pm2\sqrt{2}不妨设A(-2\sqrt{2},2),故直线l的方程为y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x+1联立直线方程和抛物线方程,化简得x^{2}+\sqrt{2}x-4=0解得x_{A}=-2\sqrt{2},x_{B}=\sqrt{2},故y_{B}=\frac{1}{4}\times(\sqrt{2})^{2}=\frac{1}{2}.所以\frac{S_{AAOF}}{S_{ABOF}}=\frac{|x_{A}|}{|x_{B}|}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2.
【题目】若双曲线的一个焦点坐标为$(5,0)$，实轴长为$6$，则它的标准方程是?
【解析】由于双曲线的一个焦点坐标为(5,0),所以双曲线的焦点在x轴上,c=5,实轴长2a=6,a=3,b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=4,所以双曲线的标准方程是\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1
【题目】若抛物线$y^{2}=\frac{4}{m} x$的焦点与椭圆$\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点重合，则$m$的值为?
【解析】
【题目】如果方程$\frac{x^{2}}{k-2}+\frac{y^{2}}{3-k}=1$表示椭圆，则$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦距为$4$，且过点$A(\sqrt{2}, \sqrt{3})$，则椭圆的方程为?
【解析】由题,\frac{x^{2}}{2}++\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,又椭圆过点A(\sqrt{2},\sqrt{3}),=1\Rightarrow2b^{2}+3(b^{2}+4)=(b^{2}+4)b^{2}.化简得b^{4}-b^{2}-12=0故b^{2}=4,a^{2}=4+4=8所以椭圆方程为\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】已知实数$x$, $y$满足$\frac{x|x|}{4}+y|y|=1$，则$|x+2 y-4|$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$，焦距为$2 c$，且$2 a^{2}=3 c$，双曲线上
一点$P$满足$\overrightarrow{PF_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=2$($F_{1}$, $F_{2}$为左右焦点 )，则$|\overrightarrow{PF_{1}}| \cdot |\overrightarrow{PF_{2}} |$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是双曲线上一点，且$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$. 若$\Delta F_{1} P F_{2}$的外接圆和内切圆的半径分别为$R$, $r$，且$R=4 r$，则双曲线的离心率为?
【解析】双曲线的焦点为F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0),|F_{1}F_{2}|=2c,在\triangleF_{1}PF_{2}中,由正弦定理得:2R=\frac{|F_{1}F_{2}|}{\sin\angleF_{1}PF_{2}}=\frac{2c}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}c解得_{R}=\frac{2\sqrt{3}}{3}c'r=\frac{1}{4}R=\frac{\sqrt{3}}{6}c设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,在\triangleF_{1}PF_{2}中,由余弦定理得:4c^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos\frac{\pi}{3}=(m-n)^{2}+mn解得mn=4(c^{2}-a^{2})所以S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}mn\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}(c^{2}-a^{2}),因为(m+n)^{2}=(m-n)^{2}+4mn=4a^{2}+16(c^{2}-a^{2})=16c^{2}-12a^{2}又s_{\DeltaF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}(m+n+2c)r=\frac{\sqrt{3}c(m+n+2c)}{12}所以\sqrt{3}(c^{2}-a^{2})=\frac{\sqrt{3}c(m+n+2c)}{12},则m+n=\frac{10c^{2}-12a^{2}}{c}所以_{(m+n)^{2}}=(\frac{10c^{2}-12a^{2}}{c})^{2}=16c^{2}-12a^{2}整理得21c^{4}+36a^{4}-57a^{2}c^{2}=0,则(c^{2}-a^{2})(2lc^{2}-36a^{2})=0解得e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{21}}{7}或e=1(舍去)
【题目】若点$P$在曲线$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$上，点$Q$在曲线$C_{2}$:$(x-5)^{2}+y^{2}=1$上，点$R$在曲线$C_{3}$:$(x+5)^{2}+y^{2}=1$上，则$|P Q|-|P R|$的最大值是?
【解析】依题意得,点F_{1}(-5,0),F_{2}(5,0)分别为双曲线C_{1}的左、右焦点,因此有|PQ|-|PR|\leqslant|PF_{2}|+1)(|PF_{1}|-1)|||PF_{2}|-|PF_{1}|+2=2\times4+2=10,故PQ|-|PR|的最大值是10.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的离心率为?
【解析】根据椭圆的方程可得:a=2,b=1,故c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3},所以椭圆的离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】已知双曲线$C$与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$有共同的焦点，且它们的离心率之和为$\frac{14}{5}$，则双曲线$C$的方程是?
【解析】因为双曲线C与椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1有共同的焦点,所以c=\sqrt{25-9}=4,且焦点在y轴上;设双曲线的方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),又离心率之和为\frac{14}{5},所以\frac{c}{a}+\frac{4}{5}=\frac{14}{5},解得a=2,所以b^{2}=16-4=12'因此双曲线C的方程是\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{12}=1.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$的实轴长等于?
【解析】
【题目】以直线$y=\pm \sqrt{3} x$为渐近线的双曲线的离心率为?
【解析】当焦点在x轴上时:直线y=\pm\sqrt{3}x为渐近线,则\frac{b}{a}=\sqrt{3}\thereforec=2a\thereforee=2当焦点在y轴上时:直线y=\pm\sqrt{3}x为渐近线,则\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\thereforec=\frac{2\sqrt{3}}{3}a\thereforee=\frac{2\sqrt{3}}{3}综上所述:离心率为2或\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$长轴长为?
【解析】由题意,椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1,可得a=5,b=3,所以椭圆的长轴长为2a=10.
【题目】已知点$P$到点$F(-3 , 0)$的距离比它到直线$x=2$的距离大$1$，则点$P$满足的方程为?
【解析】
【题目】已知点$(2,3)$在双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$上，$C$的焦距为$4$，则它的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{32}-\frac{y^{2}}{18}=-2$的焦距等于?
【解析】
【题目】已知中心在原点, 焦点在$x$轴上的双曲线的离心率为$\frac{3}{2}$, 实轴长为$4$, 则双曲线的方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{k}=1$的离心率$e=3$，则$k$的值为?
【解析】
【题目】如果椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，那么双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为?
【解析】利用椭圆的离心率可求得\frac{b^{2}}{a2}的值,进而可求得双曲线的离心率的值设椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的半焦距为c_{1},双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的半焦距为c_{2}椭圆的离心率为e_{1}=\frac{c_{1}}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{a2-b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4},
【题目】已知双曲线$k x^{2}-y^{2}=1$的一条渐近线与直线$2 x+y+1=0$垂直，则此双曲线的离心率是?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，点$P$在$C$上.若$\angle P F_{1} F_{2}=\angle F_{1} P F_{2}=30^{\circ}$，则$C$的离心率为?
【解析】由题意得:F_{1}F_{2}=PF_{2}=2c,PF_{1}=2\sqrt{3}c,\becausePF_{1}-PF_{2}=2a,\thereforePF_{1}-PF_{2}=2\sqrt{3}c-2c=2a,故e=\frac{1+\sqrt{3}}{2}
【题目】已知$F_{1}(-3 , 0)$ , $F_{2}(3 , 0)$，点$M$满足$|M F_{1}|+|M F_{2}|=10$, 则$M$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线的两条渐近线方程为$3 x \pm 4 y=0$，则双曲线方程为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$焦点为$F$、$P$为抛物线线上的动点，定点$A(3,2)$，则$|P A|+|P F|$的最小值为?
【解析】准线为x=-2,过P作准线l的垂线PM,垂足为M,则|PM|=|PF|所以|PF|+|PA|=|PM|+|PA|,易知当M,P,A三点共线时|PM|+|PA|取得最小值为3-(-2)=5,
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F(2,0)$，则抛物线$C$的方程是?
【解析】因为抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F(2,0)即\frac{p}{2}=2,所以p=4,所以抛物线C的方程是y^{2}=8x
【题目】已知倾斜角为$60^{\circ}$的直线过曲线$C$: $y=2 x^{2}$的焦点$F$，且与$C$相交于不同的两点$A$,$B$ ($A$在第一象限)，则$|A F|$=?
【解析】
【题目】焦点在$y$轴上的双曲线$y^{2}-m x^{2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则$m$的值为?
【解析】双曲线的标准方程为y^{2}-\frac{x^{2}}{m}=1,由题意可得m>0,则a=1,b=\frac{1}{\sqrt{m}},c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{m}}所以,e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{1}{m}}=\frac{\sqrt{5}}{2},解得m=4
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的右焦点重合，则实数$p$的值为?
【解析】因为双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1的右焦点为(3,0),所以\frac{p}{2}=3,p=6
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$, 直线$l$过点$P(2,1)$, 且与抛物线$C$交于$M$、$N$两点, 若线段$M N$的中点恰好为点$P$, 则直线$l$的斜率为?
【解析】设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})\thereforey_{1}=4x_{1}-\textcircled{1},y_{2}=4x_{2}-\textcircled{2}由\textcircled{1}-\textcircled{2}可得:(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=4(x_{1}-x_{2})\because线段MN的中点恰好为点P\therefore根据中点坐标公式可得:y_{1}+y_{2}=2\thereforek=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=2
【题目】若直线$y=kx-1$与双曲线$x^{2}-y^{2}=4$只有一个公共点，则$k$=?
【解析】
【题目】抛物线$y=x^{2}$的焦点到准线的距离是?
【解析】由抛物线的解析式求出p,即可求解由y=x^{2}变形得x^{2}=y,故抛物线焦点在y的正半轴,2p=1,p=\frac{1}{2},故抛物线y=x^{2}的焦点到准线的距离是p=\frac{1}{2}
【题目】设双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，过$F$作垂直于$x$轴的直线交$C$于$A$、$B$两点若以线段$A B$为直径的圆与$C$的渐近线相切，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】根据题意,直线AB的方程为x=c,代入C:\frac{x2}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,得y=\pm\frac{b^{2}}{a},所以以线段AB为直径的圆的圆心为(c,0),半径为\frac{b^{2}}{a},双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b=\frac{b^{2}}{a},化简得a=b,所以渐近线方程为x\pmy=0,
【题目】已知定点$A(0,2)$ , $B(0,-2)$ , $C(3,2)$，以$C$为一个焦点作过$A$、$B$两点的椭圆，则椭圆的另一个焦点$F$的轨迹方程是?
【解析】\becauseA,B在以C,F为焦点的椭圆上,\therefore|AC|+|AF|=|BC|+|BF|,\therefore|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}-\sqrt{3^{2}+0^{2}}=2则可得F的轨迹为以A,B为焦点的双曲线的下支,设双曲线方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(y\leqslant-a)则可得2a=2,即a=1,c=2,\thereforeb^{2}=c^{2}-a^{2}=3则焦点F的轨迹方程是y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=1(y\leqslant-1)
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$P(2, m)$为$C$上一点，若$|P F|=3$，则$m$=?
【解析】根据抛物线的定义,利用代入法进行求解即可.[详解]抛物线C:y^{2}=2px的准线方程为:x=-\frac{p}{2},因为|PF|=3所以2-(-\frac{p}{2})=3\Rightarrowp=2,把P(2,m)代入抛物线方程中,得m^{2}=2\times2\times2\Rightarrowm=\pm2\sqrt{2}
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点坐标为$(3,0)$，则$p$的值为?
【解析】因为抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点坐标为(3,0),所以\frac{p}{2}=3,解得p=6
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F(2,0)$，过点$F$垂直于渐近线的直线恰与圆$x^{2}+y^{2}+4 x=0$相切，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】由x^{2}+y^{2}+4x=0,得(x+2)^{2}+y^{2}=4,可得圆心为(-2,0),半径r=2,因为F(2,0),所以过点F与圆x^{2}+y^{2}+4x=0相切的直线的倾斜角为150^{\circ},则斜率为-\frac{\sqrt{3}}{3}所以渐近线的斜率为\sqrt{3},即\frac{b}{a}=\sqrt{3},所以离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a2}}=\sqrt{4}=2'
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$有共同渐近线，且过$A(-3 , 4 \sqrt{2})$的双曲线方程是?
【解析】
【题目】设$O$为坐标原点，直线$x=a$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两条渐近线分别交于$D$、$E$两点，若$\triangle O D E$的面积为$8$，则$C$的焦距的最小值为?
【解析】双曲线C的渐近线方程为_{y}=\pm\frac{b}{a}x'不妨令点D为在第一象限,E在第四象限,由\begin{cases}x=a\\y=\frac{b}{a}x\end{cases}解得D(a,b),同理E(a,-b)|ED|=2b,所以\triangleODE的面积S_{\triangleODE}=\frac{1}{2}a\cdot2b=ab=8,于是,双曲线C的焦距2c=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}>2\sqrt{2ab}=2\sqrt{16}=8,当且仅当a=b=2\sqrt{2}时取等号,所以C的焦距的最小值为8.b答安为.8
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的准线为$l$,$l$与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的两条渐近线分别交于$A$、$B$两点，则线段$AB$的长度为?
【解析】依题意写出抛物线的准线方程,以及双曲线的渐近线方程,联立直线方程,求出A,B两点坐标即可求出结果.[详解]抛物线y2=4x的准线为l,抛物线的准线方程:x=-1双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的两条渐近线:x\pm2y=0,联立x=-1与x\pm2y=0可得:A(-1,\frac{1}{2}),B(-1,-\frac{1}{2}),所以,线段AB的长度为:1.
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$的焦点到准线的距离是?
【解析】由y^{2}=2px=8x知p=4,又焦点到准线的距离就是p,所以焦点到准线的距离为4
【题目】经过点$M(2,1)$作直线$l$交双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$于$A$、$B$两点，且$M$为$A B$的中点，则直线$l$的方程为?
【解析】设点A(x_{1},y_{1}),点B(x_{2},y_{2}),代入双曲线方程,两式作差,利用中点坐标公式求出直线的斜率.根据点斜式即可求解.设点A(x_{1},y_{1}),点B(x_{2},y_{2})M(x_{0},y_{0}),则2x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=2,\cdots\cdots\textcircled{1}2x_{2}^{2}-y_{2}^{2}=2,\cdots\cdots\textcircled{2}\textcircled{1}-\textcircled{2}得2(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})-(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0,2\times2x_{0}-2y_{0}\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=0,所以8-2k=0,所以k=4,所以y-1=4(x-2)所以直线l的方程为4x-y-7=0.
【题目】抛物线$y=\frac{1}{m} x^{2}(m<0)$的焦点坐标是?
【解析】抛物线y=\frac{1}{m}x^{2}(m<0)的标准方程为x^{2}=my,焦点坐标为(0,\frac{m}{4}).
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{15}=1$的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程标准方程?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{15}=1焦点(\pm\sqrt{10},0),顶点为(\pm5,0)设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),焦距为2c则a=\sqrt{10},c=5,\thereforeb=\sqrt{25-10}=\sqrt{15}所求的双曲线方程为\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{15}=1
【题目】已知圆$C$:$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$与椭圆$\Gamma$: $x^{2}+4 y^{2}=4 b^{2}$相交于$A$、$B$两点，若$A B$是圆$C$的直径，则椭圆$\Gamma$的方程为?
【解析】先设交点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),利用点差法求出直线AB的斜率,再联立直线与椭圆的方程,利用弦长|AB|=\sqrt{10}构建关系求出参数b即可椭圆F:\frac{x^{2}}{4b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,即a^{2}=4b^{2},焦点在x轴上由题意可知C(-2,1)为AB中点,设A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})\frac{12}{b^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1即k_{AB}\cdotk_{CO}=-\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}=-\frac{1}{4},又k_{CO}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2},则k_{AB}=\frac{1}{2}故直线AB方程为:y-1=\frac{1}{2}(x+2)联立\begin{cases}y-1=\frac{1}{2}(x+2)\\x^{2}+4y^{2}=4b^{2}\end{cases}得:x^{2}+4[\frac{1}{2}(x+2)+1]^{2}=4b^{2},即x^{2}+(x+4)^{2}=4b^{2}即2x^{2}+8x+16-4b^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=4,x_{1}\cdotx_{2}=\frac{16-4b^{2}}{2},即\frac{5}{4}\cdot(8b^{2}-16)=10,即8b^{2}-16=8'b^{2}=3^{n}则a^{2}=4b^{2}=12'椭圆T的方程为:\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=]
【题目】若点$P$到直线$x=-2$的距离等于到点$F(2,0)$的距离,则点$P$的轨迹方程是?
【解析】由题:点P到直线x=-2的距离等于到点F(2,0)的距离,则点P的轨迹是抛物线,顶点在原点,开口朝右,x=-2是其准线,F(2,0)是其焦点,设其方程为y^{2}=2px,\frac{p}{2}=2,解得p=4,所以其方程为:y^{2}=8x.
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}+\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1(a_{1}>b_{1}>0)$与双曲线$C_{2}$: $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{2}^{2}}=1(a_{2}>0, b_{2}>0)$的公共焦点，它们在第一象限内交于点$M$ , $\angle F_{1} M F_{2}=90^{\circ}$,若双曲线$C_{2}$的离心率$e_{2}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$，则椭圆$C_{1}$的离心率$e_{1}$的值为?
【解析】由椭圆和双曲线的定义,可得|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a_{1},|MF_{1}|-|MF_{2}|=2a_{2}所以|MF_{1}|=a_{1}+a_{2},|MF_{2}|=a_{1}-a_{2}因为\angleF_{1}MF_{2}=90^{\circ},所以|MF_{1}|^{2}+|MF_{2}|^{2}=4c^{2},即(a_{1}+a_{2})^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}=4c^{2}即a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=2c^{2},又由e_{1}=\frac{c}{a_{1}},e_{2}=\frac{c}{a_{2}},即有\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}=2因为e_{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2},所以\frac{1}{e_{1}^{2}}=\frac{16}{9},可得e_{1}=\frac{3}{4}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$的直线$l$交$C$的右支于$A$、$B$两点，且$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A F_{1}}=0$，$12|\overrightarrow{A B}|=5|\overrightarrow{A F_{1}}|$，则$C$的离心率为?
【解析】由题设知AB\botAF_{1},令|AF_{1}|=12m,易得|AB|=5m,根据双曲线的定义知|AF_{2}|=|AF_{1}|-2a.|BF_{2}|=|BF_{1}|-2a,又|AF_{2}|=|AB|-|BF_{2}|即可求双曲线参数a与m的数量关系,在Rt\triangleF_{1}AF_{2}中应用勾股定理构造a、c的齐次方程即可求离心率.=5|\overrightarrow{AF}|,则|AB|=5m,\thereforeRt\DeltaF_{1}AB中,|BF_{1}|=\sqrt{|AF_{1}^{2}+|AB|}^{2}=13m',又|AF_{2}|=|AB|-|BF_{2}|=|AF_{1}|-2a且|BF_{2}|=|BF_{1}|-2a=13m-2a.\therefore|AF_{2}|=2a-8m=12m-2a,即m=\frac{a}{5},则|AF_{1}|=\frac{12a}{5},|AF_{2}|=\frac{2a}{5}故在Rt\triangleF_{1}AF_{2}中,|F_{1}F_{2}^{2}|=|AF_{1}^{2}+|AF_{2}|=4c^{2},即\frac{148a^{2}}{25}=4c^{2},\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{37}}{5}.
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$，且倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，若弦$A B$的垂直平分线经过点$(0,2)$，则$p$等于?
【解析】由题意,抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点F(\frac{p}{2},0)则过焦点F且倾斜角为\frac{\pi}{4}的直线方程为y=x-\frac{p}{2}设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由\begin{cases}x=y+\frac{p}{2}\\y^{2}=2px\end{cases}得y^{2}-2py-p^{2}=0\thereforey_{1}+y_{2}=2p,x_{1}+x_{2}=3p.弦AB的中点坐标为(\frac{3p}{2},p)弦AB的中垂直平分线方程为y-2=-x,弦AB的中点在该直线上p-2=-\frac{3p}{2},解得p=\frac{4}{5}与睛)本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用,以及直线与抛物线的位置关系的应用,若重考查了推理与运算能力,属于基础题
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$，直线$l$: $y=2 x+b$经过抛物线$C$的焦点，且与$C$相交于$A$、$B$两点. 若$|A B|=5$，则$p$=?
【解析】法1:首先利用直线过焦点,得b=-p,再利用直线与抛物线方程联立,利用根与系数的关系表示|AB|=x_{1}+x_{2}+p,计算求得p;法2:由已知\tan\theta=2,求得\sin\theta的值,再利用弦长公式|AB|=\frac{2p}{\sin^{2}\theta},求p的值法1:由题意知,直线l:y=2x+b,即y=2(x+\frac{b}{2}).\because直线l经过抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点\therefore-\frac{b}{2}=\frac{p}{2},即b=-p.\therefore直线l的方程为y=2x-p设A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),联立\begin{cases}y=2x-1\\y2=2px\end{cases},消去y整理可得4x^{2}-6px+p^{2}=0由韦达定理得x_{1}+x_{2}=\frac{3p}{2},又|AB|=5,\thereforex_{1}+x_{2}+p=\frac{5}{2}p=5,则p=2.法2:设直线的切斜角为\theta,则\tan\theta=k=2,得\sin\theta=\frac{2\sqrt{5}}{5},\thereforep=2
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{2-m}+\frac{y^{2}}{|m|-3}=1$表示双曲线，则实数$m$的取值范围是?
【解析】因为方程\frac{x^{2}}{2-m}+\frac{y^{2}}{|m|-3}=1表示双曲线,所以(2-m)(|m|-3)<0,即\begin{cases}m-2<0\\|m|-3<0\end{cases}或\begin{cases}m-2>0\\|m|-3>0\end{cases}解得-3<m<2或m>3,所以实数m的取值范围是(-3,2)\cup(3,+\infty)

hbghlyj

【题目】已知有相同焦点$F_{1}$、$F_{2}$的椭圆$\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1(m>1)$和双曲线$\frac{x^{2}}{n}-y^{2}=1(n>0)$，点$P$是它们的一个交点，则$\Delta F_{1} P F_{2}$面积的大小是?
【解析】设|PF_{1}|=s,|PF_{2}|=t,由椭圆和双曲线的定义整理得\begin{cases}s^{2}+t^{2}=2m+2n\\st=m-n\end{cases}由焦点相同可得m-n=2,结合余弦定理可证明\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},从而可求出面积如图所示,不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上,设|PF_{1}|=s,|PF_{2}|=t由双曲线和椭圆的定义可得\begin{cases}s+t=2\sqrt{m}\\s-t=2\sqrt{n},\end{cases}整理得\begin{cases}s^{2}+t^{2}=2m+2n\\st=m-n\end{cases}\becausem-1=n+1,\thereforem-n=2,\therefore\cos\angleF_{1}PF_{2}=0,\therefore\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ}\therefore\triangleF_{1}PF_{2}面积为\frac{1}{2}st=1,原有]本题考查了椭圆的定义,考查了双曲线的定义,考查了余弦定理,属于中档题.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，若$|P F_{1}|=4$，则$|P F_{2}|$=? $S_{\Delta P F_{1} F_{2}}$的大小为?
【解析】第一问用定义法,由PF_{1}+|PF_{2}|=6,且|PF|=4,易得PF_{2};第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解得\angleF_{1}PF_{2}=120^{\circ},再利用面积公式即可\because|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=6,\therefore|PF_{2}|=6-|PF_{1}|=2.\therefore\cos\angleF_{1}PF_{2}=-\frac{1}{2},\therefore\angleF_{1}PF_{2}=120^{\circ}\thereforeS_{APF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}\times2\times4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}
【题目】已知$P$为抛物线$y=2 x^{2}$上的点，若点$P$到直线$l$: $4 x-y-6=0$的距离最小，则点$P$的坐标为?
【解析】设抛物线y=2x^{2}上一点为A(x_{0},2x_{0}2),求出点A(x_{0},2x_{0})到直线:4x-y-6=0的距离d=\frac{|4x_{0}2x_{0}2-6|}{\sqrt{17}}=\frac{1}{\sqrt{17}}2(x_{0}-1)^{2}-8,当x_{0}=1时,即当A(1,2)时,抛物线y=2x^{2}上一点到直线l:4x-y-6=0的距离最短.
【题目】若椭圆$3 x^{2}-t y^{2}=6$的一个焦点为$F(0,2)$，则实数$t$=?
【解析】先将椭圆方程化为标准方程,再根据其一个焦点为F(0,2)求解.椭圆3x^{2}-ty^{2}=6的标准方程为:\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{-\frac{6}{t}}=1,因为其一个焦点为F(0,2)所以a^{2}=-\frac{6}{4},b^{2}=2,所以-\frac{6}{1}-2=4,解得t=-1均答家为:1
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，$P$为椭圆上一点，$M$是线段$P F_{1}$的中点，$|O M|=2$($O$为坐标原点)，则$|P F_{1}|$=?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1,则|PF|_{1}+|PF_{2}|=10,|OM|=2\therefore|PF_{2}|=2|OM|=4\therefore|PF_{1}|=6
【题目】已知椭圆$C$的左顶点为$A$，右焦点为$F$，以$A$为圆心，$A F$为半径的圆与$C$相交于点$M$ ,$|A M|=2|M F|$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】设椭圆C的左焦点为E,由题意可知,|AM|=|AF|=a+c,|MF|=\frac{1}{2}|AM|=\frac{a+c}{2}设圆A交x轴于另一点N(不与点F)重合,则MF\botMN,则\cos\angleMFN=\frac{|MF|}{|NF|}=\frac{1}{4}由椭圆的定义可得|ME|=2a-|MF|=\frac{3a-c}{2}由余弦定理可得|ME|^{2}=|MF|^{2}+|EF|^{2}-2|MF|\cdot|EF|\cos\angleMFE.即(\frac{3a-c}{2})^{2}=(\frac{a+c}{2})^{2}+4c^{2}-2\times\frac{a+c}{2}\times2c\times\frac{1}{4},即7c^{2}+3ac-4a^{2}=0,即7e^{2}+3e-4=0,\because0<e<1,解得e=\frac{4}{4}故答安为:4
【题目】已知双曲线$C$的中心在原点，$F(-2,0)$是一个焦点，过$F$的直线$l$与双曲线$C$交于$A$、$B$两点，且$A B$的中点为$N(-3,-1)$，则$C$的方程是?
【解析】由F,N的坐标得k_{l}=1设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),则a^{2}+b^{2}=4设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=-6,y_{1}+y_{2}2,\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=k_{l}=1由\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+y_{2}=-2,\frac{y_{2}^{2}}{x_{1}+x_{2}}=k_{1}=1即\frac{-6}{a^{2}}+\frac{2k_{l}}{b^{2}}=0,a^{2}=3b于是a^{2}=3,b^{2}=1所以C的方程为\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1
【题目】设椭圆的焦点为$F_{1}$ , $F_{2}$ , 以 $F_{1} F_{2}$为直径的圆与椭圆的一个交点为$P$，若$|F_{1} F_{2}|=2|P F_{2}|$，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知直线$l$过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点且与$C$的对称轴垂直，$l$与$C$交于$A$、$B$两点，$P$为$C$的准线上一点，且$S_{\triangle A B P}=36$，则过抛物线$C$的焦点的弦长的最小值是?
【解析】由题意知,AB为抛物线的通径,\therefore|AB|=2p又S_{\triangleABP}=\frac{1}{2}|AB|\cdotp=p^{2}=36,\thereforep=6\because|AB|=12过抛物线C的焦点的最短弦为抛物线的通径,即|AB|\therefore过抛物线C的焦点的弦长的最小值为:12
【题目】若直线$l$: $y=x+b$与抛物线$C$:$ x^{2}=4 y$相切于点$A$，则以点$A$为圆心且与抛物线$C$的准线相切的圆的标准方程为?
【解析】y=\frac{1}{4}x^{2},y=\frac{1}{2}x=1,x=2,故切点为(2,1),到准线y=-1的距离为2,故半径为2,圆的方(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$. 过点$F$作倾斜角为$120^{\circ}$的直线与准线$l$相交于点$A$，线段$A F$与抛物线$C$相交于点$B$，且$|A B|=\frac{4}{3}$，则抛物线$C$的标准方程为?
【解析】由题得直线AF的方程为y=-\sqrt{3}(x-\frac{p}{2}),从而A(-\frac{p}{2},\sqrt{3}p);由\begin{cases}y2=2px\\y=-\sqrt{3}(x-\frac{p}{2})\end{cases}消去x,得\sqrt{3}y^{2}+2py-\sqrt{3}p^{2}=0,解得y=\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{n}{m}|AB|=\frac{4}{3}得,\sqrt{(\frac{-\sqrt{3}p}{p+\frac{1}{p})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3}p-\sqrt{3}p)}{p}{\frac{4}{3}},解得p=1,所以抛物线C的标准方程为y^{2}=2x
【题目】已知$M$是抛物线$y^{2}=4 x$上一点，$F$为其焦点，点$A$在圆$C$:$(x-6)^{2}+(y+1)^{2}=1$上，则$|M A|+|M F|$的最小值是?
【解析】根据抛物线方程求得准线方程,过点M作MN垂直于准线于N,根据抛物线的定义判断|MN|=|MF|,问题转化为求|MA|+|MN|的最小值,根据A在圆C上,判断出当M,N,C三点共线时,|MA|+|MN|有最小值,进一步求出结果M是抛物线y^{2}=4x上一点,抛物线的准线方程为x=-1.过点M作MN垂直于准线于N,则|MN|=|MF|,所以|MA|+|MF|=|MA|+|MN|.因为点A在圆C上,圆C:(x-6)^{2}+(y+1)^{2}=1的圆心C(6,-1),半径为1所以当M,N,C三点共线时,|MA|+|MN|取得最小值6,
【题目】已知$M$是$y=\frac{1}{4} x^{2}$上一点，$F$为抛物线焦点，$A$在$C$:$(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=1$上，则$|M A|+|M F|$的最小值?
【解析】\because抛物线y=\frac{1}{4}x2化成标准方程为x^{2}=4y,\because抛物线的准线为l:y=-1,过点M作MN\botl于N|MN|=|MF|,\therefore|MA|+|MF|=|MA|+|MN|,\becauseA在圆C.(x-1)^{2}+(y-4)^{2}=1上运动,圆心为C(1A)且半径r=1,\therefore当N,M,C三点共线时,|MA|+|MF|最小,如图所示,过C作CN_{0}\botl分别交圆C、x轴,直线l与A_{0},M_{0},N_{0},\therefore|MA|+|MF|_{\min}=(|MA|+|MN|)_{\min}=|CN_{0}|-r=5-1=4,即|MA|+|MF|的最小值为4
【题目】已知曲线$\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{b}=1$与直线$x+y-1=0$相交于$P$、$Q$两点，且$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=0$($O$为原点)，则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$=?
【解析】将y=1-x代入\frac{x2}{a}-\frac{y^{2}}{b}=1,得(b-a)x^{2}+2ax-(a+ab)=0.设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=\frac{2a}{a-b},x_{1}x_{2}=\frac{a+ab}{a-b}=x_{1}x_{2}+(1-x_{1})(1-x_{2})=2x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1,所以\frac{2a+2ab}{a-b}-\frac{2a}{a-b}+1=0即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=2
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线上，若$P F_{1} \perp P F_{2}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积是?
【解析】根据题意可知F_{1}(-5,0),F_{2}(5,0),因为PF_{1}\botPF_{2},所以|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=4c^{2}=100,由双曲线定义有||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a=6,所以|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=36.即|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=32.所以S_{\trianglePF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=16.
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1(a>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则$a$=?
【解析】分析:根据离心率公式e=\frac{c}{a},及双曲线中a,b,c的关系可联立方程组,进而求解参数a的详在双曲线中,c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2+4}},且e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\therefore\frac{\sqrt{a^{2}+4}}{a^{2}=16}=\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{a2+4}{a^{2}}=\frac{5}{4}
【题目】已知椭圆$C$: $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$, $P(0, m)$为$y$轴上一动点若存在以点$P$为圆心的圆$P$与椭圆$C$有四个不同的公共点，则$m$的取值范围是?
【解析】设圆P的方程,联立椭圆方程,可得)生于y的二次方程,利用判别式为0,以及圆P经过点(0,-2),可得圆与椭圆有3个交点时m=-\frac{3}{2},同理可得圆过(0,2)且与椭圆有3个交点时,m=\frac{3}{2},数形结合可求出m的取值范围.羊解】由题意,设圆P的方程为x^{2}+(y-m)^{2}=r^{2},联立椭圆C:x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1可得:3y^{2}-8my-4+4m^{2}-4r2=0,由A=64m^{2}-12(4+4m^{2}-4r^{2})=16m^{2}+48r^{2}-48=0可得:m^{2}+3r2-3=0\textcircled{1}由圆P过点(0,-2),(0,2)可得:(-2-m)^{2}=r2\textcircled{2},由\textcircled{1}\textcircled{2}可得m=-\frac{3}{2},同理,由圆P过点(0,2)时可得m=\frac{3}{2},如图结合图形可知,当m\in(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})时,以P为圆心的圆与椭圆C有四个不同的公共点
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{ b^{2}}=1(a>b>0)$和圆$O$: $x^{2}+y^{2}=b^{2}$，若$C$上存在点$P$，使得过点$P$引圆$O$的两条切线，切点分别为$A$、$B$，满足$\angle A P B=60^{\circ}$，则椭圆$C$的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左焦点为$F$，过$F$作$C$的一条渐近线的垂线$l$，垂足为$A$, $l$与$C$的另一条渐近线的交点为$B$，若$A$是线段$F B$的中点，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0)过F作C的一条渐近线的垂线l,垂足为A,所以AF的方程为:y=\frac{a}{b}(x+c),与bx+ay=0联立可得A(-\frac{a^{2}}{c},\frac{ab}{c})'l与C的另一条渐近线的交点为B,若A是线段FB的中点可得B(\frac{c2-2a^{2}}{c},\frac{2ab}{c}),代入bx-ay=0,可得:c^{2}=4a^{2}则双曲线C的离心率为e=2.
【题目】已知抛物线的标准方程为$y^{2}=8 x$，那么该抛物线的准线方程是?
【解析】因为抛物线的标准方程为y^{2}=8x,所以抛物线的焦点在x正半轴上,且p=4,所以抛物线的准线方程为:x=-\frac{p}{2}=-2.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$. 过$F_{2}$作直线$y=-\frac{b}{a} x$的垂线$l$，垂足为$Q$ , $l$交双曲线的左支于点$P$，若$|F_{2} P|=2|F_{2} Q|$，则双曲线的离心率$e$=?
【解析】设F_{2}(c,0),则直线PQ的方程为y=\frac{a}{b}(x-c)代入双曲线渐近线方程y=-\frac{b}{a}x得Q(\frac{a2}{c},-\frac{ab}{c})由|F_{2}P|=2|F_{2}Q|,即\overrightarrow{F_{2}P}=\overrightarrow{F_{2}Q},可得P(-\frac{c^{2}+2a^{2}}{3c},-\frac{2ab}{3c}),把P点坐标代入双曲线方程\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,即\frac{(c^{2}+2a^{2})^{2}}{9c^{2a2}}-\frac{4a2}{9c^{2}}=1'整理可得c=\sqrt{5}a,即离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{5},
【题目】抛物线的焦点在直线$x+4 y-1=0$上，则抛物线的标准方程为?
【解析】x+4y-1=0与坐标轴的交点为(1,0)和(0,\frac{1}{4}).当抛物线焦点为(1,0)时,\frac{P}{2}=1,P=2.故抛物线为y^{2}=4x.故抛物线为x^{2}=y
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为该双曲线上的一点，若$|P F_{1}|=5$，则$|P F_{2}|$=?
【解析】由双曲线的方程\frac{x2}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0),可得a=3.根据双曲线的定义可知|PF_{1}|-|PF_{2}|=\pm2a=\pm6,又因为|PF_{1}|=5,所以|PF_{2}|=11.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3} x$ ,它的一个焦点在抛物线$y^{2}=8 x$的准线上，则双曲线的方程为?
【解析】
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的上，下顶点分别为$A$、$B$，右焦点为$F$，直线$A F$与椭圆的另一交点为$P$，连结$B P$，当直线$B P$的斜率取最大值时，椭圆的离心率为?
【解析】由题意可得:A(0,b),B(0,-b),F(c,0).所以直线AF的方程为\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1,由\begin{cases}\frac{x}{c}+\frac{y}{b}=1\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}消去y,得到(c^{2}+a^{2})x^{2}-2a^{2}cx=0,所以x_{P}=\frac{2a2c}{c^{2}+a^{2}}所以_{y_{P}}=b(1-\frac{x_{P}}{c})=\frac{(c^{2}-a^{2})b}{c^{2}+a^{2}},即P(\frac{2a2c}{c^{2}+a^{2}},\frac{(c^{2}-a^{2})b}{c^{2}+a^{2}})因此_{kBP}=\frac{\frac{(c^{2}-a2)b}{\frac{c^{2}+a^{2}}{2a^{2}c}}=\frac{bc}{a^{2}}=\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}\leqslant\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2},当且仅当b=c时,直线BP的斜率此时椭圆的离心率为\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{c^{2}}{b^{2}+c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上，且经过点$M(-2,-4)$的抛物线方程为?
【解析】若抛物线的焦点在x轴上,可设抛物线的标准方程为y^{2}=mx将点M的坐标代入抛物线的标准方程得-2m=(-4)^{2},解得m=-8此时,抛物线的标准方程为y^{2}=-8x.若抛物线的焦点在y轴上,可设抛物线的标准方程为x^{2}=ny将点M的坐标代入抛物线的标准方程得-4n=(-2)^{2},解得n=-1.此时,抛物线的标准方程为x^{2}=-y.综上所述,抛物线的标准方程为y2=-8x或x^{2}=-y
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, $F_{1}$, $F_{2}$为椭圆的两个焦点且$F_{1}$、$F_{2}$到直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$的距离之和为$\sqrt{3} b$，则离心率$e$=?
【解析】F_{1},F_{2}为椭圆的两个焦点坐标为(c,0),(-c,0)设F_{1},F_{2}到直线\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1的距离分别d_{1},d_{2}d_{1}+d_{2}=\frac{|\frac{c}{a}-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}+\frac{|-\frac{c}{a}-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}}}=\frac{2}{+b^{2}}=\sqrt{3}b两边平方整理可得a^{2}=3b^{2},由b^{2}=a^{2}-c^{2}所以2a^{2}=3c^{2},所以e^{2}=\frac{2}{3},所以e=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1$的焦点且与$x$轴垂直的弦的长度为?
【解析】略
【题目】已知$A$为椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$上的动点，$M N$为圆$(x-1)^{2}+y^{2}=1$的一条直径，则$\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A N}$的最大值为?
【解析】因为圆(x-1)^{2}+y^{2}=1,圆心C(1,0)半径为1,设A(x,y),-3\leqslantx\leqslant3.因为\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM},\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CM}所以\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CM})=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CM}^{2}=\overrightarrow{AC}^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}-1.因为A(x,y)在\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1上,所以y^{2}=5-\frac{5}{9}x^{2}所以\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=(x-1)^{2}+5-\frac{5}{9}x^{2}-1=\frac{4}{9}x^{2}-2x+5,-3\leqslantx\leqslant3函数y=\frac{4}{9}x^{2}-2x+5,对称轴为x=\frac{9}{4},当x=-3时,\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}取得最大值为15.
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$，倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线$l$过抛物线的焦点$F$，且与抛物线相交于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点，$|A B|=8$，则$\triangle A O B$的面积为?
【解析】根据题意知F(0,\frac{p}{2}),设直线l的方程为y=x+\frac{p}{2},代入抛物线得x^{2}-2px-p^{2}=0所以|AB|=y_{1}+y_{2}+p=x_{1}+x_{2}+2p=4p=8,解得p=2,所以直线l的方程为y=x+1.又原点O到直线l的距离d=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}所以_{S_{\triangleAOB}}=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{1}{2}\times8\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}
【题目】设$P$是曲线$y^{2}=4 x$上的一个动点，则点$P$到点$A(-1 , 2)$的距离与点$P$到$x=-1$的距离之和的最小值为?
【解析】
【题目】动圆过点$(1,0)$，且与直线$x=-1$相切，则动圆的圆心的轨迹方程为?
【解析】设动圆圆心坐标为(x,y)动圆过定点P(1,0),且与定直线lx=-1相切即圆心到定点P和到直线/的距离都等于半径根据两点间的距离公式可知,(x-1)^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}整理得y^{2}=4x.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，焦距为$8$，左顶点为$A$，在$y$轴上有一点$B(0, b)$，满足$\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B F}=2 a$，则该双曲线的离心率的值为?
【解析】分析:利用向量的数量积公式,可得\cdot4a+b^{2}=2a,即16\cdota^{2}=6a,可得a的值,由此可求双曲线的离心率.详由题意,A(-a,0),F(4,0),B(0,b)\therefore\overrightarrow{BA}=(-a,-b),\overrightarrow{BF}=(4,-b)\because\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=2a,\therefore(-a,-b)\cdot(4,-b)=2a\therefore4a+b^{2}=2a,\thereforeb^{2}=6a,\therefore16\cdota^{2}=6a,\thereforea=2,\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2,
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$，过点$P(4 , 0)$的直线与抛物线相交于$A(x_{1} , y_{1})$ , $B(x_{2} , y_{2})$两点，则$y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$的最小值是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$，$F_{1}$、$F_{2}$分别为它的左、右焦点，$P$为双曲线上一点，设$|P F_{1}|=5$，则$|P F_{2}|$的值为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{24}=1$上一点$P$与椭圆的两个焦点$F_{1}$、$F_{2}$的连线互相垂直，则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】设PF_{1}=x_{1}PF_{2}=14-x,2c=10,根据勾股定理,x^{2}+(14-x)^{2}=100,解得x=8,所以S=\frac{1}{2}\times8\times6=24
【题目】已知抛物线$C$: $y=\frac{1}{4} x^{2}$的焦点为$F$，其准线$l$与$y$轴交于点$A$，点$M$在抛物线$C$上，当$\frac{|M A|}{|M F|}=\sqrt{2}$时，$\Delta A M F$的面积为?
【解析】过点M作MM'\botl,垂足为M,如图所示:由抛物线的定义可知:|MF|=|\overrightarrow{MM}|\because\frac{|MA|}{|MF|}=\sqrt{2}\therefore\sin\angleMAM=\frac{|MM|}{|MA|}=\frac{\sqrt{2}}{2}\angleMAM=45\thereforeAMAM为等腰直角三角形,即:|MM|=|MA|=|MF|在AAMF中,\angleMAF=45^{\circ}由正弦定理得:\frac{|MF|}{\sin\angleMAF}=\frac{|MA|}{\sin\angleMl}\therefore\sin\angleMFA=\frac{|MA|}{|MF|}\sin\angleMAF=\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=1\therefore\angleMFA=90^{\circ}\thereforeMF//MA,又|MF|=|MA|=|MM|\therefore四边形AM'MF为正方形,则|AF|=|MF|=2\thereforeAAMF的面积:S=\frac{1}{2}\times2\times2=2本题正确结果:2
【题目】求抛物线$y=-x^{2}$上的点到直线$4 x+3 y-8=0$的距离的最小值?
【解析】设抛物线y=-x^{2}上一点为(m,-m^{2}),该点到直线4x+3y-8=0的距离为\frac{|4m-3m^{2}-8|}{5},当m=\frac{2}{3}时,取得最小值\frac{4}{\frac{4}{2}}.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$作直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，且$l$与准线交于点$C$，若$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{B C}$，则$\frac{|A F|}{|B F|}$=?
【解析】利用抛物线的定义,结合三角形相似求解比值关系过点A作AH垂直于准线,垂足为H,过点B作BM垂直于准线,垂足为M,如下图所示:因为\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{BC},故AB=2BC即|BC|=\frac{1}{3}AC因为\triangleCMB\sim\triangleCHA,以及抛物线定义,则|BF|=|BM|=\frac{1}{3}|AB|=\frac{1}{3}|AF|故可得\frac{|AF|}{|BF|}=3b终交为.3睛)本题考查抛物线的定义,涉及三角形相似,属基础题
【题目】$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$上一点，$Q(2,0)$，则线段$P Q$长度的最小值为?
【解析】设P(x,y),则y^{2}=4-\frac{x^{2}}{4}(-4\leqslantx\leqslant4),|PQ|=\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}x^{2}-4x+8}=\sqrt{\frac{3}{4}(x-\frac{8}{3})^{2}+\frac{24}{9}}\geqslant\frac{2\sqrt{6}}{3},即线段PQ长度的最小值为\frac{2\sqrt{6}}{3}.
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$的焦点为$F$、$P$是抛物线准线上一点，$Q$是直线$P F$与抛物线的一个交点，若$\overrightarrow{P Q}=\sqrt{2} \overrightarrow{Q F}$，则直线$P F$的方程为?
【解析】由题意可得F(2,0),设P(-2,t),Q(m,n),则\overrightarrow{PQ}=(m+2,n-t),\overrightarrow{QF}=(2-m,-n),由\overrightarrow{PQ}=\sqrt{2}\overrightarrow{QF}可得\begin{cases}m+2=\sqrt{2}(2-m)\\n-t=-\sqrt{2}n\end{cases}解之得m=6-4\sqrt{2}代入y^{2}=8x可得n=4(\sqrt{2}-1)或n=-4(\sqrt{2}-1),故k_{QF}=\frac{n}{m-2}=\frac{4(\sqrt{2}-1)}{4-4\sqrt{2}}=-1或k_{QF}=\frac{n}{m-2}=\frac{-4(\sqrt{2}-1)}{4-4\sqrt{2}}=1,故直线PF的方程为x+y-2=0或x-y-2=0.故应填答案x+y-2=0或x-y-2=0
【题目】过点$P(2,2)$且斜率为$-1$的直线与抛物线$y^{2}=x$交于$A$、$B$两点，则$|P A|+|P B|$=?
【解析】设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),直线AB的方程为y-2=-(x-2),即y=--x+4,联立\begin{cases}y=-x\\y2=x\end{cases}(+4,消去y可得x^{2}-9x+16=0,解得x_{1}=\frac{9+\sqrt{17}}{2}'x_{2}=\frac{9-\sqrt{17}}{2}因此,|PA|+|PB|=\sqrt{1+(-1)^{2}}(|x_{1}-2|+|x_{2}-2|)=5\sqrt{2}.
【题目】已知$P$为平面上的动点，$A(-1,0)$ , $B(1,0)$为平面上两个定点，且$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=0$，则动点$P$的轨迹方程为?
【解析】设P(x,y),然后由题意直接列方程求解[详解]设P(x,y),则\overrightarrow{PA}=(-1-x,-y),\overrightarrow{PB}=(1-x,-y)因为\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=0,所以(-1-x)(1-x)+y^{2}=0,化简得x^{2}+y2=1,所以动点P的轨迹方程为x^{2}+y2=1
【题目】若$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$是两个焦点，若$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积是?
【解析】
【题目】设$O$为坐标原点，$F_{1}$ , $F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，若在椭圆上存在点$P$满足$\angle F_{1} PF_{2}=\frac{\pi}{3}$，且$|OP|=\frac{\sqrt {3}}{2} a$，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】设$A$、$B$为椭圆$\Gamma$的长轴顶点，$E$、$F$为$\Gamma$的两个焦点，$|A B|=4$ ,$|A F|=2+\sqrt{3}$ , $P$为$\Gamma$上一点，满足$|P E| \cdot|P F|=2$，则$\triangle P E F$的面积为?
【解析】设椭圆的标准方程为\Gamma:\frac{x2}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),由题意,可得2a=|AB|=4,|AF|=a+c=a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}=2+\sqrt{3},解得a=2,b=1,所以c^{2}=a^{2}-b^{2}=3,解得c=\sqrt{3},所以|EF|=2\sqrt{3}又由椭圆定义知|PE|+|PF|=2a=4因为|PE|\cdot|PF|=2,可得|PE|+|PF|^{2}=(|PE|+|PF|^{2}-2|PE|\cdot|PF|=12又由|EF|=12,即|PE|+|PF|^{2}=|EF^{2},所以\angleEPF为直角,所以APEF的面积为S_{\trianglePEF}=\frac{1}{2}\cdot|PE|\cdot|PF|=1.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$P$到它的一个焦点的距离等于$5$，那么点$P$到另一个焦点的距离等于?
【解析】由双曲线方程可知:a=2,b=3,而c=\sqrt{13},所以双曲线上的点到焦点的距离最小值为\sqrt{13}-2设P到另一个焦点的距离为m,所以根据双曲线的定义有:|5-m|=2a=4,解得m=9,m=1<\sqrt{13}-2\thereforem=9.】本题考查了双曲线的定义,本题易忽略双曲线上的点到焦点的距离最小值问题
【题目】若双曲线的焦距为$2 \sqrt{10}$，且渐近线方程为$y=\pm 3 x$，则双曲线的标准方程是?
【解析】双曲线的焦距为2\sqrt{10},可得c=\sqrt{10},双曲线的焦点坐标在x轴上时渐近线方程为y=\pm3x,可得\frac{b}{a}=3^{n}a^{2}+b^{2}=10,所以a=1,b=3,当双曲线的焦点坐标在y轴上时,可得\frac{a}{b}=3,a^{2}+b^{2}=10,所以b=1,a=3,所以所求双曲线方程为:x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=\pm1
【题目】已知曲线$x^{2}-4 y^{2}=4$，过点$A(3,1)$且被点$A$平分的弦$M N$所在的直线方程为?
【解析】设两个交点的坐标分别为M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})所以x_{1}^{2}-4y_{1}^{2}=4,x_{2}^{2}-4y_{2}^{2}=4,两式相减得(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=4(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})\becauseM(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})的中点为A(3,1)\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=3,\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=1'\therefore\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{3}{4},所以直线的方程为y-1=\frac{3}{4}(x-3),即3x-4y-5=0由点A(3,1)在双曲线内部,直线方程满足题意\thereforeMN所在直线的方程是3x-4y-5=0.
【题目】设双曲线的一个焦点为$F$, 虚轴的一个端点为$B$，如果直线$FB$与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】以直线$x=-2$为准线的抛物线的标准方程是?
【解析】
【题目】以双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点为$A$, 以$A$为圆心,$b$为半径作圆与双曲线的一条渐近线交于$M$、$N$两点，若$\angle M A N=60^{\circ}$，则$\frac{a^{2}}{b^{2}}$=?
【解析】由题意知圆心A为(a,0),直线MN为渐近线y=\frac{b}{a}x',又\angleMAN=60^{\circ},所以\triangleAMN为等边三角形,且边长为b,所以圆心到直线的距离为\frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{|b|}{\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}},所以\frac{a^{2}}{b^{2}}=3.
【题目】双曲线$C$左、右焦点分别为$(-2,0)$ ,$(2,0)$，且过点$(2, \sqrt{2})$，则$C$的方程是?
【解析】由题意,得双曲线C的焦点在x轴上,设其方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),则c=2,有\begin{cases}c^{2}=4=a^{2}+b^{2}\\\frac{4}{a^{2}}-\frac{2}{b^{2}}=1\end{cases}^{2},解得a^{2}=2,b^{2}=2所以C的方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1
【题目】直线$y=x+3$和曲线$-\frac{x| x |}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$的交点的个数?
【解析】
【题目】已知双曲线的渐近线方程是$y=\pm \frac{2}{3}x$，焦距为$2 \sqrt{26}$，则双曲线的标准方程为?
【解析】当双曲线的焦点在x轴上时,由\frac{b}{a}=\frac{2}{3}且c^{2}=a^{2}+b^{2}=26',两式联立解得a^{2}=18,b^{2}=8',所以所求双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{18}-\frac{y^{2}}{8}=1;当双曲线的焦点在y轴上时,由\frac{a}{b}=\frac{2}{3}且c^{2}=a^{2}+b^{2}=26^{\circ}两式联立解得a^{2}=8,b^{2}=18所以所求双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{8}-\frac{x^{2}}{18}=1.综上,所求双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{18}-\frac{y^{2}}{8}=1或\frac{y^{2}}{8}-\frac{x^{2}}{18}=1
【题目】若直线$m x+n y-3=0$与圆$x^{2}+y^{2}=3$没有公共点，则以$(m, n)$为点$P$的坐标，过点$P$的一条直线与椭圆$\frac{x^{2}}{7}+\frac{y^{2}}{3}=1$的公共点个数为?
【解析】因为直线mx+ny-3=0与圆x^{2}+y^{2}=3没有公共点,所以圆心到直线距离大于半径.则得\frac{3}{\sqrt{m^{2}}+n^{2}}>\sqrt{3},即m^{2}+n^{2}<3,因此以(m,n)为坐标的点P轨迹是以原点为圆心,\sqrt{3}为半径的圆面(不包含圆周上点).显然知,该圆面内的所有点均在椭圆内部,所以过点P的直线与椭圆有2个公共点.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$, 过$F_{1}$作圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$的切线，交双曲线右支于点$M$，若$\angle F_{1} M F_{2}=45°$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】如图所示:切点为A,连接OA,过F_{2}作BF_{2}\botF_{1}M于BO是F_{1}F_{2}中点,OA/\!/BF_{2}\RightarrowBF_{2}=2OA=2a\angleF_{1}MF_{2}=45\RightarrowMF=2\sqrt{2}a,BM=2a\RightarrowBF_{1}=2\sqrt{2}a在RtABF_{1}F_{2}中,根据勾股定理得:(2\sqrt{2}a)^{2}+(2a)^{2}=(2c)^{2}\Rightarrowb^{2}=2a^{2}渐近线方程为:y=\pm\sqrt{2}x
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左、右焦点，$O$为坐标原点.若右支上一点$P$满足$P O \perp P F_{2}$，且$\angle F_{1} P O=30^{\circ}$，则$C$的渐近线方程为?
【解析】作点P关于原点O的对称点Q,由双曲线的对称性可知,Q在双曲线上,\therefore四边形PF_{1}QF_{2}为平行四边形,\thereforeF_{1}Q\botQP.在RtAPQF_{1}中,\angleF_{1}PQ=30^{\circ},\therefore|PF_{1}|=2|F_{1}Q|=2|PF_{2}|由双曲线定义得:|PF_{1}|-|PF_{2}|=|PF_{2}|=2a,\therefore|PF_{1}|=2|PF_{2}|=4a,|OQ|=\frac{1}{2}|PQ|=\sqrt{3}a.在Rt\triangleOQF_{1}中,|OF_{1}|^{2}=|OQ|^{2}+|QF_{1}|^{2},即c^{2}=3a^{2}+4a^{2}\thereforeb^{2}=6a^{2},\therefore渐近线方程为:y=\pm\sqrt{6}x.
【题目】设椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点为$A$, 上顶点为$B$, $A B=\sqrt{13}$, 且椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$, 则过椭圆$C$的右焦点$F_{2}$且与直线$A B$平行的直线$l$的方程为?
【解析】由题得\begin{cases}a^{2}+b^{2}=13\\\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\end{cases},\thereforea=3,b=2,c=\sqrt{5}所以椭圆的右焦点坐标为(\sqrt{5},0)由题得直线AB的斜率为\frac{2}{3},\thereforel:y-0=\frac{2}{3}(x-\sqrt{5}),\thereforel:2x-3y-2\sqrt{5}=0.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的焦点坐标是?
【解析】因为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=所以a=2,b=\sqrt{3},且双曲线的焦点在x轴上,所以c=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}故焦点坐标为(\sqrt{7},0),(-\sqrt{7},0)
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别为$A_{1}$、$A_{2}$，点$P$为曲线$C$上异于$A_{1}$、$A_{2}$的一点，直线$P A_{1}$ , $P A_{2}$的斜率分别为$k_{1}$、$k_{2}$，则$k_{1} \cdot k_{2}$=?
【解析】由已知可写出A_{1},A_{2}的坐标,设P(x_{0},y_{0})则有k_{1}\cdotk_{2}=\frac{y_{0}2}{x_{0}^{2}-4},又P在椭圆C上有y_{0}^{2}=\frac{3}{4}(4-x_{0}2)即可求k_{1}\cdotk_{2}.由题意知:A_{1}(-2,0),A_{2}(2,0),设P(x_{0},y_{0}),则k_{1}\cdotk_{2}=\frac{y_{0}}{x_{0}+2}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-2}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2-4}}\becauseP在椭圆C上,即y_{0}2=\frac{3}{4}(4-x_{0}).\thereforek_{1}\cdotk_{2}=-\frac{3}{4},
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的左，右焦点，点$P$在$C$上，$O$为坐标原点，且$|O P|=3$，则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】由题意得,a=4,c=3,|OP|=3=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|,\thereforeP在以线段F_{1}F_{2}为直径的圆上,\thereforePF_{1}\botPF_{2},\therefore|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=36\textcircled{1},由椭圆的定义知,|PF_{1}|+|PF_{2}|=8\textcircled{2},由\textcircled{1}\textcircled{2},解得|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=14,\thereforeS_{\DeltaPF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=7.
【题目】已知$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点,$F_{1}$ , $F_{2}$是椭圆的两个焦点,$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$,则$\triangle F_{1} PF_{2}$的面积是?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$、$K$为$C$的准线$l$与$x$轴的交点，过点$K$且倾斜角为$45^{\circ}$的直线与$C$仅有一个公共点$P(3, t)$，则$t$=?
【解析】因为抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点为F,K为C的准线l与x轴的交点所以K(-\frac{p}{2},0),因为过点K的直线的倾斜角为45^{\circ}所以设直线方程为y=x+\frac{p}{2}.由\begin{cases}y=x+\frac{p}{2}\\y2=2px\end{cases},得y^{2}-2py+p^{2}=0,即(y-p)^{2}=0,所以y=p=又p=3+\frac{p}{2},交点p=6即t=6.
【题目】若$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{15}=1$上任意一点，$E F$为圆$N$:$(x-1)^{2}+y^{2}=4$的任意一条直径，则$\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{P F}$的取值范围是?
【解析】圆N的圆心为N(1,0),半径为2.因为\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PF}=(\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP})\cdot(\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP})=\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}\cdot(\overrightarrow{NE}+\overrightarrow{NF})+\overrightarrow{NP}^{2}=-|\overrightarrow{NE}|\cdot|\overrightarrow{NF}|\cdot\cos\pi-0+|\overrightarrow{NP}|^{2}=-4+|\overrightarrow{NP}|^{2}.又因为椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{15}=1的a=4,b=\sqrt{15},c=1,N(1,0)为椭圆的右焦点,设P(x_{0},y_{0}),\frac{x_{0}^{2}}{16}=15-\frac{15x_{0}^{2}}{1}所以|NP|\in[3,5],|NP|^{2}\in[9,25],\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PF}\in[5,21].
【题目】双曲线$C$: $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线为$y=\sqrt{2} x$，则$C$的离心率为?
【解析】由双曲线方程\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1可得其焦点在y轴上,因为其一条渐近线为y=\sqrt{2}x,所以\frac{a}{b}=\sqrt{2}\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}'e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】设双曲线$C$经过点$(1 , 3)$，且与$\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1$具有相同渐近线，则$C$的方程为?
【解析】
【题目】椭圆的离心率等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且与双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$有相同的焦距，则椭圆的标准方程为?
【解析】
【题目】过点$(1, \frac{1}{2})$作圆$x^{2}+y^{2}=1$的切线，切点分别为$A$、$B$，直线$A B$恰好经过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的右焦点和上顶点，则该椭圆的标准方程为?
【解析】设过点(1,\frac{1}{2})的圆x^{2}+y^{2}=1的切线为1:y-\frac{1}{2}=k(x-1),即kx-y-k+\frac{1}{2}=0\textcircled{1}当直线l与x轴垂直时,k不存在,直线方程为x=1,恰好与圆x^{2}+y^{2}=1相切于点A(1,0)\textcircled{2}当直线l与x轴不垂直时,原点到直线l的距离为:d=\frac{|-k+\frac{1}{2}|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1,解之得k=-\frac{3}{4},此时直线l的方程为y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4},1切圆x^{2}+y^{2}=1相切于点B(\frac{3}{5},\frac{4}{5});因此,直线AB斜率为k_{1}=\frac{0-\frac{4}{5}}{1-\frac{3}{5}}=-2,直线AB方程为y=-2(x-1)\therefore直线AB交x轴交于点A(1,0),交y轴于点C(0,2)椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的右焦点为(1,0),上顶点为(0,2)c=1,b=2,可得a^{2}=b^{2}+c^{2}=5,椭圆方程为\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】设$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{3}=1$上的动点，则$P$到该椭圆的两个焦点的距离之和为?
【解析】由椭圆方程求出a,再根据椭圆的定义可求得结果由\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{3}=1得a^{2}=5,所以a=\sqrt{5}由椭圆的定义可得P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2\sqrt{5}
【题目】已知抛物线方程为$y^{2}=-4 x$，直线$l$的方程为$2 x+y-4=0$, 在抛物线上有一动点$A$，点$A$到$y$轴的距离为$m$，点$A$到直线$l$的距离为$n$，则$m+n$的最小值为?
【解析】由题意,点A到准线的距离等于点A到焦点F的距离,从而A到y轴的距离等于点A到焦点F的距离减1.过焦点F作直线2x+y\cdot4=0的垂线,此时m+n=|AF|+n\cdot1最小,\becauseF(-1,0)则(|AF|+n)_{\min}=\frac{|-2+0-4|}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5},则m+n的最小值为\frac{6\sqrt{5}}{5}-1
【题目】已知椭圆中心在原点，一个顶点是抛物线$y^{2}=8 x$的焦点，且离心率为$\frac{1}{2}$，则椭圆标准方程为?
【解析】抛物线y^{2}=8x的焦点为F(2,0),\therefore椭圆的一个顶点为A(2,0);若椭圆的焦点在x轴上,则a=2,且离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2},\thereforec=1,b^{2}=a^{2}-c^{2}=3,椭圆标准方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1;若椭圆的焦点在y轴上,则b=2,且离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\thereforeb=2,b^{2}=a^{2}-c^{2}=3c^{2}=4,解得c^{2}=\frac{4}{3},a^{2}=\frac{16}{3},\therefore椭圆标准方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{16}=1;综上,所求椭圆的标准方程是\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1或\frac{x^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{16}=1.
【题目】抛物线$C$: $x=4 y^{2}$的焦点坐标为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的离心率$e=2$，则虚轴长为?
【解析】依题意a=2,\frac{c}{a}=2,c=4,b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=2\sqrt{3}所以虚轴长2b=4\sqrt{3}.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$的离心率为?
【解析】由题意c=2,b=2,a=2\sqrt{2},所求椭圆方程的离心率为\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】设$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$上在第一象限内的一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为左、右焦点，若$|P F_{1}|-|P F_{2}|=\frac{8}{3}$，则以$P$为圆心，$|P F_{2}|$为半径的圆的标准方程为?
【解析】\becauseP为椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1上在第一象限内的一点,F_{1},F_{2}分别为左、右焦点\therefore|F_{1}F_{2}|=4,|PF_{1}|+|PF_{2}|=6\because|PF_{1}|-|PF_{2}|=\frac{8}{3}\therefore|PF_{1}|=\frac{13}{3},|PF_{2}|=\frac{5}{3}\because|PF_{2}|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}=\frac{25}{9}+16=\frac{169}{9},|PF_{1}|^{2}=\frac{169}{9}\therefore|PF_{2}|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2},即\anglePF_{2}F_{1}=90^{\circ}\thereforeP(2,\frac{5}{3})\therefore以P为圆心,|PF_{2}|为半径的圆的标准方程为(x-2)^{2}+(y-\frac{5}{3})^{2}=\frac{25}{9}
【题目】已知一条斜率为$k(k \neq 0)$的直线$l$，与椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$交于两个不同的点$M$、$N$，且$M$、$N$到点$A(0,-1)$的距离相等，则$k$的取值范围为?
【解析】设直线l的方程为y=kx+m(k\neq0),P为MN的中点则可以得到AP\botMN,联立直线l与椭圆,可得(1+3k^{2})x^{2}+6mkx+3m^{2}-3=0,则x_{1}+x_{2}=-\frac{6mk}{1+3k^{2}},进而求得P为(-\frac{3mk}{1+3k^{2}},\frac{m}{1+3k^{2}}),由k_{AP}=-\frac{1}{k}可得m=\frac{3k^{2}+1}{2},利用a>0即可求得k的范围羊解】由题,设直线/的方程为y=kx+m(k\neq0),P为MN的中点则可以得到AP\botMN,联立\begin{cases}y=kx+m\\\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1\end{cases}消去y,得(1+3k^{2})x^{2}+6mkx+3m^{2}-3=0,设M(x_{1},y_{1}N(x_{2},y_{2})所以x_{1}+x_{2}=-\frac{6n}{1+.}因为AP\botMN,所以\frac{3k^{2}+m+1}{3mk}=-\frac{1}{k}(k\neq0)解得m=\frac{3k^{2}+1}{2}.因为A=36m2k^{2}-4(1+3k^{2})(3m^{2}-3)=36\times\frac{3k^{2}+1}{2}k^{2}-4(1+3k^{2})3^{3k^{2}+1}^{2}-3=9(1+3k^{2})(1-k^{2})>0,解得-1<k<1且k\neq0,故k\in(-1,0)\cup(0,1)
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$, 焦点为$F$, $A(2,2)$, $P$为抛物线上的点,则, $|P A|+|P F|$的最小值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ , $A$, $B$是$C$的长轴的两个端点，点$M$是$C$上的一点，满足$\angle M A B=30^{\circ}$, $\angle M B A=45^{\circ}$，设椭圆$C$的离心率为$e$，则$e^{2}$=?
【解析】设M(x_{0},y_{0}),A(-a,0)B(a,0),因为\angleMAB=30^{\circ},\angleMBA=45^{\circ},所以可得k_{BM}=\frac{y_{0}}{x_{0}-a}=-1,k_{AM}=\frac{y_{0}}{x_{0}+a}=\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{x_{0}2}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1,三等式联立消去x_{0},y_{0}可得\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}=1-e^{2},e^{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$的离心率等于?
【解析】由题知a^{2}=4,b^{2}=2,所以c^{2}=a^{2}+b^{2}=6'即c=\sqrt{6}所以离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 x$上一点$M(2,-2)$，点$A$、$B$是抛物线$C$上异于$M$的两动点，且$\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$，则点$M$到直线$A B$的距离的最大值是?
【解析】抛物线y^{2}=2x,A,B是抛物线C上异于M的两动点设A(\frac{y_{2}}{2},y_{1}),B(\frac{y_{2}}{2},y_{2})设直线AB的方程为x=my+n则\begin{cases}x=my+n\\y2=2x\end{cases}化简可得y^{2}-2my-2n=0所以y_{1}+y_{2}=2m,y_{1}\cdoty_{2}=-2n,d=4m^{2}+8n>0因为M(2,-2)则\overrightarrow{MA}=(\frac{y_{2}}{2}-2,y_{1}+2),\overrightarrow{MB}=(\frac{y_{2}2}{2}-2,y_{2}+2)因为\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0内为MA\cdotMB=0.所以(\frac{y_{1}}{2}-2)(\frac{y_{2}}{2}-2)+(y_{1}+2)(y_{2}+2)=0化简可得\frac{1}{4}(y_{1}+2)(y_{2}+2)[(y_{1}-2)(y_{2}-2)+4]=0所以(y_{1}+2)(y_{2}+2)=0或(y_{1}-2)(y_{2}-2)+4=0展开化简可得y_{1}y_{2}+2(y_{1}+y_{2})+4=0或y_{1}y_{2}-2(y_{1}+y_{2})+8=0代入y_{1}+y_{2}=2m,y_{1}\cdoty_{2}=-2n可得2m-n+2=0或2m+n-4=0即n=2m+2或n=-2m+4因为A=4m^{2}+8n>0恒成立当n=2m+2时,代入可得A=4(m+2)^{2},当m=-2时4>0不恒成立,所以舍去当n=-2m+4时,代入可得A=4(m-2)^{2}+16>0恒成立所以n=-2m+4则直线AB的方程为x=my-2m+4即x-4=m(y-2)所以直线AB过定点N(4,2)当MN与直线AB垂直时,点M到直线AB的距离最大,且最大距离为|MN|=\sqrt{(4-2)^{2}+(2+2)^{2}}=2\sqrt{5}
【题目】写出一个渐近线方程为$y=\pm x$的双曲线标准方程?
【解析】不妨设双曲线方程焦点在x轴上,渐近线方程为y=\pmx,则\frac{b}{a}=1
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{36}=1$上一点$P$到它的一个焦点的距离等于$4$,那么点$P$到另一个焦点的距离等于?
【解析】因为利用椭圆的定义可知,椭圆\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{36}=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4,那么点P到另一个焦点的距离等于2a-4=2*8-4=12,故填写12.
【题目】在 $\triangle {A B C}$ 中， ${B C}={A B}$，$ \angle{A B C}=120°$，则以 $A$，$B$ 为焦点且过点 $C$ 的双曲线的离心率为？
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1$的右焦点为$(3,0)$，则该双曲线的离心率等于?
【解析】因为,双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1的右焦点为(3,0),所以,由c^{2}=a^{2}+b^{2},得a^{2}=9-5=4,e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{3}{2},选C.
【题目】抛物线$x^{2}=\frac{1}{2} y$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】已知$P(x , y)$是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上的一个动点，则$x+y$的最大值是?
【解析】令x+y=t,则问题转化为直线x+y=t与椭圆有公共点时,t的取值范围问题由\begin{cases}y=-x+t\\\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases},去y得25x^{2}-32tx+16t^{2}-144=0,\thereforeA=(-32t)^{2}-100(16t^{2}-144)=-576t^{2}+14400\geqslant0,<t<,\thereforex+y的最大值为5.
【题目】已知椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$，斜率为$1$的直线$l$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，且$|A B|=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$，则直线$l$的方程为?
【解析】设直线方程为y=x+b,联立\begin{cases}y=x+b\\\frac{x^{2}}{3}+y2=1\end{cases}可得4x^{2}+6bx+3b^{2}-3=0.x_{1}+x_{2}=-\frac{6b}{4},x_{1}x_{2}=\frac{3b^{2}-3}{4}\because|AB|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|若点:直线与椭圆相交的位置关系
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右顶点分别为$A_{1}$、$A_{2}$，点$M$为椭圆$C$上不同于$A_{1}$、$A_{2}$的一点，若直线$M A_{1}$与直线$M A_{2}$的斜率之积等于$-\frac{1}{2}$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】由椭圆方程可知,A(-a,0),B(a,0)设M(x_{0},y_{0}),\thereforek_{AM}=\frac{y_{0}}{x_{0}+a},k_{BM}=\frac{y_{0}}{x_{0}-a}则\frac{y_{0}}{x_{0}+a}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-a}=-\frac{1}{2},整理得:\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}-a^{2}}=-\frac{1}{2},\textcircled{1}又\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1,得y_{0}^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}(a^{2}-x_{0}^{2})即\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-a^{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}},\textcircled{2}联立\textcircled{1}\textcircled{2},得-\frac{b^{2}}{a^{2}}=-\frac{1}{2},即\frac{a2-c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{2},解得e=\frac{\sqrt{2}}{2}.
【题目】已知$P$为抛物线$y^{2}=x$上异于原点$O$的点，$P Q \perp x$轴，垂足为$Q$,过$P Q$的中点作$x$轴的平行线交抛物线于点$M$，直线$Q M$交$y$轴于点$N$，则$\frac{|P Q|}{|N O|}$=?
【解析】如图所示,设P(t^{2},t),则Q(t^{2},0),则PQ中点H(t^{2},\frac{t}{2}),令y=\frac{t}{2}代入抛物线y^{2}=x,可得x=\frac{t^{2}}{4},即点M(\frac{t^{2}}{4},\frac{t}{2}),所以直线MQ的方程为:y=\frac{\frac{t}{2}-0}{\frac{t^{2}}{4}-t^{2}}(x-t^{2}),令x=0,可得y_{N}=\frac{2t}{3},所以\frac{|PQ|}{|NO|}=\frac{t}{\frac{2t}{3}}=\frac{3}{2}青】本题主要考查了抛物线的标准方程,以及直线与抛物线的位置关系的应用,其中解答中确定点M的坐标,得出直线MQ的方程,求得点N的坐标是解答的关键,若重考查了推理与运算能力,属于其础题
【题目】设直线$l$:$x-3 y+c=0$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两条渐近线分别交于$M$、$N$两点，若线段$M N$的中垂线经过双曲线$C$的右焦点$(c, 0)$，则双曲线的离心率是?
【解析】设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2}),联立\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\\x-3y+c=0\end{cases}得(9b^{2}-a^{2})x^{2}-2ca^{2x}-a^{2}c^{2}=0x_{1}+x_{2}=\frac{2ca^{2}}{9b^{2}-a^{2}},y_{1}+y_{2}=\frac{1}{3}[(x_{1}+x_{2})+2c]=\frac{6cb^{2}}{9b^{2}-a^{2}}所以MN中点为(\frac{ca^{2}}{9b^{2}-a^{2}},\frac{3cb^{2}}{9b^{2}-a^{2}})因为线段MN的中垂线经过双曲线C的右焦点(c,0),所以\frac{\frac{3cb^{2}}{9b^{2}-a^{2}}}{\frac{ca^{2}-b}{a_{2}-c}}=-3,解得4b^{2}=a^{2}所以4c^{2}=5a^{2},即离心率e=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左, 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$A$是双曲线渐近线上一点，且$A F_{1} \perp A O$(其中$O$为坐标原点)，$A F_{1}$交双曲线于点$B$,且$|A B|=|B F_{1}|$，则双曲线的离心率为?
【解析】根据双曲线的对称性,不妨设点A在第二象限,设F_{1}(-c,0),因为AF_{1}\botAO,点F_{1}到直线bx+ay=0的距离d=\frac{|-bc|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=b所以|AF_{1}|=b,又因为|F_{1}O|=c,所以\cos\angleAF_{1}O=\frac{b}{c}因为|AB|=|BF_{1}|,所以|BF_{1}|=\frac{1}{2}|AF_{1}|=\frac{b}{2}由双曲线的定义可知,|BF_{2}|=|BF_{1}|+2a=2a+\frac{b}{2}在\triangleBF_{1}F_{2}中,由余弦定理可得,\cos\angleAF_{1}O=\frac{b}{c}=\frac{b^{2}}{4}+4c^{2}-(2a+\frac{b}{2})^{2}又由_{c}^{2}=a^{2}+b^{2},整理得b=a,所以c=\sqrt{2}a,故离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}.
【题目】点$P$在曲线$C_{3}$: $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$上，点$Q$在曲线$C_{1}$:$(x+5)^{2}+y^{2}=1$上，点$R$在曲线$C_{2}$:$(x-5)^{2}+y^{2}=1$上，则$|P Q|-|P R|$最大值是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是$\Gamma$右支上的一点，$Q$是$P F_{2}$的延长线上一点，且$Q F_{1} \perp Q F_{2}$ , 若$\sin \angle P F_{1} Q=\frac{3}{5}$，则$\Gamma$的离心率的取值范围是?
【解析】分析:设|PF_{1}|=m,利用双曲线定义及题设可得直角三角形各边的大小,结合勾股定理及两边之和大于第三边即可求得厂的离心率的取值范围.详设|PF_{1}|=m,则|PF_{2}|=m-2a,|PQ|=\frac{3}{5}m,|QF_{2}|=2a-\frac{2}{5}m,|QF_{1}|=\frac{4}{5}m\therefore(2c)^{2}=\frac{16}{25}m^{2}+(2a-\frac{2}{5}m)^{2},即m^{2}-2ma+5a^{2}-5c^{2}=0,又|QF|+|QF_{2}|>|F_{1}F_{2}|即\frac{4}{5}m+2a-\frac{2}{5}m>2c,得:m>5(c-a)\therefore方程m^{2}-2ma+5a^{2}-5c^{2}=0有大于5(c-a)的根\therefore25(c-a)^{2}-2\times5\times(c-a)\timesa+5a^{2}-5c^{2}<0得e<2,又e>1\thereforee\in(1,2)
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点分别为$F_{1}(-c, 0)$ , $F_{2}(c, 0)$ , $M$为椭圆上一点，且$\overrightarrow {F_{1} M} \cdot \overrightarrow {F_{2} M}=3 c^{2}$，则此椭圆离心率的取值范围是?
【解析】设点M(x,y),\overrightarrow{F_{1}M}\cdot\overrightarrow{F_{2}M}=3c^{2},(x-c,y)*(x+c,y)=x^{2}-c^{2}+y^{2}=3c^{2}x^{2}+y^{2}=4c^{2},又因为b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2},结合两式得x^{2}=\frac{5a2c^{2}-a4}{c^{2}},又因为0\leqslantx^{2}\leqslanta^{2},得(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{1}{2}].故得|\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{1}{2}
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左焦点在抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线上，则$p$的值为?
【解析】由椭圆的相关性质可知,椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1的左焦点为(-3,0)椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1的左焦点在抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线上可得-\frac{p}{2}=-3,解得p=6.
【题目】已知$F_{1}$, $F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点，$P$是椭圆上一点，$\angle F_{1} PF_{2}=90^{\circ}$，求椭圆离心率的最小值为?
【解析】因为\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},所以|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2},因为|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,且|F_{1}F_{2}|=2c,可解的|PF_{1}||PF_{2}|=2a^{2}-2c^{2}.因为2a=|PF_{1}|+|PF_{2}|\geqslant2\sqrt{|PF_{1}|||PF_{2}|}=2\sqrt{2a^{2}-2c^{2}},整理的2c^{2}\geqslanta^{2},即e^{2}=\frac{c}{a^{2}}\geqslant\frac{1}{2},所以e\geqslant\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】已知点$A(-\sqrt{5}, 0) $, $B(\sqrt{5}, 0)$ , $C(-1,0) $, $D(1,0)$ , $P(x_1, y_1)$，如果直线$P A$ , $P B$的斜率之积为$-\frac{4}{5}$，记$\angle P C D=\alpha$ , $\angle P D C=\beta$，则$\frac{\sin \alpha+\sin \beta}{\sin (\alpha+\beta)}$=?
【解析】由题意k_{PA}\cdotk_{PB}=\frac{y-0}{x+\sqrt{5}}\cdot\frac{y-0}{x-\sqrt{5}}=-\frac{4}{5}(x\neq\pm\sqrt{5}),化简可得\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1(x\neq\pm\sqrt{5})在椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1中,a=\sqrt{5},b=2,c=1,所以,C、D为椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1的两个焦点,因此,\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}=\frac{|PD|+|PC|}{|CD|}=\frac{2a}{2c}=\sqrt{5}
【题目】已知抛物线的顶点在原点，对称轴是$x$轴，焦点在直线$3 x-4 y-12=0$上，则该抛物线的方程为?
【解析】
【题目】若椭圆焦距为$8$，焦点在$x$轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，则椭圆的标准方程为?
【解析】

hbghlyj

【题目】过双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点$F$作$C$的一条渐近线的垂线，垂足为$A$交另一条渐近线于点$B$，若$\overrightarrow{F B}= \lambda \overrightarrow{A F}$ , $3 \leq \lambda \leq 4$，求$C$的离心率的取值范围为?
【解析】设右焦点F(c,0),设一条渐近线的方程为y=\frac{b}{a}x,另一条渐近线的方程为y=-\frac{b}{a}x由FA\botOA,可得FA的方程为:y=-\frac{a}{b}(x-c)y=\frac{b}{a}x\frac{a}{b}(xy=-\frac{b}{a}x\Rightarrowx=\frac{a^{2}c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}}{c},即x_{A}=\frac{a^{2}}{c}\boxed{2}\begin{cases}y=-\frac{a}{b}(x-c)\\\end{cases}\Rightarrowx=\frac{a^{2}c}{a^{2}-b^{2}}=\frac{ca^{2}}{2a^{2}-c^{2}},即x_{B}=\frac{ca^{2}}{2a^{2}-c^{2}}又\overrightarrow{FB}=\lambda\overrightarrow{AF},\therefore\frac{b}{2a^{2}-c^{2}}-c=\lambda(c-\frac{a^{2}}{c})\Rightarrow\frac{c(c^{2}-a^{2})}{2a^{2}-c^{2}}=\lambda\times\frac{c^{2}-a^{2}}{c}又3\leqslant2\leqslant4,3\leqslant\frac{e^{2}}{2-e^{2}}\leqslant4,即\begin{cases}\frac{e^{2}}{2-e^{2}}\leqslant4\\\frac{e^{2}}{2-e^{2}}\geqslant3\end{cases}解得:\frac{6}{4}\leqslante^{2}\leqslant\frac{8}{5},即\frac{\sqrt{6}}{2}\leqslante\leqslant\frac{2\sqrt{10}}{5}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左、右焦点，点$P$为双曲线右支上一点，$M$为$\triangle P F_{1} F_{2}$的内心，满足$S_{\Delta M P F_{1}}=S_{\Delta M P F_{2}}+\lambda S_{\triangle M F_{1} F_{2}}$，若该双曲线的离心率为$3$，则$\lambda$=?(注:$S_{\triangle M P F_{1}} , S_{\triangle M P F_{2}} , S_{\triangle M F_{1} F_{2}}$分别为$\triangle M P F_{1} , \triangle M P F_{2}$、$\triangle M F_{1} F_{2}$的面积)
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$F$的直线与抛物线$C$交于点$M(x_{1}, y_{1})$ , $N(x_{2}, y_{2})$，若点$P(x_{2},-y_{2})$，且$S_{\Delta M P F}=10$，则直线$M N$的斜率为?
【解析】设直线MN的斜率为k,则直线MN:y=k(x-1);联立\begin{cases}y=k(x-\\y2=4x,\end{cases}-1)消去y得k^{2}x^{2}-2(k^{2}+2)x+k^{2}=0,则x_{1}+x_{2}=2+\frac{4}{k^{2}},x_{1}x_{2}=1,b_{故}|_{MF|}=x_{1}+1,|PF|=x_{2}+1;设直线MN的倾斜角为\alpha,则\tan\alpha=k,故\sin\angleMFP=|\sin(\pi-2\alpha)|=|\sin2\alpha|=|\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^{2}\alpha}|=\frac{2|k|}{k^{2}+1}故S_{\DeltaMPF}=\frac{1}{2}(x_{1}+1)(x_{2}+1)|\sin2\alpha|=\frac{1}{2}[x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})+1]\cdot\frac{2|k|}{k^{2}+1}=\frac{4}{|k|};令\frac{4}{|k|}=10,解得k=\pm\frac{2}{5}
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点$F_{2}$向其一条渐近线作垂线$l$，垂足为$P$,$l$与另一条渐近线交于$Q$点若$\overrightarrow{F_{2} Q}=3 \overrightarrow{F_{2} P}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】由题意可得该双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x'设右焦点F_{2}(c,0)不妨令直线l垂直于直线y=\frac{b}{a}x^{,}则直线l的方程为y=-\frac{a}{b}(x-c)由\begin{cases}y=\frac{b}{a}x\\y=-\frac{a}{b}(x-c)\end{cases}可得点P(\frac{a2c}{a^{2}+b^{2}},\frac{abc}{a^{2}+b^{2}})因为a^{2}+b^{2}=c^{2},所以点P(\frac{a2}{c},\frac{ab}{c})由\begin{cases}y=-\frac{b}{a}x\\y=-\frac{a}{b}(x\end{cases}可得点Q(\frac{a2c}{a^{2}-b^{2}},-\frac{abc}{a^{2}-b^{2}})又\overrightarrow{F_{2}Q}=3\overrightarrow{F_{2}P},所以-\frac{abc}{a^{2}-b^{2}}=3\cdot\frac{ab}{c}即-c^{2}=3a^{2}-3b^{2}=3a^{2}-3(c^{2}-a^{2})所以c^{2}=3a^{2},所以该双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{3}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$2$，左焦点为$F_{1}$，点$Q(0, \sqrt{3} c)$($c$为半焦距). $P$是双曲线$C$的右支上的动点，且$|P F_{1}|+|P Q|$的最小值为$6$. 则双曲线$C$的方程为?
【解析】设双曲线右焦点为F_{2},则|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,所以|PF_{1}|+|PQ|=2a+|PF_{2}|+|PQ|,而|PF_{2}|+|PQ|的最小值为|QF_{2}|=\sqrt{c^{2}+(\sqrt{3}c)^{2}}=2c^{,}所以|PF_{1}|+|PQ|最小值为2a+2c=6又\frac{c}{a}=2,解得a=1,c=2,于是b^{2}=3,故双曲线方程为x2.\frac{y^{2}}{2}=1青】木题老杳了双曲线的方程,双曲线的定义,及双曲线的离心率,老杳了计简能力,属干中档题
【题目】已知椭圆$E$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F(3,0)$，过点$F$的直线交椭圆$E$于$A$,$B$两点. 若$A B$的中点坐标为 $(1,-1)$，则$E$的方程为?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=8 y$的准线方程是?
【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为y=-2填y=-2
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{25-m}+\frac{y^{2}}{16+m}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆，则$m$的取值范围为?
【解析】因为方程\frac{x^{2}}{25-m}+\frac{y^{2}}{16+m}=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以16+m>25-m>0,解得\frac{9}{2}<m<25
【题目】已知双曲线的两个焦点为$F_{1}(-\sqrt{5}, 0)$,   $F_{2}(\sqrt{5}, 0)$, $P$是此双曲线上的一点，且$P F_{1} \perp P F_{2}$,$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|=2$，则该双曲线的离心率是?
【解析】由PF_{1}\botPF_{2},根据勾股定理可得:|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=20可得(|PF_{1}|-|PF_{2}|)^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=20-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|又|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2,所以(|PF_{1}|-|PF_{2}|)^{2}=16'所以|PF_{1}|-|PF_{2}|=4=2a所以a=2,c=\sqrt{5}该双曲线的离心率是\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$，为椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点，在椭圆$E$上存在点$P$，满足$|P F_{2}|=|F_{1} F_{2}|$，且$F_{2}$到直线$P F_{1}$的距离等于$b$，则椭圆$E$的离心率为?
【解析】先由题中条件,得到\triangleF_{2}PF_{1}为等腰三角形,取PF_{1}的中点为M,连接F_{2}M,由椭圆定义,以及题中条件,得到|F_{2}M|=b,|PM|=a-c,利用勾股定理列出等量关系,即可求出结果记椭圆的焦距为2c,即|PF_{2}|=|F_{1}F_{2}|=2c,则\triangleF_{2}PF_{1}为等腰三角形,所以\angleF_{2}PF_{1}为锐角.取PF_{1}的中点为M,连接F_{2}M,则F_{2}M\botPF_{1}由椭圆定义可得|PF_{1}|=2a-|PF_{2}|=2a-2c,又F_{2}到直线PF_{1}的距离等于b,则|F_{2}M|=b,|PM|=a-c,由勾股定理可得|F_{2}M|^{2}+|PM|^{2}=|PF_{2}|^{2},即b^{2}+(a-c)^{2}=4c^{2}整理得2c^{2}+ac-a^{2}=0,所以2e^{2}+e-1=0,解得e=\frac{1}{2}或e=-1(舍)
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=2 y$，过其焦点$F$作斜率为$\frac{1}{2}$的直线$l$交$C$于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】抛物线的焦点坐标为(0,\frac{1}{2})直线l的方程为y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x即y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})\therefore\begin{cases}x^{2}=2y\\y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\end{cases}则x^{2}=x+1,即x^{2}-x-1=(_{2}=1,x_{1}x_{2}=-1|AB|=\sqrt{1+(\frac{1}{2})^{2}}\times\sqrt{(x_{1}+})\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】已知点$M(-3,0)$ , $N(3 , 0)$, $B(1 , 0)$，圆$C$与直线$M N$切于点$B$，过$M$、$N$与圆$C$相切的两直线相交于点$P$，则$P$点的轨迹方程为?
【解析】
【题目】双曲线$2 x^{2}-y^{2}=1$的渐近线方程是?
【解析】双曲线方程变形为\frac{x^{2}}{\frac{1}{2}}-y^{3}=1\thereforea^{2}=\frac{1}{2},b^{2}=1\thereforea=\frac{\sqrt{2}}{2},b=1,渐近线方程为y=\pm\sqrt{2}x
【题目】双曲线的渐近线方程为$x \pm 2 y=0$，焦距为$10$ ,这双曲线的方程为?
【解析】
【题目】已知点$A(m, 1)$是抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$上一点，$F$为抛物线的焦点，且$|A F|=3$，则$p$=?
【解析】因为|AF|=1+\frac{p}{2}=3,所以p=4.故答家为:4青】木题考查抛物线的定义,老杳运管求解能力
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$、$O$为坐标原点，以$F$为圆心，$|O F|$为半径的圆与$C$和$C$的渐近线在第一象限分别交于$M$、$N$两点，线段$M F$的中点为$P$. 若$|O N|=|O P|$，则$C$的离心率为?
【解析】求出F到渐近线的距离,从而利用勾股定理求得|ON|,由圆F的方程与双曲线方程联立解得M点坐标,由中点坐标公式得N点坐标,再由|ON|=|OP|列式后可计算出离心率e双曲线过第一象限的渐近线方程为y=\frac{b}{a}x'即bx-ay=0,F(c,0),F到渐近线的距离为d=\frac{|bc|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=b,\therefore|ON|=2\sqrt{c^{2}-d^{2}}=2\sqrt{c^{2}-b^{2}}=2a,圆F方程为(x-c)^{2}+y^{2}=c^{2},由\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\(x-c)^{2}+y^{2}=c^{2}\end{cases},解得\begin{cases}x=\frac{a2+ac}{c}\\y=\frac{b\sqrt{a^{2}+2ac}}{c}\end{cases}(因为M点在S限),即M(\frac{a^{2}+ac}{c},\frac{b\sqrt{a^{2}+2ac}}{c})^{(x-c)+y^{2}=c-x}\because|ON|=|OP|,即|OP|^{2}=4a^{2},\frac{(a^{2}+ac+c^{2})^{2}}{4c^{2}}+\frac{b^{2}(a^{2}+2ac)}{4c^{2}}=4a^{2},整理得c^{2}+4ac-12a^{2}=0,即e^{2}+4e-12=0,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的一条渐近线方程为$x+y=0$，则$a$=?
【解析】根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程,结合题意可求得正实数a的值双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的渐近线方程为\frac{x}{a}\pmy=0,由于该双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,\therefore\frac{1}{a}=1,解得a=1
【题目】已知$P$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上的一点，$F$为抛物线$C$的焦点，其准线与$x$轴交于点$N$，直线$N P$与抛物线交于另一点$Q$，且$|P F|=3|Q F|$，则点$P$坐标为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$与椭圆$x^{2}+4 y^{2}=64$有相同的焦点，且直线$x+\sqrt{3} y=0$为双曲线$C$的一条渐近线，则双曲线$C$的方程是?
【解析】由题:椭圆x^{2}+4y^{2}=64即\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{16}=1,焦点坐标F_{1}(-4\sqrt{3},0),F_{2}(4\sqrt{3},0)设双曲线C方程:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,则c=4\sqrt{3}直线x+\sqrt{3}y=0即y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x为双曲线C的一条渐近线,所以\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3},a^{2}+b^{2}=48,解得:a=6,b=2\sqrt{3}所以双曲线C的方程是\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{12}=
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线为$l$，点$P$在抛物线上，$P Q \perp l$于点$Q $, $M(2,0)$与抛物线的焦点不重合，且$|P Q|=|P M|$，$\angle M P Q=120^{\circ}$，则$p$=?
【解析】如图所示,设抛物线的焦点为F,连接PF,由抛物线的定义知|PQ|=|PF|,因为|PQ|=|PM|,所以|PF|=|PM|又由PQ\botl及\angleMPQ=120^{\circ},得\anglePMF=60^{\circ},所以\trianglePFM为正三角形可得|MF|=2-\frac{p}{2},所以点P的坐标为(1+\frac{p}{4},\frac{\sqrt{3}}{2}(2-\frac{p}{2}代入抛物线y^{2}=2px(p>0),可得\frac{3}{4}(2-\frac{p}{2})^{2}=2p(1+\frac{p}{4})即5p^{2}+56p-48=0,解得p=\frac{4}{5}或p=-12(舍去)
【题目】直线$y=k x+k$与焦点在$y$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1$总有两个公共点，则实数$m$的取值范围是?
【解析】分析:先根据直线方程可知直线恒过(-1,0)点,要使直线y=kx+k与椭圆恒有两个公共点,需(-1,0)在椭圆内,进而求得m的范围.详直线y=kx+k恒过点(-1,0),直线y=kx+k与椭圆恒有公共点,\therefore(-1,0)在椭圆内,\therefore\frac{1}{m}<1,\thereforem>1'ax-bm\therefore实数m的取值范围是(1,4),
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，抛物线$C$上一点$A$位于第一象限，且满足$|A F|=3$，则以点$A$为圆心，$A F$为半径的圆的方程为?
【解析】由题意,抛物线y^{2}=4x,可得焦点F(1,0)设A(x_{0},y_{0})(x_{0}>0,y_{0}>0),根据抛物线的定义,可得|AF|=x_{0}+1=3解得x_{0}=2,代入方程y^{2}=4x,由y_{0}>0可得y_{0}=2\sqrt{2},即A(2,2\sqrt{2}),又|AF|=3,所以圆的方程为:(x-2)^{2}+(y-2\sqrt{2})^{2}=9
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F(c , 0)$，过$F$作与$x$轴垂直的直线与椭圆相交于点$P$，过点$P$的椭圆的切线$l$与$x$轴相交于点$A$，则点$A$的坐标为?
【解析】
【题目】过椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点作斜率为$1$的直线与椭圆$C$分别交于点$A$、$B$、$O$是坐标原点，则$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$=?
【解析】设直线方程为:y=x+1,代入椭圆方程可得:3x^{2}+4x=0,解得:x_{A}=0,x_{B}=-\frac{4}{3}即A(0,1),B(-\frac{4}{3},-\frac{1}{3})\therefore\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{3}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m-3}+\frac{y^{2}}{m+5}=1$的离心率为$\frac{4}{3}$，那么此双曲线的准线方程为?
【解析】
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$的右焦点作一条斜率为$2$的直线与椭圆交于$A$,$B$两点，$O$为坐标原点，则$\triangle OAB$的面积为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$的左，右焦点，点$A$、$B$在椭圆上. 若$\overrightarrow{F_{1} A}=5 \overrightarrow {F_{2} B}$，则点$A$的坐标是?
【解析】椭圆\frac{x2}{3}+y^{2}=1焦点在x轴上,a=\sqrt{3},b=1,c=\sqrt{2}.\therefore焦点坐标F_{1}(-\sqrt{2},0)F_{2}(\sqrt{2},0)设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则\overrightarrow{F_{1}A}=(x_{1}+\sqrt{2}.,y_{1}),\overrightarrow{F_{2}B}=(x_{2}\cdot\sqrt{2}.,y_{2})\because\overrightarrow{F_{1}A}=5\overrightarrow{F_{2}B},\begin{cases}x_{1}+\sqrt{2}=5x_{2}-5\sqrt{2}.\\y_{1}=5y_{2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{2}=\frac{x_{1}+6\sqrt{2}}{5}\\y_{2}=\frac{y_{1}}{5}\end{cases},由点A,B在椭圆上,\frac{x_{1}+6\sqrt{2}}{3}+(\frac{y_{2}}{5})^{2}=1解得:x_{1}-0,y_{1}=1,\therefore点A的坐标是(0,\pm1,)
【题目】已知直线$l$: $\sqrt{3} x-y-\sqrt{3}=0$与抛物线$y^{2}=4 x$相交于$A$、$B$两点,与$x$轴相交于点$P$, 若$\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}(m \leq n)$, 则$\frac{n}{m}$=?
【解析】直线l:\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0过抛物线的焦点F(1,0),把直线的方程代入抛物线的方程得\begin{cases}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\y^{2}=4x\end{cases}解得\begin{cases}x=3\\y=2\sqrt{3}\end{cases}或\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}\end{cases}设A(3,2\sqrt{3}),B(\frac{1}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{3}),因为\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}(m\leqslantn),所以(1,0)=m(3,2\sqrt{3})+n(\frac{1}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{3})则_{0}=2\sqrt{3}m-\frac{2\sqrt{3}}{3}n'所以\frac{n}{m}=3.
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的左右焦点，点$P$在双曲线上，当$\triangle F_{1} P F_{2}$面积为$1$时，$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的值为?
【解析】利用\triangleF_{1}PF_{2}面积为定值求出点P的坐标,代入数量积的运算公式计算可得答案.因为双曲线方程为:\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1故两焦点F_{1},F_{2}的坐标为:(-\sqrt{5},0),(\sqrt{5},0)\therefore|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{5}当\triangleF_{1}PF_{2}面积为1时,不妨设点P的坐标为(m,n)故s=\frac{1}{2}F_{F}F_{2}.|n|=1\thereforen=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}不妨取n=\frac{\sqrt{5}}{5},将P(m,\frac{\sqrt{5}}{5})代入双曲线方程可得:\pm\frac{2\sqrt{30}}{6}不妨取m=\frac{2\sqrt{30}}{5},则P(\frac{2\sqrt{30}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5})\therefore\overrightarrow{PF_{1}}=(-\frac{2\sqrt{30}}{5}-\sqrt{5},-\frac{\sqrt{5}}{5}),\overrightarrow{PF_{2}}=(-\frac{2\sqrt{30}}{5}+\sqrt{5},-\frac{\sqrt{5}}{5})\therefore\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0
【题目】抛物线$x=2 y^{2}$的焦点坐标是?
【解析】依题意,抛物线的标准方程为y^{2}=\frac{1}{2}x,故2p=\frac{1}{2},\frac{p}{2}=\frac{1}{8},且抛物线开口向右,焦点在x轴的正半轴上,故焦点为(\frac{1}{8},0).青】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法,属于基础题
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的弦$A B \perp x$轴，若$|A B|=4 \sqrt{3}$，则焦点$F$到直线$A B$的距离为?
【解析】不妨设A点在x轴上方,依题意可知y_{A}=2\sqrt{3},则x_{A}=\frac{12}{4}=3,而抛物线焦点坐标为F(1,0)所以焦点F到直线AB的距离为3-1=2.
【题目】如果点$M(x, y)$在运动过程是总满足关系式$\sqrt{x^{2}+(y-5)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(y+5)^{2}}=8$, 则点$M$的轨迹方程为?
【解析】方程\sqrt{x^{2}+(y-5)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(y+5)^{2}}表示点M(x,y)与定点(0,5),(0,-5)的距离的差为8\because8<10,\therefore点M(x,y)的轨迹是以两定点为焦点的双曲线的下支\because2a=8,c=5,\thereforeb=3,\therefore点M的轨迹方程为\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1(y<0)
【题目】已知点$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$右支上的一点，且以点$P$及焦点$F_{1}$、$F_{2}$为定点的三角形的面积为$4$，则点$P$的坐标是?
【解析】设P(x,y),x>0.由题意知c^{2}=a^{2}+b^{2}=12+4=16,所以c=4,则F_{1}(-4,0),F_{2}(4,0).由题意可得S_{\trianglePF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}||y|=4|y|=4\Rightarrowy=\pm1把y=\pm1代入\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1,得x=\sqrt{15}所以P点坐标为(\sqrt{15},\pm1)
【题目】已知椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$，直线$l$交椭圆于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点坐标为$(\frac{1}{2},-1)$，则直线$l$的一般方程为?
【解析】设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2})代入椭圆方程得\frac{x_{1}}{4}+\frac{y_{1}}{2}=1,两式相减并化简得\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}}=\frac{1}{4},所以直线方程为y+1=\frac{1}{4}(x-\frac{1}{2}),化简得2x-8y-9=0
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$的焦点到双曲线$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$的渐近线的距离为?
【解析】
【题目】双曲线$mx^{2}+y^{2}=1$的虚轴长是实轴长的$2$倍，则$m$=?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$与双曲线$C_{2}$的公共焦点，$P$是$C_{1}$、$C_{2}$的公共点.若$O P=O F$，则$C_{2}$的渐近线方程为?
【解析】在椭圆C_{1}中有|PF_{1}|=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{6}}{3}x_{p}||PF_{2}|=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{6}}{3}x_{p}因为OP=OF所以\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},所以\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{1}|=1^{2}\tan\frac{90^{o}}{2}\Rightarrowx_{p}2=\frac{3}{2}根据题意在双曲线C_{2}中c^{2}=2,||PF_{1}|-|PF_{2}||=2\frac{\sqrt{6}}{3}x_{p}=2a\Rightarrowa=1所以b^{2}=c^{2}-a^{2}=1,所以C_{2}的渐近线为y=\pmx
【题目】直线$y=x+2$交椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1$于$A$、$B$两点，若$|A B|=3 \sqrt{2}$，则$m$的值为?
【解析】由\begin{cases}y=x+2\\\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{cases}得(4+m)x^{2}+4mx=0,所以x_{A}=0,x_{B}=\frac{-4m}{4+m},又|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}=\sqrt{1+k^{2}}|x_{B}-x_{A}|=\sqrt{2}|x_{B}|所以\sqrt{2}|\frac{4m}{4+m}|=3\sqrt{2}因为m>0,所以\frac{4m}{4+m}=3,故m=12
【题目】已知$F$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点，过原点的直线$l$与$C$交于$M$、$N$两点，则$\frac{1}{|M F|}+\frac{4}{|N F|}$的取值范围是?
【解析】椭圆C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1的a=2,b=\sqrt{3},c=1,可取左焦点为F',连接MF',NF可得四边形MFNF为平行四边形,即有|MF|+|NF|=|MF|+|MF|=2a=4,设|MF|=x,x\in[1,3]则|NF|=4-x,则\frac{1}{|MF|}+\frac{4}{|Nl}f^{'}(x)=\frac{-1}{x^{2}}+\frac{4}{(x-4)^{2}}\frac{4}{NF}=\frac{(3x-4)^{4}-x}{x^{2}(x-4)^{2}}可得f(x)在[1,\frac{4}{3}]递减,(\frac{4}{3},3]递增.可得f(x)的最小值为f(\frac{4}{3})=\frac{9}{4},f(1)=\frac{7}{3},f(3)=\frac{13}{3}即f(x)的最大值为\frac{13}{3},则\frac{1}{|MF|}+\frac{4}{|NF|}的取值范围是\frac{9}{4},\frac{13}{3}]
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点且斜率为$3$的直线，与双曲线的左右两支分别相交，则此双曲线的离心率的取值范围是 (用区间表示)?
【解析】根据题意构建渐近线的斜率与3的不等关系,再利用e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}求得离心率范围即可过右焦点与渐近线平行的直线与双曲线有一个交点,且一条渐近线的斜率为\frac{b}{a}若斜率为3的直线与双曲线的左右两支分别相交,则\frac{b}{a}>3.则离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}>\sqrt{10}.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线上，若$P F_{1} \perp P F_{2}$，则点$P$到$x$轴的距离为?
【解析】设点P(x,y),\becauseF_{1}(-5,0)、F_{2}(5,0),PF_{1}\botPF_{2}.\frac{0}{5}=-1P到x轴的距离是\frac{16}{5}
【题目】已知双曲线$C$的中心在原点且对称轴为坐标轴，$C$的一条渐近线与焦点为$F$的抛物线$y^{2}=8 x$交于点$P$，且$|P F|=4$，则双曲线的离心率为?
【解析】设点P坐标为(x_{0},y_{0}),\because|PF|=4,\thereforex_{0}+2=4,得x_{0}=2,即点P坐标为(2,\pm4)不失一般性,可记作P(2,4),当双曲线C的焦点在x轴上时,渐近线方程为y=\pm\frac{bx}{a}故可得\frac{b}{a}=2'故离心率_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2+b}}}{a}=\sqrt{5};当双曲线C的焦点在y轴上时,渐近线方程为y=\pm\frac{ax}{b},故可得\frac{a}{b}=2,故离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2},
【题目】与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$有共同的渐近线，且过点$(-1,4)$的双曲线方程是?
【解析】由题意,设所求双曲线方程为:x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=\lambda(\lambda\neq0),将点(-1,4)代入得:1-4=\lambda\Rightarrow\lambda=-3.所以所求双曲线方程为:x2-\frac{y^{2}}{4}=-3\Rightarrow\frac{y^{2}}{12}-\frac{x^{2}}{3}=1.
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{16}=1$上任意一点$P$作$x$轴的平行线交两条渐近线于$Q$、$R$两点，则$P Q \cdot P R$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是双曲线右支上一点，$P F_{1} \perp P F_{2}$，直线$P F_{2}$交$y$轴于点$Q$，且$\overrightarrow{F_{2} P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{P Q}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】解法一:由题意知|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2}.所以|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=\frac{4c^{2}-4a^{2}}{2}=2b^{2}.设P(x_{0},y_{0}),则|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2c\cdot|y_{0}|,所以|y_{0}|=\frac{b^{2}}{c}因为\overrightarrow{F_{2}P}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PQ},所以x_{0}=\frac{3}{5}c,将P(\frac{3}{5}c,\frac{b^{2}}{c})代入双曲线方程,整理得9e^{4}-50e^{2}+25=0解得e^{2}=5或e^{2}=\frac{5}{9}因为e>1,所以e=\sqrt{5}解法二:设O为坐标原点,由题易得\triangleQOF_{2}\sim\triangleF_{1}PF_{2},所以\frac{|QF_{2}|}{|F_{1}F_{2}|}=\frac{|OF_{2}|}{|PF_{2}|}设|PF_{2}|=2x,因为\overrightarrow{F_{2}P}=\frac{2}{3}\overrightarrow{PQ},所以|QF_{2}|=5x,则\frac{5x}{2c}=\frac{c}{2x},得c=\sqrt{5}x.\overset-2c=2x'|_{PF_{1}^{2}+|PF_{2}|}^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2},所以|PF_{1}|=\sqrt{|F_{1}F_{2}|^{2}-|PF_{2}|^{2}}=4x所以|PF_{1}|-|PF_{2}|=4x-2x=2a,得a=x.所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{k}=1$的离心率$e \in(1 , 2)$，则$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】设抛物线$y^{2}=8 x$焦点为$F$，点$P$在此抛物线上且横坐标为$4$，则$|PF|$等于?
【解析】
【题目】已知$P$是椭圆$4 x^{2}+y^{2}=1$上一点，$F$为其中一个焦点，则$P F$的最小值为?
【解析】4x^{2}+y^{2}=1化为\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,所以椭圆焦点在y轴上,可得a=1,b=\frac{1}{2},所以c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}PF的最小值为距离F较近的长轴端点与F的距离,即PF的最小值为\_a-c=1-\frac{\sqrt{3}}{2},
【题目】过点$M(2 ,-2 p)$作抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$的两条切线，切点分别为$A$、$B$，若线段$A B$的中点的纵坐标为$6$，则$p$的值是?
【解析】
【题目】已知直线$x-\sqrt{3} y+\sqrt{3}=0$过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的左焦点$F$，交椭圆于$A$、$B$两点，交$y$轴于点$C$，$\overrightarrow{F A}=2 \overrightarrow{F C}$，则该椭圆的离心率是?
【解析】因为直线x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0过椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的左焦点F所以F(-\sqrt{3},0).设A(x,y),因为\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{FC},由题意可得x-(-\sqrt{3})=2[0-(-\sqrt{3})]所以x=\sqrt{3},又A(x,y)在直线x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0上,所以y=2,即A(\sqrt{3},2),由题意可得\begin{cases}a2-b^{2}=c^{2}=3\\\frac{3}{a2}+\frac{4}{2}=1\end{cases},解得\begin{cases}a=3\\b=\sqrt{6}\end{cases}所以离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】已知$P$为抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$上一点，点$P$到抛物线$C$的焦点的距离为$7$，到$y$轴的距离为$5$，则$p$=?
【解析】由题意|PF|=x_{P}+\frac{p}{2}=5+\frac{p}{2}=7,解得p=4.
【题目】已知双曲线$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{20}=1$上一点$P$到焦点$F_{1}$的距离等于$9$，则点$P$到$F_{2}$的距离等于?
【解析】若p在左支上,则由双曲线定义可得|PF_{2}|-|PF_{1}|=2a,解得|PF_{2}|=17,若p在右支上,则|PF_{1}|\geqslanta+c=10,不满足题意,所以p只能在左支上,
【题目】已知双曲线中心在原点，一个焦点为$F_{1}(-\sqrt{2}, 0)$，点$P$在双曲线上，且线段$P F_{1}$的中点坐标为$(0, \frac{1}{2})$，则此双曲线的离心率是?
【解析】设出双曲线的方程,利用中点坐标公式求出P的坐标,将其坐标代入双曲线的方程,通过a,b,c的关系列出另一个等式,解两个方程得到a,c的值.即可求解双曲线的离心率据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在x轴上,设双曲线的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\because一个焦点为F_{1}(-\sqrt{2},0)\thereforec=\sqrt{2}\Rightarrowa^{2}+b^{2}=2\textcircled{1}\because线段PF_{1}的中点坐标为(0,\frac{1}{2})\thereforeP的坐标为(\sqrt{2},1),将(\sqrt{2},1)代入双曲线的方程得\frac{2}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}=1\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}得a^{2}=1,b^{2}=1,所以a=1,双曲线的离心率为:e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}
【题目】$A B$是抛物线$y=x^{2}$的一条弦，若$A B$的中点到$x$轴的距离为$1$，则弦$A B$的长度的最大值为?
【解析】
【题目】如果椭圆的焦点坐标为$F_{1}(-1,0)$， $F_{2}(1,0)$，离心率为$\frac{2}{3}$，过$F_{1}$作直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$的周长为?
【解析】设椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)因为椭圆的焦点坐标为F_{1}(-1,0)F_{2}(1,0),离心率为\frac{2}{3}即c=1,且\frac{c}{a}=\frac{2}{3},解得a=\frac{3}{2}由椭圆的定义,可得AABF_{2}的周长=|AB|+|AF_{2}|+|BF_{2}|=|AF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{1}|+|BF_{2}|=4a=4\times\frac{3}{2}=6.
【题目】已知抛物线$C$:$ y^{2}=2 x$，点$P$在$C$上且在第一象限，过点$P$作抛物线$C$的切线交其准线于点$N$，抛物线的焦点为$F$，若$\angle P N F=60^{\circ}$，则点$P$的坐标为?
【解析】由题设,抛物线准线方程为x=-\frac{1}{2}且F(\frac{1}{2},0),若P(m,\sqrt{2m})且m>0,在第一象限有y=\sqrt{2x},则y=\frac{1}{\sqrt{2x}},故过P的切线为y-\sqrt{2m}=\frac{1}{\sqrt{2m}}(x-m),令x=-\frac{1}{2},则y-\sqrt{2m}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2m}}(\frac{1}{2}+m),即y=\frac{2m-1}{2\sqrt{2m}},即N(-\frac{1}{2},\frac{2m-1}{2\sqrt{2m}})综上,\overrightarrow{NP}=(m+\frac{1}{2},\frac{2m+1}{2\sqrt{2m}}),\overrightarrow{NF}=(1,\frac{1-2m}{2\sqrt{2m}}),又\anglePNF=60^{\circ}\cos\anglePNF=\frac{\overrightarrow{NP}\cdot\overrightarrow{NF}}{|\overrightarrow{NP}||\overrightarrow{NF}|}=\frac{}{\sqrt{(m+}}\frac{m+\frac{1}{2}+\frac{1-4m^{2}}{8m}}{1^{2}+\frac{(2m+1)^{2}}{11+\frac{(1-2m)^{2}}{2}}=\frac{1}{2},}解得m=\frac{3}{2}所以P(\frac{3}{2},\sqrt{3})
【题目】若过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点，且倾斜角为$\frac{\pi}{3}$的直线交抛物线于$A$、$B$，则$|A B|$=?
【解析】由题得抛物线的焦点为(2,0).所以直线AB的方程为y-0=\sqrt{3}(x-2),即y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}把y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}代入y^{2}=8x得3x^{2}-20x+12=0,所以AB=\sqrt{1+3}.
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$ ,过点$P(2,1)$作一直线交双曲线于$A$、$B$两点，并使$P$为$A B$的中点，则直线$A B$的斜率为?
【解析】设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),则\begin{cases}\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=2\\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=1\end{cases},即\begin{cases}x_{1}+x_{2}=4\\y_{1}+y_{2}=2\end{cases}由已知条件可得\begin{cases}x_{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\\x_{2}^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases},两个等式作差得(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})-\frac{y_{2}-y_{2}}{3}=0即(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=所以,直线AB的斜率为k_{AB}=\frac{y_{1}-y}{x_{1}-x}\frac{3}{3}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x$的焦点与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的右焦点重合，则抛物线$C$的标准方程为?
【解析】由题可知:椭圆\frac{x^{2}}{2}+y2=1的右焦点坐标为(1,0)所以可知抛物线的焦点坐标为(1,0),抛物线C的标准方程为y^{2}=4x.
【题目】倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线过双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的焦点，且与双曲线$C$交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】设出直线方程方程与双曲线方程联立,由双曲线C:\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1标准方程可知:a=\sqrt{3},b=1,所以有c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3+1}=2因此焦点的坐标为(\pm2,0),由双曲线的对称性不妨设,直线AB过右焦点(2,0)所以直线AB方程方程为y-0=(\tan\frac{\pi}{4})\cdot(x-2)\Rightarrowy=x-2,与双曲线联立得:\begin{cases}\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1\\y=x-2\end{cases}\Rightarrow2x^{2}-12x+15因此有:x,+x_{2}=6,x_{x}=\frac{15}{}2-12x+15=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})所以|AB|=\sqrt{1+(\tan\frac{\pi}{4})^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{2}\times\sqrt{6^{2}-4\times\frac{15}{2}}=2\sqrt{3}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 x$的焦点是$F$，点$P$是抛物线上的动点，又有点$A(3 , 2)$，则$|PA|+|PF|$取最小值时$P$点的坐标为?
【解析】
【题目】直线$y=2 x+3$与曲线$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x|x|}{4}=1$交点的个数为?
【解析】分析题意,可对x的取值范围进行讨论,分别得出x\geqslant0、x<0时曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x|x|}{4}=1的表达式,将直线y=2x+3与曲线方程联立,通过方程组的解可得交点个数.若x\geqslant0,由\begin{cases}y=2x+3\\\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1\end{cases},可得7x^{2}+48x=0,解得x_{1}=0,x_{2}=-\frac{48}{7}(舍去),故直线与半双曲线只有一个交点若x<0,由\begin{cases}y=2x\\\frac{y^{2}}{9}+\frac{3}{2}\end{cases}2x+3导25x^{2}+48x=0,可得x_{1}=0,x_{2}=-\frac{48}{25},可得直线与半椭圆只有一个交点,(1其中x_{1}=0时t
【题目】已知定点$M(3,4)$, $F$为抛物线$y^{2}=8 x$的焦点,点$P$在该抛物线上移动，当$|P M|+|P F|$取最小值时，点$P$的坐标为?
【解析】由抛物线方程可知焦点F(2,0),准线方程为x=-2,设P在抛物线准线方程上射影为P',\because点P到准线的距离与P到焦点距离相等,\therefore|PM|+|PF|=|PM|+|PP|,当x=3,代入抛物线方程求得y=\pm2\sqrt{6},\thereforeM点抛物线的内部,当P',P,M三点共线时,|PM|+|PP|的值最小,此时|PM|+|PP|=|MP|=5,此时P的纵坐标为4,x=2,即P的坐标为(2,4),
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的准线与圆$x^{2}+y^{2}-4 y=0$，相交所得的弦长为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的准线方程为x=-1,圆x^{2}+y^{2}-4y=0的标准方程为x^{2}+(y-2)^{2}=4,圆心坐标为(0,2),半径为2,圆心到准线的距离为1,所以弦长为2\sqrt{2^{2}-1}=2\sqrt{3}
【题目】已知抛物线的顶点在原点，抛物线的焦点和双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的右焦点重合，则抛物线的方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}} {2}$,直线$y=\frac{1}{2} x+1$与椭圆相交于$A$、$B$两点，
点$M$在椭圆上，且满足$O M=\frac{1}{2} O A+\frac{\sqrt{3}}{2} O B$. 则$b$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，以$F_{1} F_{2}$为直径的圆与一渐近线交于点$A$，若$A F_{1}$的中点$B$恰落在另一渐近线上，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】圆与双曲线的渐近线的位置关系如图,由题意得\angleAOB=\angleF_{1}OB,由双曲线性质得\angleAOF_{2}=\angleF_{1}OB,可得\angleAOF_{2}=60^{\circ},\therefore\frac{b}{a}=\tan60^{\circ}=\sqrt{3},\therefore双曲线离心率为e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=2
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>0)$上的一点$P$也在抛物线$y^{2}=\frac{9}{4} x$上，设抛物线焦点为$F$，若$|P F|=\frac{25}{16}$，则$a$=?
【解析】因为|PF|=\frac{25}{16},所以|PF|=x_{P}+\frac{p}{2}=\frac{25}{16}且p=\frac{9}{8},解得:x_{P}=1所以y_{P}^{2}=\frac{9}{4},所以y_{P}=\pm\frac{3}{2},取P(1,\frac{3}{2})代入椭圆方程可得:\frac{1}{a^{2}}+\frac{3}{4}=1(a>0)解得:a=2.
【题目】已知点$A$、$B$的坐标分别是$(-1,0)$ ,$(1,0)$. 直线$A M$, $B M$相交于点$M$，且它们的斜率之和是$2$，则点$M$的轨迹方程为?
【解析】设M(x,y),\becauseAM,BM的斜率存在,\thereforex\neq1,又\becausek_{AM}=\frac{y}{x+1},k_{BM}=\frac{y}{x-1}\therefore由k_{AM}+k_{BM}=2得:\frac{\widehat{y}}{x+1}+\frac{y}{x-1}=2整理得:x^{2}-xy-1=0,\therefore点M的轨迹方程为:x^{2}-xy-1=0.
【题目】设椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，右顶点为$A$，上顶点为$B$，已知$|A B|=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_{1} F_{2}|$，则$C$的离心率为?
【解析】由题意知|AB|^{2}=a^{2}+b^{2},|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2},\becauseAB=\frac{\sqrt{3}}{2}F_{1}F_{2}\thereforea^{2}+b^{2}=\frac{3}{4}\cdot4c^{2}即a^{2+a^{2}-c^{2}}=3c^{2},即a^{2}=2c^{2},故e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的渐近线方程为$y  = \frac{1}{2} x$，则$b$等于?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点到渐近线的距离等于?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1中,实半轴a=2,虚半轴b=3,则半焦距c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13},所以双曲线焦点F(\pm\sqrt{13},0),渐近线方程y=\pm\frac{3}{2}x,即3x\pm2y=0,由点到直线距离公式得所求距离为\frac{|3\cdot(\pm\sqrt{13})\pm2\cdot0|}{\sqrt{3^{2}+(\pm2)^{2}}}=\frac{3\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=3
【题目】已知$M(x_{0}, y_{0})$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$是$C$上的两个焦点，若$\overrightarrow{M F}_{1} \cdot \overrightarrow{M F}_{2}<0$，则$y_{0}$的取值范围是?
【解析】由题意,\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}=(-\sqrt{3}-x_{0},-y_{0})\cdot(\sqrt{3}-x_{0},-y_{0})=x_{0}^{2}-3+y_{0}^{2}=3y_{0}^{2}-1<0,\therefore-\frac{\sqrt{3}}{3}<y_{0}<\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】抛物线$y^{2}=2 a x(a>0)$的焦点为$F$，其准线与双曲线$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1$相交于$M$、$N$两点，若$\angle M F N=120^{\circ}$，则$a$=?
【解析】可根据题干条件画出草图,得到角MFO为60度角,根据三角函数值得到\underline{2\sqrt{1+\frac{a^{2}}{36}}}=\sqrt{3}.解得a=\frac{2\sqrt{26}}{13}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$过点$(1, \sqrt{2})$, 其长轴长的取值范围是$[4 , 6]$，则该椭圆离心率的取值范围是?
【解析】将点(1,\sqrt{2}),代入可得\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{a^{2}-1},由e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{2}{a^{2}-1}},结合a的取值范围即可求解由题意可得\frac{1}{a^{2}}+\frac{2}{b^{2}}=1,所以b^{2}=\frac{2a^{2}}{a^{2}-1},所以\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{a^{2}-1},又e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{2}{a^{2}-}}所以\frac{1}{4}\leqslant\frac{2}{a^{2}-1}\leqslant\frac{2}{3},即\frac{\sqrt{3}}{3}\leqslante该椭圆离心率的取值范围是|\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{3}}{}
【题目】双曲线$8 kx^{2}-ky^{2}=8$的一个焦点为$(0 , 3)$，则$k$的值为?
【解析】
【题目】过点$M(0,1)$且斜率为$1$的直线$l$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两渐近线交于点$A$、$B$, 且$\overrightarrow{B M}=2 \overrightarrow{A M}$, 双曲线的焦距为$2 \sqrt{10}$, 则$b$的值为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}).B(x_{2},y_{2})由\overline{BM}=2\overline{A}\overline{M},得x_{2}=2x_{1}.\textcircled{1},由题得:直线方程为y=x+1,\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x联立直线l方程和渐近线方程,解得x_{1}=-\frac{a}{a+b}x_{2}=\frac{a}{b-a},即有-\frac{2a}{a+b}=\frac{a}{b-a}化为a=3b,由双曲线的焦距为2\sqrt{10},可得a^{2}+b^{2}=c^{2}=10,即有10b^{2}=10,解得b=1.
【题目】已知$F$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点，过$F$作$C$的渐近线的垂线$F D$ , $D$为垂足，且$|F D|=\frac{\sqrt{3}}{2}|O F|$（$O$为坐标原点），则$C$的离心率为?
【解析】求出焦点到渐近线的距离就可得到a,b,c的等式,从而可求得离心率由题意F(c,0),一条渐近线方程为y=\frac{b}{a}x^{,}即bx-ay=0,\therefore|FD|=\frac{|bc|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=b,由FD=\frac{\sqrt{3}}{2}\begin{matrix}\sqrt{3}&\\\end{matrix}OF得b=\frac{\sqrt{3}}{2}c'\thereforeb^{2}=\frac{3}{4}c^{2}=c^{2}-a^{2},c^{2}=4a^{2},\thereforee=\frac{c}{a}=2.
【题目】抛物线$y=a x^{2}$的准线方程是$y=-\frac{1}{2}$，则$a$=?
【解析】
【题目】$\triangle ABC$的顶点$A(-5,0)$，$B(5,0)$，$\triangle ABC$的内切圆圆心在直线$x=3$上，则顶点$C$的轨迹方程是?
【解析】
【题目】定长为$4$的线段$A B$的两个端点在抛物线$y^{2}=x$上移动，设$A B$的中点为$M$，则点$M$到$y$轴的最短距离为?
【解析】设A,B,M在y轴上的投影点为A_{1},B_{1},M_{1},设抛物线的焦点为F,由抛物线定义可知:AF=AA_{1}+\frac{p}{2},BF=BB_{1}+\frac{p}{2},所以AF+BF=AA_{1}+BB_{1}+p=AA_{1}+BB_{1}+\frac{1}{2},所以_{MM_{1}}=\frac{AA_{1}+BB_{1}}{2}=\frac{AF+BF-\frac{1}{2}}{2}=\frac{AF+BF}{2}-\frac{1}{4}\geqslant\frac{AB}{2}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4},取等号时A,B,F三点共线,即AB经过点F,所以M到v轴的最短距离为\frac{7}{1}故答安为:7
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$到准线的距离为$2$，则曲线$C$的方程为?
【解析】由焦点F到准线的距离为2,得p=2,故曲线C的方程为y^{2}=4x
【题目】已知点$F$是抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，$M$、$N$是该抛物线上两点，$|M F|+|N F|=6$，则线段$M N$的中点的横坐标为?
【解析】\because抛物线y^{2}=4x,\therefore准线方程为x=-1,由|MF|+|NF|=6,可得x_{M}+1+x_{N}+1=6,即x_{M}+x_{N}=4,\thereforeMN的中点的横坐标为\frac{x_{M}+x_{N}}{2}=2,
【题目】已知经过椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的右焦点$F_{2}$的直线$A B$交椭圆于$A$、$B$两点，$F_{1}$是椭圆的左焦点，那么$\triangle A F_{1} B$的周长等于?
【解析】\because椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1的右焦点F_{2}的直线AB交椭圆于A,B两点,F_{1}是椭圆的左焦点\thereforeAAF_{1}B的周长=|AB|+|AF|+|BF|=|AF_{2}|+|AF|+|BF|+|BF_{2}|=4a=20效答客为20
【题目】设某双曲线与椭圆$\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1$有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为$(\sqrt{15}, 4)$，则此双曲线的标准方程是?
【解析】由题意可知椭圆\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1的焦点在y轴上,且c^{2}=36-27=9,故焦点坐标为(0,\pm3)由双曲线的定义可得2a=\sqrt{(\sqrt{15}-0)^{2}+(4-3)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{15}-0)+(4+3)^{2}}=4,故a=2b^{2}=9-4=5,故所求双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1.
【题目】已知$F$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$的左焦点，$A(1 , 4)$, $P$是双曲线右支上的动点，则$|PF|+|PA|$的 最小值为?
【解析】
【题目】若曲线$y=\sqrt{x^{2}-4}$与直线$y=k(x-2)+3$有两个不同的公共点，则实数$k$的取值范围是?
【解析】直线y=k(x-2)+3过定点P(2,3),曲线y=\sqrt{x^{2}-4}表示双曲线x^{2}-y^{2}=4(y\geqslant0)在x轴及其上方的上部分,双曲线x^{2}-y^{2}=4的渐近线为y=\pmx,左右顶点分别为A_{1}(-2,0),A_{1}(2,0)如图,过点P作直线l_{1},l_{2}分别与两渐近线平行.将直线l_{1}绕点P沿顺时针方向旋转,当过点A_{1}时,满足条件,此时k_{A_{1}P}=\frac{3-0}{2-(-2)}=\frac{3}{4}根据双曲线的图像特征,如图当直线l_{1}绕点P沿顺时针方向旋转,从PA_{1}旋转到l_{2}的位置时,满足与曲线y=\sqrt{x^{2}-4}有两个交点.所以斜率满足-1<k\leqslant\frac{3}{4}
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线方程为$x+3 y=0$，则此双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{m+3}+\frac{y^{2}}{3}=1  (m>0)$的离心率$e=\frac{1}{3}$, 则$m$的值等于?
【解析】可得m>0时,m+3>3,椭圆的焦点在x轴上,则a=\sqrt{m+3},b=\sqrt{3},c=\sqrt{m}则e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m+3}}=\frac{1}{3},解得m=\frac{3}{8}.
【题目】如果过两点$A(a , 0)$和$B(0 , a)$的直线与抛物线$y=x^{2}-2 x-3$没有交点，那么实数$a$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知焦点在$x$轴上的椭圆的离心率为$0.5$，且它的长轴长等于圆$C$: $x^{2}+y^{2}-2 x-15=0$的半径，则椭圆的标准方程是?
【解析】用配方化简x^{2}+y^{2}-2x-15=0得到圆的半径为4,所以椭圆的长轴为4,根据离心率求出c,根据勾股定理求出b得到椭圆的解析式即可.详解】\becausex^{2}+y^{2}\cdot2x\cdot15=0,(x\cdot1)^{2}+y^{2}=16,\thereforer=4=2a\thereforea=2,\becausee=0.5,\thereforec=1,\thereforeb^{2}=3.方程为:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】抛物线$y=\frac{1}{16} x^{2}$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{m}=-1$的上焦点重合，则$m$=?
【解析】抛物线y=\frac{1}{16}x^{2}的焦点为(0,4),所以m+3=4^{2}\Rightarrowm=13.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ ,过焦点$F_{2}$且垂直于$x$轴的直线与
双曲线相交于$A$ , $B$两点，若$\overrightarrow{F_{1} A} \cdot \overrightarrow{F_{1} B}=0$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】若直线$y=k x+1$与焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$总有公共点，则实数$m$的取值范围为?
【解析】因为焦点在x轴上的椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1所以0<m<5因为直线y=kx+l过定点P(0,1),且直线与椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1总有公共点所以点P在椭圆上或在椭圆的内部,即\frac{0^{2}}{5}+\frac{1^{2}}{m}\leqslant1解得1\leqslantm,综上,1\leqslantm<5答案为:1\leqslantm<5
【题目】抛物线$y=2 p x^{2}(p>0)$的准线方程是?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$:$y=a x^{2}  (a>0)$上的点$A(m, 2)$到其准线的距离为$3$，则$a$=?
【解析】抛物线y=ax^{2},即x^{2}=\frac{1}{a}y',准线方程为y=-\frac{1}{4a}点A(m,2)到焦点的距离为3,所以2-(-\frac{1}{4a})=3,解得a=\frac{1}{4}
【题目】设$A(0,-\sqrt{5})$, $B(0, \sqrt{5})$,$|P A|-|P B|=4$，则动点$P$的轨迹方程为?
【解析】因为|PA|-|PB|=4<2\sqrt{5},所以动点P的轨迹是焦点为A,B,实轴长为4的双曲线的上支.因为\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1(y\geqslant2)2c=2\sqrt{5},所以a=2,c=\sqrt{5},b^{2}=c^{2}-a^{2}=1,所以动点P的轨迹方程为
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$上的点到直线$x-2 y-12=0$的距离最大值为?
【解析】设椭圆的参数方程为\begin{cases}x=4\cos(\\y=2\sqrt{3}s\end{cases}d=\frac{|4\cos\theta-4\sqrt{3}\sin\theta-12|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}|\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta-3|=\frac{4\sqrt{5}}{5}|2\cos(\theta+\frac{\pi}{3})-3|,当\cos(\theta+\frac{\pi}{3})=1时,d_{\min}=\frac{4\sqrt{5}}{5},此时所求点为(2,-3)
【题目】已知直线$M N$过椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点$F$，与椭圆交于$M$、$N$两点. 直线$P Q$过原点$O$与$M N$平行，且$P Q$与椭圆交于$P$,$Q$两点，则$\frac{|P Q|^{2}}{|MN|}$=?
【解析】F(-1,0)当直线MN斜率不存在时,|MN|=\frac{2b^{2}}{a}=\sqrt{2},|PQ|=2b=2,则\frac{|PQ|^{2}}{|MN|}=2\sqrt{2};当直线MN斜率存在时,设直线MN斜率为k,则MN方程为y=k(x+1),M(x_{1},y_{1},N(x_{2},y_{2})联立方程得:\begin{cases}y=k(x+1)\\\frac{x^{2}}{2}+y2=1\end{cases}整理得(2k^{2}+1)x^{2}+4k^{2}x+2k^{2}-2=0,由韦达定理x_{1}+x_{2}=-\frac{4k^{2}}{2k^{2}+1},x_{1}x_{2}=\frac{2k^{2}-3}{2k^{2}+1},|MN|=\sqrt{1+k^{2}\sqrt{(x_{1}+}}\frac{2\sqrt{2}}{2}-4x_{1}x_{2}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2k^{2}+1},则直线PQ方程为:y=kx,P(x_{3},y_{3}),Q(x_{4},y_{4}),则\begin{cases}y=kx\\\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\end{cases}解得x^{2}=\frac{2}{1+2k^{2}},y^{2}=\frac{2k^{2}}{1+2k^{2}},则|OP|^{2}=x^{2}+y2=\frac{2(1+k^{2})}{1+2k^{2}},则|PQ|=2|OP|,则|PQ|^{2}=4|OP|^{2}=\frac{8(1+k^{2})}{1+2k^{2}},\therefore\frac{|PQ|^{2}}{|MN|}=2\sqrt{2},故填2\sqrt{2}.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点的直线$l$交抛物线于$P(x_{1}, y_{1})$, $Q(x_{2}, y_{2})$两点，如果$x_{1}+x_{2}=4$，则$|P Q|$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$、$P$为抛物线上一动点，定点$A(1,1)$，则$\triangle P A F$周长最小值为?
【解析】求APAF周长的最小值,即求|PA|+|PF|的最小值设点P在准线上的射影为D,根据抛物线的定义,可知|PF|=|PD|因此,|PA|+|PF|的最小值,即|PA|+|PD|的最小值根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小.因此的最小值为x_{A}-(-1)=1+1=2,\because|AF|=1,所以APAF周长的最小值为2+1=3,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{3}=1$的一条渐近线方程为$y= \sqrt{3} x$，则抛物线$y^{2}=4 a x$上一点$M(2 , y_{0})$到该抛物线焦点$F$的距离是?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=-12 x$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1$的一个焦点重合，则$a$=?
【解析】抛物线y^{2}=-12x的焦点(-3,0),与双曲线\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{4}=1的一个焦点重合,可得3=\sqrt{a^{2}+4},解得a=\pm\sqrt{5}
【题目】设$B$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的上顶点，若$C$上的任意一点$P$都满足$|P B| \leq 2 b$，则$C$的离心率的取值范围?
【解析】设P(x,y),则|PB|=\sqrt{x^{2}+(y-b)^{2}}=\sqrt{-\frac{c^{2}}{b^{2}}y^{2}-2by+a^{2}+b^{2}}=\sqrt{-\frac{c^{2}}{b^{2}}(y+\frac{b^{3}}{c^{2}})^{2}+a^{2}+b^{2}+\frac{b^{4}}{c^{2}}}\leqslant2b因为y\in[-b,b],当-\frac{b^{3}}{c^{2}}>-b即a^{2}<2c^{2}时,|PA|_{\max}=\sqrt{a^{2}+b^{2}+\frac{b^{4}}{c^{2}}}\leqslant2b'所以a^{2}+b^{2}+\frac{b^{4}}{c^{2}}\leqslant4b^{2}化简得:a^{4}-4a2c^{2}+4c^{4}\leqslant0\therefore(a^{2}-2c^{2})^{2}\leqslant0,显然该不等式不成立,当-\frac{b^{3}}{c^{2}}\leqslant-b^{,}即a^{2}\geqslant2c^{2}时,|PA|_{\max}=\sqrt{4a^{2}-4c^{2}}\leqslant2b,恒成立由a^{2}\geqslant2c^{2},得\frac{c^{2}}{a^{2}}\leqslant\frac{1}{2},所以0<e\leqslant\frac{\sqrt{2}}{2}综上,离心率的范围为(0,\frac{\sqrt{2}}{2}]
【题目】设点$P(x_{1}, y_{1})$在椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$上，点$Q(x_{2}, y_{2})$在直线$x+2 y-8=0$上，则$|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|$的最小值为?
【解析】设x_{1}=2\sqrt{2}\cos\theta,y_{1}=\sqrt{2}\sin\theta且\theta\in[0,2\pi)|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|=|x_{2}-2\sqrt{2}\cos\theta|+|y_{2}-\sqrt{2}\sin\theta|=\frac{1}{2}(2|x_{2}-2\sqrt{2}\cos\theta|+2|y_{2}-\sqrt{2}\sin\theta|\geqslant\frac{1}{2}(|x_{2}-2\sqrt{2}\cos\theta|+2|y_{2}-\sqrt{2}\sin\theta|)\geqslant\frac{1}{2}|x_{2}+2y_{2}-2\sqrt{2}\cos\theta-2\sqrt{2}\sin\theta=\frac{1}{2}|8-2\sqrt{2}(\cos\theta+\sin\theta)|=\frac{1}{2}|8-4\sin(\theta+\frac{\pi}{4})|\geqslant2,当且仅当\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=1且x,-2\sqrt{2}\cos\theta=0时等号成立故答客为:2
【题目】焦点在$y$轴上，且过点$P_{1}(3 ,-4 \sqrt{2})$ , $P_{2}(\frac{9}{4} , 5)$的双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】设$F$为双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点，$O$为坐标原点， 以$O F$为直径的圆与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$交于$P$，$Q$两点，若$|P Q|=|O F|$，则$C$的渐近线方程为?
【解析】根据双曲线的几何性质,圆的几何性质,得出其中的线段的关系|OP|^{2}+|PF|^{2}=|OF|,可得a^{2}=b^{2},可得出双曲线的渐近线的方程.由题意得下图:由双曲线C的性质得F(c,0).又以OF为直径的圆与圆x^{2}+y^{2}=a^{2}交于P,Q两点,且|PQ|=|OF|所以PQ为以OF为直径的圆的直径,OP=a,PF=OP所以|OP|^{2}+|PF|^{2}=|OF|,则a^{2}+a^{2}=c^{2},2a^{2}=c^{2},所以a^{2}=b^{2},所以C的渐近线方程为y=\pmx.均然安睛)本题:主要考查双曲线与圆的几何性质,关键在于由其几何性质得出线段的关系,并且与双曲线的a,b,c建立联系,属于中档题.
【题目】若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为$18$，一个焦点的坐标是$(3 , 0)$，则椭圆的标准方程为?
【解析】由题意得\begin{cases}2a+2b=18\\c=3\\\end{cases}解得\begin{cases}a=\frac{1}{5}\\b=4\end{cases}=b^{2}+c^{2}因为椭圆的焦点在x轴上所以椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
【题目】抛物线$x^{2}=4 y$的准线方程是?
【解析】
【题目】直线$2 x+y-10=0$过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为?
【解析】根据双曲线方程判断焦点的位置,结合题意即可求c,再由直线与渐近线垂直有\frac{b}{a}=\frac{1}{2},进而可求a^{2},b^{2},写出双曲线方程即可.由题意知:双曲线焦点在x轴上,所以其中一个焦点为(5,0),即c=5.又\because双曲线渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,而直线2x+y-10=0与一条渐近线垂直\therefore\frac{b}{a}=\frac{1}{2},a^{2}+b^{2}=c^{2}=25,可得a^{2}=20,b^{2}=5\therefore双曲线的方程为\frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{5}=1,

hbghlyj

【题目】设抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线为$l$. 则以$F$为圆心，且与$l$相切的圆的方程为?
【解析】由抛物线方程可得焦点坐标,即圆心,焦点到准线距离即半径,进而求得结果.[详解]抛物线y^{2}=4x中,2p=4,p=2,焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1以F为圆心且与|相切的圆的方程为(x-1)^{2}+y^{2}=2^{2},即为(x-1)^{2}+y^{2}=4.睛)本题主要考查抛物线的焦点坐标,抛物线的准线方程,直线与圆相切的充分必要条件等知识,意在下学生的转化能力和计管求解能力
【题目】若过点$P(-2 , 0)$作直线$l$与抛物线$y^{2}=8 x$仅有一个公共点，则直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,$F_{1}$,$F_{2}$分别是椭圆的左、右焦点，$A$是椭圆的下顶点，直线$A F_{2}$交椭圆于另一点$P$，若$|P F_{1}|=|P A|$，则椭圆的离心率为?
【解析】如图,点P在椭圆上,所以|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a.由|PF_{1}|=|PA|=|PF_{2}|+|AF_{2}|,|AF_{2}|=a代入上式得,|PF_{1}|=\frac{3a}{2},|PF_{2}|=\frac{a}{2}在\triangleAPF_{1},\cos\anglePAF_{1}=\frac{|AF_{1}|^{2}+|AP|^{2}-|P}{2|AF_{1}||AP|}\frac{2}{AP|}=\frac{a^{2}+(\frac{3a}{2})^{2}-(\frac{3a}{2})^{2}}{2a\times\frac{3a}{2}}=\frac{1}{3},又\cos\anglePAF_{1}=1-2\sin^{2}\angleOAF_{1}=\frac{1}{3},所以_{\sin\angleOAF_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{3},即\sin\angleOAF_{1}=\frac{c}{a}=e=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$长轴的端点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程为?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1的左右顶点为(\pm5,0),焦点为(\pm4,0)则所求双曲线的焦点在x轴,可设双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1则a=4,半焦距c=5,则b^{2}=9,所以双曲线方程为\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1.
【题目】在抛物线$y^{2}=2 p x$上，横坐标为$2$的点到抛物线焦点的距离为$3$，则$p$=?
【解析】
【题目】已知点$M(x, y)$在曲线$x^{2}+2 y^{2}=4$上运动，点$A$为$(8,2)$，则$M A$中点$P$的轨迹方程是?
【解析】设P(m,n),由于点P是MA中点,且点M(x,y),A(8,2).所以\begin{cases}m=\frac{x+8}{2}\\n=\frac{y+2}{2}\end{cases},所以\begin{cases}x=2m-8\\y=2n-2\end{cases},又点M(x,y)在曲线x^{2}+2y^{2}=4上所以(2m-8)^{2}+2(2n-2)^{2}=4,所以m^{2}+2n^{2}-8m-4n+18=0所以MA中点P的轨迹方程是x^{2}+2y2-8x-4y+17=0.
【题目】已知点$A$、$B$为椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左、右顶点，点$M$为$x$轴上一点，过$M$作$x$轴的垂线交椭圆$C$于$P$、$Q$两点，过$M$作$A P$的垂线交$B Q$于点$N$，则$\frac{S_\triangle{B M N}}{S_\triangle{B M Q}}$=?
【解析】如下图所示,设P(m,n),则M(m,0),Q(m,-n),由题设知m\neq\pm2且n\neq0,直线AP的斜率k_{AP}=\frac{n}{m+2},直线MN斜率k_{MN}=-\frac{m+2}{n}\therefore直线MN的方程为y=-\frac{m+2}{n}(x-m),直线BQ的方程为y=\frac{n}{2-m}(x-2).联立\begin{cases}y=-\frac{m+2}{n}(x-m)\\y=\frac{n}{2-m}(x-2)\end{cases}解得y_{N}=-\frac{n(4-m)}{4-m^{2}+n^{2}}又点P在椭圆C上,得4-m^{2}=4n^{2},\thereforey_{N}=-\frac{4}{5}n又S_{ABMN}=\frac{1}{2}|BM|\cdot|y_{N}|=\frac{2}{5}|BM|\cdot|n|,S_{ABMQ}=\frac{1}{2}|BM|\cdot|n|\therefore\frac{S_{ABMN}}{S_{ABMQ}}=\frac{4}{5}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{\lambda-2}-\frac{y^{2}}{\lambda-4}=1$的离心率$e=\frac{2}{\sqrt{3}}$，则其渐近线方程为?
【解析】由题意得:(\lambda-2)(\lambda-4)>0,解得:\lambda>4或\lambda<2,当\lambda>4时,c^{2}=\lambda-2+\lambda-4=2\lambda-6,则e=\frac{\sqrt{22-6}}{\sqrt{2-2}}=\frac{2}{\sqrt{3}},解得:\lambda=5,此时双曲线方程为:\frac{x2}{3}-y^{2}=1渐近线方程为:y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x^{;}当\lambda<2时,c^{2}=2-\lambda+4-\lambda=6-2\lambda,则e=\frac{\sqrt{6-2\lambda}}{\sqrt{4-\lambda}}=\frac{2}{\sqrt{3}}解得:\lambda=1,此时双曲线方程为:\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1'渐近线方程为:y=\pm\sqrt{3}x.
【题目】已知$A$、$B$是过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$焦点$F$的直线与抛物线的交点，$O$是坐标原点，满足$\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$, $S_{\triangle O A B}=\sqrt{3}|A B|$ ,则$p$的值为?
【解析】设焦点弦的倾斜角为\alpha,由抛物线焦点弦的焦半径公式可知:|AF|=\frac{p}{1-\cos\alpha},|BF|=\frac{p}{1+\cos\alpha}故:\frac{p}{1-\cos\alpha}=2\times\frac{p}{1+\cos\alpha},解得:\cos\alpha=\frac{1}{3},故\sin\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}设原点到直线AB的距离为h,则S_{\triangleOAB}=\sqrt{3}|AB|=\frac{1}{2}\times|AB|\timesh,\thereforeh=2\sqrt{2}由三角函数的定义可得:\sin\alpha=即\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{p},解得:p=3\sqrt{6}
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$的焦点到双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的渐近线的距离为?
【解析】y^{2}=8x焦点坐标是(2,0)双曲线\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1的一条渐近线方程是y=\frac{\sqrt{3}}{3}x'即\sqrt{3}3x-3y=0点(2,0)到直线\sqrt{3}x-3y=0的距离d=\frac{|2\sqrt{3}-0|}{\sqrt{3+9}}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=1.
【题目】抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$上的点到直线$y=x-5$的最短距离为$\sqrt{2}$，则正数$p$的值为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，$P$为右支上任意一点，若$\frac{|P F_{1}|^{2}}{|P F_{2}|^{2}+4 a^{2}}$的最大值为$2$，则双曲线$C$离心率的取值范围是?
【解析】根据双曲线的定义有|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,即|PF_{1}|=|PF_{2}|+2a令t=|PF_{2}|,则\frac{|PF_{1}|^{2}}{|PF_{2}|^{2}+4}=\frac{(t+2a)^{2}}{t^{2}+4a^{2}}=\frac{t^{2}+4at+4a^{2}}{t^{2}+4a^{2}}=1+\frac{4a}{t+\frac{4a^{2}}{t}}\leqslant2当且仅当t=2a时,\frac{|PF_{1}^{2}}{|PF_{1}^{2}+4a^{2}}取得最大值2,即2a\geqslantc-a,所以双曲线C离心率的取值范围是(1,3]
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线方程为$y=\pm x$，右顶点为点$(1,0)$. 若经过点$P(0,-1)$的直线与双曲线$C$的右支交于不同的两点$M$，$N$，则线段$M N$的中垂线$l$在$y$轴上截距$t$的取值范围是?
【解析】由题可知,双曲线方程为x^{2}-y^{2}=1.设直线方程为y=kx-1,联立\begin{cases}x^{2}-y^{2}=1\\y=kx-1\end{cases},消去y得(1-k^{2})x^{2}+2kx-2=0.由题可知此方程有两个正根,所以\frac{4=4k^{2}+8(1-k}{1-k^{2}}>0\frac{-2}{1-k^{2}>0}-k^{2})>0解得1<k<\sqrt{2}.MN的中点为(\frac{-k}{1-k^{2}},\frac{-1}{1-k^{2}}),所以线段MN的中垂线方程为y+\frac{1}{1-k^{2}}==-\frac{1}{k}(x+\frac{k}{1-k^{2}})令x=0,得截距t=\frac{-2}{1-12}=\frac{2}{12}>2效答客为:(2,+\infty)青】本题考查双曲线的标准方程和性质,双曲线和直线的位置关系,属于中档题
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左. 右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，若点$P$在双曲线上，$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$，则$|\overrightarrow{P F_{1}}+\overrightarrow{P F_{2}}|$=?
【解析】连接PO,则可得|\overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}|=2|\overrightarrow{PO}|=2c,从而可得正确自己连接PO,因为O为F_{1},F_{2}的中点,故\overrightarrow{PF}_{1}+\overrightarrow{PF_{2}}=2\overrightarrow{PO},所以|\overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}|=2|\overrightarrow{PO}|而\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0,故\trianglePF_{2}F_{1}是以P为直角顶点的直角三角形,故|\overrightarrow{PF_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}|=2|\overrightarrow{PO}|=2|\overrightarrow{F_{1}O}|=10
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$, $P(a, 0)$为$x$轴上一动点若存在以点$P$为圆心的圆$O$，使得椭圆$C$与圆$O$有四个不同的公共点，则$a$的取值范围是?
【解析】设椭圆上和圆的一个交点为Q(2\cos\theta,\sin\theta)则PQ^{2}=(2\cos\theta-a)^{2}+\sin^{2}\theta=3\cos^{2}\theta-4a\cos\theta+a^{2}+1=3(\cos\theta-\frac{2a}{3})^{2}-\frac{a^{2}}{3}+1根据题意PQ小于P到左右顶点的距离,即函数f(\theta)=3(\cos\theta-\frac{2a}{3})^{2}-\frac{a2}{3}+1的最小值不能取左右顶点处故-1<\frac{2a}{3}<1,即a\in(-\frac{3}{2},\frac{3}{2})
【题目】设$P$为曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$上一动点，$O$为坐标原点，$M$为线段$OP$的中点，则点$M$的轨迹方程是?
【解析】
【题目】已知点$F$是抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，点$B$在抛物线$C$上，$A(5,4)$，当$\triangle A B F$周长最小时，该三角形的面积为?
【解析】过点B作抛物线C的准线x=-1的垂线,垂足为点B_{1},因为周长L=|AF|+|AB|+|BF|=4\sqrt{2}+|AB|+|BB_{1}|,所以当A,B,B_{1}三点共线时AABF的周长最小,此时点B的坐标为(4,4),AABF的面积S=\frac{1}{2}\times1\times4=2.
【题目】已知点$A(-1,0)$, $B(1 , 0)$，若点$C(x , y)$满足$2 \sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=|x-4|$，则$|A C|+|B C|$=?
【解析】
【题目】已知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ , $A B$为椭圆过右焦点$F$的弦，则$|A F|+2|F B|$的最小值为?
【解析】结合椭圆第二定义,\frac{|AF|}{|AM|}=e,设AB倾斜角为\theta,可得|AM|=|CF|-|AF|\cdot\cos\theta,联立可得|AF|=\frac{1}{2+\sqrt{3}\cos\theta},同理得|BF|=\frac{1}{2-\sqrt{3}\cos\theta},则化简得|AF|+2|FB|=\frac{6+\sqrt{3}\cos\theta}{4-3\cos^{2}\theta},令t=\cos\theta,结合配方法和均值不等式即可求解四图所示,由\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1=c^{2}=4-1=3\Rightarrowc=\sqrt{3}由椭圆第二定义可得\frac{|AF|}{|AM|}=e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},\textcircled{1}又|AM|=|CF|-|AF|\cdot\cos\theta,即|AM|=\frac{a^{2}}{c}-c-|AF|s\theta=\frac{4\sqrt{3}}{3}-v联立\textcircled{1}\textcircled{2}解得|AF|=\frac{1}{2+\sqrt{3}\cos\theta},同理可行则|AF|+2|FB|=\frac{1}{2+\sqrt{3}\cos\theta}+\frac{}{2}=\frac{6+\sqrt{3}\cos\theta}{4-3\cos^{2}\theta}设t=\cos\theta,t\in[-1,1],则|AF|+2|FB|=\frac{6+\sqrt{3}t}{4-3t^{2}},t\in[-1,1],\frac{6+\sqrt{3}t}{4-3t^{2}}=\frac{6+\sqrt{3}t}{-(6+\sqrt{3}t)^{2}+12(6+\sqrt{3}t)-32}=\frac{1}{-(6+\sqrt{3}t)-\frac{32}{(6+\sqrt{3}t)}+1}\sqrt{3}t)\cdot\frac{32}{(6+\sqrt{3}t)}+=\frac{3+2\sqrt{2}}{4},当且仅当^{6+\sqrt{3}}=\frac{32}{6+\sqrt{3}t},即t=\frac{4\sqrt{6}-6\sqrt{3}}{3}取到等号,所以|AF|+2|FB|的最小值为\frac{3+2\sqrt{2}}{4}
【题目】若直线$a x-y+1=0$经过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点.则实数$a$=?
【解析】
【题目】已知点$A(-2,0)$, $B(2,0)$ , $C(3, \sqrt{11})$，动点$M$到$A$的距离比到$B$的距离多$2$，则动点$M$到$B$、$C$两点的距离之和的最小值为?
【解析】点A(-2,0),B(2,0),且动点M到A的距离比到B的距离多2所以|MA|-|MB|=2<|AB|=4,故动点M的轨迹为双曲线右侧一支,则动点M到B,C两点的距离之和|MB|+|MC|=|MA|+|MC|-2\geqslant|AC|-2=\sqrt{(3+2)^{2}+(\sqrt{11}-0)^{2}}-2=4当且仅当M,A,C三点共线时取等号,所以动点M到B,C两点的距离之和的最小值为4.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上到两个焦点距离之积最小的点的坐标是?
【解析】
【题目】过抛物线$M$: $y^{2}=8 x$的焦点$F$作两条斜率之积为$-2$的直线$l_{1}$ , $l_{2}$，其中$l_{1}$交$M$于$A$、$C$两点，$l_{2}$交$M$于$B$，$D$两点，则$|A C|+|B D|$的最小值为?
【解析】依题意可设y=k(x-2),代入y^{2}=8x,得k^{2}x^{2}-(4k^{2}+8)x+4k^{2}=0x_{A}+x_{C}=\frac{4k^{2}+8}{k^{2}}-\frac{8}{k^{2}},所以|AC|=x_{A}+x_{C}+p=8+\frac{8}{k^{2}},以-\frac{2}{k}代k,得BD=8+\frac{8}{(-\frac{2}{2})^{2}}=8+2k^{2}所以|AC|+|BD|=16+2k^{2}+\frac{k}{k^{2}}\geqslant16+2\sqrt{2k^{2}\cdot\frac{8}{k^{2}}}=24.
【题目】若双曲线的渐近线方程为$y=\pm 3 x$，它的一个焦点是$(\sqrt{10} , 0)$，则双曲线的方程是?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y=x^{2}$，则抛物线$C$准线方程为?
【解析】抛物线C:y=x^{2},即x^{2}=y,\thereforep=\frac{1}{2},开口向上,故准线方程为y=-\frac{1}{4}
【题目】已知以$y=\pm \sqrt{3} x$为渐近线的双曲线$D$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，若$P$为双曲线$D$右支上任意一点，则$\frac{|P F_{1}|-|P F_{2}|}{|P F_{1}|+|P F_{2}|}$的取值范围是?
【解析】双曲线D:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线为y=\pm\sqrt{3}x,则\frac{b}{a}=\sqrt{3},\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=2P为双曲线D右支上任意一点,则|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,|PF_{1}|+|PF_{2}|\geqslant|F_{1}F_{2}|=2C,因此0<\frac{|PF|-|PF_{2}|}{|PF_{1}|+|PF_{2}|}\leqslant\frac{2a}{2c}=\frac{1}{2},
【题目】曲线$y=-\sqrt{1-x^{2}}$与曲线$y+|a x|=0(a \in R)$的交点有?个
【解析】利用数形结合的思想方法,如图所示:由图可知,交点有2个
【题目】过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点，若$|A F|=6$，则$|A B|$=?
【解析】由题意,抛物线y^{2}=8x的焦点F(2,0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})根据抛物线的定义,可得|AF|=x_{1}+2=6,可得x_{1}=4,可得y_{1}=\pm4\sqrt{2}不妨设点A位于第一象限,可得A(4,4\sqrt{2})所以k_{AF}=2\sqrt{2},所以直线AB的方程为y=2\sqrt{2}(x-2).联立方程组\begin{cases}y=2\sqrt{2}(x-2)\\v2=8x\end{cases},整理得x^{2}-5x+4=0,可得x_{1}+x_{2}=5,由抛物线的定义,可得|AB|=x_{1}+x_{2}+p=5+4=9.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$以点$P(4,2)$为中点的弦的方程是?
【解析】
【题目】直线$y=x+1$被抛物线$y^{2}=-2 x$所截得的弦的中点的坐标为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$离心率?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦距为?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为?
【解析】\because双曲线的标准形式为:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1,\thereforec=2,双曲线的右焦点为F(2,0)\because抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点与双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的右焦点重合.\therefore\frac{p}{2}=2,可得p=4.
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，存在过左焦点$F$的直线与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，满足$\frac{A F}{B F}=2$，则椭圆$C$离心率的最小值是?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点若在双曲线左支上存在点$P$，满足$|P F_{1}|=|F_{1} F_{2}|$，且$F_{1}$到直线$P F_{2}$的距离为$\sqrt{7} a$，则该双曲线的离心率$e$=?
【解析】设F_{1}到直线PF_{2}的垂足为M,因为|PF_{1}|=|F_{1}F_{2}|=2c,所以M为|PF_{2}|的中点由题意可知|PF_{2}|=2|MF_{2}|=2\sqrt{F_{1}F_{2}2-MF_{1}^{2}}根据双曲线定义|PF_{2}|-|PF_{1}|=2a,所以|PF_{2}|=2a+2c化简可得3c^{2}-2ac-8a^{2}=0,整理得(3c+4a)(c-2a)=0因为e>1解得e=\frac{c}{a}=2
【题目】已知直线$l$过双曲线的左焦点$F$,且与以实轴为直径的圆相切,若直线$l$与双曲线的一条渐近线恰好平行，则该双曲线的离心率是?
【解析】
【题目】设直线$l$过双曲线$C$的一个焦点，且与$C$的实轴所在直线垂直，$l$与$C$交于$A$、$B$两点，若$|A B|$为$C$的虚轴长的$2$倍，则$C$的离心率为?
【解析】通径|AB|=\frac{2b^{2}}{a}=2\times2b,b=2a\thereforec=\sqrt{5}a,即e=\sqrt{5}
【题目】已知双曲线的中心在原点，焦点在$x$轴上，一条渐近线方程为$y=\frac{3}{4} x$，则该双曲线的离心率是?
【解析】设双曲线的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)\because一条渐近线方程为y=\frac{3}{4}x\therefore\frac{b}{a}=\frac{3}{4},\therefore\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{9}{16}\therefore该双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}
【题目】已知点$A(0,2)$，抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$，线段$F A$交抛物线于点$B$，过点$B$作准线$l$的垂线，垂足为$M$. 若$A M \perp M F$，则$p$=?
【解析】如图所示:又AM\botMF,所以点B为线段FA的中点,又因为点A(0,2),所以B(\frac{p}{4},1),又点B在抛物线上,所以1=2p\times\frac{p}{4}解得p=\sqrt{2}
【题目】设点$P$是圆$x^{2}+y^{2}=1$上任意一点，由点$P$向$x$轴作垂线$P P_{0}$，垂足为$P_{0}$,且$\overrightarrow{M P_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \overrightarrow{P P_{0}}$，求点$M$的轨迹$C$的方程?
【解析】设M(x,y),P(m,n),则由点P向x轴作垂线PP_{0},垂足为P_{0},且\overrightarrow{MP_{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{PP_{0}},故P_{0}(m,0),(m-x,-y)=\frac{\sqrt{3}}{2}(0,-n)\thereforem=x,n=\frac{2}{\sqrt{3}}y又点P在圆x^{2}+y2=1上\thereforex^{2}+\frac{4}{2}v2=1\thereforex^{2+\frac{y^{2}}{3}}=1
【题目】若曲线$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y|y|}{9}=1$和曲线$k x+y-3=0$有三个不同的交点，则$k$的取值范围是?
【解析】由题意可得,当y\geqslant0时,\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1,当y<0时,\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1,渐近线方程为y=\pm\frac{3}{2}x,如图所示,由\begin{cases}kx+y-3=0\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases}可得(9-4k^{2})x^{2}+24kx-72=0,\thereforeA=(24k)^{2}+288(9-4k^{2})=0,解得k=\pm\frac{3\sqrt{2}}{2},结合图象可得实数k的取值范围是
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的焦点到渐近线的距离等于?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，右顶点为 $A$，点$B$在椭圆上，且$B F \perp x$轴，直线$A B$交$y$轴于点$P$. 若 $\overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P B}$，则椭圆的离心率是?
【解析】
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的一个焦点为$F$，虚轴的一个端点为$B$，线段$B F$与双曲线的一条渐近线交于点$A$，若$\overrightarrow{F A}=2 \overrightarrow{A B}$，则双曲线的离心率为?
【解析】由\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB},得\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OF}+2\overrightarrow{OB}),从而求出A点坐标,再由点A在渐近线y=\frac{b}{a}x上,能求出双曲线的离心率.设点F(c,0),B(0,b)由\overrightarrow{FA}=2\overrightarrow{AB},得\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OF}=2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\therefore\overrightarrow{OA}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OF}+2\overrightarrow{OB}),\thereforeA(\frac{c}{3},\frac{2b}{3})\because点A在渐近线y=\frac{b}{a}x上,则\frac{2b}{3}=\frac{b}{a}\times\frac{c}{3}.解得e=\frac{c}{a}=2.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{F A}=2 \overrightarrow{B F}$，则直线$A B$的斜率为?
【解析】\because抛物线C:y^{2}=4x焦点F(1,0),准线x=-1,则直线AB的方程为y=k(x-1)联立方程\begin{cases}y=k(x-1)\\y^{2}=4x\end{cases}可得k^{2}x^{2}\cdot2(2+k^{2})x+k^{2}=0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=\frac{2(2+k^{2})}{k^{2}},x_{1}\cdotx_{2}=1,y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2}-2)=\frac{4}{k}\textcircled{1}\therefore\overrightarrow{FA}=(1-x_{1},-y_{1}),\overrightarrow{BF}x_{1},-y_{1}),\overrightarrow{BF}=(x_{2}-1,y_{2})即\begin{cases}1-x_{1}=2(x_{2}-1)\\y_{1}=-2y_{2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{1}=3-2x_{2}\\y_{1}=-2y_{2}\end{cases}\textcircled{1}\textcircled{2}联立可得,x_{2}=\frac{k^{2}-4}{\iota^{2}},=.\frac{4}{k},代入抛物线方程y^{2}=4x可得k^{2}=8\becausek=\pm2\sqrt{2}
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的渐近线方程为$y=\pm \frac{3}{2} x$，则双曲线的离心率$e$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{3}{2}x所以,双曲线的焦点在x轴上,且\frac{b}{a}=\frac{3}{2}所以,双曲线的离心率e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
【题目】已知抛物线$y=a x^{2}$的准线方程是$y=-\frac{1}{4}$，则$a$=?
【解析】将抛物线的方程化为标准方程,结合准线方程即可求得a的值.[详解]因为抛物线y=ax^{2}化为标准方程可得x^{2}=\frac{1}{a}y,可得p=\frac{1}{2a},所以准线方程为y=-\frac{1}{4a}即-\frac{1}{4a}=-\frac{1}{4}解得a=
【题目】$AB$是过抛物线$y^{2}=4 x$焦点的一条弦，已知$AB=20$，则直线$AB$的方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{m}=1$的渐近线方程为$y=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$，则$m$=?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$，$F_{2}$为椭圆$E$的两个左右焦点，抛物线$C$以$F_{1}$为顶点，$F_{2}$为焦点，设$P$为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率$e$满足$|PF_{1}|=e|PF_{2}|$，则$e$的值为?
【解析】
【题目】已知抛物线的顶点是双曲线$16 x^{2}-9 y^{2}=144$的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的方程为?
【解析】因为双曲线为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1,左顶点为(-3,0),所以抛物线的焦点为(-3,0),所以抛物线的方程为y2=-12x
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，直线$2 x+y+1=0$与$x$轴交于点$Q$、$P$为抛物线上的一个动点，则$\frac{|P Q|}{|P F|}$的最大值为?
【解析】首先根据两点间距离公式可得\frac{|PQ|}{|PF|}=\frac{\sqrt{(x+\frac{1}{x+1})^{2}+y^{2}}{}=\frac{\sqrt{x^{2}+5x+\frac{1}{4}}}(x\geqslant0)^{,}{}{-\frac{115}{4t^{2}}+\frac{3}{t}+1},再通过\frac{1}{1}=u可得\frac{|PQ|}{|PF|}=\sqrt{-\frac{15}{4}(u-\frac{2}{5})^{2}+\frac{8}{5},}即可求得最大值.由题意知点F(1,0),Q(-\frac{1}{2},0),设点P(x,y),则|PF|=x+1,所以\frac{|PQ|}{|PF|}=\underline{\sqrt{(}}\frac{+x+\frac{1}{4}+4x}{x+1}=\frac{\sqrt{x^{2}+5x+\frac{1}{4}}}{x+1}(x\geqslant0令x+=t(t\geqslant1),则x=t-1,所以\frac{|PQ|}{|PF|}=\frac{\sqrt{(t-}}{}\frac{-1)+\frac{1}{4}}{t}=\frac{\sqrt{t^{2}+3t-\frac{15}{4}}}{t}=\sqrt{-\frac{15}{4t^{2}}+\frac{3}{t}+1}.令\frac{1}{t}=u,则0<u\leqslant1,所以\frac{|PQ|}{|PF|}=\sqrt{-\frac{15}{4}u^{2}+3u+1}=\sqrt{-\frac{15}{4}(u-\frac{2}{5})^{2}+\frac{8}{5}}所以当u=\frac{2}{5}即x=\frac{3}{2}时,(\frac{|PQ|}{|PF|})_{\max}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}
【题目】若动点$P$到点$F(2 , 0)$的距离与它到直线$x+2=0$的距离相等，则点$P$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，以$F$为圆心，以$a$为半径的圆与双曲线$C$的一条渐近线交于$A$、$B$两点.若$\overrightarrow{O A}=2 \overrightarrow{O B}$($O$为坐标原点)，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】过F作FE\botAB,利用点到直线距离可求出|FE|=b,再根据勾股定理可得|OE|=a|BE|=\sqrt{a^{2}-b^{2}},由\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB}可得|OE|=3|BE|,即可建立关系求解如图,过F作FE\botAB,则E是AB中点,设渐近线为y=\frac{b}{a}x,则|FE|=\frac{|bc|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b则在直角三角形OEF中,|OE|=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=a在直角三角形BEF中,|BE|=\sqrt{a^{2}-b^{2}},\because\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OB},则|OE|=3|BE|,即a=3\sqrt{a^{2}-b^{2}},即8a^{2}=9b^{2}则8a^{2}=9(c^{2}-a^{2}),即17a^{2}=9c^{2},\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{17}}{3}
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，点$A$为$C$上的一点，若$|F A|=8$，则直线$F A$的倾斜角为?
【解析】由抛物线方程知:F(2,0)设A(x_{0},y_{0}),则|FA|=x_{0}+2=8,解得:x_{0}=6\thereforey_{0}^{2}=48,解得:y_{0}=\pm4\sqrt{3}\therefore直线FA的斜率为\frac{4\sqrt{3}-0}{6-2}=\sqrt{3}或\frac{-4\sqrt{3}-0}{6-2}=-\sqrt{3}\because直线倾斜角范围为[0,\pi)\therefore直线FA的倾斜角为\frac{\pi}{3}或\frac{2\pi}{3}
【题目】设抛物线$C$:$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$M$在$C$上，$|MF|=5$，若以$MF$为直径的圆过点$(0,2)$，则$C$的方程为?
【解析】
【题目】设$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$是抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$上不同的两点，线段$A B$的垂直平分线为$y=x+b$，若$x_{1}+x_{2}=-\frac{1}{2}$，则$p$=?
【解析】根据线段AB的垂直平分线方程可得出直线AB的斜率,由此利用点差法可得出关于p的等式,进而可求得实数p的值.[详解]由题知,x_{1}^{2}=2py_{1},x_{2}^{2}=2py_{2},两式相减得(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=2p(y_{1}-y_{2})所以\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2p}=k_{AB},由题知k_{AB}=-1,所以x_{1}+x_{2}=-2p=-\frac{1}{2},所以p=\frac{1}{4}
【题目】已知点$(1,2)$是双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$渐近线上一点，则其离心率是?
【解析】因为点(1,2)是双曲线\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)渐近线上一点所以,渐近线方程为y=2x,所以\frac{a}{b}=2,因此,e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$A$在$y$轴上，线段$A F$的中点$B$在抛物线上，则$|A F|$=?
【解析】由题意,抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0),点A在y轴上,线段AF的中点B在抛物线上由题中点公式,可得B的横坐标为x=\frac{1}{2},则B点纵坐标为y=\pm\sqrt{2},所以A(0,\pm2\sqrt{2}),则|AF|=\sqrt{1^{2}+(\pm2\sqrt{2})^{2}}=3
【题目】已知椭圆$C$的离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且它的焦点与双曲线$x^{2}-2 y^{2}=4$的焦点重合，则椭圆$C$的方程为?
【解析】
【题目】抛物线$y=-\frac{1}{4} x^{2}$上的动点$M$到两定点$(0,-1)$、$(1,-3)$的距离之和的最小值为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点，双曲线的其中一条渐近线方程为$y=\sqrt{3} x$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$m x^{2}+y^{2}=81$的虚轴长是实轴长的$2$倍，则$m$=?
【解析】根据虚轴长是实轴长的2倍列方程,由此求得m的值.[详解]双曲线mx^{2}+y^{2}=81可化为\frac{y^{2}}{81}-\frac{x^{2}}{\frac{81}{m}}=1,a=9,b=\sqrt{\frac{81}{m}}虚轴长是实轴长的2倍,所以2b=2\times2a,b=2a,\sqrt{\frac{81}{m}}=2\times9\Rightarrowm=-\frac{1}{4}
【题目】已知点$P$是抛物线$y^{2}=4 x$的动点，$A(1 , 0)$, $B(4 , 2)$，则$|PA|+|PB|$的最小值是?
【解析】
【题目】若抛物线$y=a x^{2}$的焦点到准线的距离为$2$，则实数$a$=?
【解析】抛物线y=ax^{2},即x^{2}=\frac{1}{a}y'\therefore2p=\pm\frac{1}{a}(p>0),\therefore当a>0时,p=\frac{1}{2a},当a<0时,p=-\frac{1}{2a}\because焦点到准线的距离为2,\therefore\frac{1}{2a}=2或-\frac{1}{2a}=2,解得a=\pm\frac{1}{4},故答客为:
【题目】直线$l$: $y=k x+1$与双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=1$有且只有一个公共点，则$k$=?
【解析】
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点$F$作渐近线的垂线$l$，垂足为$M$ , $l$与$y$轴交于点$P$，若$\overrightarrow{F M}=\lambda \overrightarrow{M P}$，且双曲线的离心率为$\sqrt{3}$，则$\lambda$的值为?
【解析】由双曲线离心率为\sqrt{3},求出渐近线方程,由右焦点F和直线l和渐近线垂直,设直线方程,求出|FM|和|FP|,再由\overrightarrow{FM}=\lambda\overrightarrow{MP},得到\frac{|FM|}{|FP|}=\frac{\lambda}{\lambda+1},从而求解出\lambda.由题意,双曲线的离心率为\sqrt{3},即\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{3},解得\frac{b}{a}=\sqrt{2}设双曲线的一条渐近线方程为:y=\sqrt{2}x.双曲线右焦点F(c,0),又直线l与渐近线垂直.所以设直当x=|FM|=\frac{|\sqrt[c]{2}+(\frac{\sqrt{2}}{2}c})|=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1}=\frac{\sqrt{6}}{3}c,由\overrightarrow{FM}=\lambda\overrightarrow{MP},得\frac{|FM|}{|FP|}=\frac{2}{2+1}=\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{6}}{6}}c=\frac{2}{3},解得\lambda=2
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$，过点$F$作圆$x^{2}+y^{2}=b^{2}$的切线，若两条切线互相垂直，则$\frac{a}{b}$=?
【解析】设切点为A,B,根据已知两切线垂直.\therefore四边形OBFA是正方形,|OF|=c,|OA|=b\frac{c}{b}=\sqrt{2},根据a^{2}=b^{2}+c^{2}可得\frac{a}{b}=\sqrt{3}故填:\sqrt{3}
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，动点$P$在抛物线$C$上，点$A(-1,0)$，当$\frac{|P A|}{|P F|}$取得最大值时，直线$A P$的方程为?
【解析】设点P点的坐标为(4t^{2},4t),因为F(1,0),A(-1,0),所以|PF|^{2}=(4t^{2}-1)^{2}+16t^{2}=16t^{4}+8t^{2}+1|PA|^{2}=(4t^{2}+1)^{2}+16t^{2}=16t^{4}+24t^{2}+1,所以(\frac{|PA|}{|PF|})^{2}=\frac{16t^{4}+8t^{2}+1}{16t^{4}+24t^{2}+1}=1-\frac{16}{16t^{2}+\frac{1}{2}+24}\geqslant1-\frac{16}{2\sqrt{16t^{2}.\frac{1}{12}}+24}=1-\frac{16}{40}=\frac{3}{5}当且仅当16t^{2}=\frac{1}{12},即t=\pm\frac{1}{2}时取等号,此时点P的坐标为(1,2)和(1,-2)此时直线AP的方程为y=\pm(x+1),即x+y+1=0或x-y+1=0
【题目】与双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 有共同的渐近线，且过点 $(2 , 2)$ 的双曲线的标准方程为？
【解析】
【题目】若焦点在$X$轴上的双曲线，它与$X$轴的一个交点是$(2 , 0) $,一条渐近线方程为$y=-\frac{\sqrt{3}}{2} x$,则双曲线的焦点坐标是?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$的方程为$y^{2}=2 p x(p>0)$，直线$l$过抛物线的焦点$F$，与抛物线交于$A$、$B$两点，且$|A F|=3|B F|$，则直线$l$的倾斜角为?
【解析】设抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线为l':x=-\frac{p}{2}如图所示,\textcircled{1}当直线AB的倾斜角为锐角时分别过点A,B作AM\botl',BN\botl',垂足为M,N过点B作BC\botAM交于点C.则|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.\cdots|AM\begin{matrix}AF|&3|BF|\\AM-|BN=|AC|&|AF|-|BF|\end{matrix}=\frac{1}{2}|AB|在Rt\triangleABC中,由|AC|=\frac{1}{2}|AB|,可得\angleBAC=\frac{\pi}{3}\becauseAM//x轴,\therefore\angleBAC=\angleAFx=\frac{\pi}{2}\thereforek_{AB}=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}.\textcircled{2}当直线AB的倾斜角为钝角时,可得直线的倾斜角为\frac{2\pi}{3}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$，过点$M(2 p , 0)$的直线与抛物线相交于$A$, $B$, $\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow {O B}$=?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{11}=1$的离心率是?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{11}=1,a=5,b=\sqrt{11},\thereforec=6,\therefore双曲线\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{11}=1的离心率,e=\frac{c}{a}=\frac{6}{5},
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线经过点$(1,2)$，则该双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】若直线$2 x+y+4=0$经过抛物线$y^{2}=a x$的焦点，则实数$a$=?
【解析】由抛物线y^{2}=ax的焦点在x轴上,又直线2x+y+4=0与x轴的交点为(-2,0)所以抛物线y^{2}=ax的焦点为(-2,0)又抛物线y^{2}=ax的焦点为(\frac{a}{4},0)所以\frac{a}{4}=-2,则a=-8.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点为$M$，上顶点为$N$，右焦点为$F$，若$\overrightarrow{N M} \cdot \overrightarrow{N F}=0$，则椭圆的离心率为?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的左顶点为M(-a,0),上顶点为N(0,b),右焦点为F(c,0),若\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NF}=0,可知(-a,-b)\cdot(c,-b)=b^{2}-ac=0,又a^{2}=b^{2}+c^{2},所以a^{2}-c^{2}=ac,即e^{2}+e-1=0,解得e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
【题目】若双曲线的离心率为$2$，则该双曲线的标准方程可能是?
【解析】由离心率e=2=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}},得3a^{2}=b^{2}所以该双曲线的标准方程可能是x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，如果椭圆$C$上存在一点$P$，使得$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$，且$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积等于$4$，则$a b$的取值范围为?
【解析】设P(x,y),F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)因为椭圆C上存在一点P,使得\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF}_{2}=0,所以\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF}=x^{2}+y^{2}-c^{2}=0,即x^{2}+y^{2}=c^{2}可得c\geqslantb,因为\trianglePF_{1}F_{2}的面积等于4,所以\frac{1}{2}\cdot2c\cdoty_{P}=4,即y_{P}=\frac{4}{c}椭圆与圆联立\begin{cases}x^{2}+y^{2}=c^{2}\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases},得y_{P}=\frac{b^{2}}{c}所以b^{2}=4,即b=2,因为c\geqslantb,a^{2}=b^{2}+c^{2},所以a^{2}>2b^{2}=8,即a>2\sqrt{2}所以ab>4\sqrt{2}
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，斜率为$k$的直线$l$过$F_{1}$，且与椭圆$C$的交点为$A$ , $B$, 与$y$轴的交点为$M$、$B$为线段$M F_{1}$的中点. 若$|k| \leq \frac{\sqrt{14}}{2}$ , 则椭圆$C$的离心率$e$的取值范围为?
【解析】设直线l的方程为y=k(x+c),则M(0,kc),B(-\frac{c}{2},\frac{kc}{2}).又B在椭圆C上\therefore\frac{c^{2}}{4a^{2}}+\frac{k^{2}c^{2}}{4b^{2}}=1,即\frac{c^{2}}{4a^{2}}+\frac{k^{2}c^{2}}{4(a^{2}-c^{2})}=1,变形得e^{2}+\frac{k^{2}e^{2}}{1-e^{2}}=4,于是k^{2}=\frac{(4-e^{2})(1-e^{2})}{e^{2}}\leqslant\frac{7}{2}\therefore2e^{4}-17e^{2}+8\leqslant0,解得\frac{1}{2}\leqslante^{2}\leqslant8.又e^{2}<1,\therefore\frac{1}{2}\leqslante^{2}<1,从而得\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslante<1^{-}的椭圆C的离心率e的取值范围为\frac{\sqrt{2}}{2},1
【题目】已知椭圆的两焦点为$F_{1}(-1,0)$, $F_{2}(1,0)$, $P$为椭圆上第二象限一点, 且$2|F_{1} F_{2}|=|P F_{1}|+|P F_{2}|$,$\angle F_{2} F_{1} P=120^{\circ}$, 则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】根据题意c=1,由2|F_{1}F_{2}|=|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,a=2c=2,故b=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},设|PF_{1}|=x,|PF_{2}|=4-x,\cos120^{\circ}=\frac{x^{2}+4-(4-x)^{2}}{2\cdotx\cdot2},得x=1.2,故|PH|=1.2\sin60^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{5},所以s=c|PH|=|PH|=\frac{3\sqrt{3}}{5}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{1+k}+\frac{y^{2}}{1-k}=1$表示双曲线，则实数$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】方程$\frac{x^{2}}{k-4}+\frac{y^{2}}{10-k}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆，则实数$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与直线$l$: $2 x+y-3=0$平行，则双曲线$C$的离心率是?
【解析】由题意可得双曲线C的一条渐近线方程为y=-\frac{b}{a}x,则-\frac{b}{a}=-2,即\frac{b}{a}=2则e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}},故双曲线C的离心率e=\sqrt{\frac{b^{2}}{a2}+1}=\sqrt{5}.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点,则$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$=?
【解析】由题意知,抛物线y^{2}=4x的焦点坐标为(1,0)\therefore直线AB的方程为y=k(x-1)由\begin{cases}y24x\\y\end{cases}(x-1)得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=\frac{k^{2}+4}{k^{2}},x_{1}\cdotx_{2}=1,y_{1}\cdoty_{2}=k(x_{1}^{\pi}-1)\cdotk(x_{2}-1)=k^{2}[x_{1}\cdot\lambda2-(x_{1}+x_{2})+1].\therefore\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}\cdotx_{2}+y_{1}\cdoty_{2}=1+k^{2}(2-\frac{2k^{2}+4}{k^{2}})=-3
【题目】设抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线为$l$. 过焦点的直线交抛物线于$A$、$B$两点，分别过$A$、$B$作$l$的垂线，垂足$C$，$D$. 若$|A F|=2|B F|$，则三角形$C D F$的面积为?
【解析】如图所示:抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0),准线l为3设l所在直线方程为y=k(x-1),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立\begin{cases}y=k(x-1)\\y2=4x\end{cases},得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,\thereforex_{1}x_{2}=1\textcircled{1},\because|AF|=2|BF|\thereforex_{1}+1=2(x_{2}+1),\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}解得x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{2},\thereforey=2\sqrt{2},y=-\sqrt{2},\therefore|CD|=y_{1}-y_{2}=3\sqrt{2}\because|FG|=1+1=2,\thereforeS_{ACDE}=\frac{1}{2}\times|CD|\times|FG|=\frac{1}{3}\times3\sqrt{2}\times2=3\sqrt{2}故答家为2,下
【题目】设$P$为直线$y=\frac{b}{3 a} x$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0 , b>0)$左支的交点，$F_{1}$是左焦点，$P F_{1}$垂直于$x$轴，则双曲线的离心率$e$=?
【解析】
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$右焦点$F$的直线交两渐近线于$A$、$B$两点，$\angle O A B=90^{\circ}$，$O$为坐标原点，且$\triangle O A B$内切圆半径为$\frac{a}{3}$，则双曲线的离心率为?
【解析】设内切圆圆心为M,过M作MN\botOA于N、MT\botAB于T,易知MTAN为正方形,进而可得|MN|=\frac{1}{3}a、|NO|=\frac{2}{3}a,结合\tan\angleAOF=\frac{|MN|}{|NO|}=\frac{b}{a}可得双曲线参数的齐次式,即可求双曲线的离心率.设内切圆圆心为M,则M在\angleAOB平分线Ox上,过点M分别作MN\botOA于N,MT\botAB于T由FA\botOA得:四边形MTAN为正方形由焦点到渐近线的距离为b得:FA=b,又OF=c,\thereforeOA=a,则|NA|=|MN|=\frac{1}{3}a,则|NO|=\frac{2}{3}a,
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $5 x^{2}-4 y^{2}=m^{2}$的左、右焦点，过$F_{2}$的直线$l$与双曲线$C$的右支交于$A$、$B$两点，且满足$S_{\triangle B F_{1} F_{2}}=14 S_{\triangle A O F_{1}}$ （$O$是坐标原点），则直线$l$的斜率为?
【解析】\_如图,设A在x轴上方,因为O为F_{1},F_{2}的中点,所以S_{\triangleBF_{1}F_{2}}=14S_{\triangleAOF}等价于BF_{2}=7AF_{2}5x^{2}-4y^{2}=m^{2}即\frac{x^{2}}{\frac{m^{2}}{5}}-\frac{y^{2}}{\frac{m^{2}}{4}}=1即a^{2}=\frac{m^{2}}{5},b^{2}=\frac{m^{2}}{4},e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{3}{2}AF_{2}=x,则AF_{1}=2a+x,直线l的倾斜角为\theta\triangleAF_{1}F_{2}中,由余弦定理得(2a+x)^{2}=x^{2}+(2c)^{2}-2\times2c\cdotx\cdot\cos(\pi-\theta)b^{2}=(a-c\cdot\cos\theta)x所以x=\frac{b^{2}}{a-c\cos\theta}同理设BF_{2}=y,在\triangleBF_{1}F_{2}中可求得y=\frac{b^{2}}{a+c\cos\theta}所以\frac{y}{x}=\frac{a-c\cos\theta}{a+c\cos\theta}=\frac{1-e\cos\theta}{1+e\cos\theta}=7因为e=\frac{3}{2},代入解得\cos\theta=-\frac{1}{2},所以\theta=\frac{2\pi}{3},即\tan\theta=-\sqrt{3},即k=-\sqrt{3}由于对称性,A也可以在x轴下方,所以斜率为\pm\sqrt{3}
【题目】椭圆与双曲线共焦点$F_{1}$ , $F_{2}$ ,它们的交点为$P$，且$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，若椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则双曲线的离心率为?
【解析】设点P为第一象限内的点,设椭圆与双曲线的焦点都在x轴上,设椭圆的长轴长为2a_{1},双曲线的实轴长为2a_{2},两曲线的焦距为2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e_{1},e_{2},利用余弦定理、椭圆和双曲线的定义可得出a_{1}^{2}+3a_{2}^{2}=4c^{2},进而可得出\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{3}{e_{2}^{2}}=4,结合e_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}可求得e_{2}的值,即可得解设椭圆与双曲线的焦点都在x轴上,设椭圆的长轴长为2a_{1},双曲线的实轴长为2a_{2},两曲线的焦距为2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e_{1},e_{2}.联立\textcircled{1}\textcircled{2}解得,|PF_{1}|=a_{1}+a_{2},|PF_{2}|=a_{1}-a_{2}在\trianglePF_{1}F_{2}中由余弦定理得:(2c)^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos\frac{\pi}{3}即4c^{2}=(a_{1}+a_{2})^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}-2(a_{1}+a_{2})(a_{1}-a_{2})\cdot\frac{1}{2}}即4c^{2}=2(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})-(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})=a_{1}^{2}+3a_{2}^{2},即4=\frac{a_{1}^{2}}{c^{2}}+\frac{3a_{2}}{c^{2}},所以,\frac即4c^{2}=(a_{1}+a_{2})^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}-2(a_{1}+a_{2})(a_{1}-a_{2}).因为椭圆的离心率e_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2},所以双曲线的离心率e_{2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}
【题目】已知直线$l$过点$A(1,3)$, 且直线$l$与曲线$y=2 x^{2}$交于$M$、$N$两点. 若$A$点恰好是$M$、$N$的中点，则直线$l$的方程是?
【解析】
【题目】若双曲线经过点$k(3 ,-\sqrt{2})$，且渐近线方程是$y=\pm \frac{1}{3} x$，则这条双曲线的方程是?
【解析】
【题目】设双曲线与椭圆$\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1$有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为$(\sqrt{15} , 4)$，则此双曲线的方程为?
【解析】因为椭圆\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1的焦点为(0,3)或(0,-3),所以设双曲线的方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),由题意得\begin{cases}\frac{16}{a^{2}}-\frac{15}{b^{2}}=1\\a2+b^{2}=9\end{cases},解得\begin{cases}a=2\\b=\sqrt{5}\end{cases},所以\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1
【题目】双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的渐近线方程是?
【解析】令x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=0,解得:y=\pm\sqrt{3}x即双曲线C:x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的渐近线方程是y=\pm\sqrt{3}x
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为双曲线上一点，$P F_{1}=3$，则$P F_{2}$=?
【解析】由方程可知a^{2}=4\therefore2a=4\therefore|PF_{1}-PF_{2}|=2a=4\thereforePF_{2}=7
【题目】抛物线$x^{2}=4 y$的焦点为$F$，经过其准线与$y$轴的交点$Q$的直线与抛物线切于点$P$，则$\Delta F P Q$外接圆的标准方程为?
【解析】由题意F(0,1),设P(x_{0},\frac{1}{4}x_{0}^{2}),因为y=\frac{1}{2}x,所以切线方程为y-\frac{1}{4}x_{0}^{2}=\frac{1}{2}x_{0}(x-x_{0})代入(0,-1)得x_{0}=\pm2,所以P(2,1)或P(-2,1),从而PF\botFQ,所以AFPQ外接圆以PQ为直径,所以(x-1)^{2}+y2=2或(x+1)^{2}+y2=2.
【题目】如果直线$l$过定点$M(1 , 2)$且与抛物线$y=2 x^{2}$有且仅有一个公共点，那么直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$, $F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$的两个焦点，点$P$在椭圆上，若线段$PF_{1}$的中点在$y$轴上，则$|PF_{1}|$=?
【解析】由条件得F_{1}(-\sqrt{2},0),F_{2}(\sqrt{2},0),设PF_{1}的中点为M,由题意得MO/\!/PF_{2},因此PF_{2}\botx轴在方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1中,令x=\sqrt{2},可得y^{2}=1,\therefore|PF_{2}|=1.\therefore|PF_{1}|=4-|PF_{2}|=3.答案:3
【题目】双曲线$4 x^{2}-9 y^{2}=36$上一点$P$到右焦点的距离为$3$, 则$P$到左准线的距离为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1(a_{1}>0, b_{1}>0)$有相同的焦点$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$是两条曲线的一个交点，$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{2}$，椭圆的离心率为$e_{1}$，双曲线的离心率为$e_{2}$，$e_{1} e_{2}=2$，则$e_{1}^{2}+e_{2}^{2}$=?
【解析】设PF_{1}=s,PF_{2}=t,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线的定义可得s-t=2a_{1},利用勾股定理和离心率公式得到4=\frac{2}{e_{1}}+\frac{2}{e_{2}},化简计算即可得出结论.不妨设P在第一象限,再设PF_{1}=s,PF_{2}=t,由椭圆的定义可得s+t=2a,由双曲线的定义可得s\cdott=2a_{1},解得s=a+a_{1},t=a\cdota_{1}由\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{2},在三角形F_{1}PF_{2}中,利用勾股定理可得4c^{2}=s^{2}+t^{2}=(a+a_{1})^{2}+(a-a_{1})^{2}=2a^{2}+2a_{1}2\therefore4=\frac{2}{e_{1}^{2}}+\frac{2}{e_{2}^{2}},化简\frac{1}{e_{1}2}+\frac{1}{2_{2}}=\frac{2}{e_{2}e_{2}2}=2,又由e_{1}e_{2}=2所以e_{1}2+e_{2}^{2}=2e_{1}2e_{2}^{2}=8.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的渐近线与圆$(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=1$相切，则此双曲线的离心率为?
【解析】因为双曲线的渐近线是y=\pm\frac{b}{a}x,所以圆心C(\sqrt{2},0)到渐近线的距离d=\frac{|\sqrt{2}b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{2}b}{c}=1,即2b^{2}=c^{2}\Rightarrow2c^{2}-2a^{2}=c^{2},解之得e=\sqrt{2},应填答案\sqrt{2}
【题目】抛物线$x^{2}=4 ay(a \neq 0)$的准线方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y=x^{2}-1$上一定点$B(-1 , 0)$和两个动点$P$、$Q$，当$P$在抛物线上运动时，$B P \perp PQ$，则$Q$点的横坐标的取值范围是?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$的渐近线方程为?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1的渐近线方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=0,化简得y=\pm\sqrt{3}x
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点为$F_{1}$，过点$F_{1}$作斜率为$\sqrt{2}$的直线与$y$轴及双曲线的右支分别交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{F_{1} A}=\overrightarrow{A B}$，则双曲线的离心率为?
【解析】设双曲线的右焦点为F_{2},连接BF_{2},|F_{1}A|=|AB|,可得A为F_{1}B的中点.即有BF_{2}\botx轴,由题意可得\tan\angleBF_{1}F_{2}=\frac{BF_{2}}{F_{2}F_{1}}=\sqrt{2},即有|BF_{2}|=2\sqrt{2}c可得|BF_{1}|=\sqrt{8c^{2}+}4c^{2}=2\sqrt{3}c,由双曲线的定义可得|BF_{1}|-BF_{2}|=2\sqrt{3}c-2\sqrt{2}c=2a.\frac{1}{3}-\sqrt{2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的一条渐近线方程为$3 x+2 y=0$，则双曲线$C$的焦距为?
【解析】因为双曲线的渐近线方程为bx\pm2y=0,结合已知条件可得b=3,故焦距为2c=2\sqrt{a^{2+b^{2}}=2\sqrt{3^{2}+4}=2\sqrt{13}
【题目】直线$y=x-1$被抛物线$y^{2}=4 x$截得线段长是?
【解析】设直线y=x-1交抛物线y^{2}=4x于点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0),而直线y=x-1过点F联立\begin{cases}y=x-1\\y2=4x\end{cases},消去y可得x^{2}-6x+1=0,4=36-4>0,所以,x_{1}+x_{2}=6,由抛物线的焦点弦长公式可得|AB|=x_{1}+x_{2}+2=8
【题目】以$F_{1}(-3 , 0)$ , $F_{2}(3 , 0)$为焦点，渐近线方程为$y=\pm \sqrt{2} x$的双曲线的标准方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{8}=1$，左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{2}$作一直线与双曲线$C$的右半支交于$P$、$Q$两点，使得$\angle F_{1} PQ=90^{\circ}$，则$\triangle F_{1} PQ$的内切圆的半径$r$=?
【解析】由双曲线的性质知,F_{1}F_{2}=2\sqrt{17},PF_{1}-PF_{2}=QF_{1}-QF_{2}=6,因\angleF_{1}PQ=90^{\circ},故PF_{1}^{2}+PF_{2}2=F_{1}F_{2},因此PF_{1}+PF_{2}=\sqrt{2(PF_{1}2+PF_{2}2)^{2}-(PF_{1}-PF_{2})^{2}}=\sqrt{2\times4\times17-6^{2}}=10,从而直角三角形AF_{1}PQ的内切圆半径是r=\frac{1}{2}(F_{1}P+PQ-F_{1}Q)=\frac{1}{2}(F_{1}P+PF_{2})-\frac{1}{2}(QF_{1}-QF_{2})=5-3=2,故填2.
【题目】以双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的右焦点为焦点的抛物线标准方程为?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=a y(a>0)$的焦点到准线的距离为$\frac{5}{2}$，则$a$的值为?
【解析】先求得抛物线的焦点坐标和准线方程,然后根据抛物焦点到准线的距离为p求解抛物线x^{2}=ay(a>0)的焦点为(0,\frac{a}{4}),准线方程为:y=-\frac{a}{4}因为抛物线x^{2}=ay(a>0)的焦点到准线的距离为\frac{5}{2}所以\frac{a}{4}\times2=\frac{5}{2},解得a=5,
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{16 y^{2}}{p^{2}}=1$的左焦点在抛物线$y^{2}=2 p x$的准线上，则$p$的值为?
【解析】先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标,再由抛物线的方程表示出准线方程,最后根据双曲线\frac{x^{2}}{3}-\frac{16y^{2}}{p^{2}}=1的左焦点在抛物线y^{2}=2px的准线上可得到关系式-\sqrt{3+\frac{p^{2}}{16}}=-\frac{p}{2},求出p的值羊解]双曲线的左焦点坐标为:(-\sqrt{3+\frac{p^{2}}{16}},0),抛物线y^{2}=2px的准线方程为x=-\frac{p}{2},inastarrow-\sqrt{3+\frac{p^{2}}{16}}=-\frac{p}{2}解得:p=4,
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的两个焦点，直线过$F_{1}$交椭圆于$A$、$B$两点，则$\Delta A F_{2} B$的周长是?
【解析】
【题目】若双曲线$x^{2} + m y^{2}=1$的渐近线过点$(-1,2)$，则该双曲线的虚轴的长是?
【解析】
【题目】点$A(1,0)$，点$B$是$x$轴上的动点，线段$P B$的中点$E$在$y$轴上，且$A E$垂直$P B$，则$P$点的轨迹方程为?
【解析】设P(x,y),B(m,0),则中点E坐标为E(\frac{x+m}{2},\frac{y}{2}),由\frac{x+m}{2}=0得m=-x,即E(0,又AE\botPB,若x\neq0,则_{k_{AE}}\cdotk_{PB}=\frac{\frac{y}{2}}{0-1}\times\frac{y}{2x}即y^{2}=4x若x=0,则m=0,P,B重合,直线PB不存在所以轨迹方程是y^{2}=4x(x\neq0)
【题目】已知$\triangle A B C$中，$A B=3$, $\frac{C A}{C B}=\frac{1}{2}$，则$\triangle A B C$面积的最大值为?
【解析】解法一:设AC=x,由\frac{CA}{CB}=\frac{1}{2},得BC=2x.由余弦定理,得\cosA=\frac{x^{2}+3^{2}-(2x)^{2}}{2\times3x}=\frac{3}{}所以\sinA=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\sqrt{1-(}\frac{3-x^{2}}{2x})^{2}所以S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AC\cdotAB\sinA=\frac{3x}{2}\cdot\sqrt{1-(\frac{3-x^{2})^{2}}{2x}}=\frac{3}{2}\cdot\sqrt{x^{2}-(\frac{3-x^{2})^{2}}{2}}=\frac{3}{2}\cdot\sqrt{-\frac{1}{4}x4+\frac{5}{2}x^{2}-\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\cdot\sqrt{-\frac{1}{4}(x^{2}-5)^{2}+4}由\begin{cases}2x+x>3,\\2x-x<3,\end{cases}得1<x<3.所以当x^{2}=5时,\triangleABC面积的最大值为3法二:以A为原点,以AB所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0)设C(x,y).由\frac{|CA|}{|CB|}=\frac{1}{2},得\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{2}即(x+1)^{2}+y^{2}=4.所以点C的轨迹是圆心为M(-1,0),半径为2的圆(不含与AB共线的两点)所以S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}AB\cdot|y_{c}|=\frac{3}{2}|y_{c}|\leqslant3.即\triangleABC面积的最大值为3
【题目】已知双曲线$C_{1}$、$C_{2}$的顶点重合，$C_{1}$的方程为$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，若$C_{2}$的一条渐近线的斜率是$C_{1}$的一条渐近线的斜率的$2$倍，则$C_{2}$的方程为?
【解析】C_{1}的方程为\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1,-条渐近线的方程为y=\frac{x}{2},因为C_{2}的一条渐近线的斜率是C_{1}的一条渐近线的斜率的2倍.所以C_{2}的一条渐近线的方程为y=x因为双曲线C_{1}C_{2}的顶点重合,所以C_{2}的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1.
【题目】过抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点，若$4|A F|=|B F|$, $\frac{|A F|}{|O F |}$=?
【解析】

hbghlyj

【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的一条渐近线方程为$\sqrt{3} x+3 y=0$，则双曲线的离心率为?
【解析】\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a,b>0)的一条渐近线方程为\sqrt{3}x+3y=0,\therefore\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3},即b=\frac{\sqrt{3}}{3}a\thereforec=\sqrt{a^{2+b^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a\therefore双曲线的离心率是_{e}=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】方程$\frac{x^{2}}{3-k}+\frac{y^{2}}{2+k}=1$表示椭圆，则$k$的取值范围是?
【解析】因为\frac{x2}{3-k}+\frac{y^{2}}{k^{2}+k}=1表示=_{1}表示椭圆,所以(3-\frac{1}{2})解得\begin{cases}-2\\x\neq\frac{1}{7}\end{cases}k的取值范围是(-2,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},3),故答案)\underline{1}U(\frac{1}{2},3)与睛)本题主要老杳相标准方程,解答过程注意排除方程表示圆的情况,属于基础题
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$，倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线交抛物线$C$于$A$ $B$两点，且线段$A B$中点的纵坐标为$1$，则抛物线$C$的准线方程是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则有y_{1}=2px_{1},y_{2}=2px_{2},两式相减得:(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=2p(x_{1}-x_{2}),又因为直线的斜率为1,所以\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=1^{'}所以有y_{1}+y_{2}=2p,又线段AB的中点的纵坐标为1.即y_{1}+y_{2}=2,所以p=1,所以抛物线的准线方程为x=-\frac{1}{2}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点，$P$是椭圆$C$的准线上一点，若$P F_{1}=2 P F_{2}$，则椭圆$C$的离心率的取值范围是?
【解析】因为|PF_{1}|=2|PF_{2}|,|PF_{1}|+2|PF_{2}|=2a,所以|PF_{1}|=\frac{2a}{3},又a-c\leqslant|PF_{1}|\leqslanta+c,故a-c\leqslant\frac{2a}{3}\leqslanta+c,所以\frac{c}{a}\geqslant\frac{1}{3},即离心率的取值范围是[\frac{1}{3},1),故填\frac{1}{3},1
【题目】已知$A$、$B$是不过原点$O$的直线$l$与椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个交点，$E$为$A B$中点，设直线$A B$ , $O E$的斜率分别为且$k_{A B}$ , $k_{O E}$ ,若$k_{A B} \cdot k_{O E}=-\frac{1}{2}$，则该椭圆的离心率为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),E(x_{0},y_{0}),因为直线AB斜率存在,故x_{1}\neqx_{2}由已知可得\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{\frac{2}{2}}=1\end{cases},两式相减可得\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{a^{2}}+\frac{(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{b^{2}}=0,又x_{1}+x_{2}=2x_{0}^{'}y_{1}+y_{2}=2y_{0}所以\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}}=0,所以\frac{a^{2}}{a^{2}}+k_{AB}\cdotk_{OE}=0,又k_{AB}\cdotk_{OE}=-\frac{1}{2},所以\frac{a}{a^{2}}=\frac{1}{2},故\frac{a^{2}-c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{2},即\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{2},所以椭圆的离心率e=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=-3$的渐近线方程为?
【解析】\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=-3,化简得\frac{y2}{6}-\frac{x^{2}}{6}=1,其渐近线方程为y=\pmx
【题目】已知椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右顶点为$A(1 , 0)$，过其焦点且垂直于长轴的弦长为$1$，则椭圆方程为?
【解析】由已知可得b=1,\frac{2b^{2}}{a}=1'计算可求得a,b即可得出结果因为椭圆\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1的右顶点为A(1,0),所以b=1,焦点坐标为(0,c),因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1,所以\frac{2b^{2}}{a}=1'a=2,所以椭圆方程为\frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的焦距为?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1的焦点为(-5,0),(5,0),所以焦距为10.
【题目】已知过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$且斜率为$\sqrt{3}$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，且$|A F|>|B F|$，则$\frac{|A F|}{|B F|}$=?
【解析】
【题目】已知椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{7}}{4}$，短轴一个端点到右焦点的距离为$4$，则椭圆的标准方程为?
【解析】设椭圆的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),由题意可得e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4},\sqrt{c^{2}+b^{2}}=a=4,a^{2}=b^{2}+c^{2},可得a=4,c=\sqrt{7},b=3,则椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】已知$F$为双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$的右焦点，$P$是$C$左支上一点，又$A(0, \frac{36}{5})$，当$\triangle A P F$的周长最小时，则点$P$的坐标为?
【解析】设双曲线的左焦点为F,由双曲线Cx^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1得a=1,b=2\sqrt{2},c=3,即有F(3,0)F(-3,0),所以|AF|=\sqrt{(3-0)^{2}+(0-\frac{36}{5})^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{25}}=\frac{39}{5}是定值,由双曲线的定义可得|PF|-|PF|=2a=2,得|PA|+|PF|=|PA|+|PF|+2,而\trianglePFA周长为|PA|+|PF|+|AF|.所以当P在左支上运动到A,P,F共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AF|则有\triangleAPF周长取得最小值,直线AF的方程为\frac{x}{-3}+\frac{y}{\frac{36}{5}}=1,即12x-5y+36=0,与双曲线方程联立,\begin{cases}12x-5y+36=0\\x2-\frac{y^{2}}{8}=1\end{cases},解得点P的坐标为(-\frac{11}{7},\frac{24}{7})
【题目】抛物线$y=\sqrt{2} x^{2}$的焦点到准线的距离为?
【解析】分析:根据题意,将抛物线的方程转化为标准方程,进而求出其焦点坐标和准线方程,据此计算焦点到准线的距离即可得答案.详根据题意,抛物线y=\sqrt{2}x^{2}的标准方程为x^{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}y其焦点坐标为(0,\frac{\sqrt{2}}{8}),准线方程为y=-\frac{\sqrt{2}}{8}.则具焦点到准线的距离为\underline{\sqrt{2}},
【题目】抛物线$y=a x^{2}$的焦点是直线$x+y-1=0$与坐标轴交点，则抛物线准线方程是?
【解析】因为抛物线y=ax2的焦点在纵轴上,而直线x+y-1=0与纵轴的交点的坐标为(0,1),因此抛物线准线方程是y=-1.睛)本题考查了抛物线准线方程,正确求出直线与纵轴的交点坐标是解题的关键
【题目】已知双曲线$C$过点$(\sqrt{2}, 3)$，其渐近线方程为$y=\pm \sqrt{3} x$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】因为双曲线C的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,所以可设C:y^{2}-(\sqrt{3}x)^{2}=\lambda(\lambda\neq0),即y^{2}-3x^{2}=\lambda(\lambda\neq0).因为双曲线C过点(\sqrt{2},3),所以3^{2}-3\times(\sqrt{2})^{2}=\lambda,解得\lambda=3,所以双曲线C的标准方程为\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1,其离心率e=\sqrt{\frac{3+1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
【题目】已知$O$为坐标原点，双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\frac{3 \sqrt{5}}{5}$,从双曲线$C$的右焦点$F$引渐近线的垂线，垂足为$A$，若$\triangle A F O$的面积为$\sqrt{5}$，则双曲线$C$的方程为?
【解析】如图则|AF|=\frac{|bc|}{\sqrt{b^{2}++(-a)^{2}}}=b,所以|OA|=a所以S_{\triangleAFO}=\frac{1}{2}ab=\sqrt{5}\Rightarrowab=2\sqrt{5}\textcircled{1}又e=\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{5}\textcircled{2},c^{2}=a^{2}+b^{2}\textcircled{3}所以由\textcircled{1}\textcircled{2}\textcircled{2}得:a=\sqrt{5},b=2故双曲线方程为:\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】10. 已知直线 $l_{1}$ 是抛物线 $C$:$y^{2}=8 x$ 的准线， $P$ 是 $C$ 上的一动点，则 $P$ 到直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$:$3 x-4 y+24=0$ 的距离之和的最小值为？
【解析】
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线$l$与抛物线交于$M$、$N$两点(其中$M$点在第一象限)，若$\overrightarrow{M N}=3 \overrightarrow{F N}$，则直线$l$的斜率为?
【解析】设倾斜角为\theta,则\cos\theta=\frac{MF-FN}{MN}=\frac{1}{3}\therefore\tan\theta=2\sqrt{2}
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的一条渐近线的方程为$y=2 x$，则$b$=?
【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为y=\pmbx,所以b=2.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆上一点，且$\angle P F_{1} F_{2}=\frac{\pi}{6}$, $\angle P F_{2} F_{1}=\frac{\pi}{3}$，则椭圆的离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过右焦点$F_{2}$的直线$l$交双曲线的右支于$A$、$B$两点，若$|A B|=5$, 则$\triangle A B F_{1}$的周长为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$\frac{5}{4}$，则$m$等于?
【解析】利用双曲线的离心率计算公式e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a}^{2}}即可得出.\because双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{m}=1可得a^{2}=16,b^{2}=m,又离心率为\frac{5}{4},则e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{2}}=\sqrt{1+\frac{m}{16}}=\frac{5}{4},解得m=9.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}=1$的左焦点为$F$，点$M$在双曲线$C$的右支上，$A(0,4)$，当$\triangle M A F$的周长最小时，$\triangle M A F$的面积为?
【解析】\triangleMAF的周长为|MA|+|MF|+|AF|,其中|AF|=4\sqrt{2}为定值,所以即求|MA|+|MF|,利用定义可得|MF|=|MF|+4\sqrt{2},所以周长为|MA|+|MF|+8\sqrt{2},作图当M、A、F三点共线时周长最短,利用面积分割求得面积.如图,设双曲线C的右焦点为F.由题意可得a=2\sqrt{2},F(-4,0),F(4,0).因为点M在右支上,所以|MF|-|MF|=2a=4\sqrt{2},所以|MF|=|MF|+4\sqrt{2},则\triangleMAF的周长为|MA|+|MF|+|AF|=|MA|+|MF|+8\sqrt{2}\geqslant|AF|+8\sqrt{2}=12\sqrt{2}即当M在M处时,\triangleMAF的周长最小,此时直线AF的方程为y=-x+4联立\begin{cases}y=-x+4\\\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{8}=1\end{cases},整理得y-1=0,则y_{M}=1,故\triangleMAF的面积为\frac{1}{2}|FF'||OA|-\frac{1}{2}|FF||y_{M}|=\frac{1}{2}\times8\times(4-1)=12
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线的方程为$y=2 x$，虚轴长为$2$，则该双曲线的焦点坐标为?
【解析】因为渐近线方程为y=2x,故可得\frac{b}{a}=2^{i}因为虚轴长为2,故可得2b=2;又因为a^{2}+b^{2}=c^{2};解得a=\frac{1}{2},b=1,c=\frac{\sqrt{5}}{2}则焦点坐标为\pm\frac{\sqrt{5}}{2},0
【题目】与圆$x^{2}+y^{2} + 8 x+7=0$及圆$x^{2} + y^{2}-8 x+12=0$都外切的圆的圆心的轨迹方程为?
【解析】
【题目】直线$l$: $x-y-2=0$与圆相切于点$M(3,1)$，且圆心在抛物线$y^{2}=-4 x$的准线上，则圆的标准方程为?
【解析】由抛物线方程,可知准线方程为x=1,设圆心坐标为(1,b),由题+(1-b)^{2}=\frac{|1-b-2|}{\sqrt{2}},解得b=3,r=2\sqrt{2}所以圆的标准方程为(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=8
【题目】已知过点$(\sqrt{3}, 4)$的双曲线的两条渐近线为$2 x \pm y=0$，则该双曲线的方程为?
【解析】不妨设\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=\lambda(\lambda\neq0),因为过(\sqrt{3},4),故\frac{4^{2}}{4}-(\sqrt{3})^{2}=\lambda,故\lambda=1,所以双曲线的方程为\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1,填\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1
【题目】若点$P(t, 1)$在抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$上，且到其准线的距离为$2$，则$t$=?
【解析】(分析)由抛物线的方程求出其准线方程,再由点P(t,1)在抛物线上以及点P(t,1)到准线的距离为2,列方程组即可求解.由x^{2}=2py(p>0)可得准线方程为y=-\frac{p}{2},因为点P(t,1)在抛物线上以及到准线的距离为2,所以\begin{cases}1-(-\frac{p}{2})=2\\t^{2}=2p(p>0)\end{cases},解得:\begin{cases}p=2\\t=\pm2\end{cases}
【题目】若抛物线$y^{2}=8 x$上一点$P$的横坐标是$1$，则点$P$到该抛物线的焦点$F$的距离是?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{k}=1$的离心率$e=3$，则$k$的值为?
【解析】
【题目】已知$\sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{5}$，双曲线$x^{2} \sin \theta+y^{2} \cos \theta=1$的焦点在$y$轴上，则双曲线$C$的离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，上顶点为$A$，直线$A F_{1}$与椭圆$C$的另一个交点为$B$，则$\triangle A B F_{2}$的面积为?
【解析】由题意知A(0,1),F_{1}(-1,0),F_{2}(1,0),直线AF_{1}的方程为y=x+1联立方程组\begin{cases}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\\y=x+1\end{cases}解得\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases},或\begin{cases}x=-\frac{4}{3}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}即B(-\frac{4}{3},-\frac{1}{3})所以S_{\triangleABF}=\frac{1}{2}\times2\times(1+\frac{1}{3})=\frac{4}{3}.为答安为.
【题目】已知直线$l$: $x-m y+\sqrt{3} m=0$上存在点$M$满足与两点$A(-1,0)$ , $B(1,0)$连线的斜率$k_{M A}$与$k_{M B}$之积为$3$，则实数$m$的取值范围是?
【解析】设点M(x,y),根据k_{MA}\cdotk_{MB}=3可求出点M的轨迹方程,再由直线l与点M的轨迹有公共点.联立直线l与点M的轨迹方程,由A\geqslant0可得出关于m的不等式,由此可求得实数m的取值范围设点M(x,y),由k_{MA}\cdotk_{MB}=3可得\frac{y}{x+1}\cdot\frac{y}{x-1}=3,化简可得y^{2}=3x^{2}-3(x\neq\pm1)由题意可知,直线l与曲线y^{2}=3x^{2}-3(x\neq\pm1)有公共点联立\begin{cases}x-my+\sqrt{3}m=0\\y2=3x^{2}-3\end{cases},消去x可得(3m^{2}-1)y^{2}-6\sqrt{3}m^{2}y+9m^{2}-3=0,\textcircled{1}当3m^{2}-1=0时,可得m^{2}=\frac{1}{3},此时方程\textcircled{1}为-2\sqrt{3}y=0,解得y=0,不合乎题意当3m^{2}-1\neq0时,A=108m^{4}-4(3m^{2}-1)(9m^{2}-3)\geqslant0,化简得6m^{2}-1\geqslant0,得m^{2}\geqslant\frac{1}{6}且m^{2}\neq\frac{1}{3},解得m\in(-。(),-----
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点为$F_{1}$、$P$为双曲线上一点，$P F_{1}$与双曲线$C$的渐近线平行，且$|P O|=|F_{1} O|$，其中$O$为坐标原点，则双曲线$C$的离心率$e$=?
【解析】由题意知,F_{1}(-c,0),双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x不妨取直线PF_{1}的方程为y=-\frac{b}{a}(x+c)'联立\begin{cases}y=-\frac{b}{a}(x+c)\\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases},解得x=-\frac{a^{2}+c^{2}}{2c},y=-\frac{b(c^{2}-a^{2})}{2ac},即P(-\frac{a^{2}+c^{2}}{2c},-\frac{b(c^{2}-a^{2})}{2ac}取PF_{1}中点M,连接OM,则M(-\frac{a^{2}+3c^{2}}{4c},-\frac{b(c^{2}-a^{2})}{4ac})\because|PO|=|F_{1}O|,\thereforeOM\botPF_{1},\frac{-\frac{b(c^{2}-a^{2})}{4ac}}{-\frac{a^{2+3c^{2}}}{a}}.(-\frac{b}{a})=-1,化简得c=\sqrt{5}a,即离心率为e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线与曲线$4 x^{2}-\frac{3 y^{2}}{4}=1(y>0)$交于点$P$、$F$为抛物线焦点，直线$P F$的倾斜角为$135^{\circ}$，则$p$=?
【解析】设P(\frac{p}{2}-t,t)代入抛物线得t^{2}+2pt-p^{2}=0\Rightarrowt=-p-\sqrt{2}p\RightarrowP(\frac{3}{2}p+\sqrt{2}p,-p-\sqrt{2}p)代入双曲线得p=2
【题目】若抛物线$x^{2}=4 y$上的点$P(m, n)$到其焦点$F$的距离为$3$，则$n$的值为?
【解析】抛物线x^{2}=4y的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,由题意抛物线x^{2}=4y上有点P(m,n)到其焦点的距离为3,结合抛物线的定义可得,n+1=3,解得n=2.
【题目】已知椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$，点$M$是椭圆$E$上任意一点，点$A(0, b)$，若$\triangle A M F$的周长的最大值是$6 b$，则椭圆$E$的离心率是?
【解析】根据椭圆的定义可转化|AM|+|MF|+|AF|=3a+|AM|-|MF|,利用平面几何性质求最大值建立a,b关系,即可求解离心率.设F是椭圆的左焦点,\becauseA(0,b).\therefore|AF|=|AF|=a,AAMF的周长为|AM|+|MF|+|AF|=3a+|AM|-|MF|,\therefore当A,F,M三点共线时,(|AM|-|MF|)_{\max}=|AF|=a,\thereforeAAMF的周长的最大值为4a=6b,\therefore4a^{2}=9b^{2}=9(a^{2}-c^{2}),\therefore\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{9}\thereforee=\frac{\sqrt{5}}{3}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程为$y=\frac{\sqrt{5}}{2} x$，且经过点$(2,2 \sqrt{5})$，则$C$的方程为?
【解析】根据题意可设双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=\lambda(\lambda\neq0),然后将点(2,2\sqrt{5})的坐标代入双曲线C的方程,求出\lambda的值,即可求得双曲线C的方程.解】由题意可知,双曲线C的一条渐近线方程为\frac{x}{2}-\frac{y}{\sqrt{5}}=0设双曲线C的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=\lambda(\lambda\neq0),将点(2,2\sqrt{5})的坐标代入双曲线C的方程得_{\lambda}=\frac{2^{2}}{4}-\frac{(2\sqrt{5})^{2}}{5}=-3所以,双曲线C的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=-3,即为\frac{y^{2}}{15}-\frac{x^{2}}{12}=1.
【题目】已知点$P$在抛物线$y^{2}=4 x$上，那么点$P$到点$Q(2,-2)$的距离与点$P$到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点$P$的坐标为?
【解析】由题意可得点Q在抛物线的内部,过Q向准线作垂线,垂足为N,交抛物线于P点,设抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,则|PQ|+|PF|=|PQ|+|PN|\geqslant|QN|,当且仅当P,Q,N三点共线时,取等号,即点P到点Q(2,-2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小,所以P的纵坐标为-2,将y=-2代入抛物线的方程,可得4=4x_{P},所以P的坐标为(1,-2),
【题目】设抛物线$y^{2}=2 x$的焦点为$F$，过$F$的两条直线$l_{1}$ , $l_{2}$分别交抛物线于点$A$、$B$、$C$、$D$，且$l_{1}$ , $l_{2}$的斜率$k_{1}$ , $k_{2}$满足$k_{1}^{2}+k_{2}^{2}=2$，则$|A B|+|C D|$的最小值为?
【解析】抛物线的焦点坐标为F(\frac{1}{2},0),设直线l_{1}:y=k_{1}(x-\frac{1}{2})(k_{1}\neq0)直线l_{2}:y=k_{2}(x-\frac{1}{2})(k_{2}\neq0),联立\begin{cases}y^{2}=2x\\y=k_{1}(x-\frac{1}{2})\end{cases}整理得4k_{1}^{2}x^{2}-(4k_{1}^{2}+8)x+k_{1}^{2}=0.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=1+\frac{2}{k_{1}^{2}}设C(x_{3},y_{3}),D(x_{4},y_{4}),同理可得x_{3}+x_{4}=1+\frac{2}{k^{2}}由抛物线的性质可得:|AB|=2+\frac{2}{k_{1}},|CD|=2+\frac{2}{k_{2}},又\becausek_{1}^{2}+k_{2}^{2}=2,|AB|+|CD|=4+\frac{2(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}{k_{k}k_{2}^{2}})=4+\frac{4}{k_{k}_{2}^{2}}^{4+\frac{2}{(k_{1}+k_{2}^{2}}^{2}}=4+4=8当且仅当|k_{1}|=|k_{2}|=1时,等号成立.\therefore|AB|+|CD|的最小值为8.
【题目】已知抛物线的方程为$y=2 x^{2}$，则此抛物线的焦点坐标为?
【解析】由题意,x^{2}=\frac{y}{2},故其焦点在y轴半轴上,p=\frac{1}{4},所以焦点坐标为(0,\frac{1}{8}),
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$A$在$C$的右支上，$A F_{1}$与$C$交于点$B$，若$\overrightarrow{F_{2} A} \cdot \overrightarrow{F_{2} B}=0$,$|\overrightarrow{F_{2} A}|=|\overrightarrow{F_{2} B}|$，则$C$的离心率为?
【解析】因为\overrightarrow{F_{2}A}\cdot\overrightarrow{F_{2}B}=0,|\overrightarrow{F_{2}A}|=|\overrightarrow{F_{2}B|}所以\triangleABF_{2}为等腰直角三角形,设|AF_{2}|=|BF_{2}|=m,则|AB|=\sqrt{2}m,由双曲线的定义可得|AF_{1}|-|AF_{2}|=2a,|BF_{2}|-|BF_{1}|=2a.所以|AF_{1}|=2a+m,|BF_{1}|=m-2a,因为|AB|=|AF_{1}|-|BF_{1}|=(m+2a)-(m-2a)=\sqrt{2}m所以m=2\sqrt{2}a,所以|AF|=2a+2\sqrt{2}a=(2+2\sqrt{2})a,|AF_{2}|=2\sqrt{2}a.在\triangleAF_{1}F_{2}中,由余弦定理得|F_{1}F_{2}|^{2}=|AF_{1}|^{2}+|AF_{2}|^{2}-2|AF_{1}||AF_{2}|\cos\angleF_{1}AF_{2},所以_{4c^{2}}=[(2\sqrt{2}+2)a]+(2\sqrt{2}a)^{2}-2(2\sqrt{2}+2)a\cdot2\sqrt{2}a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=12a^{2}所以c^{2}=3a^{2},得c=\sqrt{3}a,所以离心率为e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}.
【题目】过点$(3,-2)$且与椭圆$4 x^{2}+9 y^{2}=36$有相同焦点的椭圆方程是?
【解析】
【题目】已知定点$A(-2,0)$ , $B(2,0)$，若动点$M$满足$|M A|+|M B|=8$，则$|M A|$的取值范围是?
【解析】由题意,动点M满足|MA|+|MB|=8\geqslant|AB|=4,根据椭圆的定义,可得点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆且2a=8,2c=4,解得a=4,c=2,根据椭圆的性质,可得|MA|\in[a-c,a+c],即|MA|\in[2,6]
【题目】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是$(0,-3)$，则该抛物线的标准方程为?
【解析】因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点坐标是(0,-3),所以\frac{p}{2}=3,解得p=6,抛物线的标准方程为x^{2}=-12y
【题目】若直线$y=k x-\frac{3}{5}$交椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$于$P$、$Q$两点，则线段$P Q$的中垂线$l$在$x$轴上的截距的取值范围是?
【解析】设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),线段PQ的中点为T(x_{0},y_{0})\textcircled{1}当k=0时,易得线段PQ的中垂线l在x轴上的截距为0;\textcircled{2}当k\neq0时,由\begin{cases}y=kx-\frac{3}{5}\\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\end{cases},得(4k^{2}+1)x^{2}-\frac{24}{5}kx-\frac{64}{25}=0,所以x_{1}+x_{2}=\frac{24}{5}\cdot\frac{k}{4k^{2}+1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2})-\frac{6}{5}=k(\frac{24}{5}\cdot\frac{k}{4k^{2}+1})-\frac{6}{5}=\frac{-6}{5(4k^{2}+1)}于是有x_{0}=\frac{12}{5}\cdot\frac{k}{4k^{2}+1}=\frac{12}{5}\cdot\frac{4k^{2}+1}{4k+\frac{1}{k}},y_{0}=\frac{5(4k^{2}+1}{5(4k^{2}+1)}因为4k+\frac{1}{k}\in(-\infty,-4]\cup[4,+\infty)所以x_{0}\in[-\frac{3}{5},0)\cup(0,\frac{3}{5}],因为x_{0}=\frac{1}{5}\frac{k}{4k^{2}+1},y_{0}=\frac{-3}{5(4k^{2}+1)},所以ky_{0}=-\frac{1}{4}x_{0}因为直线l的方程为y-y_{0}=-\frac{1}{k}(x--x_{0}.所以直线l在x轴上的截距为ky_{0}+x_{0}=\frac{3}{4}x_{0}\in[-\frac{9}{20},0)\cup(0,\frac{9}{20}].综上,线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围是-\frac{9}{20},\frac{4}{2}
【题目】已知双曲线的两个焦点为$F_{1}(-\sqrt{10}, 0)$, $F_{2}(\sqrt{10}, 0)$，渐近线为$y=\pm \frac{1}{2} x$，则双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$的实轴长为?
【解析】由已知可得实轴长为2a=4.
【题目】已知过抛物线$C$:$ y^{2}=3 x$的焦点$F$的直线与抛物线$C$相交于$A$、$B$两点，直线$O A$($O$为坐标原点) 与抛物线$C$的准线相交于点$D$，则$\triangle A B D$面积的最小值为?
【解析】
【题目】已知抛物线$E$: $x^{2}=4 y$，过点$P(2,-1)$作$E$的两条切线，切点分别为$A$、$B$，则$|A B|$=?
【解析】切线的斜率显然存在,设切线方程为y+1=k(x-2),即y=kx-2k-1.联立\begin{cases}y=kx-2k-1\\x^{2}=4y\end{cases}消去y得x^{2}-4kx+8k+4=0,所以_{A}=(-4k)^{2}-4(8k+4)=0,即k^{2}-2k-1=0,则k=1-\sqrt{2}或k=1+\sqrt{2}设切线PA,PB的斜率分别为k_{1},k_{2},A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则k_{1}=1-\sqrt{2},k_{2}=1+\sqrt{2}将k_{1}=1-\sqrt{2}代入x^{2}-4kx+8k+4=0得x^{2}-4(1-\sqrt{2})x+8(1-\sqrt{2})+4=0,即(x-2+2\sqrt{2})^{2}=0,得x=2-2\sqrt{2},即x_{1}=2-2\sqrt{2},所以y_{1}=\frac{x_{1}^{2}}{4}=\frac{(2-2\sqrt{2})^{2}}{4}=3-2\sqrt{2},所以A(2-2\sqrt{2},3-2\sqrt{2}),同理可得B(2+2\sqrt{2},3+2\sqrt{2}),
【题目】过抛物线$W$: $x^{2}=8 y$的焦点$F$作直线$l$与抛物线交于$A$、$B$两点，则当点$A$、$B$到直线$x-2 y-4=0$的距离之和最小时，线段$A B$的长度为?
【解析】由抛物线W:x^{2}=8y可得F(0,2),设直线l的方程为y=kx+2.由\begin{cases}x^{2}=8y\\y=kx+2\end{cases},可得x^{2}-8kx-16=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=8k,所以y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2})+4=8k^{2}+4,则线段AB的中点坐标M(4k,4k^{2}+2),M到直线x-2y-4=0的距离为d=\frac{|4k}{|}则点A,B到直线x-2y-4=0的距离之和2d=\frac{\sqrt{5}}{\frac{2|8k^{2}-4k+8|}{\sqrt{5}}=\frac{8(2k^{2}-k+2}{\sqrt{5}}所以当k=\frac{1}{4}时,2d取最小值,此时|AB|=y_{1}+y_{1}+p=8k^{2}+4+p=8\times(\frac{1}{4})^{2}+4+4=\frac{17}{2},故答客为:
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$m$的值为?
【解析】\because椭圆方程为\frac{x2}{4}+\frac{y2}{m}=1\therefore\textcircled{1}当椭圆焦点在x轴上时,a^{2}=4,b^{2}=m,可得c=\sqrt{4-m}离心率c=\frac{\sqrt{4-m}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},解得1;\textcircled{2}当椭圆焦点在y轴上时,a^{2}=m,b^{2}=4,可得c=\sqrt{m-4}离心率e=\frac{\sqrt{m-4}}{\sqrt{m}}=\frac{\sqrt{3}}{2},解得m=16.综上所述m=16或m=1故选D.
【题目】已知$F_{1}(-3,0)$ , $F_{2}(3,0)$动点$M$满足$|M F_{1}|+|M F_{2}|=10$，则动点$M$的轨迹方程?
【解析】因为|MF_{1}|+|MF_{2}|=10>|F_{1}F_{2}|=6,所以,点M的轨迹是以F_{1},F_{2}的椭圆且2a=10,则a=5,c=3,则b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=4,因此,动点M的轨迹方程为\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1
【题目】已知中心在坐标原点的椭圆$E$的右焦点与抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点重合，椭圆$E$与抛物线$C$的准线交于$A$、$B$两点. 若$A B=3$，则椭圆$E$的短轴长为?
【解析】先求解出抛物线的的焦点,则椭圆的右焦点可知,再设出椭圆的方程并将方程中a^{2}变形为表示形式,根据AB=3求解出b^{2}的值,则椭圆的短轴2b的大小可求.因为抛物线C:y^{2}=4x的焦点为(1,0),所以椭圆的右焦点为(1,0),设椭圆方程\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),所以a^{2}=b^{2}+1,所以椭圆方程为\frac{x^{2}}{b^{2}+1}抛物线的准线方程为x=-1所以y^{2}=b^{2}(1-\frac{1}{b^{2}+1}),所以y=又因为AB=3,所以\frac{2b^{2}}{\sqrt{b^{2}+1}}=3,所以b^{2}=3,所以2b=2\sqrt{3}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点为$A$，左焦点为$F$，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为$2$，离心率$e=\frac{1}{2}$，则椭圆的标准方程是?
【解析】因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2因为离心率e=\frac{1}{2},所以c=1,b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{3},则椭圆的方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的两个焦点，点$P$在椭圆上.($1$)若点$P$到焦点$F_{1}$的距离等于$1$，则点$P$到焦点$F_{2}$的距离为?($2$)过$F_{1}$作直线与椭圆交于$A$、$B$两点，则$\triangle ABF_{2}$的周长为?($3$)若$\angle PF_{1}F_{2}=120^{\circ}$，则点$P$到焦点$F_{1}$的距离为?
【解析】(1)可通过点P到焦点F_{1}与焦点F_{2}的距离之和为2a计算出点P到焦点F_{2}的距离(2)可通过点P到焦点F_{1}与焦点F_{2}的距离之和为2a计算出|AB|+|AF_{2}|+|BF_{2}|的值.(3)可通过余弦定理以及椭圆的定义求解.[详解]由椭圆的标准方程可知:a^{2}=4,b^{2}=3,故a=2,b=\sqrt{3},c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4-3}=1(1)由椭圆的定义可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,又|PF_{1}|=1,所以|PF_{2}|=4-1=3.(2)\triangleABF_{2}的周长L_{\DeltaABF_{2}}=|AB|+|AF_{2}|+|BF_{2}|=|AF_{1}|+|BF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{2}|=(|AF_{1}|+|AF_{2}|)+(|BF_{1}|+|BF_{2}|)=2a+2a=4a=8(3)在\trianglePF_{1}F_{2}中,由余弦定理可得|PF_{2}|^{2}=|PF|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}-2|PF||F_{1}F_{2}|\cos\anglePF_{1}F_{2},即|PF_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+4+2|PF_{1},由椭圆的定义可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,两式联立解得|PF_{1}|=\frac{6}{5}
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点的直线$l$与椭圆交于$A$、$B$两点，若弦$AB$中点为$M(\frac{4}{7} ,-\frac{3}{7})$，则$| A B|$=?
【解析】
【题目】若双曲线$C$与双曲线$ \frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{8}=1$共渐近线，且过点$A(3 , \sqrt{2})$，则双曲线$C$的方程为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两焦点为$F_{1}$,$ F_{2}$，直线过$F_{1}$交椭圆于$P$、$Q$，则$\triangle P Q F_{2}$的周长为?
【解析】
【题目】椭圆与双曲线有相同的焦点$F_{1}(-c, 0)$, $F_{2}(c, 0)$，椭圆的一个短轴端点为$B$，直线$F_{1} B$与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为$e_{1}$, $e_{2}$，则$3 e_{1}^{2}+e_{2}^{2}$的最小值为?
【解析】由题意可知,双曲线的焦点在x轴上,设椭圆的长轴为2a,短轴为2b,双曲线的实轴为2a',虚轴为2b',\because椭圆的一个短轴端点为B,直线F_{1}B与双曲线的一条渐近线平行,\thereforek_{F_{1}B}=\frac{b'}{a},即\frac{b}{c}=\frac{a^{3}}{b^{2}}平方可得,\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{b^{2}}{c^{2}},由此得到\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-c^{2}}{c^{2}},即\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{c^{2}},\therefore(\frac{c}{a})^{2}=(\frac{a}{c})^{2},由e_{1}=\frac{a}{c},e_{2}=\frac{a^{2}}{a^{2}},\thereforee_{1}\cdote_{2}=1,\becausee_{1},e_{2}都是正数,\therefore3e_{1}^{2}+e_{2}^{2}>2\sqrt{3e^{2}\cdote_{1}^{2}}=2\sqrt{3},当且仅当3e_{1}^{2}=e_{2}^{2},即e_{2}=\sqrt{3}e_{1},e_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3},e_{2}=\sqrt{3}时,等号成立,\therefore3e_{1}^{2}+e_{2}^{2}的最小值2\sqrt{3},
【题目】若椭圆$x^{2}+4(y-a)^{2}=4$与抛物线$x^{2}=2 y$有公共点，则实数$a$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$，点$P$为抛物线$C$上一动点，过点$P$作圆$M$:$(x-3)^{2}+y^{2}=4$的切线，切点分别为$A$、$B$，则线段$A B$长度的取值范围为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$，两焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$作$x$轴的垂线交双曲线于$A$、$B$两点，且$\triangle ABF_{1}$内切圆的半径为$a$，则此双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】方程$\frac{x^{2}}{5-m} + \frac{y^{2}}{m-3}=1$表示椭圆，则实数$m$的取值范围?
【解析】
【题目】$F_{1}$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的左焦点，$P$是椭圆上的动点，$A(1,1)$为定点，则$|P A|+|P F_{1}|$的最小值是?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1的a=3,b=\sqrt{5},c=2,如图,设椭圆的右焦点为F'(2,0)则|PF|+|PF'|=2a=6;\therefore|PA|+|PF|=|PA|+6\cdot|PF'|=6+|PA|\cdot|PF'|;由图形知,当P在直线AF'上时,|PA|\cdot|PF'|=|AF|=\sqrt{2},当P不在直线AF'上时,根据三角形的两边之差小于第三边有,|PA|\cdot|PF||<|AF'|=\sqrt{2}当P在F'A的延长线上时,|PA|\cdot|PF'取得最小值\cdot\sqrt{2}\becausePA|+|PF|的最小值为6\cdot\sqrt{2}
【题目】一动圆截直线$3 x-y=0$和$3 x+y=0$所得弦长分别为$8$ , $4$，则该动圆圆心的轨迹方程为?
【解析】动圆截直线3x-y=0和3x+y=0所得的弦长分别为8,4,利用点到直线的距离公式,可求|MA|^{2}|MC|^{2},由垂径定理可得|MA|^{2}+|AB|^{2}=|MC|^{2}+|EC|^{2},化简即可.如图所示:设点M(x,y),由条件可得,AB=4,EC=2.由点到直线的距离公式可得,|MA|^{2}=\frac{(3x-y)^{2}}{10},|MC|^{2}=\frac{(3x+y)^{2}}{10}由垂径定理可得:|MA|^{2}+|AB|^{2}=|MC|^{2}+|EC|^{2}\therefore\frac{(3x-y)^{2}}{10}+6=\frac{(3x+y)^{2}}{10}+4'化简可得,xy=10,\therefore点M的轨迹方程为xy=10
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的两个焦点，以线段$F_{1} F_{2}$为直径的圆与双曲线的一个交点为$P$，若$P F_{1}=2 P F_{2}$，则双曲线的两条渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y=x^{2}$和直线$x-y-2=0$，则抛物线上的点到该直线的最短距离?
【解析】设A(x_{0},x_{0}^{2})为抛物线上任意一点,则A到直线x-y-2=0的距离d=\frac{|x_{0}-x_{0}2-2|}{\sqrt{2}}=\frac{|x_{0}2-x_{0}+2|}{\sqrt{2}}=\frac{(x_{0}-\frac{1}{2})}{\sqrt{2}}\therefore当x_{0}=\frac{1}{2}时,A到直线的距离取得最小值\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{8}.
【题目】已知直线$l$:$ y=2 x$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的一条渐近线垂直，且右焦点到直线$l$的距离为$2$，则双曲线的标准方程为?
【解析】由直线l与一条渐近线垂直得\frac{b}{a},由右焦点到直线l的距离可求得c,从而得到a,b.得双曲线方程直线l:y=2x与一条渐近线垂直,则这条渐近线的斜率为-\frac{1}{2},\therefore\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\textcircled{1},右焦点为F_{2}(c,0)则\frac{2c}{\sqrt{5}}=2,c=\sqrt{5}\textcircled{2},又a^{2}+b^{2}=c^{2}\textcircled{3},\textcircled{1}\textcircled{2}\textcircled{3}联立可解得a=2,b=1,双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点为$A$，左焦点为$F$，点$P$为该椭圆上任意一点.若该椭圆的上顶点到焦点的距离为$2$，离心率$e=\frac{1}{2}$，则$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{F P}$的取值范围是?
【解析】因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2,所以a=2.因为离心率e=\frac{1}{2},所以c=1,b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{3}则椭圆的方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,所以点A的坐标为(-2,0),点F的坐标为(-1,0)设P(x,y),-2\leqslantx\leqslant2,则\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{FP}=(x+2,y)\cdot(x+1,y)=x^{2}+3x+2+y2.由椭圆的方程得y^{2}=3-\frac{3}{4}x^{2},所以\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{FP}=x^{2}+3x-\frac{3}{4}x^{2}+5=\frac{1}{4}(x+6)^{2}-4因为x\in[-2,2],所以\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{FP}\in[0,12].
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，椭圆上的点$P$满足$|P F_{1}|-|P F_{2}|=2$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】由椭圆定义得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2\times2=4,由|PF_{1}|-|PF_{2}|=2得|PF_{1}|=3,|PF_{2}|=1,因为|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2},所以3^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+1,即APF_{1}F_{2}为直角三角形,其面积为\frac{1}{3}\times2\sqrt{2}\times1=\sqrt{2}.
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的一条渐近线为$y=\sqrt{2} x$，则$a$=?
【解析】双曲线标准方程知其渐近线方程为y=\pm\frac{1}{a}x'\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的一条渐近线为y=\sqrt{2}x\therefore\frac{1}{a}=\sqrt{2},故a=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的准线方程为$x=-2$，焦点为$F$，准线与$x$轴的交点为$A$、$B$为抛物线$C$上一点，且满足$\sqrt{5}|B F|=2|A B|$，则$|B F|$=?
【解析】由-\frac{p}{2}=-2求出p=4,可得抛物线方程为y^{2}=8x,利用抛物线的定义可求出\cos\angleBAF=\frac{2\sqrt{5}}{5}再利用余弦定理可得答案.由题可知:抛物线C:y^{2}=2px(p>0),准线方程x=-2,则F(2,0),有-\frac{p}{2}=-2,\thereforep=4,\therefore抛物线方程为:C:y^{2}=8x,\because\sqrt{5}|BF|=2|AB|,作BQ\bot准线,交于点Q,由抛物线的定义得:|BF|=|BQ|,\therefore\sqrt{5}|BQ|=2|AB|.设\angleABQ=\theta,则\angleBAF=\theta(0<\theta<\frac{\pi}{2}),\therefore\cos\theta=\frac{|BQ|}{|AB|}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5},在三角形ABF中,AF=4,\sqrt{5}|BF|=2|AB|,\cos\angleBAF=\frac{2\sqrt{5}}{5}由余弦定理可得|BF|^{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}|BF|+4^{2}-2\times\frac{\sqrt{5}}{2}|BF\times4\times\frac{\sqrt[2]{5}}{5}解得|BF|=16\pm8\sqrt{3}
【题目】已知定点$A(3 , 4)$，点$P$为抛物线$y^{2}=4 x$上一动点，点$P$到直线$x=1$的距离为$d$，则$|PA|+d$的最小值为?
【解析】
【题目】已知$A(x_{1}, y_{1})$ , $C(x_{2}, y_{2})$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上两动点，$x_{1}+x_{2}=8$，且$A C$的垂直平分线的方程为$y=k x+m$，则$m$的取值范围是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),C(x_{2},y_{2})的中点为M(x_{0},y_{0}),由点差法结合中点坐标关系可得\frac{4}{25}+\frac{y_{0}(y_{1}-y_{2})}{9(x_{1}-x_{2})}=0,分析得k\neq0时,k=\frac{25}{36}y_{0}'再将中点代入可得m=-\frac{16}{9}y_{0}'结合点M(x_{0},y_{0})在椭圆内得|y_{0}|<\frac{9}{5},从而得解.羊解】设A(x_{1},y_{1}),C(x_{2},y_{2})的中点为M(x_{0},y_{0}),则x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=4,令x=4,可得y^{2}=9(1-\frac{16}{25})=\frac{81}{25},所以|y_{0}|<\frac{9}{5},由\begin{cases}\frac{x_{1}2}{25}+\frac{y_{1}2}{9}=1\\\frac{x_{2}^{2}}{25}+\frac{y_{2}}{9}=1\end{cases},两式相减得\frac{(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}{25}+\frac{(y_{1}+y_{2})(y}{9}可得\frac{25}{25}+\frac{y_{0}(y_{1}-y_{2})}{9(x_{1}-x_{2})}=0当k=0时,则AC的斜率不存在,则必过原点,不满足x_{1}+x_{2}=8,当k\neq0时,\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{1}{k},得k=\frac{25}{36}y_{0}'又M(4,y_{0})在直线y=kx+m上,所以y_{0}=4k+m,所以m=-\frac{16}{9}y_{0}\in(-\frac{16}{5},\frac{16}{5})
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点$P$使得$P F_{1}=2 P F_{2}$,则离心率范围?
【解析】分析:由椭圆定义可得e(x+\frac{a^{2}}{c})=2e(\frac{a^{2}}{c}-x),解得x=\frac{a}{3e},由题意可得-a\leqslant\frac{a}{3e}\leqslanta,解不等式求得离心率e的取值范围.详设点P的横坐标为x,\because|PF_{1}|=2|PF_{2}|,则由椭圆定义可得e(x+\frac{a2}{c})=2e(\frac{a^{2}}{c}-x)\thereforex=\frac{a}{3e},由题意可得-a\leqslant\frac{a}{3e}\leqslanta,\therefore\frac{1}{3}\leqslante<1
【题目】过点$A(-3,2)$的抛物线的标准方程是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，若椭圆上存在一点$P$使得$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则该椭圆离心率的取值范围是?
【解析】根据椭圆的定义,可求得|PF_{1}|,|PF_{2}|的长,根据三角形的几何性质,即可求得答案.由椭圆的定义可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,又|PF_{1}|=2|PF_{2}|,所以|PF_{1}|=\frac{4a}{3},|PF_{2}|=\frac{2a}{3}在椭圆中,|PF_{1}|-|PF_{2}|\leqslant2c.所以\frac{2a}{3}\leqslant2c,即e=\frac{c}{a}\geqslant\frac{1}{3}又2a>2c,所以e=\frac{c}{a}<1,所以该椭圆离心率的取值范围是[\frac{1}{3},1
【题目】点$M(5,3)$到抛物线$x^{2}=a(a>0)$的准线的距离为$6$, 则抛物线的方程是?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=12 x$上到焦点的距离等于$9$的点的坐标是?
【解析】
【题目】$F$为抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，点$P$在抛物线上，$Q$是圆$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1$上的点，则$|P Q|+|P F|$最小值是?
【解析】设P到抛物线准线的距离为d,根据抛物线的定义知|PQ|+|PF|=|PQ|+d,由圆的几何性质及平面几何体知识可得,|PQ|+d的最小值是圆心到准线的距离与半径的差,即|PQ|+|PF|=|PQ|+d\geqslant3-1=2,
【题目】设点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$上的一动点，$F$是椭圆的左焦点，则$| P F |$的取值范围为?
【解析】
【题目】双曲线的焦点在$x$轴上，虚轴长为$12$，离心率为$\frac{5}{4}$，则双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线$x^{2}=4 y$的焦点为$F$，准线与$y$轴的交点为$M$、$N$为抛物线上任意一点，且满足$|N F|=\frac{\sqrt{3}}{2}|M N|$，则$\angle N M F$?
【解析】分析:由抛物线的定义可得|NF|=y+1,由\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{NH}{MN}=\frac{NF}{MN}=\frac{\sqrt{3}}{2},求得\frac{\pi}{2}-\theta的值,即可求出锐角\theta的大小.详由抛物线的方程x^{2}=4y,可得准线方程为y=-1,设\angleNMF=\theta,过点N作NH垂直于抛物线的准线,H为垂足,则由抛物线的定义可得NH=NF,在RtAMNH中,\angleNMH=\frac{\pi}{2}-\theta,由直角三角形的边角关系可得\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{NH}{MN}=\frac{NF}{MN}=\frac{\sqrt{3}}{2},则\frac{\pi}{2}-\theta=\frac{\pi}{3}
【题目】设$F$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上的右焦点，$P$是椭圆上的动点，$A$是直线$3 x-4 y-12=0$的动点，则$|P A|-|P F|$的最小值为?
【解析】\becauseF是椭圆\frac{x2}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1上的右焦点,a^{2}=4,b^{2}=3\thereforec^{2}=a^{2}-b^{2}=1,即F(1,0),设F是椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1上的左焦点,则F(-1,0)根据椭圆的定义可知|PF|+|PF|=2a=4.\therefore|PF|=4-|PF|,|PA|-|PF|=|PA|-(4-|PF|)=|PA|+|PF|-4.则|PA|-|PF|的最小值即求|PA|+|PF|的最小值,根据图象可知,|PA|+|PF|的最小值,即当AF垂直于直线3x-4y-12=0时|AF|的值则|AF|=\frac{|-3-12|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=3.则此时|PA|+|PF|-4=|AF|-4=3-4=-所以|PA|-|PF|的最小值为-1.
【题目】已知$F(-4,0)$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的一个焦点，过$F$的直线$l$交该椭圆于$A$、$B$两点，线段$A B$的中点坐标为$(-3,1)$，则该椭圆的离心率是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),因为A,B在椭圆上,所以\begin{cases}\frac{x_{1}}{a_{2}}+\frac{y_{2}}{b^{2}}=1\\\frac{x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}}{b^{2}}=1\end{cases}所以\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}=0,所以\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\cdot\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}因为线段AB的中点坐标为(-3,1),F(-4,0)所以x_{1}+x_{2}=-3\times2=-6,y_{1}+y_{2}=1\times2=2,且k_{AB}=\frac{0-1}{-4-(-3}所以1\cdot\frac{2}{-6}=-\frac{b^{2}}{a^{2}},所以\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{a2-c^{2}}{a^{2}}=1-e^{2}=\frac{1}{3}且e\in(0,1),所以e=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$的离心率是$\frac{5}{4}$，则双曲线的右焦点坐标为?
【解析】根据双曲线的离心率可求得实数a的值,由此可求得该双曲线的右焦点坐标.由题意可知,该双曲线的离心率为e=\sqrt{\frac{a^{2}+9}{a^{2}}}=\frac{5}{4},解得a=4.所以,双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1,则c=\sqrt{16+9}=5,因此,该双曲线的右焦点坐标为(5,0)
【题目】已知双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左, 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$M$、$N$分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当$|M N|+|N F_{2}|$取得最小值时，$\Delta M F_{1} F_{2}$面积为?
【解析】由题意知,F_{1}(-2,0),F_{2}(2,0),不妨取其中一条浙近线y=\sqrt{3}x.由双曲线定义知|NF_{2}|-|NF_{1}|=2a=2,所以|NF_{2}|=2+|NF_{1}|,所以|MN|+|NF_{2}|=|MN|+|NF_{1}|+2,所以当M,N,F_{1}三点共线且F_{1}M垂直于渐近线y=\sqrt{3}x时,|MN|+|NF_{2}|取得最小值此时,直线F_{1}M方程为y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x+2)由\begin{cases}y=\sqrt{3}x\\y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x+2)\end{cases}得\begin{cases}x=-\frac{2}{2}\\y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}故点M(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})\thereforeS_{\DeltaMF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|\cdot|-\frac{\sqrt{3}}{2}|=\frac{1}{2}\times4\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$, 焦点为$F$，$\Delta ABC$三个顶点均在抛物线上，若$\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=\overrightarrow{0}$, 则$|FA|+|FB|+|FC|$=?
【解析】
【题目】双曲线$x^{2}-4 y^{2}=1$的渐近线方程是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1$ , $F_{1}$ , $F_{2}$是它的焦点，$A B$是过$F_{1}$的弦，则$\triangle A B F_{2}$的周长为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$渐近线的方程是?
【解析】焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x^{,}而a=\sqrt{2},b=1,所以双曲线\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1渐近线的方程是y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x.
【题目】过双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的右焦点，且斜率为$2$的直线与$E$的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是?
【解析】根据双曲线渐近线性质得渐近线斜率范围,即得离心率取值范围[详解]由题意得\frac{b}{a}<2\thereforeb^{2}<4a^{2},c^{2}-a^{2}<4a^{2}\thereforee^{2}<5\becausee>1\therefore1<e<\sqrt{5}
【题目】已知双曲线$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的离心率为$2$. 若抛物线$C_{2}$: $x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点到双曲线$C_{1}$的渐近线的距离为$2$，则抛物线$C_{2}$的方程为?
【解析】\because双曲线C_{1}:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的离心率为2,\therefore\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=2,\thereforeb=\sqrt{3}a,\therefore双曲线的渐近线方程是为\sqrt{3}x\pmy=0,\therefore抛物线C_{2}:x^{2}=2py(p>0)的焦点(0,\frac{p}{2})到双曲线的渐近线的距离为\frac{|\sqrt{3}\times0\pm\frac{p}{2}}|=2,\thereforep=8\therefore所求的抛物线方程为x^{2}=16y.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$，直线$l$: $x=2$交抛物线$C$于$P$、$Q$两点，且$O P \perp O Q$，则抛物线$C$的方程为?
【解析】将直线l:x=2代入抛物线C:y^{2}=2px(p>0),得P(2,2\sqrt{p}),Q(2,-2\sqrt{p}),所以\overrightarrow{OP}=(2,2\sqrt{p}),\overrightarrow{OQ}=(2,-2\sqrt{p}),因为OP\botOQ,所以\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=(2,2\sqrt{p})\cdot(2,-2\sqrt{p})=4-4p=0,p=1,所以抛物线C的方程为y^{2}=2x
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，则$m$=?
【解析】分焦点在x轴和y轴分类讨论,结合离心率得表达式即可求解\textcircled{1}当椭圆的焦点在x轴上时,由题意得\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2},解得m=\frac{3}{2};综上所述,m=\frac{3}{2}或\frac{8}{3}
【题目】已知点$A(5 , 0)$，过抛物线$y^{2}=8 x$上一点$P$作直线$x=-2$的垂线，垂足为$B$. 若$|P B|=|P A|$，则$P$的横坐标为?
【解析】直线x=-2是抛物线y^{2}=8x的准线,抛物线的焦点F(2,0),依题意可得|PB|=|PA|=|PF|,过P作x轴的垂线,垂足为AF的中点,所以P的横坐标为\frac{7}{3}.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点，$P Q$是过焦点$F_{1}$的弦，且$P Q$的倾斜角为$60^{\circ}$，那么$|P F_{2}|+|Q F_{2}|-|P Q|$的值为?
【解析】由双曲线方程\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1知,2a=8,由双曲线的定义得,|PF_{2}|-|PF_{1}|=2a=8\textcircled{1},|QF_{2}|-|QF_{1}|=2a=8\textcircled{2},\textcircled{1}+\textcircled{2}得|PF_{2}|+|QF_{2}|-(|QF_{1}|+|PF_{1})=16,\therefore|PF_{2}|+|QF_{2}|-|PQ|=16所以答案应填:16.
【题目】已知椭圆$4 x^{2}+n y^{2}=1$的焦点在$x$轴上，长轴长是短轴长的$2$倍，则$n$的值是?
【解析】椭圆4x^{2}+ny^{2}=1的焦点在x轴上,\therefore\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{n}=1,a=\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{n}}{1}\because长轴长是短轴长的2倍.1=\frac{4\sqrt{n}}{n}解得n=16.故答】本题考查了椭圆的标准方程及其性质,属于基础题
【题目】渐近线为$y=\pm \sqrt{3} x$，且过点$(1,1)$的双曲线方程是?
【解析】\because双曲线的一条渐近线为y=\pm\sqrt{3}x,\therefore设3x^{2}-y^{2}=k为双曲线方程,\because点(1,1)在双曲线上,代入可得3-1=k-2.\therefore标准方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=
【题目】已知$A(3 , 0)$ , $B(9 , 5)$，$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$右支上的任意一点，则$|PA|+|PB|$的最小值为?
【解析】
【题目】若直线$l$:$y=-\frac{x}{2}+m$与曲线$C$: $y=\frac{1}{2} \sqrt{|4-x^{2}|}$有且仅有三个交点，则实数$m$的取值范围是?
【解析】\becausey=\frac{1}{2}\sqrt{|4-x^{2}}|,\therefore2y=\sqrt{|4-x^{2}|}即4y^{2}=|4-x^{2}|(y\geqslant0),当4-x^{2}\geqslant0时,得到4y^{2}=4-x^{2},即\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1(y\geqslant0),当4-x^{2}<0时,得到4y^{2}=x^{2}-4,即\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1(y>0)由以上可得曲线C的图形为椭圆的上半部分与双曲线的上半部分,如图\because直线l:y=-\frac{x}{2}+m与双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的渐近线平行\therefore当直线l经过点A(2,0)时与曲线C有两个交点,此时m=1.向上平移则有三个交点,又由\begin{cases}y=-\frac{x}{2}+m\\\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\end{cases}消元得x^{2}-2mx+2m^{2}-2=0,由A=4m^{2}-4(2m^{2}-2)=8-4m^{2}=0得m=\sqrt{2},或m=-\sqrt{2}(舍去)由此可得实数m的取值范围是(1,\sqrt{2}).
【题目】已知$A$、$B$是抛物线$C$:$y^{2}=2 p x(p>0)$上纵坐标分别为$a$, $b(a b \neq 0)$的不同两点，若$C$在$A$、$B$两点处的切线相交于点$M$，则点$M$的纵坐标为?(结果用$a$, $b$表示)
【解析】设出切线方程,联立切线和抛物线可分别求得两切线斜率,联立切线方程即可求出交点坐标因为点A的纵坐标为a,所以点A的坐标为(\frac{a^{2}}{2p},a)由题意知过点A的切线斜率一定存在且不为0,设为k(k\neq0).则过点A的切线方程为y-a=k(x-\frac{a^{2}}{2p}),与y^{2}=2px联立并消去x得ky^{2}-2py+2pa-ka^{2}=0因为直线与抛物线相切,所以A=4p^{2}-4k(2pa-ka^{2})=0,解得k=\frac{p}{a},所以过点A的切线方程为y-a=\frac{p}{a}(x-\frac{a^{2}}{2p}),化简得y=\frac{p}{a}x+\frac{a}{2}同理过点B的切线方程为y=\frac{p}{b}x+\frac{b}{2},联立两切线方程,可得点M的纵坐标为\frac{a+b}{2}
【题目】焦点在$x$轴上双曲线的一条渐近线方程为$y=2 x$，焦距为$10$，这双曲线的方程为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$、$M$为抛物线上的点，设$A(\frac{7}{2} p, 0)$，若$|A F|=2|M F|$ , $\Delta A M F$的面积为$\frac{27 \sqrt{2}}{2}$，则$p$的值为?
【解析】\becauseA(\frac{7p}{2},0),\therefore|AF|=3p则|MF|=\frac{3}{2}p\thereforeM点横坐标为p代入求得y^{2}=2p^{2},y=\pm\sqrt{2}p\times3P\times\sqrt{2}P=\frac{27\sqrt{2}}{2}
【题目】若双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$的一个焦点为$(\sqrt{10}, 0)$，则此双曲线的渐近线方程为?
【解析】由焦点坐标可知c=\sqrt{10},从而得1+m=(\sqrt{10})^{2},求出m的值代入双曲线方程中可求出其渐近线方程.羊解】\because\sqrt{1+m}=\sqrt{10},\thereforem=9,\therefore此双曲线的渐近线方程为y=\pm3x.
【题目】一条直线过点$(\frac{1}{4}, 0)$，且与抛物线$y^{2}=x$交于$A$、$B$两点. 若$|A B|=4$，则弦$A B$的中点到直线$x+\frac{1}{2}=0$的距离等于?
【解析】如图,抛物线y^{2}=x的焦点F为(\frac{1}{4},0),\therefore弦AB的中点到准线x=-\frac{1}{4}的距离为\frac{|AB|}{2}=2,则弦AB的中点到直线x+\frac{1}{2}=0的距离等于2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}
【题目】已知点$M$为抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$上一点，若点$M$到两定点$A(p, p)$, $F(\frac{p}{2}, 0)$的距离之和最小，则点$M$的坐标为?
【解析】过点M作抛物线准线的垂线,垂足为B,由抛物线的定义,知点M到焦点F(\frac{p}{2},0)的距离与点M到准线的距离相等即|MF|=|MB|,所以|MF|+|MA|=|MB|+|MA|,易知当A,B,M三点共线时,|MB|+|MA|取得最小值,所以(|MF|+|MA|_{\min}=|AB|=\frac{3p}{2},此时点M的坐标为(\frac{p}{2},p)

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【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线$l$交$C$于$A$ $B$两点，点$M(-1,2)$，若$\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$，则直线$l$的斜率$k$=?
【解析】由题设可得焦点坐标F(1,0),设交点坐标A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),将直线l:y=k(x-1)代入y^{2}=4x化简可得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,则x_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}},x_{1}x_{2}=1,y_{1}=k(x_{1}-1),y_{2}=k(x_{2}-1),故y_{1}y_{2}=k^{2}(x_{1}-1)(x_{2}-1)=k^{2}[(x_{1}x_{2}-(x_{1}+x_{2})+1]=-4;y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2}-2)=\frac{4}{k},由于\overrightarrow{MA}=(x_{1}+1,y_{1}-2),\overrightarrow{MB}=(x_{2}+1,y_{2}),所以(x_{1}+1)(x_{2}+1)+(y_{1}-2)(y_{2}-2)=0,即x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1-4-2\times\frac{4}{k}+4=0,也即1+\frac{1}{12}-\frac{2}{k}=0,解之得k=1,应填答案1
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{9}=1$的虚轴长等于?
【解析】
【题目】已知直线$l$: $x-y+8=0$和两点$A(2,0)$, $B(-2,-4)$，在直线$l$上求一点$P$, 使$|P A|+|P B|$最小，则$P$点坐标是?
【解析】先判断两点是在直线同侧还是异侧,因为(2-0+8)(-2+4+8)>0,所以A,B在直线同侧,求A关于直线的对称点A(-8,10),连接AB交直线于点P,点P即为所求,写出AB直线方程7x+3y+26=0,联立求得P点坐标(-5,3)
【题目】$F_{1}$ , $F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左右焦点，点$P$在椭圆上运动. 则$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的最大值是?
【解析】
【题目】方程$\frac{x^{2}}{m-3} +\frac{y^{2}}{9-m}=1$表示椭圆，则$m$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ,$A$为$x$轴上的异于坐标原点$O$的一点，以$A$为圆心的圆与双曲线的渐近线交于$P$、$Q$两点，若$\overrightarrow{O P}=3 \overrightarrow{O Q}$ ,且$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{A Q}=0$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{m+2}-\frac{y^{2}}{m-1}=1$表示焦点在$x$轴上的双曲线，则实数$m$的取值范围是?
【解析】本题首先根据“方程\frac{x^{2}}{m+2}-\frac{y^{2}}{m-1}=1表示焦点在x轴上的双曲线”可得出两分母的符号,然后通过计算即可得出m的范围羊解】因为方程\frac{x^{2}}{所以\begin{cases}m+2>0}-\frac{y^{2}}{m-1}=1表示焦点在x轴上的双曲线,\\m-1>0',解得m>1,
【题目】已知点$P$到点$F(3,0)$的距离比它到直线$x=-2$的距离大$1$，则点$P$满足的方程为?
【解析】
【题目】已知两定点$A(-2,0)$和$B(2,0)$，动点$P(x1, y1)$在直线$l$: $y=x+3$上移动，椭圆$C$以$A$、$B$为焦点且经过点$P$，则椭圆$C$的离心率的最大值为?
【解析】根据图示结合椭圆定义利用对称的性质可求解出2a的最小值,即可求解出离心率的最大值如图所示,设B关于直线l的对称点是B_{1}(a,b),所以\begin{cases}\frac{b-0}{a-2}=-1\\\frac{b+0}{2}=\frac{a+2}{2}+3\end{cases},所以\begin{cases}a=-3\\b=5\end{cases},所以B_{1}(-3,5),所以(|PA|+|PB|)_{\min}=(|PA|+|PB_{1}|)_{\min}=|AB_{1}|=\sqrt{(-3-(-2))^{2}+5^{2}}根据椭圆定义可知:|PA|+|PB|=2a\geqslant\sqrt{26},所以a\geqslant\frac{\sqrt{26}}{2},又l_{AB_{1}}:5x+y+10=0,所以取等号时\begin{cases}y=-5x-\\y=x+3\end{cases}10,此时P(-\frac{13}{6},\frac{5}{6})所以e=\frac{c}{a}\leqslant\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt[2]{26}}{13},所以离心率最大值为\frac{2\sqrt{26}}{13}
【题目】过抛物线焦点$F$的直线与抛物线交于$A$ , $B$两点，若$A$ , $B$在抛物线准线上的射影分别为$A_{1}$、$B_{1}$则$\angle A_{1} FB_{1}$=?
【解析】
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{5}=1$长轴的端点为焦点，且经过点$(3 , \sqrt{10})$的双曲线的标准方程为?
【解析】
【题目】双曲线$8 k x^{2}-k y^{2}=8$的一个焦点为$(0,3)$，则$k$的值是?
【解析】8kx^{2}-ky^{2}=8变形为\frac{y^{2}}{-\frac{8}{k}}-\frac{x^{2}}{-\frac{1}{k}}=1\therefore(-\frac{8}{k})+(-\frac{1}{k})=9\thereforek=-1
【题目】直线$l$: $x-y=0$与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$相交$A$, $B$两点，点$C$是椭圆上的动点，则$\triangle A B C$面积的最大值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$的一个焦点与抛物线$8 x+y^{2}=0$的焦点重合，则该双曲线的离心率为?
【解析】设抛物线的焦点为F,\because8x+y2=0\Rightarrowy2=-8x\RightarrowF(-2,0)\therefore1+m=2^{2}\Rightarrowm=3,\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{2}{1}=2,均答安为.
【题目】过点$E(-\frac{p}{2}, 0)$的直线与抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$交于$A$、$B$两点，$F$是抛物线的焦点，若$A$为线段$E B$的中点，且$|A F|=3$，则$p$=?
【解析】设A,B两点的坐标分别为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\therefore|AF|=x_{1}+\frac{p}{2},又|AF|=3,故x_{1}=3-\frac{p}{2},由中点坐标公式,得\begin{cases}x_{1}=\frac{x_{2}-\frac{p}{2}}{2}\\y=\frac{y_{2}}{2}\end{cases},即x_{2}=6-\frac{p}{2},y_{2}=2y_{1}\thereforey_{2}^{2}=4y_{1}^{2},即2p(6-\frac{y}{2})=4\times2p(3-\frac{p}{2}),又p>0得:p=4.
【题目】设点$A(-2 , \sqrt{3})$，椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的右焦点为$F$，点$P$在椭圆上移动，当$|P A|+2|P F|$取最小值时，$P$点的坐标是?
【解析】
【题目】以直线$x+2 y=0$为渐近线，且截直线$x-y-3=0$所得弦长为$\frac{8 \sqrt{3}}{3}$的双曲线的标准方程是?
【解析】根据双曲线的一条渐近线为x+2y=0,可设双曲线为x^{2}-4y^{2}=k(k\neq0),将y=x-3代入双曲线得:3x^{2}-24x+k+36=0,若直线与双曲线交点为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=8,x_{1}x_{2}==\frac{k+3}{3}64.\frac{4(k+36)}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3},解得:k=4,故双曲线的方程为\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$的焦点是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1  (a>0)$的右焦点，则双曲线的右准线方程为?
【解析】抛物线y^{2}=8x的焦点(2,0),所以a^{2}+3=4,a^{2}=1,双曲线的右准线方程为x=\frac{a^{2}}{c},x=\frac{1}{2}.
【题目】若椭圆的两个焦点为$F_{1}(-4 , 0)$ , $F_{2}(4 , 0)$，椭圆的弦$A B$过点$F_{1}$，且$\triangle A B F_{2}$的周长为$20$，那么该椭圆的方程为?
【解析】
【题目】椭圆$\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}=\frac{|x-2 y+3|}{5}$的短轴长为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，左顶点为$A$，过$F$作$C$的一条渐近线的垂线，垂足为$M$，若$\tan \angle M A F=\frac{1}{2}$，则$C$的离心率为?
【解析】由题意,得到双曲线的其中一条渐近线的方程为y=-\frac{b}{a}x,进而得到过点F)与y=-\frac{b}{a}x垂直的直线方程为y=\frac{a}{b}(x-c),联立方程组,求得点M的坐标,结合\tan\angleMAF=\frac{1}{2},列出方程\frac{|-\frac{ab}{c}|}{|\frac{a^{2}}{c}-(-a)|}=\frac{1}{2},进而得到3c^{2}-2ac-5a^{2}=0,即可求解如图所示,双曲线C:\frac{x2}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)可得右焦点F(c,0),A(-a,0)其中一条渐近线的方程为y=-\frac{b}{a}x则过点F(c,0)与y=-\frac{b}{a}x垂直的直线方程为y=\frac{a}{b}(x-c),联立方程组\begin{cases}y=\frac{a}{b}(x-c)\\y=-\frac{b}{a}x\end{cases},解得x=\frac{a^{2}}{c},y=-\frac{ab}{c},即M(\frac{a^{2}}{c},\frac{ab}{c})在\triangleAMN中,因为\tan\angleMAF=\frac{1}{2},可得\frac{|MN|}{|AN|}=\frac{|-\frac{ab}{c}|}{|\frac{a^{2}}{c}-(-a)|}=\frac{1}{2},整理得\frac{b}{a+c}=\frac{1}{2},即a+c=2b,所以(a+c)^{2}=4b^{2}=4(c^{2}-a^{2}),整理得3c^{2}-2ac-5a^{2}=0,即3e^{2}-2e-5=0,解得e=\frac{5}{3}或e=-1(舍去)故双曲线的离心率为\frac{5}{3}.
【题目】已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为$e_{1}$, $e_{2}$, 则$e_{1} \cdot e_{2}$=?
【解析】
【题目】以$y=\pm x$为渐近线且经过点$(2,0)$的双曲线方程为?
【解析】以y=\pmx为渐近线的双曲线为等轴双曲线,方程可设为x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0),代入点(2,0)得\lambda=4\thereforex^{2}-y^{2}=4\therefore\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的离心率是$\sqrt{5}$，则抛物线$y=a x^{2}$的准线方程为?
【解析】\because双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{5},c=\sqrt{a^{2}+1}\frac{a^{2+1}}{a}=\sqrt{5},解得a=\frac{1}{2},\cdotv=\frac{1}{3}x^{2}x^{2}=2v所以准线为y=-
【题目】已知点$A(-2,0)$ , $B(3,0)$，动点$P(x, y)$满足$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=x^{2}-6$，则动点$P$的轨迹是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$ $(c, 0)$，存在经过点$F$的一条直线$l$交椭圆于$A$、$B$两点，使得$O A \perp O B$，则该椭圆的离心率的取值范围是?
【解析】先由题意,得到l不是水平直线,设直线l的方程为x=ty+c,点A,B的坐标分别为(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2}),联立直线与椭圆方程,根据韦达定理,以及向量数量积的坐标表示,得到\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{-t^{2}b^{2}a2-b^{4}+a2c^{2}}{b^{2}t^{2}+a^{2}},再由OA\botOB,得出t^{2}=\frac{a2c^{2}-b^{4}}{b^{2}a^{2}},由此列出不等式,即可求出结果.因为存在经过点F的一条直线l交椭圆于A,B两点,使得OA\botOB,显然l不是水平直线,设直线l的方程为x=ty+c,点A,B的坐标分别为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})由\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\x=ty+c\end{cases}消去x,整理得(b^{2}t^{2}+a^{2})y^{2}+24tb^{2}cy+b^{2}(c^{2}-a^{2})=0,由韦达定理\begin{cases}y_{1}+y_{2}=-\frac{2tb^{2}}{b^{2}2}+a^{2},\\y_{1}y_{2}=\frac{b^{2}(c^{2}-a)}{b^{2}t^{2}+a^{2}}=-\frac{b^{4}}{b^{2}+a}\end{cases}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=(ty_{1}+c)(ty_{2}+。=(t^{2}+1)y_{1}y_{2}+tc(y_{1}+y_{2})+c^{2}=(t^{2}+c^{2}+b^{2}c^{2}t^{2}+a^{2}c^{2}=因为OA\botOB,所以\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0,即所以t^{2}=\frac{a2c^{2}-b^{4}}{b^{2}a^{2}},而t^{2}\geqslant0,则a^{2}c^{2}-b^{4}\geqslant0,即a_{2}c^{2}-(a^{2}-c^{2})^{2}\geqslant0,整理得c^{4}-3a^{2}c^{2}+a^{4}\leqslant0,所以(\frac{c}{a})^{4}-3(\frac{c}{a})^{2}+1\leqslant0,即e^{4}-3e^{2}+1\leqslant0,解得\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leqslante^{2}\leqslant\frac{3+\sqrt{5}}{2},即\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\leqslante^{2}\leqslant\frac{6+2\sqrt{5}}{4},又椭圆的离心率满足0<e<1,所以\frac{\sqrt{5}-1}{2}\leqslante<1
【题目】已知两点坐标$A(-4,0)$ , $B(4,0)$，若$|P A|+|P B|=10$，则点$P$轨迹方程为?
【解析】因为A(-4,0),B(4,0),|PA|+|PB|=10\because10>8,\therefore点P到两个定点的距离之和等于定值,\therefore点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,\because2a=10,2c=8,\thereforeb=3,所以椭圆的标准方程是\frac{x2}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1.
【题目】已知双曲线$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$的两条渐近线分别与抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线交于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点，若$\triangle A O B$的面积为$1$，则$p$的值为?
【解析】由题设,渐近线方程为y=\pm2x,联立抛物线得:4x^{2}=2px,则x=0或x=\frac{p}{2}当x=0时,y=0;当x=-\frac{p}{2}时,y=\pmp,则\triangleAOB的面积为\frac{1}{2}\times\frac{p}{2}\times2p=1,又p>0,故p=\sqrt{2}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的焦点$F(2,0)$,过$F$且斜率为$1$的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的方程为?
【解析】\because直线与双曲线有且只有一个交点,且焦点F(2,0),c=2\therefore直线与双曲线渐近线平行,\therefore\frac{b}{a}=1,即a=b,\thereforea^{2}=b^{2}=c^{2}-a^{2},即c^{2}=2a^{2}=4,\thereforea=b=\sqrt{2}则双曲线的方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线与$x$轴的交点为$M$、$N$为抛物线上的一点，且满足$|N F|=\frac{\sqrt{3}}{2}|M N|$，则$\angle N M F$=?
【解析】由点N向准线引垂线,垂足为E,根据抛物线的几何意义知:NF=NE,所以|NE|=\frac{\sqrt{3}}{2}|MN|所以\angleEMN=60^{\circ},那么\angleNMF=30^{\circ}
【题目】设点$P$是椭圆$x^{2}+4 y^{2}=36$上的动点，$F$为椭圆的左焦点，则$|P F|$的最大值为?
【解析】椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1,所以a=6,c=3\sqrt{3}.由椭圆的性质可得,当点P为椭圆的右顶点时,|PF|有最大值,且|PF|_{\max}=a+。=6+3\sqrt{3}答案:6+3\sqrt{3}
【题目】已知椭圆一个焦点到长轴两个顶点间的距离分别是$3 \sqrt{3}$ ,$ \sqrt{3}$，则椭圆的离心率是?
【解析】
【题目】已知直线$y=k(x+2)(k>0)$与抛物线$C$: $y^{2}=8 x$相交于$A$、$B$两点，$F$为$C$的焦点，若$|F A|=2|F B|$，则$k$=?
【解析】
【题目】垂直于$x$轴的直线与抛物线$y^{2}=4 x$相交于$A$、$B$两点. 若$A B$的长为$4 \sqrt{3}$，则焦点到直线$A B$的距离为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点坐标为(1,0),因为垂直于x轴的线段AB的长为4\sqrt{3},设A点在第一象限,则A点的纵坐标为2\sqrt{3}将y=2\sqrt{3}代入y^{2}=4x得,12=4x,解得x=3,则A(3,2\sqrt{3})所以焦点到直线AB的距离为3-1=2.
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$e$，直线$l$: $y=e x+a$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$、$B$、$M$是直线$l$与椭圆$C$的一个公共点，设$|A M|=e|A B|$，则该椭圆的离心率$e$=?
【解析】由于直线l:y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A,B.所以A(-\frac{a}{e},0),B(0,a).由\begin{cases}y=ex+a\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases},消去y得x^{2}+2cx+c^{2}=0,所以M(-c,a-ec)由|AM|=e|AB|,可知\overrightarrow{AM}=e\overrightarrow{AB},即(-c+\frac{a}{e},a-ec)=e(\frac{a}{e},a)所以a-ec=ae,即1-e^{2}=e,解得e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}或\frac{-\sqrt{5}-1}{2}(舍去)
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线$l$与抛物线$C$交于$P$、$Q$两点，与准线交于点$M$，且$\overrightarrow{F M}=3 \overrightarrow{F P}$，则$|\overrightarrow{F P}|$=?
【解析】将\overrightarrow{FM}=3\overrightarrow{FP}转化为|PM|=2|PF|,再利用抛物线的定义以及三角形相似可得答案过点P作PH垂直准线于H,由\overrightarrow{FM}=3\overrightarrow{FP}得|PM|=2|PF|,如图:又由抛物线的定义知|PF|=|PH|,所以|PM|=2|PH|.由三角形相似得\frac{|PH|}{P}=\frac{|PH|}{2}=\frac{|MP|}{|MF|}=\frac{2}{3}所以|PH|=\frac{4}{3},所以|\overrightarrow{FP}|=\frac{4}{3}.
【题目】平面上线段$|G H|=4$，如果三角形$GPH$上的顶点$P$永远保持$|\overrightarrow{P G}|=2|\overrightarrow{P H}|$，那么随着$P$的运动,三角形$GPH$面积的最大值等于?
【解析】设P(x,y),再建立以GH的中点为原点,GH为x轴,GH的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,再有已知条件求出点P的轨迹为以(\frac{10}{3},0)为圆心,\frac{8}{3}为半径的圆,(除去与x轴的两交点),再运算即可得解羊解】设P(x,y),以GH的中点为原点,GH为x轴,GH的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系因为平面上线段|GH|=4,三角形GPH上的顶点P永远保持|\overrightarrow{PG}|=2|\overrightarrow{PH}|所以G(-2,0),H(2,0),\sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}}=2\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}(y\neq0)整理得:x^{2}+y^{2}-\frac{20}{3}x+4=0,化为标准式可得(x-\frac{10}{3})^{2}+y^{2}=\frac{64}{9},(y\neq0)即点P的轨迹为以(\frac{10}{3},0)为圆心,\frac{8}{3}为半径的圆,(除去与x轴的两交点)即三角形GPH面积的最大值等于\frac{1}{2}\times4\times\frac{8}{3}=\frac{16}{3}
【题目】双曲线的渐近线方程是$3 x \pm 2 y=0$，则该双曲线的离心率等于?
【解析】在双曲线焦点分别在x轴和y轴两种情况下,根据渐近线斜率和双曲线a,b,c的关系可求得结果设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),则\frac{b}{a}=\frac{3}{2},\thereforee=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2};综上所述:双曲线的离心率为\frac{\sqrt{13}}{2}或\frac{\sqrt{13}}{3}
【题目】设$m$为常数，若点$F(0,5)$是双曲线$\frac{y^{2}}{m}-\frac{x^{2}}{9}=1$的一个焦点，则$m$=?
【解析】双曲线的焦点坐标为F(0,5),故焦点在y轴上,由c^{2}=a^{2}+b^{2}得25=m+9,m=16
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{k}=1$的焦距为$6$，则$k$的值是?
【解析】当椭圆的焦点在x轴时,a^{2}=20,b^{2}=k,所以c^{2}=a^{2}-b^{2}=20-k,所以c=\sqrt{20-k},因为椭圆\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{k}=1的焦距为6,所以c=\sqrt{20-k}=3,所以k=11;当椭圆的焦点在y轴时,a^{2}=k,b^{2}=20,所以c^{2}=a^{2}-b^{2}=k-20,所以c=\sqrt{k-20},因为椭圆\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{k}=1的焦距为6,所以c=\sqrt{k-20}=3,所以k=29;故应填11或29.
【题目】已知直线$x-y-2=0$过双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为?
【解析】根据直线方程可知双曲线的焦点坐标,再根据垂直关系得到a,b的关系,结合c的值即可求解出实轴的长度(详解)因为x-y-2=0过点(2,0),(0,-2),且双曲线的焦点在x轴上,所以c=2.又因为x-y-2=0与一条渐近线垂直,所以\frac{b}{a}=1所以a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{4-a^{2}},所以a=\sqrt{2},所以实轴长为2\sqrt{2}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，$P$是其渐近线在第一象限内的点，点$Q$在双曲线上，且满足$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ , $\overrightarrow{P F_{2}}=4 \overrightarrow{P Q}$,则双曲线的离心率为?
【解析】由题意可知,\trianglePF_{1}F_{2}为直角三角形,则OP=OF_{1}=OF_{2}.设点P的坐标为P(x,y)(x>0,y>0),结合点P在渐近线y=\frac{b}{a}x上可得:\begin{cases}y=\frac{b}{a}x\\x^{2}+y^{2}=c^{2}\end{cases},解得:\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases},则P(a,b)且F_{2}(c,0),设Q(m,n),由题意有:\overrightarrow{PF_{2}}=(c-a,-b),\overrightarrow{PQ}=(m-a,n-b),则:(c-a,-b)=4(m-a,n-b),\begin{matrix}m=\frac{c}{4}+\frac{3a}{4}&则(\frac{c}{4}+\frac{3a}{4},-\frac{3b}{4})在双曲线上:\\n=-\frac{3b}{4}&即:\frac{1}{16}(e+3)^{2}-\frac{9}{16}=1,则:(e+3)^{2}=25即双曲线的离心率为2.
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$, $\odot C$:$(x-a)^{2}+(y-2 \sqrt{3})^{2}=16$过点$F$且与$l$相切，则$p$=?
【解析】F(\frac{p}{2},0)代入圆方程中得到一方程,圆心到1的距离等于半径得另一方程,解方程组即可F(\frac{p}{2},0)在(x-a)^{2}+(y-2\sqrt{3})^{2}=16上所以(\frac{p}{2}-a^{2}+(0-2\sqrt{3})^{2}=16,即|\frac{P}{2}-a|=2(1)(x-a)^{2}+(y-2\sqrt{3})^{2}=16和与l相切,|a+\frac{p}{2}|=4(2)由(1)(2)得,所以p=2或p=6
【题目】过双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$的左焦点$F_{1}$作一条直线$l$交双曲线左支于$P$、$Q$两点，若$|P Q|=4$ ,$F_{2}$是双曲线的右焦点，则$\triangle P F_{2} Q$的周长是?
【解析】由题意,根据双曲线的定义可得,|PF_{2}|-|PF_{1}|=2,|QF_{2}|-|QF_{1}|=2,因为|PF_{1}|+|QF_{1}|=|PQ|=4,\therefore|PF_{2}|+|QF_{2}|-4=4,解得|PF_{2}|+|QF_{2}|=8,\therefore\trianglePF_{2}Q的周长是PF_{2}|+|QF_{2}|+|PQ|=8+4=12.
【题目】以椭圆$x^{2}+2 y^{2}=1$中心为顶点，右顶点为焦点的抛物线的标准方程为?
【解析】由于x^{2}+2y^{2}=1的右顶点为(1,0),故抛物线的标准方程为y^{2}=4x
【题目】已知双曲线$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$与双曲线$C_{2}$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$有相同的渐近线:且$C_{1}$的右焦点为$F(\sqrt{5}, 0)$, 则$a$=?$b$=?
【解析】
【题目】设$F_{1}$ , $F_{2}$为曲线$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点，$P$是曲线$C_{2}$: $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$与$C_{1}$的一个交点，则$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积为?
【解析】由\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1\textcircled{1},\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1\textcircled{2}解得x^{2}=\frac{9}{2},y^{2}=\frac{1}{2},不妨设P(\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),所以\trianglePF_{1}F_{2}的面积为\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|\times|y_{P}|=\frac{1}{2}\times4\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}
【题目】设点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$上的一动点，$F$是椭圆的左焦点，则$|P F|$的取值范围为?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1设P(x_{0},y_{0}),可得|PF|=\sqrt{(x_{0}-3)^{2}+y_{0}^{2}}=\frac{3}{4}x_{0}+4\cdot-4\leqslantx_{0}\leqslant4\therefore-3\leqslant\frac{3}{4}x_{0}\leqslant31\leqslant\frac{3}{4}x_{0}+4\leqslant7|\leqslant|PF|\leqslant7
【题目】已知点$P(1,-1)$, $F$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点,$M$为椭圆上一点,且使$|MP|+2|MF|$的值最小,则点$M$为?
【解析】
【题目】过点$M(1 , 1)$的直线$l$与曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$相交于$A$ , $B$两点，若点$M$是弦$AB$的中点则直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$的焦点恰好是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}=1(a>0)$的右焦点，则该双曲线的离心率为?
【解析】求出抛物线的焦点,可得c的值,由双曲线方程,可得a的值,可得双曲线的离心率.易得抛物线y^{2}=8x的焦点为:(2,0)故双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}=1(a>0)的右焦点为(2,0),c=2可得:a^{2}+2=2^{2},a=\sqrt{2},故双曲线的离心率为:e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆上一点，$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$,则椭圆离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】椭圆$16 x^{2}+9 y^{2}=144$的长轴长为?
【解析】
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1$表示的曲线是焦点在$x$轴上且离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆，则$m$=?
【解析】焦点在x轴上的椭圆方程\frac{x^{2}}{m}+y^{2}=1的离心率为\frac{1}{2},则a=\sqrt{m}>1,b=1c=\sqrt{1-m},\frac{\sqrt{1-m}}{\sqrt{m}}=\frac{1}{2},解得m=\frac{4}{3}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P(x_{0},\frac{5}{2})$为双曲线上一点，若$\Delta P F_{1} F_{2}$的内切圆半径为$1$,且圆心$G$到原点$O$的距离为$\sqrt{5}$，则双曲线的离心率是?
【解析】设P为第一象限的点,圆与F_{1}F_{2},PF_{1},PF_{2}的切点分别为A',B,D.\because|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,|PD|=|PB|,|DF_{1}|=|A'F_{1}||BF_{2}|=|A'F_{2}|,即为|PD|+|DF_{1}|-|PB|-|BF_{2}|=|DF_{1}|-|BF_{2}|=|A'F_{1}|-|A'F_{2}|=2a,且|A'F_{1}|+|A'F_{2}|=2c,可得|A'F_{2}|=c-a,则A与A'重合,则|OA'|=|OA|=a,故\sqrt{a^{2}+1}=\sqrt{5},即a=2.又\trianglePF_{1}F_{2}的面积S=\frac{1}{2}\times\frac{5}{2}\times|2c|=\frac{1}{2}(|F_{1}F_{2}|+|PF_{1}|+|PF_{2}|)\times1,\therefore|PF_{1}|+|PF_{2}|=3c,\because|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,\therefore|PF_{1}|=\frac{3c+2a}{2},|PF_{2}|=\frac{3c-2a}{2},\because|PF_{1}|=\sqrt{(x_{0}+c)^{2}+\frac{25}{4}},|PF_{2}|=\sqrt{(x_{0}-c)^{2}+\frac{25}{4}},联立化简得x_{0}=3.P代入双曲线方程,联立解得b=\sqrt{5},c=\sqrt{4+5}=3即有双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}.
【题目】抛物线$y^{2}=2 x$上各点与焦点连线的中点的轨迹方程是?
【解析】设P(x_{0},y_{0})是抛物线y^{2}=2x上任意一点,点P与焦点F(\frac{1}{2},0)连线的中点M(x,y),所以\frac{y_{0}}{0},,即3_{0}=2x-\frac{1}{2},y_{0}=2y,而y_{0}^{2}=2x_{0},所以中点M(x,y)的轨迹方程为-\frac{1}{2}),即y^{2}=x-\frac{1}{4}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，其上一点$P$满足$P F_{1}=5 P F_{2}$，则点$P$到右准线的距离为?
【解析】设点P到右准线的距离为d,根据双曲线的定义,PF_{1}-PF_{2}=8,解得PF_{2}=2,由双曲线的第二定义,\frac{PF_{2}}{d}=e=\frac{5}{4},解得d=\frac{8}{5}
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{k+4}+\frac{y^{2}}{9}=1$的一个焦点为$(0,-2)$，则$k$=?
【解析】因为椭圆的焦点为(0,-2),所以有\begin{cases}9>k+4>0\\2=\sqrt{9-(k+4)}\end{cases}\Rightarrowk=1,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的右焦点为$F$，由$F$向其渐近线引垂线，垂足为$P$，若线段$PF$的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C_{1}$与双曲线$C_{2}$的焦点重合，$C_{1}$的方程为$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$，若$C_{2}$的一条渐近线的倾斜角是$C_{1}$的一条渐近线的倾斜角的$2$倍，则$C_{2}$的方程为?
【解析】由题意得C_{1}的焦点为(\pm2,0),所以双曲线C_{2}的焦点为(\pm2,0),即c=2而C_{1}的一条渐近线为y=\frac{\sqrt{3}}{3}x',其斜率k=\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3},即C_{1}的一条渐近线的倾斜角\alpha=\frac{\pi}{6}而C_{2}的一条渐近线的倾斜角是C_{1}的一条渐近线的倾斜角的2倍,所以C_{1}的一条渐近线的倾斜角为2\alpha=\frac{\pi}{3},其斜率k=\sqrt{3},即C_{2}的一条渐近线为y=\sqrt{3}x=\frac{b}{a}x,即\frac{b}{a}=\sqrt{3}而a^{2}+b^{2}=c^{2},解得a=1,b=\sqrt{3}所以C_{2}的方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1.睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记双曲线的标准方程,以及合理应用双曲线的几何性质求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
【题目】方程$\frac{x^{2}}{2-k}+\frac{y^{2}}{k-1}=1$表示双曲线，则实数$k$的取值范围是?
【解析】\because方程\frac{x^{2}}{2-k}+\frac{y^{2}}{k-1}=1表示双曲线,\therefore(2\cdotk)(k\cdot1)<0\thereforek<1或k>2\therefore实数k的取值范围是k<1或k>2数答客为k<1或k>2与要】木题老杏的看占与又曲线的标准方程,解题的关锥是确定双曲线标准方程中平方面的系数是号
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，过$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，且$\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$,则$|\overrightarrow{A F}|$=?
【解析】易知抛物线y^{2}=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2.如图,取AF的中点为C,分别过A,C,F,B作准线的垂线,垂足分别为M,Q,P,N.由抛物线的定义可知,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|,则|AM|=2|BN|设|BN|=a,则|AM|=2a,又|PF|=4,所以|CQ|=8-a,又|PF|+|AM|=2|CQ|,即4+2a=2(8-a),解得a=3.所以|\overrightarrow{AF}|=2\times3=6
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{3}=1$的两个焦点，$P$是第一象限内该椭圆上一点，且$\frac{\sin \angle P F_{1} F_{2}+\sin \angle P F_{2} F_{1}}{\sin \angle F_{1} P F_{2}}=2$，则正数$m$的值为?
【解析】当焦点在x轴上,2=\frac{2a}{2c}=\frac{2\sqrt{m}}{2\sqrt{m-3}},解得:m=4;当焦点在y轴上,2=\frac{2a}{2c}=\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2\sqrt{3-m}},解得:m=\frac{9}{4}.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的右焦点与抛物线$y^{2}=8 \sqrt{2} x$的焦点重合，则该双曲线的渐近线的方程是?
【解析】抛物线y^{2}=8\sqrt{2}x的焦点为(2\sqrt{2},0),由题意可得双曲线的c=2\sqrt{2},即有4+b^{2}=c^{2}=8解得b=2,即有双曲线的方程为x^{2}-y^{2}=4,可得渐近线方程为y=\pmx,
【题目】已知直线$2 x-3 y=0$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线，则$C$的离心率为?
【解析】因为直线2x-3y=0是双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线所以\frac{b}{a}=\frac{2}{3}所以C的离心率为e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\frac{\sqrt{13}}{3}
【题目】过双曲线的一个焦点$F_{2}$作垂直于实轴的弦$P Q$, $F_{1}$是另一焦点，若$\angle P F_{1} Q=\frac{\pi}{2}$，则双曲线的离心率$e$等于?
【解析】
【题目】抛物线$y=\frac{1}{4} x^{2}$的焦点坐标为?
【解析】
【题目】椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的两焦点为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为$C$上的一点，则$|P F_{1}|+|P F_{2}|$=?
【解析】在椭圆C中,a=2,由椭圆定义可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=4
【题目】过点$(\sqrt{2},-2)$且与双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$有公共渐近线的双曲线方程是?
【解析】分析:设所求双曲线的方程为\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=m(m\neq0),代入(\sqrt{2},2)求出m即可.详设双曲线方程为\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=m(m\neq0),将(\sqrt{2},2)代入可得m=-3,故所求双曲线方程为\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{6}=1.
【题目】设$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上的一个动点，则点$P$到点$A(-1,1)$的距离与点$P$到直线$x=-1$的距离之和的最小值为?
【解析】设抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0),因为直线x=-1是该抛物线的准线,所以点P到直线x=-1的距离等于PF,所以当A、P、F在同一条直线上时,点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小,最小值为AF=\sqrt{1-(-1)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{5}
【题目】已知双曲线$C$的焦点、实轴端点恰好是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的长轴的端点、焦点，则双曲线$C$的方程为?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1的长轴端点为(\pm5,0)、焦点为(\pm3,0),所以双曲线的焦点为(\pm5,0),实轴端点为(\pm3,0),设双曲线的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,即c=5,a=3,b=4,所以渐近线方程为:y=\pm\frac{4}{3}x,即:4x\pm3y=0.
【题目】已知抛物线顶点在原点，对称轴是$x$轴，点$P(-5,2 \sqrt{5})$到焦点的距离是$6$，则其标准方程为?
【解析】设焦点F(a,0),|PF|=\sqrt{(a+5)^{2}+20}=6,即a^{2}+10a+9=0,解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y^{2}=-4x当焦点为F(-9,0)时,抛物线开口方向向左,其方程为y^{2}=-36x
【题目】若双曲线经过点$(1, \sqrt{3})$，其渐近线方程为$y=\pm 2 x$，则双曲线的方程是?
【解析】由题意可知,\textcircled{1}若双曲线的焦点在x轴上,则可设\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),则\frac{1}{a^{2}}-\frac{3}{b^{2}}=1且\frac{b}{a}=2,联立解得a=\frac{1}{2},b=1则双曲线的标准方程为4x^{2}-y^{2}=1\textcircled{2}若双曲线的焦点在y轴上,则可设\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),则\frac{3}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}=1,且\frac{a}{b}=2,此时无解,综上,双曲线的方程为4x^{2}-y^{2}=1.
【题目】已知点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆的左、右焦点，已知$\angle F_{1} P F_{2}=120^{\circ}$，且$|P F_{1}|=3|P F_{2}|$，则椭圆的离心率为?
【解析】设|PF_{2}|=x,|PF_{1}|=3x,2a=4x,由余弦定理知(2c)^{2}=13x^{2},所以\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{4},故填\frac{\sqrt{13}}{4}
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两个焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为双曲线上一点，且$|P F_{1}|=3|P F_{2}|$，则该双曲线离心率$e$的取值范围是?
【解析】依题意得\begin{cases}|PF_{1}|=3|PF_{2}|\\|PF|-|PF|=2a\end{cases}由此解得|PF_{2}|=a,|PF_{1}|=3a,\because|PF_{1}|+|PF_{2}|F_{1}F_{2}|,即c\leqslant2a,e=\frac{c}{a}\leqslant2.又e>1,\therefore离心率e的取值范围是(1,2].答案:(1,2).
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线$l$，交抛物线于$A$、$B$两点，若线段$A B$中点的横坐标为$3$，则$|A B|$等于?
【解析】
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点是$F$，左、右顶点分别是$A_{1}$、$A_{2}$，过点$F$作$x$轴的垂线与双曲线交于$B$，$C$两点，若$A_{1} B \perp A_{2} C$，则该双曲线的渐近线的斜率为?
【解析】不妨设点B在第一象限,则A_{1}(-a,0),B(c,\frac{b^{2}}{a}),A_{2}(a,0),C(c,-\frac{b^{2}}{a}),所以\overrightarrow{A_{1}B}=(a+c,\frac{b^{2}}{a}),\overrightarrow{A_{2}C}=(c-a,-\frac{b^{2}}{a})B_{1}B=(a+c,\frac{a}{a})'A_{2}C=(c-a,-\frac{a}{a})所以该双曲线渐近线的斜率k=+\frac{b}{1}=+1.均答家为:+1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率为$2$，它的一个焦点与抛物线$y^{2}=8 x$的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为?渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\Gamma$过点$(2, \sqrt{3})$，且与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$有相同的渐近线，则双曲线$\Gamma$的标准方程为?
【解析】设与双曲线\frac{x2}{4}-y^{2}=1有相同的渐近线的双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=2(\lambda\neq0),将点(2,\sqrt{3})带人方程有\frac{4}{4}-3=\lambda,所以\lambda=-2,则所求双曲线方程为\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{8}=1
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上任意两点$P$、$Q$，若$O P \perp O Q$，则乘积$|O P| \cdot|O Q|$的最小值为?
【解析】设P(|OP|\cos\theta,|OP|\sin\theta),Q||OQ|\cos(\theta\pm\frac{\pi}{2}),|OQ|si(\theta\pm\frac{\pi}{2}))由P,Q在椭圆上,有\frac{os^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}\textcircled{1}\frac{1}{1^{2}}=\frac{\sin^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\cos2\theta}{b^{2}}\textcircled{2}\frac{1}{20}|^{2}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}于是当|OP|=|OQ|=\sqrt{\frac{2a2b^{2}}{a2+b^{2}}}时,|OP||OQ|达到最小值\frac{2a2b^{2}}{a^{2}+b^{2}}
【题目】设$F$为抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，$A$ , $B$ , $C$为该抛物线上三点，若$\overrightarrow{F A}+\overrightarrow{F B}+\overrightarrow{F C}=0$，则$|\overrightarrow{F A}|+| \overrightarrow{F B}|+| \overrightarrow{F C} |$=?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4 a^{2}}=1  (a>0)$的离心率为?
【解析】
【题目】已知双曲线的中心在原点$O$，焦点在$x$轴上，它的虚轴长为$2$，且焦距是两准线间距离的$2$倍，则该双曲线的方程为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$的焦点坐标是?
【解析】由题意可得a=\sqrt{3},b=1,\thereforec=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}因此,椭圆\frac{x^{2}}{3}+y2=1的焦点坐标是(\pm\sqrt{2},0),
【题目】已知$F$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$的左焦点，$A(1,4)$, $P$是双曲线右支上的动点，则$|P F|+|P A|$的最小值为?
【解析】作出图形,设双曲线的右焦点为M,根据双曲线的定义可得|PF|=4+|PM|,可得出|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4,利用A、P、M三点共线时|PF|+|PA|取得最小值即可得解对于双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1,则a=2,b=2\sqrt{3},c=4,如下图所示:由双曲线的定义可得|PF|-|PM|=4,则|PF|=4+|PM|,所以,|PF|+|PA|=|PM|+|PA|+4\geqslant|AM|+4=\sqrt{(1-4)^{2}+(4-0)^{2}}+4=9当且仅当A、P、M三点共线时,等号成立.因此,|PF|+|PA|的最小值为9.
【题目】已知$F$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$的右焦点，$P$为椭圆$C$上一点，$A(1,2 \sqrt{2})$，则$|P A|+|P F|$的最大值为?
【解析】的标准方程可表示点,以及由专化|PF|,再由三角形成形原则构建不等式关系求最根据题意,设椭圆的左焦点为F,椭圆的方程为\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1,其中a=\sqrt{3},P为椭圆C上一点,则|PF|+|PF|=2a=2\sqrt{3},则c=\sqrt{3-2}=1,则F(1,0),F(-1,0),则|PF|=2a-|PF|=2\sqrt{3}-|PF|,且显然点A在椭圆内则|PA|+|PF|=|PA|+2\sqrt{3}-|PF|=2\sqrt{3}+|PA|-|PF|,分析可得:|PA|-|PF|\leqslant|AF|=2\sqrt{3},(三角形成形原则)当P、A、F三点共线时,等号成立,则|PA|+|PF|的最大值为4\sqrt{3}
【题目】已知: 椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{k}=1$的离心率$e=\frac{\sqrt{10}}{5}$，则实数$k$的值为?
【解析】当K>5时,由e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{k-5}{k}}=\frac{\sqrt{10}}{5}求得K值,当0<K<5时,由e=\frac{c}{a}\sqrt{\frac{5-k}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5},求得K值.当K>5时,e=\frac{c}{a}\sqrt{\frac{k-5}{k}}=\frac{\sqrt{10}}{5},K=\frac{25}{3}.综上,K=\frac{25}{3}或3
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的焦点坐标是?
【解析】根据双曲线方程求c^{2},直接求焦点坐标.由条件可知a^{2}=3,b^{2}=1,则c^{2}=a^{2}+b^{2}=4,则c=2,并且焦点在x轴,所以双曲线的焦点坐标是(2,0),(-2,0).
【题目】已知$F$是抛物线$C$: $y^{2}=16 x$的焦点，$P$是$C$上一点，$P F$的延长线交$y$轴于点$Q$若$\overrightarrow{P F}=\frac{2}{3} \overrightarrow{P Q}$，则$|F Q|$=?
【解析】由抛物线C:y^{2}=16x,可知F(4,0),即OF=4(O为坐标原点)过点P作y轴的垂线,垂足为N,由三角形相似可知\frac{|OF|}{|PN|}=\frac{|FQ|}{|QP|}=\frac{1}{3},所以|PN|=3|FO|=12,故|PF|=12+4=16所以|FQ|=\frac{1}{2}|PF|=8.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$上的点到一个焦点的距离为$12$，则到另一个焦点的距离为?
【解析】设双曲线\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1的左右焦点分别为F_{1},F_{2},利用双曲线的定义|PF_{1}|-|PF_{2}||=2a=10,即可求得答案羊解】设双曲线的左右焦点分别为F_{1},F_{2},则a=5,b=3,c=\sqrt{34},不妨令|PF_{1}|=12(12>a+c=5+\sqrt{34})\therefore点P可能在左支,也可能在右支,由|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=10得:|12-|PF_{2}|=10,\therefore|PF_{2}|=22或2.\therefore点P到另一个焦点的距离是22或2.女答案为:2或22与睛】本题考查双曲线的简单性质,解答要细心审题与准确规范
【题目】焦点在$y$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，则$m$的值为?
【解析】已知椭圆\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2}=1的离心率为\frac{1}{2}因为椭圆的焦点在y轴上,所以0<m<2.所以a=\sqrt{2},b=\sqrt{m},c=\sqrt{2-m}.所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}解得:m=\frac{3}{3}
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左、右焦点,点$P$在椭圆上运动,则$|P F_{1}| \cdot |P F_{2}|$的最大值是?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0<m<3)$的离心率等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则椭圆的标准方程为?
【解析】根据椭圆的基本概念,结合题意算出a=3,c=\sqrt{3},,从而得到b^{2}=6.再根据椭圆的焦点位置即可确定此椭圆的标准方程.羊解)\because椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(0<m<3)的长轴为6,离心率是\frac{\sqrt{3}}{3},焦点在x轴上\therefore2a=6,e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3},解得a=3,c=\sqrt{3},b^{2}=a^{2}-c^{2}=6又椭圆的焦点在x轴上,其方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1
【题目】已知点$A(-2 , 3)$在抛物线$C$: $y^{2}=2 p x$的准线上，记$C$的焦点为$F$，则直线$A F$的斜率为?
【解析】因为A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上所以\frac{p}{2}=2,有p=4,F(2,0),所以直线AF的斜率为\frac{3}{-2-2}=-\frac{3}{4}
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{20}=1$有共同的渐近线，且经过点$(-5,2 \sqrt{15})$的双曲线方程为?
【解析】由题设,渐近线方程为y=\pm2x,令所求双曲线方程为4x^{2}-y^{2}=\lambda,\lambda\inR.又(-5,2\sqrt{15})在双曲线上,则\lambda=4\times(-5)^{2}-(2\sqrt{15})^{2}=100-60=40所求双曲线方程为\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{40}=1
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，若$|P F_{1}|=4$ , $\angle F_{1} P F_{2}$的大小为?
【解析】
【题目】从焦点为$F$的抛物线$y^{2}=2 p x  (p>0)$上取一点$A(x_{0}, y_{0})(x_{0}>\frac{p}{2})$作其准线的垂线，垂足为$B$. 若$|A F|=4$,$B$到直线$A F$的距离为$\sqrt{7}$，则此抛物线的方程为?
【解析】过B作BC\botAF于C,则BC=\sqrt{7},由|AF|==|AB|=4,所以_{\sin\angleBAF}=\frac{\sqrt{7}}{4},则\cos\angleBAF=\frac{3}{4},过F作FD\botAB于D,则|AD|=|AF|\cos\angleBAF=3,则p+|AD|=4,得p=1所以v2=2x.
【题目】$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上的动点，作$P D \perp y$轴，$D$为垂足，则$P D$中点的轨迹方程为?
【解析】设点P的坐标为(x_{0},y_{0}),则\frac{x_{0}^{2}}{16}+\frac{y_{0}^{2}}{9}=1'由于PD\boty轴,D为垂足,则D(0,y_{0})设PD的中点为M(x,y),则\begin{cases}x=\frac{x_{0}}{2}\\y=y_{0}\end{cases},可得\begin{cases}x_{0}=2x\\y_{0}=y\end{cases}将\begin{cases}x_{0}=2x\\y_{0}=y\end{cases}代入等式\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1可得\frac{(2x)^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1'即\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】设$P(x1, y1)$是曲线$C$: $\sqrt{\frac{x^{2}}{25}}+\sqrt{\frac{y^{2}}{9}}=1$上的点，$F_{1}(-4,0)$ , $F_{2}(4,0)$，则$|P F_{1}|+|P F_{2}|$的最大值为?
【解析】曲线C的方程为\frac{|x|}{5}+\frac{|y|}{3}=1,作出椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1和曲线C的图象如下图所示则点F_{1}F_{2}分别为椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1的左、右焦点,由椭圆定义得|MF_{1}|+|MF_{2}|=10延长F_{1}P交椭圆于点M当点P不在坐标轴上时,由三角形三边关系得|MP|+|MF_{2}|>|PF_{2}|.所以,|PF_{1}|+|PF_{2}|<|PF_{1}|+|MP|+|MF_{2}|=|MF_{1}|+|MF_{2}|=10当点P为椭圆C的顶点时|PF_{1}|+|PF_{2}|=10.综上所述,|PF|+|PF_{2}|\leqslant10,因此,|PF|+|PF_{2}|的最大值为10
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点为$F$，点$P$在双曲线右支上，若线段$P F$的中点在以原点$O$为圆心，$|O F|$为半径的圆上，且直线$P F$的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，则该双曲线的离心率是?
【解析】如图设双曲线的右焦点为F,线段PF的中点为M,连接OM,MF',PF',则|OM|=c,|PF|=2c,又直线PF的斜率为\frac{\sqrt{5}}{2}.\therefore在直角三角形FMF中_{\tan\angleMFF}=\frac{\sqrt{5}}{2},\cos\angleMFF=\frac{2}{3},|FF|=2c.\therefore|FM|=\frac{4c}{3},|FP|=\frac{8c}{3},\therefore|FP|-|PF|=\frac{8c}{3}-2c=2a,即c=3a,\thereforee=\frac{c}{a}=3.
【题目】焦点到准线的距离为$\frac{3}{2}$的抛物线的标准方程为?
【解析】依题意\Square所以抛物线方程为:区或区间或区
【题目】椭圆的长轴长为$10$，短轴长为$8$，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$的准线过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点，且被双曲线截得的线段长为$6$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】由题意得,抛物线的准线x=-2,所以双曲线c=2,即双曲线的左焦点为F(-2,0)设直线x=-2与双曲线交于A,B两点,可得|AB|=\frac{2b^{2}}{a},即\frac{2b^{2}}{a}=6',所以b^{2}=3a,又c^{2}=a^{2}+b^{2},即4=a^{2}+b^{2}=a^{2}+3a\Rightarrowa^{2}+3a-4=0,解得a=1,b=\sqrt{3},所以双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x.
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{2 m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1$表示焦点在$x$轴上的双曲线，则$m$的取值范围是?
【解析】方程\frac{x^{2}}{2m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1表示焦点在x轴上的双曲线,可得:\begin{cases}\\\end{cases},解得m\in(0,2).m-2<0
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a}=1$的长轴长是短轴长的$2$倍，则$a$的值为?
【解析】当a^{2}>a且a>0,即a>1时,此时长轴是短轴的2倍,则2a=2\times2\sqrt{a},解得a=4;当0<a<1时,此时长轴是短轴的2倍,则2\sqrt{a}=2\times2a,解得a=\frac{1}{4}所以实数a的值为4或\frac{1}{4}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$的两个焦点，点$M$在$C$上，则$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}$的最大值为?
【解析】设点M的坐标,根据向量数量积的运算规则将所求表示为点M横坐标的函数,再求解函数的最大值即可.羊解】根据题意,F_{1},F_{2}的坐标分别为(-\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0),设M的坐标为(x,y),可得:\overrightarrow{F}_{1}=(.\sqrt{2}-x,-y,\overrightarrow{MF_{2}}=(\sqrt{2}-x,-y\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}=x^{2}-2+y^{2},又点M在椭圆上,即:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1(-2\leqslantx\leqslant2)\therefore\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}=x^{2}-2+y^{2}=x^{2}-2+2-\frac{x^{2}}{MF_{1}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}的最大值为\frac{2^{2}}{2}=2
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{k-4}+\frac{y^{2}}{10-k}=1$表示椭圆，则实数$k$的取值范围为?
【解析】根据题意可得方程\frac{x^{2}}{k-4}+\frac{y2}{10-k}=1表示椭圆的方程\begin{cases}k-4>0\\10-k>0\\k-A+10-\iota\end{cases}解得:4<k<10且k\neq7(k-4\neq10-k\therefore实数k的取值范围是(4,7)\cup(7,10)
【题目】$A B$是圆$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{5}{2}$的一条直径，若椭圆$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}=1$经过$A$、$B$两点，则$A B$直线方程为?
【解析】根据圆的性质可知AB中点为(-2,1),在椭圆中利用点差法可求得k_{AB}直线点斜式可整理得到所求直线方程.-2,1)
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，其焦距为$2 c$ , $P$是双曲线$C$上一点，若$\Delta F_{1} P F_{2}$的周长为$6 a+2 c$，面积为$2 a c$，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】不妨设点P是双曲线C右支上一点,结合已知与双曲线的定义得|PF_{1}|=4a,|PF_{2}|=2a\sin\anglePF_{1}F_{2}=\frac{1}{2},由于|PF_{1}|>|PF_{2}|,故在\triangleF_{1}PF_{2}中,由余弦定理得3a^{2}-2\sqrt{3}ac+c^{2}=0,解得c=\sqrt{3}a,进而得b^{2}=2a^{2},进而得答案.羊解】不妨设点P是双曲线C右支上一点由双曲线定义可得:|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,又|PF_{1}|+|PF_{2}|=6a,所以|PF_{1}|=4a,|PF_{2}|=2a,\DeltaF_{1}PF_{2}的面积S=\frac{1}{2}\times4a\times2c\times\sin\anglePF_{1}F_{2}=2ac,所以\sin\anglePF_{1}F_{2}=\frac{1}{2}因为|PF_{1}|>|PF_{2}|,所以\anglePF_{1}F_{2}为锐角,所以_{\cos\anglePF_{1}F_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}在\triangleF_{1}PF_{2}中,由余弦定理得\cos\anglePF_{1}F_{2}=\frac{(4a)^{2}+(2c)^{2}-(2a)^{2}}{2\times4a\times2c}=\frac{\sqrt{3}}{2}所以3a^{2}-2\sqrt{3}ac+c^{2}=0,即(\sqrt{3}a-c)^{2}=0,得c=\sqrt{3}a,所以c^{2}=3a^{2}.又a^{2}+b^{2}=c^{2},所以b^{2}=2a^{2},故双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{2}x
【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点$F_{1}$、$F_{2}$在$x$轴上，点$P(2 , 3)$在椭圆上，且$P F_{2} \perp x$轴，则椭圆的标准方程为?
【解析】
【题目】已知$A(0,7)$ ,$B(0,-7)$ , $C(12 , 2)$，以$C$为一个焦点作过$A$ , $B$的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为?
【解析】
【题目】已知$A$、$B$是抛物线$x^{2}=y$上的两个动点，过$A$、$B$的两条切线交于点$P$，若$\angle A P B=90^{\circ}$，则点$P$的纵坐标为?
【解析】
【题目】若抛物线$y=a x^{2}$的焦点坐标是$(0,1)$，则$a$=?
【解析】抛物线y=ax^{2}的标准方程为x^{2}=\frac{1}{a}y'\because抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),\therefore\frac{1}{4a}=1,\thereforea=\frac{1}{4},
【题目】设$a, b \in R$, $a^{2}+2 b^{2}=6$，则$\frac{b}{a-3}$的最大值是?
【解析】根据题意,由于a,b\inR,a^{2}+2b^{2}=6,那么将点(a,b),可知点在椭圆的内部,则所求的将是点(a,b)与(3,0)两点的斜率的范围.则可知只有相切的时候可知最大值的斜率.设直线方程为y=k(x-3),与椭圆联立可知,判别式为零,得到k=1,即可知\frac{b}{a-3}的最大值是1.
【题目】已知一条过点$P(2,1)$的直线与抛物线$y^{2}=2 x$交于$A$、$B$两点，$P$是弦$A B$的中点，则直线$A B$的斜率为?
【解析】点P(2,1)在抛物线内,过P斜率不为零的直线与抛物线有两个交点,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=2,由题知:\begin{cases}y_{1}=2x_{1}\\y_{2}=2x_{2}\end{cases}x_{1}则(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=2(x_{1}-x_{2})即2(y_{1}-y_{2})=2(x_{1}-x_{2}),k_{AB}=\frac{y_{1}}{x_{1}}\frac{-y_{2}}{x_{2}}
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a>0)$，它的渐近线方程是$y=\pm 2 x$, 则$a$的值为?
【解析】
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$上一点$P(x_{0}, y_{0})  (y_{0} \neq 0)$的切线的斜率为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F(5,0)$，且一条渐近线方程是$y=\frac{4}{3} x$，则该双曲线的方程是?
【解析】由题意可得\begin{cases}\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\\\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5\end{cases}解得\begin{cases}a=3\\b=4\end{cases},因此,双曲线的方程是\frac{x2}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在双曲线上，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$|P F_{1} |$=?
【解析】双曲线\frac{x2}{4}-y^{2}=1的a=2,b=1,c=\sqrt{5}设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,由双曲线的定义可得|m\cdotn|=2a=4,\textcircled{1}在\trianglePF_{1}F_{2}中,\angleF_{1}PF_{2}=60^{\circ}可得4c^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos60^{\circ}=m^{2}+n^{2}-mn=(m-n)^{2}+mn即为mn+16=20,即mn=4,\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}解得m=2\sqrt{2}-2或2\sqrt{2}+2
【题目】已知椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ , $P$为$E$的长轴上任意一点，过点$P$作斜率为$\frac{1}{2}$的直线$l$与$E$交于$M$、$N$两点，则$|P M|^{2}+|P N|^{2}$的值为?
【解析】设P(m,0)(-2\leqslantm\leqslant2),直线l的方程为y=\frac{1}{2}(x-m),M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})将直线方程代入椭圆方程并化简得到2x^{2}-2mx+m^{2}-4=0,进而有x_{1}+x_{2}=m,x_{1}x_{2}=\frac{m^{2}-4}{2},所以|MP|^{2}+|PN|^{2}=(x_{1}-m)^{2}+y_{1}^{2}+(x_{2}-m)^{2}+y_{2}^{2}|MP|^{2}+|PN|^{2}=\frac{5}{4}[(x_{1}+x_{2})^{2}-2m(x_{1}+x_{2})-2x_{1}x_{2}+2m^{2}]|MP|^{2}+|PN|^{2}=\frac{5}{4}[m^{2}-2m^{2}-(m^{2}-4)+2m^{2}]=5.
【题目】抛物线$x^{2}=a y$的准线方程是$y=2$，则$a$=?
【解析】由抛物线方程可知2p=a\therefore\frac{p}{2}=\frac{a}{4}\therefore-\frac{a}{4}=2\thereforea=-8
【题目】直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+a=0(a<3)$相交于两点$A$ , $B$ ,弦$A B$的中点为$(0,1)$，则直线$l$的方程为?
【解析】设圆心O,直线l的斜率为k,弦AB的中点为P,PO的斜率为k_{op},k_{op}=\frac{2-1}{-1-0}则l\botPO,所以k\cdotk_{0p}=k\cdot(-1)=-1\thereforek=1由点斜式得y=x+1.
【题目】已知$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的动点，$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的两个焦点，则$\overrightarrow {PF_{1}} \cdot \overrightarrow {PF_{2}}$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点，$|A F|=5$, $|B F|$=?
【解析】

hbghlyj

【题目】点$A$是椭圆$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$与双曲线$C_{2}$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的一个交点，点$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C_{1}$的两个焦点，则$|A F_{1}| \cdot|A F_{2}|$的值为?
【解析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标,设|AF_{1}|=m,|AF_{2}|=n,不妨设0<n<m,利用椭圆与双曲线的定义,求出m,n即可.对于椭圆C_{1}:焦点在x轴上,c^{2}=a^{2}-b^{2}=25-16=9对于双曲线C_{2}:焦点在x轴上,c^{2}=a^{2}+b^{2}=4+5=9;则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标,设|AF_{1}|=m,|AF_{2}|=n,不妨设0<n<m,利用椭圆与双曲线的定义,得到\begin{cases}m+n=10\\m=n=4\end{cases}所以mn=21则|AF_{1}|\cdot|AF_{2}|的值为21;
【题目】$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点，$M$、$N$分别是圆$(x+3)^{2}+y^{2}=4$和$(x-3)^{2}+y^{2}=1$上的点，则$|P M|+|P N|$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C_{1}$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率为$\sqrt{5}$，一条渐近线为$l$，抛物线$C_{2}$:$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，点$P$为直线$l$与抛物线$C_{2}$异于原点的交点，则$|P F|$=?
【解析】双曲线中,\frac{c}{a}=\sqrt{5},即\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a2+b^{2}}{a^{2}}=5,\frac{b}{a}=2,不妨设1方程为y=2x由\begin{cases}y=2x\\y=8x\end{cases}得\begin{cases}x=0,\\y=0\end{cases}或\begin{cases}x=\\y=\end{cases}2,即P(2,4),抛物线y^{2}=8x中p=4,\therefore|PF|=2+\frac{4}{2}=4
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<2)$，其左右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$M(2,2)$作椭圆的切线，切点为$P$，且点$P$不在$x$轴上，则$S_{\Delta P M F_{1}}+S_{\Delta P M F_{2}}$=?
【解析】依题意可知,切线的斜率存在,设为k,则切线方程为y-2=k(x-2)联立\begin{cases}y=kx+2-2k\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases},消去y并整理得(b^{2}+4k^{2})x^{2}+8k(2-2k)x+4(2-2k)^{2}-4b^{2}=0依题意可知a=64k^{2}(2-2k)^{2}-4(b^{2}+4k^{2})[4(2-2k)^{2}-4b^{2}]=0,整理得b^{2}=4-8k,代入到(b^{2}+4k^{2})x^{2}+8k(2-2k)x+4(2-2k)^{2}-4b^{2}=0,得x=\frac{2k}{k-1},代入y=kx+2-2k得y=\frac{4k-2}{k-1},所以P(\frac{2k}{k-1},\frac{4k-2}{k-1}),又c^{2}=4-b^{2}=8k,所以c=\sqrt{8k}=2\sqrt{2k},所以F_{1}(-2\sqrt{2k},0),F_{2}(2\sqrt{2k},0)|PM|=\sqrt{(\frac{2k}{k-1}-2)^{2}+(\frac{4k-2}{k-1}-2)^{2}}=\frac{2\sqrt{1+k^{2}}}{|1-k|}F_{1}到直线(x+2-2k的距离d_{1}=\frac{|-2k\sqrt{2k}+2-2k|}{\sqrt{k^{2}+1}}F_{2}到直线y=kx+2-2k的距离d_{2}=\frac{|2k\sqrt{2k}+2-2k)}{\sqrt{k^{2}+1}}因为0<b^{2}=4-8k<4,所以0<k<\frac{1}{2},所以2k\sqrt{2k}+2-2k>0,因为F_{1},F_{2}^{2}在直线y=kx+2-2k的同侧,所以-2k\sqrt{2k}+2-2k>0.d_{2}=\frac{2\sqrt{2k}+2-2k}{\sqrt{k^{2}+1}}\frac{k+2-2k+2\sqrt{2k}+2-2k}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{4(1-k)}{\sqrt{k^{2}+1}}d_{1}+d_{2}=\frac{\sqrt[2]{2}}{\sqrt{k^{2}+1}}PM+\frac{1}{2}d_{2}\cdot|_{PM}|=\frac{1}{2}(d_{1}+d_{2})\cdot|PM|=\frac{1}{2}\cdot\frac{4(1-k)}{\sqrt{k^{2}+1}}.\frac{2\sqrt{k^{2}+1}}{1-k}=4
【题目】若直线$k x-y+3=0$与椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$有两个公共点，则实数$k$的取值范围是?
【解析】直线方程为y=kx+3,代入椭圆方程,得到x^{2}+4(kx+3)^{2}-16=0得到(1+4k^{2})x^{2}+24kx+20=0,而有两个根,故得到_{4}=(24k)^{2}-4\cdot20\cdot(1+4k^{2})>0解得k的范围为-\infty,\frac{\sqrt{5}}{4}\cup\frac{\sqrt{5}}{4}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 ,b>0)$的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点$P$，使$|O P|=|O F_{1}|$（$O$为坐标原点），且$|P F_{1}|=\sqrt{3}|P F_{2}|$，则双曲线的离心率为?
【解析】\because|OF_{1}|=|OF_{2}|=|OP|\therefore\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},设|PF_{2}|=t,则|F_{1}P|=\sqrt{3}t,a=\frac{\sqrt{3}t-t}{2}t^{2}+3t^{2}=4c^{2},t=c,\thereforee=\frac{c}{a}=\sqrt{3}+1
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$ ,过$F_{1}$的直线$l$与圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$相切于点$T$，且直线$l$与双曲线$C$的右支交于点$P$，若$F_{1} P=4 F_{1} T$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】根据题意,作出图形,结合双曲线第一定义,再将所有边长关系转化到直角三角形MPF_{2}中,化简求值即可如图,由题可知|OF_{1}|=|OF_{2}|=c,|OT|=a,则|F_{1}T|=b,又\because\overrightarrow{F_{1}P}=4\overrightarrow{F_{1}T},\therefore|TP|=3b,\therefore|F_{1}P|=4b又\because|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,\therefore|PF_{2}|=4b-2a作F_{2}M//OT,可得|F_{2}M|=2a,|TM|=b,则|PM|=2b在AMPF_{2},|PM|^{2}+|MF_{2}|^{2}=|PF_{2}|^{2},即c^{2}=(2b-a)^{2},2b=a+c又\becausec^{2}=a^{2}+b^{2},化简可得3c^{2}-2ac-5a^{2}=0,同除以a^{2},得3e^{2}-2e-5=0解得e=\frac{5}{3}双曲线的离心率为\frac{5}{3}
【题目】$O$为坐标原点，$F$为抛物线$C$:$y^{2}=4 x$的焦点，$P$为$C$上一点，若$|P F|=4$，则$\triangle P O F$的面积为?
【解析】由题意,抛物线C的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,由|PF|=4,设P(x,y),则x+1=4,x=3,所以y=\pm2\sqrt{3},即点P的坐标为(2,\pm2\sqrt{3})则\trianglePOF的面积为S=\frac{1}{3}\times1\times2\sqrt{3}=\sqrt{3}
【题目】已知双曲线的标准方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$ , $F_{1}$ , $F_{2}$为其左右焦点，若$P$是双曲线右支上的一点，且$\tan \angle P F_{1} F_{2}=\frac{1}{2} $, $\tan \angle P F_{2} F_{1}=2$，则该双曲线的离心率为?
【解析】设P(m,n),可得\frac{m2}{a^{2}}-\frac{n^{2}}{b^{2}}=1,F_{1}(\cdotc,0),F_{2}(c,0),运用直线的斜率公式,解方程可得m,n,再由b^{2}=c^{2}-a^{2},e=\frac{c}{a},可得e的方程,解方程即可得到所求离心率.羊解】设P(m,n),可得\frac{m2}{a^{2}}-\frac{n^{2}}{b^{2}}=1,F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)为其左右焦点可得直线PF_{1}的斜率k_{1}=\frac{n}{m+c},直线PF_{2}的斜率k_{2}=\frac{n}{m-c}k_{2}=-2,k_{1}=\frac{1}{2}即为\frac{n}{m+c}=\frac{1}{2},\frac{n}{m-c}=-2解得m=\frac{3}{5}c,n=\frac{4}{5}c,则\frac{9c^{2}}{25a^{2}}-\frac{16c^{2}}{25b^{2}}=1由b^{2}=c^{2}\cdota^{2},e=\frac{c}{a}可得9e^{2}-\frac{16e^{2}}{e^{2}-1}=25,化为9e^{4}-50e^{2}+25=0,即为e^{2}=5(\frac{5}{9}<1舍去)可得e=\sqrt{5}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{7-k}+\frac{y^{2}}{k-1}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆，则$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$A(0,-4)$, $B(3,2)$，抛物线$y^{2}=8 x$上的点到直线$A B$的最短距离为?
【解析】\becauseA(0,-4),B(3,2),\therefore直线AB的斜率为2.\therefore直线AB的方程为:y=2x-4,即2x-y-4=0.联立直线方程与抛物线方程:(2x-4)^{2}=8x.整理可得:x^{2}-6x+4=0,其判别式4=36-16=20>0.则直线与抛物线相交,故抛物线上的点到直线AB的最短距离为0
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左. 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$的直线$l$交双曲线的右支于$A$、$B$两点，点$M$满足$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A F_{1}}=2 \overrightarrow{A M}$，且$\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{B F_{1}}=0$. 若$\cos \angle A F_{1} B=\frac{1}{3}$，则双曲线$C$的离心率是?
【解析】由\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AM},得M为边BF_{1}中点,又\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BF}_{1}=0,所以AM\botBF_{1}.所以三角形\triangleABF为等腰三角形,|AB|=|AF_{1}|,\angleAF_{1}B=\angleABF_{1}导|AB|=|AF_{1}|=2a+m,即|BF_{2}|=2a,|BF_{1}|=4a在三角形\triangleBFF,中,由余弦定理\cos\angleF_{1}BF_{2}=\frac{|BF_{1}|^{2}+|BF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}|^{2}}{2|BF_{1}.|_{BF}}即\frac{1}{2}=\frac{16a2+4a2-4c^{2}}{2},\frac{+a-\frac{-1}{x-2a\times4a}}{a}整理可得\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{11}{3},所以离心率e=\frac{c}{x}=\frac{\sqrt{33}}{}
【题目】若曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2+m}+\frac{y^{2}}{2-m}=1$是焦点在$x$轴上的双曲线，则$m$的取值范围?
【解析】\because方程C:\frac{x^{2}}{2+m}+\frac{y^{2}}{2-m}=1,表示焦点在x轴上的双曲线,\therefore\begin{cases}m+2>0\\2-m<0\end{cases}\thereforem>2.
【题目】若直线$2 x-y+c=0$是抛物线$x^{2}=4 y$的一条切线，则$c$=?
【解析】联立直线和抛物线得到\begin{cases}2x-y+c=0\\x2=4y\end{cases}\Rightarrowx^{2}-8x-4c=0\Rightarrow\Delta=0\Rightarrowc=-4.
【题目】已知$O$为坐标原点，$F$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，$P$为抛物线$C$上一点，若$|P F|=4$，则$\triangle P O F$的面积为?
【解析】设P(x,y),F(1,0),根据焦半径公式得:x+1=4,x=3,代入抛物线方程,得:y=\pm2\sqrt{3},\therefores=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y|=\frac{1}{2}\times1\times2\sqrt{3}=\sqrt{3}.
【题目】已知直线$y=k x+m$与抛物线$y^{2}=4 x$相交于$P$、$Q$两点，线段$P Q$的中点坐标为$(x_{0}, 2)$，则$k$等于?
【解析】由题意,设P(x_{1},y_{1},Q(x_{2},y_{2}),代入抛物线的方程,可得\begin{cases}y_{1}^{2}=4x_{1}\\y^{2}=4x_{2}\end{cases}两式相减得(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=4(x_{1}-x_{2}),所以\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{4}{y_{1}+y_{2}}=\frac{4}{4}=故k=1,
【题目】过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点作倾斜角为$\frac{\pi}{4}$直线$l$，直线$l$与抛物线相交于$A$、$B$两点，则弦$A B$的长是?
【解析】抛物线y^{2}=8x的焦点为F(2,0),倾斜角为\frac{\pi}{4}说明斜率为1,直线方程y=x-2,与y^{2}=8x联立方程组,消去y得:x^{2}-12x+4=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=12,则|AB|=x_{1}+x_{2}+P=12+4=16
【题目】已知点$A$是抛物线$x^{2}=8 y$的对称轴与准线的交点，点$B$为抛物线的焦点，$P$在抛物线上. 在$\triangle P A B$中，$\sin \angle P A B=m \sin \angle P B A(m \in \mathbf{R})$，当$m$取最小值时，点$P$恰好在以$A$，$B$为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为?
【解析】如图,作PH垂直于准线于H,\because\sin\anglePAB=m\sin\anglePBA,\therefore|PB|=m|PA|\Rightarrowm=\frac{|PB|}{|PA|},=\sin\anglePAH,当m最小时,\sin\anglePAH最小故当直线AP与抛物线相切时,\anglePAH最小.易知点A(0,-2),设直线AP方程为y=kx-2,联立\begin{cases}x^{2}=8y\\v=kx-2\end{cases}\Rightarrowx^{2}-8kx+16=0\Rightarrow\Delta=64k^{2}-64=0\Rightarrowk=\pm1,P(\pm4,2)|y=kx-2|PA|=4\sqrt{2},|PH|=|PB|=4.此时,椭圆中2a=|PA|+|PB|=4\sqrt{2}+4,2c=4\Rightarrow椭圆离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}-1.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的右焦点到右准线的距离等于焦距的$\frac{1}{3}$，则离心率为?
【解析】
【题目】以抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的顶点为圆心的圆交$C$于$A$、$B$两点，交$C$的准线于$D$、$E$两点.已知$|A B|=2 \sqrt{6}$ ,$|D E|=2 \sqrt{10}$，则$p$等于?
【解析】如图:|AB|=2\sqrt{6},|AM|=\sqrt{6},|DE|=2\sqrt{10},|DN|=\sqrt{10},|ON|=\frac{p}{2},\thereforex_{A}=\frac{(\sqrt{6})^{2}}{2p}=\frac{3}{p},\because|OD|=|OA|,\frac{1}{20}x^{2}\sqrt{|ON}\therefore\frac{p^{2}}{4}+10=\frac{9}{p^{2}}+6,解得:
【题目】焦点为$(0 , 4)$和$(0,-4)$，且过点$(\sqrt{5},-3 \sqrt{3})$的椭圆方程是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3} x$ ,它的一个焦点与抛物线$y^{2}=16 x$的焦点相同，则双曲线的方程为?
【解析】
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C_{1}$和双曲线$C_{2}$的公共焦点，$e_{1}$ , $e_{2}$分别为曲线$C_{1}$、$C_{2}$的离心率，$P$为曲线$C_{1}$、$C_{2}$的一个公共点，若$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3} $,且$e_{2} \in[\sqrt{3}, 2]$，则$e_{1} \in$?
【解析】
【题目】已知点$A(-2,1)$, $y^{2}=-4 x$的焦点是$F$、$P$是$y^{2}=-4 x$上的点，为使$|PA|+|PF|$取得最小值，$P$点的坐标是?
【解析】
【题目】已知$P$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$上的点，点$M$满足$|\overrightarrow{O M}|=1$，且$\overrightarrow{O M} \cdot \overrightarrow{P M}=0$，则当$|\overrightarrow{P M}|$取得最小值时的点$P$到双曲线$C$的渐近线的距离为?
【解析】如图所示:\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{PM}=0,所以PM是圆x^{2}+y^{2}=1的切线又因为|OP|^{2}=|OM|^{2}+|MP|^{2},所以|MP|最小时|OP|也最小,|OP|取最小值时P位于左、右顶点处,不妨取P(3,0)且渐近线取4x-3y=0,所以P到渐近线的距离为:\frac{|4\times3|}{\sqrt{2}+2^{2}}=\frac{12}{5}
【题目】已知椭圆$C$的中心在坐标原点，右焦点$F$为直线$x-2 y-2=0$与$x$轴的交点，且在经过点$F$的所有弦中，最短弦的长度为$\frac{10}{3}$，则$C$的方程为?
【解析】由题得F(2,0),设C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)则\begin{cases}c=2,\\\frac{2b^{2}}{a}=\frac{10}{3},\\a2=b^{2}+c2\end{cases}解得a=3,b=\sqrt{5},c=2,所以C的方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1
【题目】已知抛物线$y^{2}=16 x$上任意一点到双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$右焦点的距离比到左准线的距离大$1$，则$a^{2}$=?
【解析】(分析)利用抛物线方程求出焦点坐标与准线方程,由题意知双曲线的右焦点坐标与左准线方程,由此求出c和a^{2}.抛物线y^{2}=16x中,p=8,焦点为P(4,0),准线方程为x=-4;根据抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,可得到:双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的右焦点为F(4,0),左准线方程为x=-3,\thereforec=4,且-\frac{a^{2}}{c}=-3,解得a^{2}=12.
【题目】已知双曲线$kx^{2}-y^{2}=1$的一条渐近线与直线$2 x+y+1=0$垂直，那么双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆与双曲线的公共焦点，$P$是它们的一个公共点，且$|P F_{2}|>|P F_{1}|$，椭圆的离心率为$e_{1}$，双曲线的离心率为$e_{2}$，若$|P F_{1}|=|F_{1} F_{2}|$，则$\frac{3}{e_{1}}+\frac{e_{2}}{3}$的最小值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左顶点与抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点的距离为$4$，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为$(-2,-1)$，则双曲线的焦距为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为?
【解析】由双曲线的渐近线方程为y=x,得\frac{b}{a}=1'所以离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{2},
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$上到其焦点的距离等于$6$的点的横坐标为?
【解析】由抛物线的定义即可求得横坐标.抛物线y^{2}=4x的准线方程为x=-1\because抛物线v2=4x上点到焦点的距离等于6.\therefore根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离,可得所求点的横坐标为5均答家为:5
【题目】方程$\frac{x^{2}}{m^{2}+1}+\frac{y^{2}}{m-2}=1$表示双曲线，则实数$m$的取值范围是?
【解析】化成标准方程形式\frac{x2}{m^{2}+1}-\frac{y^{2}}{2-m}=1,由2-m>0可得m<2,故m\in(-\infty,2)
【题目】抛物线$y^{2}=16 x$的焦点到双曲线$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$的渐近线的距离为?
【解析】抛物线的焦点F(4,0),双曲线的渐近线方程是y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x,即x\pm\sqrt{3}y=0,那么满足点到直线的距离是d=\frac{4}{\sqrt{1^{2}+(\pm\sqrt{3})^{2}}}=2
【题目】设抛物线$y^{2}=m x(m>0)$的准线与直线$x=1$的距离为$3$，则该抛物线方程为?
【解析】根据抛物线方程求得准线方程,结合题目所给准线与ix=1的距离列方程,解方程求得m的值,求得抛物线方程.详解】由于m>0,所以抛物线的准线方程为x=-\frac{m}{4},依题意准线x=-\frac{m}{4}与直线x=1的距离为3,即\frac{m}{4}+1=3,m=8,所以抛物线方程为y^{2}=8x.故填:y^{2}=8x.睛】本小题主要考查抛物线的准线方程,属于基础题
【题目】若曲线$\frac{x^{2}}{4+k}+\frac{y^{2}}{1-k}=1$表示椭圆，则$k$的取值范围是?
【解析】由题设可得(4+k)(1-k)>0且4+k\neq1-k,解之得-4<k<1且k\neq-\frac{3}{2},故应填k\in(-4,-\frac{3}{2})\cup(-\frac{3}{2},1)
【题目】若双曲线$x^{2}+ky^{2}=1$的一条渐近线方程是$y=\frac{1}{2} x$，则实数$k$的值是?
【解析】
【题目】以坐标原点为焦点,以直线$x+y-1=0$为准线的抛物线方程是?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{m+2}-\frac{y^{2}}{2-m}=1(-2<m<2)$上一点到$A(-2,0)$ , $B(2,0)$两点的距离之差的绝对值为$2 \sqrt{3}$, 则双曲线的虚轴长为?
【解析】由题意可知,c^{2}=m+2+2-m=4,则A(-2,0),B(2,0)分别是双曲线的左、右焦点,则2a=2\sqrt{m+2}=2\sqrt{3},解得m=1,从而b^{2}=1,虚轴长为2b=2.
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=k$的一个焦点为$(0,-3)$，则$k$的值为?渐近线方程为?
【解析】将曲线方程化为标准形式,由双曲线的一个焦点为(0,-3),求出k即可;由双曲线的标准方程利用渐近线方程即可求出.详解】双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=k化为标准形式\frac{x^{2}}{k}-\frac{y^{2}}{8k}=1,由双曲线的一个焦点为(0,-3)\thereforek<0,标准形式\frac{y^{2}}{-8k}-\frac{x^{2}}{-k}=1,\therefore-8k-k=(-3)^{2},解得k=-1;\therefore双曲线\frac{y^{2}}{8}-x^{2}=1,其渐近线为y=\pm2\sqrt{2}x
【题目】若椭圆的方程为$16 x^{2}+25 y^{2}=400$，则此椭圆的焦距为?
【解析】方程16x^{2}+25y^{2}=400,即\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1,即a^{2}=25,b^{2}=16则c^{2}=a^{2}-b^{2}=9,解得c=3,故焦距2c为6.
【题目】已知直线$l$: $4 x-3 y+6=0$，抛物线$C$: $y^{2}=4 x$图像上的一动点到直线$l$与到$y$轴距离之和的最小值为?
【解析】设抛物线上的点到直线4x-3y+6=0的距离为d_{1},到准线的距离为d_{2},到y轴的距离为d_{3}焦点的距离相等,d_{2}=|PF|d_{1}+d_{3}=d_{1}+d_{2}-1=d_{1}+|PF|-1,如图所示:d_{1}+|PF|的最小值就是焦点F到直线4x-3y+6=0的距离焦点F到直线4x-3y+6=0的距离d=\frac{|4\times1-0+6|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}=2所以有:d_{1}+|PF|-1的最小值是1,
【题目】设$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$上一点，$M$、$N$分别是两圆:$(x-5)^{2}+y^{2}=4$和$(x+5)^{2}+y^{2}=1$上的点，则$|P M|-|P N|$的最大值为?
【解析】【解析F】由题意及已知圆的方程,利用几何的知识可知当点P与M,B三点共线时使得|PM|-|PN|取最大值设两圆(x-5)^{2}+y2=4和(x+5)^{2}+y^{2}=1圆心分别为A,B则A,B正好为双曲线两焦点,|PM|-|PN|\leqslant|PA|+2-(|PB|-1)=|PA|-|PB|+3=2a+3=6+3=9即最大值为9,
【题目】若抛物线$x=\frac{1}{12} y^{2}$上一点到焦点的距离为$9$，则该点的坐标为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$左顶点为$A$、$O$为坐标原点，若椭圆上存在点$M$使$O M \perp M A$，则椭圆的离心率$e$的取值范围是?
【解析】M的轨迹方程为:(x+\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4},(y\neq0),联立方程化简得到\frac{a2-b^{2}}{a^{2}}x^{2}+ax+b^{2}=0,根据对应函数的对称轴计算得到答案椭圆上存在点M使OM\botMA,即M的轨迹方程为:(x+\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4},(y\neq0)\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1简得到\frac{a2-b^{2}}{a^{2}}x^{2}+ax+b^{2}=0+\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}易知:x=-a是方程的解,且c=0时,方程在(-a,0)上有解,只需满足:0>\frac{a-b^{2}}{a^{2}x+a}+b^{2}>0.2\frac{a^{2}-b^{2}}{a},解得\frac{c}{a}=e>\frac{\sqrt{2}}{2}.
【题目】已知$F$为抛物线$E$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点,过$F$作倾斜角为$30^{\circ}$的直线$l$与抛物线$E$交于$A$、$B$两点,过$A$、$B$向$E$的准线作垂线,垂足分别为$C$、$D$, 设$C D$的中点为$M$,则$|M F|$=?
【解析】分析:先写出直线的方程,再和抛物线的方程联立得到AB的中点N的坐标,再利用勾股定理求|MF|.详设直线的方程为y-0=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-\frac{p}{2})=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{6}p联立直线和抛物线的方程得4x^{2}-28px+p^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=7p,所以AB的中点N的横坐标为\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{7}{2}p,所以N的纵坐标为y=\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{7}{2}p-\frac{\sqrt{3}}{6}p=\sqrt{3}p.所以|MF|=\sqrt{3p^{2}+p^{2}}=2p.故填2p.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线$l$交$x$轴于点$K$，过$F$作倾斜角为$\alpha$的直线与$C$交于$A$、$B$两点，若$\angle A K B=60^{\circ}$，则$\sin \alpha$=?
【解析】依题意F(\frac{p}{2},0),K(-\frac{p}{2},0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),如图所示,A在第一象限.设直线AB的方;程为x=my+\frac{p}{2},由\begin{cases}x=my+\frac{p}{2}\\y^{2}=2px\end{cases}消去x得y^{2}-2pmy-p^{2}=0,所以y_{1}+y_{2}=2pm,y_{1}y_{2}=-p^{2},A=4p^{2}m^{2}+4p^{2}>0,\frac{y_{1}-0}{-(-\frac{P}{2})}=\frac{y_{1}}{x_{1}+\frac{p}{2}},k_{KB}\frac{y_{2}}{x_{2}+\frac{p}{2}}<\angleAKB=60^{\circ},所以\tan\angleAKB=\sqrt{3}(\angleAKF+\angleBKF)=\frac{k_{KA}-k_{KB}}{1+k_{KA}\cdotk_{KB}}=\sqrt{3},\frac{1}{2}+\sqrt{3}pm(y_{1}+y_{2})+\sqrt{3}p^{2},)y_{1}y_{2}+\sqrt{3}pm(y_{1}+y_{2})+\sqrt{3}p^{2}-\sqrt{3}(m^{2}+1)p^{2}+2\sqrt{3}p^{2}m^{2}+\sqrt{3}p^{2},消去p^{2}并化简得2\sqrt{m^{2+1}}=\sqrt{3}m^{2},即3m^{4}-4m^{2}-4=0,解得m^{2}=2,负根舍去.所以\tan^{2}a=\frac{1}{m^{2}}=\frac{1}{2}=\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}=\frac{\sin^{2}\alpha}{1-\sin^{2}\alpha},\sin^{2}\alpha=\frac{1}{3},由于\alpha\in[0,\pi),所以\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】已知点$A(3,1)$，抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$P$在抛物线上，则$|P F|+|P A|$的最小值是?
【解析】由题意得抛物线的准线方程为x=-1.过点P作抛物线的准线的垂线,垂足为点D,则|PD|=|PF|.则易得当A,P,D三点共线时,|PD|+|PA|取得最小值3-(-1)=4,所以|PF|+|PA|的最小值为4.
【题目】已知双曲线$C$的离心率为$2$ ,它的一个焦点是$(0,2)$，则双曲线$C$的标准方程为?渐近线的方程是?
【解析】由题意得,c=2,e=\frac{c}{a}=2\Rightarrowa=\frac{c}{2}=1\Rightarrowb=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{3},故双曲线的标准方程为y2-\frac{x^{2}}{3}=1,渐近线方程为y=\pm\frac{a}{\frac{a}{3}x}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线与圆$E$:$(x-5)^{2}+y^{2}=9$相切，则双曲线$C$的离心率等于?
【解析】根据双曲线的渐近线与圆E:(x-5)^{2}+y2=9相切\Rightarrow圆心(5,0)到渐近线的距离等于半径r=3,利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出.设的一条渐近线bx-ay=0.所给圆的圆心(5,0),半径r=3.\because渐近线与圆E:(x-5)^{2}+y^{2}=9相切\therefore\frac{|5b|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=3,\therefore\frac{9}{16}a^{2}=b^{2}\thereforee=\frac{c}{a}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{4}.
【题目】已知抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点为$F$，点$P$、$Q$在抛物线上，且$\angle P F Q=\frac{5 \pi}{6}$，过弦$P Q$的中点$M$作准线$l$的垂线，垂足为$M_{1}$，则$\frac{|P Q|}{|M M_{1}|}$的最小值为?
【解析】分析:过P、Q分别作准线的垂线PA、QB,垂足分别是A、B,设|PF|=2a,|QF|=2b,可得|MM_{1}|=a+b,由余弦定理得:PQ^{2}=4a^{2}+4b^{2}+4\sqrt{3}ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案.详如图:过P、Q分别作准线的垂线PA、QB,垂足分别是A、B设|PF|=2a,|QF|=2b,由抛物线定义,得|PF|=|PA|,|QF|=|QB|在梯形ABQP中,2|MM|=|PA|+|QF|=2a+2b.\therefore|MM_{1}|=a+b,由余弦定理得:PQ^{2}=4a^{2}+4b^{2}-8ab\cos\frac{5}{6}\pi=4a^{2}+4b^{2}+4\sqrt{3}ab=4(a+b)^{2}+(4\sqrt{3}-8)ab\geqslant4(a+b)^{2}+(4\sqrt{3}-8)\times(\frac{a+b}{2})^{2}=(2+\sqrt{3})(a+b)^{2}则\frac{|PQ|}{|MM|}的最小值为\sqrt{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}
【题目】抛物线$y=2 x^{2}$上有一动弦$A B$，中点为$M$，且弦$A B$的长为$3$，则点$M$的纵坐标的最小值为?
【解析】
【题目】直线$m$与椭圆$\frac{x^{2}}{4^{2}}+y^{2}=1$交于$P_{1}$、$P_{2}$两点，线段$P_{1} P_{2}$的中点为$P$，设直线$m$的斜率为$k_{1}(k_{1} \neq 0)$，直线$O P$(其中$O$为坐标原点)的斜率为$k_{2}$，则$k_{1} k_{2}$=?
【解析】设P_{1}(x_{1},y_{2}),P_{2}(x_{2},y_{2}),P(x_{0},y_{0})则\begin{cases}\frac{x^{2}}{4^{2}}+y_{1}^{2}=1\textcircled{1}\\\frac{x_{2}^{2}}{2}+y_{2}=1\textcircled{2}\end{cases}\textcircled{1}-\textcircled{2}得:\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=-\frac{1}{4^{2}}\cdot\frac{x_{0}}{y_{0}}=-\frac{1}{16}\cdot\frac{x_{0}}{y_{0}},即k_{1}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}}=-\frac{1}{16},即k_{1}\cdotk_{2}=-\frac{1}{16}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b}=1  (a>0 , b>0)$的左、右焦点，点$P$在$E$上，若线段$P F_{2}$的中点在$y$轴上，$\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ}$，则$E$的离心率为?
【解析】因为线段PF_{2}的中点在y轴上,所以PF_{1}//y轴,则PF_{1}\botx轴.所以_{PF_{1}}=\frac{b^{2}}{a}因为\anglePF_{2}F_{1}=60^{\circ}所以\tan60^{\circ}=\frac{PF_{1}}{F_{1}F_{2}}=\frac{b^{2}}{2ac}=\sqrt{3}即c^{2}-2\sqrt{3}ac-a^{2}=0,所以e^{2}-2\sqrt{3}e-1=0,因为e>1解得:e=\sqrt{3}+2.
【题目】已知$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上的一点，$M$，$N$分别为圆$(x+3)^{2}+y^{2}=1$和圆$(x-3)^{2}+y^{2}=4$上的点，则$|PM|+|PN|$的最小值为?
【解析】
【题目】直线$y=x+1$被双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$截得的弦长?
【解析】
【题目】已知双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$右顶点为$A$，抛物线$C$: $y^{2}=16 a x$的焦点为$F$. 若在双曲线的渐近线上存在一点$P$，使得$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P F}=0$，则双曲线$E$的离心率的取值范围是?
【解析】双曲线E:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的右顶点A(a,0),渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x抛物线C:y^{2}=16ax的焦点为F(4a,0)可设P(m,\frac{b}{a}m),即\overrightarrow{AP}=(m-a,\frac{b}{a}m),\overrightarrow{PF}=(m-4a,\frac{b}{a}m)\because\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PF}=0,则(m-a)(m-4a)+\frac{b^{2}}{a^{2}}m^{2}=0,即(1+.\frac{b^{2}}{a^{2}})m^{2}-5am+4a^{2}=0因为双曲线的渐近线上存在一点P,使得\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PF}=0,则关于m的方程(1+\frac{b^{2}}{a^{2}})m^{2}-5am+4a^{2}=0有解,所以_{A}=25a^{2}-16(1+\frac{b^{2}}{a^{2}})a^{2}\geqslant0,即1+\frac{b^{2}}{a^{2}}\leqslant\frac{25}{16}则e=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}\leqslant\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}又e>1,所以e\in(1,\frac{5}{4}]
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左、右焦点，若双曲线上存在点$A$，使$\angle F_{1} A F_{2}=90^{\circ}$，且$|AF_{1}|=3|AF_{2}|$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的两条渐近线与抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线分别交于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点. 若双曲线的离心率为$2$，$\triangle A O B$的面积为$\sqrt{3}$，则$p$=?
【解析】求出双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程与抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线方程,进而求出A,B两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,\triangleAOB的面积为\sqrt{3},列出方程,由此方程求出p的值.\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),\therefore双曲线的渐近线方程是y=\pm\frac{b}{a}x又抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线方程是x=-\frac{p}{2},故A,B两点的纵坐标分别是y=\pm\frac{pb}{2a},又由双曲线的离心率为2,所以\frac{c}{a}=2.A,B两点的纵坐标分别是y=\pm\frac{pb}{2a}又\triangleAOB的面积为\sqrt{3},x轴是角AOB的角平分线\therefore\frac{1}{2}\times\sqrt{3}p\times\frac{p}{2}\sqrt{3},得p=2.
【题目】过点$P(\sqrt{3},-2)$ , $Q(-2 \sqrt{3} , 1)$两点的椭圆标准方程是?
【解析】
【题目】已知点$P$在双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$上，点$A$满足$\overrightarrow{P A}=(t-1) \overrightarrow{O P}(t \in R)$，且$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O P}=60$ , $\overrightarrow{O B}=(0,1)$，则$|\overrightarrow{O B} \cdot \overrightarrow{O A}|$的最大值为?
【解析】\because\overrightarrow{PA}=(t-1)\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OP},\therefore\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OP},则\overrightarrow{OA}=t\overrightarrow{OP},\therefore|\overrightarrow{OA}|=|t|\cdot|\overrightarrow{OP}|,设A(x_{A},y_{A}),P(x_{P},y_{P}),\therefore(x_{A},y_{A})=t(x_{P},y_{P})则\begin{cases}x_{A}=tx_{p}\\y_{A}=ty_{P}\end{cases},即\begin{cases}x_{p}=\frac{x_{4}}{y}\\y_{p}=\frac{y_{1}}{t},\end{cases}将点(\frac{x_{1}}{t},\frac{y_{1}}{t})代入双曲线中得:\frac{x_{A^{2}}{9t^{2}}-\frac{y_{n}^{2}}{16t^{2}}=1,\thereforex_{A^{2}}=\frac{9y_{1}^{2}}{16}+9t^{2}\cdots\textcircled{1},=1(\frac{x_{1}2}{f_{2}}+\frac{y_{A}^{2}}{\frac{1}{12})}=60\cdots\textcircled{2},由\textcircled{1}\textcircled{2}得60=|t|\cdot(\frac{9y_{A}}{16t^{2}}+\frac{y_{2}}{t^{2}}+9)=|t\cdot(\frac{25y_{2}}{16t^{2}}+9)=\frac{25y_{2}}{16|t|}+9|t|\geqslant\frac{15}{2}|y_{A}|\therefore|y_{A}|\leqslant8,\therefore|\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}|=|y|\leqslant8.则|\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OA}|的最大值为8.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，若$|P F_{1}|=4$，则$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$=?
【解析】
【题目】已知点$P$是直线$y=x+1$上的动点，点$Q$是抛物线$y=x^{2}$上的动点.设点$M$为线段$P Q$的中点，$O$为原点，则$|O M|$的最小值为?
【解析】
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的离心率是?若抛物线$y^{2}=2 m x$与双曲线$C$有相同的焦点，则$m$=?
【解析】由双曲线C:\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1的方程知:a^{2}=3,b^{2}=1,所以,c^{2}=a^{2}+b^{2}=4所以双曲线的离心率为:e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3};因为双曲线的焦点坐标为:(-2,0)和(2,0)若抛物线y^{2}=2mx的焦点为(-2,0),则\frac{m}{2}=-2,从而有m=-4;若抛物线y^{2}=2mx的焦点为(2,0),则\frac{m}{2}=2,从而有m=4综上,第一个空的答案应为\frac{2}{3}\sqrt{3},第二个空的答案应填:\pm4
【题目】椭圆$x^{2}+4 y^{2}=16$被直线$y=x+1$截得的弦长为?
【解析】
【题目】过定点$P(0 , 1)$，且与抛物线$y^{2}=2 x$只有一个公共点的直线方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F(2,0)$，过点$F$的直线与双曲线$C$的一条渐近线垂直，垂足为点$E$、$O$为坐标原点，当$\triangle O E F$的面积取到最大值时，双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$、$P$是$C$上一点，若$P$在第一象限，$|P F|=8$，则点$P$的坐标为?
【解析】抛物线的焦点为F(2,0),设P点坐标为(x_{0},y_{0}),则|PF|=x_{0}+2=8,x_{0}=6,y_{0}=\sqrt{8\times6}=4\sqrt{3},即P(6,4\sqrt{3})
【题目】已知点$M$是抛物线$y^{2}=4 x$上的一点，$F$为抛物线的焦点，$A$在圆$C$:$(x-4)^{2}+(y-1)^{2}=1$上，则$|M A|+|M F|$的最小值为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的准线方程为:x=-1过点M作MN\bot准线,垂足为N\because点M是抛物线y^{2}=4x的一点,F)为抛物线的焦点\therefore|MN|=|MF|\therefore|MA|+|MF|=|MA|+|MN|\becauseA在圆C:(x-4)^{2}+(y-1)^{2}=1,圆心C(4,1)平\therefore当N,M,C三点共线时,|MA|+|MF|最小\therefore(|MA|+|MF|)_{\min}=(|MA|+|MN|)_{\min}=|CN|-r=5-1=4\therefore(|MA|+|MF|)_{\min}=4.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的点到直线$x-y+6=0$的距离的最小值为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，点$P$是双曲线$C$上一点，且$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{2}$ , $\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为$a^{2}$，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】\because||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a,|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=4c^{2},则2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-||PF_{1}|-|PF_{2}||^{2}=4c^{2}-4a^{2}=4b^{2},所以|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2b^{2}因为\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{2},所以,S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}||PF_{2}|=b^{2}=a^{2},可得a=b因此,双曲线C的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pmx,即x\pmy=0.
【题目】已知点$A(0 , 2)$ , $O(0 , 0)$，若圆$C$:$(x-a)^{2}+(y-a+2)^{2}=1$上存在点$M$，使$\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M O}=3$，则圆心$C$的横坐标$a$的取值范围为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点且倾斜角为$60^{\circ}$的直线被圆$x^{2}+y^{2}-4 x+4 \sqrt{3} y=0$截得的弦长是?
【解析】由已知得直线l的方程是\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0,圆心(2,-2\sqrt{3}),半径r=4,圆心到直线的距离是d=\frac{\sqrt{3}\times2+2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{(3)^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2},所以弦长公式得
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别为$A_{1}$, $A_{2}$ ,过$A_{1}$的直线$l$交$C$于另外一点$P$，若直线$l$的斜率为$2$，则直线$P A_{2}$的斜率是?
【解析】设P(x_{0},y_{0}),则\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1'k_{PA_{1}}\cdotk_{PA_{2}}=\frac{y_{0}}{x_{0}+2}\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-2}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=\frac{3(1-\frac{x_{0}^{2}}{4})}=-\frac{3}{4}=2\timesk_{PA_{2}},所以k_{PA_{2}}=-\frac{3}{8}
【题目】直线$l$: $y=k(x-\sqrt{2})$与曲线$x^{2}-y^{2}=1(x>0)$相交于$A$、$B$两点，则直线$l$的倾斜角的取值范围是?
【解析】曲线x^{2}-y^{2}=1(x>0)的渐近线方程为:y=\pmx由直线l:y=k(x-\sqrt{2})与曲线相交于A,B两点,\therefore直线l的斜率k>1或k<-1,即\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}又直线l的斜率存在,即倾斜角\alpha\neq\frac{\pi}{2},故直线l的倾斜角的取值范围是(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})故答案:(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4})
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$的实轴长等于?虚轴长等于?焦点坐标是?离心率是?渐近线方程是?
【解析】由双曲线方程\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1可得:a=\sqrt{5},b=2,c=3,且双曲线的焦点在x轴上则实轴长为2\sqrt{5},虚轴长为4,焦点坐标为F_{1}(-3,0),F_{2}(3,0),离心率e=\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{5}}{5},渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{2}{5}\sqrt{5}x.
【题目】若双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程是$x-2 y=0$，则它的离心率$e$=?
【解析】因为双曲线\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,\thereforea=2b,\thereforec=\sqrt{5}b,所以双曲线的离心率是e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2},
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作倾斜角为$\frac{\pi}{3}$的直线与抛物线交于点$A$、$B$，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】直线$l$过抛物线$y^{2}=x$的焦点,且$l$与抛物线交于$A$、$B$两点,若$|A B|=4$, 则弦$A B$的中点到$y$轴的距离为?
【解析】
【题目】点$M$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆左右焦点，则满足$|MF_{1}|=3|MF_{2}|$的 点$M$坐标为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$和直线$y=2 x$有交点，则它的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一条渐近线为$2 x+y=0$, 一个焦点为$(\sqrt{5}, 0)$，则双曲线的方程为?
【解析】由题意得:c=\sqrt{5},\frac{b}{a}=2'c^{2}=a^{2}+b^{2},解得a=1,b=2则双曲线的方程为:x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的顶点到其准线的距离为?
【解析】求出p=2,进而求出顶点坐标到准线的距离为\frac{p}{2}=1.[详解]y^{2}=4x中2p=4,所以p=2,故准线方程为x=-\frac{p}{2}=-1,顶点坐标到准线的距离为\frac{p}{2}=1
【题目】设抛物线$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，$A$为抛物线上的一点，且$|A F|=6$，则点$A$的坐标是?
【解析】由题意得,设A(x_{0},y_{0}),根据抛物线的定义可知,|AF|=x_{0}+\frac{p}{2}=x_{0}+2=6\Rightarrowx_{0}=4,代入抛物线的方程可知y_{0}=\pm4\sqrt{2},所以点A的坐标为(4,\pm4\sqrt{2})
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过点$(0,3)$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，线段$A B$的垂直平分线交$x$轴于点$D$，若$|A F|+|B F|=6$，则点$D$的横坐标为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),直线AB方程y=kx+3,联立\begin{cases}y^{2}=4x\\y=kx+3\end{cases},得k^{2}x^{2}+(6k-4)x+9=0,\thereforex_{1}+x_{2}=\frac{4-6k}{k^{2}},由抛物线的性质得|AF|+|BF|=x_{1}+x_{2}+p=6,\thereforex_{1}+x_{2}=4,因此\frac{4-6k}{l_{2}^{2}}=4解得k=\frac{1}{2}或k=-2,由图可知,k=-2,因此AB方程y=-2x+3,AB的中点(2,-1),线段AB的垂直平分线y+1=\frac{1}{3}(x-2),令y=0,得x=4,
【题目】已知椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，直线$l$为圆$O$: $x^{2}+y^{2}=b^{2}$的一条切线，记椭圆$C$的离心率为$e$ ，若直线$l$的倾斜角为$\frac{\pi}{3}$，且恰好经过椭圆的右顶点，则$e$大小为?
【解析】设直线l与圆O相切于C点,椭圆的右顶点为D,则由题意知AOCD为直角三角形且OC=b,OD=a,\angleODC=\frac{\pi}{3},\thereforeCD=\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}=\sqrt{a2-b^{2}}=c(c为椭圆的半焦距)\therefore椭圆的离心率e=\frac{c}{a}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}
【题目】直线$l$:$ x-t y+1=0(t>0)$和抛物线$C$: $y^{2}=4 x$相交于不同两点$A$、$B$，设$A B$的中点为$M$，抛物线$C$的焦点为$F$，以$M F$为直径的圆与直线$l$相交另一点为$N$，且满足$|M N|=3 \sqrt{3}| N F |$, 则直线$l$的方程为?
【解析】y^{2}=4x的焦点为F(1,0),联立x\cdotty+1=0与y^{2}=4x,可得y^{2}\cdot4ty+4=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})可得y_{1}+y_{2}=4t,则中点M(2t^{2}-1,2t)设N(ty_{0}\cdot1,y_{0}),由NF\botl,可得\frac{y_{0}}{ty_{0}-2}=-t,即有y_{0}=\frac{2t}{1+t^{2}}由|MN|=3\sqrt{3}|NF|可得|MN|^{2}=27|NF|^{2}即为(2t^{2}-ty_{0})^{2}+(2t-y_{0})^{2}=27[(ty_{0}-2)^{2}+y_{0}^{2}]结合y_{0}=\frac{2t}{1+t^{2}},整理可得t^{6}=27,解得t=\sqrt{3},可得直线的方程为x-\sqrt{3}y+1=0.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{n}-\frac{y^{2}}{5-n}=1$的渐近线方程为$y=\pm 2 x$，则$n$=?
【解析】由题意可得\frac{5-n}{n}=4,解得:n=1
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{4}=1$的离心率为?
【解析】\becausea=2\sqrt{2},c=2\sqrt{3},\thereforee=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$的两个焦点，点$P$在椭圆上，且满足$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$，则三角形$F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】由椭圆\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1可得a=10,b=6,c=8F_{1},F_{2}为椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=20\textcircled{1},\because\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},\therefore|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=(2c)^{2}=256\textcircled{2},\textcircled{1}式平方可得|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}+2|PF_{1}|\cdot|PF_{1}|=256+2|PF_{1}|\cdot|PF_{1}|=400,整理得|PF_{1}|\cdot|PF_{1}|=72\thereforeS_{\DeltaF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{1}|=36,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率为$2$,焦点与椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为?渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，其准线与$x$轴交于点$H$，点$P$在抛物线上，且$|P H|=\sqrt{2}|P F|$，则点$P$的横坐标为?
【解析】设P(x_{0},y_{0}),则|PF|=x_{0}+1,|PH|=\sqrt{(x_{0}+1)^{2}+y_{0}^{2}},由题意\sqrt{(x_{0}+1)^{2}+y_{0}^{2}}=\sqrt{2}(x_{0}+1),所以y_{0}^{2}=(x_{0}+1)^{2},4x_{0}=(x_{0}+1)^{2},解得x_{0}=1.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线的左、右焦点，点$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$右支上的一点，满足$(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F_{2}}) \cdot \overrightarrow{F_{2} P}=0$ ($O$为坐标原点)，且$|P F_{1}|=\sqrt{3}|P F_{2}|$，则该双曲线离心率为?
【解析】
【题目】在椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$上有两个动点$M$、$N$，若$K(2,0)$为定点，且$\overrightarrow{K M} \cdot \overrightarrow{K N}=0$，则$\overrightarrow{K M} \cdot \overrightarrow{N M}$的最小值为?
【解析】由题点M在椭圆\frac{x2}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1上,可设M(6\cos\alpha,3\sin\alpha)(0\leqslant\alpha<2\pi),则\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{KM}\cdot(\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KN})=K\overrightarrow{M}^{2}-\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{KN}=K\overrightarrow{M}^{2}由K(2,0),可得KM^{2}=|\overrightarrow{KM}|^{2}=(6\cos\alpha-2)^{2}+(3\sin\alpha)^{2}=27\cos^{2}\alpha-24\cos\alpha+13=27(\cos\alpha-\frac{4}{9})^{2}+\frac{23}{3},当\cos\alpha=\frac{4}{9}时,K\overrightarrow{M}^{2}取得最小值\frac{23}{3}
【题目】抛物线的焦点为椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为?
【解析】由椭圆方程知,椭圆右焦点为(1,0)设抛物线方程为:y^{2}=2px,则\frac{p}{3}=1\therefore=\therefore抛物线方程为:v2=4x
【题目】已知双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点坐标为$(2,0)$，且该焦点到双曲线渐近线的距离为$1$，则双曲线$E$的标准方程为?
【解析】因为双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)所以c=2又因为点F到双曲线C的一条渐近线bx-ay=0的距离为1所以\frac{|2b|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=\frac{2b}{c}=\frac{2b}{2}=b=1,从而a^{2}=c^{2}-b^{2}=3所以双曲线C的标准方程为\frac{x^{2}}{2}-y2=1
【题目】设抛物线$C$:$y^{2}=2 px(p>0)$的焦点为$F$，其准线与$x$轴的交点为$Q$，过点$F$作直线交抛物线$C$于$A$ , $B$两点，若$\angle QBF=90^{\circ}$，则$|AF|-|BF|$=?
【解析】
【题目】设直线$y=k x$与双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$相交于$A$、$B$两点，分别过$A$、$B$向$x$轴作垂线，若垂足恰为双曲线的两个焦点，则实数$k$=?
【解析】将直线与双曲线方程联立,y=kxx^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1化简整理得(3-k^{2})x^{2}=3(*)因为分别过A、B向x轴作垂线,垂足恰为双曲线的两个焦点,故方程的两个根为\pm1.代入方程(*),得k=\pm\frac{3}{2}即答案为\pm\frac{3}{2}.
【题目】点$P$为抛物线$y^{2}=x$上的动点，过点$P$作圆$M$:$(x-3)^{2}+y^{2}=1$的一条切线，切点为$A$，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P M}$的最小值为?
【解析】由已知易得\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PM}=|\overrightarrow{PA}|^{2}=|\overrightarrow{PM}|^{2}-1,设点P(y^{2},y),则|\overrightarrow{PM}|^{2}-1=(y^{2}-3)^{2}+y^{2}-1=y^{4}-5y^{2}+8=(y2-\frac{5}{2})^{2}+\frac{7}{4}\geqslant\frac{7}{4}当y^{2}=\frac{5}{2}时,\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PM}=|\overrightarrow{PM}|^{2}-1取得最小值\frac{7}{4}
【题目】$A$、$B$是抛物线$y=2 x^{2}$上的两点，直线$l$是线段$A B$的垂直平分线，当直线$l$的斜率为$\frac{1}{2}$时，则直线$l$在$y$轴上截距的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$|F_{2} A|+|F_{2} B|=12$ ,则$|A B|$=?
【解析】
【题目】已知方程$\frac{x^{2}}{4-m}+\frac{y^{2}}{6+m}=1$表示椭圆，求实数$m$的取值范围?
【解析】方程\frac{x2}{4-m}+\frac{y2}{6+m}=1表示椭圆,所以{_{6+m>0}^{+}m_{m>0}\Rightarrow-6<m<-1或-1<m<4,(4-m\neq6+m所以实数m的取值范围为(-6,-1)\cup(-1,4)
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，$A B$是过点$F_{1}$的一条弦 ($A$、$B$均在双曲线的左支上)，若$\triangle A B F_{2}$的周长为$30$，则$|A B|$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1,得a=3,因为A,B均在双曲线的左支上,所以|AF_{2}|-|AF_{1}|=2a,|BF_{2}|-|BF_{1}|=2a则\triangleABF_{2}的周长为|AF_{2}|+|BF_{2}|+|AB|=(|AF|+2a)+(|BF|+2a)+|AB|=2|AB|+4a,所以2|AB|+4\times3=30,所以|AB|=9.故签家为,9
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点，点$A$、$B$分别是椭圆$E$的右顶点和上顶点，若直线$A B$上存在点$P$，使得$P F_{1} \perp P F_{2}$，则椭圆$E$的离心率$e$的取值范围是?
【解析】如图,由题意得A(a,0),B(0,b),F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)点P在直线AB上,设P点坐标为(x,-\frac{b}{a}x+b),则\overrightarrow{PF_{1}}=(-c-x,\frac{b}{a}x-b),\overrightarrow{PF_{2}}=(c-x,\frac{b}{a}x-b)由PF_{1}\botPF_{2},得\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0,即(-c-x,\frac{b}{a}x-b)(c-x,\frac{b}{a}x-b)=0,即x^{2}-c^{2}+\frac{b^{2}}{a^{2}}x^{2}-\frac{2b^{2}}{a}x+b^{2}=0化简得(1+\frac{b^{2}}{a2})x^{2}-\frac{2b^{2}}{a}x+2b^{2}-a^{2}=0直线AB上存在点P,使得PF_{1}\botPF_{2},即方程(1)有解.所以_{A}=\frac{4b^{4}}{a^{2}}-4(1+\frac{b^{2}}{a^{2}})(2b^{2}-a^{2})\geqslant0'化简得a^{4}-b^{2}a^{2}-b^{4}\geqslant0,即a^{4}-(a^{2}-c^{2})a^{2}-(a^{2}-c^{2})^{2}\geqslant0.化简得a^{4}+c^{4}-3a2c^{2}\leqslant0,即(\frac{c}{a})^{4}-\frac{3c^{2}}{a^{2}}+1\leqslant0,即e^{4}-3e^{2}+1\leqslant0解得:\frac{3-\sqrt{5}}{2}\leqslante^{2}\leqslant\frac{3+\sqrt{5}}{2},即\frac{6-2\sqrt{5}}{4}\leqslante^{2}\leqslant\frac{6+2\sqrt{5}}{4}即(\frac{\sqrt{5}-1}{2})\leqslante^{2}\leqslant(\frac{\sqrt{5}+1}{2})即\frac{\sqrt{5}-1}{2}\leqslante\leqslant\frac{\sqrt{5}+1}{2},又椭圆中0<e<1,所以\frac{\sqrt{5}-1}{2}\leqslante<1
【题目】已知过点$P(1 , 0)$且倾斜角为$60^{\circ}$的直线$l$与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A$ , $B$两点，则弦长$|AB|$=?
【解析】
【题目】设$P(x, y)$是$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点,则$\frac{2}{5} x+\frac{3}{4} y$的最小值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>a>0)$，焦距为$2 c$，直线$l$经过点$(a, 0)$和$(0, b)$，若$(-a, 0)$到直线$l$的距离为$\frac{2 \sqrt{2}}{3} c$，则离心率为?
【解析】直线l的方程为\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1,即为bx+ay-ab=0,c^{2}=a^{2}+b^{2},(-a,0)到直线l的距离为\frac{2\sqrt{2}}{3}c'可得:\frac{2ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}c.即有3ab=\sqrt{2}c^{2},即9a^{2}b^{2}=2c^{4},即9a^{2}(c^{2}-a^{2})=2c^{4},9a^{2c2-9a^{4}-2c^{4}}=0,由于e=\frac{c}{a},则2e^{4}-9e^{2}+9=0解得,e^{2}=3或e^{2}=\frac{3}{2}由于0<a<b,即a^{2}<b^{2},即有c^{2}>2a^{2},即有e^{2}>2,则e=\sqrt{3}
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$上的点$P$到抛物线的准线的距离为$d_{1}$，到直线$3 x-4 y+9=0$的距离为$d_{2}$，则$d_{1}+d_{2}$的最小值是?
【解析】
【题目】若双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{k}=1$的焦点到渐近线的距离为$2 \sqrt {2}$，则实数$k$的值是?
【解析】
【题目】已知$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上任意一点，$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的两个焦点，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$的最大值为?
【解析】
【题目】已知点$A$是抛物线$y=\frac{1}{4} x^{2}$的对称轴与准线的交点，点$F$为该抛物线的焦点，点$P$在拋物线上且满足$|P F|=m|P A|$,则$m$的最小值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1  (a>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，离心率为$2$,$P$为双曲线右支上一点，且满足$|P F_{1}|^{2}-|P F_{2}|^{2}=4$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的周长为?
【解析】先由离心率求得a,由双曲线定义得|PF_{1}|-|PF_{2}|,最后由已知可求得周长由题意\frac{\sqrt{a^{2}+1}}{a}=2'a=\frac{\sqrt{3}}{3}'c=\sqrt{a^{2+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.P为双曲线右支上一点,\therefore|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=\frac{2\sqrt{3}}{3}\because|PF_{1}|^{2}-|PF_{2}|^{2}=(|PF_{1}|-|PF_{2}|)(|PF_{1}|+|PF_{2}|)=4,\therefore|PF_{1}|+|PF_{2}|=2\sqrt{3}\therefore\trianglePF_{1}F_{2}的周长为_{|PF_{1}|}+|PF_{2}|+|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{3}+\frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}
【题目】设椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，直线$x=m$与椭圆$C$相交于$A$、$B$两点. 当$\triangle A B F$的周长最大时, $\triangle A B F$的面积为$b^{2}$, 则椭圆$C$的离心率$e$=?
【解析】首先根据椭圆定义分析,分析当\triangleABF的周长最大时,直线AB的位置,再求\triangleABF的面积,得到椭圆的离心率.设椭圆的右焦点为F,|AF|+|BF|\geqslant|AB|,当直线AB过右焦点F时,等号成立\therefore\DeltaABF的周长l=|AF|+|BF|+|AB|\leqslant|AF|+|BF|+|AF|+|BF|=4a,此时直线AB过右焦点,|AB|=\frac{2b^{2}}{a}S_{\DeltaABF}=\frac{1}{2}\times\frac{2b^{2}}{a}\times2c=b^{2},得e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}
【题目】已知$A$、$B$、$C$是抛物线$y=4 x$上任意三点，$F$是抛物线的焦点且$F A+F B+F C=0$，则$| F A |+| F B |+| F C |$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$ , $P$, $Q$是$C$上任意两点，点$M(0,-1)$满足$\overrightarrow{M P} \cdot \overrightarrow{M Q} \geq 0$，则$p$的取值范围是?
【解析】当直线MQ,MP与抛物线相切时,两向量夹角最大,设直线MQ的斜率为k,则当k\geqslant1时,恒有\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{MQ}\geqslant0成立,直线MQ的方程为y=kx-1,与x^{2}=2py联立可得,x^{2}-2pkx+2p=0由\triangle=0得,k^{2}=\frac{p}{2}\geqslant1,可得p\leqslant2,所以p的取值范围是(0,2],

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【题目】设$P$为直线$y=2 x$上的一点，且位于第一象限，若点$P$到双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的两条渐近线的距离之积为$27$，则点$P$的坐标为?
【解析】设P(x_{0},2x_{0})(x_{0}>0),双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的两条渐近线为y=\pm\frac{1}{2}x,即x\pm2y=0则点P到双曲线的两条渐近线的距离之积为\frac{|x_{0}+4x_{0}|}{\sqrt{5}}.\frac{|x_{0}-4x_{0}|}{\sqrt{5}}=27,解得:x_{0}=3.所以点P的坐标为(3,6).
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$ , $M$为其右支上一动点，$F$为其右焦点，点$A(3 , 1)$，则$|M A|+|M F|$的最小值为?
【解析】设双曲线的左焦点为F,则|PA|+|PF|=|PF|-2a+|PA|.\therefore当P、F、A三点共线时有最小值\because双曲线的方程为\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=\thereforeF'(-2,0),A(3,1)\therefore|PF|+|PA|=|AF|=\sqrt{26}\because2a=2\sqrt{3}\therefore|MA|+|MF|的最小值为\sqrt{26}-2\sqrt{3}
【题目】已知双曲线的渐近线方程为$x \pm y=0$，且过点$P(-1,-2)$，则该双曲线的标准方程为?
【解析】根据题意,双曲线的一条渐近线方程为x\pmy=0,可设双曲线方程为x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0)\because双曲线过点P(-1,-2),\therefore1-4=\lambda,即\lambda=-3.\therefore所求双曲线方程为\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{3}=1
【题目】已知$F$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点，$A$为椭圆$C$的右顶点，$P$是椭圆$C$上一点，且$P F$垂直于$x$轴，若直线$P A$的斜率为$\frac{\sqrt{5}}{5} $ , 则椭圆 $C$的离心率为?
【解析】令椭圆C的半焦距为c,则F(-c,0),A(a,0),而PF\botx轴,由x=-c得点P的纵坐标y_{P}=\pm\frac{b^{2}}{a},又直线PA的斜率为\frac{\sqrt{5}}{5},则点P的坐标为(-c,-\frac{b^{2}}{a}),于是得\frac{b^{2}}{a+c}=\frac{\sqrt{5}}{5}即\frac{a2-c^{2}}{a(a+c)}=\frac{\sqrt{5}}{5},整理可得:1-\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5},则有e=\frac{c}{a}=1-\frac{\sqrt{5}}{5},所以椭圆C的离心率为_{1}-\frac{\sqrt{5}}{5}.
【题目】已知过椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点$F$的直线$l$交$E$于$A$、$B$两点，则$|A F|+2|B F|$的最小值为?
【解析】由题意得F(-1,0),设直线l的方程为x=my-1,由\begin{cases}x=my-1\\\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\end{cases},得(m^{2}+2)y^{2}-2my-1=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}不妨设y_{1}>0,y_{2}<0,则\frac{|AF|}{|BF|}=\frac{|}{|}.\frac{1}{3}因为|AF|+|BF|=|AB|,所以\frac{1}{t}=\frac{y_{1}-y_{2}}{|AB|}所以,\frac{M}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{t\cdoty_{1}}+\frac{1}{-t\cdoty_{2}}=\frac{1}{t}\cdot\frac{y_{2}-y_{1}}{y_{1}y_{2}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{|AB|}.\frac{y_{2}-y_{1}}{y_{1}y_{2}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{\sqrt{1+m^{2}}\cdot(y_{1}-y_{2})}.\frac{y_{2}-y_{1}}{y_{1}y_{\frac{1}{\sqrt{1+m^{2}}}\cdot\frac{y_{2}-y_{1}}{y_{1}y_{2}}=2\sqrt{2}=\frac{-\frac{\sqrt{4}}{m^{2}+2}}{\sqrt{1+m^{2}\cdot\frac{1}{m^{2}+2}}}所以2\sqrt{2}\cdot(|AF|+2|BF|)=\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|})\cdot(|AF|+2|BF|)=\frac{2|BF|}{|AF|}+\frac{|AF|}{|BF|}+3\geqslant2\sqrt{2}+3,所以|AF|+2|BF|\geqslant\frac{2\sqrt{2}+3}{2\sqrt{2}}=1+\frac{3\sqrt{2}}{4},当且仅当\frac{2|BF|}{|AF|}=\frac{|AF|}{|BF|},即|AF|=\sqrt{2}|BF|时,取等号,又当直线l为y=0时,易得|AF|+2|BF|=|AB|+|BF|=3\sqrt{2}\pm1所以|AF|+2|BF|的最小值为_{1}+\frac{3\sqrt{2}}{4},
【题目】抛物线$y=x^{2}$上到直线$2 x-y-4=0$的距离最短的点的坐标是?
【解析】y=x^{2}的导数为y'=2x,设所求点为P(x_{0},y_{0}),则2x_{0}=2,\thereforex_{0}=1,\thereforeP(1,1).
【题目】已知焦点在$x$轴上的椭圆$C$经过点$A(2,1)$，且离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则椭圆$C$的方程为?
【解析】由题意,设椭圆C的方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)|知|\frac{a^{2}}{a}=\frac{b^{2}+c^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}},解得b^{2}=3,a^{2}=6,\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=1\because椭圆C的方程为\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，抛物线上的点$M(3, y_{0})(y_{0}>0)$到焦点的距离$|M F|=4$，则点$M$的坐标为?
【解析】点F的坐标为(\frac{p}{2},0),抛物线的准线方程为x=-\frac{p}{2},由抛物线的定义可得|MF|=3+\frac{p}{2}=4,所以p=2.所以抛物线方程为y^{2}=4x,将x=3代入方程,可得y_{0}=2\sqrt{3}(负值舍去),所以点M坐标为(3,2\sqrt{3})数答安为:(3.,2)
【题目】点$P$在抛物线$x^{2}=4 y$的图象上，$F$为抛物线的焦点，点$A(-1 , 3)$，若使$|PF|+|PA|$最小，则相应$P$点的坐标为?
【解析】
【题目】点$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$上的点，双曲线的离心率是$\frac{5}{4}$, $F_{1}$, $F_{2}$是其焦点，$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$, 若$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积是$18$, $a+b$的值等于?
【解析】不妨设点P在双曲线的右支上.设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,根据双曲线的定义可知m-n=2a\textcircled{1}由\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0知\overrightarrow{PF_{1}}\bot\overrightarrow{PF_{2}},得\frac{1}{2}mn=18\textcircled{2},m^{2}+n^{2}=4c^{2}\textcircled{3}联立\textcircled{1}\textcircled{2}\textcircled{3},解得c^{2}-a^{2}=18\textcircled{4}由双曲线的离心率是\frac{5}{4},知e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}\textcircled{5}由双曲线a,b,c的关系,知a2+b^{2}=c2\textcircled{6}联立\textcircled{4}\textcircled{5}\textcircled{6},解得a=4\sqrt{2},b=3\sqrt{2},c=5\sqrt{2}故a+b=4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}故填:7\sqrt{2}
【题目】已知椭圆和双曲线有共同的焦点$F_{1}$、$F_{2}$、$P$、$Q$分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且$\angle Q F_{2} P=60^{\circ}$，记椭圆和双曲线的离心率分别为$e_{1}$, $e_{2}$，则$\frac{3}{e_{1}^{2}}+\frac{1}{e_{2}^{2}}$等于?
【解析】设椭圆长半轴长为a_{1},双曲线实半轴长为a_{2},F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0),P为两曲线在第一象限的交点,Q为两曲线在第三象限的交点.由椭圆和双曲线定义知:|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a_{1},|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a_{2}\therefore|PF_{1}|=a_{1}+a_{2},|PF_{2}|=a_{1}-a_{2},由椭圆和双曲线对称性可知:四边形PF,OF_{2}为平行四边形\because\angleQF_{2}P=60^{\circ},\therefore\angleF_{1}PF_{2}=120^{\circ}\therefore|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|\cos\angleF_{1}PF_{2}即4c^{2}=(a_{1}+a_{2})^{2}+(a_{1}-a_{2})^{2}+(a_{1}+a_{2})(a_{1}-a_{2})=3a_{1}^{2}+a_{2}^{2},\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{e^{2}}=\frac{3a_{1}^{2}}{c^{2}}+\frac{a_{2}^{2}}{c^{2}}=4
【题目】若过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点且垂直于$x$轴的直线被椭圆截得的弦长为$a$，则该椭圆 的离心率为?
【解析】
【题目】已知$F$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，过点$F$的直线$l$交抛物线$C$于$A$、$B$两点，若$|A B|=10$，则线段$A B$的中点$M$到直线$x+1=0$的距离为?
【解析】如图,F为抛物线C:y^{2}=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,则抛物线准线方程为x+1=0,分别过点A,B,M作准式的垂线,垂足为C,D,N则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=10,又M为AB的中点,故|MN|=\frac{1}{2}(|AC|+|BD|)=\frac{1}{2}|AB|=5,即线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为5,
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=-4 y$的焦点为$F$，抛物线$C$上一点$A$满足$|A F|=3$，则以点$A$为圆心，$A F$为半径的圆截$x$轴所得弦长为?
【解析】由题意,抛物线x^{2}=-4y,可得焦点F(0,-1),设A(x_{0},y_{0}),根据抛物线的定义,可得|AF|=-y_{0}+1=3,解得y_{0}=-2即A到x轴的距离为d=2,所以圆截x轴所得弦长为2\sqrt{R^{2}-d^{2}}=2\sqrt{3^{2}-2^{2}}=2\sqrt{5}.
【题目】已知点$P$在抛物线$y^{2}=4 x$上，当$P$到直线$y=x+4$的距离最短时，点$P$的坐标是?
【解析】设P(\frac{y^{2}}{4},y),则点P到直线y=x+4的距离d=\frac{|y^{2}}{\sqrt{2}}-y+4|=\frac{1}{4}(y-2)^{2}+3,当y=2时,d取得最小值.把y=2代入y^{2}=4x,得x=1,所以点P的坐标为(1,2).
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，椭圆上的点$M$满足:$\angle F_{1} M F_{2}=\frac{2 \pi}{3}$且$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=-2$，则$b$=?
【解析】先根据数量积运算得|MF_{1}||MF_{2}|=4,再结合椭圆的定义与余弦定理即可得b=]因为\angleF_{1}MF_{2}=\frac{2\pi}{3}且\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}=-2,所以|MF_{1}||MF_{2}|=4,由椭圆的定义得|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a,故|MF_{1}|^{2}+|MF_{2}|^{2}+2|MF_{1}||MF_{2}|=4a^{2}所以在\triangleF_{1}MF_{2}中,由余弦定理得\cos\angleF_{1}MF_{2}=\frac{|MF_{1}|^{2}+|MF_{2}|^{2}-4}{2|MF_{1}||MF_{2}|}\frac{-4c^{2}}{3}代入数据得-\frac{1}{2}=\frac{4a^{2}-4c^{2}-8}{8}=\frac{4b^{2}-8}{8},解得:b=1
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$，是双曲线$x^{2}-4 y^{2}=4$的两个焦点，$P$是双曲线上的一点，且满足$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】\because双曲线x^{2}-4y^{2}=4,\therefore双曲线的标准方程:\frac{x2}{4}-y^{2}=1,\thereforea=2,b=1,c=\sqrt{5}设PF_{1}=m,PF_{2}=n,由双曲线的定义可知:|m-n|=4\textcircled{1}\because\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0,\thereforePF_{1}\botPF_{2},由勾股定理可知:m^{2}+n^{2}=(2\sqrt{5})^{2}\textcircled{2}把\textcircled{1}平方,然后代入\textcircled{2},求得mn=2,\thereforeAPF_{1}F_{2}的面积为S=\frac{1}{2}mn=1,
【题目】若圆$C$:$(x+\frac{1}{2})^{2}+y^{2}=2$与抛物线$E$: $y^{2}=2 p y(p>0)$相交于$A$、$B$两点，且弦$A B$过抛物线的焦点$F$，则$p$=?
【解析】依题意知抛物线E:y^{2}=2px的焦点F(\frac{p}{2},0),AB\botx轴,且A,B两点的横坐标都是\frac{p}{2}不妨令A在第一象限,将\frac{p}{2}代入抛物线E:y^{2}=2px,解得y=\pmp,即A(\frac{p}{2},p)、B(\frac{p}{2},-p)所以|AB|=2p.在Rt\triangleACF中,AF^{2}+CF^{2}=AC^{2},即p^{2}+(\frac{1}{2}+\frac{p}{2})^{2}=2,且p>0,解得p=1
【题目】已知点$P$是椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的动点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为左、右焦点，$O$为坐标原点，则$\frac{||PF_{1}|-|PF_{2}||}{|OP|}$的取值范围是?
【解析】利用椭圆定义和性质可知|PF_{1}|+|PF_{2}|=4\sqrt{2}\therefore\frac{|PF|-|PF_{2}|}{|op|}运用坐标表示,结合函数得到其取值范围是0,\sqrt{2}.
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上的动点$Q$到焦点的距离的最小值为$1$，则$p$=?
【解析】
【题目】已如抛物线$y^{2}=4 x$的准线过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点，则椭圆的准线方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{k^{2}}=1(k>0)$，并且焦距为$8$，则实数$k$的值为?
【解析】因为2c=8,所以c=4,\textcircled{1}当焦点在x轴上时,由椭圆的标准方程知a^{2}=36,b^{2}=k^{2},a^{2}=b^{2}+c^{2}所以36=k^{2}+4^{2},即k^{2}=20,又k>0,故k=2\sqrt{5}\textcircled{2}当焦点在y轴上时,由椭圆的标准方程知a^{2}=k^{2},b^{2}=36,a^{2}=b^{2}+c^{2}所以k^{2}=36+4^{2},即k^{2}=52,又k>0,故k=2\sqrt{13}综上,k=2\sqrt{5}或2\sqrt{13}.
【题目】抛物线顶点为$O$，焦点为$F$、$M$是抛物线上的动点，则$\frac{MO}{MF}$的最大值为?
【解析】
【题目】一动圆与圆$x^{2}+y^{2}+6 x+5=0$外切，同时与圆$x^{2}+y^{2}-6 x-91=0$内切，则动圆圆心的轨迹方程为?
【解析】圆x^{2}+y^{2}+6x+5=0的圆心为A(-3,0),半径为2;圆x^{2}+y^{2}-6x-91=0的圆心为B(3,0),半径为10;设动圆圆心为M(x,y),半径为x;则MA=2+r,MB=10-r;于是MA+MB=12>AB=6所以,动圆圆心M的轨迹是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,长轴长为12的椭圆a=6,c=3,b^{2}=a^{2}-c^{2}=27所以M的轨迹方程为\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1
【题目】已知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$，直线$y=\frac{\sqrt{2}}{2} x$与该椭圆的一个交点在$x$轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则$m$=?
【解析】\because直线y=\frac{\sqrt{2}}{2}x^{与}该椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点,\thereforeM(c,\frac{b^{2}}{a}).\therefore\frac{b^{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}c'同时a^{2}=b^{2}+c^{2},a^{2}=16,b^{2}=m^{2}\thereforem^{4}+8m^{2}-128=0,解得m^{2}=8,m>0,\thereforem=2\sqrt{2}
【题目】$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的右支上一点，$M$, $N$，分别是圆$(x+5)^{2}+y^{2}=4$和$(x-5)^{2}+y^{2}=1$上的点，则$|P M| - |P N|$的最大值为?
【解析】
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的右焦点作一条斜率为$1$的直线与椭圆交于$A$、$B$两点，$O$为坐标原点，则$\triangle A O B$的面积为?
【解析】
【题目】椭圆$M$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$,$F_{2}$, $P(\frac{a}{3},\frac{b}{2})$，若$P F_{1} \perp P F_{2}$，则$M$的离心率为?
【解析】依题意可得F_{1},F_{2}的坐标,由PF_{1}\botPF_{2},则k_{PF_{1}}\cdotk_{PF_{2}}=-1,即可得到a、c的关系,求得椭圆的离心率.\because\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\thereforeF_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)\becauseP(\frac{a}{3},\frac{b}{2}),PF_{1}\botPF_{2}所以\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{x}+c}\times\frac{\frac{b}{2}}{\frac{a}{2}-c}=-1'则\frac{a^{2}-c^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{9}-c^{2}=0,即13a^{2}=45c2\thereforee^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{13}{45},所以e=\frac{\sqrt{65}}{6}
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{20}=1$的焦点，点$P$在双曲线上，若点$P$到焦点$F_{1}$的距离等于$9$，则点$P$焦点$F_{2}$的距离等于?
【解析】
【题目】设$P$是椭圆$M$:$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$上的任一点，$E F$为圆$N$: $x^{2}+(y-2)^{2}=1$的任一条直径，则$\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{P F}$的最大值为?
【解析】
【题目】动圆$M$过点$(0,-1)$且与直线$y=1$相切，则圆心$M$的轨迹方程为?
【解析】设动圆的圆心为M(x,y),利用已知条件列出方程,即可求解.设动圆的圆心为M(x,y)因为动圆M过点(0,-1)且与直线y=1相切,可得\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}=|1-y|,整理得x^{2}+4y=0即动圆的圆心M的轨迹出为x^{2}=-4y.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，过点$F_{1}$的直线$l$与双曲线$E$的左支交于$P$、$Q$两点，若$|P F_{1}|=2|F_{1} Q|$，且$F_{2} Q \perp P Q$，则$E$的离心率是?
【解析】如图所示,由题意,可设QF_{1}=m,PF_{1}=2m,由双曲线的定义可得:PF_{2}=2a+2m,QF_{2}=2a+m在\trianglePQF_{2}中,由勾股定理可得:(3m)^{2}+(2a+m)^{2}=(2a+2m)^{2},据此可得:m=\frac{2}{3}a在\triangleQF_{1}F_{2}中,QF_{1}=m=\frac{2}{3}a,QF_{2}=2a+m=\frac{8}{3}a,由勾股定理可得:(\frac{2}{3}a)^{2}+(\frac{8}{3}a)^{2}=(2c)^{2},据此可得:e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{17}{9},\thereforee=\frac{\sqrt{17}}{3}
【题目】双曲线$x^{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$的虚轴长是实轴长的$2$倍，则$m$=?
【解析】因为双曲线x^{2}+\frac{y^{2}}{m}=1的虚轴长是实轴长的2倍所以a^{2}=1,b^{2}=-m所以2\sqrt{-m}=2\times2,解得m=-c
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1  (a>0)$的焦点$F_{1}$、$F_{2}$，抛物线$y^{2}=2 x$的焦点为$F$，若$\overrightarrow{F_{1} F}=3 \overrightarrow{F F_{2}}$，则$a$=?
【解析】由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为F(\frac{1}{2},0)设椭圆的焦点坐标为:F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)则:\overrightarrow{F_{1}F}=(\frac{1}{2}+c,0),\overrightarrow{FF_{2}}=(c-\frac{1}{2},由题意有:(\frac{1}{2}+c,0)=3(c-\frac{1}{2},0),则:\frac{1}{2}+c=3(c-\frac{1}{2})求解关于c的方程可得:c=1,则:a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{2}
【题目】已知$F(2 , 0)$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点，过$F$且垂直于$x$轴的弦的长度为$6$，若$A(-2, \sqrt{2})$，点$M$为椭圆上任一点，则$|M F|+| M A |$的最大值为?
【解析】求得椭圆方程方程,根据椭圆的定义求得|MF|+|MA|=8+|MA|\cdot|MF_{1}|,当M落在AF_{1}的延长线上时,|MA|\cdot|MF_{1}|=|F_{1}A|,即可求得答案.由c=2,\frac{2b^{2}}{a}=\frac{2(a^{2}-c^{2})}{a}=6,整理得:a^{2}\cdot3a\cdot4=0,解得:a=4,b^{2}=12,\therefore椭圆的方程:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1,由椭圆C的两个焦点分别F(2,0),F_{1}(-2,0),|MF|+|MF_{1}|=2a=8,|MF|+|MA|=8+|MA|\cdot|MF_{1}|,当M,A,F_{1}三点不共线时,|MA|\cdot|MF|<|F_{1}A|,当M落在AF_{1}的延长线上时,|MA|\cdot|MF_{1}|=|F_{1}A|,|F_{1}A|=\sqrt{2}\therefore|MF|+|MA|的最大值为8+\sqrt{2},
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的离心率是?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1的长半轴为a=3,短半轴为b=2,则半焦距为c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}所以椭圆的离心率为:e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，若椭圆上的点$P$满足$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则$\angle F_{1} P F_{2}$的大小为?
【解析】依题意椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1的a=3,b=2,c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{5},|F_{1}F_{2}|=2c=2\sqrt{5}所以\begin{cases}|PF_{1}|=2|PF_{2}|\\|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=6\end{cases},解得|PF_{1}|=4,|PF_{2}|=2,所以|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=4^{2}+2^{2}=20=|F_{1}F_{2}|^{2}所以三角形F_{1}PF_{2}是直角三角形,且\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{2}
【题目】一动圆过定点$A(-4,0)$，且与定圆$B$:$(x-4)^{2}+y^{2}=16$相外切，则动圆圆心的轨迹方程为?
【解析】设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=8.\therefore点P的轨迹是以A(-4,0),B(4,0)为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.又\because2c=8,\thereforec=4.\thereforeb^{2}=c^{2}-a^{2}=12\therefore动圆圆心的轨迹方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1(x\leqslant-2)
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的一直线交抛物线于$P$、$Q$两点，若线段$P F$的长为$3$，则线段$F Q$的长为?
【解析】设P(x_{1},y_{1},\because线段PF的长为3,\thereforex_{1}+\frac{p}{2}=3,即\thereforex_{1}=2,\thereforeP(2,2\sqrt{2}),又F(1,0),\therefore直线PQ的方程为:y=2\sqrt{2}(x-1),代入抛物线方程,得(2\sqrt{2}(x-1))2=4x,即\frac{2x2-5x+2=0,解得x=2或x=\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2}-1)^{2}+(-\sqrt{2}-0)^{2}}=\frac{3}{2}
【题目】设抛物线$y^{2}=6 x$上一点$P$到其焦点$F$的距离为$\frac{9}{2}$ , $O$为坐标原点，则$\triangle P O F$的面积为?
【解析】设P(x_{0},y_{0}).由抛物线的标准方程可知该抛物线的准线方程为:x=-\frac{3}{2},焦点F(\frac{3}{2},0),由抛物线的定义可知:x_{0}-(-\frac{3}{2})=\frac{9}{2}\Rightarrowx_{0}=3,代入抛物线标准方程中得y_{0}^{2}=6\times3\Rightarrow|y_{0}|=3\sqrt{2},因此\trianglePOF的面积为:\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times3\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{4}
【题目】已知$A$、$B$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{m+4}+\frac{y^{2}}{m}=1$的长轴的两个端点，$P$是椭圆$C$上的动点，且$\angle A P B$的最大值为$\frac{2 \pi}{3}$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】P是椭圆C上的动点,且\angleAPB的最大值为\frac{2\pi}{3},此时P是短轴顶点,利用直角三角形正切函数性质可得解因为P是椭圆C上的动点,当\angleAPB的最大值为\frac{2\pi}{3},由椭圆性质得此时P是短轴顶点且\angleAPO=60^{\circ},所以\tan60^{\circ}=\frac{\sqrt{m+4}}{\sqrt{m}},解得m=2\thereforea^{2}=6,b^{2}=2,c^{2}=4\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a \in[1,5], b \in[2,4]$表示焦点在$x$轴上且离心率小于$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆，则$z=a+b$的最大值为?
【解析】求出题中a,b满足的不等关系,然后在直角坐标系为表示出点(a,b)表示的平面区域,作直线x+y=0,利用线性规划思想可得其最小值.解】由题意a>b,\frac{\sqrt{a2-b^{2}}}{a}<\frac{\sqrt{3}}{2},化简得a<2b,又1\leqslanta\leqslant5,2\leqslantb\leqslant4,因此点(a,b)在坐标平面上表示的区域如图阴影部分,作直线l:x+y=0,z=x+y中z是直线的纵截距,平移该直线,当直线过点C(5,4)时,z取得最大值为z=5+4=9.
【题目】已知双曲线的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3} x$，它的一个焦点在抛物线$y^{2}=24 x$的准线上，则双曲线的标准方程为?
【解析】由题意可得,抛物线y^{2}=24x的准线为x=-6,双曲线的一个焦点为(-6,0),即有c=6,又\frac{b}{a}=\sqrt{3},36=a^{2}+b^{2}=4a^{2},a^{2}=9,b^{2}=27则所求双曲线的方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{27}=
【题目】已知$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1$上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的两个焦点，当$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{2 \pi}{3}$时，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,则m+n=2a=2\sqrt{10}在APF_{1}F_{2}中,由余弦定理得:F_{1}F_{2}^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos\angleF_{1}PF_{2}即:36=(m+n)^{2}-2mn-2mn\cos\frac{2\pi}{3}=40-mn,解得:mn=4\thereforeS_{\DeltaPF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}mn\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}本题正确结果:\sqrt{3}
【题目】双曲线$2 x^{2}-y^{2}=m$的一个焦点是$(0 , \sqrt{3})$，则$m$的值是?
【解析】
【题目】已知双曲线的中心在原点，两个焦点$F_{1}$、$F_{2}$的坐标分别为$(\sqrt{5} , 0)$和$(-\sqrt{5} , 0)$，点$P$在双曲线上，且$P F_{1} \perp P F_{2}$ ,$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为$1$，则双曲线的方程为?
【解析】由题意得\begin{cases}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2,\\|PF_{1}|+|PF_{2}|=(2\sqrt{5})\end{cases}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2,\Rightarrow(|PF_{1}|-|PF_{2}|)^{2}=16,即2a=4,解得a=2又c=\sqrt{5},所以b=1.故双曲线的方程为\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1
【题目】已知椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(0<b<1)$的左焦点为$F$, 左、右顶点分别为$A$、$C$, 上顶点为$B$. 过$F$、$B$、$C$作圆$P$, 其中圆心$P$的坐标为$(m, n)$. 当$m+n>0$时,椭圆离心率的取值范围为?
【解析】分别求得BC的中垂线与FC的中垂线,交点即为圆心P,进而利用m+n>0求解即可由题,F(-c,0),B(0,b),C(1,0),设BC的中点为M(\frac{1}{2},\frac{b}{2}),且k_{BC}=-b,则BC的中垂线为y-\frac{b}{2}=\frac{1}{b}(x-\frac{1}{2}),FC的中垂线为x=联立\begin{cases}y-\frac{b}{2}=\frac{1}{b}(x-\frac{1}{2})\\x=\frac{1-c}{2}\end{cases}可得\begin{cases}x=\frac{1-c}{2}\\y=\frac{b^{2}-c}{2b}\end{cases}因为m+n>0,即\frac{1-c}{2}+\frac{b^{2}-c}{2b}>0所以b-bc+b^{2}-c>0,即(1+b)(b-c)>0,所以b>c,即b^{2}>c^{2},所以a^{2}=b^{2}+c^{2}>2c^{2},所以e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}<\frac{1}{2},则_{0}<e<\frac{\sqrt{2}}{2},
【题目】已知双曲线的渐近线方程为$y=\pm x$，且右焦点与抛物线$y^{2}=4 x$的焦点重合，则这个双曲线的方程是?
【解析】\because抛物线y^{2}=4x的焦点为:(1,0)\therefore双曲线的右焦点为:(1,0),即c=1\because双曲线的渐近线方程为y=\pmx.\therefore双曲线的方程可设为:x^{2}-y^{2}=\lambda,\lambda>0,即\frac{x^{2}}{\lambda}-\frac{y^{2}}{\lambda}=1,\thereforea^{2}=b^{2}=\lambda由a^{2}+b^{2}=c^{2}可得:\lambda+\lambda=1,\therefore\lambda=\frac{1}{2}双曲线的方程是2x^{2}-2y^{2}=1.
【题目】点$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的左、右焦点，点$A$、$B$、$C$在椭圆$E$上，满足$\overrightarrow{A F_{1}}=\overrightarrow{F_{1} B}$，$\overrightarrow{A F_{2}}=2 \overrightarrow{F_{2} C}$，则椭圆$E$的离心率为?
【解析】如图,因为\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{F_{1}B},由椭圆的对称性可得AB\botF_{1}F_{2},不妨设A在x轴上方则x_{A}=-c,故y_{A}=\frac{b^{2}}{a}而\overrightarrow{AF_{2}}=2\overrightarrow{F_{2}C},故x_{C}-c=\frac{1}{2}\times2c,即x_{C}=2c,且y_{C}=-\frac{b^{2}}{2a}将C的坐标代入椭圆方程得到:\frac{4c^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}=1整理得到:4e^{2}+\frac{1-e^{2}}{4}=1,解得e=\frac{\sqrt{5}}{5}
【题目】已知抛物线$x^{2}=4 y$，点$M(t,-2), t \in(-1,1)$，过$M$作抛物线的两条切线$M A$, $M B$，其中$A$、$B$为切点，直线$A B$与$y$轴交于点$P$, 则$\frac{|P A|}{|P B|}$的取值范围是?
【解析】设切点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由抛物线y=\frac{1}{4}x^{2},y=\frac{1}{2}x.\therefore切线MA:x_{1}x=2y_{1}+2y,同理切线MB:x_{2}x=2y_{2}+2y,又点M是两条切线的交点,所以x_{1}t=2y_{1}-4,x_{2}t=2y_{2}-4.所以直线AB的方程为tx=-4+2y,即y-2=-\frac{tx}{2}\_此直线恒过P(0,2),则\frac{|PA|}{|PB|}=\frac{\sqrt{x_{1}^{2}+(y_{1}-2)^{2}}{\sqrt{x_{2}^{2}+(y_{2}-2)^{2}}}=\frac{\sqrt{x_{1}+(-\frac{tx_{1})^{2}}{\sqrt{x_{2}^{2}+(-\frac{tx_{2}}{2})^{2}}}=-\frac{x_{1}}{x_{2}}\begin{cases}y=\frac{tx}{2}+2\\x^{2}=4y\end{cases},消去y,得x^{2}-2tx-8=0,\thereforex_{1}+x_{2}=2t,x_{1}x_{2}=-8,\because\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{\becauset\in(-1,1)}=\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{2}+2=-\frac{t^{2}}{2}.\becauset\in(-1,1)\therefore-\frac{t^{2}}{2}\in[-\frac{1}{2},0],即-\frac{1}{2}\leqslant\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}+2\leqslant0,即\begin{cases}-\frac{1}{2}\leqslantm+\frac{1}{m}+2\\m+\frac{1}{2}+2<0\end{cases},解得-2\leqslantm\leqslant-\frac{1}{2}|m+\frac{1}{m}+2\leqslant0即\frac{x_{1}}{x_{2}}\in[-2,-\frac{1}{2}=-\frac{x_{1}}{x_{1}}\in[.\frac{1}{2},2
【题目】短轴长为$\sqrt{5}$，离心率$e=\frac{2}{3}$的椭圆的两焦点为$F_{1}$ , $F_{2}$,过$F_{1}$作直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle{ ABF_{2}}$周长为?
【解析】
【题目】斜率为$1$的直线$l$与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$相交于$A$、$B$两点，则$A B$的最大值为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$焦点$F$的直线交抛物线于点$A$、$B$，交准线于点$P$，交$y$轴于点$Q$，若$\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{F B}$，则弦长$|A B|$=?
【解析】设点B、F在准线上的射影分别是点G、K,计算得到\frac{|KF|}{|GB|}=\frac{|PF|}{|PB|}=\frac{2}{3},得到B的坐标为(2,2\sqrt{2}),A的横坐标为\frac{1}{2},计算得到答案.羊解】设点B、F在准线上的射影分别是点G、K,根据抛物线的定义可知原点O是线段KF的中点,所以Q是线段PF的中点,|PQ|=|QF|.又\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{FB},可得\frac{|PF|}{|PB|}=\frac{2}{3},所以\frac{|KF|}{|GB|}=\frac{|PF|}{|PB|}=\frac{2}{3}因为|KF|=2,所以|GB|=3,所以可得点B的坐标为(2,2\sqrt{2})(点B只能在第一象限),所以直线AB的方程为y=2\sqrt{2}(x-1),代入y^{2}=4x,可求得点A的横坐标为\frac{1}{2},所以|AF|=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2},|AB|=|AF|+|BF|=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=8 y$ , $F$是焦点，点$A(-2,4)$，若点$P$在抛物线上，且$|P F|+|P A|$的值最小，则点$P$的坐标为?
【解析】当点P在过A且与准线垂直的线段与抛物线C的交点处时,|PF|+|PA|的值最小,此时x_{p}=-2.代入抛物线方程可得y_{p}=\frac{1}{2}过点P向抛物线的准线y=-2作垂线PN,则|PF|=|PN|\therefore|PF|+|PA|=|PA|+|PN|,\therefore当P,A,N三点共线时,|PN|+|PA|的值最小显然P点横坐标为x_{P}=-2,代入抛物线方程可得y_{n}=\frac{1}{2}
【题目】已知经过椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的右焦点$F_{2}$的直线$A B$交椭圆于$A$、$B$两点，$F_{1}$是椭圆的左焦点，则$\triangle A F_{1} B$的周长为?
【解析】利用椭圆的定义即可得到答案。如图所示:|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a=10,|BF_{1}|+|BF_{2}|=2a=10所以\triangleAF_{1}B的周长为4a=20
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{m}=1$短轴的长为$8$，则实数$m$=?
【解析】由题得,因为椭圆\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{m}=1短轴的长为8,所以焦点不会在y轴上,故椭圆2b=8,b=4m=b^{2}=16,故填16.可以的基本题考查了椭圆的基本量,注意题目没给焦点坐标要有意识地去讨论
【题目】三角形$A B C$中，$B C=4$，且$A B=\sqrt{3} A C$，则三角形$A B C$面积最大值为?
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则:B(-2,0),C(2,0),设点A的坐标为A(x,y),由题意整理可得:(x-4)^{2}+y^{2}=12,结合三角形的性质可得点C的轨迹方程为以(4,0)为圆心,2\sqrt{3}为半径的圆出去其与x轴的交点,据此可得三角形ABC面积的最大值为s=\frac{1}{2}\times4\times2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.
【题目】已知双曲线中心在坐标原点，一个焦点坐标为$(\sqrt {10} , 0)$，离心率为$\sqrt {5}$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线交该抛物线于$A$ , $B$两点,$|AF|=2$, 则$|BF|$=?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=4 x$上的两点$A$、$B$到焦点的距离之和为$6$，则线段$A B$的中点到$y$轴的距离为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),中点M(x_{0},y_{0}),焦点为F;则|AF|+|BF|=x_{1}+1+x_{2}+1=2x_{0}+2=6解得x_{0}=2,即线段AB的中点到y轴的距离为2.
【题目】已知某抛物线的准线方程为$y=1$，则该抛物线的标准方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{20}=1(a>0)$的一条渐近线方程为$y=2 x$，则该双曲线的焦距为?
【解析】由题设中提供的双曲线方程可知其渐近线为_{y}=\pm\frac{\sqrt{20}}{a}x'则\frac{\sqrt{20}}{a}=2\Rightarrowa^{2}=5'故c=\sqrt{5+20}=5所以焦距为2c=2\times5=10,应填答案10.
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线方程是$x=-1$. 设点$M$在此抛物线上，且$|M F|=3$，若$O$为坐标原点，则$\triangle O F M$的面积为?
【解析】抛物线的准线方程是x=-1,则焦点为F(1,0),p=2,抛物线方程为y^{2}=4x|MF|=x_{M}+1=3,x_{M}=2,所以y_{M}^{2}=4x_{M}=8,|y_{M}|=2\sqrt{2}S_{\DeltaOMF}=\frac{1}{2}|OF||y_{M}|=\frac{1}{2}\times1\times2\sqrt{2}=\sqrt{2}.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的离心率是?
【解析】双曲线\frac{x2}{3}\cdoty^{2}=1的a=\sqrt{3},b=1,
【题目】已知点$A(-2,0)$, $B(3,0)$，动点$P(x, y)$满足$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}=x^{2}$，则动点$P$的轨迹方程是?
【解析】根据\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=x2列式化简即可.因为\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=x2,故(x+2,y)\cdot(x-3,y)=x^{2}\Rightarrowx^{2}-x-6+y^{2}=3即y2=x+6.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点且与对称轴垂直的弦长为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点(1,0),可得:y^{2}=4,解得y=\pm2.可得:对称轴垂直的弦长为:
【题目】双曲线$C$过点$A(8,3)$，且与双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$有共同的渐近线，则双曲线$C$的方程为?
【解析】因为双曲线C与双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1有相同的渐近线,所以设双曲线C的方程为\frac{x2}{16}-\frac{y^{2}}{9}=\lambda(\lambda\neq0)又因为双曲线C过点A(8,3),所以\frac{8^{2}}{16}-\frac{3^{2}}{9}=\lambda,解得\lambda=3,所以\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=3,所以双曲线C的方程为\frac{x^{2}}{48}-\frac{y^{2}}{27}=1.
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的两条渐近线的方程为?
【解析】由条件可知a^{2}=1,b^{2}=3,则双曲线的渐近线方程y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{3}x
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线为$l$，已知经过$F$的直线与$l$相交于点$A$，与$C$的一个交点为$B$，若$F$是线段$A B$的中点，则$|A B|$=?
【解析】根据抛物线的定义,画出图像如下图所示,其中|BD|是B到准线的距离.由于F是AB中点EF//BD,所以|BD|=2|FE|=4,根据抛物线的定义有|BF|=|BD|=4,故|AB|=2|BF|=8.
【题目】若抛物线$x^{2}=2 y$上一点$P$到其焦点$F$的距离为$2$,$O$为坐标原点，则$\triangle O F P$的面积为?
【解析】由抛物线定义,|PF|=x_{P}+\frac{1}{2}=2,所以x_{P}=\frac{3}{2},|y_{P}|=\frac{9}{8}所以,APFO的面积S=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y_{P}|=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{9}{8}=\frac{9}{32}
【题目】直线$2 x-y+4=0$与$x-y+5=0$的交点为$P$，直线$l$过点$P$且与直线$l_{1}$: $x+y-6=0$平行，求直线$l$的方程?
【解析】(1)设直线l方程为:x+y+m=0,联立:\begin{cases}2x-y+4=0\\x-y+5=0\end{cases}得P(1,6),\thereforem=-1-6=------\therefore直线l的方程为:x+y-7=0.(2)由题易知:c=2.设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\begin{cases}a^{2}+b^{2}=4\\\frac{9}{a^{2}}-\frac{2}{b^{2}}=1\end{cases},解之得:a^{2}=3,b^{2}=1双曲线的标准方程为:\frac{x^{2}}{3}-y2=1,e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\sqrt{2}$，则点$(0,2)$到双曲线$C$的渐近线的距离为?
【解析】因为双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的离心率为\sqrt{2},所以\frac{c}{a}=\sqrt{2},即\frac{a2+b^{2}}{a^{2}}=2^{n},所以a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=\pmx,所以点(0,2)到双曲线C的渐近线的距离为\frac{2}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\sqrt{2}
【题目】如果抛物线$y^{2}=ax$的准线是直线$x=-1$，那么它的焦点坐标为?
【解析】由抛物线性质可知抛物线的准线方程坐标与焦点的横坐标互为相反数,所以焦点为(1,0)
【题目】若$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆的两个焦点，过$F_{2}$的直线交椭圆于$P$、$Q$两点，$P F_{1} \perp P Q$,且$4|P F_{1}|=3|P Q|$，则椭圆的离心率为?
【解析】设|PQ|=x,则|PF_{1}|=\frac{3}{4}x,|QF_{1}|=4a-\frac{7}{4}x因PF_{1}\botPQ,所以|PF_{1}|^{2}+|PQ|^{2}=|QF_{1}|^{2},所以\frac{9}{16}x^{2}+x^{2}=(4a-\frac{7}{4}x)^{2},解得x=\frac{4}{3}a或x=8a(舍),所以|PF_{1}|=a,|PF_{2}|=2a-a=a,所以|F_{1}F_{2}|=\sqrt{2}a=2c,所以椭圆的离心率为\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】斜率为$\sqrt{3}$的直线过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$，且与抛物线交于$A$、$B$两点（点$A$在第一象限），若$|A F|=2$，则$p$=?
【解析】由题得,抛物线准线l:x=-\frac{p}{2},如图,过点A作AM\botl,垂足为M,过焦点F作FC\botAM,垂足为C,则有|AM|=|AF|,\because直线AB的斜率为\sqrt{3},\therefore\angleFAC=\frac{\pi}{3},又|AF|=2,则有|CA|=1,那么p=|OF|=|AM|-|CA|=2-1=1.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$P$到它的一个焦点的距离等于$3$，那么点$P$到另一个焦点的距离等于?
【解析】
【题目】$P$为$3 x^{2}-5 y^{2}=15$上第四象限内一点，$F_{1}$, $F_{2}$为其两焦点，且$S\Delta F_{1} P F_{2}=2 \sqrt{6}$，则$P$点坐标为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$，过焦点$F$作倾斜角为$60^{\circ}$的直线与$C$交于$P$、$Q$两点，$P$、$Q$在$C$的准线上的投影分别为$M$，$N$两点，则$|M N|$=?
【解析】由抛物线C:y^{2}=4x可知则焦点坐标为F(1,0),\therefore过焦点F且斜率为\sqrt{3}的直线方程为y=\sqrt{3}(x-1),化简可得x=\frac{\sqrt{3}}{3}y+1设P(x_{1},y_{1},Q(x_{2},y_{2}),则|MN|=|y_{1}-y_{2}|,由\begin{cases}x=\frac{\sqrt{3}}{3}y+1可得y^{2}-\frac{4\sqrt{3}}{3}y-4=0'\\\end{cases}{y2=4x所以y_{1}+y_{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3},3所以y_{1}+y_{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3},y_{1}\cdoty_{2}=-4.v=-4bqg为.8\sqrt{3}
【题目】实数$x$,$y$满足$x|x|+y|y|=1$，则点$(x, y)$到直线$x+y+1=0$的距离的取值范围是?
【解析】分段讨论去绝对值判断出x|x|+y|y|=1表示的图形,可得出x|x|+y|y|=1表示的图形在y=-x和x+y-\sqrt{2}=0之间,利用平行线间距离公式即可求出\because实数x,y满足x|x|+y|y|=1,当x\geqslant0,y\geqslant0时,方程为x^{2}+y^{2}=1,表示一段圆弧当x\geqslant0,y<0时,方程为x^{2}-y^{2}=1,表示双曲线的-部分当x<0,y\geqslant0时,方程为y^{2}-x^{2}=1,表示双曲线的-部分当x<0,y<0时,方程为x^{2}+y^{2}=-1,不表示任何图形,画出x|x|+y|y|=1表示的图形,可知双曲线的一条渐近线为y=-x,y+1=0平行设和x+y+1=0平行且和圆x^{2}+y^{2}=1在第一象限相切的直线为x+y+a=0则\frac{|a|}{\sqrt{2}}=1,解得a=-\sqrt{2},可得x|x|+y|y|=1表示的图形在y=-x和x+y-\sqrt{2}=0之间则y=-x和x+y+1=0的距离为\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},x+y-\sqrt{2}=0和x+y+1=0的距离为\frac{|-\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}=1+\frac{\sqrt{2}}{2},则结合图形可得点(x,y)到直线x+y+1=0的距离的取值范围是(\frac{\sqrt{2}}{2},1+\frac{\sqrt{2}}{2}]
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{1}$的直线$l$: $7 x-24 y+28=0$与双曲线$C$交于$A$、$B$两点，若$A F_{2} \perp x$轴，则双曲线$C$的标准方程为?
【解析】因为直线l:7x-24y+28=0过F_{1},所以F_{1}(-4,0),即c=4,因为AF_{2}\botx轴,所以A(4,\frac{b^{2}}{a}),代入直线方程可得\frac{b^{2}}{a}=\frac{7}{3},又因为a^{2}+b^{2}=c^{2}=16,解得a^{2}=9,b^{2}=7,所以双曲线C的标准方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作一条直线交抛物线于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点$M$的横坐标为$2$，则$|A B|$等于?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),因为抛物线的准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),则根据抛物线的定义可知|AF|=x_{1}+1,|BF|=x_{2}+1,所以|AB|=x_{1}+1+x_{2}+1=2x_{M}+2=2\times2+2=6.
【题目】焦点在$x$轴上，焦距等于$4$，且经过点$P(6,0)$的椭圆标准方程是?
【解析】由题易知c=2,a=6,然后根据b^{2}=a^{2}-c^{2}可求得b^{2}的值,最后写出椭圆的方程即可因为椭圆的焦距等于4,故2c=4,所以c=2.又因为椭圆过点P(6,0),所以a=6,所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=36-4=32所以椭圆方程为\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1$有相同的焦点，则实数$a$的值为?
【解析】\because椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1与椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1有相同的焦点当焦点在x轴上时,4-a^{2}=a^{2}-2>0,\thereforea=\pm\sqrt{3},当焦点在y轴上时,a^{2}-4=2-a^{2}>0,无解综上,实数a的值为\pm\sqrt{3}.
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$上纵坐标为$2$的点到焦点的距离$5$，则该抛物线的方程为?
【解析】由抛物线的定义分析可得纵坐标为2的点到准线的距离也为5,即2-(-\frac{p}{2})=5,求出p的值,即可得出答案详解】根据题意,抛物线x^{2}=2py的准线为y=-\frac{p}{2}因为纵坐标为2的点到焦点的距离为5,则纵坐标为2的点到准线的距离也为5则有2-(-\frac{p}{2})=5,解得:p=6,所以抛物线的方程为x^{2}=12y
【题目】斜率为$k(k<0)$的直线$l$过点$F(0,1)$，且与曲线$y=\frac{1}{4} x^{2}(x \geqslant 0)$及直线$y=-1$分别交于$A$、$B$两点，若$|F B|=6|F A|$，则$k$=?
【解析】设A(x_{1},\frac{x_{1}^{2}}{4}),B(x_{2},-1),可由\overrightarrow{FB}=6\overrightarrow{FA}得到关于x_{1},x_{2}的方程组,求解后可求直线的斜率设A(x_{1},\frac{x_{1}^{2}}{4}),B(x_{2},-1),因为k<0,|FB|=6|FA|可得\overrightarrow{FB}=6\overrightarrow{FA}.而\overrightarrow{FB}=(x_{2},-2),\overrightarrow{FA}=(x_{1},\frac{x_{1}^{2}}{4}-1),所以\begin{cases}x_{2}=6x_{1}\\-2=6(\frac{x^{2}}{4}-1)\\x,>0\end{cases}解得\begin{cases}x_{1}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\\x_{2}=4\sqrt{6}\end{cases}故B(4\sqrt{6},-1)故斜率k=\frac{-1-1}{4\sqrt{6}-0}=-\frac{\sqrt{6}}{12}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$P$到椭圆的左焦点$F_{1}$的距离为$3$，点$M$是$P F_{1}$的中点，则点$M$到坐标原点$O$的距离为?
【解析】\because椭圆\frac{x2}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1中,a=4,\therefore|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=8,结合|PF_{1}|=3,得|PF_{2}|=2a-|PF_{1}|=8-3=5,\becauseOM是\trianglePF_{1}F_{2}的中位线,M|=\frac{1}{2}|PF_{2}|=\frac{1}{2}\times5=\frac{5}{2}
【题目】设$O$为坐标原点，$F$为抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，$A$为抛物线上任意一点，若$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A F}=-4$，则点$A$的坐标为?
【解析】由题意,知F(1,0).设A(\frac{y_{0}^{2}}{4},y_{0}),则\overrightarrow{OA}=(\frac{y_{0}^{2}}{4},y_{0}),\overrightarrow{AF}=(1-\frac{y_{0}}{4},y_{0}),由\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AF}=-4,可得y_{0}=\pm2,所以A(1,\pm2).
【题目】已知点$P$在椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$上运动，点$Q$在圆$(x-1)^{2}+y^{2}=\frac{5}{8}$上运动，则$|P Q|$的最小值为?
【解析】不妨设点P为(x_{0},y_{0}),x_{0}\in[-3,3],则\frac{x^{2}}{9}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1'则y_{0}=3-\frac{x^{2}}{3}设圆(x-1)^{2}+y^{2}=\frac{5}{8}的圆心为M,则M坐标为(1,0)则|PQ|的最小值,即为|MP|的最小值与圆(x-1)^{2}+y^{2}=\frac{5}{8}的半径\frac{\sqrt{10}}{4}之差又|MP|=\sqrt{(x_{0}-1)^{2}+y_{0}^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}(x_{0}^{2}-3x_{0})+4}=\sqrt{\frac{2}{3}(x_{0}-\frac{3}{2})^{2}+\frac{5}{2}}当x_{0}\in[-3,3]时,|MP|\geqslant\frac{\sqrt{10}}{2},当且仅当x_{0}=\frac{3}{2}时取得等号故|PQ|\geqslant\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{10}}{4}
【题目】已知双曲线$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{5}=1(a>0)$的一个焦点为$(0,3)$，则$a$的值为?
【解析】根据双曲线的交点有c=3,由双曲线的参数关系求a即可.[详解]由题设知:a^{2}+b^{2}=c^{2}=9,即a^{2}+5=9,又a>0可得a=2
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左顶点为$A$，右焦点为$F$，点$B(0, b)$，且$\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B F}=0$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】由题意得:A(-a,0),F(c,0),所以\overrightarrow{BA}=(-a,-b),\overrightarrow{BF}=(c,-b),因为\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=0所以b^{2}-ac=0,因为b^{2}=c^{2}-a^{2},所以c^{2}-ac-a^{2}=0,两边同除以a^{2},得e^{2}-e-1=0,解得:e=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(舍去)或e=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{m+2}-\frac{y^{2}}{m+1}=1$表示椭圆，则实数$m$的取值范围是?
【解析】由椭圆方程可知\begin{cases}m+2>0\\m+1<0\\m+2+m+1\neq0\end{cases}解不等式得实数m的取值范围为(-2,-\frac{3}{2})\cup(-\frac{3}{2},-1)
【题目】已知$F$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，$E$为其准线与$x$轴的交点，过$F$的直线交抛物线$C$于$A$、$B$两点，$M$为线段$A B$的中点，且$|M E|=\sqrt{20}$，则$|A B|$=?
【解析】分析:求得抛物线的焦点和准线方程,可得E的坐标,设过F的直线为y=k(x-1),代入抛物线方程y^{2}=4x,运用韦达定理和中点坐标公式,可得M的坐标,运用两点的距离公式可得k,再由抛物线的焦点弦公式,计算可得所求值.详F(1,0)为抛物线C:y^{2}=4x的焦点E(-1,0)为其准线与x轴的交点,设过F的直线为y=k(x-1)代入抛物线方程y^{2}=4x,可得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=2+\frac{4}{k^{2}}中点_{M(1+\frac{2}{k^{2}},\frac{2}{k})\Rightarrow\sqrt{(2+\frac{2}{k^{2}})^{2}+\frac{4}{k^{2}}}=\sqrt{20}解得k^{2}=1,则x_{1}+x_{2}=6,由抛物线的定义可得|AB|=x_{1}+x_{2}+2=8,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{4}=1$的一条渐近线的方程为$y=x$，则此双曲线两条准线间距离为?
【解析】
【题目】若点$P(2,0)$到双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的一条渐近线的距离为$1$，则$a$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的一条渐近线方程为:x+ay=0,点P(2,0)到双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的一条渐近线的距离为1可得:\frac{|2+0|}{\sqrt{1+a^{2}}}=1,解得a=\sqrt{3}.
【题目】已知椭圆离心率为$\frac{3}{5}$ , 一个短轴顶点是$(0 ,-8)$，则此椭圆的标准方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C_{1}$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$与圆$C_{2}$: $x^{2}+y^{2}=\frac{4 b^{2}}{5}$，若在椭圆$C_{1}$上不存在点$P$，使得由点$P$所作的圆$C_{2}$的两条切线互相垂直，则椭圆$C_{1}$的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$ , $F_{2}$分别为双曲线的左、右焦点，点$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$右支上的一点，满足$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$，且$|P F_{1}|=\sqrt{3}|P F_{2}|$，则该双曲线离心率为?
【解析】\becausePF_{1}\botPF_{2},在Rt\trianglePF_{1}F_{2}中,设|PF_{1}|=\sqrt{3}|PF_{2}|=\sqrt{3}则2c=|F_{1}F_{2}|=2,e=\frac{c}{a}=\frac{2c}{2a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$,$A$为左顶点，$B$为短轴一顶点，$F$为右焦点且$A B \perp B F$，则这个椭圆的离心率等于?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上一点$M(4, m)$到该抛物线的焦点$F$的距离为$8$，则该抛物线的方程为?
【解析】由题意可知|MF|=8,则4+\frac{p}{2}=8,p=8故抛物线的方程为v2=16x
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$长轴两个端点为焦点，准线过椭圆焦点的双曲线的渐近线的斜率是?
【解析】
【题目】对于抛物线$y^{2}=4 x$上任意一点$Q$，点$P(a, 0)$都满足$|P Q| \geq|a|$，则$a$的取值范围是?
【解析】设Q(\frac{t^{2}}{4},t),由|PQ|\geqslant|a|得(\frac{t^{2}}{4}-a)^{2}+t^{2}\geqslanta^{2},t^{2}(t^{2}+16-8a)\geqslant0,当t=0时,不等式恒成立;当t\neq0时,t^{2}+16-8a\geqslant0,t^{2}\geqslant8a-16恒成立,则8a-16\leqslant0,a\leqslant2
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{2}$作双曲线$C$的一条渐近线的垂线，垂足为$H$，交双曲线于点$M$且$\overrightarrow{F_{2} M}=2 \overrightarrow{M H}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】由题意得双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a,b>0)的一条渐近线方程是y=\frac{b}{a}x,则F_{2}H方程为y-0=-\frac{a}{b}(x-c)代入渐近线方程y=\frac{b}{a}x可得(\frac{a^{2}}{c},\frac{ab}{c}),故F_{2}H的中点_{M(\frac{c+\frac{a^{2}}{c}}}{2},\frac{ab}{2c})中点在双曲线上,所以\frac{(c+\frac{a^{2}}{c})^{2}}{4a^{2}}-\frac{a^{2}b^{2}}{4b^{2}c^{2}}=1,所以\frac{c^{2}}{a^{2}}=2,所以\frac{c}{a}=\sqrt{2},所以双曲线C的离心率\sqrt{2}.
【题目】在直线$l$: $x+y-4=0$任取一点$M$,过$M$且以$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的焦点为焦点作椭圆,则所作椭圆的长轴长的最小值为?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1的焦点坐标分别为F_{1}(-2,0),F_{2}(2,0),设点F_{2}(2,0)关于直线l:x+y-4=0的对称点为P(x,y),则\frac{\frac{x+2}{2}+\frac{y}{2}}{(\frac{y}{x-2}}=1+\frac{y}{2}-4=0,解得P(4,2),连接PF_{1}交直线l于点M,直线PF_{1}的方程为x-3y+2=0,联立方程组\begin{cases}x+y-4=0\\x-3y+2=0\end{cases}得M(\frac{5}{2}\frac{3}{2})即为满足所作椭圆的长轴长最小,否则在直线l上任取不同于M(\frac{5}{2},\frac{3}{2})的一点Q,|QF_{1}|+|QF_{2}|>|PF_{1}|=|MF_{1}|+|MF_{2}|,设所求的椭圆长轴长为2a,则2a=|PF_{1}|=2\sqrt{10}
【题目】已知双曲线方程是$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$，过定点$P(2 , 1)$作直线交双曲线于$P_{1}$、$P_{2}$两点，并使$P(2 , 1)$为$P_{1} P_{2}$的中点，则此直线方程是?
【解析】
【题目】已知$P$是双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$右支上的任意一点，$F$是双曲线的右焦点，定点$A$的坐标为$(3, \sqrt{3})$，则$|P F|+|P A|$的最小值为?
【解析】由题意,双曲线中a=1,b=\sqrt{3},c=2,设F_{1}是双曲线的左焦点,即F_{1}(-2,0)由于A在右侧,则|PF|=|PF_{1}|-2,\therefore|PF|+|PA|=|PF_{1}|+|PA|-2\geqslant|AF_{1}|-2=\sqrt{(3+2)^{2}+(\sqrt{3}-0)^{2}}-2=2\sqrt{7}-2当且仅当F_{1},P,A共线时取等号\therefore|PF|+|PA|的最小值是2\sqrt{7}-2
【题目】直线$y=k x+2$与抛物线$y^{2}=8 x$有且仅有一个公共点，则$k$的取值为?
【解析】
【题目】已知$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$是焦点，$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$S_{\Delta F_{1} P F_{2}}$=?
【解析】利用余弦定理以及椭圆的定义可得|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4,再由三角形面积公式计算可得结果由已知得a=2,b=\sqrt{3},所以c=\sqrt{a2-b^{2}}=\sqrt{4-3}=1,从而|F_{1}F_{2}|=2c=2.在\triangleF_{1}PF_{2}中,|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos60^{\circ}即4=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|,\textcircled{1}由椭圆的定义得|PF_{1}|+|PF_{2}|=4,即16=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}+2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|,\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}得|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4所以S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\sin60^{\circ}=\sqrt{3}.
【题目】焦点在$x$轴上，短轴长等于$16$，离心率等于$\frac{3}{5}$的椭圆的标准方程为?
【解析】由题可得:2b=16,解得:b=8又\begin{cases}e=\frac{3}{5}=\frac{c}{a}\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases},解得:a^{2}=100所以所求椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{64}=1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{m}=1$的焦点在直线$x-3 y-3=0$上，则实数$m$的值为?
【解析】
【题目】经过点$P(-3,2 \sqrt{7})$和$Q(-6 \sqrt{2},-7)$的双曲线的标准方程是?
【解析】设双曲线的方程为mx^{2}+ny^{2}=1(mn<0),则\begin{cases}9m+28n=1\\72m+49n=1\end{cases},解得\begin{cases}m=-\frac{1}{75}\\n=\frac{1}{25}\end{cases}故双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{75}=1
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{8 y^{2}}{p^{2}}=1  (p>0)$的左焦点在抛物线${y}^{2}=2 px$的准线上，则该双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一条渐近线的交点为$M$、$F$为抛物线的焦点，若$|M F|=3$，则该双曲线的离心率为?
【解析】设M(m,n),则由抛物线的定义可得|MF|=m+1=3,\thereforem=2,\thereforen^{2}=4\times2,\thereforen=\pm2\sqrt{2}将点M(2,\pm2\sqrt{2})代入双曲线的渐近线方程y=\pm\frac{b}{a}x\therefore\frac{b}{a}=\sqrt{2},\therefore\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=2,\thereforee=\sqrt{3},
【题目】$P$为双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{15}=1$右支上一点，$M$ , $N$分别是圆$(x+4)^{2}+y^{2}=4$和$(x-4)^{2}+y^{2}=1$上的点，则$|P M|-|P N|$的最大值为?
【解析】