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hbghlyj
Posted 1970-1-1 08:00
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右顶点为$A$，直线$x=\frac{a}{2}$与椭圆$C$交于$M$、$N$两点，若$\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{A N}=0$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】椭圆C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的右顶点为A,直线x=\frac{a}{2}与椭圆C交于M,N两点,若\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}=0,可知A(a,0),不妨设M在第一象限,所以M的纵坐标为:可得:\frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{1}{2}a^{,}即3b^{2}=a^{2},可得3a^{2}-3c^{2}=a^{2},2a^{2}=3c^{2},所以_{e}=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】已知点$M$在抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上运动，圆$C$过点$(5,0)$ ,$(2, \sqrt{3})$ ,$(3,-2)$，过点$M$引直线$l_{1}$ , $l_{2}$与圆$C$相切，切点分别为$P$、$Q$，则$|P Q|$的取值范围为?
【解析】设圆C'的方程为x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0,将(5,0),(2,\sqrt{3}),(3,-2)分别代入,可很13+3D-2E+F=0\begin{cases}25+5D+F=0\\7+2D+\sqrt{3}E+F=0,\\13+3D-2F+F=0\end{cases}解得\begin{cases}D=-6\\E=0\\F=5\end{cases},即圆C':(x-3)^{2}+y^{2}=4;如图,连接MC',C'P,C'Q,PQ,易得C'P\botMP,C'Q\botMQ,MC'\botPQ所以四边形MPC'Q的面积为\frac{1}{2}|MC'|\cdot|PQ|;另外四边形MPC'Q的面积为\triangleMPC'面积的两倍,所以\frac{1}{2}|MC'|\cdot|PQ|=|MP|\cdot|C'P|故|PQ|=\frac{2|MP|\cdot|C'P|}{|MC'|}=\frac{4\sqrt{|C'M|^{2}-4}}{|C'M|}=4\sqrt{1-\frac{4}{|C'M|^{2}}}故当|C'M|最小时,|PQ|最小,设M(x,y),则|MC'|=\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}-2x+9},所以当x=1时,|MC'|_{\min}=2\sqrt{2},当x=无穷大时,|PQ|趋近圆的直径4,故|PQ|的取值范围为[2\sqrt{2},4)
【题目】设双曲线$C$的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$，过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点和点$(0, b)$的直线为$l$. 若$C$的一条渐近线与$l$平行，另一条渐近线与$l$垂直，则双曲线$C$的方程为?
【解析】根据直线l过抛物线焦点和点(0,b),可知该直线斜率为-b,由双曲线的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,可求得a=b=1,从而得到双曲线方程双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,抛物线y^{2}=4x的焦点为(1,0),所以直线l过点(1,0)和(0,b),斜率为\frac{b-0}{0-1}=-b,所以直线l的方程为y-0=-b(x-1),即y=-bx+b因为直线l与双曲线的一条渐近线平行,一条渐近线垂直,所以\begin{cases}-b=-\frac{b}{a}\\-b\cdot\frac{b}{a}=-1\end{cases},解得a=b=1所以双曲线的方程为x^{2}-y^{2}=1
【题目】若双曲线$\frac{y^{2}}{m}-x^{2}=1$的一个焦点为$(0,2)$，则$m$=?该双曲线的渐近线方程为?
【解析】由题意得,m+1=2^{2}\Rightarrowm=3,故双曲线方程为\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1'渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的顶点到其渐近线的距离为?
【解析】因为双曲线C:\frac{x2}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1的顶点为(\pm4,0),渐近线方程为:y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{3}{4}x.即3x\pm4y=0,因此顶点到渐近线的距离为:\frac{|3\times4|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{12}{5}.
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的准线与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 ,b>0)$的一条渐近线交于点$P(x_{0} ,-2)$，则双曲线的离心率为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的准线是x=-1,双曲线的渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x'的由题意得\frac{b}{a}=2^{,}所以\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=4,即\frac{c^{2}}{a^{2}}=5,e=\sqrt{5}
【题目】已知双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm \sqrt{3} x$，点$(2,2 \sqrt{2})$在双曲线$C$上，则双曲线$C$的标准方程是?
【解析】\because双曲线C的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,\therefore可设双曲线C的方程为y^{2}-3x^{2}=\lambda,\because双曲线C经过点(2,2\sqrt{2}),\therefore8-12=\lambda,\therefore\lambda=-4,\therefore双曲线C的方程为y^{2}-3x^{2}=-4,可化为\frac{3x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1,
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=2 p y$的焦点为$F$，定点$M(2 \sqrt{3}, 0)$，若直线$F M$与抛物线$C$相交于$A$、$B$两点（点$B$在$F$、$M$中间)，且与抛物线$C$的准线交于点$N$，若$|B N|=7|B F|$，则$A F$的长为?
【解析】
【题目】已知抛物线$x^{2}=4 y$与圆$C$:$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=r^{2}(r>0)$有公共点$P$，若抛物线在$P$点处的切线与圆$C$也相切，则$r$=?
【解析】设切点为(a,\frac{a2}{4}),导数为y=\frac{x}{2},故切线的斜率为\frac{a}{2},连接圆心和切点,两条直线垂直,斜率相乘等于-1,即\frac{2-\frac{a^{2}}{4}}{1-a}.\frac{a}{2}=-1'解得a=2,半径r=\sqrt{(1-a)^{2}+(2-\frac{a^{2}}{4})^{2}}=\sqrt{2}
【题目】已知点$F$为抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，该抛物线上位于第一象限的点$A$到其准线的距离为$5$，则直线$A F$的斜率为?
【解析】由抛物线定义得:x_{A}+1=5,x_{A}=4,又点A位于第一象限,因此y_{A}=4,从而k_{AF}=\frac{4-0}{4-1}=\frac{4}{3}.
【题目】点$M(x, y)$在运动过程中，总满足关系式$\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}=6$，点$M$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】已知点$P(2, y)$在抛物线$y^{2}=4 x$上，则$P$点到抛物线焦点$F$的距离为?
【解析】\because点P(2,y)在抛物线y^{2}=4x上\thereforeP点到焦点F的距离=2+1=3.
【题目】已知$O$为坐标原点，$F$为抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点，若抛物线与直线$l$: $x-\sqrt{3} y-\frac{p}{2}=0$在第一、四象限分别交于$A$、$B$两点，则$\frac{(\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O A})^{2}}{(\overrightarrow{O F}-\overrightarrow{O B})^{2}}$的值为?
【解析】
【题目】已知点$M(\sqrt{3} , 0)$，椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$与直线$y=k(x+\sqrt{3})$交于点$A$、$B$，则$\triangle A B M$的周长为?
【解析】直线y=k(x+\sqrt{3})过定点N(\sqrt{3},0),由题设知M、N是椭圆的焦点,由椭圆定义知:AN+AM=2a=4,BM+BN=2a=4.\triangleABM的周长为AB+BM+AM=(AN+BN)+BM+AM=(AN+AM)+(BN+BM)=8
【题目】椭圆两焦点间的距离为$16$，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于$9$和$15$，则椭圆的标准方程是?
【解析】由题意可设椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,(a>b>0)或\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,(a>b>0)由题意可得2c=16,c=8,2a=9+15,a=12故b^{2}=a^{2}-c^{2}=80故椭圆的标准方程为:\frac{x2}{144}+\frac{y^{2}}{80}=1或\frac{y^{2}}{144}+\frac{x^{2}}{80}=1
【题目】双曲线$5 x^{2}+k y^{2}=5$的一个焦点是$(\sqrt{6}, 0)$，那么实数$k$的值为?
【解析】
【题目】已知直线$l$过点$(0,2)$，且与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A(x_{1} y_{1})$ , $B(x_{2} , y_{2})$两点，则$\frac{1}{y_{1}}+\frac{1}{y_{2}}$=?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 (b>0)$的渐近线方程为$y=\pm \frac{1} {2} x$，则$b$等于?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$，直线$l$: $y=k x-2$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，点$P(0,1)$，且$|P A|=|P B|$，则直线$l$的方程为?
【解析】联立\begin{cases}\frac{x2}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1\\y=kx-2\end{cases}得(1+3k^{2})x^{2}-12kx+3=0,由于直线与椭圆有两个不同的交点所以\triangle=144k^{2}-12(1+3k^{2})>0解得k^{2}>\frac{1}{9}设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=\frac{12k}{1+3k^{2}}x_{1}x_{2}=y_{1}+y_{2}=k(x_{1}+x_{2})-4=k所以,线段AB中点坐标E|-3k^{2}-4=-\frac{+}{1+3k^{2}}|,因为|PA|=|PB|,所以PE\botAB,\thereforek_{PE}\cdotk_{AB}=-\cdots=-1\thereforek=\pm1'经检验,符合题意所以直线l的方程为x-y-2=0或x+y+2=0.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线为$l$，过点$F$作倾斜角为$60^{\circ}$的直线交抛物线于$A$，$B$两点（点$A$在第一象限)，过点$A$作准线$l$的垂线，垂足为$M$，则$\triangle A F M$的面积为?
【解析】由题,先推导焦半径公式,如图设y^{2}=2px,(p>0)中有|PF|=t,\anglePFx=\theta,过P引准线的切线则有根据抛物线焦半径公式得FM=FA=\frac{}{1}\frac{2}{\cos60^{\circ}}=4.又\angleFAM=60^{\circ}故S_{AAFM}=\frac{1}{2}\times4\times4\times\sin60^{\circ}=4\sqrt{3}
【题目】中心在坐标原点，焦点分别为$F_{1}(-\sqrt{2}, 0)$,$F_{2}(\sqrt{2}, 0)$，且离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆的标准方程为?
【解析】依题意知,椭圆交点在x轴上,设椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),依题意c=\sqrt{2},离心率e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2},解得a=2\sqrt{2},所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=8-2=6故椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{6}=1.
【题目】已知$M$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$上的一个动点，$F$是左焦点，$A(-2,1)$是一定点，当$|\overrightarrow{A M}|+\frac{3}{2}|\overrightarrow{M F}|$取最小值时，$\tan \angle A F M$=?
【解析】设MM垂直于椭圆的左准线,且与左准线交于点M',由椭圆的第二定义,e=\frac{|MF|}{|MM|}=\frac{2}{3},\therefore|MM|=\frac{3}{2}|MF|,\therefore|\overrightarrow{AM}|+\frac{3}{2}|\overrightarrow{MF}|=|\overrightarrow{AM}|+|MM|,\therefore当A,M,M共线时,|\overrightarrow{AM}|+\frac{3}{2}|\overrightarrow{MF}|取最小值,此时设M(x_{0},1),x_{0}<0,\therefore\frac{x_{0}2}{9}+\frac{1}{5}=1,得x_{0}=-\frac{6}{\sqrt{5}},\therefore\tan\angleAFM=\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{6\sqrt{5}-10}{5}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线为$l$，点$P$在抛物线$C$上，$P Q$垂直$l$于点$Q$ , $Q F$与$y$轴交于点$T$、$O$为坐标原点，且$|O T|=2$，则$|P F|$?
【解析】依题意可得F(1,0),l:x=-1,根据抛物线的定义可知|PQ|=|PF|,设PQ与y轴相交于点M,因为|OT|=2,又|OF|=|QM|,所以\triangleTMQ\cong\triangleTOF,所以T为OM的中点,所以|OM|=4即P的纵坐标为4,在y^{2}=4x中令y=4,得x=4,所以|PQ|=x+\frac{p}{2}=4+1=5,所以|PF|=5
【题目】若双曲线$\frac{y^{2}}{5}-x^{2}=m(m>0)$的焦距为$12$，则$m$=?
【解析】分析:将双曲线方程化为标准方程,再根据双曲线的焦距为12,即可求得m详\because双曲线\frac{y^{2}}{5}-x^{2}=m(m>0)\therefore双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{5m}-\frac{x^{2}}{m}=1\because双曲线的焦距为12\therefore5m+m=(\frac{12}{2})^{2}=36\thereforem=6故答家为6
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$过点$(-2, \sqrt{3})$，则焦距等于?
【解析】因为椭圆\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1过点(-2,\sqrt{3})所以将其代入,得m^{2}=16,所以c^{2}=16-4=12,c=2\sqrt{3}故焦距2c=4\sqrt{3}
【题目】若焦点在$x$轴的双曲线的一条渐近线为$y=\frac{1}{2} x$，则它的离心率$e$=?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$,$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在双曲线上，且满足$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$，则$|P F_{1}|-|P F_{2}|$=?
【解析】
【题目】直线$y=5 x-3$被曲线$y=2 x^{2}$截得的线段长是?
【解析】联立直线与曲线方程得\begin{cases}y=5x-3\\y=2x^{2}\end{cases}解得\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases},或\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\y=\frac{9}{2}\end{cases}\therefore直线被曲线截得的线段长为\sqrt{(\frac{3}{2}-1)^{2}+(\frac{9}{2}-2)^{2}}=\frac{\sqrt{26}}{2},
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的离心率为$\sqrt{2}$ , $C$与抛物线$y^{2}=8 x$的准线交于$A$、$B$两点，$|A B|=2$，则双曲线$C$的焦距为?
【解析】由题意,因为抛物线y^{2}=8x,可得2p=8,解得p=4,所以\frac{p}{2}=2.可得抛物线的准线方程为x=-2,设双曲线C与抛物线y^{2}=8x的准线x=-2的两个交点A(-2,y),B(-2,-y)(y>0)则|AB|=|y-(-y)|=2y=2,解得y=1,将x=-2,y=1代入双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,可得\frac{4}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}=1,\cdots\textcircled{1}又因为双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的离心率为\sqrt{2},可得\frac{c}{a}=\sqrt{2}即\frac{a^{2}+b^{2}}{a2}=2^{,}b^{2}=a^{2}\cdots\cdots\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}联立,解a^{2}=3,b^{2}=3,又由c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6},则2c=2\sqrt{6}所以双曲线C的焦距为2\sqrt{6},及简单的几何性质的应用,其中解答中熟记抛物线和双曲线的几何性后,准确运管是解答的关律,若重考查了推理与运管能力
【题目】过点$M(1,1)$作斜率为$-\frac{1}{2}$的直线与椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$交于$A$、$B$两点，若$M$是线段$A B$的 中点，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),则\frac{x_{1}2}{a^{2}}+\frac{y_{1}2}{b^{2}}=1,\frac{x_{2}2}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1,两式相减可得,\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\times\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}},过点M(1,1)作斜率为-\frac{1}{2}的直线与椭圆C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)相交于A、B两点,M是线段AB的中点,则\frac{y_{1}-y_{2}^{-}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\times\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y_{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}=-\frac{1}{2},即a=\sqrt{2}b,即c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=b,则e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2},
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的渐近线方程为$y=\pm \sqrt{3} x$，若动点$P$在$C$的右支上，$F_{1}$、$F_{2}$分别为$C$的左，右焦点，$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O F_{2}}$的最小值是$2 a$(其中$O$为坐标原点)，则$\frac{|P F_{1}|^{2}}{|P F_{2}|}$的最小值为?
【解析】设P(x,y),且x\geqslanta,F_{2}(c,0),则\overrightarrow{OP}=(x,y),\overrightarrow{OF_{2}}=(c,0),因此\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OF_{2}}=cx,当x=c时,\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OF}_{2}取得最小值,且最小值为ac=2a,即c=2,所以\begin{cases}\frac{b}{a}=\sqrt{3}\\c=2\\c=2\end{cases},解得a=1,b=\sqrt{3}设|PF_{2}|=t(t\geqslant1),则|PF_{1}|=t+2所以\frac{|PF_{1}2}{|PF_{1}|}=\frac{(t+2)^{2}}{t}=t+\frac{4}{t}+4\geqslant2\sqrt{t\times\frac{4}{t}}+4=8,(当t=\frac{4}{t}即t=2时取等号)即\frac{|PF_{1}'|}{|PF_{2}|}的最小值为8.
【题目】已知动点$M$在抛物线$y^{2}=4 x$上，动点$N$在直线$2 x-y+4=0$上，则两点距离$|M N|$的最小值是?
【解析】先由题意,设M(\frac{y_{0}^{2}}{4},y_{0}),根据点到直线距离公式求出点M到直线2x-y+4=0的距离的最小值,。由题中条件,即可得出结果.解】因为动点M在抛物线y^{2}=4x上,设M(\frac{y_{0}2}{4},y_{0})所以点M到直线2x-y+4=0的距离为\frac{7]}{2}\geqslant\frac{7\sqrt{5}}{10}即点M到直线2x-y+4=0的距离最小值为\frac{7\sqrt{5}}{10}因为动点N在直线2x-y+4=0上,所以|MN|的最小值即是d_{\min}=\frac{7\sqrt{5}}{10}
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点$F$作渐近线的垂线，垂足为$P$，且该直线与$y$轴的交点为$Q$，若$|F P|<|O Q|$($O$为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围为?
【解析】不妨设渐近线方程为y=\frac{b}{a}x',右焦点F(c,0),则点F(c,0)到渐近线y=\frac{b}{a}x的距离为\begin{matrix}|bc|&\\\sqrt{a^{2}+b^{2}}&=b.又在方程y=-\frac{b}{a}(x-c)中,令x=0,得y=\frac{ac}{b},所以Q(0,\frac{ac}{b})由|FP<OQ|,可得|FP|<|OQ|,可得b<\frac{ac}{b}\Rightarrowb^{2}-ac<0\Rightarrowc^{2}-a^{2}-ac<0,即得e^{2}-e-1<0\Rightarrowe<\frac{1+\sqrt{5}}{2},又因为e>1,所以_{1}<e<\frac{1+\sqrt{5}}{2}
【题目】已知直线$y=a x-1$与曲线$y^{2}=2 x$只有一个交点，则实数$a$=?
【解析】
【题目】已知圆$C$的方程为$(x-1)^{2}+y^{2}=1$ , $P$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一点，过点$P$作圆$C$的两条切线，切点分别为$A$和$B$，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$的最小值是?
【解析】设\angleAPB=2\theta,\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}|\cdot|\overrightarrow{PB}|\cos2\theta=|\overrightarrow{PA}|^{2}(2\cos^{2}\theta-1)=|\overrightarrow{PA}|^{2}(2\frac{|\overrightarrow{PA}|^{2}}{|\overrightarrow{PC}|^{2}}-1)令|\overrightarrow{PC}|^{2}=x,|\overrightarrow{PA}|^{2}=x-1,可得\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x+\frac{2}{x}-3,x\in(1,9]\therefore\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}>2\sqrt{2}-3,当且仅当x=\sqrt{2}时取等号
【题目】已知双曲线$x^{2}-y^{2}=1$, 点$F_{1}$ , $F_{2}$为其两个焦点,点$P$为双曲线上一点若$PF_{1} \perp PF_{2}$, 则$|PF_{1}|+|PF_{2}|$的值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线上，且$P F_{2} \perp x$轴, 则$F_{2}$到直线$P F_{1}$的距离为?
【解析】
【题目】设抛物线的顶点在原点，其焦点$F$在$y$轴上，又抛物线上的点$P(k ,-2)$与点$F$的距离为$4$，则$k$等于?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$有公共焦点$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是它们的一个公共点，则$S_{\Delta F_{1} P F_{2}}$=?
【解析】由题a^{2}=2,则点P满足\begin{cases}\frac{x2}{2}-y^{2}=1,\\\frac{x^{2}}{4}+y2=1,\end{cases}解得y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3},则S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=c|y|=1
【题目】抛物线$x=ay^{2}$的准线方程是$x=2$，则$a$的值为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y=\frac{1}{8} x^{2}$的焦点为$F$，过$F$的直线$l$与抛物线交于$A$、$B$两点，抛物线的准线与$y$轴交于点$M$，当$\frac{|A M|}{|A F|}$最大时，弦$A B$长度是?
【解析】作出图形,过点A作AE垂直于抛物线y=\frac{1}{8}x^{2}的准线于点E,可得出\frac{|AM|}{|AF|}=\frac{1}{\sin\angleAML}可知当\angleAME取最小值时,即直线AM与抛物线相切时,\frac{|AM|}{|AF|}最大,可求出直线AM的斜率,求出点A的坐标,利用对称性可求得点B的坐标,抛物线的焦点弦长公式,进而可求得弦AB的长度设点A为第一象限内的点,过点A作AE垂直于抛物线y=\frac{1}{8}x2的准线于点E,如下图所示:由抛物线的定义可得|AE|=|AF|,则\frac{|AM|}{|AF|}=\frac{|AM|}{|AE|}=\frac{1}{\sin\angleAME}可知当\angleAME取最小值时,即直线AM与抛物发相切时,\frac{|AM|}{|AF|}最大,抛物线y=\frac{1}{8}x2的焦点为F(0,2),易知点M(0,-2).当直线AM与抛物线y=\frac{1}{8}x^{2}相切时,直线AM的斜率存在设直线AM的方程为y=kx-2,联立\begin{cases}y=kx-2\\x2=8v\end{cases},消去y得x^{2}-8kx+16=0A=64k^{2}-64=0,因为点A在第一象限,则k>0,解得k=1,方程为x^{2}-8x+16=0,解得x=4,此时,y=\frac{x^{2}}{2}=2,即点A(4,2)此时AB\botv轴,由对称性可得B(-4,2),因此,AB=4+4=8.放答客为:8)方法
【题目】椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距为$2$，则$m$的值等于?
【解析】
【题目】已知实数$x$, $y$满足方程$x=\sqrt{1-2 y^{2}}$，则$\frac{y+2}{x}$的取值范围是?
【解析】x=\sqrt{1-2y^{2}},平方得x^{2}=1-2y^{2},即x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1(x\geqslant0),设k=\frac{y+2}{x},则y=kx-2由\begin{cases}y=kx-2\\x^{2}+2y^{2}=1^{x}\end{cases}得(2k^{2}+1)x^{2}-8kx+7=0有非负根,=64k^{2}-28(2k^{2}+1)\geqslant0\begin{cases}A=64k'-\\\frac{8k}{2k^{2}+1}\geqslant0\end{cases}得k\geqslant\frac{\sqrt{14}}{2}
【题目】已知$F$是椭圆$C$的一个焦点，$B$是短轴的一个端点，线段$B F$的延长线交$C$于点$D$，且$\overrightarrow{B F}=2 \overrightarrow{F D}$，则$C$的离心率为?
【解析】设椭圆C的焦点在x轴上,如图所示,则B(0,b),F(c,0),D(x_{D},y_{D}),则\overrightarrow{BF}=(c,-b),\overrightarrow{FD}=(x_{D}-c,y_{D}),\because\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FD},\therefore\begin{cases}c=2(x_{D}-c)\\-b=2y_{D}\end{cases}
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$上的点到它的焦点的距离的最小值等于?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 x$上的两点$A$、$B$到焦点的距离之和是$5$，则线段$A B$的中点到$y$轴的距离是?
【解析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标,求出线段AB的中点到y轴的距离\becauseF是抛物线y^{2}=2x的焦点F(\frac{1}{2},0)准线方程x=\frac{1}{2}设A(x_{1},y_{1})B(x_{2},y_{2}),\therefore|AF|+|BF|=x_{1}+\frac{1}{2}+x_{2}+\frac{1}{2}=5,解得x_{1}+x_{2}=4,\therefore线段AB的中点横坐标为:2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.答案为:2
【题目】若点$P$在以$F_{1}$ , $F_{2}$为焦点的椭圆上，$PF_{2} \perp F_{1} F_{2}$ , $\tan \angle P F_{1} F_{2}=\frac{3}{4}$，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4+k}=1$的离心率为$\frac{4}{5}$，则$k$的值为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则该椭圆的长轴长为?
【解析】由椭圆\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2}=1的离心率为\frac{\sqrt{2}}{2}当m>2时,椭圆焦点在x轴上,\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{m-2}}{\sqrt{m}},解得m=4,所以椭圆的长轴长为4.当0<m<2时,椭圆焦点在y轴上,\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{2}},得m=1,所以椭圆的长轴长为2\sqrt{2}
【题目】设椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点分别为$F_{1}$, $F_{2}$, $|F_{1} F_{2}|=2 \sqrt{2}$, $P$是$C$上一点，若$|P F_{1}|-|P F_{2}|=a$，且$P F_{2} \perp F_{1} F_{2}$，则椭圆$C$的方程为?
【解析】利用已知条件结合椭圆的定义可求得|PF_{1}|=\frac{3a}{2},|PF_{2}|=\frac{a}{2},然后利用勾股定理可求得a的值.进而可求得b的值,由此可求得椭圆C的方程.由\begin{cases}|PF_{1}|-|PF_{2}|=a\\|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a\end{cases},解得\begin{cases}|PF_{1}|=\frac{3a}{2}\\|PF_{2}|=\frac{a}{2}\end{cases}在\trianglePF_{1}F_{2}中,\becausePF_{2}\botF_{1}F_{2},所以,\anglePF_{2}F_{1}=9(的股定理可得|PF_{2}|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2},|^{2},即\frac{a^{2}}{4}+8=\frac{9a^{2}}{4},解得a=2因此,椭圆C的方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1$与双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{2}=1$有相同的焦点，则实数$m$的值是?
【解析】
【题目】若顶点在原点的抛物线的焦点与圆$x^{2}+y^{2}-4 x=0$的圆心重合，则该抛物线的准线方程为?
【解析】\because顶点在原点的抛物线的焦点与圆x^{2}+y^{2}-4x=0的圆心重合\therefore抛物线的焦点F(2,0)\therefore该抛物线的准线方程为x=-:
【题目】已知双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线过点$(1,3)$，则$C$的离心率为?
【解析】因为双曲线C:\frac{x2}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(1,3)所以双曲线的一条渐近线方程是bx-ay=0,又因为该渐近线过点(1,3),所以b=3a,则c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{10}a.所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{10}.
【题目】过抛物线$y^{2}=2 px(p>0)$的焦点$F$作直线交抛物线于$A $, $B$两点，若$|AF|=2|BF|=6$，则$p$=?
【解析】
【题目】如果椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$的弦被点$(4,2)$平分，则这条弦所在的直线方程是?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{9}=1$的一条渐近线的倾斜角为$60^{\circ}$，则双曲线的离心率等于?
【解析】
【题目】已知点$P(1, \sqrt{3})$在双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线上，$F$为$C$的右焦点，$O$为原点，若$\angle F P O=90^{\circ}$，则$C$的方程为?
【解析】因为双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,P(1,\sqrt{3})在渐近线上,所以\frac{b}{a}=\angleFOP=60^{\circ},所以OF=c=4,b=2\sqrt{3},a=2,所以C的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1
【题目】点$P(x, y)$是曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上一个动点，则$2 x+\sqrt{3} y$的取值范围为?
【解析】由点P(x,y)是曲线C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1上一个动点,可设x=2\cos\theta,y=\sqrt{3}\sin\theta,\theta\in[0,2\pi),则2x+\sqrt{3}y=4\cos\theta+3\sin\theta=5\sin(\theta+\alpha),其中\tan\alpha=\frac{4}{3}又5\sin(\theta+\alpha)\in[-5,5],则2x+\sqrt{3}y\in[-5,5].
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上的点$(x_{0} , 2)(x_{0}>\frac{p}{2})$到其焦点的距离为$\frac{5}{2}$，则$p$=?
【解析】由题意2px_{0}=4且x_{0}+\frac{p}{2}=\frac{5}{2},消去x_{0}得p^{2}-5p+4=0,解得p=1或p=4(舍去)
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{m-5}=1$的一个焦点到坐标原点的距离为$3$，则$m$的值为?
【解析】依题意可知c=3,当双曲线的焦点在x轴上时,m>5,c^{2}=m+m-5=9,所以m=7当双曲线的焦点在y轴上时,m<0,c^{2}=-m+5-m=9,所以m=-2综上,m=7或m=-2.
【题目】若椭圆$\frac{y^{2}}{k+8}+\frac{x^{2}}{9}=1$的离心率为$e=\frac{1}{2}$，则$k$的值等于?
【解析】当椭圆的焦点在x轴上时,则a^{2}=9,b^{2}=k+8(k+8>0)得c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-(k+8)=1-k,因为椭圆的离心率为e=\frac{1}{2},所以\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{1-k}{9}=\frac{1}{4},解得k=-\frac{5}{4},当椭圆的焦点在y轴上时,则b^{2}=9,a^{2}=k+8(k+8>9)得c^{2}=a^{2}-b^{2}=k+8-9=k-1,因为椭圆的离心率为e=\frac{1}{2}所以\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{k-1}{k+8}=\frac{1}{4},解得k=4,综上k=-\frac{5}{4}或k=4,
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点为$F_{1}(-2,0)$, $F_{2}(2,0)$，点$P$是双曲线上任意一点，若$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的最小值是$-2$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】设P(x_{0},y_{0})则\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrowx_{0}^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}}{b^{2}}y_{0}^{2}\becauseF_{1}(-2,0),F_{2}(2,0),c^{2}=4=a^{2}+b^{2}\therefore\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=(x_{0}+2)(x_{0}-2)+y_{0}^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-4=\frac{c^{2}}{b^{2}}y_{0}^{2}+a^{2}-4\geqslanta^{2}-4当y_{0}=0时等号成立,\because\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}的最小值是-2,\thereforea^{2}-4=-2.解得a=\sqrt{2}又c=2,\thereforee=\frac{c}{a}=\sqrt{2},
【题目】已知曲线$x^{2}+2 y^{2}=4$，则以$(1,1)$为中点的弦所在直线的一般式方程为?
【解析】设x^{2}+2y^{2}=4的弦的端点为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})所以\begin{cases}x_{1}2+2y_{1}2=4\\x_{2}2+2y_{2}=4\end{cases},两式相减得(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+2(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0所以2\times(x_{1}-x_{2})+2\times2\times(y_{1}-y_{2})=0所以2+4\times\frac{(y_{1}-y_{2})}{(x_{1}-x_{2})}=0.\thereforek=-\frac{1}{2}\therefore以点P(1,1)为中点的弦所在直线方程为y-1=-\frac{1}{2}(x-1),即x+2y-3=0.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$和点$P(3,-1)$，直线$l$经过点$P$且与双曲线相交于$A$、$B$两点，当$P$恰好为线段$A B$的中点时，$l$的方程为?
【解析】设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),利用点差法可求得直线l的方程,进而可得出直线l的设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),若直线l\botx轴,则A、B两点关于x轴对称,则点P在x轴上,不合乎题意.由于P(3,-1)为线段AB的中点,则\begin{cases}\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=3\\\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=-1\end{cases},可得\begin{cases}x_{1}+x_{2}=6\\y_{1}+y_{2}=-2\end{cases}将点A、B的坐标代入双曲线的方程可得\begin{cases}\\\end{cases}\frac{x_{1}^{2}}{4}-y_{1}^{2}=上述两式相减得\frac{x^{2}-x^{2}}{4}=y_{1}^{2}-y_{2}^{2},即\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}.\frac{y_{1}+y}{x_{1}+x}所以,\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}}-\frac{1}{3}=\frac{1}{4},所以,直线l的斜率为\frac{y_{1}}{x_{1}}因此,直线l的方程为y+1=-\frac{3}{4}(x-3),即3x+4y-5
【题目】过原点作一条倾斜角为$\theta$的直线与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$交于$A$、$B$两点，$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆的左、右焦点，若$\angle F_{1} A F_{2}=\frac{\pi}{2}$,且该椭圆的离心率$e \in[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$，则$\theta$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左顶点为$A_{1}$，右焦点为$F_{2}$、$P$为双曲线右支上一点，则$\overrightarrow{P A_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$最小值为?
【解析】A_{1}(-1,0),F_{2}(2,0),设P(x,y)(x\geqslant1),\overrightarrow{PA_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=(-1-x,y)\cdot(2-x,y)=x^{2}-x-2+y^{2},又x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1,故y^{2}=3(x^{2}-1),于是\overrightarrow{PA_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=4x^{2}-x-5=4(x-\frac{1}{8})^{2}-5-\frac{1}{16},当x=1时,取到最小值-2
【题目】若点$P$是曲线$C_{1}$: $y^{2}=16 x$上的动点，点$Q$是曲线$C_{2}$:$(x-4)^{2}+y^{2}=9$上的动点，点$O$为坐标原点，则$|\frac{P Q}{O P}|$的最小值是?
【解析】曲线C_{2}:(x-4)^{2}+y^{2}=9圆心C_{2}(4,0)是抛物线焦点F,半径为3,所以|\frac{PQ}{OP}|\geqslant\frac{|PF|-3}{|OP|},转化为求\frac{|PF|-3}{|OP|}的最小值,设P(x,y),利用焦半径公式和抛物线方程将\frac{|PF|-3}{|OP|}表示为x的函数,化简运用二次函数的最值,即可求解.羊解】抛物线C_{1}:y^{2}=16x的焦点为F(4,0)曲线C_{2}:(x-4)^{2}+y^{2}=9圆心F(4,0),半径为3,\therefore|\frac{PQ}{OP}|\geqslant\frac{|PF|-3}{|OP|},P,Q,F三点共线时等号成立,设P(x,y),x>0则\frac{|PF|-3}{|OP|}=当t=\frac{7}{15},即x=\frac{8}{7}时,\frac{|PF|-3}{|OP|}取得最小值为\frac{\sqrt{15}}{8},所以x=\frac{8}{7}时,|\frac{PQ}{OP}|取得最小值为\frac{\sqrt{15}}{8}
【题目】过抛物线$y^{2}=16 x$的焦点作直线交抛物线于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点的横坐标为$10$, 则$|A B|$等于?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),椭圆的焦点为F,由抛物线定义知:|AF|=x_{1}+4,|BF|=x_{2}+4,则|AB|=|AF|+|BF|=x_{1}+x_{2}+8,由中点横坐标\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=10,得|AB|=8+20=28.
【题目】双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的$\sqrt {2}$倍，且一个顶点的坐标为$(0 , 2)$，则双曲线的标准方程是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆与双曲线的公共焦点，$P$是它们的一个公共点，且$|P F_{1}|>|P F_{2}|$，线段$P F_{1}$的垂直平分线过$F_{2}$，若椭圆的离心率为$e_{1}$，双曲线的离心率为$e_{2}$，则$\frac{3}{e_{1}}+\frac{e_{2}}{4}$的最小值为?
【解析】由于线段PF_{1}的垂直平分线过F_{2},所以有|F_{1}F_{2}|=|PF_{2}|,再根据双曲线和椭圆的定义,求出2c的表达式,然后利用基本不等式求得最小值.设椭圆对应的参数为a_{1},b_{1},c,双曲线对应的参数为a_{2},b_{2},c,由于线段PF的垂直平分线过F_{2}.所以有|F_{1}F_{2}|=|PF_{2}|=2c.根据双曲线和椭圆的定义有\begin{cases}|PF_{1}|+2c=2a_{1}\\|PF_{1}|-2c=2a_{2}\end{cases}两式相减得到4c=2(a_{1}-a_{2})即a_{1}-a_{2}=2c\Rightarrowa_{1}=2c+a_{2}.所以\frac{3}{e_{1}}+\frac{e_{2}}{4}=\frac{3a_{1}}{c}+\frac{c}{4a_{2}}=6+\frac{3a_{2}}{c}+\frac{c}{4a_{2}}\geqslant6+2\sqrt{\frac{3a_{2}}{c}\cdot\frac{c}{4a_{2}}}=6+\sqrt{3}当且仅当c=2\sqrt{3}a_{2}取等号,则\frac{3}{e_{1}}+\frac{e_{2}}{4}的最小值为6+\sqrt{3}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=6 x$焦点为$F$，过$F$作斜率为$\sqrt{3}$的直线$l$交抛物线$C$于$A$、$B$两点，则弦$|A B|$=?
【解析】由题意,F(\frac{3}{2},0),则直线l:y=\sqrt{3}(x-\frac{3}{2}),代入抛物线方程并化简得:x2-5x+\frac{9}{4}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),所以x_{1}+x_{2}=5,抛物线的准线方程为:x=-\frac{3}{2},由抛物线的定义可知:|AB|=|AF|+|BF|=x_{1}+\frac{3}{2}+x_{2}+\frac{3}{2}=x_{1}+x_{2}+3=5+3=8.
【题目】设$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左焦点为$F_{1}$ , $P(x_{0}, y_{0})$为椭圆上一点，则$|P F_{1}|$的最大值为?
【解析】已知椭圆方程为\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1^{1},则a=5,b=4,c=3,左焦点为F_{1}坐标为(-3,0),则\lambda\because-5\leqslantx_{0}\leqslant5,故当x_{0}=5时,即当P(x_{0},y_{0})为椭圆右顶点(5,0)时|PF_{1}|的最大值为8,故|PF_{1}|的最大值为8
【题目】已知抛物线$C$: $y=\frac{1}{8} x^{2}$上的点$M$到焦点的距离为$5$，则点$M$到$y$轴的距离为?
【解析】抛物线C的方程可化为x^{2}=8y.设M(x_{0},y_{0})因为点M到焦点的距离为5,所以点M到准线y=-2的距离为5从而y_{0}=3,将y_{0}=3代入x^{2}=8y可得|x_{0}|=2\sqrt{6}所以点M到y轴的距离为2\sqrt{6}.
【题目】已知双曲线$C$的焦点为$F_{1}(-\sqrt{5}, 0)$ , $F_{2}(\sqrt{5}, 0)$，过点$F_{2}$的直线与双曲线的右支交于$A$，$B$两点，若$\overrightarrow{A F_{2}}=3 \overrightarrow{F_{2} B}$，$3|AB|=4|B F_{1}|$,$C$的方程为?
【解析】设双曲线C的方程为:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,设|F_{2}B|=x,根据已知条件和双曲线的定义可得a=x,且BF_{1}\botBF_{2},|BF_{1}|=3x,|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{5},即可求出a=\sqrt{2},利用b^{2}=c^{2}-a2即可求出b^{2},进而可得双曲线C的方程.设双曲线C的方程为:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1设|F_{2}B|=x,则|AF_{2}|=3x,|AB|=4x,|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{5}因为3|AB|=4|BF_{1}|所以|BF_{1}|=3x,由抛物线的定义得:|BF_{1}|-|BF_{2}|=2a=2x,所以a=x|AF_{1}|=|AF_{2}|+2a=3x+2x=5x,因为|AF_{1}|^{2}=|AB|^{2}+|BF_{1}|^{2},所以BF_{1}\botBF_{2},所以|F_{1}F_{2}|^{2}=|BF_{2}|^{2}+|BF_{1}|^{2},即20=x^{2}+9x^{2}=10x^{2},解得x=\sqrt{2}可得a=\sqrt{2},所以b^{2}=c^{2}-a^{2}=5-2=3,所以双曲线C的方程为:\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点坐标为$(c, 0)$，直线$y=\frac{\sqrt{6}}{3} b$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，若$O A \perp O B$，则$\frac{b^{2}}{2 a c}$等于?
【解析】因为直线y=\frac{\sqrt{6}}{3}b与椭圆C交于A,B两点,所以A(-\frac{\sqrt{3}}{3}a,\frac{\sqrt{6}}{3}b),B(\frac{\sqrt{3}}{3}a,\frac{\sqrt{6}}{3}b)因为OA\botOB,所以-\frac{\sqrt{3}}{3}a\times\frac{\sqrt{3}}{3}a+\frac{\sqrt{6}}{3}b\times\frac{\sqrt{6}}{3}b=0'a^{2}=2b^{2},\frac{b^{2}}{2ac}=\frac{1}{2}\sqrt{(b^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{b^{4}}{a^{2}(a^{2}-b^{2}})}=\frac{\sqrt{2}}{4}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的离心率为$2$,焦点与椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点相同. 那么双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】若椭圆的短轴长为$6$，焦点到长轴的一个端点的最近距离是$1$，则椭圆的离心率为?
【解析】依题意,得b=3,a-c=1.又a^{2}=b^{2}+c^{2},解得a=5,c=4,\therefore椭圆的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}.
【题目】已知椭圆$G$的中心在坐标原点，长轴在$x$轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$G$上一点到$G$的两个焦点的距离之和为$12$，则椭圆$G$的方程为?
【解析】
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，$P$为该双曲线上一点，若$P F_{1}$与$x$轴垂直，$\cos \angle P F_{2} F_{1}=\frac{12}{13}$, 则该双曲线的离心率为?
【解析】因为PF_{1}\botF_{1}F_{2},\cos\anglePF_{2}F_{1}=\frac{12}{13},所以|PF|=\frac{b^{2}}{a},|PF_{2}|=\frac{13b^{2}}{5a},|PF_{2}|-|PF_{1}|=2a\therefore\frac{13b^{2}}{\frac{b^{2}}{a^{2}}}=2a,即8b^{2}=8(c^{2}-a^{2})=10a^{2},\thereforee^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{9}{4},即e=\frac{3}{2},故填\frac{3}{2}
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上一点$(5, m)$到焦点$F$的距离为$6$, $P$,$Q$分别为抛物线与圆$(x-3)^{2}+y^{2}=1$上的动点，则$|P Q|+|P F|$的最小值为?
【解析】利用抛物线的定义,求得p的值,过P作PN\bot于抛物线的准线,交准线于点N,准线交x轴于点M_{1},由抛物线的定义可知|PF|=|PN|,\therefore|PQ|+|PF|=|PQ|+|PN|\geqslant|MM_{1}|-|即可得解由抛物线C:y^{2}=2px(p>0)焦点在x轴上,准线方程x=-\frac{p}{2}则点(5,t)到焦点的距离为d=5+\frac{p}{2}=6,则p=2,\therefore抛物线方程:y^{2}=4x.过P作PN\bot于抛物线的准线,交准线于点N,准线交x轴于点M_{1},如图所示圆(x-3)^{2}+y2=1圆心为M(3,0),半径为1,由抛物线的定义可知|PF|=|PN|,\therefore|PQ|+|PF|=|PQ|+|PN|\geqslant|MM_{1}|-1=3数答客为:3
【题目】椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆$E$上任一点，且$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的最大值的取值范围是$[2 c^{2}, 4 c^{2}]$，其中$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$，则椭圆的离心率$e$的取值范围是?
【解析】由题意可得F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0),设椭圆E上任一点P(x,y)\because\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\thereforex^{2}=\frac{a^{2}(b^{2}-y^{2})}{b^{2}(b^{2}-y)^{2}}+y^{2}-c^{2}=a^{2}-c^{2}-\frac{c^{2}y^{2}}{b^{2}},\because-b\leqslanty\leqslantb,\thereforePF_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=x^{2}+y^{2-c^{2}=\frac{a2(b)}{b^{2}}}\therefore当y=0时,\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}取到最大值为a^{2}-c^{2},即2c^{2}\leqslanta^{2}-c^{2}\leqslant4c^{2},\therefore\sqrt{3}c\leqslanta\leqslant\sqrt{5}c,\therefore\frac{\sqrt{5}}{5}\leqslante\leqslant\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】若方程$x^{2}-2 m y^{2}=4$表示的曲线是椭圆，则实数$m$的取值范围是?
【解析】由题意,方程x^{2}-2my^{2}=4可化为\frac{x2}{4}+\frac{y^{2}}{-\frac{2}{m}}=1,所以有-\frac{2}{m}>0,-\frac{2}{m}\neq4,解得m<0且m\neq-\frac{1}{2}
【题目】已知抛物线$y=\frac{1}{2} x^{2}$的焦点为$F$，准线为$l$ , $M$在$l$上，线段$MF$与抛物线交于$N$点，若$|M N|$=$\sqrt{2}|NF|$，则$|MF|$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率$e=\frac{1}{2}$, $A$, $B$是椭圆的左右顶点，$P$为椭圆上不同于$A$, $B$的动点，直线$PA$, $PB$的倾斜角分别为$\alpha$, $\beta$, 则$\frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}$=?
【解析】由题意,A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则\tan\alpha=\frac{y}{x+a},\tan\beta=\frac{y}{x-a}\therefore\tan\alpha\tan\beta=\frac{y}{x+a}\cdot\frac{y}{x-a}=\frac{y^{2}}{x^{2}-a^{2}}\because椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的离心率e=\frac{1}{2}\therefore\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}\thereforea^{2}=\frac{4}{3}b^{2}\frac{x^{2}}{\frac{4}{2}b^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\therefore\frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alphadin\beta}{\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}=an\beta=\frac{1+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=7
【题目】设直线$y=x-1$与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$相交于$A$、$B$两点，则线段$A B$中点的坐标是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立\begin{cases}y=x-1\\\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\end{cases},得3x^{2}-4x=0,所以x_{1}+x_{2}=\frac{4}{3},则线段AB中点的横坐标为\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{4}{2}=\frac{2}{3}代入y=x-1,得y=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3},所以线段AB中点的坐标是(\frac{2}{3},-\frac{1}{3})
【题目】双曲线$x^{2}-y^{2}=1$与直线$x+2 y+3=0$交于$A$、$B$两点, 且线段$A B$中点为$P$、$O$为坐标原点.则直线$O P$的斜率是?
【解析】双曲线x^{2}-y^{2}=1与直线x+2y+3=0联立,得\begin{cases}\\x-\end{cases},消去x得3y^{2}+12y+8=0,+2v+3设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),则有y_{1}+y_{2}=-4,,x_{1}+x_{2}==-2(y_{1}+y_{2})-6=2,所以P的坐标为(1,-2)因此,直线OP的斜率是-2.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$M$在双曲线上且$M F_{1} \perp x$轴，则$F_{1}$到直线$F_{2}M$的距离为?
【解析】
【题目】以抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的顶点为圆心的圆交抛物线于$A$、$B$两点，交抛物线的准线于$D$、$E$两点，已知$|A B|=4 \sqrt{2}$ ,$|D E|=2 \sqrt{5}$，则抛物线的标准方程为?
【解析】设直线AB交x轴于点M,直线DE交x轴于点N,则M,N分别为线段AB,DE的中点,由|AB|=4\sqrt{2},|DE|=2\sqrt{5}得|AM|=2\sqrt{2},|DN|=\sqrt{5},则|ON|=\frac{p}{2},x_{A}=\frac{(2\sqrt{2})^{2}}{2p}=\frac{4}{p}\because|OD|=|OA|,\therefore|ON|^{2}+|DN|^{2}=|OM|^{2}+|AM|^{2},即\frac{p^{2}}{4}+5=\frac{16}{p^{2}}+8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y^{2}=8x
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$A$是双曲线上一点，且$A F_{2} \perp x$轴，若$\Delta A F_{1} F_{2}$的内切圆半径为$(\sqrt{3}-1) a$，则其渐近线方程是?
【解析】由点A在双曲线上,且AF_{2}\botx轴,可得A在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得|AF_{1}|\cdot|AF_{2}|=2a设Rt\triangleAF_{1}F_{2}内切圆半径为r运用面积相等可得S\triangleAF_{1}F_{2}=\frac{1}{2}|AF_{2}||F_{1}F_{2}|=\frac{1}{2}r(|AF_{1}|+|AF_{2}|+|F_{1}F_{2}|)由勾股定理可得|AF_{2}|^{2}+|F_{1}F_{2}|=|AF_{1}|^{2},解得r=\frac{|AF_{2}|+|F_{1}F_{2}|-|AF_{1}|}{2}=\frac{2c-2a}{2}=c-a=(\sqrt{3}-1)a\Rightarrowc=\sqrt{3}a,即b=\sqrt{2}a\therefore渐近线方程是y=\pm\sqrt{2}x.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$P$到两焦点的距离之积为$m$，则$m$的最大值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程为$y=x $, 一个焦点到一条渐近线的距离为$\sqrt{2}$，则双曲线的标准方程为?
【解析】因为渐近线方程为y=x,所以a=b,一个焦点到一条渐近线的距离为\sqrt{2},所以\frac{|bc|}{\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}}=b=\sqrt{2}故双曲线标准方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1.
【题目】若双曲线的渐近线方程为$y=\pm 3 x$，它的一个焦点的坐标为$(\sqrt{10}, 0)$，则该双曲线的标准方程为?
【解析】由双曲线渐近线方程可知b/a=3\textcircled{1}因为它的一个的焦点为(\sqrt{10},0),所以c=\sqrt{10}\textcircled{2}又c2=a^{2}+b^{2}\textcircled{3}联立\textcircled{1}\textcircled{2}\textcircled{3},解得a^{2}=1,b^{2}=9,所以双曲线的方程为x^{2}-y^{2}/9=1
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左、右焦点，若$P$是该椭圆上的一个动点，则$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的最小值为?
【解析】P(x,y),F_{1}(-\sqrt{3},0),F_{2}(\sqrt{3},0),\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=(-\sqrt{3}-x,-y)(\sqrt{3}-x,-y)=x^{2}-3+y^{2}=x^{2}-3+1-\frac{x^{2}}{4}=\frac{3}{4}x^{2}-2,x\in[-2,2]所以当x=0时,\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}的最小值为-2,故填:-2
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$上一点$P(\frac{1}{2} , 2)$到焦点的距离为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，左焦点$F(-c, 0)$，右顶点$A(a, 0)$，上顶点$B(0, b)$，满足$\overrightarrow{F B} \cdot \overrightarrow{A B}=0$，则椭圆的离心率为?
【解析】利用数量积的坐标公式计算可得答案由\overrightarrow{FB}\cdot\overrightarrow{AB}=0可得,(c,b)\cdot(-a,b)=0,即ac=b^{2}=a^{2}-c^{2}则e^{2}+e-1=0,解得e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}或\frac{\sqrt{5}-1}{2}(舍)
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$和双曲线$\frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m>0, n>0)$有相同的焦点$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为$e_{1}$, $e_{2}$, $\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，且$e_{2} \in[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$，则$e_{1}$的取值范围为?
【解析】由题意得:|PF_{1}|-|PF_{2}|=2m,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,F_{1}F_{2}=2c,a^{2}-b^{2}=m^{2}+n^{2}=c^{2},解得|PF_{1}|=a+m,|PF_{2}|=a-m,由余弦定理得:\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{P}{}\frac{PF_{2}^{2}-F_{1}F_{2}^{2}}{F_{1}\cdotPF_{2}}=\frac{2a^{2}+2m2-4c^{2}}{2a^{2}-2m^{2}}=\frac{1}{2},解得:a^{2}+3m^{2}=4c^{2},因为\frac{2}{2}12=c^{2},解得:n^{2}=\frac{1}{3}b^{2},m^{2}=a^{2}-\frac{4}{3}b^{2},因为e_{2}=\sqrt{1+\frac{n^{2}}{m^{2}}}\in[\sqrt{2},\sqrt{3}],即
【题目】已知抛物线$C$的顶点坐标为原点，焦点在$x$轴上，直线$y=x$与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，若$F(2,2)$为$A B$的中点，则抛物线$C$的方程为?
【解析】
【题目】已知直线$l$: $3 x-y-1=0$与抛物线$C$: $y^{2}=3 x$交于$M$、$N$两点，$O$为坐标原点，则$\triangle O M N$的面积为?
【解析】设直线l:3x-y-1=0与x轴交于点A,S=\frac{1}{2}\cdot|OA|\cdot|y_{1}-y_{2}|,联立方程计算即可得解.联立\begin{cases}y^{2}=3x,\\3x=y+1,\end{cases}1,则y^{2}-y-1=0,设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})直线l:3x-y-1=0与x轴交于点A,则y_{1}+y_{2}=1,y_{1}y_{2}=-故\triangleOMN的面积S=\frac{1}{2}\cdot|OA|\cdot|y_{1}-y_{2}|=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\sqrt{1+4}=\frac{\sqrt{5}}{6}
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$左焦点$F$且不垂直于$x$轴的直线交椭圆于$A$、$B$两点，$A B$的垂直平分线交$x$轴于点$N$，则$\frac{|N F|}{|A B|}$=?
【解析】由椭圆方程可知左焦点F(-2,0),设直线AB方程为y=k(x-2)将直线AB方程与椭圆方程联立消去y并整理可得(\frac{1}{9}+\frac{1}{5}k^{2})x^{2}-\frac{4}{5}k^{2}x+\frac{4}{5}k^{2}-1=0,设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2})所以x_{1}+x_{2}=\frac{\frac{4}{5}k^{2}}{\frac{1}{9}+\frac{1}{5}k^{2}},x_{1}x_{2}=\frac{\frac{4}{5}k^{2}-1}{\frac{1}{0}+\frac{1}{5}k^{2}}.由弦长公式可得|AB|=\frac{2}{3}\frac{1+k^{2}}{9}+\frac{1}{5}k^{2},将A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2})分别代入椭圆方程,两式相减可得\frac{1}{9}(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})+\frac{1}{5}(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0,设AB中点M(x_{0},y_{0})则y_{0}k=-\frac{5}{9}x_{0},AB的中垂线方程为y=-\frac{1}{k}(x-|NF|=2-\frac{4}{9}x_{0}=\frac{2}{9}\frac{1+k^{2}}{1+\frac{1}{4}k^{2}},所以\frac{|NF|}{|AB|}=\frac{1}{3}.-\frac{1}{k}(x-x_{0})+y_{0},令y=0得x=ky_{0}+x_{0}=\frac{4}{9}x_{0},所以老点:1.直线与椭圆的相交弦问题:2点差法解决中点☆问题
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左、右焦点，$P$是椭圆上一点，若$S_{\triangle F_{1} P F_{2}}=4$，则$\angle F_{1} P F_{2}$等于?
【解析】由椭圆的定义有|PF_{1}|+|PF_{2}|=4\sqrt{2},|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|\cos\angleF_{1}PF_{2}又|F_{1}F_{2}|=4,再利用三角形面积公式即可得到结果.由椭圆\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1有a=2\sqrt{2},b=2,c=2,由椭圆的定义有|PF_{1}|+|PF_{2}|=4\sqrt{2},又|F_{1}F_{2}|=4,在\DeltaF_{1}PF_{2}中,|F_{1}F_{2}|^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|\cos\angleF_{1}PF_{2}得16=(4\sqrt{2})^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|-2|PF_{1}||PF_{2}|\cos\angleF_{1}PF_{2}'\textcircled{1}又S_{\DeltaF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\sin\angleF_{1}PF_{2}=4,\textcircled{2}设|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=t(t>0)\textcircled{1}化简整理得:(1+\cos\angleF_{1}PF_{2})t=8,\textcircled{3}\textcircled{2}化简整理得:t\sin\angleF_{1}PF_{2}=8,\textcircled{4}由\textcircled{3}\textcircled{4}得:\sin\angleF_{1}PF_{2}=\cos\angleF_{1}PF_{2}+1\Rightarrow\sin\angleF_{1}PF_{2}-\cos\angleF_{1}PF_{2}=1,\sqrt{2}\sin(\angleF_{1}PF_{2}-45^{\circ})=1\Rightarrow\sin(\angleF_{1}PF_{2}-45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{2}又0^{\circ}<\angleF_{1}PF_{2}<180^{\circ},故\angleF_{1}PF_{2}-45^{\circ}=45^{\circ}所以\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ}
【题目】已知焦点在$x$轴上的双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{3}{4} x$，则此双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$作直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$F_{2}$为线段$A B$的中点，则$\triangle A F_{1} B$的面积为?
【解析】因为过F_{2}作直线交都圆于A,B两点,且F_{2}为线段AB的中点,所以AB垂直于x轴根据题意得a=2,b=1,c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3},所以F_{1}F_{2}=2c=2\sqrt{3}F_{1}(-\sqrt{3},0),F_{2}(\sqrt{3},0),设A(\sqrt{3},y_{1}),B(\sqrt{3},y_{2}),且A在第一象限,所以AB=|y_{1}-y_{2}|将点A(\sqrt{3},y_{1})代入椭圆方程得:\frac{3}{4}+y_{1}=1,所以y_{1}=\frac{1}{2},根据对称性得y_{2}=-\frac{1}{2},所以AB=|y_{1}-y_{2}|=1,在\triangleAF_{1}B中,F_{1}F_{2}\botAB,所以S_{\triangleAF_{1}B}=\frac{1}{2}\timesF_{1}F_{2}\timesAB=\sqrt{3}
【题目】已知点$P$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上的动点，抛物线$C$的焦点为$F$，且点$A(3,1)$，则$|P A|+|P F|$的最小值为?
【解析】设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小,进而可推断出当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,答案可得抛物线C:y^{2}=4x的准线为x=-1.设点P在准线上的射影为D,如图,则根折抛物线的定义可知|PF|=|PD|,要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小.当D,P,A三点共线时,|PA|+|PD|最小,为3-(-1)=4
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线方程为$y=\pm \frac{2 \sqrt{6}}{5} x$，且过点$(5,3 \sqrt{2})$，则其焦距为?
【解析】由题:双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt[2]{6}}{5}x'且过点(5,3\sqrt{2})即|\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{6}}{\frac{18}{a^{2}}-\frac{18}{b^{2}}}=1^{\frac{1}{1}}解得:\begin{cases}a=\frac{5}{2}\\b=\sqrt{6}\end{cases},所以c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{7}{2},所以其焦距为7
【题目】已知点$P(2,0)$到双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线的距离小于$\sqrt{2}$，则双曲线离心率的取值范围是?
【解析】由条件可得:\frac{2b}{\sqrt{a2+b^{2}}}<\sqrt{2}\Rightarrow\frac{2b}{c}<\sqrt{从而得到e^{2}<2则双曲线离心率的取值范围是(1,\sqrt{2})
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的半焦距为$c$，若$b^{2}-4 a c<0$，则它的离心率的取值范围是?
【解析】
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