高中圆锥曲线问题集

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【题目】若圆$C$: $x^{2}+(y+1)^{2}=n$的圆心为双曲线$M$: $m y^{2}-2 x^{2}=1$的一个焦点，且圆$C$经过$M$的另一个焦点，则$\frac{n}{m}$=?
【解析】由题知,圆C:x^{2}+(y+1)^{2}=n的圆心为(0,-1)双曲线M:my^{2}-2x^{2}=1化为标准形式得\frac{y^{2}}{m}-\frac{x^{2}}{1}=1,因为圆C:x^{2}+(y+1)^{2}=n的圆心为双曲线M:my^{2}-2x^{2}=1的一个焦点所以双曲线M:my^{2}-2x^{2}=1的焦点在y轴上,且\frac{1}{m}+\frac{1}{2}=1,解得m=2.所以圆C经过M的另一个焦点,所以圆的半径为2,则n=4,所以\frac{n}{m}=2.
【题目】已知$O$为坐标原点，过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线$l$交抛物线于$M$、$N$两点，$T$为弦$M N$的中点，$|M F|=4|O F|$, $\Delta M F O$的面积为$4 \sqrt{3}$，连接$O T$并延长，交抛物线于点$S$，则$\frac{|O T|}{|O S|}$=?
【解析】设M(x_{1},y_{1}),\because|OF|=\frac{p}{2},|MF|=4|OF|,\therefore|MF|=2p,由抛物线的定义,得x_{1}+\frac{p}{2}=2p,\thereforex_{1}=\frac{3}{2}p_{1}\thereforey_{1}=\pm\sqrt{3}p,\thereforeS_{\triangleMFO}=\frac{1}{2}\times\frac{p}{2}\times\sqrt{3}p=4\sqrt{3},得p=4\therefore抛物线的方程为y^{2}=8x,F(2,0),M(6,\pm4\sqrt{3})根据对称性,不妨取M(6,4\sqrt{3}),则的方程为y=\frac{4\sqrt{3}-0}{6-2}(x-2)即y=\sqrt{3}(x-2),代入y^{2}=8x,得3x^{2}-20x+12=0,得x_{N}=\frac{2}{3},可得N(\frac{2}{3},-\frac{4\sqrt{3}}{3})由中点坐标公式可得T(\frac{10}{3},\frac{4\sqrt{3}}{3}),则直线OT的方程为y=\frac{2\sqrt{3}}{5}x'
【题目】抛物线$y^{2}=16 x$的准线为?
【解析】
【题目】设曲线$y=x^{2}$与直线$2 x-y-a=0$相切,则$a$=?
【解析】
【题目】方程$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆，其焦点坐标是?
【解析】根据方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1表示焦点在y轴上的椭圆,确定a^{2}=m,b^{2}=4,再由a,b,c的关系求出c,写出坐标即可.因为方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以a^{2}=m,b^{2}=4,所以c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{m-4},所以焦点坐标为:(0,\pm\sqrt{m-4})
【题目】已知倾斜角为$\alpha$的直线$l$的斜率等于双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的离心率，则$\sin 2 \alpha$=?
【解析】双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的离心率e=\frac{\sqrt{1+3}}{1}=2'所以\tan\alpha=2,\sin2\alpha=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha}=\frac{2\tan\alpha}{\tan^{2}\alpha+1}=\frac{4}{5}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=x$上有一动点$P$，则动点$P$到点$A(-1,0)$, $B(1,0)$两定点距离之差的取值范围为?
【解析】当点P在原点时,PA=PB,则点P到点A(-1,0),B(1,0)两定点距离之差为0当点P不在原点时,P,A,B三点构成三角形,则PA-PB<AB=2,或PB-PA<AB=2则动点P到点A(-1,0),B(1,0)两定点距离之差的取值范围为[0,2)
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点是$F$，定点$A(\frac{1}{2} , 1)$ , $P$是抛物线上的动点，则$|PA|+|PF|$的最小值是?
【解析】
【题目】已知焦点为$F$的抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上一点$A(m , 2 \sqrt{2})$，若以$A$为圆心，$|A F|$为半径的圆$A$被$y$轴截得的弦长为$2 \sqrt{5}$，则$m$=?
【解析】因为圆A被y轴截得的弦长为2\sqrt{5},所以\sqrt{m^{2}+5}=|AF|=m+\frac{p}{2}.\textcircled{1}又A(m,2\sqrt{2})在抛物线上,所以8=2pm\textcircled{2}由\textcircled{1}与\textcircled{2}可得p=2,m=2
【题目】顶点在原点，焦点在$x$轴上，截直线$2 x-y-4=0$所得弦长为$3 \sqrt{5}$的抛物线方程为?
【解析】设抛物线方程为y^{2}=2px(p\neq0)将直线方程y=2x\cdot4代入,并整理得2x^{2}.(8+p)x+8=0.设方程的两个根为x_{1},x_{2},则根据韦达定理有x_{1}+x_{2}=\frac{p+8}{2},x_{1}x_{2}=4由弦长公式,得(3\sqrt{5})^{2}=(1+2^{2})[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}].即9=(\frac{8+p}{2})^{2}-16.整理得p^{2}+16p-36=0,解得p=2,或p=-18,此时\triangle>0故所求的抛物线方程为y^{2}=4x,或y^{2}=-36x.
【题目】双曲线$x^{2}-4 y^{2}=4$的两准线之间的距离是?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1$的一个焦点到它的一条渐近线的距离为?
【解析】由题一个焦点(3,0)到一条渐近线y=\sqrt{2}x的距离d=\frac{|3\sqrt{2}|}{\sqrt{1+2}}=\sqrt{6}
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线为$y=2 x$，且一个焦点与抛物线$y^{2}=4 x$的焦点相同，则此双曲线的方程为?
【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以\begin{cases}c=1\\\frac{b}{a}=2\\c^{2}=a2+b^{2}\end{cases},解得\begin{cases}a^{2}=\frac{1}{5}\\b^{2}=\frac{4}{5}\end{cases},双曲线方程为5x^{2}-\frac{5y^{2}}{4}=1
【题目】已知定点$A$、$B$，且$|A B|=4$, 动点$P$满足$|P A|-|P B|=3$, 则$|P A|$的最小值为?
【解析】根据双曲线的定义,可知P的轨迹是2c=4,2a=3的双曲线右支,如下图,当P运动到C时,|PA|最小,最小值为a+c=\frac{7}{2}
【题目】若$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{6}=1$上一点，$F_{1}$和$F_{2}$为椭圆的两个焦点，$\angle F_{1}PF_{2}=60^{\circ}$，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$的值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点到渐近线的距离为$3$，且双曲线右支上的一点$P$到两焦点的距离之差是虚轴长的$\frac{4}{3}$倍，则双曲线$C$的标准方程为?
【解析】
【题目】已知动点$M(x, y)$到定点$(2 , 0)$的距离比到直线$x=-3$的距离少$1$，则动点$M$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】抛物线$4 x=y^{2}$的准线方程为?
【解析】
【题目】过焦点为$F$的抛物线$y^{2}=12 x$上一点$M$向其准线作垂线，垂足为$N$，若直线$N F$的斜率为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$|M F|$=?
【解析】设准线与x轴的交点为A,已知|FA|长度和角\angleNFA,可求出|NF|和角\angleNMF,再由|MN|=|MF|和边角关系可得|MF|.羊解】由题得,设准线与x轴的交点为A,因为直线NF的斜率为-\frac{\sqrt{3}}{3}.所以\angleNFA=\frac{\pi}{6}.因为|FA|=p=6,所以|NF|=\frac{|FA|}{\cos\angleNFA}=4\sqrt{3}因为\angleNMF=\frac{2\pi}{3},|MN|=|MF|,所以|MF|=\frac{\frac{|FN}{2}}{\sin\frac{1}{2}\angleNMF}=4.
【题目】设中心在原点的椭圆与双曲线$2 x^{2}-2 y^{2}=1$有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是?
【解析】双曲线中,a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}\thereforeF(\pm1,0),e=\frac{c}{a}=\sqrt{\therefore椭圆的焦点为(\pm1,0),离心率为\frac{\sqrt{2}}{2}\therefore则长半轴长为\sqrt{2},短半轴长为1,\therefore方程为\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1,
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{24}=1$的左、右焦点，$P$是双曲线上的一点，且满足$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则$|P F_{1}|$=?
【解析】易知a=4,点P在双曲线的右支上,所以|PF_{1}|-|PF_{2}|=8,又|PF_{1}|=2|PF_{2}|,所以|PF_{1}|=16.
【题目】某曲线的方程为$\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}=2$，若直线$l$: $y=k x+1-\frac{1}{2} k$与该曲线有公共点，则实数$k$的取值范围是?
【解析】由题意得知曲线为线段F_{1}F_{2}(其中F_{1}(-1,0)、F_{2}(1,0)),注意到直线l是过定点(\frac{1}{2},1)且斜率为k的直线,利用数形结合思想观察当直线l与线段F_{1}F_{2}有公共点时,直线l的倾斜角的变化,即可求出实数k的取值范围.羊解】\because\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}=2,可知该曲线上的点P到点F_{1}(-1,0)、F_{2}(1,0)的距离之和为2=|F_{1}F_{2}|,该曲线即为线段F_{1}F_{2},又直线l:y=kx+1-\frac{1}{2}k是过定点P(\frac{1}{2},1)且斜率为k的直线,如下图所示:直线PF_{1}的斜率为k_{1}=\frac{1-0}{1+1}=\frac{2}{3},直线PF_{2}的斜率为k_{2}=\frac{1-0}{1-1}=-2故当直线l与线段F_{1}F_{2}有交点时,实数k的取值范围是(-\infty,-2]\cup[\frac{2}{3},+\infty)
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$, $F_{2}$ , 过$ F_{1}$的直线与$C$的两条渐近线分别交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{F_{1} {A}}=2 \overrightarrow{A B}$ , $\overrightarrow{F_{1} {A}}\cdot \overrightarrow{A O}=0$,则$C$的离心率为?
【解析】由题意画出图形,结合已知可得F_{1}A\botOA,写出F_{1}A的方程,与_{y}=\frac{b}{a}x联立求得B点坐标,与y=-\frac{b}{a}x联立求得A点坐标,再由\overrightarrow{F_{1}A}=2\overrightarrow{AB},得到\frac{y_{B}}{y_{A}}=\frac{3}{2},即可求得离心率.由题意画出图形,因为双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)所以渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x,F_{1}(-c,0)过F_{1}的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点,\overrightarrow{F_{1}A}\cdot\overrightarrow{AO}=0则\overrightarrow{F_{1}A}\bot\overrightarrow{AO}及F_{1}A\botAO,则k_{F_{1}A}\cdotk_{AO}=-1\becausek_{AO}=-\frac{b}{a},\thereforek_{F_{1}A}=\frac{a}{b}联立\begin{cases}y=\frac{a}{b}\\v=\frac{b}{a}\end{cases}(x+c)=\frac{1}{2},解得B(\frac{a^{2}c}{b^{2}-a^{2}},\frac{abc}{b^{2}-a^{2}}),联立\begin{cases}y=\frac{b}{a}x\\y=\frac{a}{b}(x+c)\\y=-\frac{b}{a}x\end{cases},解得A(\frac{-a2c}{b^{2}+a^{2}},\frac{abc}{b^{2}+a^{2}}),\because\overrightarrow{F_{1}A}=-\frac{b}{a}x\therefore2\times\frac{abc}{b^{2}-a^{2}}=3\times\frac{abc}{b^{2}+a^{2}}\thereforeb^{2}_{2}=5a^{2}_{=}5a^{2}即6a^{2}=c^{2}\therefore\frac{c^{2}}{a^{2}}=6\thereforee=\frac{c}{a}=\sqrt{6}
【题目】若椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{m+1}+\frac{y^{2}}{m}=1(m>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$m$=?
【解析】因为椭圆C:\frac{x2}{m+1}+\frac{y^{2}}{m}=1(m>0)的离心率为\frac{\sqrt{3}}{3},所以\frac{1}{\sqrt{m+1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrowm=2,
【题目】若双曲线$x^{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$的一条渐近线的倾斜角为$60^{\circ}$，则$m$=?
【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{-m}x.\because其中一条渐近线的倾斜是60^{\circ}\sqrt{-m}=\sqrt{3},故m=-3.
【题目】已知$c$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的半焦距，则$\frac{b+c}{a}$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率$e=\frac{\sqrt {3}}{2} $, $A$ , $B$是椭圆的左、右顶点，$P$是椭圆上不同于$A$、$B$的一点，直线$PA$、$P B$斜倾角分别为$\alpha $, $\beta$，则$\frac{\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)}$=?
【解析】
【题目】设点$P(x_{1}, y_{1})$在椭圆$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$上，点$Q(x_{2}, y_{2})$在直线$x+2 y-8=0$上，则$3|x_{2}-x_{1}|+5|y_{2}-y_{1}|$的最小值为?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{10}=1$的右焦点重合，则实数$p$的值是?
【解析】
【题目】设$F$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点，过椭圆中心作一直线与椭圆交于$P$、$Q$两点，当三角形$P F Q$的面积最大时，$P F \cdot Q F$的值为?
【解析】
【题目】椭圆$x^{2}+4 y^{2}=16$被直线$x-2 y+4=0$截得的弦长为?
【解析】由\begin{cases}x^{2}+4y2=16\\x-2y+4=0\end{cases},消去y得x2+4x=0,\thereforex=0或x=-4.当x=0时,y=2,当x=-4时,y=0,所以直线与椭圆的两个交点为(0,2)和(-4,0)所以椭圆x^{2}+4y2=16被直线x-2y+4=0截得的弦长为\sqrt{(0+4)^{2}+(2-0)^{2}}=2\sqrt{5}
【题目】设抛物线$x^{2}=p y$的焦点与双曲线$\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1$的上焦点重合, 则$p$的值为?
【解析】由题,抛物线的焦点为(0,\frac{p}{4}),双曲线的焦点为(0,2),即\frac{p}{4}=2,所以p=8,
【题目】与椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$有相同的焦点且过点$(-3 , \frac{7}{4})$的椭圆方程为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点，点$M$在双曲线$C$上，点$I$为$\triangle M F_{1} F_{2}$的内心，且$S_{\Delta I M F_{1}}+S_{\Delta I M F_{2}}=\frac{3}{2} S_{\Delta I F_{1} F_{2}}$，$|M F_{1}|=2|M F_{2}|$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y=a x^{2}$的准线方程为$y=-\frac{1}{2}$，则实数$a$=?
【解析】由题意可知,抛物线y=ax^{2}的标准方程是x^{2}=\frac{1}{a}y',则其准线方程为y=-\frac{1}{4a}=-\frac{1}{2},所以a=\frac{1}{2}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$M$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，过点$F_{1}$且垂直于$x$轴的直线与双曲线$M$交于$A$、$B$两点，若点$F_{2}$满足$\overrightarrow{F_{2} A} \cdot \overrightarrow{F_{2} B}=0$，则双曲线的离心率$e$=?
【解析】
【题目】设$A$ , $B$为在双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$上两点，$O$为坐标原点. 若$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=0$,则$\triangle AOB$面积的最小值为?
【解析】
【题目】已知$M$是抛物线$y^{2}=4 x$图象上的一点，$F$是抛物线的焦点，若$\angle M F O=120^{\circ}$，则$|F M|$=?
【解析】由抛物线y^{2}=4x,则F(1,0),\angleMFO=120^{\circ},则直线MF的倾斜角为60^{\circ}过点M作MH垂直于抛物线的准线x=-1,H为垂足,设准线与x轴的交点为G过点M作ME\botx轴,垂足为E由抛物线的定义可得|MF|=|MH|=|EG|=|FG|+|EF|=2+|MF|\cos60^{\circ}即|MF|=2+\frac{1}{2}|MF|,所以|MF|=4
【题目】椭圆$C$: $\frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{2}=1$的离心率为?
【解析】\because椭圆为\frac{y^{2}}{3}+\frac{x^{2}}{2}=1,\thereforea=\sqrt{3},c=\sqrt{3-2}=1,\therefore_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】若抛物线$y^{2}=4 x$上一点$P(x_{0}, y_{0})$到其焦点$F$的距离等于$4$，则$x_{0}$=?
【解析】
【题目】已知双曲线右顶点坐标为$(2,0)$，一条渐近线方程为$2 x-y=0$，则此双曲线的标准方程为?
【解析】根据双曲线的顶点坐标可得a=2,渐近线方程2x=y故\frac{b}{a}=2,b=4,根据c^{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrowc=2\sqrt{5}.故方程为:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1.
【题目】已知$m$为实数，直线$m x+y-1=0$与椭圆$\frac{x^{2}}{m^{2}}+y^{2}=1$的交点个数为?
【解析】(分析】根据直线的方程,易得直线过定点(0,1),又因为定点在椭圆上,且m\neq0,则直线与x轴不平行所以直线和椭圆相交.因为直线方程为mx+y-1=0所以直线过定点(0,1),定点在椭圆上,又因为m\neq0,所以直线与x轴不平行,所以直线和椭圆相交,所以交点为2个.
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的动弦$A B$的长为$a(a \geq 2 p)$，则弦$A B$的中点$M$到$y$轴的最短距离为?
【解析】由题意得,抛物线的准线l:x=-\frac{p}{2},分别过A、B、M作AC\botl,BD\botl,MH\botl,垂直分别为C,D,H,在直角梯形中,可得MH=\frac{1}{2}(AC+BD),由抛物线的定义可知AC=AF,BD=BF,所以MH=\frac{1}{2}(AC+BD)\geqslant\frac{AB}{2}=\frac{a}{2},即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为\frac{a}{2},所以线段的中点M到y轴的最短距离为\frac{a}{2}-\frac{p}{2}
【题目】方程$\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{2+m}=1$表示焦点在$y$轴上的椭圆，则$m$的范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$，过原点作一条倾斜角为$\frac{\pi}{6}$的直线分别交双曲线左、右两支$P$、$Q$两点，以线段$P Q$为直径的圆过右焦点$F$，则双曲线离心率为?
【解析】设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2}),直线PQ的方程为y=\frac{\sqrt{3}}{3}x'代入双曲线方程,化简为(3b^{2}-a^{2})x^{2}-3a^{2}b^{2}=0,x_{1}+x_{2}=0,x_{1}x_{2}=--\frac{3a2b^{2}}{3b^{2}-a^{2}}那么y_{1}+y_{2}=0,y_{1}+y_{2}=0,y_{1}y_{2}=\frac{1}{3}x_{1}x_{2}=-\frac{a2b^{2}}{3b^{2}-a^{2}}设右焦点坐标F(c,0),由条件可知\overrightarrow{FP}\bot\overrightarrow{FQ},即\overrightarrow{FP}\cdot\overrightarrow{FQ}=0\overrightarrow{FP}=(x_{1}-c,y_{1}),\overrightarrow{FQ}=(x_{2}-c,y_{2})所以(x_{1}-c)(x_{2}-c)+y_{1}y_{2}=0,即x_{1}x_{2}-c(x_{1}+x_{2})+c^{2}+y_{1}y_{2}=0\frac{22b^{2}}{2}=0,代入b^{2}=c^{2}-a2后整理为3c^{4}-8a^{2}c^{2}+4a4=0,两边同时除以a4后可得3e^{4}-8e^{2}+4-0,即(e^{2}-2)(3e^{2}-2)=0,因为e>1,所以e2=2,即e=\sqrt{2}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$上横坐标为$2$的点到右焦点的距离为?
【解析】求出右焦点坐标,求出椭圆上横坐标为2的点的坐标,由两点间距离公式计算.由题意a=4,b=\sqrt{7},c=\sqrt{16-7}=3,右焦点为F(3,0),由x=2得\frac{7}{7}=1-\frac{16}{2},|\frac{3}{2},y=\frac{\sqrt{21}}{2},即P(2,\pm\frac{\sqrt{2}}{2})^{n},有两个点.
【题目】已知双曲线方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】易知双曲线的焦点在x轴上,且a=3,b=4,所以双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{4}{2}x,即4x\pm3y=0
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点$F_{2}$向其一条渐近线作垂线$l$，垂足为$P$ , $l$与另一条渐近线交于$Q$点. 若$\overrightarrow{F_{2} Q}=2 \overrightarrow{F_{2} P}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】由题意可得该双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x'设右焦点F_{2}(c,0),不妨令直线垂直于直线y=\frac{b}{a}x,则直线的方程为y=-\frac{a}{b}(x-c),由\begin{cases}y=\frac{b}{a}x,\\y=-\frac{a}{b}(x-c)\end{cases}解得\begin{cases}x=\frac{a2c}{a^{2}+b^{2}}\\y=\frac{abc}{a^{2}+b^{2}}\end{cases},即点由\begin{cases}a2c\\a+b\end{cases}.因为a^{2}+b^{2}=c^{2},所以点P(s为a2+b^{2}=c^{2},所以点P(\frac{a^{2}}{c},\frac{ab}{c}).所以\overrightarrow{F_{2}Q}=(\frac{a_{2}c}{a^{2}-b^{2}}-c,-\frac{abc}{a-b^{2}}),\overrightarrow{F_{2}P}=(\frac{a_{2}}{c}-c,\frac{ab}{c})所以c^{2}=4a^{2},所以该双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=2.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$的焦距是?
【解析】先由双曲线方程是\frac{x2}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1,得到a^{2}=64,b^{2}=36,再用c=\sqrt{a^{2+b^{2}}求解.因为双曲线方程是\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1所以a^{2}=64,b^{2}=36所以c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{64+36}=10,所以该双曲线的焦距是2c=20故答客为:20青)本题主要考查了双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题
【题目】曲线$x^{2}=4 y$在点$P(m, n)$处的切线与直线$2 x+y-1=0$垂直，则$m$=?
【解析】依题意可知切线的斜率为\frac{1}{2},y=\frac{x^{2}}{4},y=\frac{x}{2}=\frac{1}{2},x=1.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，$P$为椭圆上一点，且$P F_{2}$垂直于$x$轴，若$|F_{1} F_{2}|=2|P F_{2}|$，则该椭圆的离心率为?
【解析】由题意,设|F_{1}F_{2}|=2c,\because|F_{1}F_{2}|=2|PF_{2}|,\therefore|PF_{2}|=c,则在Rt\trianglePF_{1}F_{2}中|PF_{1}|^{2}=|PF_{2}|^{2}+|F_{1}F_{2}|^{2}=5c^{2},\therefore|PF_{1}|=\sqrt{5}c,则该椭圆的离心率为e=\frac{2c}{2a}=\frac{2c}{\sqrt{5}c+c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}即答案为\underline{\sqrt{5}-1}
【题目】已知焦点在$x$轴上的双曲线，其渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{2} x$，焦距为$2 \sqrt{5}$，则该双曲线的标准方程为?
【解析】由题设,可知:\frac{b}{a}=\frac{1}{2},c=\sqrt{5}\therefore由_{a}2+b^{2}=c^{2}=5,可得a^{2}=4,b^{2}=1,又焦点在x轴上,\therefore双曲线的标准方程为\frac{x2}{4}-y^{2}=1.
【题目】圆锥曲线$\frac{(x-1)^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】设$O$为坐标原点，$F$为双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点，过$F$的直线$l$与$C$的两条渐近线分别交于$A$、$B$两点. 若$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{F A}=0$ ,且$\triangle O A B$的内切圆的半径为$\frac{a}{3}$，则$C$的离心率为?
【解析】\becausea>b>0\therefore双曲线渐近线OA与OB如图所示,OA与OB关于x轴对称,设\triangleOAB的内切圆圆心为M,则M在\angleAOB的平分线Ox上,过点M分别作MN\botON于点N,MT\botAB于T,由FA\botOA,则四边形MTAN为正方形,由焦点到渐近线的距离为b得|FA|=b,又|OF|=c,\therefore|OA|=a,且|NA|=|MN|=\frac{a}{3}\therefore|NO|=\frac{2a}{3},\therefore\frac{b}{a}=\tan\angleAOF=\frac{|MN|}{|NO|}=\frac{1}{2},则e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】抛物线$y^{2}=x$的焦点到准线的距离为?
【解析】2p=1,所以p=\frac{1}{2},所以抛物线的焦点到准线的距离为\frac{1}{2}.
【题目】已知直线$l$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两条渐近线分别交于点$A$、$B$，与$x$轴交于点$C$、$O$为坐标原点，若$A$是线段$B C$的中点，且$O A=O C$，则双曲线的离心率为?
【解析】设OC=m,过B作x轴的平行线交OA的延长线于D,判断出BD=OC=m,及对称性知OB=2m,设直线OB的倾斜角\theta,则\cos\theta=\frac{\frac{1}{2}BD}{OB},再由\tan\theta=\frac{b}{a}可得答案.设OC=m,过B作x轴的平行线交OA的延长线于D则BD//OC,A为BC中点,故BD=OC=m,AD=AO=m,\thereforeOD=2m,由对称性知OB=2m.设直线OB的倾斜角\theta,则\cos\theta=\frac{\frac{1}{2}BD}{OB}=\frac{1}{4}直线OB的方程为y=\frac{b}{a}x'又\tan\theta=\frac{b}{a},故\cos\theta=\frac{a}{c}=\frac{1}{4},\thereforee=4.的有1本题考查了双曲线的离心率的求法,关键点是过B作x轴的平行线交OA的延长线于D,考查了学生分析问题解决问题的能力
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线与此抛物线交于$P$，$Q$两点，那么线段$P Q$中点的轨迹方程是?
【解析】
【题目】若点$P$是抛物线$y^{2}=2 x$上的一个动点，则点$P$到直线$3 x-4 y+\frac{7}{2}=0$的距离与$P$到该抛物线的准线的距离之和的最小值为?
【解析】如图,过点P分别作抛物线准线和直线3x-4y+\frac{7}{2}=0的垂线PQ、PA,垂足分别为点Q、A,由抛物线的定义可得|PQ|=|PF|,所以,|PA|+|PQ|=|PA|+|PF|\geqslant|AF|_{\min}当A、P、F三点共线时,|AF|取得最小值,|AF|的最小值为点F到直线3x-4y+\frac{7}{2}=0的距离,即|AF|_{\min}=\frac{|3\times\frac{1}{2}+\frac{7}{2}|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=1
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线交抛物线于点$A$ , $B$，交其准线$l$于点$C$，若点$F$是$AC$的中点，且$A F=4$，则线段$AB$的长为?
【解析】设过抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点F(\frac{p}{2},0)的直线交抛物线于点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),交其准线l:x=-\frac{p}{2}于C(-\frac{p}{2},y_{3}),因为F是AC的中点,且AF=4所以-\frac{p}{2}+x_{1}=\frac{p}{2}\times2,解得\begin{cases}p=2\\x_{1}=3\end{cases},即F(1,0),A(3,2\sqrt{3}),则AF的方程为y=\sqrt{3}(x-1),联立\begin{cases}\frac{\frac{1}{2}}=4\\y^{2}=4x\\y=\sqrt{3}(x-1)\end{cases}3x^{2}-10x+3=0,解得x_{2}=\frac{1}{3},所以|AB|=|AF|+|BF|=4+\frac{1}{3}+1=\frac{16}{3}.
【题目】已知点$(m, n)$在椭圆$4 x^{2}+9 y^{2}=36$上，则$\frac{m}{3}+\frac{n}{2}$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知点$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$左、右焦点，在$\Delta P F_{1} F_{2}$中，点$P$为椭圆上一点，则$\frac{\sin \angle P F_{1} F_{2}+\sin \angle P F_{2} F_{1}}{\sin \angle F_{1} P F_{2}}$=?
【解析】先根据椭圆方程求出a,b,c,再利用正弦定理将角转化为边,结合椭圆的定义求解.因为椭圆方程为\frac{x2}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,所以a=2,b=\sqrt{3},c=1,所以\frac{\sin\anglePF_{1}F_{2}+\sin\anglePF_{2}F_{1}}{\sin\angleF_{1}PF_{2}}=\frac{|PF_{2}|+|PF_{1}|}{|F_{1}F_{2}|}=\frac{2a}{2c}=2
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，过椭圆上一点$A$作椭圆的切线交$y$轴于点$Q$，若$\angle Q F O=\frac{\pi}{4}$, $\angle Q F A=\frac{\pi}{6}$，则此椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{m^{2}+1}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，上顶点为$A$，若$\angle F_{1} A F_{2}=\frac{\pi}{3}$，则$m$=?
【解析】由题意,椭圆\frac{x2}{m^{2}+1}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0),可得a^{2}=m^{2}+1,b^{2}=m^{2}.则c^{2}=a^{2}-b^{2}=1,所以F_{1}(-1,0),F_{2}(1,0),且上顶点A(0,m),如图所示,因为\angleF_{1}AF_{2}=\frac{\pi}{3},可得\angleF_{1}AO=\frac{\pi}{6},则_{\tan\angleF_{1}AO}=\frac{1}{m}=\frac{\sqrt{3}}{3},解得m=\sqrt{3}
【题目】已双曲线过点$A(1,2)$，其渐近线方程为$y=\pm x$，则双曲线的焦距是?
【解析】由题意设双曲线方程为x^{2}-y^{2}=k,又双曲线过点A(1,2),\thereforek=1^{2}-2^{2}=-3\therefore双曲线方程为x^{2}-y^{2}=-3,即\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{3}=1'a^{2}=b^{2}=3,c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6}\therefore焦距为2\sqrt{6}。
【题目】若椭圆$2 k x^{2}+k y^{2}=1$的一个焦点为$(0 ,-4)$，则$k$的值为?
【解析】解析:易知k\neq0,方程2kx^{2}+ky^{2}=1变形为\frac{y^{2}}{k}+\frac{x^{2}}{2k}=1,因为焦点在y轴上,所以\frac{1}{k}-\frac{1}{2k}=16,解得k=\frac{1}{32}.
【题目】已知抛物线$x^{2}=4 y$, 定点$A(12,39)$，点$P$是此抛物线上的一动点,$F$是该抛物线的焦点,求$|P A|+|P F|$的最小值?
【解析】将x=12代入x^{2}=4y,得y=36<39.所以点A(12,39)在抛物线内部,抛物线的焦点为(0,1),准线l为y=-1.过P作PB\botl于点B,则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,由图可知,当P,A,B三点共线时,|PA|+|PB|最小.所以|PA|+|PB|的最小值为:39+1=40.即|PA|+|PF|的最小值为40.
【题目】已知点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$是圆心为$C$的圆$(x-1)^{2}+y^{2}=16$上一动点，线段$A B$的垂直平分线交$B C$于点$M$，则动点$M$的轨迹方程为?
【解析】利用椭圆的定义判断点M的轨迹是以A、C为焦点的椭圆,求出a、b的值,即得椭圆的方程.由题意得,圆心C(1,0),半径等于4.连接MA,则|MA|=|MB|,\therefore|MC|+|MA|=|MC|+|MB|=|BC|=4>|AC|=2,故点M的轨迹是:以A、C为焦点的椭圆,2a=4,即有a=2
【题目】已知双曲线的两个焦点为$(-3,0)$,$(3,0)$，则双曲线的焦距为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$, $P$为椭圆上一点, 且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$, 则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$的值为?
【解析】
【题目】若$C(-\sqrt{3} , 0)$, $D(\sqrt{3} , 0)$, $M$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上的动点，则$\frac{1}{|M C|}+\frac{1}{|M D|}$的最小值为?
【解析】由椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1知c^{2}=4-1=3,\thereforec=\sqrt{3}\thereforeC,D是该椭圆的两焦点,令|MC|=r_{1},|MD|=r_{2},则r_{1}+r_{2}=2a=4,\because\frac{1}{|MC|}+\frac{1}{|MD|}=\frac{1}{T_{1}}+\frac{1}{r_{2}}=又\becauser_{1}r_{2}\leqslant\frac{(r_{1}+r_{2})^{2}}{4}=\frac{16}{4}=4,.\frac{1}{MC}+\frac{1}{MD}=\frac{4}{r_{1}'2}\geqslant当且仅当r_{1}=r_{2}时,上式等号成立故\frac{1}{MC}+\frac{1}{MD}的最小值为1.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$经过点$(3,6)$，直线$l$经过点$M(2,2)$且与抛物线$C$交于$A$、$B$两点. 若线段$A B$的中点为$M$、$F$为抛物线$C$的焦点，则$\triangle A B F$的周长为?
【解析】把点(3,6)代入y^{2}=2px中得p=6,故抛物线C的方程为y^{2}=12x.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由题意可知直线l的斜率存在且不为0,故x_{1}\neqx_{2}则y_{1}^{2}=12x_{1},y_{2}^{2}=12x_{2},两式相减得(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=12(x_{1}-x_{2})又因为AB的中点为M(2,2)所以y_{1}+y_{2}=4,将y_{1}+y_{2}=4代入上式得直线l的斜率k=3,于是直线AB的方程为y-2=3(x-2),即y=3x-4联立\begin{cases}y2=12x,\\y=3x-4,\end{cases}消去y得9x^{2}-36x+16=0,4>0,由根与系数的关系得x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=\frac{16}{9}由抛物线的定义得|AF|+|BF|=x_{1}+x_{2}+p=4+6=10而|AB|=\sqrt{1+k^{2}}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{3^{2}+1}\cdot\sqrt{4^{2}-4\times\frac{16}{9}}=\frac{20\sqrt{2}}{3},因此\triangleABF的周长为10+\frac{20\sqrt{2}}{3}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，若它的一条准线与抛物线$y^{2}=4 x$的准线重合. 设双曲线与抛物线的一个交点为$P$，抛物线的焦点为$F$，则$|P F|$=?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{k}+\frac{y^{2}}{4}=1$的离心率$e<2$，则$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$，点$F$是双曲线$C$的右焦点，$A$是双曲线$C$的右顶点，过点$F$作$x$轴的垂线，交双曲线于$M$、$N$两点，若$\tan \angle M A N=-\frac{3}{4}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】先由题意作出图像,设\angleMAN=2\theta,\theta\in(0,\frac{\pi}{2}),根据\tan\angleMAN=-\frac{3}{4}求出\tan\theta=3,再由\frac{b^{2}}{c}=3'即可求出结果.由题意可设\angleMAN=2\theta,\theta\in(0,\frac{\pi}{2}),则\tan2\theta=-\frac{3}{4}=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta},解得\tan\theta=3即\frac{b^{2}}{c-a}=3'整理得c^{2}+2a^{2}-3ac=0,即e^{2}+2-3e=0,e>1,解得e=2.
【题目】直线$l$过抛物线$C$:$ y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$且与$C$相交于$A$、$B$两点，且$A B$的中点$M$的坐标为$(3,2)$，则抛物线$C$的方程为?
【解析】由点差法得y_{1}^{2}=2px_{1},y_{2}2=2px_{2}\Rightarrowy_{1}^{2}-y_{2}=2p(x_{1}-x_{2})\Rightarrow(y_{1}+y_{2})k_{AB}=2p\Rightarrow4k_{AB}=2p\Rightarrowx_{2})\Rightarrow(y_{1}+y_{2})k_{AB}=2p\Rightarrow4k_{AB}=2p\Rightarrowk_{AB}=\frac{p}{2},老点:抛物线弦中点
【题目】已知线段$A B$的长度为$3$，其两个端点$A$、$B$分别在$x$轴、$y$轴上滑动，点$M$满足$2 \overrightarrow{A M}=\overrightarrow{M B}$. 则点$M$的轨迹方程为?
【解析】设M(x,y),A(a,0),B(0,b),由2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB},有2(x-a,y)=(-x,b-y),得\begin{cases}a=\frac{3x}{2}\\b=3v\end{cases},所以A(\frac{3x}{2},0),B(0,3y),由|AB|=3得:\frac{9x^{2}}{4}+9y^{2}=9,所以点M的轨迹C的方程是\frac{x^{2}}{4}+y2=1
【题目】椭圆$5 x^{2}-k y^{2}=5$的一个焦点是$(0 , 2)$，那么$k$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$:$ x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$，点$P$在$C$上，过点$P$作$l$的垂线交$l$于点$E$，且$\angle P F E=60^{\circ}$，$|P F|=4$，则抛物线$C$的方程为?
【解析】如图作PE\botl,\anglePFE=60^{\circ},由抛物线定义知\trianglePFE是等边三角形,再过焦点F作FM\botPE知M为PE的中点,所以|PM|=|ME|=2,即焦点到准线的距离是p=2,即可求得抛物线方程.抛物线C:x^{2}=2py(p>0),焦点F(0,\frac{p}{2}),准线l:y=-\frac{p}{2}如图,PE\botl,\anglePFE=60^{\circ},|PF|=4,由抛物线定义知|PF|=|PE|=4,故\trianglePFE是等边三角形,过焦点F作FM\botPE,交PE于M,则M为PE的中点,所以|PM|=|ME|=2,即焦点到准线的距离是p=2
【题目】过点$(\sqrt{3} ,-\sqrt{5})$，且与椭圆$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{9}=1$有相同焦点的椭圆的标准方程为?
【解析】所求椭圆与椭圆\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{9}=1的焦点相同,则其焦点在y轴上,半焦距c有c^{2}=25-9=16设它的标准方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),于是得a^{2}-b^{2}=16,又点(\sqrt{3},-\sqrt{5})在所求椭圆上,即\frac{5}{a^{2}}+\frac{3}{b^{2}}=1联立两个方程得\frac{5}{b^{2}+16}+\frac{3}{b^{2}}=1,即(b^{2})^{2}+8b^{2}-48=0,解得b^{2}=4,则a^{2}=20所以所求椭圆的标准方程为\frac{y^{2}}{20}+\frac{x^{2}}{4}=1
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，点$O$是坐标原点，则$|A F| \cdot|B F|$的最小值是?
【解析】设直线AB的倾斜角为\theta,可得|AF|=\frac{2}{1-\cos\theta},|BF|=\frac{2}{1+\cos\theta},计算|AF||BF|=\frac{4}{\sin^{2}\theta}得到答案设直线AB的倾斜角为\theta,可得|AF|=\frac{}{1-}\frac{2}{\cos\theta},|BF|=\frac{2}{1+\cos\theta}则|AF||BF|=\frac{2}{1-\cos\theta}\times\frac{}{1+}\frac{2}{\cos\theta}=\frac{4}{\sin^{2}\theta}\geqslant4,当\theta=\frac{\pi}{2}时等号成立
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点也是双曲线$x^{2}-y^{2}=8$的一个焦点，则$p$=?
【解析】\because双曲线x^{2}-y^{2}=8,\therefore双曲线x^{2}-y^{2}=8的焦点坐标是(4,0)与(-4,0),又抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点(\frac{p}{2},0)也是双曲线x^{2}-y2=8的一个焦点,\therefore\frac{p}{2}=4,p=8,
【题目】已知双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=1$，则点$(2,0)$到$C$的渐近线的距离为?
【解析】双曲线C:x^{2}-y^{2}=1渐近线方程为y=\pmx,根据对称性不妨取渐近线方程为x-y=0,则点(2,0)到渐近线x-y=0的距离为\frac{2}{5}=\sqrt{2}
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1} , y_{1})$, $B(x_{2} , y_{2})$两点，若$|A B|=12$，那么$x_{1}+x_{2}$=?
【解析】
【题目】设抛物线$y^{2}=16 x$上一点$P$到$x$轴的距离为$12$，则点$P$到焦点$F$的距离$|P F|$=?
【解析】由抛物线方程可知2p=16\therefore\frac{p}{2}=4,所以P到准线的距离为16,由定义可知点P与焦点F的距离|PF|=16
【题目】已知$F$是$y^{2}=2 x$的焦点，$A$、$B$是抛物线上的两点，$|A F|+|B F|=3$，则线段$A B$的中点到该抛物线准线的距离为?
【解析】设A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),由焦半径公式求得x_{1}+x_{2},这样可得AB中点的横坐标,再结人、得.F(\frac{1}{2},0),准线x=-\frac{1}{2},设A(x_{1}y_{1})、B(x_{2},y_{2}),|AF|+|BF|=x_{1}+\frac{1}{2}+x_{2}+\frac{1}{2}=x_{1}+x_{2}+1=3\thereforex_{1}+x_{2}=2,则线段AB中点的横坐标为1,线段AB中点到该抛物线准线的距离为\frac{3}{2}
【题目】设$P$为有公共焦点$F_{1}$、$F_{2}$的椭圆$C_{1}$与双曲线$C_{2}$的一个交点，且$P F_{1} \perp P F_{2}$，若椭圆$C_{1}$的离心率为$e_{1}$，双曲线$C_{2}$的离心率为$e_{2}$，则$9 e_{1}^{2}+e_{2}^2$的最小值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}=1(a>0)$的一条渐近线为$y=\sqrt{2} x$，则实数$a$=?
【解析】由双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{2}=1(a>0)可得焦点在x轴上,则一条渐近线方程为y=\frac{\sqrt{2}}{a}x=\sqrt{2}x故a=1睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,按照其定义即可求出结果,较为基础
【题目】直线$x+2 y-2=0$经过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于?
【解析】
【题目】已知点$P$是圆上的一个动点，过点$P$作$P Q \perp x$轴于点$Q$，设$\overrightarrow{O M}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O Q}$，则点$M$的轨迹方程是?
【解析】
【题目】中心在坐标原点，离心率为$\frac{5}{3}$的双曲线的焦点在$y$轴上，则它的渐近线方程为?
【解析】由题意,社区向的中心在坐标原点,离心率为\frac{5}{3},且焦点在y轴上可得\frac{c}{a}=\frac{5}{3},则\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a2+b^{2}}{a^{2}}=\frac{25}{9},整理得\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{16}{9},解得\frac{b}{a}=\frac{4}{3}所以\frac{a}{b}=\frac{3}{4},所以双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{a}{b}x=\pm\frac{3}{4}x.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\frac{5}{4}$，且过点$A(-4 \sqrt{2}, 3)$，则该双曲线的方程为?
【解析】设c=5t(t>0),可得a=4t,则b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=3t,则双曲线的方程可化为\frac{x^{2}}{16t^{2}}-\frac{y^{2}}{9t^{2}}=1将点A的坐标代入双曲线方程可得\frac{32}{16t^{2}}-\frac{9}{9t^{2}}=1,解得t=1.因此,该双曲线的方程为\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】已知椭圆$r$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F(0,1)$，且离心率为$\frac{1}{2}$，三角形$A B C$的三个顶点都在椭圆$r$上，设它的三条边$A B$ , $B C$ , $A C$的中点分别为$D$、$E$、$M$，且三条边所在直线的斜率分别$k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$，且$k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$均不为$0$ . $O$为坐标原点，若直线$O D$ , $O E$ , $O M$的斜率之和为$1$. 则$\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}+\frac{1}{k_{3}}$=?
【解析】
【题目】直线$y=x+1$被曲线$y=\frac{1}{2} x^{2}-1$截得的线段$A B$的长为?
【解析】解方程组\begin{cases}y=x+1\\y=\frac{1}{2}x^{2}-1\end{cases},整理得x^{2}-2x-4=0,解得x=1+\sqrt{5}或x=1-\sqrt{5}\therefore直线y=x+1被曲线y=\frac{1}{2}x^{2}-1截得的交点坐标是A(1+\sqrt{5},2+\sqrt{5}),B(1-\sqrt{5},2-\sqrt{5})\therefore|AB|=\sqrt{(1+\sqrt{5}-1+\sqrt{5})^{2}+(2+\sqrt{5}-2+\sqrt{5})^{2}}=2\sqrt{10}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$，点$A(0,1)$ , $P$为椭圆上一动点，则$|P A|$的最大值为?
【解析】设点P(x,y),则\frac{x^{2}}{4}+\frac{y}{2}设点P(x,y),则\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1,可得x^{2}=4-2y^{2},其中-\sqrt{2}\leqslanty\leqslant\sqrt{2},|PA|=\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}=\sqrt{4-2y^{2}+y^{2}-2y+1}=\sqrt{-y^{2}-2y+5}=\sqrt{-(y+1)^{2}+6}\leqslant\sqrt{6}当且仅当y=-1时,|PA|取得最大值\sqrt{6}.
【题目】已知$A(-2,0)$, $B(2,0)$，斜率为$k$的直线$l$上存在不同的两点$M$、$N$满足$|M A|-|M B|=2 \sqrt{3}$ ,$|N A|-|N B|=2 \sqrt{3}$，且线段$M N$的中点为$(6,1)$，则$k$的值为?
【解析】
【题目】抛物线的焦点为椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为?
【解析】\frac{x2}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1的左焦点为(\sqrt{5},0)\thereforey^{2}=-4\sqrt{5}x
【题目】点$(0,-2)$是椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{m^{2}-2}=1$的一个焦点，则实数$m$的值为?
【解析】依题意,知椭圆的焦点在y轴上,\thereforea^{2}=m^{2}-2,b^{2}=m且m^{2}-2>m>0\thereforec^{2}=a^{2}-b^{2}=m^{2}-2-m=4,解得m=-2(舍)或m=3,\thereforem=3.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$焦点$F$的直线交该抛物线于$A$、$B$两点,且$|A B |=4$, 若原点$O$是$\triangle A B C$的垂心,则点$C$的坐标为?
【解析】显然直线AB的斜率不为0,由题意设直线AB的方程为:x=my+1,设A(x_{1}y_{1}),B(x_{2}y_{2}),联立直线AB与抛物线的方程\begin{cases}x=my+1\\y2=4x\end{cases}整理可得y^{2}\cdot4my\cdot4=0,y_{1}+y_{2}=4m,所以x_{1}+x_{2}=4m^{2}+2,由抛物线的性质可得|AB|=x_{1}+x_{2}+2=4m^{2}+4,由题意可得4m^{2}+4=4,所以m=0,即直线AB垂直于x轴,所以可得A(1,2),B(1,-2)因为原点O是\triangleABC的垂心,所以C在x轴上,设C(a,0),可得AO\botBC,即\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{BC}=0即(1,2)\cdot(1\cdota,-2)=0,整理可得:1\cdota\cdot4=0,解得a=-3,
【题目】抛物线$y^{2}=x$上到直线$x-2 y+4=0$的距离最小的点的坐标是?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F(c, 0)$，过$F$点垂直于$C$的渐近线的直线恰与圆$x^{2}+y^{2}+2 c x=0$相切，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】双曲线C的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x'过点F且与直线y=\frac{b}{a}x垂直的直线的方程为y=-\frac{a}{b}(x-c),即ax+by-bc=0,圆x^{2}+y^{2}+2cx=0的标准方程为(x+c)^{2}+y^{2}=c^{2},圆心为(-c,0),半径为c由题意可知,直线ax+by-ac=0与圆(x+c)^{2}+y^{2}=c^{2}相切,所以,\frac{2ac}{\sqrt{a2+b^{2}}}=2a=c,则该双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=2
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>1)$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的$\odot O$与椭圆$C$交于点$P$，则$S_{\Delta P F_{1} F_{2}}$=?
【解析】直径所对的圆周角为直角,故S_{APF_{1}F_{2}}=b^{2}\tan\frac{\theta}{2}=1\times\tan\frac{\pi}{4}=1
【题目】椭圆$5 x^{2}+k y^{2}=5$的一个焦点是$(0 , 2)$，那么$k$=?
【解析】
【题目】已知曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a \cdot b \neq 0，且a \neq b)$与直线$x+y-1=0$相交于$P$，$Q$两点，且$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O Q}=0$($O$为原点)，则$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=3 x$上有两个点$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$，若直线$A B$的斜率为$2$，且$y_{1}=4$，则$y_{2}$=?
【解析】设直线AB的方程为y=2x+b,A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})联立方程\begin{cases}y=2x+b\\y^{2}=3x\end{cases}得\frac{2}{3}y^{2}-y+b=0所以y_{1}+y_{2}=\frac{3}{2},又y_{1}=4.所以y_{2}=\frac{3}{2}-4=-\frac{5}{2}
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线经过双曲线$x^{2}-y^{2}=1$的左顶点, 则$p$=?
【解析】
【题目】已知椭圆中心在原点，一个焦点为$F(-2 \sqrt{3} , 0)$，且长轴长是短轴长的$2$倍，则该椭圆的标准方程是?
【解析】
【题目】已知直线$y=k x(k \neq 0)$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$交于$A$、$B$两点，以$A B$为直径的圆恰好经过双曲线$C$的右焦点$F$，若$\triangle O A F$的面积为$4 a^{2}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F所以AB为直径的圆的方程为x^{2}+y^{2}=c^{2},圆也过左焦点F_{1}因为AB与F_{1}F相等且平分所以四边形AF_{1}BF为矩形,所以|AF|=|BF_{1}|设|AF|=m,|BF|=n,则|AF|-|BF|=|BF_{1}|-|BF|=m-n=2a,\because\triangleOAF的面积为4a^{2},\therefore\DeltaABF的面积S_{\DeltaABF}=2S_{\DeltaOAF}=\frac{1}{2}m\cdotn=8a^{2},且m^{2}+n^{2}=|AB|^{2}=4c^{2}联立三式:\begin{cases}m-n=2a\\mn=16a^{2}\\m^{2}+n^{2}=4c^{2}\end{cases},得4c^{2}=4a^{2}+32a^{2},\thereforec^{2}=9a^{2},即e=3
【题目】已知过抛物线$y^{2}=4 x$焦点$F$的直线$l$与抛物线相交于$A$、$B$两点，若$|A F|=4$，则$|B F|$=?
【解析】
【题目】双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，则此双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程为$4 x-3 y=0$，则双曲线的离心率为?
【解析】因为双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为4x-3y=0\thereforey=\frac{4}{3}x,\therefore\frac{4}{3}=\frac{b}{a}\thereforee=\frac{5}{3}
【题目】已知双曲线$C$:$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{4}=1$ , $P$是双曲线渐近线上第一象限的一点，$O$为坐标原点，且$|O P|=2 \sqrt{2}$，则点$P$的坐标是?
【解析】首先求出双曲线过第一象限的渐近线方程y=x,利用两点间的距离公式即可求解.双曲线y^{2}-x^{2}=4过第一象限的渐近线方程为y=x,设P(x,x),x>0因为|OP|=2\sqrt{2},所以点P的坐标为(2,
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，第一象限内的$A$、$B$两点都在$C$上，$O$为坐标原点，若$\angle A F O=\angle A F B=\frac{\pi}{3}$，且$\triangle A F B$的面积为$3 \sqrt{3}$，则点$A$的坐标为?
【解析】
【题目】双曲线的一个焦点为$(0,5)$，其渐近线方程为$y=\pm \frac{4}{3} x$，则双曲线的标准方程为?
【解析】由题:双曲线的一个焦点为(0,5),其渐近线方程为y=\pm\frac{4}{3}x所以焦点在y轴上,设标准方程为\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,(a>0,b>0),且\frac{a}{b}=\frac{4}{3},a^{2}+b^{2}=25,解得:a=4,b=3.所以双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1
【题目】双曲线过点$(4, \sqrt{3})$ ,$(3, \frac{\sqrt{5}}{2})$, 则双曲线的标准方程为?
【解析】因为双曲线的焦点位置未知,故可设双曲线的方程为\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1,mn>0^{,}把两个已知点代入求解即可得解.因为双曲线的焦点位置未知,故设双曲线的方程为\frac{x2}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1,mn>0,将两点坐标代入,得\begin{cases}\frac{16}{m}-\frac{3}{n}=1\\\frac{9}{m}-\frac{5}{4n}=1\end{cases}解得\begin{cases}m=4\\n=1\end{cases},所以双曲线标准方程为\frac{x^{2}}{4}-y2=1
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，点$P(x0, y0)$为该抛物线上的动点, 又已知点$A(-2,0)$,则$\frac{|P A|}{|P F|}$的取值范围是?
【解析】过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,则PF_{1}=|PM|,根据抛物线的对称性,只考虑点P(x,y)在x轴上方的情况.\because抛物线y^{2}=8x的焦点为F(2,0),点A(-2,0)\therefore\frac{|PA|}{|PF|}=\frac{1}{\sin\angleMAP}设过A抛物线的切线方程为y=k(x+2),代入抛物线方程可得k^{2}x^{2}+(4k^{2}-8)x+4k^{2}=0,\therefore\triangle=(4k^{2}-8)^{2}-16k^{4}=0,\thereforek=\pm1,易知:\angleMAP\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]\therefore\frac{1}{\sin(M-AP}\in[1,\sqrt{2}
【题目】已知圆$O$:$x^{2}+y^{2}=1$和点$A(-2,0)$，若顶点$B(b, 0)  (b \neq-2)$和常数$\lambda$满足：对圆$O$上任意一点$M$，都有$|M B|=\lambda|M A|$，则$\lambda-b$=?
【解析】设M(x,y),|MB|=\lambda|MA|,(x-b)^{2}+y^{2}=2^{2}(x+2)^{2}+\lambda^{2}y2,任取(1,0),(-1,0)代入上式,可得(1-b)^{2}=z(1+2)^{2},(-1-b)^{2}=\lambda^{2}(-1+2)^{2}解得b=-\frac{1}{2},\lambda=\frac{1}{2},\lambda-b=1.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$的一条弦被点$A(4,2)$平分，那么这条弦所在的直线方程是?
【解析】由点差法得\frac{x_{中}}{36}+\frac{y_{中}k弦}{9}=0\Rightarrow\frac{4}{36}+\frac{2k_{3}}{9}=0\Rightarrowk_{弦}=-\frac{1}{2},因此这条弦所在的直线方程为y-2=-\frac{1}{2}(x-4)\Rightarrowx+2y-8=0
【题目】连接抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$与点$M(0,1)$所得的线段与抛物线交于点$A$，设点$O$为坐标原点，则$\triangle O A M$的面积为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点F为(1,0),则直线MF的方程为:x+y=1联立\begin{cases}x+y=1\\v2=4x\end{cases}得x^{2}-6x+1=0,解得x=3+2\sqrt{2}(舍)或x=3-2\sqrt{2}所以\triangleOAM的面积s=\frac{1}{2}\times|OM|\times(3-2\sqrt{2})=\frac{3}{2}-\sqrt{2},
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的渐近线与圆$(x-a)^{2}+y^{2}=4$相切，则$a$=?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$经过点$(2,1)$，则$p$=?
【解析】将点代入抛物线即可求解由题:抛物线y^{2}=2px(p>0)经过点(2,1)所以1=4p,即p=\frac{1}{4}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$左焦点为$F_{1}$，右顶点为$A$，以$F_{1} A$为直径的圆与椭圆有三个公共点，则椭圆离心率的取值范围为?
【解析】设公共点M(x_{0},y_{0}),N(x_{0},-y_{0}),则\cdot\frac{y_{0}}{x_{0}-a}=-1,(x_{0}+c)(x_{0}-a)+y_{0}^{2}=0,\frac{x_{0}+c\cdotx_{0}-a}{\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1\Rightarrowx_{0}^{2}+(c-a)x_{0}-ac+b^{2}-\frac{b^{2}x_{0}^{2}}{a^{2}}=0即\frac{c^{2}}{a^{2}}x_{0}^{2}+(c-a)x_{0}-ac+b^{2}=0,则方程\frac{c^{2}}{a^{2}}x^{2}+(c-a)x-ac+b^{2}=0的两根为x_{0},a故ax_{0}=\frac{b^{2}-ac}{c^{2}}\Rightarrowx_{0}=\frac{a(b^{2}-ac)}{c^{2}}<a\Rightarrowb^{2}-ac<c^{2}化为2e^{2}+e-1>0\Rightarrow\frac{1}{2}<e<1
【题目】已知直线$y=k x-1$与双曲线$x^{2}-y^{2}=4$的左、右支各有一个公共点，则$k$的取值范围是?
【解析】由\begin{cases}y=kx-1\\x^{2}-y^{2}=4\end{cases}\Rightarrow(1-k^{2})x^{2}+2kx-5=0,依题意有\begin{cases}1-k^{2}\neq0\\\end{cases}\frac{-5}{1-k^{2}}<0\Rightarrow-1<k<1.
【题目】若点$A$的坐标为$(3,2)$, $F$为抛物线$y^{2}=2 x$的焦点，点$P$在该抛物线上移动，为使得$|PA|+|P F|$取得最小值，则点$P$的坐标为?
【解析】抛物线的准线方程为x=-\frac{1}{2},过点P作准线的垂线且垂足为B,由抛物线定义可得|PF|=|PB|.则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|\geqslant|AB|=4,当且仅当P、A、B三点共线时等号成立,此时点P(2,2)
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{a}=1$的右焦点为$(\sqrt{13}, 0)$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】因为双曲线\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{a}=1的右焦点为(\sqrt{13},0)所以可得c=\sqrt{13},9+a=13,所以a=4,所以双曲线渐近线方程y=\pm\frac{2}{3}x,
【题目】已知圆$M$:$(x+1)^{2}+y^{2}=1$，圆$N$:$(x-1)^{2}+y^{2}=9$，动圆$P$与圆$M$外切并且与圆$N$内切，圆心$P$的轨迹为曲线$C$，则曲线$C$的方程为?
【解析】由圆M:(x+1)^{2}+y^{2}=1,圆N:(x-1)^{2}+y^{2}=9得到M(-1,0),半径r_{1}=1,N(1,0),半径r_{2}=3,设动圆P的半径为R,\because圆M在圆N内,\therefore动圆只能在N内与圆N内切,不能是N在动圆内,即R<3,\because动圆P与圆M外切,\thereforePM=1+R,\because动圆P与圆N内切,\thereforePN=3-R\thereforePM+PN=4,即P到M和P到N的距离之和为定值,\thereforeP是以M、N为焦点的椭圆,且a=2,c=1,所以b=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.\therefore动圆圆心P的轨迹方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=又圆N过点(-2,0),椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1也过点(-2,0),而点P显然不在圆N上,所以所求轨迹方程为:\frac{x^{2}}{4}+\frac{4}{3}=1(x\neq-2)
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上一点$P$到点$A(3,4 \sqrt{2})$与到准线的距离和最小，则点$P$的坐标为?
【解析】由题知F(1,0),如图,连接PF,由抛物线的定义得点P到准线的距离等于|PF|,即|PP||=|PF|所以|PP'|+|PA|=|PF|+|PA|\geqslant|AF|,当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立,此时点P在P_{1}点的位置.此时直线AF的方程为y=\frac{4\sqrt{2}-0}{3-1}(x-1)'即y=2\sqrt{2}x-2\sqrt{2},所以联立方程\begin{cases}y=2\sqrt{2}x-2\sqrt{2}\\v2=4x\end{cases}得2x^{2}-5x+2=0,解得x=2或x=\frac{1}{2}根据题意得x_{P_{1}}>1,所以x=2,y=2\sqrt{2},所以点P的坐标为(2,2\sqrt{2}).
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上一点$Q$到点$B(4,1)$与到焦点$F$的距离和最小，则点$Q$的坐标是?
【解析】由抛物线定义可得,点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小即为点B到准线的距离,由此可求出点Q的坐标.由抛物线定义得QF=QM\thereforeQB+QF=QB+QM由图可知,当M,Q,B共线,即BM垂直准线时,QB+QM取得最小值此时y_{Q}=1,代入抛物线可求得x_{Q}=\frac{1}{4},即Q(\frac{1}{4},1)

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【题目】若过点$M(2,0)$且斜率为$\sqrt{3}$的直线与抛物线$C$: $y^{2}=a x(a>0)$的准线$l$相交于点$B$，与$C$的一个交点为$A$，若$\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{M A}$，则$a$=?
【解析】抛物线C:y^{2}=ax(a>0)的准线方程为l:x=-\frac{a}{4}过点M(2,0)且斜率为\sqrt{3}的直线方程为y=\sqrt{3}(x-2).联立方程组\begin{cases}y=\sqrt{3}(x-2)\\x=-\frac{a}{4}\end{cases}解得,交点B坐标为_{(-\frac{a}{4}},\frac{-\sqrt{3}(a+8)}{4})'设A点坐标为(x_{0},y_{0}),因为\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MA},所以点M为线段AB的中点,,解得A(4+\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}(a+8)}{4})将_{A(4}+\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}(a+8)}{4}一=0代入抛物线方程,即(\frac{\sqrt{3}(a+8)}{4})=a(4+\frac{a}{4})因为a>0,解得a=8.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过右焦点$F_{2}$且倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线$l$与该双曲线交于$M$、$N$两点 (点$M$位于第一象限)，$\Delta M F_{1} F_{2}$的内切圆半径为$R_{1}$ ,$ \Delta N F_{1} F_{2}$的内切圆半径为$R_{2}$，则$\frac{R_{1}}{R_{2}}$为?
【解析】
【题目】若双曲线$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0 , b>0)$的顶点到渐近线的距离为$\frac{b}{2}$，则$\frac{b^{2}+1}{\sqrt{3} a}$的最小值?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{3 m}+\frac{y^{2}}{2 m+1}=1$的焦点在$y$轴上，则实数$m$的取值范围是?
【解析】由题意,a^{2}=2m+1,b^{2}=3m\therefore\begin{cases}2m+1>0\\3m>0\\2m+1>3m\end{cases}解得:0<m<1则实数m的取值范围是0<m<1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0, a \neq b)$的左右焦点分别为$F_{1}$, $F_{2}$, 过 $F_{2}$作渐近线的垂线，垂足为$P$，且$\tan \angle P F_{1} F_{2}=\frac{1}{3}$，则双曲线的离心率为?
【解析】设\anglePF_{1}F_{2}=\alpha,过点P向x轴作垂线,垂足为E,可得\trianglePOE与\triangleF_{2}OP相似,|PF_{2}|=b,|OP|=a,|OF_{2}|=c,|PE|=\frac{|OP||PF_{2}|}{|OF_{2}|}即|PE|=\frac{ab}{c},\frac{|OE|}{|PF_{2}|}=\frac{|OP|}{|OF_{2}|},所以|OE|=\frac{a^{2}}{c},则\tan\alpha=\frac{1}{3}=\frac{|PE|}{|F_{1}E|}=\frac{|PE|}{|F_{1}O|+|OE|}=\frac{\frac{ab}{c}}{c+\frac{a^{2}}{c}},且a\neqb,所以2a^{2}-3ab+b^{2}=0,\thereforeb=2a或b=a(舍)所以c^{2}-a^{2}=4a^{2},\thereforee=\sqrt{5}.
【题目】焦距为$2$，短轴长为$4$，且焦点在$x$轴上的椭圆的标准方程为?
【解析】因为椭圆的焦距为2,短轴长为4,所以c=1,b=2,因此a^{2}=b^{2}+c^{2}=5.又该椭圆的焦点在x轴上所以该椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，若该椭圆上存在一点$P$使得$\angle F_{1} PF_{2}=60^{\circ}$，则椭圆离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】双曲线$8 k x^{2}-k y^{2}=8$的一个焦点是$(0 , 3)$，那么$k$的值为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=a x(a>0)$上的点$P(\frac{3}{2}, y_{0})$到焦点$F$的距离为$2$，则$a$=?
【解析】\because抛物线y^{2}=ax(a>0)上一点P(\frac{3}{2},y)到焦点F的距离为2,\therefore该点到准线的距离为2,抛物线的准线方程为x=-\frac{a}{4},\therefore\frac{3}{2}+\frac{a}{4}=2,求得a=2,
【题目】已知$M$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的两个焦点，$I$是$\Delta M F_{1} F_{2}$的内心，延长$MI$交$F_{1} F_{2}$于$N$，则$\frac{|MI|}{|NI|}$等于?
【解析】
【题目】直线$y=k(x-2)+4$与曲线$y=1+\sqrt{4-x^{2}}$仅有一个公共点，则实数$k$的取值范围是?
【解析】如图,由题知曲线y=1+\sqrt{4-x^{2}}即x^{2}+(y-1)^{2}=4,表示以(0,1)为圆心,2为半径的半圆,该半圆位于直线y=1上方直线y=k(x-2)+4恒过点(2,4)因为直线与曲线只有一个交点,由圆心到直线的距离等于半径得\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+k^{2}}}=2,解得k=\frac{5}{12},由图,当直线经过点(-2,1)时,\frac{1+k^{2}}{直线的斜率为\frac{4-1}{2-(-2)}}=\frac{3}{4}当直线经过点(2,1)时,直线的斜率不存在,综上,实数k的取值范围是k=\frac{5}{12},或k>\frac{3}{4}
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的顶点为$O$，经过抛物线$C$的焦点且垂直于$x$轴的直线和抛物线$C$交于$A$、$B$两点，则$|\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}|$=?
【解析】由抛物线C:y^{2}=4x的焦点为(1,0),经过抛物线C的焦点且垂直与x的直线和抛物线C交于A,B两点.则A(1,2),B(1,-2)\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(2,0),所以|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=2
【题目】在直线$l$: $x-y+9=0$上一点$M$, 过$M$作以$F_{1}(-3,0)$, $F_{2}(3,0)$为焦点的椭圆，则当$|M F_{1}|+|M F_{2}|$最小时，椭圆的标准方程为?
【解析】
【题目】已知焦距为$2$的椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，椭圆$C$上的动点$P$到一个焦点的最远距离等于$3$.现有一条直线$l$过点$Q(1 , 1)$与椭圆$C$相交于$A$、$B$两点，且点$Q$恰为$A B$的中点，则$\Delta A O B$的面积为?
【解析】椭圆C上的点P到一个焦点的最远距离等于3;则\begin{cases}2c=2\\a+c=3\end{cases},解得\begin{cases}a=2\\c=1\end{cases}所以b^{2}=a^{2}-c^{2}=4-1=3'所以椭圆C的方程为:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则\frac{x_{1}2}{4}+\frac{y_{1}^{2}}{3}=1\textcircled{1},:C_{2}^{2}+\frac{y_{2}2}{3}=1\textcircled{2},\textcircled{1}-\textcircled{2}得:\frac{x_{1}2-x_{2}}{4}即\underline{(x_{1}-x}x_{1}+x因为x_{1}+x_{2}=2,y_{1}+y_{2}=2,所以\frac{2(x_{1}-x_{2})}{4}+\frac{2(y_{1}-y_{2})}{3}=0所以直线l的斜率为\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{3}{4},所以直线l的方程为y-1=-\frac{3}{4}(x-1),即3x+4y-7=0由\begin{cases}\frac{x2}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\\3x+4y-7=\end{cases}可得:21x^{2}-42x+1=07=0所以x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=所以弦长|AB|=\sqrt{1+(}-\frac{3}{4}^{2}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{1+(-\frac{3}{4})^{2}}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\frac{1}{1+\frac{9}{16})(4-4x\frac{1}{21})}=\frac{5}{4}\times\sqrt{\frac{80}{21}}=\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{21}},原点O(0,0)到直线3x+4y-7=0距离d=\frac{|-7|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{7}{5},所以\triangleAOB的面积为\frac{1}{2}\times|AB|\timesd=\frac{1}{2}\times\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{21}}\times\frac{7}{5}=\frac{\sqrt{105}}{6}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率等于$\frac{1}{3}$，则实数$m$=?
【解析】讨论椭圆焦点的位置,分两种情况求椭圆的离心率,再求实数m的值当椭圆的焦点在x轴时,a^{2}=m,b^{2}=9,c^{2}=m-9,所以\frac{m-9}{m}=\frac{1}{9},解得:m=\frac{81}{8}当椭圆的焦点在y轴时,a^{2}=9,b^{2}=m'c^{2}=9-m所以\frac{9-m}{9}=\frac{1}{9},解得:m=8
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，椭圆上一点$M$满足$\angle M F_{1} F_{2}=30^{\circ}$ , $\angle M F_{2} F_{1}=105^{\circ}$，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】过点$P(1,0)$的直线与抛物线$y^{2}=4 x$相交于$A$、$B$两点，$|A P|=2$，则直线$A B$的方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线的顶点为原点，焦点$F(1 , 0)$，过点$F$的直线与抛物线交于$A$、$B$两点，且 $|A B|=4$，则线段$A B$的中点$M$到直线$x=-2$的距离为?
【解析】依题意可得抛物线的准线方程为直线x=-1,设A,B到直线x=-1的距离分别为d_{1},d_{2}由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=4\therefore线段AB的中点M到直线x=-2的距离为\frac{d_{1}+d_{2}}{2}+1=3
【题目】若抛物线$y^{2}=4 x$上一点$M$到焦点$F$的距离为$4$，则$M$点的横坐标为?
【解析】根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,列关系即得结果易见,抛物线y^{2}=4x的准线方程为x=-1,设M(x_{0},y_{0}),则M到准线的距离为x_{0}+1,等于M到焦点F的距离为4,即x_{0}+1=4,故x_{0}=3,即M点的横坐标为3.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与直线$2 x+y+3=0$平行，则该双曲线的离心率为?
【解析】由双曲线的一条渐近线与直线2x+y+3=0平行,求得\frac{b}{a}=2,进而求得双曲线的离心率,得到各案由题意,双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x因为双曲线的一条渐近线与直线2x+y+3=0平行,可得-\frac{b}{a}=-2,即\frac{b}{a}=2,则e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{5}
【题目】设双曲线$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1(a>0)$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为该双曲线上的一点，若$|P F_{2}|=2$，且$\sin \angle P F_{2} F_{1}=\lambda \sin \angle P F_{1} F_{2}$，则$\lambda$=?
【解析】先利用双曲线的定义求出|PF_{1}|=8,再利用正弦定理可得答案因为双曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1(a>0),所以双曲线的焦点在y轴上,可得实轴的长2a=2\times3=6因为P为该双曲线上的一点,所以||PF_{1}|-|PF_{2}||=6,又因为|PF_{2}|=2,所以|PF_{1}|=8或|PF_{1}|=-4(舍去)设三角形PF_{2}F_{1}外接圆半径为R,因为\sin\anglePF_{2}F_{1}=\lambda\sin\anglePF_{1}F_{2},所以由正弦定理可得\frac{|PF_{1}|}{2R}=\lambda\frac{|PF_{2}|}{2R}\Rightarrow\lambda=\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|}=\frac{8}{2}=4,
【题目】过点$M(-2,1)$作斜率为$\frac{1}{2}$的直线与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$相交于$A$、$B$两个不同点，若$M$是$A B$的中点，则该椭圆的离心率$e$=?
【解析】设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),则\begin{cases}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{cases}\frac{2}{2}=2,由已知可得k_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{1}{2}由题意可得\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\\frac{x^{2}}{\frac{y}{2}+\frac{y^{2}}{2}}=1\end{cases},将两个等式相减得\frac{x^{2}-x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}-y^{2}}{b^{2}}=0所以,\frac{b^{2}}{a^{2}}=-\frac{y_{2}}{x_{2}^{2}-x_{2}^{2}}=-\frac{(y-y_{2})(y_{1}+y_{2})}{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}=\frac{1}{4},
【题目】若双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm 2 x$，且经过点$(2,2 \sqrt{2})$，则$C$的标准方程为?
【解析】由渐近线可知双曲线为4x^{2}-y^{2}=m,代入点(2,2\sqrt{2})得m=8\therefore4x^{2}-y^{2}=8\therefore\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1\thereforea=\sqrt{2},b=2\sqrt{2},c=\sqrt{10},准线为x=\pm\frac{a^{2}}{c}=\pm\frac{2}{\sqrt{10}}=\pm\frac{\sqrt{10}}{5}
【题目】若抛物线${y}^{2}=2 x$上的一点$M$到坐标原点$O$的距离为$\sqrt{3}$, 则点$M$到该抛物线焦点的距离为?
【解析】设点M(\frac{y^{2}}{2},y),\because|MO|=\sqrt{3}\frac{y^{2}}{2}-0)^{2}+(y-0)^{2}=3:y^{2}=2或y^{2}=-6(舍去),\thereforex=\frac{y^{2}}{2}=1\thereforeM到抛物线y^{2}=2x的准线x=\frac{1}{2}的距离d=1-(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}\because点M到抛物线焦点的距离等于点M到抛物线y^{2}=2x的准线的距离\therefore点M到该抛物线焦点的距离为\frac{3}{3}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点，若点$P$在双曲线上，且$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$，则$|\overrightarrow{P F_{1}}+\overrightarrow{P F_{2}}|$=?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$. 过$F_{1}$作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点$P$，若$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{4}$，则双曲线的离心率为?
【解析】如下图,PF_{1}垂直一条渐近线,则k_{PF_{1}}=\frac{a}{b}.过F_{2}作F_{2}A\botPF_{1},古[\frac{1AF_{2}}{1AF}]=\frac{a}{b},又|AF_{2}|+|AF_{1}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2},\therefore|AF_{2}|=2a,|AF|=2b,又在Rt\trianglePAF_{2}中\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{4},故|PA|=|AF_{2}|=2a.|PF_{2}|=2\sqrt{2}a,由双曲线定义知:|PF_{1}|-|PF_{2}|=2b+2a-2\sqrt{2}a=2a,则b=\sqrt{2}a.\overset-e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{3}
【题目】已知$F$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点，$A$为椭圆$C$的左顶点，$P$是椭圆$C$上一点，且$P F$垂直于$x$轴，若直线$P A$的倾斜角为$30^{\circ}$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】由题意由于PF\botx轴,F是焦点,P在椭圆上,令x=c,得\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,解得y=\frac{b^{2}}{a}(负的舍去,P在第一象限)所以|PF|=\frac{b^{2}}{a}又|AF|=a+c,\anglePAF=30^{\circ},所以\frac{b^{2}}{a}=(a+c)\tan30^{\circ}\sqrt{3}b^{2}=a(a+c),3b^{4}=a^{2}(a+c)^{2},即3(a^{2}-c^{2})^{2}=a^{2}(a+c)^{2},3(a-c)^{2}=a^{2}3(1-e)^{2}=1,e=1-\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】与双曲线$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$有共同的渐近线，且经过点$A(-3 , 2\sqrt {3})$的双曲线的一个焦点到一条
渐近线的距离是?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，焦距为$2 \sqrt{3}$，则椭圆的方程为?
【解析】根据题意求出a、b的值,即可得出椭圆C的方程.设椭圆C的半焦距为c(c>0),则2c=2\sqrt{3}\Rightarrowc=\sqrt{3}椭圆C的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},可得a=2,\thereforeb=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=1因此,椭圆C的方程为\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的弦$A B$被点$P(1,1)$平分，则$A B$所在的直线方程为?
【解析】设直线与椭圆的交点为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})\because(1,1)为AB的中点,\thereforex_{1}+x_{2}=2,y_{1}+y_{2}=2\becauseA,B两点在椭圆上,则于式相减得\underline{(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}则\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{2}}=-\frac{3(x_{1}^{4}+x_{2})}{4(y_{1}+y_{2})}=-\frac{3}{4};故所求直线的方程为y-1=-\frac{3}{4}(x-1),即3x+4y-7=0
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{10-m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1$，长轴在$y$轴上.若焦距为$2 \sqrt{2}$，则$m$等于?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，斜率为$-1$的直线$l$与$C$的交点为$M$、$N$，若$|M F|+|N F|=8$，则$l$的方程为?
【解析】]设出直线l的方程与抛物线方程联立.也物线的定义进行求解即可.抛物线C:y^{2}=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.因为斜率为-1的直线l与C的交点为M,N所以设直线l的方程为y=-x+m,所以有\begin{cases}y2=4x\\y=-x+m\end{cases}\Rightarrowx^{2}-(2m+4)x+m^{2}=0,设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})因此有x_{1}+x_{2}=2m+4,由|MF|+|NF|=8\Rightarrowx_{1}-(-1)+x_{2}-(-1)=8\Rightarrow2m+4=6\Rightarrowm=1所以直线l的方程为v=-x+1\Rightarrowx+y-1=0
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=8 y$，焦点为$F$，过$F$的直线$l$交$C$于$A$、$B$两点，分别作抛物线$C$在$A$、$B$处的切线，且两切线交于点$P$，则点$P$的轨迹方程为?
【解析】\becausex^{2}=8y\thereforeF(0,2),由题意知:直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx+2,A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2})联立:\begin{cases}x^{2}=8y\\y=kx+2\end{cases},得:x2-8kx-16=0,x_{1}+x_{2}=8k,x_{1}x_{2}=-16,又\becausey=\frac{1}{4}x,\therefore过A,B的切线的斜率分别为:\frac{1}{4}x_{1},\frac{1}{4}x_{2}故过点A和点B的切线方程为:y-y_{1}=\frac{4}{4}x_{1}(x-x_{1}),y-y_{2}=\frac{1}{4}x_{2}(x-x_{2}),立:\begin{cases}y-y_{1}=\frac{1}{4}x_{1}(x-x)\\y-y_{2}=\frac{1}{4}x_{2}x-x_{2}\end{cases}.y_{1}=\frac{1}{8}x_{1}^{2}解得:x=\frac{y_{2}}{1x}=\frac{1}{2},\frac{x_{1}}{4}(\frac{x_{2}}{2}x_{1})+\frac{x_{1}}{8}=\frac{x_{x}_{2}}{8}=\frac{-16}{8}=-2
【题目】若曲线$2 x=\sqrt{4+y^{2}}$与直线$y=m(x+1)$有公共点，则实数$m$的取值范围是?
【解析】由曲线2x=\sqrt{4+y^{2}},整理得x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1(x>0)表示以(\sqrt{5},0)为焦点的双曲线的右支部分,利用直线y=m(x+1)与双曲线的渐近线的关系求解.如图,曲线2x=\sqrt{4+y^{2}},即为x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1(x>0),表示以(\sqrt{5},0)为焦点的双曲线的右支部分,此时该双曲线的渐近线为y=-2x与y=2x因为y=m(x+1)过定点(-1,0),要使直线y=m(x+1)与双曲线右支有交点,则该直线的斜率一定在两渐近线之间,则-2<m<2
【题目】设双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的渐近线与抛物线$y=x^{2}+1$仅有两个交点，则该双曲线的离心率为?
【解析】由双曲线的渐近线的对称性,求得双曲线的一条渐近线方程,与抛物线方程联立消去y,进而根据判别式等于0,即为b=2a,进而根据c=\sqrt{a^{2}+b^{2}},运用e=\frac{c}{a},即可得到所求离心率[详解]双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=\frac{b}{a}x由方程组\begin{cases}y=\frac{b}{a}x\\v=1+x2\end{cases},消去y,得x^{2}-\frac{b}{a}x+1=0有唯一解所以_{\triangle}=(\frac{b}{a})^{2}-4=0'所以\frac{b}{a}=2^{n}=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}同理双曲线的另一条渐近线与抛物线也相切,可得e=\sqrt{5}
【题目】已知$F_{1}(-c , 0)$, $F_{2}(c , 0)$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的两个焦点，$P$为椭圆上一点且$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=c^{2}$，则此椭圆离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】直线$l$过点$P(1,1)$与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A$、$B$两点，若$P$恰为线段$A B$的中点，则直线$l$的斜率为?
【解析】根据题意,利用抛物线的中点弦的“点差法”,即可求解.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),可得\begin{cases}y_{1}=4x\\y_{2}^{2}=4\end{cases}2.两式相减得y_{1}^{2}-y_{2}2=4(x_{1}-即(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=4(x_{1}-x_{2}),可得\frac{y_{1}-}{x_{1}}即(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=4(x_{1}-x_{2}),可得\frac{1}{x_{1}}-x_{2}=\frac{4}{y_{1}}+y_{2}^{2},因为点P(1,1)是AB的中点,所以y_{1}+y_{2}=2,可得\frac{y_{2}}{x_{1}}=2\frac{y_{2}}{x_{2}}=\overline{y}所以直线l的斜率为k=2.
【题目】已知两点$A(-2,0)$, $B(0,2)$, 点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上任意一点，则点$P$到直线$AB$距离的最大值是?
【解析】
【题目】已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，其中一个焦点坐标为$F(2,0)$，椭圆被直线$l$: $y=x+3$所截得的弦的中点横坐标为$-2$，则此椭圆的标准方程为?
【解析】设椭圆方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),由\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\y=x+3\end{cases},得(a^{2}+b^{2})x^{2}+6a^{2x+9a}-a^{2}b^{2}=0所以x_{1}+x_{2}=-\frac{6a2}{a^{2}+b^{2}},由题意-\frac{6a2}{a^{2}+b^{2}}=-2\times2,a^{2}=2b^{2}又c=2,所以a^{2}-b^{2}=b^{2}=c^{2}=4,a^{2}=8,椭圆方程为\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1.
【题目】设实数$a$, $b$满足$0 \leq a$, $b \leq 8$，且$b^{2}=16+a^{2}$，则$b-a$的最大值为?
【解析】b^{2}=16+a^{2},即为\frac{b^{2}}{16}-\frac{a^{2}}{16}=1,也就是\frac{b^{2}}{16}-\frac{a^{2}}{16}=1分别以a,b轴为横轴和纵轴,那么方程所表示的曲线为焦点在纵轴上的双曲线位于第一象限的部分双曲线弧,(包括纵轴上的点)该弧与纵轴的交点为(0,4),设目标函数b-a=t,平移直线b-a=0,当经过点(0,4)时,t值最大,即当目标函数经过点(0,4),t的值最大.即t=b-a=4-0=4,故b-a的最大值为4,
【题目】若椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$的右焦点为$F$，且与直线$l$: $x-\sqrt{3} y+2=0$交于$P$、$Q$两点，则$\triangle P Q F$的周长为?
【解析】求出左焦点坐标,利用直线经过椭圆的左焦点,结合椭圆的定义求三角形的周长即可.由题得椭圆C的左焦点F(-2,0)所以直线l:x-\sqrt{3}y+2=0经过左焦点F.\therefore\DeltaPQF的周长|PQ|+|PF|+|QF|=|PF|+|PF|+|QF|+|QF|=4a=8\sqrt{2}
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左焦点且垂直于$x$轴的直线与双曲线相交于$M$$N$两 点，以$MN$为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于?
【解析】
【题目】已知$M(x_{0}, y_{0})$是抛物线$y^{2}=4 x$上一点，$F$是抛物线的焦点，若点$P(-1,0)$满足$\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{M P}<0$，则$x_{0}$的取值范围是?
【解析】
【题目】经过点$M(1 , 1)$作直线$l$交椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$于$A$、$B$两点，且$M$为$AB$的中点，则直线$l$方程为?
【解析】
【题目】设$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$上一点，双曲线的一条渐近线方程为$3 x-2 y=0$ , $F_{1}$, $F_{2}$分别是双曲线的左、右焦点，若$|P F_{1}|=3$，则$|P F_{2}|$=?
【解析】由题意,点P是双曲线\frac{x^{2}}{a2}-\frac{y^{2}}{9}=1上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0可得\frac{3}{a}=\frac{3}{2},解得a=2,则c=\sqrt{13},又由F_{1},F_{2}分别是双曲线的左、右焦点,由PF_{1}=3,可得点P在双曲线的左支上根据双曲线的定义,可得PF_{2}=2a+|PF_{1}|=2\times2+3=7.
【题目】已知双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的一条渐近线的方程为$y=2 x$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=m x$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右顶点重合，则实数$m$的值为?
【解析】由题设,抛物线焦点为(\frac{m}{4},0),而双曲线的右顶点为(2,0),所以\frac{m}{4}=2,即m=8.
【题目】双曲线的渐近线方程为$3 x \pm 4 y=0$，焦点坐标为$(\pm 5,0)$，则双曲线的方程为?
【解析】\because双曲线的渐近线方程为3x\pm4y=0可得3a=4b,b=\frac{3}{4}a\begin{cases}b=\frac{3}{4}a\\a^{2}+b^{2}=c^{2}\end{cases}解得\begin{cases}a^{2}=16\\b^{2}=9\end{cases}双曲线的方程为\frac{x2}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1
【题目】已知抛物线$E$: $y^{2}=4 x$，直线$l$: $y=k(x-1)(k>0)$，直线$l$与抛物线$E$相交于$A$、$B$两点，且$A B$的延长线交抛物线$E$的准线于$C$点，$S_{\triangle  O A B}=S_{\triangle O B C}$(其中$O$为坐标原点) 则$k$=?
【解析】由S_{AOAB}=S_{AOBC}得B为AC中点,所以B(x_{1},y_{1}),x_{2}=2x_{1}+1,y_{1}<0由y^{2}=4x,y=k(x-1)得k^{2}x^{2}-(4+2k)x+k^{2}=0\thereforex_{1}x_{2}=1\thereforex_{1}(2x_{1}+1)=1\thereforex_{1}=\frac{1}{2}\thereforey_{1}=-\sqrt{2},k=\frac{-\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}
【题目】过抛物线$y^{2}=2 x$焦点$F$的直线与该抛物线交于$A$、$B$两点，再过点$F$作线段$A B$的垂线，交抛物线的准线于点$G$，若$|F G|=\frac{3}{2}$，$O$为坐标原点，则$S_{\Delta A O B}$=?
【解析】由抛物线的性质可得|FG|=\frac{1}{2}|y_{A}-y_{B}|,可得|y_{A}-y_{B}|的值,代入可得S_{AAOB}的值由题意过抛物线y^{2}=2x焦点F的直线与该抛物线交于A,B两点,再过点F作线段AB的垂线交抛物线的准线于点G,可得p=1,F(\frac{1}{2},0).|FG|=\frac{1}{2}|y_{A}-y_{B}|,其中|FG|=\frac{3}{2},可得|y_{A}-y_{B}|=3可得S_{AAOB}=\frac{1}{2}\times|OF|\times|y_{A}-y_{B}|=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times3=\frac{3}{4}
【题目】已知直线$l$: $y=m x-4$和抛物线$C$: $y^{2}=8 x$，若$l$与$C$有且只有一个公共点，则实数$m$的值为?
【解析】当斜率m=0时,直线l:y=mx-4平行于x轴,与抛物线y^{2}=8x仅有一个公共点.当斜率不等于0时,把y=mx-4代入抛物线y^{2}=8x得m^{2}x^{2}+(-8m-8)x+16=0由题意可得,此方程有唯一解,故判别式A=(-8m-8)^{2}-4\times16m^{2}=0,\thereforem=-\frac{1}{2}
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$P$到一个焦点的距离为$\frac{3}{2}$，则点$P$到另一焦点的距离为?
【解析】由椭圆方程,得a=3,|PF_{1}|+|PF_{2}|=6,由|PF_{1}|=\frac{3}{2},则|PF_{2}|=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1$的焦点在$y$轴上，则$m$的取值范围是?
【解析】\because椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{m}=1的焦点在y轴上,又根据椭圆的标准方程,\thereforem>4
【题目】已知动圆$C$经过点$F(0,1)$，且与直线$y=-1$相切. 若直线$3 x-4 y+20=0$与圆$C$有公共点，则圆$C$的面积的最小值为?
【解析】由已知圆心C的轨迹是以F为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,其方程为x^{2}=4y,因为直线3x-4y+20=0与圆C有公共点,所以\frac{|3a-4b+20|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}\leqslantr=\frac{a^{2}}{4}+1,因为圆C与直线y=-1相切,因此要使得圆半径最小,C(a,b)与O(0,0)需同在不等式3x-4y+20>0表示的平面区域内,由此得\frac{-a^{2}+3a+20}{5}\leqslant\frac{a^{2}}{4}+1,解得a\leqslant-2或a\geqslant\frac{10}{3}a=-2时,b=1,r=2;a=\frac{10}{3}时,r>2,不合题意,所以圆面积的最小值是S=\pi\times2^{2}=4\pi
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$的直线$l$(斜率$k>0$)与抛物线交于$A$、$B$两点，交准线$q$于点$M$,$|A F|=\frac{3}{2}|B M|$，则$k$=?
【解析】
【题目】如果平面上动点$M(x, y)$满足:$\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=10-\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}$，则动点$M$的轨迹的标准方程为?
【解析】题中所给的方程即:\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}=10.结合点到直线距离公式可得该式的几何意义即点M到定点(-3,0)的距离与到定点(3,0)的距离之和为定值10,由于\frac{10}{2}>3,故该该轨迹方程为椭圆其中椭圆焦点位于x轴上,且a=5,c=3,故b=4,据此可知动点M的轨迹的标准方程为\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1.
【题目】$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的右支上一点，$M$、$N$分别是圆$(x+3)^{2}+y^{2}=2$和$(x-3)^{2}+y^{2}=1$上的点，则$|P M|-|P N|$的最大值为?
【解析】设双曲线的左右焦点为F_{1},F_{2},则|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=4,圆(x+3)^{2}+y^{2}=2的圆心为F_{1}(-3,0),半径为r_{1}=\sqrt{2}.圆(x-3)^{2}+y^{2}=1的圆心为F_{2}(3,0),半径为r_{2}=1,由圆的对称性可得|PF_{1}|-r_{1}\leqslantPM|\leqslant|PF_{1}|+r_{1}||PF_{2}|-r_{2}\leqslant|PN|\leqslant|PF_{2}|+r_{2},所以|PM|-|PN|\leqslant|PF_{1}|+r_{1}-|PF_{2}|+r_{2}=5+\sqrt{2},即|PM|-|PN|的最大值为5+\sqrt{2}
【题目】若抛物线$y^{2}=4 x$上一点$P$到焦点$F$的距离为$10$，则点$P$的横坐标为?
【解析】由抛物线的解析式可知抛物线的准线方程为x=-1,结合抛物线的定义可知点P到准线的距离为10,故点P的横坐标为-1+10=9
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$，则过它的焦点且垂直于$x$轴的弦长为?
【解析】运用代入法进行求解即设一个焦点为F(c,0),其中c^{2}=a^{2}+b^{2},过F且垂直于x轴的弦为AB,则A(c,y_{0}),\becauseA(c,y_{0})在双曲线上,\therefore\frac{c^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1\cdotsy_{0}=\pmb\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}-1}=\pm\frac{b^{2}}{a}\cdots|AB|=2|y_{0}|=\frac{2b^{2}}{a}
【题目】设$P$是圆$x^{2}+y^{2}=9$上的动点，$P D$垂直于$x$轴，垂足为$D$、$M$是线段$P D$上的点且满足$\overrightarrow{P M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{P D}$，点$P$在圆上运动时，动点$M$的轨迹方程是?
【解析】设M的坐标为M(x,y),P的坐标为P(x_{1},y_{1})因为点D是P在x轴上的投影,M是线段PD上一点,由\overrightarrow{PM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PD},所以(x-x_{1},y-y_{1})=\frac{1}{3}(0,-y_{1}),即\begin{cases}x_{1}=x\\y_{1}=\frac{3}{2}y\end{cases}因为P(x_{1},y_{1})在圆x^{2}+y^{2}=9上,所以x^{2}+(\frac{3}{2}y)^{2}=9,化简得\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】抛物线的方程为$x=2 y^{2}$，则抛物线的焦点坐标为?
【解析】x=2y2变形为y^{2}=\frac{1}{2}x\therefore2p=\frac{1}{2}\therefore\frac{p}{2}=\frac{1}{8},焦点为(\frac{1}{8}0)
【题目】双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{2}=1$的焦距是?渐近线方程是?
【解析】\becausec=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3},\therefore焦距为2\sqrt{3},渐近线方程为y=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x
【题目】已知点$M$为椭圆$\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{26}=1$上任意一点，$A B$是圆$(x-1)^{2}+y^{2}=8$的一条直径，则$\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}$的最大值与最小值的和为?
【解析】因为圆(x-1)^{2}+y^{2}=8,圆心C(1,0)半径为2\sqrt{2},设M(x,y),-3\sqrt{3}\leqslantx\leqslant3\sqrt{3},因为\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA},\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{CA}所以\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA})\cdot(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{CA})=(\overrightarrow{MC})^{2}-(\overrightarrow{CA})^{2}=(\overrightarrow{MC})^{2}-8=(x-1)^{2}+y2-8.因为A(x,y)在\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{26}=1上,所以y^{2}=26-\frac{26}{27}x^{2}所以\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(x-1)^{2}+26-\frac{26}{27}x^{2}-8=\frac{1}{27}x^{2}-2x+19,-3\sqrt{3}\leqslantx\leqslant3\sqrt{3},函数y=\frac{1}{27}x^{2}-2x+19,为对称轴为x=27,开口向上的抛物线,当x=-3\sqrt{3}时,\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}取得最大值为6\sqrt{3}+20,当x=3\sqrt{3}时,\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}取得最小值为-6\sqrt{3}+20,所以最大值与最小值的和为40
【题目】从抛物线$x^{2}=4 y$的准线$l$上一点$P$引抛物线的两条切线$P A$ , $P B$，且$A$、$B$为切点，若直线$A B$的倾斜角为$\frac{\pi}{6}$，则$P$点的横坐标为?
【解析】设点P(t,-1),设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),对函数y=\frac{x^{2}}{4}求导得y=\frac{x}{2}所以,直线PA的方程为y-y_{1}=\frac{x_{1}}{2}(x-x_{1}),即y-y_{1}=\frac{x_{1}x}{2}-\frac{x_{1}^{2}}{2},即y=\frac{x_{1}x}{2}-y_{1}同理可知,直线PB的方程为y=\frac{x_{2}x}{2}-y_{2},[1^{-2y}_{1}+2=0由于点P为直线PA、PB的公共点,则\begin{cases}tx_{1}-2y_{1}+2=0\\tx_{2}-2y_{2}+2=0\end{cases}所以,点A、B的坐标满足方程tx-2y+2=0,所以,直线AB的方程为tx-2y+2=0,由题意可得\tan\frac{\pi}{6}=\frac{t}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3},解得t=\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$的一条渐近线方程为$x=2 y$,则$m$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$ , $C$与过原点的直线相交于$A$ , $B$两点，连接$AF$ , $BF$若$|AB|=10$ ,$|BF|=8$ , $\cos \angle ABF=\frac{4}{5}$，则$C$的离心率为?
【解析】
【题目】直线$l$过$M(-1 , 0)$交抛物线$y^{2}=4 x$于$A$ ,$B$，抛物线焦点为$F $,$|BF|=\frac{\sqrt{3}}{2}|BM|$，则$AB$中点到抛物线准线的距离为?
【解析】如图,由抛物线y^{2}=4x,得焦点F(1,0),直线方程为x=-1过B作准线的垂线BG,\because|BF|=\frac{\sqrt{3}}{2}|BM|,\therefore|BG|=\frac{\sqrt{3}}{2}|BM|,则\angleBMF=30^{\circ}\therefore直线l的斜率为\underline{\sqrt{3}},可得直线l的方程为y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)联立\begin{cases}y=\frac{\sqrt{3}}{3}\\x+1),\end{cases}可得x-10x+1=0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则x_{1}+x_{2}=10,即AB中点横坐标为5\thereforeAB中点到抛物线准线的距离为5-(-1)=6
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点为$A$，右焦点为$F$，点$P$在直线$x=a$上，直线$P A$交椭圆于点$Q$，若$\overrightarrow{A Q}=2 \overrightarrow{Q P}$ , $\overrightarrow{A Q} \cdot \overrightarrow{Q F}=0$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】由题意可得:A(-a,0),F(c,0),设P(a,m),Q(x_{0},y_{0})由\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{QP},可得x_{0}=\frac{-a+2a}{1+2}=\frac{a}{3}代入可得:\frac{(\frac{a}{3})^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1'解得y_{0}^{2}=\frac{8}{9}b^{2}\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{QF}=\frac{4}{3}a(c-\frac{a}{3})-y_{0}^{2}=\frac{4}{3}a(c-\frac{a}{3})-\frac{8}{9}b^{2}=0,整理可得:2c^{2}+3ac-3a^{2}=0,所以2e^{2}+3e-3=0,所以_{e}=\frac{-3+\sqrt{33}}{4}或_{e}=\frac{-3-\sqrt{33}}{4}(舍)
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$、$M$为$C$上一点，点$N(0,4)$，若$\angle M N F=90^{\circ}$，则$|M F|$=?
【解析】设M(\frac{t^{2}}{8},t),由\angleMNF=90^{\circ}可解得t,进而由焦半径公式可得结果.由\angleMNF=90^{\circ}可得0=\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NF}=\frac{t^{2}}{4}-4t+16,即(t-8)^{2}=0,解得t=8所以M(8,8),故|MF|=x_{M}+2=8+2=10.
【题目】已知$F$是抛物线$y^{2}=8 x$的焦点，$A$、$B$是抛物线上两点，$O$为坐标原点，若$\overrightarrow{O F}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$ ,则$S_\triangle{O A B}$=?
【解析】\because\overrightarrow{OF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}).则2\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OF},\therefore\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FB},\becauseF为公共点则A,B,F三点共线由题可得F(2,0)则A(2,4),B(2,-4)S_{AOAB}=\frac{1}{2}\times2\times8=8,
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两个焦点，曲线上的点$P$到原点的距离为$b$，且$\sin \angle P F_{2} F_{1}=2 \sin \angle P F_{1} F_{2}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】设焦距为2c,因为\sin\anglePF_{2}F_{1}=2\sin\anglePF_{1}F_{2}.\frac{1}{2}c\cdot|PF_{1}|\sin\anglePF_{1}F_{2}=\frac{1}{2}c\cdot|PF_{2}|\sin\anglePF_{2}F_{1}',所以|PF_{1}|=2|PF_{2}|又|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,所以|PF_{2}|=2a,|PF_{1}|=4a因为\cos\anglePOF_{1}=\frac{b^{2}+c^{2}-16}{2bc}a^{2},\cos\anglePOF_{2}=\frac{b^{2}+c^{2}-4a^{2}}{2bc}\anglePOF_{1}+\angle_{POF_{2}}=180^{\circ}所以\frac{b^{2}+c^{2}-16a^{2}}{2bc}=-\frac{b^{2}+c^{2}-4a^{2}}{2bc},结合b^{2}=c^{2}-a^{2}整理得\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{11}{2}即e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{22}}{2}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$的左焦点为$F_{1}(-4,0)$，则$m$=?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0)的左焦点为F_{1}(-4,0)可得a=5,b=m,c=4,可得25=m^{2}+16,解得m=3.
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点，$P$为双曲线右支上一点，$I$是$\Delta PF_{1} F_{2}$的内心，且$S_{\triangle I P F_{2}}=S_{\Delta I P F_{1}}-\lambda S_{\Delta I F_{1} F_{2}}$，则$\lambda$=?
【解析】
【题目】已知$O$为坐标原点，抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$、$P$为$C$上一点，$P F$与$x$轴垂直，$Q$为$y$轴上一点，且$P Q \perp O P$，若$|P Q|=\sqrt{5}$，则抛物线$C$的准线方程为?
【解析】抛物线C:y^{2}=2px(p>0)的焦点F(\frac{p}{2},0)由抛物线C的对称性,不妨取P(\frac{p}{2},p),则k_{OP}=\frac{p-0}{\frac{P}{2}-0}=2由PQ\botOP,可知k_{PQ}=-\frac{1}{2},直线PQ方程可设为y=-\frac{1}{2}(x-\frac{p}{2})+p=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}p,则Q(0,\frac{5}{4}p),故有PQ=\sqrt{(\frac{p}{2}-0)^{2}+(\frac{5p}{4}-p)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{4}p=\sqrt{5}故p=4,则抛物线C的准线方程为x=-2
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点$P$到右焦点的距离的最小值为?
【解析】可得点P为椭圆右顶点时,到右焦点的距离最小.由椭圆方程可得a=5,b=3,c=4,当点P为椭圆右顶点时,到右焦点的距离最小为a-c=1.
【题目】过点$Q(2,0)$的直线与抛物线$C$: $y^{2}=2 x$的一个交点是$A$，与$y$轴交于$D$点，且$\overrightarrow{D A}=2 \overrightarrow{D Q}$ , $P$为抛物线$C$上一动点，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$的最小值是?
【解析】由题意,设P(x,y),A(x_{1},y_{1}),D(0,m),不妨设y_{1}>0,因为\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{DQ},可得点Q为AD的中点由中点公式可得\frac{x_{1}+0}{2}=2,解得x_{1}=4,又由抛物线C:y^{2}=2x,可得y_{1}=2x_{1}=2\times4=8,解得y=2\sqrt{2},即A(4,2\sqrt{2}),此时\underline{2\sqrt{2}+m}=0'解得m=-2\sqrt{2},即D(0,-2\sqrt{2})所以\overrightarrow{PA}=(4-x,2\sqrt{2}-y),\overrightarrow{PD}=(-x,-2\sqrt{2}-y)所以\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=(4-x,2\sqrt{2}-y)\cdot(-x,-2\sqrt{2}-y)=x^{2}-4x+y^{2}-8又由y^{2}=2x,所以\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=x^{2}-2x-8=(x-1)^{2}-9所以当x=1时,\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD},取得最小值-9.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦距为$4 \sqrt{3}$，实轴长为$4 \sqrt{2}$，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】因为2c=4\sqrt{3},2a=4\sqrt{2}所以b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=2,\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}所以双曲线C的渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左、右焦点，$P$为该椭圆上一点，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的内切圆半径等于?
【解析】由题意知|F_{1}P|+|PF_{2}|=4,|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{3},由余弦定理可得|F_{1}P||PF_{2}|=\frac{4}{3},由面积公式S=\frac{1}{2}|F_{1}P||PF_{2}|\cdot\sin60^{\circ}=\frac{1}{2}(|F_{1}P|+|PF_{2}|+|F_{1}F_{2}|)\cdotr即可求解.因为F_{1}、F_{2}分别为椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1的左、右焦点,P为该椭圆上一点所以|F_{1}P|+|PF_{2}|=4,|F_{1}F_{2}|=2\sqrt{3}则由余弦定理得,|F_{1}F_{2}|^{2}=|F_{1}P|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|F_{1}P||PF_{2}|\cos60^{\circ}12=(|F_{1}P|+|PF_{2}|)^{2}-2|F_{1}P||PF_{2}|\cos60^{\circ}-2|F_{1}P||PF_{2}|,即12=16-3|F_{1}P||PF_{2}|,所以|F_{1}P||PF_{2}|=\frac{4}{3}故APF_{1}F_{2}的面积S=\frac{1}{2}|F_{1}P||PF_{2}|\cdot\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}设AF_{1}PF_{2}的内切圆半径为r,则_{S}=\frac{1}{2}(|F_{1}P|+|PF_{2}|+|F_{1}F_{2}|)\cdotr=\frac{1}{2}(4+2\sqrt{3})\cdotr=\frac{\sqrt{3}}{3}解得_{r}=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=16 x$的对称轴与准线的交点为$M$，直线$l$: $y=k x-4 k$与$C$交于$A$、$B$两点，若$|A M|=4|B M|$ ,则实数$k$=?
【解析】
【题目】若抛物线$y=4 x^{2}$上的点$A$到焦点的距离为$\frac{33}{16}$，则$A$到$x$轴的距离是?
【解析】抛物线y=4x^{2}的焦点坐标为F(0,\frac{1}{16}),准线方程为y=-\frac{1}{16}\because抛物线y=4x^{2}上的点A到焦点的距离为\frac{33}{16}由抛物线定义可知,点A到准线y=-\frac{1}{16}的距离是\frac{33}{16}则点A到x轴的距离是2.
【题目】已知定点$A(4,0)$和曲线$x^{2}+y^{2}=1$上的动点$B$，则线段$A B$中点$P$的轨迹方程是?
【解析】设线段AB中点为P(x,y),B(m,n),则m=2x\cdot4,n=2y\because动点B在圆x^{2}+y^{2}=1上运动\thereforem^{2}+n^{2}=1\therefore(2x\cdot4)^{2}+(2y)^{2}=1\therefore(x-2)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的左，右焦点，$P$为双曲线上一点，且$\overrightarrow{P F}_{1} \cdot(\overrightarrow{O F_{1}}+\overrightarrow{O P})=0$($O$为坐标原点) ,$|\overrightarrow{P F_{1}}|=2|\overrightarrow{P F_{2}}|$ ,则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】若点$P(m, 2 \sqrt{3})$在以$F$为焦点的抛物线$y^{2}=4 x$上，则$|P F|$等于?
【解析】分析:由题意先求出点P的坐标,然后再根据抛物线的定义求解可得|PF|详\because点P(m,2\sqrt{3})在抛物线y^{2}=4x上,\therefore(2\sqrt{3})^{2}=4m'解得m=3,\therefore点P的坐标为(3,2\sqrt{3})又抛物线的准线方程为x=-\therefore|PF|=3+1=4.【名师
【题目】已知点$F$ , $A$分别为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0 ,  b>0)$的左焦点、右顶点，点$B(0 , b)$满足$\overrightarrow{F B} \cdot \overrightarrow{A B}=0$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$左焦点$F_{1}$的弦$AB$长为$6$，则$\triangle A B F_{2}$($F_{2}$为右焦点) 的周长是?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$M$在抛物线$C$上，点$N$在抛物线$C$的准线$l$上，若$3 \overrightarrow{M F}+\overrightarrow{F N}=\overrightarrow{0}$，且$2|M F|-p=4$，则$F$到$l$的距离为?
【解析】由3\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FN}=\overrightarrow{0}知,M为线段FN上靠近F的三等分点.过点M作MM\botl于点M',\therefore|MM|=|MF|=\frac{2}{3}p,\because2|MF|-p=4,\frac{4}{3}p-p=4,解得p=12.
【题目】方程$4 x^{2} + k y^{2}=1$的曲线是焦点在$y$轴上的椭圆，则$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】抛物线$C$:$x^{2}=2 p y  (p>0)$的焦点到准线的距离为$4$，则抛物线的准线方程为?
【解析】
【题目】已知$A$、$B$分别为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2 b^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的左、右顶点，点$P$在第一象限内的双曲线上，记$P A$ , $P B$, $P O$的斜率分别为$k_{1}$、$k_{2}$、$k_{3}$，则$\frac{k_{3}}{k_{1} k_{2}}$的取值范围为?
【解析】设点P(x_{0},y_{0})由题可知:A(-\sqrt{2}b,0),B(\sqrt{2}b,0)所以k_{1}k_{2}=\frac{y_{0}}{x_{0}+\sqrt{2}b}\cdots\frac{y_{0}}{x_{0}-\sqrt{2}b}=\frac{y_{0}2}{x_{0}^{2}-2b^{2}}又\frac{x_{0}2}{2b^{2}}-\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrowy_{0}^{2}=b^{2}(\frac{x_{0}^{2}}{2b^{2}}-1)=\frac{x_{0}-2b^{2}}{2},所以k_{1}k_{2}=\frac{1}{2}所以\frac{k_{3}}{k_{1}k_{2}}=2k_{3},由双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x^{且P在第一象限}所以_{0}<k_{3}<\frac{\sqrt{2}}{2},所以\frac{k_{3}}{k_{1}k_{2}}=2k_{3}\in(0,\sqrt{2})
【题目】抛物线的焦点为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为?
【解析】由椭圆方程知,a^{2}=9,b^{2}=4,焦点在y轴上,下焦点坐标为(0,-c),其中c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{5},所以抛物线焦点坐标为(0,-\sqrt{5}),所以抛物线方程为x^{2}=-4\sqrt{5}y.
【题目】若抛物线$y=a x^{2}$的焦点$F$的坐标为$(0,-1)$，则实数$a$的值为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{27}=1$的两个焦点，$A$是双曲线上的一点，若$|A F_{1}|=8$，则$|A F_{2}|$=?
【解析】由\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{27}=1可得a^{2}=9\thereforea=3,双曲线的实轴长为2a=6根据双曲线的定义,得|AF_{1}|-|AF_{2}|=\pm6\therefore|AF_{2}|=|AF_{1}|\pm6=14或2而|AF_{2}|=2时,不满足|AF_{2}|+|AF_{1}|\geqslant2c=12\therefore只能取|AF_{2}|=14
【题目】抛物线$y=6 x^{2}$的焦点坐标为?
【解析】将抛物线的方程变为标准形式,由抛物线的几何性质可求得答案将抛物线y=6x2的方程整理为标准形式,得x^{2}=\frac{1}{6}y.则该抛物线的焦点在y轴正半轴,坐标为(0,\frac{1}{24})
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，过点$F$的直线$l$交抛物线$C$于$A$、$B$两点，交抛物线$C$的准线$m$于$D$点，若$|B D|=2|F B|$ ,$|F A|=2$则$p$=?
【解析】分析:由题意分类讨论点A在上方,点B在下方和点B在上方,点A在T求得实数p的值.详如图所示,当点B位于点A下方时,由几何关系可知:x_{B}=-\frac{p}{2}+\frac{2p}{3}=\frac{p}{6}理可得:12x2-20px+3p^{2}=0则:x_{B}=\frac{3}{1}p,x_{A}=\frac{1}{6}p_{1},结合F(\frac{p}{2},0)可得:|AF|=\sqrt{\frac{1}{9}p^{2}+\frac{1}{3}p^{2}}=\frac{2}{3}p,则\frac{2}{3}p=2,p=3综上可得,p的值为1或3.
【题目】抛物线$y=a x^{2}$的准线方程为$y=1$，则焦点坐标是?
【解析】y=ax^{2}\Rightarrowx^{2}=\frac{1}{a}y\Rightarrowy=-\frac{1}{4a},所以-\frac{1}{4a}=1,F(0,\frac{1}{4a})即F(0,-1)
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$，过焦点$F$的直线与$C$交于$A$、$B$两点，$A A^{\prime} \perp l$ , $B B^{\prime} \perp l$，垂足分别为$A^{\prime}$ , $B^{\prime}$，若$|A^{\prime} F|=2 \sqrt{3}$，$|B^{\prime} F|=2$，则$p$=?
【解析】如图,设C的准线l与x轴的交点为D.由抛物线的性质知,|AA|=|AF|,|BF|=|BB'因为AA/\!/BB/\!/x轴,所以\angleAAF=\angleAFD,\angleFBB=\angleBFD.所以\angleAFB=\angleAAF+\angleBBF=90^{\circ}.在Rt\triangleAFB中,由勾股定理得|AB|=\sqrt{|AF|^{2}+|BF|^{2}}=4,所以|AF|\cdot|BF|=|FD|\cdot|AB|,所以p=|FD|=\sqrt{3}.
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$的渐近线方程是?
【解析】\because双曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1,\therefore渐近线方程为\frac{y^{2}}{9}-\frac{x2}{16}=0,即y=\pm\frac{3}{4}x,
【题目】直线$x+2 y-2=0$经过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的方程等于?
【解析】对直线x+2y-2=0,令x=0,解得y=1;令y=0,解得x=2,故椭圆的右焦点坐标为(2,0),上顶点坐标为(0,1)则c=2,b=1,则a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{5}故椭圆的方程等于\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1.
【题目】已知双曲线$\Gamma$上的动点$P$到点$F_{1}(-1,0)$和$F_{2}(1,0)$的距离分别为$d_{1}$和$d_{2}$ , $\angle F_{1} P F_{2}=2 \theta$，且$d_{1} \cdot d_{2} \cdot \sin ^{2} \theta=\frac{1}{3}$，则双曲线$\Gamma$的方程为?
【解析】在\trianglePF_{1}F_{2}中,由余弦定理得:|F_{1}F_{2}|=4=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-2d_{1}d_{2}\cos2\theta=(d_{1}-d_{2})^{2}+4d_{1}d_{2}\sin^{2}\theta\becaused_{1}\cdotd_{2}\cdot\sin^{2}\theta=\frac{1}{3},\therefore(d_{1}-d_{2})^{2}=\frac{8}{3}=(2a)^{2}\thereforea^{2}=\frac{2}{3},b^{2}=c^{2}-a^{2}=\frac{1}{3},则双曲线方程为\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{3}=
【题目】抛物线$y^{2}=-12 x$的准线方程是?
【解析】由抛物线方程y^{2}=-12x可知p=6,其图像开口向左,焦点在x轴的负半轴.所以其准线方程为x=\frac{p}{2}=3,即x=3.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$的一条渐近线方程为$y=2 x$，焦点到渐近线的距离为$2$，则双曲线的实轴长为?
【解析】焦点为(c,0),由题意\begin{cases}\frac{b}{a}=2\\\frac{2c}{\sqrt{5}}=2\end{cases},又c^{2}=a^{2}-b^{2},故解得\begin{cases}c=\sqrt{5}\\a=1\\b=2\end{cases}实轴长为2a=2.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点坐标为$(2,0)$，且它的一条渐近线与直线$l$: $x+\sqrt{3} y=0$垂直，则双曲线$C$的标准方程为?
【解析】由题意知,双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一个焦点的坐标为(2,0),所以c=2.又由它的一条渐近线与直线l:x+\sqrt{3}y=0垂直,所以\frac{b}{a}\cdot(-\frac{1}{\sqrt{3}})=-1,即b=\sqrt{3}a又因为c^{2}=a^{2}+b^{2},解得a=1,b=\sqrt{3},所以双曲线的标准方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1.
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{m}=1$的长轴长为$4$，则$C$的焦距为?
【解析】因为椭圆C:\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{m}=1的长轴长为4,所以2\sqrt{m}=4,解得m=4所以c^{2}=4-3=1,即c=1,故C的焦距为2c=2.
【题目】若椭圆$a x^{2}+y^{2}=6$的焦点坐标是$(0, \pm \sqrt{3})$，则实数$a$的值为?
【解析】
【题目】设坐标原点为$O$，抛物线$y^{2}=4 x$与过点$(m , 0)$的直线交于$A$ , $B$两点，若$OA \cdot OB=-3$， 则$m$的值为?
【解析】
【题目】在$y=x^{2}$上取动点$A(a , a^{2})$ , $a \in(0 , 5]$，在$y$轴上取点$M(0 , \frac{1}{a^{2}+a+4})$ , $\Delta O AM$面积的最大值等于?
【解析】
【题目】已知抛物线的焦点在$y$轴上，点$M(m,-3)$是抛物线上的一点，$M$到焦点的距离是$5$，则$m$的值为?抛物线的标准方程为?准线方程为?
【解析】设抛物线方程为x^{2}=-2py(p>0),因为M到焦点的距离是5,所以3+\frac{p}{2}=5,p=4,所以抛物线的标准方程为x^{2}=-8y,准线方程为y=2;因为m^{2}=-8\times(-3)\thereforem=\pm2\sqrt{6}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$, 过$F_{1}$的直线与左支相交于$A$, $B$两点.如果$|A F_{2}|+|B F_{2}|=2|A B|$,那么$|A B|$=?
【解析】
【题目】点$A(x_{0},y_{0})$在双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{32}=1$的右支上，若点$A$到右焦点的距离等于$2 x_{0}$，则$x_{0}$=?
【解析】
【题目】设点$P$在椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{m}=1(m>0)$上，点$Q$在直线$y=x+4$上，若$PQ$的最小值为$\sqrt{2}$，则$m$=?
【解析】分析:求出与直线y=x+4平行且距离为\sqrt{2}的直线方程,利用该直线与椭圆相切,令A=0,从而求出m的值.详根据题意,与与直线y=.x+4平行且距离为\sqrt{2}的直线方程为y=x+2或y=x+6(舍去),联立\begin{cases}y=x+2,\\x^{2}+\frac{y^{2}}{m}=1,\end{cases}得(m+1)x^{2}+4x+4-m=0,令d=16-4(m+1)(4-m)=0,解得m=0或m=3\becausem>0\thereforem=3
【题目】双曲线$16 x^{2}-9 y^{2}=144$, 左、右两个焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$，点$P$在双曲线上且$|PF_{1}| \cdot|PF_{2}|=64$, 则$\Delta PF_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线为$l$, $P$为$l$上一点，$P F$的延长线交抛物线于点$Q$，若$2 \overrightarrow{F P}+3 \overrightarrow{F Q}=\overrightarrow{0}$，则$|Q F|$=?
【解析】由题意得\frac{|PF|}{|QF|}=\frac{3}{2},然后作图,根据三角形相似列式,结合抛物线的定义即求解|QF|由题意,得p=2,2\overrightarrow{FP}+3\overrightarrow{FQ}=\overrightarrow{0},\frac{|PF|}{|QF|}=\frac{3}{2},如图,过点Q向准线l作垂线,垂足为Q',设l与x轴的交点为F,根据已知条件,结合抛物线定义,得\frac{|FF|}{|QQ|}=\frac{|PF|}{|PQ|}=\frac{3}{5},所以|QQ|=\frac{10}{3},所利用相似三角形的相似比列式,然后结合抛物线的定义,把抛物线上的点到准点的距离转化为到准线的距离求解
【题目】过点$P(3,4)$ 的动直线$l$与$x$, $y$轴的交点分别为$A$、$B$, 过$A$、$B$分别作$x$, $y$轴的垂线，则两垂线交点$M$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】过点$(1 , 0)$作倾斜角为$\frac{2 \pi}{3}$的直线与$y^{2}=4 x$交于$A$，$B$，则$A B$的弦长为?
【解析】
【题目】抛物线$x^{2}=m y$的准线与直线$y=2$的距离为$3$，则此抛物线的方程为?
【解析】设准线方程为y=-\frac{m}{4},\therefore|-\frac{m}{4}-2|=3,\thereforem=-20或m=4,\thereforex^{2}=-20y^{2}x^{2}=4y.
【题目】已知直线$l_{1}$: $x=-1$ , $l_{2}$:$ y=x+1$ , $P$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上一点，则$P$到这两条直线距离之和的最小值为?
【解析】过P作PM\botl_{1},PN\botl_{2},垂足分别为M,N抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0)直线l_{1}:x=-1为抛物线的准线由抛物线的定义,|PM|=|PF|故|PM|+|PN|=|PN|+|PF|,当N,P,F三点共线时,|PN|+|PF|取得最小值故最小值为点F到直线l_{2}的距离:\frac{|1-0+1|}{\sqrt{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{2}

hbghlyj

【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m>0)$的一条渐近线为$\sqrt{3} x+m y=0$，则双曲线$C$的实轴长为?
【解析】由渐近线方程\sqrt{3}x+my=0化简得y=-\frac{\sqrt{3}}{m}x即\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{m},同时平方得\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{m^{2}}又双曲线中a^{2}=m,b^{2}=1.故\frac{3}{m2}=\frac{1}{m},解得m=3,m=0(舍去)所以a^{2}=3,a=\sqrt{3},实轴长2a=2\sqrt{3}.故答家为:2.\sqrt{2}
【题目】过双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一个焦点作圆$x^{2}+y^{2}=a^{2}$的两条切线，切点分别为$A$、$B$. 若$\angle A O B=120^{\circ}$($O$是坐标原点)，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$作直线$l$与其交于$A$、$B$两点，若$|A F|=4$，则$|B F|$=?
【解析】由题:y^{2}=4x,焦点坐标为(1,0)|AF|=4,运用抛物线定义可得;A(3,2\sqrt{3})可求出直线l的方程为;y=\sqrt{3}(x-1),联立方程可得:3x^{2}-10x+3=0,x_{1}+x_{2}=\frac{10}{3},x_{1}=3,x_{2}=\frac{1}{3},|BF|=\frac{1}{3}+\frac{p}{2}=\frac{4}{3}
【题目】已知$O$为坐标原点，抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$、$P$为$C$上一点，$P F$与$x$轴垂直，$Q$为$x$轴上一点，若$P$在以线段$O Q$为直径的圆上，则点$Q$的坐标为?
【解析】点F(2,0),可令P(2,4),设Q(t,0)由OP\botPQ得:\frac{4}{2}\cdot\frac{0-4}{t-2}=-1,解得t=10
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，抛物线上的两个动点$A$ , $B$始终满足$\angle AFB=60^{\circ}$，过弦$AB$的中点$H$作抛物线的准线的垂线$HN$，垂足为$N$，则$\frac{|H N|}{|A B|}$的取值范围为?
【解析】利用抛物线性质,可以得到HN=\frac{a+b}{2},结合余弦定理,用a,b表示|AB|,建立等式,结合不等式关系a+b\geqslant2\sqrt{ab}计算范围,即可得出答案.过A,B分别作抛物线准线的垂线AQ,BP,垂足为Q,P,设|AF|=a,|BF|=b,则由抛物线的定义,得|AQ|=a,|BP|=b,所以|HN|=\frac{a+b}{2},在4ABF中,由余弦定理得|AB|^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos60^{0}=a^{2}+b^{2}-ab,所以\frac{|HN|}{|AB|}=\frac{\frac{a+b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{}因为a+b\geqslant2\sqrt{ab},所以\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{3ab}{(a+b)}}}\leqslant1,当且仅当a=b时等号成立,故\frac{|HN|}{|AB|}的取值范围为(0,1]
【题目】已知双曲线$C_{1}$与双曲线$C_{2}$: $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{6}=1$的渐近线相同，且双曲线$C_{1}$的焦距为$8$，则双曲线$C_{1}$的方程为?
【解析】设双曲线C_{1}的方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{6}=\lambda,根据焦距计算得到答案.则2\lambda+6\lambda=16或-2\lambda-6\lambda=16,解得\lambda=2或\lambda=-2,故双曲线C_{1}的方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1或\frac{y^{2}}{12}-\frac{x^{2}}{4}=1.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的渐近线方程?
【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴,再确定双曲线的实轴长和虚轴长,最后确定双曲线的渐近线方程.详解]\because双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的a=2,b=1,焦点在x轴上而双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{k^{2}}=1的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x\therefore双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的渐近线方程为y=\pm\frac{1}{2}x
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的斜率为正的渐近线为$l$，若曲线$E$:$(x-2)^{2}+y^{2}=4$上恰有不同$3$点到$l$的距离为$1$，则双曲线$C$的离心率是?
【解析】曲线E:(x-2)^{2}+y^{2}=4为圆,圆心E(2,0),半径r=2,l为:y=\frac{b}{a}x,即bx-ay=0,由题可知E到距离为r-1=1,故\frac{2b}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=1\Rightarrow\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{3}\therefore_{e}=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{7-m}+\frac{y^{2}}{m-1}=1$表示椭圆，则实数$m$的取值范围是?
【解析】根据椭圆的标准方程的形式,可知方程\frac{x2}{7-m}+\frac{y^{2}}{m-1}=1表示椭圆的条件是:\begin{cases}7-m>0\\m-1>0\\7-m\neqm\end{cases}解得1<m<7且m\neq4,所以实数m的取值范围是(1,4)\cup(4,7),故答案是:(1,4)\cup(4,7).
【题目】已知直线$l$: $a x+b y=0$与椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1$交于$A$、$B$两点，若$C(5,5)$，则$\overrightarrow{C A} \cdot \overrightarrow{C B}$的取值范围是?
【解析】直线l:ax+by=0过原点,结合椭圆图形的对称性可知A、B两点关于原点对称,方法一:设A(x_{0},y_{0})、B(-x_{0},-y_{0}),则\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(x_{0}-5,y_{0}-5)\cdot(-x_{0}-5,-y_{0}-5)=50-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})|OA|=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\in[b,a],即\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\in[1,3],\therefore\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\in[41,49]方法二:利用参数方程,设A(\cos\theta,3\sin\theta)、B(-\cos\theta,-3\sin\theta)则\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=50-\cos2\theta-9\sin^{2}\theta=49-8\sin^{2}\theta\in[41.49].睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问颗,在解题的讨程中,注意两点关于原点对称这个条件非常关键,中可以应用参数方程来设点的坐标
【题目】双曲线虚轴的一个端点为$M$，两个焦点为$F_{1}$ , $F_{2}$ , $\angle F_{1} M F_{2}=120^{\circ}$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知抛物线的准线为$x=-1$，则其标准方程为?
【解析】因为抛物线的准线为x=-1,所以抛物线的对称轴是x轴,开口向右,所以假设抛物线的方程为y^{2}=2px(p>0).依题意可得\frac{p}{2}=1,\thereforep=2.所以抛物线的标准方程为y^{2}=4x,故填y^{2}=4x.本小题关键是确立抛物线的方程的形式.
【题目】曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$与直线$l$: $k x-y+k+2=0$恒有公共点，则$b$的取值范围是?
【解析】直线l:kx-y+k+2=0\thereforek(x+1)+(-y+2)=0.\begin{cases}x+1=0\\-y+2=0解得\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}所以直线l恒过(-1,2).曲线C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)与直线l:kx-y+k+2=0恒有公共点,可得\frac{1}{4}+\frac{4}{b^{2}}\leqslant1\becauseb>0\thereforeb\geqslant\frac{4\sqrt{3}}{3}
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点$F$为圆心 , 并过椭圆的短轴端点的圆的方程为?
【解析】椭圆的标准方程为:\frac{x2}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,所以a=2,b=\sqrt{3},而c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=1,所以右焦点坐标为(1,0),所求圆的圆心坐标为(1,0),由椭圆的对称1\pm可知:右焦点到椭圆短轴端点的距离相等.故可求出右焦点到椭圆上顶点的距离为\sqrt{(1-0)^{2}+(0-\sqrt{3})^{2}}=2^{,}所以所求圆的半径为2,所以所求圆的标准方程为(x-1)^{2}+y^{2}=4.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{12}=1(a>0)$的一条渐近线方程为$\sqrt{3} x-y=0$，左焦点为$F$，当点$M$在双曲线右支上，点$N$在圆$x^{2}+(y-3)^{2}=4$上运动时，则$|M N|+|M F|$的最小值为?
【解析】由双曲线方程\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{12}=1,得b=2\sqrt{3},所以渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt[2]{3}}{a}x比较方程\sqrt{3}x-y=0,得a=2所以双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1,点F(-4,0)记双曲线的右焦点为F(4,0),且点M在双曲线右支上,所以|MF|=4+|MF'|所以|MN|+|MF|=|MN|+|MF'|+4由两点之间线段最短,得|MN|+|MF'|+4最小为|F'N|+4因为点N在圆x2+(y-3)^{2}=4上运动所以|F'N|最小为点F到圆心(0,3)的距离减去半径2所以|F'N|_{\min}=5-2=3所以|MN|+|MF|的最小值为7
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左、右焦点，双曲线的离心率为$2$，点$P$在双曲线$C$的右支上，且$P F_{1}$的中点$N$在圆$O$: $x^{2}+y^{2}=c^{2}$上，其中$c$为双曲线的半焦距，则$\sin \angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】如图,由题意可得OF_{1}=ON=c,因为O为F_{1}F_{2}的中点,,所以ON=\frac{1}{2}PF_{2},所以PF_{2}=2c,PF_{1}=2a+2c,\because双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的离心率为2,\thereforec=2a.故在\triangleF_{1}PF_{2}中,PF_{1}=6a,PF_{2}=F_{1}F_{2}=4a_{}\sin\angleF_{1}PF_{2}=\frac{F_{2}N}{PF_{2}}=\frac{\sqrt{16a^{2}-9a^{2}}}{4a}=\frac{\sqrt{7}}{4}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$ , 若过右焦点$F$且倾斜角为$30^{\circ}$的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是?
【解析】要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即\frac{b}{a}<\frac{\sqrt{3}}{3},求得a和b的不等式关系,进而根据b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}转化成a和c的不等式关系,求得离心率的一个范围,最后根据双曲线的离心率大于1,综合可得求得e的范围.要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即\frac{b}{a}<\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3},\thereforeb<\frac{\sqrt{3}}{3}\becauseb=\sqrt{c^{2}-a^{2}},\therefore\sqrt{c^{2}-a^{2}}<\frac{\sqrt{3}}{3}整理得c<\frac{2\sqrt{3}}{3},\thereforee=\frac{c}{a}<\frac{2\sqrt{3}}{3}\because双曲线中e>e的范围是(1,\underline{2}
【题目】已知点$O(0,0)$ ,$A(1,2)$，动点$P$满足$|\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{A P}|=2$，则点$P$的轨迹方程是?
【解析】设点P的坐标为(x,y),则\overrightarrow{OP}=(x,y),\overrightarrow{AP}=(x-1,y-2),\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AP}=(2x-1,2y-2).因为|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AP}|=2,所以(2x-1)^{2}+(2y-2)^{2}=4,整理得4x^{2}+4y^{2}-4x-8y+1=0.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的离心率等于?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$的右焦点为$F$、$M$、$N$为$y$轴上的两个动点，若$\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F}=0$，则$\Delta M N F$面积的最小值为?
【解析】不妨设点M(0,m),N(0,n)(m>n).由题知,F(\sqrt{2},0),又\overrightarrow{MF}\cdot\overrightarrow{NF}=0,(\sqrt{2},-m)(\sqrt{2},-n)=0,即mn=-2,所以m>0设\triangleMNF的面积为S,mn=-2,则n=-\frac{2}{m}(m>0),AMNF面积的最小值为2
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=1$的左、右焦点，点$P$在$C$上，$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$=?
【解析】由双曲线的方程得a=1.b=1,c=\sqrt{2},由余弦定理得\therefore\frac{1}{2}=\frac{F_{2}^{2}+2|PF_{1}^{2}+|PF_{1}^{2}|FF_{P}|_{PFPF_{1}PF_{2}}^{2}}{2|PF_{1}PF_{1}-2\sqrt{2}}|,\therefore|PF_{1}|PF_{1}=4
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，若椭圆上存在点$P$使得$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$，则椭圆的离心率的取值范围?
【解析】
【题目】已知直线$l$: $2 x+4 y+3=0$, $P$为$l$上的动点，$O$为坐标原点，点$Q$在线段$O P$上，且$\frac{|\overrightarrow{O Q}|}{|\overrightarrow{O P}|}=\frac{1}{3}$，则点$Q$的轨迹方程为?
【解析】设Q(x,y),因为直线l:2x+4y+3=0,P为l上的动点,O为坐标原点,点Q在线段OP上且\frac{|\overrightarrow{OQ}|}{|\overrightarrow{OP}|}=\frac{1}{3},所以P(3x,3y)可得6x+12y+3=0,即2x+4y+1=0则点Q的轨迹方程为:2x+4y+1=0.
【题目】$F_{1}$,$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1$的左、右焦点，$A$为椭圆上一点，且$\overrightarrow{O B}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O F_{1}})$ , $\overrightarrow{O C}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O F_{2}})$ ，则$|\overrightarrow{O B}|+|\overrightarrow{O C}|$=?
【解析】由椭圆方程\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1,得a=6,由椭圆定义可得|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a=12,因为OB=\frac{1}{2}(OA+OF_{1}),所以B为AF_{1}的中点,OC=\frac{1}{2}(OA+OF_{2}),所以C为AF_{2}中点,因为O为F_{1}F_{2}中点,所以|og|=\frac{1}{2}|AF_{2}||oc|=\frac{1}{2}|AF_{1}|,所以|OB|+|oc|=\frac{1}{2}(AF_{1}+|AF_{2})|=6,故应填6
【题目】已知$F_{1}$ ,$F_{2}$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两个焦点，若双曲线$C$上存在点$P$满足$P F_{1} \perp P F_{2}$且$|P F_{1}|=3|P F_{2}|$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】双曲线C上存在点P满足PF_{1}\botPF_{2}且|PF_{1}|=3|PF_{2}|.可得P为右支上的点,设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,则m-n=2a,m=3n,且m^{2}+n^{2}=4c^{2},可得(3a)^{2}+a^{2}=4c^{2},即c=\frac{\sqrt{10}}{2}a'即有e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{2}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在椭圆上，$P F_{2} \perp x$轴，则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】由题意不妨设F_{1}(\sqrt{3},0),F_{2}(\sqrt{3},0)\becausePF_{2}\botx轴,\thereforeP(\sqrt{3},\pm\frac{1}{2}),\because\trianglePF_{1}F_{2}的面积=\frac{1}{2}|PF_{2}|F_{1}F_{2}|=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上任意一点$P$及点$A(0,2)$，则$|P A|$的最大值为?
【解析】
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点坐标是?焦点到渐近线的距离为?
【解析】根据双曲线的方程解求出焦点坐标,再根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离.双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\thereforea^{2}=1,b^{2}=3,\thereforec^{2}=a^{2}+b^{2}=4,\becausea=2,\therefore双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的右焦点坐标是(2,0)\therefore双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,即\pm\sqrt{3}x\cdoty=0,\therefore焦点到渐近线的距离d=\frac{|\pm2\sqrt{3}+0|}{2}=\sqrt{3},
【题目】已知双曲线$x^{2}-y^{2}=1$的一条渐近线被圆$C$:$(x-2)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$截得的线段长为$2 \sqrt{2}$，则$r$=?
【解析】由于双曲线为等轴双曲线,故渐近线为y=\pmx,不妨设渐近线为x-y=0.圆的圆心为(2,0),半径为r.圆心到直线的距离为\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.故弦长为2\sqrt{r2-(\sqrt{2})^{2}}=2\sqrt{2-2}=2\sqrt{2},解得r=2
【题目】已知焦点为$F$的抛物线的方程为$y^{2}=4 x$，点$Q$的坐标为$(3,4)$，点$P$在抛物线上，则点$P$到$y$轴的距离与到点$Q$的距离的和的最小值为?
【解析】焦点F的坐标为(1,0),抛物线准线为x=-1,如图,作PA垂直于准线于A,交y轴于B,|PB|+|PQ|=(|PA|-1)+|PQ|=|PF|+|PQ|-1\geqslant|FQ|-1=\sqrt{(3-1)^{2}+4^{2}}-1=2
【题目】设以原点为圆心的圆与$x$轴交$A$、$B$两点，如果以$A$、$B$为焦点的椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$与圆总有公共点，那么椭圆的离心率取值范围是?
【解析】求得椭圆上任意一点到圆心的距离d\in[b,a],可得b\leqslantc<a,从而得解.设椭圆上任意一点为P(m,n),则\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0),则点P(m,n)到圆心的距离为:d=\sqrt{m^{2+n^{2}}=\sqrt{m^{2+b^{2}(1-\frac{m^{2}}{a^{2}})}=\sqrt{(1-\frac{b^{2})m^{2}+b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{e^{2m2+b^{2}}}根据题意可得b\leqslantc<a,所以\sqrt{a^{2}-c^{2}}\leqslantc<a,解得e=\frac{c}{a}\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1)
【题目】椭圆$x^{2}+4 y^{2}=16$上点的纵坐标的取值范围是?
【解析】椭圆x^{2}+4y^{2}=16的标准方程为\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=从而得到点的纵坐标的取值范围是[-2,2]
【题目】以椭圆的右焦点$F_{2}$为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点$M$ , $N$，椭圆的左焦点为$F_{1}$，且直线$M F_{1}$与此圆相切，则椭圆的离心率$e$为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，直线$l$: $y=x+m$与$C$交于$M$、$N$两点，若$|M F|=2$ ,$|N F|=3$，则$|M N|$=?
【解析】设M,N的横坐标分别为x_{M},x_{N},由抛物线定义可知,|NF|-|MF|=x_{N}+\frac{p}{2}-(x_{M}+\frac{p}{2})=x_{N}-x_{M}=1,由直线l:y=x+m知直线倾斜角\frac{\pi}{4},所以x_{N}-x_{M}=|MN|\cos\frac{\pi}{4}=1,解得|MN|=\sqrt{2}
【题目】已知点$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$右支上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线的左、右焦点，$I$为$\Delta P F_{1} F_{2}$的内心，若$S_{\Delta I P F_{1}}=S_{\Delta I P F_{2}}+\lambda S_{\Delta I F_{1} F_{2}}$成立，则$\lambda$的值为?
【解析】
【题目】已知直线$y=x+\frac{p}{2}$与抛物线$C$: $x^{2}=2 p y(p>0)$相交于$A$、$B$两点，且$|A B|=8$，则抛物线$C$的准线方程为?
【解析】直线y=x+\frac{p}{2}与抛物线C:x^{2}=2py(p>0)相交于A,B两点设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})直线y=x+\frac{p}{2}与抛物线C:x^{2}=2py(p>0)联立得所以x_{1}+x_{2}=2p所以y_{1}+y_{2}=2p+p=3p|AB|=y_{1}+y_{2}+p=8即4p=8解得:p=2所以抛物线C的准线方程为:y=-\frac{2}{2}=-1.
【题目】抛物线顶点在坐标原点，以$y$轴为对称轴，过焦点且与$y$轴垂直的弦长为$16$，则抛物线方程为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点$P$，使得$(\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F_{2}}) \cdot \overrightarrow{F_{2} P}=0$($O$为坐标原点)，且$|P F_{1}| \geq \sqrt{3}|P F_{2}|$，则双曲线的离心率的取值范围是?
【解析】(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}_{2})\cdot\overrightarrow{F_{2}P}=0,即为(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF}_{2})\cdot(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OF_{2}})=0,即为\overrightarrow{OP}^{2}=\overrightarrow{OF_{2}},可得|OP|=c,即有\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,可得m\cdotn=2a,且m^{2}+n^{2}=4c^{2},令m=kn,\thereforen=\frac{2a}{k-1},m=\frac{2ka}{k-1}\trianglePF_{1}F_{2}中,由勾股定理得|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=4c^{2}1+\frac{2}{k-2+\frac{1}{1}}\leqslant1+\frac{\sqrt{3}}{}=4+2\sqrt{3}即有1<e\leqslant1+\sqrt{3},
【题目】已知椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F(c, 0)$，若点$F$到直线$b x-a y=0$的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3} c$，则$E$的离心率为?
【解析】由点到直线的距离公式列方程可得a^{2}=2b^{2},再利用a^{2}=b^{2}+c^{2}即可解决由题意可知,\frac{bc}{\sqrt{a2+b^{2}}}=\frac{\sqrt{3}c}{3}得a^{2}=2b^{2},因为b^{2}=a^{2}-c^{2}所以a^{2}=2c^{2},故_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{8}=1$的渐近线方程是?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别为双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{24}=1$的左、右焦点，$P$为双曲线$C$在第一象限上的一点，若$\frac{|P F_{1}|}{|P F_{2}|}=\frac{5}{4}$，则$\triangle P F_{1} F_{2}$内切圆的面积为?
【解析】双曲线C:x^{2}-\frac{y^{2}}{24}=1的a=1,b=2\sqrt{6}c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=5由双曲线的定义可得|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=2\because\frac{|PF_{1}|}{|PF_{2}|}=\frac{5}{4},解得|PF_{1}|=10|PF_{2}|=8|F_{1}F_{2}|=2c=10则边PF_{2}上的高为\sqrt{100-16}=2\sqrt{21},运用等面积法得\frac{1}{2}\times2\sqrt{21}\times8=\frac{1}{2}\times(10+10+8)即_{r}=\frac{4\sqrt{21}}{7},故APF_{1}F_{2}内切圆的面积为\frac{48}{7}\pi
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的中心任作一直线交椭圆于$P$、$Q$两点，$F$是椭圆的左焦点，则$\triangle P F Q$的周长的最小值为?
【解析】记右焦点为F',由题意a=5,b=4,由题意P,Q关于原点对称,所以|PF|等于Q到右焦点F的距离,所以|PF|+|QF|=|QF|+|QF|=2a=10,而线段PQ的最小值为短轴长2b=8.所以\trianglePFQ的周长的最小值10+8=18.
【题目】已知抛物线$y^{2}=8 x$的焦点为$F$、$P$是抛物线上一点，若$|P F|=3$，则$P$点的横坐标为?
【解析】由焦半径公式即可求出.由抛物线方程可得2p=8,即p=4,则|PF|=x_{P}+\frac{p}{2}=x_{P}+2=3,解得x_{P}=1
【题目】已知$F_{1}(-c, 0)$, $F_{2}(c, 0)$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，若椭圆$C$上存在一点$P$使得$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=3 c^{2}$，则椭圆$C$的离心率$e$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,直线$l$与椭圆交于$A$、$B$两点:当$A B$的中点为$M(1,1)$时,直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$x^{2}-3 y^{2}=3$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】x^{2}-3y^{2}=3化为\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1,所以渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的中心做一直线交椭圆于$P$、$Q$两点，$F$是椭圆的一个焦点，则$\triangle P F Q$的周长的最小值为?
【解析】如图,由椭圆的定义知|PF|+|PF_{1}|=2a由椭圆的对称性知|QF|=|PF_{1}|,.有|PF|+|QF|=2a,而|PQ|的最小值是2b,\therefore\trianglePFQ的周长的最小值为2a+2b.
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$共焦点，且过点$(3 \sqrt{2} , 2)$的双曲线方程为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$作直线$l$，交抛物线于$A$、$B$两点，交其准线于$C$点，若$\overrightarrow{C B}=3 \overrightarrow{B F}$，则直线$l$的斜率为?
【解析】过B作BB_{1}垂直准线于B_{1}点则由抛物线定义得BB_{1}=BF,所以\cos\angleCBB_{1}=\frac{1}{3},\therefore\tan\angleCBB_{1}=2\sqrt{2},因此直线l的斜率k=\pm2\sqrt{2}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两个焦点，$P$是双曲线$C$上一点，且$\overrightarrow{P F_{1}} \perp \overrightarrow{P F_{2}}$，若$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为$16$，则$b$=?
【解析】设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,\overrightarrow{PF}_{1}\bot\overrightarrow{PF_{2}},得\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},\thereforem^{2}+n^{2}=4c^{2}APF_{1}F_{2}的面积为16,\thereforemn=32\therefore4a^{2}=(m-n)^{2}=4c^{2}-64,\thereforeb^{2}=c^{2}-a^{2}=16\thereforeb=4.
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$作两条互相垂直的弦$A B$ , $C D$，若$|A B|+|C D|$的最小值为$16$，则抛物线的方程为?
【解析】设直线AB的方程为:y=k(x-\frac{p}{2}),则直线CD的方程为y=-\frac{1}{k}(x-\frac{p}{2})A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3}),D(x_{4},y_{4})联立\begin{cases}y=k(x-\frac{p}{2})\\y2=2px\end{cases},化为k^{2}x^{2}-(pk^{2}+2p)x+\frac{k^{2}p^{2}}{4}=0\thereforex_{1}+x_{2}=\frac{px^{2}+2p}{|c|^{2}x_{1}+x_{2}+\frac{2p}{k^{2}+x_{4}+2p}=p+\frac{2x}{k^{2}}+p+2pk^{2}+2p=2p(k^{2}+\frac{1}{k^{2}}+4)}+4p\therefore|AB|+|CD|的最小值为8p,\therefore8p=16,则p=2,所以抛物线的方程为y^{2}=4x.
【题目】设已知抛物线$C$的顶点在坐标原点，焦点为$F(1 , 0)$，直线$l$与抛物线$C$相交于$A$、$B$两点若$AB$的中点为$(2 , 2)$，则直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\sqrt{2}$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】由题知:\begin{cases}e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}\\c^{2}=a^{2}+b^{2}\end{cases}\Rightarrowa=b,双曲线的渐近线方程为y=\pmx
【题目】试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为$y=\pm 2 x$的双曲线方程?
【解析】中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,渐近线方程为y=\pm2x的双曲线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=\lambda(\lambda\neq0)
【题目】已知直线$x=1$与抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$交于点$M$，与$x$轴交于点$N$，点$A$、$B$都在抛物线$C$上，且直线$A B$的斜率为$2$，点$N$到直线$M A$，$M B$的距离相等，则$p$的值为?
【解析】解法一:设M(\frac{y_{0}^{2}}{2p},y_{0}),A(\frac{y_{2}}{2p},y_{1}),B(\frac{y_{2}^{2}}{2p},y_{2}),表示出k_{MA},k_{MB},k_{AB},因为点N到直线MA,MB的距离相等,所以k_{MA}+k_{MB}=0,整理结合k_{AB}=2,即可求出p解法二:设M(\frac{y_{0}^{2}}{2p},y_{0}),A(\frac{y_{1}^{2}}{2p},y_{1}),B(\frac{y_{2}^{2}}{2p},y_{2}),直线AB的方程为y=2x+b,与y^{2}=2px联立,得到关于y的一元二次方程,所以y_{1}+y_{2}=p.因为点N到直线MA,MB的距离相等,所以k_{MA}+k_{MB}=0,结合题目代入即可得出答案详解】解法一:设M(\frac{y_{0}^{2}}{2p},y_{0}),A(\frac{y_{1}^{2}}{2p},y_{1})'B(\frac{y_{2}^{2}}{2p},y_{2}),则^{k}MA^{4}\frac{2p}{y_{1}+y_{0}}+\frac{2p}{y_{2}+y_{0}}=0,整理得y_{1}+y_{2}=-2y_{0},所以k_{AB}=\frac{2p}{y_{1}+y_{2}}=\frac{2p}{-2y_{0}}=2,y_{0}=-\frac{p}{2},故\frac{y_{0}^{2}}{2p}=\frac{(-\frac{p}{2})^{2}}{2p}=1'所以p=8.解法二:设M(\frac{y_{0}^{2}}{2p},y_{0}),A(\frac{y_{1}^{2}}{2p},y_{1}),B(\frac{y_{2}^{2}}{2p},y_{2}),直线AB的方程为y=2x+b,与y^{2}=2px联立,整理得y^{2}-py+pb=0,所以y_{1}+y_{2}=_{p}^{x}.因为点N到直线MA,MB的距离相等,所以k_{MA}+k_{MB}=0,又^{k}MA^{=\frac{y_{1}-y_{0}}{\frac{y_{1}^{2}}{2p}-\frac{y_{0}^{2}}{2p}}=\frac{2p}{y_{1}+y_{0}},同理可得k_{MB}=\frac{2p}{y_{2}+y_{0}},所以\frac{2p}{y_{1}+y_{0}}+\frac{2p}{y_{2}+y_{0}}=0,整理得y_{1}+y_{2}=-2y_{0},所以-2y_{0}=p,y_{0}=-\frac{p}{2},故\frac{y_{0}^{2}}{2p}=\frac{(-\frac{p}{2})^{2}}{2p}=1'所以p=8.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$的一条渐近线方程为$x-2 y=0$，则该双曲线的离心率$e$=?
【解析】根据渐近线方程求出a,再利用离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}即可求解[详解]双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1渐近线方程:y=\pm\frac{x}{a}由的一条渐近线方程为x-2y=0,可得a=2又b=1,所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
【题目】方程$\frac{x^{2}}{1+k}+\frac{y^{2}}{1-k}=1$表示焦点在$y$轴上的双曲线，则实数$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】经过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的一个焦点和短轴端点的直线与原点的距离为$\frac{b}{2}$，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$:$ x^{2}-y^{2}=1$的左、右焦点，点$P$在$C$上，$\angle F_{1} P_{2}=60^{\circ}$，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的半焦距为$c$，若$b^{2}-4 a c<0$，则它的离心率的取值的范围是?
【解析】
【题目】直线$l$经过点$A(t, 0)$，且与曲线$y=x^{2}$相切，若直线$l$的倾斜角为$45^{\circ}$，则$t$=?
【解析】若直线l的倾斜角为45^{\circ},则直线的斜率为1,所以1:y=x-t,联立\begin{cases}y=x-t\\y=x^{2}\end{cases},消y得:x^{2}-x+t=0.因为直线与曲线相切,所以\triangle=(-1)^{2}-4t=0,\thereforet=\frac{1}{4}
【题目】已知$P$是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$右支上的任意一点，$F$是双曲线的右焦点，定点$A$的坐标为$(3,\sqrt{3})$，则$|P F|+|P A|$的最小值为?
【解析】
【题目】抛物线$y=2 x^{2}$的焦点坐标?
【解析】由题意知x^{2}=\frac{1}{2}y,所以抛物线的焦点在y轴正半轴上,且坐标为(0,\frac{1}{8})
【题目】斜率为$2$的直线过抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，且与$C$交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】写出直线方程,将其与抛物线联立,由韦达定理结合弦长公式|AB|=x_{1}+x_{2}+2即可得结果设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),则直线AB的方程为y=2(x-1)联立方程\begin{cases}y=2(x-1)\\y^{2}=4x\end{cases}得x^{2}-3x+1=0,故x_{1}+x_{2}=3,而|AB|=x_{1}+x_{2}+2=5,所以|AB|=5,
【题目】若双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{9}=1(m>0)$的一条渐近线方程为$y=\frac{1}{3} x$，则$m$=?
【解析】根据题意得\frac{3}{\sqrt{m}}=\frac{1}{3},解得m=81.
【题目】已知$k \in[-2,-1]$，则双曲线$x^{2}+k y^{2}=1$的离心率的取值范围是?
【解析】由题意知,双曲线的方程可变形为x^{2}-\frac{y^{2}}{-\frac{1}{k}}=1,\becausee^{2}=\frac{1-\frac{1}{k}}{1}\in[\frac{3}{2},2],\therefore离心率e\in[\frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{2}
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{3}=1$上有一点$P(2,1)$，若直线$l$:$ y=-x+b$交椭圆$C$于不同的两点$A$,$B$，且$P A \perp P B$，则$b$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}).B(x_{2},y_{2}),联立\begin{cases}y=-x+b\\x^{2}+2y^{2}=6\end{cases}得3x^{2}-4bx+2b^{2}-6=0A=16b^{2}-12(2b^{2}-6)>0,得:-3<b<3,由韦达定理得x_{1}+x_{2}=\frac{4b}{3},x_{1}\cdotx_{2}=\frac{2b^{2}-6}{3}则y_{1}+y_{2}=2b-(x_{1}+x_{2})=\frac{2b}{3},y_{1}\cdoty_{2}=(b-x_{1}(b-x_{2})=b^{2}-b(x_{1}+x_{2})+x_{1}\cdotx_{2}=\frac{b^{2}-6}{3}\becausePA\botPB,\therefore\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(x_{1}-2)\cdot(x_{2}-2)+(y_{1}-1)\cdot(y_{2}-1)=x_{1}\cdotx_{2}-2(x_{1}+x_{2})+4+y_{1}\cdoty_{2}-(y_{1}+y_{2})+1,=\frac{2b^{2}-6}{3}-2\cdot\frac{4b}{3}+\frac{b^{2}-6}{3}-\frac{2b}{3}+5=0解得b=3或\frac{1}{3}.又-3<b<3,故b=\frac{1}{3}
【题目】如果双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$上一点$P$到双曲线右焦点的距离是$2$，那么点$P$到$y$轴的距离是?
【解析】
【题目】已知$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1$上一个动点，直线$l$过圆$x^{2}+(y-6)^{2}=2$的圆心与圆相交于$A$、$B$两点，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$的最大值为?
【解析】记圆x^{2}+(y-6)^{2}=2的圆心为C(0,6)因为直线l过圆x^{2}+(y-6)^{2}=2的圆心与圆相交于A,B两点所以\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\frac{(\overrightarrow{PA}+\overline{P}}{}设P(x_{0},y_{0})\frac{B)^{2}-(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB})^{2}}{椭圆\frac{x^{2}}{10}+y^{2}=1上一个动点,}则x_{0}^{2}=10-10y_{0}^{2},|y_{0}|\leqslant1,所以PC^{2}=x_{0}^{2}+(y_{0}-6)^{2}==-9y_{0}^{2}-12y_{0}+46,当y_{0}=-\frac{2}{3}时,PC_{\max}^{2}=50,因此\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}的最大值为PC_{\max}^{2}-2=48.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点为$A$，右焦点为$F$，上顶点为$B$，下顶点为$C$，若直线$A B$与直线$C F$的交点为 $(3a,16)$，则椭圆的标准方程为?
【解析】由椭圆的左顶点的坐标为A(-a,0),上下顶点的坐标为B(0,b),C(0,-b),右焦点为F(c,0),则直线AB的方程为y=\frac{b}{a}x+b,直线CF的方程为y=\frac{b}{c}x-b,又因为直线AB与直线CF的交点为(3a,16),把点(3a,16)分别代入直线的方程\begin{matrix}16=\frac{b}{a}\times3a+b&\\16=\frac{b}{y^{2}}\times3a-b&\end{matrix}解得b=4且3a=5c
【题目】已知椭圆$E$的中心为原点，焦点在$x$轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为$2 \sqrt{2}-2$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则椭圆$E$的方程为?
【解析】\because椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c,\thereforea-c=2\sqrt{2}-2\because离心率e=\frac{\sqrt{2}}{2}\therefore\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{matrix}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\a-c=2\sqrt{2}-2&解得\begin{cases}a=2\sqrt{2}\\b=2\\c=2\end{cases}\therefore所求的椭圆方程E:2+\frac{y^{2}}{4}=1青】本题考查椭圆上的点到焦点的距离,离心率等椭圆内的常规内容,难度不大,属于简单题
【题目】有椭圆$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, $A$ , $B$为椭圆$\Gamma$长轴的端点，$C$、$D$为椭圆$\Gamma$短轴的端点，动点$M$满足$\frac{|M A|}{|M B|}=2$, $\Delta M A B$的面积的最大值为$8$，$\triangle M C D$的面积的最小值为$1$，则椭圆$\Gamma$的离心率为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$上一点$P$到两焦点$F_{1}$,$F_{2}$的距离之和为$6$，则$a$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$的离心率为$e$，焦点为$F$的抛物线$y^{2}=2 p x$与直线$y=k(x-\frac{p}{2})$交于$A$、$B$两点，且$\frac{|A F|}{|F B|}=e$，则$k$的值为?
【解析】
【题目】中心在原点，焦点在$x$轴的双曲线的一条渐近线方程是$y=\frac{3}{4} x$，焦点到渐近线的距离为$6$，
则双曲线方程是?
【解析】
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$有共同的渐近线，并且过点$(-3 , 2 \sqrt{3})$的双曲线方程为?
【解析】
【题目】已知$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上的一点，$A(2 , 2)$是平面内的一定点，$F$是抛物线的焦点，当$P$点坐标是?时, $|PA|+|PF|$最小.
【解析】
【题目】已知$e_{1}$ , $e_{2}$分别是椭圆$C_{1}$和双曲线$C_{2}$的离心率，$F_{1}$、$F_{2}$是它们的公共焦点，$M$是它们的一个公共点，且$\angle F_{1} M F_{2}=60^{\circ}$，则$\frac{1}{e_{1}}+\frac{1}{e_{2}}$的最大值为?
【解析】解析:设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a_{1}(a>a_{1},半焦距为c,设|MF_{1}|=m,|MF_{2}|=n,|F_{1}F_{2}|=2c,因为\angleF_{1}MF_{2}=\frac{\pi}{3},所以由余弦定理可得4c^{2}=m^{2+n^{2}-2mn\cos\frac{\pi}{3}},\textcircled{1}在椭圆中,m+n=2a,\textcircled{1}化简为4c^{2}=4a^{2}-3mn,即\frac{3mn}{4c^{2}}=\frac{1}{e^{2}}-1,\textcircled{2}在双曲线中,|m-n|=2a_{1},\textcircled{1}化简为4c^{2}=4a_{1}^{2}+mn,即\frac{mn}{4c^{2}}=1-\frac{1}{e_{2}^{2}},\textcircled{3}联立\textcircled{2}\textcircled{3}得,\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{3}{e_{2}^{2}}=4,即\frac{1}{4e_{1}^{2}}+\frac{3}{4e_{2}^{2}}=1,记\frac{1}{2e_{1}}=\cos\alpha,\frac{\sqrt{3}}{2e_{2}}=\sin\alpha'\cdot\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}),则\frac{1}{e_{1}}+\frac{1}{e_{2}}=2\cos\alpha+\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\alpha=\frac{4\sqrt{3}}{3}\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\leqslant\frac{4\sqrt{3}}{3}当且仅当\alpha=\frac{\pi}{6},即e_{1}=\frac{\sqrt{3}}{3},e_{2}=\sqrt{3}时取等号.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$的渐近线方程为$x \pm 2 y=0$，则焦距为?
【解析】由渐近线方程为x\pm2y=0,得\frac{b}{a}=\frac{1}{2},又b=1则a=2,所以a^{2}+b^{2}=5故c=\sqrt{5},所以焦距为2\sqrt{5}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1(a>0)$的右焦点为$F$，则点$F$到双曲线$C$的渐近线的距离?
【解析】设F(c,0),即a^{2}+b^{2}=a^{2}+3=c^{2}.双曲线的一条渐近线方程设为\sqrt{3}x-ay=0,可得F到渐近线的距离为d=\frac{\sqrt{3}c}{\sqrt{3+a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}c}{c}=\sqrt{3}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的两条渐近线与抛物线$y^{2}=4 x$分别相交于异于原点$O$的两点$A$, $B$, $F$为抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，已知$\angle A F B=\frac{2 \pi}{3}$，则该双曲线的离心率为?
【解析】设A(m,n),则n=\frac{b}{a}m,n^{2}=4m\Rightarrowm=\frac{4a^{2}}{b^{2}},n=\frac{4a}{b},因为\angleAFB=\frac{2\pi}{3},所以\frac{4a}{b}=\sqrt{3}\cdot|1-\frac{4a^{2}}{b^{2}}|\Rightarrow48(\frac{a^{2}}{b^{2}})^{2}-40\cdot\frac{a^{2}}{b^{2}}+3=0\Rightarrow\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{12}或\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{a^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{13}或\frac{a^{2}}{c^{2}}=\frac{3}{7}\Rightarrowe=\sqrt{13}或e=\frac{\sqrt{21}}{3}
【题目】已知双曲线$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}}-\frac{y^{2}}{b_{1}^{2}}=1(a_{1}>0, b_{1}>0)$与$C_{2}$: $\frac{y^{2}}{a_{2}^{2}}-\frac{x^{2}}{b_{2}^{2}}=1(a_{2}>0, b_{2}>0)$有相同的渐近线，若$C_{1}$的离心率为$2$，则$C_{2}$的离心率为?
【解析】
【题目】若焦点在$x$轴上的椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$m$的值是?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点重合，则$p$的值?
【解析】根据题意,由于双曲线\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1的a^{2}=6,b^{2}=3,c^{2}=a^{2+b^{2}}=9\thereforec=3右焦点坐标为(3,0),因此可知抛物线y^{2}=2px的焦点(\frac{p}{2},0)=(\sqrt{3},0)\therefore\frac{p}{2}=3\thereforep=6,
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在该椭圆上，若$|P F_{1}|-|P F_{2}|=1$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积是?
【解析】由椭圆的定义可知|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=4,联立|PF_{1}|-|PF_{2}|=1,即可求出|PF_{1}|、|PF_{2}|再由|F_{1}F_{2}|=2c=2,可得APF_{1}F_{2}为直角三角形,则面积可求\because\frac{x2}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\thereforea=2,c=]由椭圆的定义可知|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=4{|PF_{1}|-|PF_{2}|=1.|PF_{1}|=\frac{5}{2}(|PF_{1}|+|PF_{2}|=4||PF_{2}|=\frac{3}{2}\because|F_{1}F_{2}|=2c=2\therefore|PF_{1}|^{2}|^{-2}c-2|=|F_{1}F_{2}|^{2}+|PF_{2}|^{2},则APF_{1}F_{2}的面积是\frac{1}{2}\times|F_{1}F_{2}|\times|PF_{2}|=\frac{1}{2}\times2\times\frac{3}{2}=\frac{3}{2}
【题目】直线$l$经过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$，且与抛物线交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{A F}=4 \overrightarrow{F B}$，则直线$l$的斜率为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点为(1,0)设直线l为x=my+1,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则\begin{cases}x=my+1\\y^{2}=4x\end{cases},整理得y^{2}\cdot4my\cdot4=0,则y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=若\overrightarrow{AF}=4\overrightarrow{FB},可得y_{1}=-4y_{2},解得\begin{cases}y_{1}=\\y_{1}\end{cases}\thereforem=\frac{1}{4}(-4+1)=-\frac{3}{4},或\frac{1}{4}(4-1)=\frac{3}{4}即斜率为\pm\frac{4}{3}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1$的两个焦点，过$F_{1}$的直线与椭圆$C$交于$M$，$N$两点，则$\Delta F_{2} M N$的周长为?
【解析】利用椭圆的定义可知F_{1}M|||F_{2}M|和|F_{1}N|+|F_{2}N的的值,进而把四段距离相加即可求得案.利用椭圆的定义可知,F_{1}M+|F_{2}M|=2a=4,|F_{1}N|+|F_{2}N|=2a=4\therefore\triangleMNF_{2}的周长为|F_{1}M|+|F_{2}M|+F_{1}N|+|F_{2}N|=4+4=8
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1  (a>0)$的右焦点与抛物线$y^{2}=8 x$焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，过点$F_{1}$的直线$l$与$E$仅有一个公共点，且$l$与$\odot O$: $x^{2}+y^{2}=2 a^{2}$相切，则该双曲线的离心率为?
【解析】双曲线E:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x,过点F_{1}的直线l与E仅有一个公共点,可得直线l平行于渐近线,可得直线l的方程为y=\pm\frac{b}{a}(x+c),且l与\odotO:x^{2}+y^{2}=2a^{2}相切,可得\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=b=\sqrt{2}a则双曲线的e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{3}
【题目】$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$右支上的一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是左、右焦点，且焦距为$2 c$，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的内切圆的圆心的横坐标为?
【解析】如图所示:F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0),设内切圆与x轴的切点是点H,PF_{1},PF_{2}与内切圆的切点分别为M、N,由双曲线定义有|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a,由圆的切线长定理知,|PM|=|PN|,所以|MF_{1}|-|NF_{2}|=2a,即|HF_{1}|-|HF_{2}|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x,则点H的横坐标为x,所以(x+c)-(c-x)=2a,得x=a.
【题目】抛物线$(y+1)^{2}=4(x-2)$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】双曲线$x^{2}-y^{2}=1$左支上一点$(a , b)$到其渐近线$y=x$的距离是$\sqrt {2}$，则$a+b$的值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点与抛物线$y^{2}=4 x$的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，那么双曲线的离心率为?
【解析】由题意画出图形,再由抛物线方程求出焦点坐标,得到双曲线的焦点坐标,由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式,求解离心率即可如图,由抛物线方程y^{2}=4x,得抛物线的焦点坐标F(1,0)即双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的右焦点坐标为F(1,0)双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x不妨取y=\frac{b}{a}x,化为一般式:bx-ay=0则\frac{|b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2},即4b^{2}=3a^{2}+3b^{2}又a^{2}=1-b^{2},联立解得:a^{2}=\frac{1}{4},\thereforea=\frac{1}{2}则双曲线的离心率为:e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
【题目】设$P$为曲线$C$: $x=\sqrt{4-4 y^{2}}$上一点，$A(-\sqrt{3}, 0)$,$B(\sqrt{3}, 0)$,$|P B|=1$，则$\triangle P A B$的内切圆的半径为?
【解析】易知曲线C表示椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1的右半部分,A,B分别为该椭圆的左、右焦点,由椭圆的定义可知|PA|+|PB|=2a=4,则|PA|=3,从而\cos\angleAPB=\frac{1+9-12}{2\times1\times3}=-\frac{1}{3},S_{APAB}=\frac{1}{2}\times1\times3\times\frac{\sqrt[2]{2}}{3}=\sqrt{2},则APAB的内切圆的半径为\frac{2\sqrt{2}}{1+3+2\sqrt{3}}=2\sqrt{2}-\sqrt{6}
【题目】已知$\tan \alpha=-2$，抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F(-\sin \alpha \cos \alpha, 0)$，直线$l$经过点$F$且与抛物线交于$A$、$B$两点，且$|A B|=4$，则线段$A B$的中点到直线$x=-\frac{1}{2}$的距离为?
【解析】因为\tan\alpha=-2,抛物线y^{2}=2px(p>0)的焦点为F(-\sin\alpha\cos\alpha,0),所以F(\frac{2}{5},0)所以p=\frac{4}{5},因为直线l经过点F且与抛物线交于A,B两点,且AB=4,所以x_{1}+x_{2}+\frac{4}{5}=4,所以x_{1}+x_{2}=\frac{16}{5},所以线段AB的中点到直线x=-\frac{1}{2}的距离为\frac{8}{5}+\frac{1}{2}=\frac{21}{10}
【题目】若双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{\lambda}=1$的离心率不大于$\sqrt{2 \lambda-5}$，则$C$的虚轴长的取值范围为?
【解析】因为a^{2}=2,b^{2}=\lambda,所以c^{2}=2+\lambda,所以e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{2+2}{2},所以e=\sqrt{\frac{2+\lambda}{2}}\leqslant\sqrt{2\lambda-5},解得\lambda\geqslant4,则b^{2}\geqslant4,故虚轴长2b\geqslant4.
【题目】设过点$K(-1 , 0)$的直线$l$与抛物线$C$: $y^{2}=4 x$交于$A$、$B$两点，$F$为抛物线的焦点，若$|B F|=2|A F|$，则$\cos \angle A F B$=?
【解析】令直线的l方程为x=my-1,将直线方程代入批物线C:y^{2}=4x的方程,得y^{2}-4my+4=0,令A(x_{1},y_{2}),B(x_{2},y_{2}),且0<y_{1}<y_{2}所以y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}\cdoty_{2}=4,由抛物线的定义知|AF|=x_{1}+1,|BF|=x_{2}+由|BF|=2|AF|可知,2(x_{1}+1)=x_{2}+1,则2y_{1}=y_{2},解得:y_{1}=\sqrt{2},x_{1}=\frac{1}{2},y_{2}=2\sqrt{2},x_{2}=2,m=\frac{3\sqrt{2}}{4}则A,B两点坐标分别为(\frac{1}{2},\sqrt{2}),(2,2\sqrt{2}),则\overrightarrow{FA}=(-\frac{1}{2},\sqrt{2}),\overrightarrow{FB}=(1,2\sqrt{2}),则\cos\angleAFB=\frac{\overrightarrow{FA}\cdot\overrightarrow{FB}}{|FA|\cdot|FB|}=\frac{-\frac{1}{2}+4}{\frac{3}{3}\times3}=\frac{7}{9}.
【题目】双曲线$3 x^{2}-y^{2}=12$的离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$为椭圆上一点，且$\angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$,$\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ}$，则椭圆的离心率$e$=?
【解析】
【题目】设$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上的一个动点，$F$为抛物线的焦点，点$A(6,3)$，则$|P A|+|P F|$的最小值为?
【解析】设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,进而把问题转化为求|PA|+|PD|的最小值,进而可推断出当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小,则答案可得设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|.所以,要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小当D、P、A三点共线时PA+|PD|最小为6-(-1)=7.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的两个焦点，$P$为椭圆$C$上一点，且$\overrightarrow{P F_{1}} \perp \overrightarrow{P F_{2}}$. 若$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为$9$，则$b$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{1}$的直线与双曲线的左，右两支分别交于$A$、$B$两点，若$|A B|=|A F_{2}|$ , $\cos \angle B A F_{2}=\frac{7}{8}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】
【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在$y$轴上，若其离心率为$\frac{1}{2}$，焦距为$8$，则该椭圆的方程是?
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆方程为:\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,因为若其离心率是\frac{1}{2},焦距是8,所以\frac{c}{a}=\frac{1}{2},2c=8.\cdots\textcircled{1}又a^{2}=b^{2}+c^{2}\textcircled{1}\textcircled{2}联立解得a=8,b=4\sqrt{3},所以椭圆的方程为\frac{x^{2}}{48}+\frac{y^{2}}{64}=1
【题目】已知抛物线$C$: $x^{2}=4 y$的焦点为$F$、$A$为$C$上一点，线段$F A$的延长线交$x$轴于$B$点，若点$A$到$l$: $y=-1$的距离$d$等于$A$到$B$的距离，则$|F B|$=?
【解析】根据抛物线的定义可知|AB|=|AF|,即A为BF的中点,设B(x_{0},0),则A(\frac{x_{0}}{2},\frac{1}{2}),再由A在抛物线上,即可求出x_{0},即可得解;依题意F(0,1),因为A在抛物线上,且抛物线的准线方程为y=-1,所以点A到点F的距离等于到y=-1的距离,又点A到l:y=-1的距离d等于A到B的距离,所以|AB|=|AF|,所以A为BF的中点,设B(x_{0},0),所以A(\frac{x_{0}}{2},\frac{1}{2}),所以(\frac{x_{0}}{2})^{2}=4\times\frac{1}{2},解得x_{0}=\pm2\sqrt{2},所以|FB|=\sqrt{(\pm2\sqrt{2})^{2}+1^{2}}=3
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1$的一条渐近线方程为$2 x+3 y=0$, $F_{1}$ , $F_{2}$分别是双曲线$C$的左、右焦点，点$P$在双曲线$C$上，且$|P F_{1}|=7$，则$|P F_{2}|$=?
【解析】由题知双曲线C:\frac{x2}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1的一条渐近线方程为2x+3y=0,即y=-\frac{2}{3}x,则\frac{b}{a}=\frac{2}{3},又b=2,\thereforea=3,由双曲线的定义得,||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a=6\because|PF_{1}|=7\therefore|PF_{2}|=1或|PF_{2}|=13.
【题目】点$P$在椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1$上运动,点$A$、$B$分别在$x^{2}+(y-4)^{2}=16$和$x^{2}+(y+4)^{2}=4$上运动,则$|P A|+|P B|$的最大值为?
【解析】由题意得:椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1的两个焦点(0,\pm4)分别是圆x^{2}+(y-4)^{2}=16和x^{2}+(y+4)^{2}=4的圆心,P到两个焦点的距离和为定值2\times5=10,两圆的半径分别为4和2,故P为椭圆的下顶点,A,B分别为相应圆上纵坐标最大的点时|PA|+|PB|的最大值为:2\times5+2+4=16,
【题目】设$F$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点，若$C$上存在点$P$，使线段$P F$的中点为$(0,-\sqrt{3} b)$，则$C$的离心率为?
【解析】不妨假设点F为双曲线的焦点,则点P位于双曲线的左支由双曲线的方程可知F(c,0),结合中点坐标公式可得:P(-c,-2\sqrt{3}b)由通项公式可得:\frac{b^{2}}{a}=\frac{2\sqrt{3}b,\thereforeb=2\sqrt{3}a,\frac{b}{a}}=2\sqrt{3},则双曲线的离心率e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{13}.
【题目】抛物线$x^{2}=4 y$的焦点到准线的距离为?
【解析】由抛物线方程x^{2}=4y知,2p=4,p=2,所以焦点到准线的距离为2.青】本题主要考查了抛物线的方程,几何性质,属于容易题
【题目】已知定点$A(-3,0)$ , $B(3,0)$，动点$P$在抛物线$y^{2}=2 x$上移动，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$的最小值等于?
【解析】设P(x,y),则y^{2}=2x,因为A(-3,0),B(3,0),所以\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=(x+3,y)\cdot(x-3,y)=x^{2}+y^{2}-9=x^{2}+2x-9=(x+1)^{2}-10(x\geqslant0)故当x=0时,取得最小值为-9.睛】本小题主要考查点在曲线上,点的坐标满足曲线方程,考查向量数量积的运算,还考查了二次函数求最值的方法,属于中档题.在解题过程中,需要大胆的代入向量的数量积运算,向量数量积的运算有两种形式,一个是用模和夹角来表示,另一个是用坐标来表示
【题目】已知点$F_{1}(-4 , 0)$和$F_{2}(4 , 0)$，一曲线上的动点$P$到$F_{1}$、$F_{2}$的距离的差的绝对值是$6$，该曲线方程是?
【解析】根据双曲线的定义求曲线方程.\because|F_{1}F_{2}|=8,||PF_{1}|-|PF_{2}||=6,\thereforeP点轨迹是以F_{1},F_{2}为焦点,实轴长为6的双曲线.2a=6,a=3,又c=4,\thereforeb^{2}=c^{2}-a^{2}=7\therefore曲线方程是\frac{x^{2}}{0}-\frac{y^{2}}{7}=1
【题目】已知直线$y=-x+1$与椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$相交于$A$、$B$两点，且线段$A B$的中点$M$在直线$x-2 y=0$上，则椭圆的离心率为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由\begin{cases}y=-x+1\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}得(a^{2}+b^{2})x^{2}-2a^{2}x+a^{2}-a^{2}b^{2}=0由韦达定理得x_{1}+x_{2}=\frac{2a2}{a^{2}+b^{2}},y_{2}+y_{1}=\frac{2b^{2}}{a^{2}+b^{2}},A=a^{2}+b^{2}-1>0,所以线段AB的中点M(\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}},\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}),又M在直线x-2y=0上,所以\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=0,即a^{2}=2b^{2}=2a^{2}-2c^{2},所以a^{2}=2c^{2},解得e=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点，$P$为椭圆上一点，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的周长为?
【解析】根据椭圆定义可得AF_{1}PF_{2}的周长为为2a+2c,所以AF_{1}PF_{2}的周长为2\times5+2\times4=18.
【题目】虚轴长为$2$，离心率$e=3$的双曲线两焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$作直线交双曲线于$A$、$B$两点，且$|A B|=8$，则$\triangle A B F_{2}$的周长为?
【解析】依题意\begin{cases}2b=2\\\frac{c}{a}=3\\c2=a2+b^{2}\end{cases},解得a=\frac{\sqrt{2}}{4},b=1,c=\frac{3\sqrt{2}}{4}.由于\begin{cases}|AF_{2}|-|AF_{1}|=2a\\|BF_{2}|-|BF_{1}|=2a\end{cases},两式相加得|AF_{2}|+|BF_{2}|-(|AF_{1}|+|BF_{1}|)=|AF_{2}|+|BF_{2}|-|AB|=4a,所以|AF_{2}|+|BF_{2}|=4a+|AB|,所以AABF_{2}的周长为_{4a+2}|AB|=4\times\frac{\sqrt{2}}{4}+2\times8=16+\sqrt{2}
【题目】已知点$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$上除顶点外的任意一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为左、右焦点，$c$为半焦距，$\triangle PF_{1} F_{2}$的内切圆与$F_{1}F_{2}$切于点$M$，则$|F_{1} M| \cdot |F_{2} M |$=?
【解析】

hbghlyj

【题目】点$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上一点，$M$、$N$分别是圆$(x+3)^{2}+y^{2}=4$和$(x-3)^{2}+y^{2}=1$上的动点，则$P M+P N$的取值范围是?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1,焦点F_{1}(-3,0),F(3,0)而圆(x+3)^{2}+y^{2}=4和(x-3)^{2}+y^{2}=1的圆心为(-3,0),(3,0)所以P到两圆圆心的距离之和为10,而M、N分别是圆(x+3)^{2}+y^{2}=4和(x-3)^{2}+y^{2}=1上的动点所以(PM+PN)_{\min}=10-r_{1}-r_{2}=7(PM+PN)_{\max}=10+r_{1}+r_{2}=13所以PM+PN的取值范围是[7,13]
【题目】抛物线$y=-\frac{1}{2} x^{2}$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】若双曲线的渐近线方程为$y=\pm 2 x$，它的一个焦点与抛物线$y^{2}=4 \sqrt{5} x$的焦点重合，则双曲线的标准方程为?
【解析】因为双曲线的渐近线方程为y=\pm2x,所以b=2a,因为抛物线y2=4\sqrt{5}x的焦点为(\sqrt{5},0),所以c=\sqrt{5}所以,a^{2}+b^{2}=5a^{2}=5,可得a^{2}=1,b^{2}=4,所以双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1'
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程为$y=k x(k>0)$，离心率为$2$，则$k$的值为?
【解析】由于y=kx(k>0))双曲线的一条渐近线,则k=\frac{b}{a}又e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=2所以\frac{b}{a}=\sqrt{3},则k=\sqrt{3}.数答安为:,,--
【题目】若双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{m}=1$的离心率不大于$\sqrt{2 m-8}$，则$C$的虚轴长的取值范围为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点$F$恰好是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的右顶点，且双曲线的渐近线方程为$y=\pm \sqrt{3} x$，则双曲线方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$与双曲线$\frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1  (m>0 , n>0)$具有相同的焦点$F_{1}$、$F_{2}$，设 两曲线的一个交点为$Q$ , $\angle Q F_{1} F_{2}=90^{\circ}$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】若直线$y=k(x-2)$与抛物线$y^{2}=8 x$交于$A$、$B$两点，若线段$A B$的中点的横坐标是$3$，则$|A B|$=?
【解析】依题意联立直线与抛物线方程得\begin{cases}y=k(x-2)\\y2=8x\end{cases},消去y得k^{2}(x-2)^{2}=8x,整理得k^{2}x^{2}-(4k^{2}+8)x+4k^{2}=0,所以_{A}=[-(4k^{2}+8)]^{2}-4\times4k^{2}\timesk^{2}=64k^{2}+64>0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})所以x_{1}+x_{2}=\frac{1}{k^{2}}(4k^{2}+8)\because线段AB的中点的横坐标是3,所以x_{1}+x_{2}=\frac{1}{k^{2}}(4k^{2}+8)=2\times3,解得k=\pm2,所以|AB|=x_{1}+x_{2}+p=6+4=10
【题目】已知点$P$在抛物线$x^{2}=8 y$上，点$A(-2,4)$, $F$是焦点，则$|P F|+|P A|$的最小值为?
【解析】因为(-2)^{2}<8\times4,所以点A在抛物线内部.如图,过点P,A分别作准线l的垂线,垂足分别为Q,B,则|PF|=|PQ|,易知当A,P,Q三点共线时,|PF|+|PA|最小,即|AB|.易得点A到准线的距离为4-(\frac{p}{2})=4-(-2)=6.故|PF|+|PA|的最小值为6.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1(a>0)$的一个焦点为$(2,0)$，则$a$=?
【解析】根据椭圆标准方程中满足:a2=b^{2}+c^{2},即得解.由于椭圆的一个焦点为(2,0),因此焦点在x轴上,又椭圆的标准方程满足:a^{2}=b^{2}+c^{2},故a^{2}=6,a>0,\thereforea=\sqrt{6}
【题目】过点$P(2,1)$的直线与双曲线$\frac{y^{2}}{2}-x^{2}=1$交于$A$、$B$两点，则以点$P$为中点的弦$A B$所在直线斜率为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则\begin{cases}\frac{y_{2}}{2}-x_{1}=1\\\frac{y_{2}^{2}-x_{2}}{2}=1\\两式相减得:x_{2}-y_{1}=2\frac{x_{1}+x_{2}}{y_{1}+y}=\frac{4}{1}=4,\end{cases},即k=4经检验,当k=4时,直线与又又曲线相交所以填4的时)本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,点差法,属于中档题
【题目】双曲线$8 m x^{2}-m y^{2}=8$的一个焦点是$(3,0)$，那么$m$的值为?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{\frac{8}{m}}=1的一个焦点为(3,0),所以\frac{1}{m}+\frac{8}{m}=9,解得:m=1
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右两个焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，若经过$F_{1}$的直线$l$与椭圆相交于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$的周长等于?
【解析】由\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1得a=2,则\triangleABF_{2}的周长等于AB+AF_{2}+BF_{2}=AF_{1}+BF_{1}+AF_{2}+BF_{2}=4a=8
【题目】设$A$是抛物线$C$: $y^{2}=12 x$上一点，若$A$到$C$的焦点的距离为$10$，则$A$到$y$轴的距离为?
【解析】设抛物线的焦点为F,因为点A到C的焦点的距离为10,所以由抛物线的定义知|AF|=x_{A}+\frac{p}{2}=x_{A}+3=10,解得x_{A}=7,所以点A到v轴的距离为7为答安为
【题目】若椭圆$C$过点$(2, \sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】设椭圆C:mx^{2}+ny^{2}=1(m>0,n>0,m\neqn),则\begin{cases}4m+2n=1\\2m+3n=1\end{cases}则\begin{cases}m=\frac{1}{8}\\n=\frac{1}{4}\end{cases},故椭圆C:\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1,故离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】经过点$P(4 ,-2)$的抛物线的标准方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线中心在原点且一个焦点为$F(\sqrt{7} , 0)$, 直线$y = x-1$与其相交于$M$,$N$两点,$M N$中点的横坐标为$-\frac{2}{3}$，则此双曲线的方程是?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{2}=1$的焦点坐标为?
【解析】根据双曲线的标准方程直接求解即可.由\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{2}=1,可知焦点在y轴上a^{2}=3,b^{2}=2,所以c^{2}=a^{2}+b^{2}=5,即c=\sqrt{5}所以双曲线的焦点坐标为(0,\pm\sqrt{5})
【题目】已知抛物线$\Gamma$以原点$O$为顶点，以$x$轴为对称轴，且$\Gamma$与圆$C$: $x^{2}+y^{2}-4 y=0$相交于两点若这两点间的距离为$3$，则$\Gamma$的焦点到其准线的距离为?
【解析】分析:由勾股定理求出圆心C(0,2)到直线OA的距离,利用点到直线距离公式求出直线OA的斜率,求得过C与OA垂直的直线方程,两直线交点就是OA中点,从而可得A点坐标,代入抛物线方程可得P=\frac{27\sqrt{7}}{56},进而可得结果.详圆与抛物线都过原点,设另一个交点为A,则圆心C(0,2)到直线OA的距离为\sqrt{4-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}设直线OA:y=kx,则\frac{2}{\sqrt{1+k^{2}}}=\frac{\sqrt{7}}{2},得k=\frac{3}{\sqrt{7}}(k=-\frac{3}{\sqrt{7}}舍去)过C与OA垂直的直线方程为y=-\frac{\sqrt{7}}{3}x+2^{,}\textcircled{1}OA:y=\frac{3\sqrt{7}}{7}x'\textcircled{2}由\textcircled{1}\textcircled{2}得,\begin{cases}x=\frac{3}{8}\sqrt{7}\\y=\frac{9}{2}\end{cases},OA中点坐标(\frac{3}{8}\sqrt{7},\frac{9}{8})4点坐标(\frac{3}{4}\sqrt{7},\frac{\frac{\frac{2}{8}}{8}})+入y^{2}=2px,得P=\frac{27\sqrt{7}}{},即T的焦点到其准线的距离为\frac{27\sqrt{7}}{},
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线与圆$x^{2}+y^{2}-6 x-7=0$相切，则$p$的值为?
【解析】先表示出准线方程,然后根据抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线与圆(x-3)^{2}+y^{2}=16相切,可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值.抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线方程为x=.\frac{p}{2},因为抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线与圆(x-3)^{2}+y^{2}=16相切,所以3+\frac{p}{2}4,解得p=2.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，分别过$A$、$B$作准线的垂线，垂足分别为$C$、$D$. 若$|A F|=4|B F|$，则$|C D|$=?
【解析】设直线AB的倾斜角为\theta,并设\theta为锐角,由于|AF|=4|BF|,则有\frac{2}{1-\cos\theta}=\frac{4\times2}{1+\cos\theta},解得\cos\theta=\frac{3}{5},则\sin\theta=\frac{4}{5},由抛物线的焦点弦长公式可得AB=\frac{4}{\sin2\theta}=\frac{4}{(4)}因此,|CD|=|AB|\sin\theta=\frac{25}{4}\times\frac{4}{5}=5
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右顶点分别为$A_{1}$、$A_{2}$，且以线段$A_{1} A_{2}$为直径的圆与直线$b x-a y+2 a b=0$相切，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】椭圆C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A_{1}(-a,0),A_{2}(a,0),以线段A_{1},A_{2}为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a,根据直线与圆相切可得,圆心到直线的距离等于半径则有\frac{|2ab|}{\sqrt{a2+b^{2}}}=a,即4a^{2}b^{2}=a^{2}(a^{2}+b^{2}),可得a^{2}=3b^{2}椭圆的离心率为e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$.若存在圆心在双曲线的一条渐近线上的圆，与另一条渐近线及$x$轴均相切，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知直线$l$: $x+3 y-2 b=0$过双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点$F$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】由于双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的右焦点F的坐标为(c,0),由已知,有:c-2b=0,又\becausec^{2}=a^{2}+b^{2},\therefore(2b)^{2}=a^{2}+b^{2}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}故知双曲线的渐近线方程为_{y}=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x'即:x\pm\sqrt{3}y=0.故答案应填:x\pm\sqrt{3}y=0.
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点倾斜角为$\frac{\pi}{6}$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】已知双曲线的中心在原点，焦点$F_{1}$ , $F_{2}$在坐标轴上，一条渐近线方程为$y=x$，且过点$(4 ,-  \sqrt{10})$ , $A$点坐标为$(0 , 2)$，则双曲线上距点$A$距离最短的点的坐标是?
【解析】
【题目】已知点$P$为圆$(x-6)^{2}+(y-8)^{2}=1$上任一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的两个焦点，求$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}$的取值范围?
【解析】由题,椭圆的焦点为F_{1}(-1,0),F_{2}(1,0),设点P(6+\cos\theta,8+\sin\theta),则\overrightarrow{PF_{1}}=(-7-\cos\theta,-8-\sin\theta),\overrightarrow{PF_{2}}=(-5-\cos\theta,-8-\sin\theta)所以\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=(-7-\cos\theta)(-5-\cos\theta)+(-8-\sin\theta)(-8-\sin\theta)=100+12\cos\theta+16\sin\theta=100+20\sin(\theta+\varphi),\tan\varphi=\frac{3}{4},因为\sin(\theta+\varphi)\in[-1,1],所以\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PF}_{2}\in[80,120],
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x$上三点$A(2,2)$, $B$, $C$，直线$A B$, $A C$是圆$(x-2)^{2}+y^{2}=1$的两条切线，则直线$B C$的方程为?
【解析】A(2,2)在抛物线y^{2}=2px上,故2^{2}=2p\times2,即p=1,抛物线方程为y^{2}=2x.设过点A(2,2)与圆(x-2)^{2}+y^{2}=1相切的直线的方程为:y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆心(2,0)到切线的距离d=\frac{|2k-0+2-2k|}{\sqrt{k^{2}+1}}=1,解得k=\pm\sqrt{3},如图,直线AB:y-2=\sqrt{3}(x-2),直线AC:y-2=-\sqrt{3}(x-2)联立\begin{cases}y-2=\sqrt{3}(x-2)\\y^{2}=2x\end{cases},得3x^{2}+(4\sqrt{3}-14)x+16-8\sqrt{3}=0,联立\begin{cases}y-2=\sqrt{2}\\y2=2x\end{cases}故x_{n}x_{B}=\frac{16-8\sqrt{3}}{3},由x_{A}=2得x_{B}=\frac{8-4\sqrt{3}}{3},故y_{B}=\frac{2\sqrt{3}-6}{3},故x_{A}x_{C}=\frac{16+8\sqrt{3}}{3},由x_{A}=2得x_{C}=\frac{8+4\sqrt{3}}{3},故y_{C}=\frac{-2\sqrt{3}-6}{3}故y_{B}+y_{c}=\frac{2\sqrt{3}-6}{3}+\frac{-2\sqrt{3}-6}{y_{B}-y_{c}}=\frac{\sqrt{3}-y_{c}}{\frac{1}{2}y_{2}-\frac{1}{2}y_{2}}=\frac{C在抛物线上可知}{y_{B}+y_{c}}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}故直线BC的方程为y-\frac{2\sqrt{3}-6}{3}=-\frac{1}{2}(x-\frac{8-4\sqrt{3}}{3}),即3x+6y+4=0.
【题目】已知$M$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{8}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线的左、右焦点，且$|M F_{1}|=4$，则$|M F_{2}|$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{8}=1的焦点在x轴,其中a=4,b=2\sqrt{2},c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{16+8}=2\sqrt{6}|MF|=4<4+2\sqrt{6},即|MF_{1}|<a+c,所以M是双曲线左支上一点,则|MF_{2}|=|MF|+2a=4+8=12.
【题目】如果双曲线$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{2}=1$的离心率等于$2$，则实数$m$等于?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$, $M$为椭圆上一动点，$F_{1}$为椭圆的左焦点，则线段$M F_{1}$的中点$P$的轨迹形状为?
【解析】设F_{2}为椭圆的右焦点.在\triangleMF_{1}F_{2}中,易得PO//MF_{2}且|PO|=\frac{1}{2}|MF_{2}|,|PF_{1}|=\frac{1}{2}|MF_{1}|.因为|MF_{1}|+|MF_{2}|=2a,所以|PO|+|PF_{1}|=a>|F_{1}O|故由椭圆的定义知点P的轨迹是椭圆.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}=11 (a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若直线$y=k x$与其一个交点的横坐标为$b$，则$k$的值为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$、$A$、$B$在抛物线上，且$\angle A F B=\frac{\pi}{2}$，弦$A B$的中 点$M$在其准线上的射影为$N$，则$\frac{|M N|}{|A B|}$的最大值为?
【解析】
【题目】过点$(2 \sqrt{2}, \sqrt{3})$的双曲线$C$的渐近线方程为$y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$, $P$为双曲线$C$右支上一点，$F$为 双曲线$C$的左焦点，点$A(0,3)$, 则$|P A|+|P F|$的最小值为?
【解析】
【题目】直线$y=k x-2$交抛物线$y^{2}=8 x$于$A$、$B$两点，若$AB$中点的横坐标是$2$,$|A B|$=?
【解析】
【题目】若椭圆$4 x^{2} + y^{2}=2$上两点间最大的距离为$8$，则实数$k$的值是?
【解析】
【题目】焦点为$(-2 , 0)$的抛物线方程为?
【解析】
【题目】双曲线的焦点在 $x$ 轴上，实轴长为 $6$ ，虚轴长为 $8$ ，则双曲线的标准方程是?
【解析】
【题目】已知椭圆两个焦点坐标分别是$(5 , 0)$ ,$(-5 , 0)$，椭圆上一点$P$到两个焦点的距离之和为$26$，则椭圆的方程为?
【解析】由题意可得:c=5,并且得到椭圆的焦点在x轴上,再根据椭圆的定义得到a=13,进而由a,b,c的关系求出b的值得到椭圆的方程.\because两个焦点的坐标分别是(5,0),(-5,0)\therefore椭圆的焦点在横轴上,并且c=5,\therefore由椭圆的定义可得:2a=26,即a=13,\therefore由a,b,c的关系解得b=12,椭圆方程是\frac{x^{2}}{169}+\frac{y^{2}}{144}=1
【题目】已知$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的右支 (在第一象限内) 上的任意一点，$A_{1}$、$A_{2}$分别是其左右顶点，$O$是坐标原点，直线$PA_{1}$ , $PO $, $PA_{2}$的斜率分别为$k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$，则斜率$k_{1} k_{2} k_{3}$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知点$F$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点，点$P$为椭圆$C$上任意一点，点$Q$的坐标为$(4,3)$，则$|P Q|+|P F|$取最大值时，点$P$的坐标为?
【解析】椭圆的左焦点为F(-1,0),右焦点为E(1,0),根据椭圆的定义,|PF|=2a-|PE|.\therefore|PF|+|PQ|=|PQ|+2a-|PE|=2a+(|PQ|-|PE|,由三角形的性质,知|PQ|-|PE|\leqslant|QE|,当P是QE延长线与椭圆的交点(0,-1)时,等号成立,故所求最大值为2a+|QE|=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$2$，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，则双曲线$C$的焦距为?
【解析】因为双曲线的离心率为2,焦点(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离为\sqrt{3},所以\frac{|\frac{c}{a}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{3},解得b=\sqrt{3},a=1,c=2,所以双曲线的焦距为4.
【题目】已知椭圆和双曲线有相同的焦点$F_{1}$、$F_{2}$，它们的离心率分别为$e_{1}$, $e_{2}$ , $P$是它们的一个公共点，且$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{2 \pi}{3}$. 若$e_{1} e_{2}=\sqrt{3}$，则$e_{2}$=?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过$F$且斜率为$1$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，动点$P$在曲线$y^{2}=-4 x(y \geq 0)$上，则$\triangle P A B$的面积的最小值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$的直线与双曲线右支交于$A$、$B$两点，则$\triangle A F_{1} F_{2} , \triangle B F_{1} F_{2}$的内切圆面积之和的取值范围是?
【解析】解析:令\triangleAF_{1}F_{2}、\triangleBF_{1}F_{2}的内切圆心为I_{1}、I_{2},与x轴切于M,N则|F_{1}M|=\frac{|F_{1}F_{2}|+|F_{1}A|-|F_{2}A|}{2}=3=|F_{1}N|,所以M、N重合于双曲线右顶点过F_{2}的直线与双曲线右支交于A、B两点,令\angleAF_{2}F_{1}=\alpha\in(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3})内切圆面积和为S=\pir_{1}^{2}+\pir_{2}^{2}=\pi(\tan^{2}\frac{\alpha}{2}+\cot^{2}\frac{\alpha}{2})\in[2\pi,\frac{10}{3}\pi)
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$上一点$P$到双曲线右焦点的距离是$4$，那么$P$到左准线的距离是?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0, b>0)$的右顶点到其中一条渐近线的距离为$\frac{b}{2}$，则双曲线的离心率为?
【解析】右顶点为(a,0),一条渐近线方程为y=\frac{b}{a}x,即bx-ay=0,由题意\frac{|ab|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}=\frac{b}{2},即\frac{a}{c}=\frac{1}{2},所以e=\frac{c}{a}=2.
【题目】若椭圆$m x^{2}+y^{2}=8$与椭圆$C$: $9 x^{2}+25 y^{2}=100$焦点相同，则实数$m$=?
【解析】由C:9x^{2}+25y^{2}=100得:\frac{x^{2}}{\frac{100}{9}}+\frac{y^{2}}{4}=1,则c^{2}=\frac{100}{9}-4=\frac{64}{9}且焦点在x轴由mx^{2+y^{2}}=8得:\frac{x^{2}}{\frac{8}{m}}+\frac{y^{2}}{8}=1,\becausemx^{2}+y^{2}=8与C:9x^{2}+25y^{2}=100共焦点,\thereforec^{2}=\frac{8}{m}-8\therefore\frac{8}{m}-8=\frac{64}{9},解得:m=\frac{9}{17}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，$M$是椭圆短轴的端点，点$N$在椭圆上，且$\overrightarrow{M F_{2}}=3 \overrightarrow{F_{2} N}$. 若$\Delta M N F_{1}$的面积为$2$，则$a$=?
【解析】因为\overrightarrow{MF}_{2}=3\overrightarrow{F_{2}N},所以M,F_{2},N三点共线.又M是椭圆短轴的端点,所以MF_{2}=MF_{1}=a,所以NF_{2}=\frac{1}{3}a,MN=\frac{4}{3}a,则NF_{1}=2a-NF_{2}=\frac{5}{3}a,所以MN^{2}+MF_{1}^{2}=NF_{1}^{2},所以S_{n}NF_{1}=\frac{1}{2}\cdota\cdot\frac{4}{3}a=\frac{2}{3}a^{2}=2,解得a=\sqrt{3}(负值舍去)
【题目】已知$M(4 , 2)$是直线$l$被椭圆$x^{2}+4 y^{2}=36$所截得的线段$A B$的中点，则直线$l$的方程为?
【解析】设直线l的方程为y-2=k(x-4),代入椭圆的方程化简,由x_{1}+x_{2}=\frac{32k^{2}-16k}{1+4k^{2}}='8\"解得k值,即得直线l的方程.由题意得,斜率存在,设为k,则直线l的方程为y-2=k(x\cdot4),即kx\cdoty+2\cdot4k=0,代入椭圆的方程化简得(1+4k^{2})x^{2}+(16k-32k^{2})x+64k^{2}-64k-20=0,\thereforex_{1}+x_{2}=\frac{32k^{2}-16k}{1+4k^{2}}=8,解得k=-\frac{1}{2},故直线l的方程为x+2y-8=0,
【题目】若线段$A B=2$，且$A$、$B$在两坐标轴上运动，则$A B$中点$M$的轨迹方程为?
【解析】设M(x,y),则A(2x,0),B(0,2y)因为|AB|=2,所以\sqrt{4x^{2}+4y^{2}}=2,即x^{2}+y^{2}=1所以AB中点M的轨迹方程为x^{2}+y^{2}=1
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，$P$为椭圆上一点，且$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$则$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】
【题目】经过点$A(-2,0)$且焦距为$6$的双曲线的标准方程是?
【解析】
【题目】以椭圆$3 x^{2}+13 y^{2}=39$的焦点为顶点，以$y = \pm \frac{1}{2} x$为渐近线的双曲线方程为?
【解析】以椭圆3x^{2}+13y^{2}=39的焦点为(\pm\sqrt{10},0),则双曲线的顶点(\pm\sqrt{10},0),可得a=\sqrt{10},以y=\pm\frac{1}{2}x为渐近线的双曲线,可得b=\frac{\sqrt{10}}{2}所求的双曲线方程为:\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{\frac{5}{5}}=1.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$M(x_{0}, 2 \sqrt{2})(x_{0}>\frac{p}{2})$是抛物线$C$上一点，以点$M$为圆心$\sqrt{3}$为半径的圆与直线$x=\frac{p}{2}$交于$E$，$G$两点，若$|E G|=2 \sqrt{2}$，则抛物线$C$的方程是?
【解析】根据题意,利用勾股定理求得M点坐标,代入抛物线方程,即可求得p,求得抛物线方程由题意可知,过M作MN\botx=\frac{p}{2}交x=\frac{p}{2}于点N,由题意可知:|MN|=|ME|^{2}-|NE|,所以|MN|=1.则M(1+\frac{p}{2},2\sqrt{2}),代入抛物线y^{2}=2px,即8=2p(1+\frac{p}{2})整理得p^{2}+2p-8=0,解得p=2或p=-4(舍去),所以抛物线得方程为y^{2}=4x,
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，则点$F_{1}$、$F_{2}$的坐标分别是?
【解析】由椭圆的标准方程\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1,可得a^{2}=25,b^{2}=16,所以c^{2}=a^{2}-b^{2}=25-16=9,即c=3则点F_{1},F_{2}的坐标分别是(-3,0),(3,0)
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$的焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$M$在双曲线上且$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=0$，则点$M$到$x$轴的距离等于?
【解析】根据题意可知AF_{1}MF_{2}的面积S=b^{2}\tan\frac{\pi}{2}=2\cdot1=2=\frac{1}{2}\cdot|MF_{1}|\cdot|MF_{2}||MF_{1}|\cdot|MF_{2}|=4=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|d,所以有所求的距离为d=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$E$: $x^{2}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (0<b<1)$的左、右焦点，过$F_{1}$的直线$l$与椭圆$E$相交于$A$、$B$两点，且$2|A B|=|A F_{2}|+|B F_{2}|$，则$A B$的长为?
【解析】
【题目】已知$F$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左焦点,$P$、$Q$为$C$上的点.若$PQ$的长等于虚轴长的$2$倍,点$A(5,0)$在线段$PQ$上,则$\triangle PQF$的周长为?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{5}=1(a>0)$的焦点坐标为$(3,0)$，则双曲线$C$的渐近线方程为?
【解析】由题意得c=\sqrt{a^{2}+5}=3,解得a=2,又b=\sqrt{5},所以双曲线C的;渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x
【题目】已知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$, 则过点$P(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$且被$P$平分的弦所在直线的方程为?
【解析】设这条弦与椭圆\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1交于点A(x_{1}y_{1})B(x_{2}y_{2})由中点坐标公式知x_{1}+x_{2}=1,y_{1}+y_{2}=1,把A(x_{1}y_{1})B(x_{2}y_{2})代入\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1,作差整理得(x_{1}-x_{2})+2(y_{1}-y_{2})=0,\thereforek_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{1}{2}\therefore这条弦所在的直线方程为y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2})即2x+4y-3=0,
【题目】椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的焦距是?
【解析】由题意可知:a^{2}=25,b^{2}=9,从而c^{2}=a^{2}-b^{2}=25-9=16^{\circ}即c=4,所以焦距是2c=8.
【题目】设焦点为$F_{1}$、$F_{2}$的椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{3}=1(a>0)$上的一点$P$也在拋物线$y^{2}=\frac{9}{4} x$上，抛物线焦点为$F_{3}$，若$|P F_{3}|=\frac{25}{16}$，则$\triangle P F_{1} F_{2}$的周长为?
【解析】设P(x_{0},y_{0}),则x_{0}+\frac{9}{16}=\frac{25}{16},所以x_{0}=1,代入抛物线方程,得y_{0}=\pm\frac{3}{2},不妨设点P的坐标为(1,\frac{3}{2}),代入椭圆方程,得a^{2}=4,所以\trianglePF_{1}F_{2}的周长为2a+2c=4+2=6
【题目】椭圆$9 x^{2}+4 y^{2}=1$的短轴长为?
【解析】椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{1}=1,则a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{3},因此,椭圆9x^{2}+4y^{2}=1的短轴长为2b=\frac{2}{3}.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的一条渐近线与圆$E$: $x^{2}+y^{2}-2 x=0$相交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】不妨设双曲线C:\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的一条渐近线方程为y=\frac{1}{2}x.圆E:x^{2}+y^{2}-2x=0的标准方程为(x-1)^{2}+y^{2}=1,故|AB|=2\sqrt{r-d^{2}}=2|
【题目】已知$F$是双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=1$的右焦点,$P$是$C$的左支上一点, 点$A(0, \sqrt{2})$, 则$\triangle APF$周长的最小值为?
【解析】设双曲线的左焦点为F',由双曲线C:x^{2}-y^{2}=1可得a=1,b=1c=\sqrt{2}即有F(\sqrt{2},0),F'(-\sqrt{2},0),\triangleAPF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2,由双曲线的定义可得|PF|-|PF|=2a=2,即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF|+2,当P在左支上运动到A,P,F共线时,|PA|+|PF|取得最小值|AF|=2,则有\triangleAPF周长的最小值为2+2+2=6.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的离心率是$\sqrt{5}$, 则$a$=?
【解析】利用双曲线的离心率公式及c^{2}=a2+b^{2}即可求出a.双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的离心率是\sqrt{5},又b=1所以\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\frac{\sqrt{a^{2+1}}}{a}=\sqrt{5},解得a=\frac{1}{2}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m>0, n>0)$有公共焦点$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$是两曲线的一个交点，若$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|=2$，则$b^{2}+n^{2}$的值为?
【解析】
【题目】斜率为$\frac{1}{2}$的直线$l$过椭圆$C$: $\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点$F$，交椭圆于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{A F}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}$，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知抛物线$x^{2}=12 y$的切线垂直于直线$x-y=0$, 则切线方程为?
【解析】
【题目】椭圆$x^{2}+4 y^{2}=16$的离心率等于?与该椭圆有共同焦点，且一条渐近线是$x+\sqrt{3} y=0$的双曲线方程是?
【解析】
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}(-2,0)$ , $F_{2}(2,0)$ , $M$是$C$右支上的一点，$MF1$与$y$轴交于点$P$ , $\Delta M P F_{2}$的内切圆在边$P F_{2}$上的切点为$Q$，若$|P Q|=\sqrt{2}$，则$C$的离心率为?
【解析】根据切线长定理求出MF_{1}\cdotMF_{2},即可得出a,从而得出双曲线的离心率.设\triangleMPF_{2}的内切圆与MF_{1},MF_{2}的切点分别为A,B,由切线长定理可知MA=MB,PA=PQ,BF_{2}=QF_{2},又PF_{1}=PF_{2},\thereforeMF_{1}\cdotMF_{2}=(MA+AP+PF_{1})\cdot(MB+BF_{2})=PQ+PF_{2}\cdotQF_{2}=2PQ,由双曲线的定义可知MF_{1}\cdotMF_{2}=2a,故而a=PQ=\sqrt{2},又c=2,\therefore双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}查三角形内切圆的性质,考查切线长定理,考查学生的计算能力,利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键.
【题目】已知抛物线$y=a x^{2}$与直线$y=k x+1$交于两点，其中一点坐标为$(1 , 4)$，则另一个点的坐标为?
【解析】
【题目】双曲线$x^{2}-y^{2}=a^{2}$上一点$P$与两焦点$F_{1}$、$F_{2}$的连线互相垂直，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积是?
【解析】首先根据题意得到c=\sqrt{2}a,利用勾股定理得到|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=(2\sqrt{2}a)^{2},结合|PF_{1}|-|PF_{2}||=2a得到|PF_{1}||PF_{2}|=2a^{2},再计算\trianglePF_{1}F_{2}的面积即可双曲线\frac{x^{2}}{a2}-\frac{y2}{a2}=1,c=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a,因为PF_{1}\botPF_{2},所以|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=(2c)^{2}=(2\sqrt{2}a)^{2}\textcircled{1}又因为||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a,所以(|PF_{1}|-|PF_{2}|)^{2}=|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}||PF_{2}|=4a^{2}\textcircled{2}\textcircled{1}-\textcircled{2}得:2|PF_{1}||PF_{2}|=4a^{2},即:|PF_{1}||PF_{2}|=2a^{2}.所以S_{\DeltaPF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}||PF_{2}|=a^{2}.
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的准线与对称轴相交于点$P$，过点$P$作抛物线$C$的切线，切线方程是?
【解析】抛物线y^{2}=4x的准线为x=-1,对称轴为x轴,故点P的坐标为(-1,0)设切线方程为y=k(x+1),代入抛物线y^{2}=4x,得k^{2}(x+1)^{2}-4x=0当切线的斜率为-1时,切线方程为y-0=-1\cdot(x+1),即x+y+1=0当切线的斜率为1时,切线方程为y-0=1\cdot(x+1),即x-y+1=0
【题目】抛物线$y^{2}=8-4 x$的准线方程是?圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是?
【解析】
【题目】若直线$a x-y+1=0$经过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，则实数$a$=?
【解析】抛物线y^{2}=4x焦点(1,0)代入直线得a=-1
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1$的一个焦点与抛物线$y^{2}=8 x$的焦点重合,则该椭圆的离心率是?
【解析】抛物线y^{2}=8x的焦点为(2,0)则椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1的一个焦点为(2,0),有c=2又b=\sqrt{2},所以a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{6}.离心率e=\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=3(a>b>0)$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知抛物线的方程为$x^{2}=4 y$ , $F$是焦点，且点$A(5,4)$ , $P$为抛物线上任意一点，求点$P$到点$A$的距离与点$P$到抛物线准线的距离之和的最小值为?
【解析】将x=5代入x^{2}=4y,得y=\frac{25}{4}>4,所以点A在抛物线外部.抛物线焦点为F(0,1),准线l:y=-1如图所示,过P点作PB\botl于点B.则PA+PB=PA+PF.由图可知,当A、P、F三点共线时,PA+PF的值最小,所以PA+PF的最小值为FA=\sqrt{5^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{34}故点P到点A的距离与点P到抛物线)生线的距离之和的最小值为\sqrt{34}
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$M(4,4)$，若点$P$为椭圆$C$上的一个动点，则$|P M|-|P F_{1}|$的最小值为?
【解析】根据已知可以转化为|PM|-|PF_{1}|=|PM|+|PF_{2}|-4,然后由三点共线即两点之间线段最短可得答案.由已知得a^{2}=4,b^{2}=3,c^{2}=a^{2}-b^{2}=1,F_{2}(1,0)因为|PF_{2}|+|PF_{1}|=2a=4,所以|PF_{1}|=4-|PF_{2}|所以|PM|-|PF_{1}|=|PM|-(4-|PF_{2}|)=|PM|+|PF_{2}|-4所以当三点M、P、F_{2}共线时,|PM|+|PF_{2}|-4最小,即|PM|+|PF_{2}|-4=|MF_{2}|-4=\sqrt{3^{2}+4^{2}}-4=1.
【题目】设点$F$是抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点，过抛物线上一点$P$作其准线的垂线，垂足为$Q$，已知直线$F Q$交$y$轴于点$M(0,2)$且$\triangle P Q F$的面积为$10$，则该抛物线的方程为?
【解析】根据题意作出如图所示的图象:其中,F(\frac{p}{2},0),QE为双曲线的准线,且准线方程为x=-\frac{p}{2},PQ\botQE,A(0,2)设P(x_{0},y_{0}),则Q(-\frac{p}{2},y_{0}),|PQ|=x_{0}+\frac{p}{2}.在AQEF中,O为EF的中点,则A为QF的中点,即|QE|=4,y_{0}=4.\becauseAPQF的面积为10\therefore\frac{1}{2}(x_{0}+\frac{p}{2})\times4=10,即x_{0}=5-\frac{p}{2}x_{1}=x_{2}\therefore4^{2}=2p(5-\frac{p}{2}),即p^{2}-10p+16=0.\thereforep=2或p=8\therefore该抛物线的方程为y^{2}=4x或y2=16x.
【题目】已知$F_{1}(-1 , 0)$ , $F_{2}(1 , 0)$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的两个焦点，若椭圆上一点$P$满足$| P F_{1}|+| P F_{2} |=4$，则椭圆的离心率$e$=?
【解析】
【题目】与椭圆$9 x^{2}+4 y^{2}=36$有相同焦点，且短轴长为$4 \sqrt {5}$的椭圆方程是?
【解析】
【题目】直线$a x+y-4=0$和抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的一个交点是$(1 , 2)$，则抛物线的焦点到此直线的距离等于?
【解析】由题意可知,a+2-4=0,解得a=2,4=2p,解得p=2,所以抛物线的焦点(1,0)到此直线2x+y-4=0的距离等于\frac{|2+0-4|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}
【题目】定长为$4$的线段$M N$的两端点在抛物线$y^{2}=x$上移动，设点$P$为线段$M N$的中点，则点$P$到$y$轴距离的最小值为?
【解析】设M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2}),抛物线y^{2}=x的焦点为F,抛物线的准线x=-\frac{1}{4}所求的距离为:S=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{x_{1}+\frac{1}{4}+x_{2}+\frac{1}{4}}{2}-\frac{1}{4}=\frac{|MF|+|NF|}{2}-\frac{1}{4}(两边之和大于第三边且M,N,F三点共线时取等号)\therefore\frac{|MF|+|NF|}{2}-\frac{1}{4}\geqslant\frac{|MN|}{2}-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$的右焦点为$F$，若过$F$的直线$l$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，则$\frac{|A F|}{|B F|}$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$P(-4,-4)$，点$Q$是离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$且焦点在$x$轴上的椭圆$x^{2}+my^{2}=16$上的动点，$M$是线段$P Q$上的点，且满足$P M=\frac{1}{3} M Q$，则动点$M$的轨迹方程是?
【解析】
【题目】顶点在原点，焦点在坐标轴上，以直线$y=-1$为准线的抛物线方程是?
【解析】由题意,抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,且以直线y=-1为准线,可得抛物线的开口向上,设其方程为x^{2}=2py(p>0)则-\frac{p}{2}=-1,解得p=2,所以所求抛物线的方程为x^{2}=4y
【题目】已知直线$x-y-1=0$与抛物线$y=ax^{2}$相切，则$a$=?
【解析】
【题目】如果方程$\frac{x^{2}}{m+1}+\frac{y^{2}}{m+2}=1$表示双曲线，那么$m$的取值范围是?
【解析】
【题目】抛物线的顶点在原点，焦点在$x$轴上，抛物线上的点$P(-2, a)$到焦点的距离为$3$，则$a$=?
【解析】设抛物线方程为y^{2}=-2px(p>0),因为抛物线上的点P(-2,a)到焦点的距离为3,所以2+\frac{p}{2}=3\thereforep=2,所以a^{2}=-4\times(-2)\thereforea=\pm2\sqrt{2}.
【题目】焦点在$y$轴上，焦距为$6$，且经过点$(0, \sqrt{5})$的双曲线的标准方程为?
【解析】焦点在y轴上,焦距为6,所以c=3;且经过点(0,\sqrt{5})可得a=\sqrt{5},又c^{2}=a^{2}+b^{2},所以b^{2}=4双曲线的标准方程为:\frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{4}=1.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$的一个焦点$F$到其渐近线的距离为?
【解析】\because双曲线方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1\therefore双曲线的焦点坐标为(\pm3,0)渐近线为y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x,即\frac{\sqrt{5}}{2}x+y=0可得焦点F到其渐近线的距离为d=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{5}{4}+1}}=\sqrt{5}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$:$ x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点，点$P$在$C$上，$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则$\cos \angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】由已知有a=1,b=\sqrt{3},c=2,\begin{cases}PF|+|PF_{2}=2\\|PF|=2|PF_{2}\end{cases},解得\begin{cases}PF_{1}=4\\PF_{2}=2\end{cases},则在APF_{1}F_{2}中,|F_{1}F_{2}|=2c=4,则\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{16+4-16}{2\times4\times2}=\frac{1}{4}
【题目】与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$有相同的焦点且过点$P(2,1)$的双曲线方程是?
【解析】
【题目】设双曲线的渐近线为$y=\pm \frac{3}{2} x$, 则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，点$A(4,2)$ , $P$为抛物线上一点且$P$不在直线$A F$上，则$\triangle P A F$周长的最小值为?
【解析】由题设,抛物线准线为x=-1,由抛物线定义:PF等于P到准线的距离,而AF=\sqrt{13}\therefore要使\trianglePAF周长的最小,只需A到准线的距离等于AP+PF,即P在过A点且垂直于准线的直线上,此时,l_{\trianglePAF}=5+AF=5+\sqrt{13}
【题目】过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点$F$作斜率为$2 \sqrt{2}$的直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，则以$A B$为直径的圆的标准方程为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),AB的中点M(x_{0},y_{0}),由题知,直线l的方程为y=2\sqrt{2}(x-2),代入抛物线方程y^{2}=8x整理得x^{2}-5x+4=0,所以x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{5}{2},所以y_{0}=2\sqrt{2}(\frac{5}{2}-2)=\sqrt{2}|AB|=p+x_{1}+x_{2}=9,所以以AB为直径的圆的方程为(x-\frac{5}{2})^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=\frac{81}{4}.
【题目】与椭圆$\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{24}=1$有相同的焦点且以$y=\pm \frac{4}{3} x$为渐近线的双曲线方程为?
【解析】
【题目】若中心在原点, 以坐标轴为对称轴的圆锥曲线$C$, 离心率为$\sqrt{2}$, 且过点$(2,3)$, 则曲线$C$的方程为?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$上一点$P$到双曲线右焦点的距离是$4$，那么点$P$到左准线的距离是?
【解析】
【题目】椭圆$x^{2}+\frac{y^{2}}{3}=1$上的点到直线$x+y-4=0$的距离的最小值为?
【解析】设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+m=0,所以y=-x-m,代入椭圆方程得4x^{2}+2mx+m^{2}-3=0,令\Delta=4m^{2}-16(m^{2}-3)=0,\thereforem=2或m=-2.当m=2时,平行线间的距离为\frac{2+4}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=3\sqrt{2};当m=-2时,平行线间的距离为\frac{|-2+4|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=2\sqrt{2}所以最小距离为2\sqrt{2}.
【题目】若方程$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{m-1}=1$表示双曲线，则实数$m$的取值范围是?
【解析】由题意知:m-1>0,解得m>1.
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左，右焦点，点$P$在椭圆$C$上，若线段$P F_{1}$的中点在$y$轴上，$\angle P F_{1} F_{2}=30^{\circ}$，则椭圆的离心率为?
【解析】如图所示:因为线段PF的中点在y轴上,所以PF_{2}//y轴,则PF_{2}\botx轴,所以PF_{2}=\frac{b^{2}}{a}因为\anglePF_{1}F_{2}=30^{\circ}所以_{\tan30^{\circ}}=\frac{PF_{2}}{F_{F}F_{2}}=\frac{b^{2}}{2ac}=\frac{\sqrt{3}}{3}即3c^{2}+2\sqrt{3}ac-3a^{2}=0,所以3e^{2}+2\sqrt{3}e-3=0,解得:e=\frac{\sqrt{3}}{3}.
【题目】已知椭圆方程为$9 x^{2}+16 y^{2}=144$，则它的离心率为？
【解析】依题意椭圆方程为9x^{2}+16y^{2}=144,即\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1所以a^{2}=16,b^{2}=9,即a=4,b=3,又c^{2}=a^{2}-b^{2},所以c=\sqrt{7},所以椭圆的离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{7}}{4}
【题目】已知$P$是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$右支上的任意一点，$F$是双曲线的右焦点，定点$A$的坐标为$(3, \sqrt{3})$，则$|P F|+|P A|$的最小值为?
【解析】由题意,双曲线中a=1,b=\sqrt{3},c=2,设F_{1}是双曲线的左焦点,即F_{1}(-2,0)由于A在右侧,则|PF|=|PF_{1}|-2,\therefore|PF|+|PA|=|PF_{1}|+|PA|-2\geqslant|AF_{1}|-2=\sqrt{(3+2)^{2}+(\sqrt{3}-0)^{2}}-2=2\sqrt{7}-2当且仅当F_{1},P,A共线时取等号\therefore|PF|+|PA|的最小值是2\sqrt{7}-2
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线的左、右焦点，$P$为双曲线右支上任一点，若$\frac{P F_{1}^{2}}{P_{2}}$的最小值恰是实轴长的$4$倍，则该双曲线离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】设$F_{1}(-c , 0)$ , $F_{2}(c, 0)$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点，$P$是以$|F_{1}F_{2}|$为直径的圆与椭圆的一个交点，且$\angle PF_{1} F_{2}=5 \angle PF_{2} F_{1}$，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知点$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$上任一点，点$P$到双曲线两条渐近线的距离分别为$d_{1}$,$d_{2}$，若$3 a^{2}+b^{2} \leq 8 d_{1} d_{2}$，则该双曲线离心率的取值范围为?
【解析】由题设,双曲线渐近线方程为ay\pmbx=0,若P(x,y),不妨设d_{1}=\frac{|ay+bx|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},d_{2}=\frac{|ay-bx|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\therefored_{1}d_{2}=\frac{|ay+bx|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cdot\frac{|ay-bx|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{|a^{2}y^{2}-b^{2}x2|}{a^{2}+b^{2}},又P在双曲线上且a^{2}+b^{2}=c^{2},\therefore3a^{2}+b^{2}\leqslant8d,d_{2}=\frac{8a2b^{2}}{2},整理得8a^{4}-6a^{2}c^{2}+c^{4}\leqslant0,则e^{4}-6e^{2}+8\leqslant0,解得2\leqslante^{2}\leqslant4,又e>1,\therefore\sqrt{2}<e<
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右顶点为$A$, 点$M(2,4)$, 过椭圆$C$上任意一点$P$作直线$M A$的垂线, 垂足为$H$, 则$2|P M|+|P H|$的最小值为?
【解析】在椭圆中,a=2,c=1,所以椭圆的右焦点坐标为F(2,0),右准线方程为x=4.过点P作右准线的垂线,设垂足为G,则|PH|=|PG|-2,由椭圆的第二定义得e=\frac{|PF|}{|PG|}=\frac{1}{2},所以|PG|=2|PF|因此2|PM|+|PH|=2|PM|+2|PF|-2=2(|PM|+|PF|)-2\geqslant2|MF|-2=2\sqrt{17}-2当且仅当M,P,F三点共线时等号成立.所以2|PM|+|PH|的最小值为2\sqrt{17}-2答案:2\sqrt{17}-2
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{16}=1$的渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ , $F_{1}$ , $F_{2}$分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆$C$上存在点$P(x_{0}, y_{0})(x_{0} \geq 0)$使得$\angle P F_{1} F_{2}=60^{\circ}$，则椭圆的离心率的取值范围为?
【解析】依题意,当点P在椭圆的上(下)顶点处时,\anglePF_{1}F_{2}最大.要满足椭圆C上存在点P(x_{0},y_{0})(x_{0}\geqslant0)使得\anglePF_{1}F_{2}=60^{\circ}则90^{\circ}>(\anglePF_{1}F_{2})_{\max}\geqslant60^{\circ}所以\cos90^{\circ}<\cos(\anglePF_{1}F_{2})_{\max}\leqslant\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}即:0<\frac{c}{a}\leqslant\frac{1}{2}故椭圆离心率的取值范围为0<e\leqslant\frac{1}{2}
【题目】已知点$P$是抛物线$x^{2}=4 y$上动点，$F$是抛物线的焦点，点$A$的坐标为$(0,-1)$，则$\frac{P F}{P A}$的最小值为?
【解析】
【题目】设$m>0$，双曲线$M$: $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$与圆$N$: $x^{2}+(y-m)^{2}=5$相切，$A(-\sqrt{5}, 0)$, $B(\sqrt{5}, 0)$，若圆$N$上存在一点$P$满足$|P A|-|P B|=4$，则点$P$到$x$轴的距离为?
【解析】由题意得,双曲线中a=2,c=\sqrt{5},易知点A,B为双曲线的左右焦点,又点满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上,由圆方程可知其圆心为C(0,m),半径为\sqrt{5},由\begin{cases}\frac{x^{2}}{4}-y2=1\\x^{2}+(y-m)^{2}=5\end{cases},消去x得,5y^{2}-2my+m^{2}-1=0,由A=(-2m)^{2}-4\times5\times(m^{2}-1)=0,又m>0,角解得m=\frac{\sqrt{5}}{2},则_{5y}2-2\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}y+(\frac{\sqrt{5}}{2})^{2}-1=0,解得y=\frac{\sqrt{5}}{10},即所求距离为\frac{\sqrt{5}}{10}
【题目】已知$F$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左焦点，$P$、$Q$为$C$上的点，若$P Q$的长等于虚轴长的$2$倍，点$A(5,0)$在线段$P Q$上，则$\triangle P Q F$的周长为?
【解析】由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5,0),所以P,Q都在双曲线的右支上,则有|FP|-|PA|=6,|PQ|-|QA|=6,两式相加,利用双曲线的定义得|FP|+|FQ|=28.所以\trianglePQF的周长为|FP|+|FQ|+|PQ|=28+4b=28+16=44.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两个焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，若$P$为其右支上一点，且$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则双曲线离心率的取值范围为?
【解析】设P点的横坐标为x,根据PF_{1}=2|PF_{2}|,P在双曲线右支(x\geqslanta),利用双曲线的第二定义,可得x关于e的表达式,进而根据x的范围确定e的范围.[详解]\because|PF_{1}|=2|PF_{2}|,P在双曲线右支(x\geqslanta)根据双曲线的第二定义,可得2e(x-\frac{a^{2}}{c})=e(x+\frac{a2}{c})\thereforeex=3a\becausex\geqslanta,\thereforeex\geqslantea.3a\geqslantea,\thereforee\leqslant3\becausee>1,\therefore1<e\leqslant3
【题目】与$x^{2}-4 y^{2}=1$有相同的渐近线，且过$M(4 , \sqrt{3})$的双曲线方程为?
【解析】
【题目】过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的左顶点$A$且斜率为$1$的直线与椭圆的另一个交点为$M$，与$y$轴的交点为$B$，若$|A M|=|M B|$，则该椭圆的离心率为?
【解析】由题意知A点的坐标为(-a,0)l的方程为y=x+a,\thereforeB点的坐标为(0,a),故M点的坐标为(-\frac{a}{2},\frac{a}{2})代入椭圆方程得\frac{a2}{4a^{2}}+\frac{a^{2}}{4b^{2}}=1,即a^{2}=3b^{2},\thereforec^{2}=2b^{2}\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{3}b}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】椭圆$9 x^{2}+16 y^{2}=144$的离心率为?
【解析】
【题目】已知斜率为$2$的直线$l$过抛物线$y^{2}=a x(a>0)$的焦点$F$，且与$y$轴相交于点$A$，若$\triangle OAF$($O$为坐标原点)的面积为$4$，则抛物线方程为?
【解析】
【题目】双曲线的方程$\frac{x^{2}}{4-k}+\frac{y^{2}}{k-2}=1$，则$k$的取值范围是?
【解析】双曲线的方程为\frac{x2}{4-k}+\frac{y^{2}}{k-2}=1若焦点在x轴上,可得4-k>0,k-2<0,解得k<2;若焦点在y轴上,可得4-k<0,k-2>0,解得k>4综上可得k的范围是k>4或k<2.
【题目】已知双曲线左右焦点分别为$F_{1}$, $F_{2}$，双曲线右支上一点$P$使得$|P F_{1}|=3|P F_{2}|$，则双曲线的离心率范围是?
【解析】
【题目】已知$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$上任意一点，$A B$为圆$T$:$(x+1)^{2}+y^{2}=1$的任意一条直径，则$\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}$的取值范围是?
【解析】\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(\overrightarrow{PT}+\overrightarrow{TA})\cdot(\overrightarrow{PT}+\overrightarrow{TB})=(\overrightarrow{PT}+\overrightarrow{TA})\cdot(\overrightarrow{PT}-\overrightarrow{TA})=\overrightarrow{PT}^{2}-\overrightarrow{TA}^{2}=\overrightarrow{PT}^{2}-1设P(x_{0},y_{0}),则\overrightarrow{PT}^{2}=(x_{0}+1)^{2}+y_{0}^{2}=(x_{0}+1)^{2}+8(1-\frac{x_{0}^{2}}{9})=\frac{x_{0}^{2}}{9}+2x_{0}+9=\frac{1}{9}(x_{0}+9)^{2}因为x_{0}\in[-3,3],所以\overrightarrow{PT}^{2}\in[4,16]\therefore\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\in[3,15]
【题目】直线$l$过点$M(1,1)$，与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$相交于$A$、$B$两点，若$A B$的中点为$M$，直线$l$的方程?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})因为直线l过点M(1,1),与椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1相交于A、B两点所以\begin{cases}\frac{x_{1}2}{4}+\frac{y_{1}2}{3}=1\\\frac{x_{2}}{4}+\frac{y_{2}}{3}=1\end{cases}两式相减得:3(x_{1}2-x_{2}2)=-4(y_{1}^{2}-y_{1})即3(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=-4(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})显然直线的斜率存在,所以k=\frac{y_{1}-y_{1}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{4}{3}(\frac{x}{y}\frac{+x_{2}}{+y_{1}}=-\frac{4\times2}{3\times2}=-\frac{4}{3}所以直线l的方程是y-1=-\frac{4}{3}(x-1)即4x+3y-7=0
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$, $F$为椭圆$C$的右焦点，过原点$O$且斜率不为$0$的直线$l$与椭圆$C$交于不同的两点$P$、$Q$，则$\Delta P Q F$面积最大值为?
【解析】
【题目】直线$y=b$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右支分别交于$B$、$C$两点，若$O B \perp O C$ , $O$为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】直线y=b与双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的左、右支分别交于B,C两点,联立:\begin{matrix}y=b&\\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1&\end{matrix}可得B=(\sqrt{2}a,b),c(-\sqrt{2}a,b)OB\botOC,\therefore\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=-2a^{2}+b^{2}=0,即2a^{2}=b^{2},b=\pm\sqrt{2}a所以双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\sqrt{2}x
【题目】抛物线$y=ax^{2}$的准线方程是$y=\frac{1}{2}$，则$a$=?
【解析】
【题目】已知双曲线过点$(2,0)$，且渐近线方程为$y=\pm \frac{1}{2} x$，则该双曲线的标准方程为?
【解析】因为双曲线过点(2,0),所以焦点在x轴上,且a=2,又渐近线方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{1}{2}x,\thereforeb=1所以双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{4}-
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$O$为坐标原点，椭圆上一点$P$满足$|O P|=3$，则$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为?
【解析】由题意得:c^{2}=16-7=9,解得:c=3,所以|F_{1}F_{2}|=6,设出P(m,n),则\begin{cases}\frac{m^{2}}{16}+\frac{n^{2}}{7}=1\\m^{2}+n^{2}=9\end{cases},解得:n=\pm\frac{7}{3},故S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|\cdot|n|=\frac{1}{2}\times6\times\frac{7}{3}=7
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{33}=1$的左、右焦点，$P$为椭圆上任一点，点$M$的坐标为$(8,5)$，则$|P M|+|P F_{1}|$的最大值为?
【解析】椭圆中的c=\sqrt{49-33}=\sqrt{16}=4,即焦点坐标为F_{1}(-4,0),F_{2}(4,0).点M在椭圆的外部,则|PM|+|PF_{1}|=|PM|+2a-|PF_{2}|=14+|PM|-|PF_{2}|\leqslant14+|MF_{2}|=14+\sqrt{(8-4)^{2}+5^{2}}=14+\sqrt{41},当且仅当M,F_{2},P三点共线时取等号
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$，过其焦点$F$作直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，$M$为抛物线的准线与$x$轴的交点，$\tan \angle A M B=\frac{4}{3}$，则$|A B|$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),直线AB:y=k(x-1),由抛物线的对称性不妨设A在第一象限,根据B在第二象限,根据\tan\angleAMB=\frac{4}{3}可得\frac{2}{3}=k\times\frac{x_{1}-x_{2}}{(1+k^{2})x_{1}x_{2}+(1-k^{2})(x_{1}+x_{2})+k^{2}+1},联立直线方程和抛物线方程后结合韦达定理化简前者并得到_{k}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3},从而可计算|AB|羊解】由题设可得F(1,0),M(-1,0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})由抛物线的对称性不妨设A在第一象限,B在第四象限,若直线AB的斜率不存在,则A(1,2),B(1,-2),故k_{AM}=1,故\angleAMB=90^{\circ},与题设矛盾.设直线AB:y=k(x-1),则\tan\angleAMB=\frac{4}{3}=\frac{\frac{y_{1}}{x_{1}+}}{1+\underline{y}}整理得到:\frac{2}{3}=k\times.由\begin{cases}y=k(x-1)\\v2=4x\end{cases}可得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,的x_{2}=1,x_{1}+x_{2}=2+\frac{4}{k_{1}^{2}},|x_{1}-x_{2}|=\frac{\sqrt{k^{2}+1}}{k^{2}},\triangle=16k^{2}+16>0,故\frac{2}{3}=\frac{k^{3}}{4}\times\frac{4\sqrt{k^{2}+1}}{l^{2}},故9k^{4}+9k^{2}-4=0,解得k^{2}=\frac{1}{3},故k=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}故|AB|=x_{1}+x_{2}+2=2+\frac{4}{1}+2=16
【题目】已知点$P$在抛物线$y^{2}=4 x$上，那么点$P$到点$Q(2 ,-1)$的距离与点$P$到抛物线焦点距离之和的最小值为?
【解析】
【题目】椭圆$x^{2}+4 y^{2}=4$的离心率是?
【解析】将x^{2}+4y^{2}=4化为标准方程\frac{x2}{4}+y^{2}=1\thereforea=2,b=1,c=\sqrt{3}.\therefore离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左焦点为$F$，过$F$的一条倾斜角为$30^{\circ}$的直线与$C$在第一象限交于点$A$，且$|O F|=| O A |$，$O$为坐标原点，则该双曲线的离心率为?
【解析】过F的一条倾斜角为30^{\circ}的直线与C在第一象限交于点A,且|OF|=|OA|=c,令右焦点为E,可知焦点三角形AFE为直角三角形,\therefore\angleAOx=60^{\circ},且|AF|=\sqrt{3}c,|AE|=c由双曲线的定义可得|AF|\cdot|AE|=2a=\sqrt{3}c-c,\therefore\frac{c}{a}=\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1即e=1+\sqrt{3}
【题目】若抛物线$y^{2}=4 x$上一点$P$到其焦点的距离为$4$. 则点$P$的坐标为?
【解析】

hbghlyj

【题目】已知点$P(1,2)$在抛物线$E$:$ y^{2}=2 p x(p>0)$上，过点$M(1,0)$的直线$l$交抛物线$E$于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{A M}=3 \overrightarrow{M B}$，则直线$l$的倾斜角的正弦值为?
【解析】因为点在抛物线E:y^{2}=2px(p>0)上,所以4=2p\times1,得p=2,所以y^{2}=4x,设过点M(1,0)的直线方程为:x=my+1.所以\begin{cases}x=my+1\\y^{2}=4x\end{cases}所以y^{2}-4my-4=0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}所以y_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=又因为\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MB},所以-y_{1}=3y_{2}所以_{m}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3},因为直线的斜率k=\tan\theta=\pm\sqrt{3}由\theta\in(0,\pi),所以\theta=\frac{\pi}{3}或\frac{2\pi}{3},所以\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{a}=1$的一条渐近线与直线$x-2 y+3=0$平行，则离心率$e$=?
【解析】由已知双曲线的渐近线方程为x-\frac{1}{\sqrt{a}}y=0和x+\frac{1}{\sqrt{a}}y=0,显然直线x-\frac{1}{\sqrt{a}}y=0与直线x-2y+3=0平行,所以\frac{1}{\sqrt{a}}=2,a=\frac{1}{4}即双曲线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}=1,实半轴长为a=1,虚半轴长为b'=\frac{1}{2},半焦距为c=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}所以离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，准线与$x$轴的交点为$M$、$N$为抛物线上的一点，且满足$|N F|=\frac{\sqrt{3}}{2}|M N|$，则$\angle N M F$为?
【解析】过N作NH垂直准线,足为H,则|NF|=|NH|,因为|NF|=\frac{\sqrt{3}}{2}|MN|所以|NH|=\frac{\sqrt{3}}{2}|MN|\therefore\cos\angleNMF=\cos\angleMNH=\frac{|NH|}{|MN|}=\frac{\sqrt{3}}{2},\angleNMF=\frac{\pi}{7},
【题目】设点$A$、$B$的坐标分别为$(-4,0)$$(4,0)$，直线$A M$, $B M$相交于点$M$，且它们的斜率之积是$-\frac{3}{4}$，则点$M$的轨迹方程为?
【解析】
【题目】已知双曲线的焦距为$6$，其上一点$P$到两焦点的距离之差为$-4$，则双曲线的标准方程为?
【解析】由双曲线定义得实轴长,又有焦距,因此易求得虚半轴长b,写出双曲线标准方程时,需分焦点在x轴和y轴两种情况讨论.设双曲线的焦距为2c,实轴长为2a,虚轴长为2b,由题意:\begin{cases}2c=6\\2a=4\end{cases},\begin{cases}c=3\\a=2\end{cases}所以b^{2}=c^{2}-a^{2}=3^{2}-2^{2}=5,所以若双曲线的焦点在x轴上,标准方程为\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1,若焦点在y轴上,标准方程为\frac{y^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1
【题目】已知曲线$C$: $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$，则$C$的焦距为?
【解析】由曲线方程可知该曲线为焦点在x轴上的椭圆,且a^{2}=3,b^{2}=2\thereforec^{2}=3-2=1,\thereforec=1,\therefore焦距为2c=2.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的一条渐近线与直线$l$: $x+\sqrt{3} y=0$垂直，$C$的一个焦点到$l$的距离为$1$, 则$C$的方程为?
【解析】由已知,一条渐近线方程为\sqrt{3}x-y=0,即b=\sqrt{3}a又\frac{c}{\sqrt{3+1}}=1,故c=2,即a^{2}+b^{2}=4,解得a=1,b=\sqrt{3}双曲线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的直线与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，$|A F|=2|B F|=2$，则$p$=?
【解析】如图所示设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})则|AF|=x_{1}+\frac{p}{2}=2,|BF|=x_{2}+\frac{p}{2}=且\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{|AF|}{|BF|}=2所以y_{1}=-2y_{2}又y_{1}^{2}=2px_{1},y_{2}^{2}=2px_{2};所以y_{1}^{2}-y_{2}2=2p(x_{1}-x_{2}),即3y_{2}=2p;又y_{2}2=2px_{2},所以6px_{2}=2p,解得x_{2}=\frac{1}{3};所以p=\frac{4}{3}
【题目】若点$P$是以$F_{1}$ , $F_{2}$为焦点的双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$上一点，满足$PF_{1} \perp PF_{2}$，且$|PF_{1}|=2|PF_{2}|$，则此双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】若点$P$为抛物线$y^{2}=10 x$上一点，则点$P$到直线$x+y+5=0$距离的最小值为?
【解析】设点P(x,y),则点到直线x+y+5=0距离d=\frac{|x+y+5|}{\sqrt{2}}=\frac{|\frac{y^{2}}{10}+y+5|}{\sqrt{2}}=\frac{|y2+10y+50|}{10\sqrt{2}}=\frac{|(y+5)^{2}+25|}{10\sqrt{2}}所以当y=-5时,点P到直线x+y+5=0距离的最小值为\frac{5}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的渐近线与圆$x^{2}+(y+2)^{2}=1$没有公共点, 则该双曲线的离心率的取值范围为?
【解析】求出双曲线的渐近线方程,由圆心到渐近线的距离大于圆半径可得关于a,b,c不等式,离心率的范围.羊解】双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的渐近线y=\pm\frac{b}{a}x,即bx+ay=0与圆x^{2}+(y+2)^{2}=1没有公共点,则\frac{2a}{a2+b}\overline{2}=\frac{2a}{c}>1,2a>c,故该双曲线的离心率满足1<e=\frac{c}{a}<2,|即双曲线的离心率的取值范围为(1,2)
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线交抛物线于点$A(x_{1}, y_{1})$, $B(x_{2}, y_{2})$,若$|A B|=7$，则$A B$的中点$M$到抛物线准线的距离为?
【解析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程,利用|AB|=|AF|+|BF|=7,求出x_{1}+x_{2}=5,则M的横坐标可求,根据点到直线的距离公式易求M到抛物线准线的距离抛物线的焦点为F(\frac{7}{2},0),准线方程为x=-.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x_{1}+\frac{p}{2}+x_{2}+\frac{p}{2}=x_{1}+x_{2}+2=7所以x_{1}+x_{2}=5,所以AB的中点M横坐标为\frac{5}{2}因此,点M到抛物线准线的距离为\frac{5}{2}+1=\frac{7}{2}
【题目】抛物线$x^{2}=8 y$的准线与$y$轴交于点$A$, 点$B$在抛物线对称轴上，过$A$可作直线交抛物线于点$M$、$N$，使得$\overrightarrow{B M}\cdot \overrightarrow{M N}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{M N}^{2}$，则$|O B|$的取值范围是?
【解析】
【题目】设$O$为坐标原点，$F_{1}$、$F_{2}$是$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦点，若在双曲线上存在点$P$，满足$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$ ,$|O P|=\sqrt{7} a$，则该双曲线的离心率为?
【解析】假设|PF_{1}|=x,分别根据三角形中线定理和余弦定理建立等式求得c^{2}+5a^{2}=14a^{2}-2c^{2},可得a和c的关系,即可求出双曲线的离心率不妨设P在左支上,|PF_{1}|=x,则|PF_{2}|=2a+x,因为OP是三角形F_{1}F_{2}P的中线,所以根据三角形中线定理可得x^{2}+(2a+x)^{2}=2(c^{2}+7a^{2})整理得x(x+2a)=c^{2}+5a^{2}由余弦定理得,x^{2}+(2a+x)^{2}-2x(x+2a)\cos60^{\circ}=4c^{2}整理得x(x+2a)=14a^{2}-2c^{2},所以c^{2}+5a^{2}=14a^{2}-2c^{2},化简得c^{2}=3a^{2}.所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}.
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$的顶点坐标为?
【解析】由双曲线\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1可知,顶点在y轴上,即顶点为(0,\pm2),
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上一点$M(1, m)$到其焦点的距离为$5$，则该抛物线的准线方程为?
【解析】由题意得:抛物线焦点为F(\frac{p}{2},0),准线方程为x=-\frac{p}{2}.因为点M(1,m)到其焦点的距离为5,所以根据抛物线的定义得到方程,得到该抛物线的准线方程详\because抛物线方程为y^{2}=2px\therefore抛物线焦点为F(\frac{p}{2},0),准线方程为x=.\frac{p}{2}又\because点M(1,m)到其焦点的距离为5,\thereforep>0,根据抛物线的定义,得1+\frac{p}{2}=5,\thereforep=8,\therefore准线方程为x=-4.
【题目】抛物线$C$: $y=-\frac{x^{2}}{8}$的焦点坐标为?
【解析】抛物线C:y=-\frac{x^{2}}{8}的标准形式为:x^{2}=-8y,所以焦点坐标为:(0,-2)
【题目】若双曲线$x^{2}-y^{2}=1$右支上一点$P(a , b)$到直线$y=x$的距离为$\sqrt{3}$，则$a+b$=?
【解析】P(a,b)点在双曲线上,则有a^{2}-b^{2}=1,即(a+b)(a-b)=1,d=\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}=\sqrt{3},\therefore|a-b|=\sqrt{6},又P点在右支上,则有a>b,\thereforea-b=\sqrt{6}\therefore(a+b)\times\sqrt{6}=1,a+b=\frac{\sqrt{6}}{6},
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，直线$l$过$F$且与抛物线交于$P$，$Q$两点.若$|P Q|=\frac{32}{3}$，且$|P F|>|Q F|$，则$\frac{|P F|}{|Q F|}$=?
【解析】因为|PQ|=\frac{32}{3},所以|PF|=\frac{32}{3}-|QF|由抛物线标准方程可知p=4因为直线l过抛物线y^{2}=8x的焦点,由过抛物线焦点的弦的性质可知\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|}=\frac{2}{p}=\frac{1}{2}因为|PF|>|OF|所以|QF|=\frac{8}{3},|PF|=8所以\frac{|PF|}{|OF|}=3
【题目】设双曲线$C$的两个焦点为$(-\sqrt{2}, 0)$ ,$(\sqrt{2}, 0)$ , 一个顶点为$(1,0)$，则$C$的方程为?
【解析】由题意知:c=\sqrt{2},a=1,所以b^{2}=c^{2}-a^{2}=1,又因为双曲线的焦点在x轴上,所以C的方程为x^{2}-y^{2}=1.
【题目】已知抛物线的顶点是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的中心，焦点是椭圆的右焦点，则抛物线方程为?
【解析】因为椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1的右焦点为(3,0),所以抛物线的p=6,而抛物线的顶点是椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1的中心,焦点是椭圆的右焦点所以抛物线方程为:y^{2}=12x
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$ ,$F_{2}$，若在双曲线的右支上存在一点$P$，使得$|PF_{1}|=3|PF_{2}|$，则双曲线的离心率$e$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的长轴长为$4$，若点$P$是椭圆$C$上任意一点，过原点的直线$l$与椭圆交于$M$、$N$两点，记直线$P M$ , $P N$的斜率为$K_{P M}$ , $K_{P N}$，若$K_{P M} \cdot K_{P N}=-\frac{1}{4}$，则椭圆的方程为?
【解析】设P(x_{1},y_{1}),因为M,N关于原点对称,所以设M(x_{2},y_{2}),N(-x_{2},-y_{2}).则\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\cdots\cdots\textcircled{1}\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\cdots\cdots\textcircled{2}\end{cases}\textcircled{1}-\textcircled{2}得:\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}\cdot\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}=-\frac{b^{2}}{4}即k_{PM}\cdotk_{PN}=-\frac{b^{2}}{4},又已知k_{PM}\cdotk_{PN}=-\frac{1}{4},所以b=1所以椭圆方程为:\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两个焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$M$是双曲线$C$渐近线上一点，$|M F_{1}|=2|M F_{2}|$，点$N$满足$\overrightarrow{M N}=2 \overrightarrow{O N}$，且$\angle M F_{2} N=120^{\circ}$，则该双曲线的离心率等于?
【解析】如图,由足\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{ON},得M,N关于于原点对称,又F,F_{2}关于原点对称,\therefore四边形MF_{1}NF_{2}为平行四边形\because\angleMF_{2}N=120^{\circ},\therefore\angleF_{1}MF_{2}=60^{\circ}又|MF|=2|MF_{2}|,设|MF_{2}|=m,则|MF|=2m,\therefore|F_{1}F_{2}^{2}=m^{2}+4m^{2}-2\cdotm\cdot2m\cdot\frac{1}{2}=3m2,可得|F_{F}_{2}^{2}+|MF_{2}^{2}|=|MF_{1}^{2},则MF_{2}\botF_{1}F_{2},则\tan\angleMOF_{2}=\frac{|MF_{2}|}{|OF_{2}|}=\frac{m}{\frac{\sqrt{3}}{3}m}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\therefore\frac{b}{a}=\frac{2\sqrt{3}}{3},即3b^{2}=4a^{2},\frac{2}{得3(c^{2}-a^{2})}=4a^{2},解得:e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{3}(e>1)
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与直线$x+3 y+1=0$垂直，则双曲线的离心率等于?
【解析】\because双曲线\frac{x2}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直.\therefore双曲线的渐近线方程为y=\pm3x\therefore\frac{b}{a}=3,得b^{2}=9a^{2},c^{2}-a^{2}=9a^{2},此时,离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{10}
【题目】双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦点到其渐近线的距离为$2$，且$C$的焦距与椭圆$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{20}=1$的焦距相等，则双曲线$C$的渐近线方程是?
【解析】
【题目】若直线$y=a x-1(a \in R)$与焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$总有公共点，则$m$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，$A$、$B$分别在双曲线的左右两支上，且满足$\overrightarrow{A B}=\lambda \overrightarrow{F_{1} A}$（$\lambda$ 为常数)，点$C$在$x$轴上，$\overrightarrow{C B}=3 \overrightarrow{F_{2} A}$，$\frac{\overrightarrow{B F_{2}} \cdot \overrightarrow{B F_{1}}}{|\overrightarrow{B F_{1}}|}=\frac{\overrightarrow{B F_{2}} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{B C}|}$，则双曲线$\Gamma$的离心率为?
【解析】解析:F_{1}F_{2}=2c,\because\overrightarrow{CB}=3\overrightarrow{F_{2}A},所以F_{2}AllCB\therefore\triangleF_{1}AF_{2}\cdot\triangleF_{1}BC,\thereforeF_{2}C=4c,设AF_{2}=t,则BC=3t.由\frac{\overrightarrow{BF}\cdot\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{BF_{1}}|}=\frac{\overrightarrow{BF_{2}}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}可知,BF_{2}平分\angleF_{1}BC,由角分线定理可知\frac{BF_{1}}{BC}=\frac{F_{1}F_{2}}{F_{2}C}=\frac{2c}{4c}=\frac{1}{2},\thereforeBF_{1}=\frac{3t}{2},AF_{1}=\frac{1}{3}BF_{1}=\frac{t}{2},AB=\frac{2}{3}BF_{1}=t,由双曲线的定义知AF_{2}-AF_{1}=2a,\thereforet-\frac{t}{2}=2a,即t=4a\textcircled{1},BF_{1}-BF_{2}=2a,\thereforeBF_{2}=\frac{3t}{2}-2a=t,BF_{2}=AB=AF_{2}=t,即\triangleABF_{2}是等边三角形,\therefore\angleF_{2}BC=\angleABF_{2}=60^{\circ},在\triangleF_{2}BC中,由余弦定理知,\cos\angleF_{2}BC=\frac{BF_{2}^{2}+BC^{2}-F_{2}C^{2}}{2\cdotBF_{2}\cdotBC},即\frac{1}{2}=\frac{t^{2}+9t^{2}-16c^{2}}{2\cdott\cdot3t},化简得,7t^{2}=16c^{2}\textcircled{2},由\textcircled{1}\textcircled{2}可得,\frac{c^{2}}{a^{2}}=7,\therefore离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{7}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{3 m^{2}}+\frac{y^{2}}{5 n^{2}}=1$和双曲线$\frac{x^{2}}{2 m^{2}}-\frac{y^{2}}{3 n^{2}}=1$有公共的焦点，那么双曲线的渐进线方 程是?
【解析】
【题目】过双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点$A$作斜率为$-1$的直线，该直线与$E$的渐近线交于$B$、$C$两点，若$\overrightarrow{B C}+2 \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{0}$，则双曲线$E$的渐近线方程为?
【解析】根据题意,作图如下联立渐近线l_{1}:bx-ay=0,可得B(\frac{a^{2}}{a+b},\frac{ab}{a+b}),因为\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0},所以\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB},\therefore\frac{a^{2}}{a-b}-a=3(\frac{a^{2}}{a+b}-a),故可得b=2a双曲线E的渐近线方程为:y=\pm2x.
【题目】设双曲线$x^{2}-m y^{2}=1$离心率不小于$\sqrt{3}$，此双曲线焦点到渐近线的最小距离为?
【解析】
【题目】已知点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$上的一点,点$Q(\frac{1}{4}, 0)$,则$|P Q|$的最小值为?
【解析】设P(x,y),所以当x=1时,|PQ|=\frac{3\sqrt{5}}{4}最小
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点$P$，使$OP=|OF_{1}|$($O$为原点)，且$|PF_{1}|=\sqrt{3} |PF_{2}|$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点$F(c, 0)$到$C$的渐近线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2} c$，则$C$渐近线方程为?
【解析】双曲线C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1的渐近线为:y=\pm\frac{b}{a}x,即bx\pmay=0,依题意,\frac{bc}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}c,即\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2},解得b=\sqrt{3}a.所以C渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x.
【题目】已知抛物线$x^{2}=8 y$的焦点为$F$，准线$l$交$y$轴于点$M$，过抛物线上一点$P$作$P Q \perp l$交$l$于点$Q$，若$|P F|=\frac{8}{3}$，则$\angle Q P F$=?
【解析】由抛物线的定义求出点P的坐标,进而可得出点Q的坐标,求出\trianglePQF的三边边长,利用余弦定理可求得\angleQPF的值.详解】设点P(x_{0},y_{0}),由抛物线的定义可得|PQ|=|PF|=y_{0}+2=\frac{8}{3},\thereforey_{0}=\frac{2}{3},则x_{0}=\pm\frac{4\sqrt{3}}{3}所以点_{Q}(\pm\frac{4\sqrt{3}}{3},-2)抛物线x^{2}=8y的焦点为F(0,2),在\trianglePQF中,由余弦定理可得\cos\angle|QF|=\sqrt{\frac{16}{3}+(2+2)^{2}}=\frac{8\sqrt{3}}{3},\angleQPF=\frac{|PF|^{2}+|PQ|^{2}-|FQ|^{2}}{2|PF|\cdot|PQ|}=-\frac{1}{2},\because0<\angleQPF<\pi,因此,\angleQPF=\frac{2\pi}{3}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点$P$，使$|O P|=|O F_{1}| $($O$为原点）,且$|P F_{1}|=\sqrt{3}|P F_{2}|$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】过点$A(0,2)$且和抛物线$C$:$y^{2}=6 x$相切的直线$l$方程为?
【解析】当直线l的斜率不存在时,过点A(0,2)的直线为x=0,此时显然满足要求;当直线l的斜率存在时,设l的方程:y=kx+2(k\neq0),联立方程\begin{cases}y^{2}=6x\\y=kx+2\end{cases},消y得k^{2}x^{2}+(4k-6)x+4=0,由所求直线与抛物线C:y^{2}=6x相切,可知4=(4k-6)^{2}-16k^{2}=0,解得k=\frac{3}{4},此时l:y=\frac{3}{4}x+2即3x-4y+8=0,故所求的直线方程为x=0和3x-4y+8=0.
【题目】求焦点在$y$轴上，焦点到准线的距离为$5$的抛物线的标准方程为?
【解析】设抛物线的标准方程为x^{2}=2my(m\neq0),则该抛物线的焦点到准线的距离为|m|=5,得m=\pm5因此,所求抛物线的标准方程为x^{2}=10y和x^{2}=-10y
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$的两个焦点，$P$是$C$上的一点. 若$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$且$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则$C$的离心率为?
【解析】由椭圆的定义有|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,|F_{1}F_{2}|=2c,又|PF_{1}|=2|PF_{2}|,则|PF_{1}|=\frac{4a}{3},|PF_{2}|=\frac{2a}{3},又\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0,则|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}^{2}|\frac{a^{2}}{a}=4c^{2},\cdot离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}
【题目】双曲线$\frac{(x-3)^{2}}{4}-\frac{(y+2)^{2}}{9}=1$的焦点为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$作斜率为$\frac{1}{2}$的直线$l$，与该抛物线交于$A$、$B$两点，若$\triangle O A B$的面积等于$2 \sqrt{5}$($O$为坐标原点$)$，则$p$=?
【解析】由题意可得抛物线的焦点F(\frac{p}{2},0),从而直线/的方程为x=2y+\frac{p}{2},代入抛物线方程,得y^{2}-4py-p^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),b(x_{2},y_{2}),则y_{1}+y_{2}=4p,y_{1}y_{2}=-p^{2},\triangleOAB的面积为\frac{1}{2}\times\frac{p}{2}|y_{1}-y_{2}|=\frac{p}{4}\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}=\frac{\sqrt{5}p^{2}}{2}=2\sqrt{5},得p=2故答家为:2
【题目】已知抛物线$x^{2}=2 p y  (p>0)$焦点为$F$、$O$为坐标原点，直线$l$过点$F$与抛物线交于$A$、$B$两点，与$x$轴交于$C(2p,0)$，若$|A B|=17$，则$\triangle O C F$的面积为?
【解析】\because直线l过点F(0,\frac{p}{2}),C(2p,0),\therefore_{K_{FC}}=\frac{0-\frac{p}{2}}{2p-0}=-\frac{1}{4}联立直线l与抛物线方程\begin{cases}x+\frac{p}{2},\\y=-\frac{1}{4}x+\frac{p}{2}\\x^{2}=2py\end{cases},可得x^{2}+\frac{p}{2}x-p^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由韦达定理可得,由弦长公式可得|AB|x_{2}=-\frac{p}{2},x_{2}x_{2}=-p^{2},17,\sqrt{1+(-\frac{1}{4})^{2}|x_{2}-x_{2}|x_{2}^{2}}=\frac{\sqrt{x}}{3}=\frac{\sqrt{17}}{4}\sqrt{(-\frac{p}{2})^{2}-4p^{2}}=\frac{17p}{8}=17'\thereforep=8,\thereforeS_{\triangleOCF}=\frac{1}{2}\cdotOC\cdotOF=\frac{1}{2}\cdot2p\cdot\frac{p}{2}=32.均答安为.\_32
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线与直线$x-3 y+1=0$垂直，则该双曲线的离心率为?
【解析】依题意可得-\frac{b}{a}=-3,则\frac{b}{a}=3,所以e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{10}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{m-1}=1$表示的曲线是椭圆，则$m$的取值范围为?
【解析】
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$经过点$P(0, \sqrt{3})$，且椭圆的长轴长是焦距的两倍，则$a$=?
【解析】由已知\begin{cases}a=2c\\b=\sqrt{3}\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}解得a=2
【题目】过抛物线$y^{2}=-x$的焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，且$A$、$B$在直线$x=\frac{1}{4}$上的射影分别是$M$、$N$，则$\angle M F N$的大小为?
【解析】如图,由抛物线的定义可知:AF=AM,\therefore\angleAFM=\angleAMF;根据内错角相等知\angleAMF=\angleMFK,\therefore\angleAFM=\angleMFK;同理可证\angleKFN=\angleNFB而\angleMFK+\angleKFN+\angleNFB=180^{0},\therefore\angleMFN=90^{0}.
【题目】与椭圆$x^{2}+4 y^{2}=16$有相同的焦点，且一条渐近线为$x+\sqrt{3} y=0$的双曲线的标准方程是?
【解析】由已)圆x^{2}+4y^{2}=16有相同的焦点,?角定双由由线的焦点位置为x轴和c值,再由已知双曲线的渐近线方程,可以直接确定为y=\pm\frac{b}{a}x,也可以设出以x+\sqrt{3}y=0为渐近线的双曲线方程为\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{1}=\lambda(\lambda>0)根据c求出\lambda,进而求出双曲线方程羊解】法一:x^{2}+4y^{2}=16\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1\thereforea^{2}=16,b^{2}=4\cdotc^{2}=16-4=12\because双曲线与椭圆x^{2}+4y^{2}=16有相同的焦点\therefore双曲线的焦点在x轴上,渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x又\because双曲线的一条渐近线方程为x+\sqrt{3}y=0,即y=-\frac{\sqrt{3}}{3},\therefore\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}即\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{9}又\becausec^{2}=a^{2}+b^{2}=12\thereforea^{2}=9,b^{2}=3\therefore双曲线的方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1法二:x2+4y^{2}=16\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=\thereforea^{2}=16,b^{2}=4\thereforec^{2}=16-4=12双曲线与椭圆x^{2}+4y^{2}=16有相同的焦点\therefore双曲线的焦点在x轴又\because双曲线的一条渐近线方程为x+\sqrt{3}y=0\therefore设双曲线方程为\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{1}=\lambda(\lambda>0)\frac{x^{2}}{3\lambda}-\frac{y^{2}}{\lambda}=1(\lambda>0)a^{2}=3\lambda,b^{2}=\lambdac^{2}=3\lambda+\lambda=4\lambda=12\lambda=3\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{1}=3\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1\therefore双曲线的方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=
【题目】过点$F(1 , 0)$且与直线$l$: $x=-1$相切的动圆圆心的轨迹方程是?
【解析】
【题目】设$P$为抛物线$y^{2}=4 x$上任一点，则其到抛物线焦点与到$Q(2 , 3)$的距离之和最小值是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $x^{2}-y^{2}=1$的左、右焦点，点$P$在$C$上，$\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$，则$P$到$x$轴的距离为?
【解析】设点P(x_{0},y_{0}),由双曲线的定义得||PF_{1}|-|PF_{2}||=2,又由余弦定理得\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{|PF_{1}^{2}+|PF_{2}|^{2}-|F_{1}F_{2}^{2}}{2|PF_{1}||PF_{2}|}联立得|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4,S_{\triangleF_{1}PF_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\sin\angleF_{1}PF_{2}=\frac{1}{2}|F_{1}F_{2}|y_{0}解得y_{0}=\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】已知$(2,0)$是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (b>0)$的一个焦点，则$b$=?
【解析】由题意知c=2,a=1,b^{2}=c^{2}-a^{2}=3,所以b=\sqrt{3}
【题目】斜率为$-1$的直线经过抛物线$y^{2}=-4 x$的焦点，与抛物线相交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】【解和元)由点斜式求出直线AB的方程,将其与抛物线方程联立,可得x_{1}+x_{2},再根据抛物线定义可求出结果设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),焦点F(-1,0),p=2,则直线AB的方程为y=-(x+1),与抛物线方程联立\begin{cases}y^{2}=-4x\\v=-x-1\end{cases}整理得x^{2}+6x+1=0,所以x_{1}+x_{2}=-6,由抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=\frac{p}{2}-x_{1}+\frac{p}{2}-x_{2}=8
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$上的一点$M$到焦点的距离为$2$，则点$M$的横坐标为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的准线方程为x=-1,由抛物线y^{2}=4x上一点M到焦点的距离为2,且抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离,可得点M的横坐标为:2-1=1,
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=12 x$与点$M(-3,4)$，过$C$的焦点且斜率为$k$的直线与$C$交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$，则$k$的值为?
【解析】:\because抛物线C:y^{2}=12x的焦点F(3,0),\therefore过A,B两点的直线方程为y=k(x-3)联立\begin{cases}y^{2}=12x\\v=k(x-3)\end{cases},可得,k^{2}x^{2}-2(6+3k^{2})x+9k^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=\frac{12+6k^{2}}{k^{2}},x_{1}x_{2}=9\thereforey_{1}+y_{2}=\frac{12}{k},y_{1}y_{2}=-36,\becauseM(-3,4)\therefore\overrightarrow{MA}=(x_{1}+3,y_{1}-4),\overrightarrow{MB}=(x_{2}+3,y_{2}-4),\because\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\therefore(x_{1}+3)(x_{2}+3)+(y_{1}-4)(y_{2}-4)=0,代入整理可得k=\frac{3}{2}
【题目】椭圆$3 x^{2}+4 y^{2}=12$的离心率为?
【解析】因为3x^{2}+4y^{2}=12,所以\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,所以a=2,b=\sqrt{3},c=1所以椭圆的离心率e=\frac{1}{2}
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，过椭圆在第二象限上的任意一点$P$作椭圆的切线与$y$轴相交于$Q$点，$O$是坐标原点，过点$Q$作$Q R \perp O P$，垂足为$R$，则$|O R|+|O P|$的取值范围是?
【解析】设P(t,s)(t<0,s>0),则有\frac{t^{2}}{4}+\frac{s2}{3}=1,即3t^{2}+4s^{2}=12,显然切线PQ斜率存在,设PQ的方程:y-s=k(x-t).由\begin{cases}y=kx-(kt-s)\\3x^{2}+4y^{2}=12\end{cases}消去y并整理得:(4k^{2}+3)x^{2}-8k(kt-s)x+4(kt-s)^{2}-12=0因此,A=64k^{2}(kt-s)^{2}-16(4k^{2}+3)[(kt-s)^{2}-3]=0,化简整理得:4k^{2}-(kt-s)^{2}+3=0即(4-t^{2})k^{2}+2tsk+3-s^{2}=0,亦即\frac{4}{3}s2k^{2}+2tsk+\frac{3}{4}t^{2}=0,解得k=-\frac{3t}{4s}则直线PQ方程为:y-s=-\frac{3t}{4s}(x-t),当x=0时,y=\frac{3}{3},即点Q(0,\frac{3}{5})\overrightarrow{OP}=(t,s),\overrightarrow{OQ}=(0,\frac{3}{3}),又QR\botOP,则|OP|\cdot|OR|=|OP|\cdot|OQ|\cos\anglePOQ=\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=3令m=|OP|\in(\sqrt{3},2),|OR|+|OP|=\frac{3}{|OP|}+|OP|=\frac{3}{m}+m,函数f(m)=\frac{3}{m}+m在m\in(\sqrt{3},2)上单调递增,则f(\sqrt{3})<f(m)<f(2),即2\sqrt{3}<f(m)<\frac{7}{2},于是得2\sqrt{3}<|OR|+|OP|<\frac{7}{2},所以|OR|+|OP|的取值范围是(2\sqrt{3},\frac{7}{2}).
【题目】已知直线$x=t$交抛物线$y^{2}=4 x$于$A$、$B$两点.若该抛物线上存在点$C$，使得$A C \perp B C$，
则$t$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x (p>0)$的焦点$F$到准线的距离为$4$，过点$F$的直线$l$与抛物线$C$交于$P$、$Q$两点，若$|P F|=10$，则$|P Q|+|Q F|$=?
【解析】因为抛物线的焦点F到准线的距离为4,所以p=4,则抛物线C:y^{2}=8x,设点P的坐标为(x_{1},y_{1}),Q的坐标为(x_{2},y_{2})因为|PF|=x_{1}+\frac{p}{2}=10,所以x_{1}=8,则y_{1}=\pm8,则k_{1}=\frac{\pm8}{8-2}=\pm\frac{4}{3}所以直线l的方程为y=\pm\frac{4}{3}(x-2),代入抛物线方程可得2x^{2}-17x+8=0,故x_{1}+x_{2}=\frac{17}{2},则x_{2}=\frac{1}{2}所以|PQ|+|QF|=x_{1}+x_{2}+p+x_{2}+\frac{p}{2}=15
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的一个焦点到其渐近线的距离是?
【解析】
【题目】已知直线$y=a x-3 a$和曲线$y=\sqrt{4-x^{2}}$有两个不同的交点，则实数$a$的取值范围是?
【解析】由题意得,直线y=ax-3a=a(x-3)过定点P(3,0),曲线y=\sqrt{4-x^{2}}表示圆心为原点,半径为2的圆的上半部分(包括与x轴的交点)画出图形如下图所示.当直线y=ax-3a,即直线ax-y-3a=0与圆相切时,则有\frac{|-3a|}{\sqrt{a^{2}+1}}=2,解得a^{2}=\frac{4}{5},a=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时,则有-\frac{2\sqrt{5}}{5}<a\leqslant0\therefore实数a的取值范围是-\frac{2\sqrt{5}}{5},0.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$的左右焦点分别是$F_{1}$、$F_{2}$、$P$点是双曲线右支上一点，且$|P F_{2}|=|F_{1} F_{2}|$，则三角形$P F_{1} F_{2}$的面积等于?
【解析】略
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点与$F_{2}$重合，若点$P$为椭圆和抛物线的一个公共点且$\cos \angle P F_{1} F_{2}=\frac{7}{9}$，则椭圆的离心率为?
【解析】由P在抛物线上可得\cos\anglePF_{1}F_{2}=\frac{PF_{2}}{PF_{1}}=\frac{7}{9}\becausePF_{1}+PF_{2}=2a\thereforePF_{1}=\frac{9}{8}a,PF_{2}=\frac{7}{8}a由余弦定理可知\cos\anglePF_{1}F_{2}=\frac{PF_{1}^{2}+F_{1}F_{2}}{2PF_{1}F_{1}F_{2}}=\frac{\frac{81}{64}a^{2}-\frac{49}{64}a^{2}+4c^{2}}=\frac{7}{9},化简得8c^{2}-7ac+a^{2}=0\therefore8e^{2}-7e+1=0\thereforee=\frac{7\pm\sqrt{17}}{16}
【题目】抛物线$y=\frac{1}{2} x^{2}$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的左右焦点，点$P$在双曲线上，且$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$，则点$P$到$x$轴的距离为?
【解析】
【题目】已知焦点在$x$轴上的椭圆的长轴长为$12$，离心率为$\frac{1}{3}$, 则该椭圆的标准方程是?
【解析】根据椭圆的性质求出a,b,即可得出该椭圆的标准方程由题意可知\begin{matrix}2a=12\\\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\end{matrix},解得a=6,c=2,b^{2}=a^{2}-c^{2}=36-4=32则该椭圆的标准方程为\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{32}=1
【题目】已知椭圆$E$的中心为原点$O$，焦点在$x$轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为$\sqrt{2}-1$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若$A$、$B$、$C$为椭圆上三个不同的点，且$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$，则$\triangle A B C$的面积为?
【解析】由题意,椭圆E上一点到焦点的最小距离为\sqrt{2}-1,离心率为\frac{\sqrt{2}}{2},可得\begin{cases}a-c=\sqrt{2}-1\\\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases},解得\begin{cases}a=\sqrt{2}\\c=1\end{cases},则b^{2}=a^{2}-c^{2}=1,所以椭圆为\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1.当直线AB的斜率不下存在时,设直线AB:x=t不妨令A(t,\sqrt{1-\frac{t^{2}}{2}}),B(t,-\sqrt{1-\frac{t^{2}}{2}}),由\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},得x_{c}=-2t,y_{c}=0,故C(-2t,0),将(-2t,0)代入椭圆方程,可得t^{2}=\frac{1}{2},所以|t|=\frac{\sqrt{2}}{2}所以_{S_{\DeltaABC}}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{1-\frac{t^{2}}{2}}\times3|t|=\frac{3\sqrt{6}}{4}当直线AB的斜率存在时,设直线AB:y=kx+m.联立方程组\begin{cases}y=kx+m\\x2+2v2=2\end{cases},整理得(1+2k^{2})x^{2}+4kmx+2(m^{2}-1)=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=-\frac{1}{1}x_{1}x_{2}=\frac{2(m^{2}-1)}{1+2k^{2}}设C(x_{3},y_{3}),由\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}可得x_{3}=-(x_{1}+x_{2})=\frac{4km}{1+2k^{2}},y_{3}=-((y_{1}+y_{0})=-[k(x_{1}+x_{2})+2m]=-\frac{2m}{1+2k^{2}}代入x^{2}+2y^{2}=2,可得2+2k^{2}=4m^{2}.所以|AB|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|,且O到直线AB的距离d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^{2}}},所以S_{\triangleOAB}=\frac{1}{2}\timesd\times|AB|=\frac{1}{2}|m|\times\sqrt{(-\frac{4km}{1+2k^{2}}-4\times\frac{2(m^{2}-1)}{1+2k^{2}}}=\frac{\sqrt{2}|m|}{4m^{2}}\times\sqrt{3}|m|=\frac{\sqrt{6}}{4}所以_{S_{\triangleABC}}=3S_{\triangleOAB}=\frac{3\sqrt{6}}{4},综上可得,则\triangleABC的面积为\frac{3\sqrt{6}}{4}
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，且直线$y=2 x$为双曲线$C$的一条渐近线，点$P$为$C$上点，如果$|P F_{1}|-|P F_{2}|=4$，那么双曲线$C$的方程为?离心率为?
【解析】因为|PF|-|PF_{2}|=4,所以2a=4,得a=2,由直线y=2x为双曲线C的一条渐近线.可知\frac{b}{a}=2,得b=4所以双曲线C的方程为\frac{x2}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1;所以离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2+16}}{2}=\sqrt{5}
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{1}$与$x$轴垂直的直线与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，则三角形$A B F_{2}$的内切圆的半径为?
【解析】由椭圆的方程可得a=2,b=\sqrt{3},又c^{2}=a^{2}-b^{2},所以c=1,所以可得左焦点F_{1}(-1,0)右焦点F_{2}(1,0)因为过点F_{1}且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A,B.所以x_{A}=x_{B}=-1,y_{A}=-y_{B}=\frac{b^{2}}{a}=\frac{3}{2},即A(-1,\frac{3}{2}),B(-1,-\frac{3}{2})所以S_{\triangleABF}=\frac{1}{2}|AB|\cdot|F_{1}F_{2}|=\frac{1}{2}\times3\times2=3|AF_{2}|=|BF_{2}|=\sqrt{2^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\frac{5}{2}设内切圆的半径为r,则\frac{1}{2}(|AB|+|AF_{2}|+|BF_{2}|)\cdotr=S_{\triangleABF}2可得\frac{1}{2}(\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+3)\cdotr=3,所以可得r=\frac{3}{4}.
【题目】已知点$F$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点，过原点的直线交椭圆于点$A$, $P$,$PF$垂直于$x$轴，直线$AF$交椭圆于点$B$，$P B \perp P A$ ,则该椭圆的离心率$e$=?
【解析】
【题目】抛物线$C$的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且$C$过点$(-2,3)$，则$C$的方程是?
【解析】(1)当抛物线的顶点在坐标原点,对称轴是x轴时设它的标准方程为y^{2}=-2px(p>0),代入点(-2,3)\therefore9=4p可得2p=\frac{9}{2}\thereforey^{2}=-\frac{9}{2}x(2)当对称轴是y轴,设抛物线的方程为x^{2}=2py(p>0)代入点(-2,3)\therefore4=6p可得2p=\frac{4}{3}\therefore抛物线的方程为x^{2}=\frac{4}{3}y综上可知求抛物线的标准方程为y^{2}=-\frac{9}{2}x或x^{2}=\frac{4}{3}y
【题目】若双曲线$C$:$ 2 x^{2}-y^{2}=m(m>0)$与抛物线$y^{2}=16 x$的准线交于$A$ , $B$两点，且$|AB|=4 \sqrt{3}$,则$m$的值是?
【解析】y^{2}=16x的准线1:x=-4\becauseC与抛物线y^{2}=16x的准线1:x=-4交于A,B两点,|AB|=4\sqrt{3}\thereforeA(\cdot4,2\sqrt{3}),B(\cdot4,\cdot2\sqrt{3})将A点坐标代入双曲线方程得2(-4)^{2}.(2\sqrt{3})^{2}=m\thereforem=20,
【题目】已知点$A(0,2)$及椭圆$\frac{x^{2}}{4} + y^{2}=1$上任意一点$P$，则$|P A|$最大值为?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=a x$的焦点与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的左焦点重合，则$a$=?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的左焦点为(-\sqrt{5},0)因为抛物线y^{2}=ax的焦点与双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1的左焦点重合所以a<0,\frac{a}{4}=-\sqrt{5},得a=-4\sqrt{5},
【题目】以椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为?
【解析】由\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1得右焦点为(\sqrt{2},0)所以抛物线的标准方程为v2=4\sqrt{2}x
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$与直线$y=\sqrt{3} x$无交点，则离心率$e$的取值范围是?
【解析】因为双曲线的渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x,要使直线y=\sqrt{3}x与双曲线无交点,则直线y=\sqrt{3}x应在两渐近线之间,所以有\frac{b}{a}\leqslant\sqrt{3},即b\leqslant\sqrt{3}a,所以b^{2}\leqslant3a^{2},c^{2}-a^{2}\leqslant3a^{2},即c^{2}\leqslant4a^{2},e^{2}\leqslant4,所以1<e\leqslant2.
【题目】椭圆$T$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个顶点$A(a, 0)$ , $B(0, b)$，过$A$、$B$分别作$A B$的垂线交椭圆$T$于$D$，$C$（不同于顶点），若$B C=3 A D$，则椭圆$T$的离心率为?
【解析】本题首先依题意可得直线BC:y=\frac{a}{b}x+b以及直线AD:y=\frac{a}{b}(x-a).联立椭圆方程可得x_{C}=\frac{-2a3b^{2}}{b^{4}+a^{4}}、x_{D}=\frac{a5-ab}{b^{4}+a^{4}}\frac{4}{4},再通过BC=3AD可得3x_{D}-x_{C}=3a,即a^{2}=3b^{2},最后得出椭圆-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}依题意可得k_{BC}=k_{AD}=-\frac{1}{k_{AB}}=\frac{a}{b}因为过A,B分别作AB的垂线交椭圆T于D,C(不同于顶点)所以直线BC:y=\frac{a}{b}x+b,直线AD:y=\frac{a}{b}(x-a)由\begin{cases}y=\frac{a}{b}x+b\\b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}\end{cases}\Rightarrow(b^{4}+a^{4})x^{2}+2a^{3}b^{2}x=0所以x_{C}+x_{B}=\frac{-2a3k}{b^{4}+a}2=\frac{-2a3b^{2}}{4}由)'\begin{cases}y=\frac{a}{b}(x-a)\\b^{2}x^{2}+a^{2}y2=a^{2}b^{2}\end{cases}\Rightarrow(b^{4}+c(4)x^{2}-2a5x+a^{6}-a^{2}b^{4}=0,所以x_{A}\cdotx_{D}=\frac{a^{6}-a_{2}b^{4}}{a4+b^{4}},xx_{D}=\frac{a^{5}-ab^{4}}{b^{4}+a^{4}}因为CB=\sqrt{1+(\frac{a+b^{4}}{b})^{2}\cdot(0-x_{C})^{x}},AD=\sqrt{1+(\frac{a}{b})^{2}}\cdot(a-x_{D})由BC=3AD可得3x_{D}-x_{C}=3a,所以a_{2}=3b^{2},椭圆T的离心率e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3},
【题目】已知$A(1, \frac{1}{2})$, $B(-1, \frac{1}{2})$，直线$A M$的斜率与直线$B M$的斜率之差是$1$，点$F(0, \frac{1}{2})$, $P$是直线$l$: $y=-\frac{1}{2}$上的一点，$Q$是直线$P F$与点$M$的轨迹$C$的交点，且$\overrightarrow{F P}=4 \overrightarrow{F Q}$，则$|Q F|$=?
【解析】设M(x,y),则_{k_{AM}}-k_{BM}=\frac{y-\frac{1}{2}}{x-1}-\frac{y-\frac{1}{2}}{x+1}=1导点M的轨迹C的方程是x^{2}=2y(x\neq\pm1),如下图所示:设点P(t,-\frac{1}{2}),Q(x_{0},y_{0}),\overrightarrow{FP}=(t,-1),\overrightarrow{FQ}=(x_{0},y_{0}-\frac{1}{2}),\because\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FQ},\therefore4(y_{0}-\frac{1}{2})=-1,解得y_{0}=\frac{1}{4}.由抛物线的定义可得|QF|=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的右焦点与抛物线$y^{2}=12 x$的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$:$ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点为$F$，右顶点为$A$，点$P$是椭圆上任意一点，则$\overrightarrow{P F} \cdot \overrightarrow{P A}$的最小值为?
【解析】设P点坐标为(x_{0},y_{0}),由题意得F(-1,0),A(2,0),则-2\leqslantx_{0}\leqslant2,-\sqrt{3}\leqslanty_{0}\leqslant\sqrt{3},\overrightarrow{PF}=(-1-x_{0},-y_{0}),\overrightarrow{PA}=(2-x_{0},-y_{0})由\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1^{可得y_{0}^{2}}=3-\frac{3}{4}x_{0}^{2},所以\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{PA}=x_{0}^{2}-x_{0}-2+y_{0}^{2}=\frac{1}{4}x_{0}^{2}-x_{0}+1=\frac{1}{4}(x_{0}-2)^{2}故当x_{0}=2时,\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PA}取得最小值0
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$16 x^{2}+25 y^{2}=400$的焦点，$P$为椭圆上的一点，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的周长是? $\triangle PF_{1} F_{2}$的面积的最大值是?
【解析】
【题目】设$F$为抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，过点$P(-1,0)$的直线$l$交抛物线$C$于$A$、$B$两点，点$Q$为线段$A B$的中点.若$|F Q|=2$，则直线$l$的斜率等于?
【解析】根据题意设l:y=k(x+1),A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})、Q(x_{0},y_{0}),将直线l方程与抛物线联立方程得k^{2}x^{2}+(2k^{2}-4)x+k^{2}=0,进而得x_{0}=\frac{2-k^{2}}{k^{2}},y_{0}=\frac{2}{k},再根据|FQ|=2即可解得k=\pm1,最后验证k\in(-1,1)即可得答案.设l:y=k(x+1)代入抛物线y^{2}=4x化简得k^{2}x^{2}+(2k^{2}-4)x+k^{2}=0,设A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})、Q(x_{0},y_{0}),所以_{4}=(2k^{2}-4)^{2}-4k^{4}=-16k^{2}+16>0,解得k\in(-1,1)则x_{1}+x_{2}=\frac{4-2k^{2}}{k^{2}},y=k(x_{1}+x_{2}+2)=\frac{4}{k},\thereforex_{0}=\frac{2-k^{2}}{k^{2}},y_{0}=\frac{2}{k},因为|FQ|=2,所以\sqrt{(x_{0}-1)^{2}+y_{0}^{2}}=2,即(\frac{2-k^{2}}{l^{2}}-1)+(\frac{2}{k})^{2}=4,解得k=\pm1.k=\pm1不满足k\in(-1,1),所以直线l的斜率不存在
【题目】若椭圆$m x^{2}+n y^{2}=1  (m>0 , n>0)$与直线$y=1-x$交于$A$、$B$两点，过原点与线段$A B$的中点的连线斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{n}{m}$的值为?
【解析】设交点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由直线与椭圆相交,联立方程\begin{cases}mx^{2}+ny^{2}=1\\y=1-x\end{cases},元得:(m+n)x^{2}-2nx+n-1=0,所以x_{1}+x_{2}=\frac{2n}{m+n},x_{1}x_{2}=\frac{n-1}{m+n},y_{1}+y_{2}=1-x_{1}+1-x_{2}=2-(x_{1}+x_{2})=2-\frac{2n}{m+n},AB中点坐标为(\frac{n}{m+n},1-\frac{n}{m+n}),所以其与原点连线的斜率为\frac{1-\frac{n}{m+n}}{\frac{n+n}{n}}-1=\frac{\sqrt{2}}{2},解得:\frac{n}{m}=\sqrt{2},所以应该填\sqrt{2}.
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{k}=1$的焦距为$6$，则$k$的值为?
【解析】由已知2c=6,得c=3,当焦点在x轴上时,20-k=9,解得k=11,当焦点在y轴上时,或k-20=9,解得k=29综上,k=11或29.
【题目】与双曲线$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$有共同渐近线，且过点$(2,2)$的双曲线方程是?
【解析】
【题目】已知$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点，焦点为$F_{1}$, $F_{2}$, $\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{2}$，则点$P$的纵坐标是?
【解析】
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1$的离心率为$2$，它的一个焦点与抛物线$y^{2}=4 x$的焦点重合，则$mn$的值为?
【解析】
【题目】已知动圆的圆心$C$在抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$上，该圆经过点$A(0, p)$，且与$x$轴交于两点$M$、$N$，则$\sin \angle M C N$的最大值为?
【解析】
【题目】经过抛物线$E$: $y^{2}=4 x$的焦点的直线$l$与$E$相交于$A$、$B$两点，与$E$的准线交于点$C$. 若点$A$位于第一象限，且$B$是$A C$的中点，则直线$l$的斜率等于?
【解析】设直线l的斜率为k,所以直线的方程为y=k(x-1),联立方程组,利用根与系数关系得到x_{1}x_{2}=1再由B为A,C的中点,得到x_{1}=2x_{2}+1,联立方程组,求得B(\frac{1}{2},-\sqrt{2}),再利用斜率公式,即可求解.详解】如图所示,由抛物线E:y^{2}=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设直线l的斜率为k,A(x_{1},y_{1},B(x_{2},y_{2}),C(-1,y_{3}),所以直线的方程为y=k(x-1),\cdots\cdots\cdots\cdots\textcircled{1}\textcircled{2}联立方程组\begin{cases}y=k(x-1)\\y2=4x\end{cases},整理得k^{2}x-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,所以x_{1}x_{2}=1,又由B为A,C的中点,所以x_{2}=\frac{x_{1}+(-1)}{2},即x_{1}=2x_{2}+1,\cdots\cdots\cdots\cdots\textcircled{2}联立\textcircled{1}\textcircled{2},解得x_{2}=\frac{1}{2},代入抛物线的方程,求得y_{2}=-\sqrt{2},即B(\frac{1}{2},-\sqrt{2})所以直线BF的斜率为k=\frac{0-(-\sqrt{2})}{1-\frac{1}{2}}=2\sqrt{2},即直线l的斜率为2\sqrt{2}
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{n}=1(n>0)$，若其离心率为$5$，则该双曲线的渐近线方程为?
【解析】依题意有\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{1+n}}{1}=5'解得n=24,即b=2\sqrt{6},所以渐近线的方程为y=\pm\frac{b}{a}x=\pm2\sqrt{6}x
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别是$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$作倾斜角为$120^{\circ}$的直线与椭圆的一个交点为$M$，若$M F_{1}$垂直于$x$轴，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知直线$y=1-x$与双曲线$a x^{2}+b y^{2}=1(a>0, b<0)$的渐近线交于$A$、$B$两点，且过原点和线段$A B$中点的直线的斜率为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{a}{b}$=?
【解析】根据双曲线方程表示出双曲线的渐近线方程,与直线方程联立可得A,B两点坐标,利用中点坐标公式求得中点M的坐标.即可由直线斜率公式求得\frac{a}{b}.[详解]双曲线ax^{2}+by^{2}=1(a>0,b<0)所以其渐近线方程为y=\pm\sqrt{\frac{a}{-b}}\cdotx因为直线y=1-x与渐近线交于A,B两点则\begin{cases}y=1-x\\y=\pm\sqrt{\frac{a}{-b}}\end{cases}.即两个交点坐标为A.\frac{-}{1}设A,B中点坐标为M则由中点坐标公式可得M(\frac{1}{1+\frac{a}{k}},\frac{1}{1}由题意k_{OM}=-\frac{\sqrt{3}}{2}则_{k_{OM}}=\frac{y_{M}}{x_{M}}=\frac{a}{b}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$过抛物线$y^{2}=8 x$的焦点，且与双曲线$x^{2}-y^{2}=1$有相同的焦点，则该椭圆的标准方程是?
【解析】抛物线焦点为(2,0),双曲线焦点为(\pm\sqrt{2},0),所以a=2,c=\sqrt{2}\thereforeb^{2}=2,椭圆方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1
【题目】以抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为$2$的双曲线标准方程为?
【解析】由题意得:a=1,e=\frac{c}{a}=2,c=2,b^{2}=3,双曲线标准方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】椭圆$m x^{2}+y^{2}=1$的离心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$,则它的长轴长是?
【解析】把椭圆mx^{2}+y^{2}=1的方程转化为:\frac{\frac{x^{2}}{1}+y^{2}=1}{m}分两种情况\omega_{m}^{m}>1'椭圆的离心率是\frac{\sqrt{3}}{2},则\frac{1}{\frac{m-1}{1}}=\frac{3}{4},解得m=\frac{1}{4},进一步得长轴长为4\frac{m}{m}<1,椭圆的离心率是\frac{\sqrt{3}}{3},则长轴长为2数答客为2或4
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$作倾斜角为$45^{\circ}$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，若线段$A B$的长为$8$，则$p$=?
【解析】
【题目】双曲线$C_{2}$与双曲线$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{5}=1$有共同的渐近线，且$C_{2}$过点$M(3,5)$，则双曲线$C_{2}$的方程为?
【解析】利用已知条件设出双曲线方程,把M(3,5)代入求解即可.由双曲线C_{2}与双曲线C_{1}\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{5}=1有共同的渐近线,可设C_{2}:\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{5}=\lambda(\lambda\neq0),又C_{2}过点M(3,5),可得:\frac{9}{9}-\frac{25}{5}=\lambda=-\angle故C_{2}:\frac{y^{2}}{20}-\frac{x^{2}}{36}=均答安头
【题目】已知$F$是抛物线$C$: $y=2 x^{2}$的焦点，点$P(x , y)$在抛物线$C$上，且$x=1$，则$| P F |$=?
【解析】由y=2x^{2},得x^{2}=\frac{1}{2}y,则p=\frac{1}{4};由x=1得y=2,由抛物线的性质可得|PF|=2+\frac{p}{2}=2+\frac{1}{8}=\frac{17}{8}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆和双曲线的公共焦点，$P$是它们的一个公共点，且$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi}{3}$，椭圆的离心率为$e_{1}$，双曲线的离心率$e_{2}$，则$\frac{1}{e_{1}^{2}}+\frac{3}{e_{2}^{2}}$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的其中一条渐近线的倾斜角是$\frac{\pi}{3}$，则该双曲线的离心率$e$=?
【解析】由\frac{a}{b}=\tan\frac{\pi}{3},得\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3},所以e=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
【题目】抛物线$\Gamma$: $y=x^{2}$上一点$M$到焦点的距离为$1$，抛物线$\Gamma$在点$M$处的切线的斜率为?
【解析】设M(x_{0},y_{0}),抛物线r:y=x^{2}的焦点(0,\frac{1}{4}),准线y=-\frac{1}{4},M到焦点的距离等于到准线的距离y_{0}+\frac{1}{4}=1,所以y_{0}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},\thereforex_{0}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2},\becausey=x^{2},\thereforey'=2x,\therefore抛物线r在点M处的切线的斜率2x_{0}=\pm\sqrt{3}.
【题目】双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=1$的渐近线方程是?
【解析】由题意得y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=0,得y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x所以双曲线y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=1的渐近线方程是y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x
【题目】抛物线$x^{2}=4 \sqrt{3} y$的焦点坐标为?
【解析】抛物线x^{2}=4\sqrt{3}y的焦点坐标(0,\sqrt{3}).
【题目】曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$与直线$y=k x+1$有两个交点，则$k$的取值范围?
【解析】把y=kx+1代入双曲线的方程得(3-k^{2})x^{2}-2kx-4=0,当k=\pm\sqrt{3}时,直线和曲线相交于一个交点,不满足题意,所以舍去当k\neq\pm\sqrt{3}时,A=4k^{2}+16(3-k^{2})=-12k^{2}+48>0,所以-2<k<2.所以k的取值范围为-2<k<2且k\neq\pm\sqrt{3}
【题目】一动圆与圆$(x+3)^{2}+y^{2}=4$外切，同时与圆$(x-3)^{2}+y^{2}=100$内切，则动圆圆心的轨迹方程为?
【解析】根据圆相切的条件,利用椭圆的定义求轨迹方程.圆(x+3)^{2}+y^{2}=4的圆心为F_{1}(-3,0),半径为r=2,圆(x-3)^{2}+y^{2}=100的圆心为F_{2}(3,0)半径为R=10,|F_{1}F_{2}|=6,动圆圆心为P,半径为r_{0},圆F_{1}在圆F_{2}内部故由题意\begin{cases}|PF_{1}|=r_{0}+2\\|PF_{2}|=10-r_{0}(2\alpha=12\end{cases},即|PF_{1}|+|PF_{2}|=12>6,\thereforeP点轨迹是椭圆.(2a=12b^{2}=a^{2}-c^{2}=27所以P点轨迹方程\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{27}=1.\begin{cases}2c=6\\\end{cases}
【题目】已知直线$y=k x+m$与双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两条渐近线交于$A$、$B$两点，与$y=\frac{1}{k} x$交于点$N$，若$N$为$A B$的中点，则双曲线的离心率等于?
【解析】由题意双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)的两条渐近线为y=\pm\frac{b}{a}x则\begin{cases}y=kx+m\\y=-\frac{b}{a}x\end{cases}\Rightarrowx_{A}=\frac{-am}{ka+b},同理x_{B}=\frac{am}{b-ka}联立\begin{cases}y=kx+m\\y=\frac{1}{k}x\end{cases}\Rightarrowx_{N}=\frac{km}{1-k^{2}}\becauseN为AB的中点,\thereforex_{A}+x_{B}=2x_{N},即\frac{-am}{b+ka}+\frac{am}{b-ka}=整理得\frac{b^{2}}{a^{2}}=1,\thereforee=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{2}
【题目】已知抛物线$C$的焦点为$F$，过$F$的直线与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，若$\frac{1}{|A F|}+\frac{1}{|B F|}=2$，则符合条件的抛物线$C$的一个方程为?
【解析】由题意可设抛物线的其中一种方程为y^{2}=2px,且过F的直线方程为y=k(x-\frac{p}{2}),A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})由\begin{cases}y^{2}=2px\\y=k(x-\frac{p}{2})\end{cases}联立消z去y可得,k^{2}x^{2}-(pk^{2}+2p)x+\frac{p^{2}}{4}k^{2}=0所以x_{1}+x_{2}=p+\frac{2p}{k^{2}},x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4},+\frac{1}{|BF|}=\frac{1}{x_{1}+\frac{P}{2}}\frac{x_{1}+x_{2}}{(x_{1}+\frac{P}{2})(x}\frac{x_{1}+x_{2}+p}{x_{1}x_{2}+\frac{p}{2}(x_{1}+x_{2})+\frac{p^{2}}{4}}\frac{+\frac{2p}{\frac{2p}{2}+p}{(p+\frac{2p}{2})+\frac{p^{2}}{4}}{2}=\frac{2p+\frac{2p}{k^{2}}}{p^{2}+\frac{p^{2}}{2}}=\frac{(x_{1}+\frac{l}{2}}{P}=2所以p=1,则抛物线C的一个方程为y^{2}=2x
【题目】若实数$x$,$y$满足$\frac{y}{2}=\sqrt{1-x^{2}}$，则$y-2 x$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{3 m}=1$的一个焦点为$(2,0)$. 若已知点$M(4,0)$，点$N(x, y)$是双曲线上的任意一点，则$M N$的最小值是?
【解析】由题意,可知m+3m=4,\thereforem=1,\therefore双曲线的方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1由x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1,得y^{2}=3x^{2}-3,\thereforeMN=\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}=\sqrt{4x^{2}-8x+13}=\sqrt{4(x-1)^{2}+9}又x<-1或x>1,\therefore当x=1时,MN取得最小值,为3
【题目】双曲线$k x^{2}-y^{2}=1$的一条渐近线与直线$2 x-y+3=0$垂直，则双曲线的离心率是?
【解析】双曲线ta^{2}-y^{2}-1=0的渐近线为y=\pm\sqrt{k}x-条渐近线与直线2x-y+3=0垂直,所以渐近线的斜率为-\frac{1}{2},所以\frac{b}{a}=\frac{1}{2},所以\frac{c2-a^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4},所以e=\frac{\sqrt{5}}{2}.

hbghlyj

【题目】已知抛物线$x^{2}=8 y$上一点$P$到其焦点的距离为$6$，则点$P$的坐标为?
【解析】根据抛物线的定义得y_{P}+2=6,解得y_{P}=4,代入抛物线的方程,即可求得点P的坐标由题意,抛物线x^{2}=8y上一点P到其焦点的距离为6,根据抛物线的定义,可得y_{P}+2=6,解得y_{P}=4代入抛物线x^{2}=8y,即x^{2}=8\times4=32,解得x=\pm4\sqrt{2},所以点P的坐标为P(\pm4\sqrt{2},4)
【题目】直线$y=x+2$被椭圆$x^{2}+2 y^{2}=4$截得的线段的中点坐标是?
【解析】
【题目】一双曲线与椭圆$\frac{x^{2}}{27}+\frac{y^{2}}{36}=1$有共同焦点，并且其中一个交点的纵坐标为$4$，则这个双曲线的方程为?
【解析】
【题目】抛物线方程为$x^{2}=6 y$，则过此抛物线的焦点的最短弦长为?
【解析】由题意可知过焦点的弦一定存在斜率,设为k,抛物线x^{2}=6y的焦点坐标为:(0,\frac{3}{2})则弦所在直线的方程为:y=kx+\frac{3}{2},与抛物线方程联立得:\begin{cases}y=kx+\frac{3}{2}\\x^{2}=6y\end{cases}\Rightarrowx^{2}-6kx-9=0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),因此有x_{1}+x_{2}=6k,x_{1}x_{2}=-9,|AB|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{1+k^{2}}\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt{1+k^{2}}\sqrt{36k^{2}+36}=6(1+k^{2})显然当k=0时,AB最小,最小值为6.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点为$F(-c, 0)$，点$P$在圆$F_{1}$: $x^{2}+y^{2}-2 c x=0$上，若线段$F P$恰好被$C$的一条渐近线垂直平分，则$C$的离心率为?
【解析】x^{2}+y^{2}-2cx=0,(x-c)^{2}+y^{2}=c^{2},圆心为(c,0),半径为c圆心F(c,0)为C的右焦点,|OF|=|OP|=|OF|=|PF|=c不妨设点P在第一象限,三角形OPF是等边三角形,则\anglePFF=\frac{\pi}{6},所以直线PF的斜率k=\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}从而-\frac{b}{a}=-\sqrt{3},\frac{b}{a}=\sqrt{3},故C的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{1+3}=2.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点为$F_{1}$ , $F_{2}$，若$P$为其上一点，则$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则椭圆离心率的取值范围为?
【解析】设P点的横坐标为x\because|PF_{1}|=2|PF_{2}|,\therefore根据椭圆的第二定义,可得a+ex=2(a-ex)\therefore3ex=a\becausex\leqslanta,\thereforeex\leqslantea\therefore\frac{1}{3}a\leqslantea,\thereforee\geqslant\frac{1}{3}\because0<e<1,\cdote\in[\frac{1}{3},1)
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，过$F$作一条倾斜角为$60^{\circ}$的直线与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，若$M(-5, \sqrt{3})$为线段$A B$的中点，则椭圆$C$的离心率是?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),A,B在椭圆上,所以\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1,\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1两式相减,得\frac{(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}{a^{2}}+\frac{(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})}{b^{2}}=0又M(-5,\sqrt{3})为线段AB的中点,所以x_{1}+x_{2}=-10,y_{1}+y_{2}=2\sqrt{3}\therefore\frac{-10}{a^{2}}+\frac{2\sqrt{3}}{b^{2}}=0,即3a^{2}=5b^{2},即2a^{2}=5c^{2},所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{10}}{5}
【题目】设抛物线$x^{2}=4 y$的焦点为$F$, 经过点$P(1,5)$的直线$l$与抛物线相交于$A$、$B$两点，且点$P$恰为线段$A B$的中点，则$|A F|+|B F|$=?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的两条渐近线斜率分别为$k_{1}$, $k_{2}$，若$k_{1} k_{2}=-3$，则该双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$, 过$F_{2}$的直线与双曲线右支交于$A$、$B$两点，且$\angle F_{1} A B=\frac{\pi}{3}$, 则$\triangle F_{1} A F_{2}$的面积为?
【解析】设|AF_{1}|=m,|AF_{2}|=n,由余弦定理得出m,n的一个关系式,然后由双曲线的定义又得一个,两者结合可求得mn,从而得三角形面积.由已知a^{2}=4,b^{2}=8,所以c=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3},即F_{1}(-2\sqrt{3},0),F_{2}(2\sqrt{3},0)设|AF_{1}|=m,|AF_{2}|=n,\because\angleF_{1}AB=\frac{\pi}{3},所以|F_{1}F_{2}|^{2}=m^{2}+n^{2}-2mn\cos\frac{\pi}{3}=m^{2}+n^{2}-mn而m-n=2a=4,所以(m-n)^{2}+mn=48,mn=48-4^{2}=32S_{\DeltaAF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}mn\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\times32\times\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}
【题目】从双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$上一点$P$作$x$轴的垂线，垂足为$Q$，则线段$P Q$中点$M$的轨迹方程为?
【解析】由题意,设P(x_{0},y_{0}),M(x,y),则Q(x_{0},0),则\begin{cases}x=x_{0}\\y=\frac{1}{2}y_{0}\end{cases}即\begin{cases}x_{0}=x\\y_{0}=2y\end{cases}因为x_{0}2-\frac{y_{0}^{2}}{2}=1,则x^{2}-2y^{2}=1,即M的轨迹方程为x^{2}-2y^{2}=1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$的左顶点$A$、$B$、$C$分别为双曲线左, 右两支上的点，且$B C / / x$轴，过$B$、$C$分别作直线$A B$, $A C$的垂线，两垂线相交于点$D$，若$S_{\triangle B C D}=\frac{27 \sqrt{3}}{4}$，则$|B C|$=?
【解析】易知点A(-3,0),由题意设点B(x_{0},y_{0}(x_{0}<0),则点C(-x_{0},y_{0}),\frac{x_{0}^{2}}{9}-\frac{y_{0}^{2}}{4}=1'且y_{0}\neq0.直线AB的斜率为k_{AB}=\frac{y_{0}}{x_{0}+3},则直线BD的方程为y-y_{0}=-\frac{x_{0}+3}{y_{0}}(x-x_{0}).同理可得直线CD的方程y-y_{0}=\frac{x_{0}-3}{y_{0}}(x+x_{0})联立得\begin{cases}y-y_{0}=-\\v-v=\frac{x_{0}}{2}\end{cases}\frac{x_{0}+3}{y_{0}}(x-x_{0}),y-y_{0}=\frac{x_{0}-3}{y_{0}}(x+x_{0}),为(3,\frac{13y}{4}),结合|BC|=2|x_{0}|,得S_{\triangleBCD}=\frac{1}{2}\times2|x_{0}|\times|\frac{13y_{0}}{4}-y_{0}|=\frac{9}{4}|x_{0}y_{0}|.因为S_{\triangleBCD}=\frac{27\sqrt{3}}{4},所以(\frac{9}{4}|x_{0}y_{0})^{2}=\frac{27\sqrt{3}}{4},又\frac{x_{0}^{2}}{9}-\frac{y_{0}^{2}}{4}=1'所以y_{0}^{4}+4y_{0}^{2}-12=0,得y_{0}^{2}=2,则|x_{0}|=\frac{3\sqrt{6}}{2},所以|BC|=2|x_{0}|=3\sqrt{6}
【题目】已知点$A(-2,3)$在抛物线$C$: $y^{2}=2 p x$的准线上，过点$A$的直线与$C$在第一象限相切于点$B$，记$C$的焦点为$F$，则直线$B F$的斜率是?
【解析】:\because点A(-2,3)在抛物线C:y^{2}=2px的准线上,即准线方程为:x=2,\thereforep>0,.-\frac{p}{2}=-2即p=4,\therefore抛物线C:y^{2}=8x,在第一象限的方程为y=2\sqrt{2}\sqrt{x},设切点B(m,n),则n=2\sqrt{2}\sqrt{m},又导数y=2\sqrt{2}\cdot\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}},则在切点处的斜率为\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}},\therefore\frac{n-3}{m+2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{m}}即\sqrt{2}m+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}m-3\sqrt{m}解得\sqrt{m}=2\sqrt{2}\therefore切点B(8,8),又F(2,0),\therefore直线BF的斜率为\frac{8-0}{8-2}=\frac{4}{3}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$的下顶点为$A$，若直线$x=t y+4$与椭圆交于不同的两点$M$、$N$，则当$t$=?时，$\Delta A M N$外心的横坐标最大.
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$上一点$M$到它准线的距离为$2$，且$M$到此抛物线顶点的距离等于$M$到它的焦点的距离，则此抛物线的焦点坐标是?
【解析】设点M(x,y)到它的准线的距离为2,则x+\frac{p}{2}=2,\becauseM到此抛物线顶点的距离等于M到它的焦点的距离,则x^{2}+y^{2}=(x-\frac{p}{2})^{2}+y^{2},解得x=\frac{p}{4}\frac{p}{4}+\frac{p}{2}=2,p=\frac{8}{3}\therefore焦点坐标为(\frac{4}{3},0)
【题目】设双曲线$C$的两个焦点分别为$(-2 , 0)$ ,$(2 , 0)$，一个顶点是$(\sqrt{2} , 0)$，则$C$的方程为?
【解析】利用双曲线C的两个焦点分别为(-2,0),(2,0),一个顶点是(\sqrt{2},0),可得a=\sqrt{2},c=2,进而求得b的值,即可得出双曲线的方程.由题意,得双曲线C的焦点在x轴上,设其方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)由已知得a=\sqrt{2},c=2,所以b^{2}=c^{2}-a^{2}=2,b=\sqrt{2}所以C的方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1.
【题目】点$P$是抛物线$C$: $y^{2}=4 x$上一动点，则点$P$到点$(6 , 12)$的距离与到$y$轴的距离之和的最小值是?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{m}=1$的离心率$e \in(1,2)$, 则$m$的取值范围为?
【解析】
【题目】已知点 $(1 , 1)$ 是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为?
【解析】设以A(1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E(x_{1},y_{1}),F(x_{2},y_{2})\becauseA(1,1)为EF中点,\thereforex_{1}+x_{2}=2,y_{1}+y_{2}=2,把E(x_{1},y_{1}),F(x_{2},y_{2})分别代入椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1,可得\frac{x_{1}^{2}}{4}+\frac{y_{1}^{2}}{2}=1'\frac{x_{2}^{2}}{4}+\frac{y_{2}^{2}}{2}=1两式相减,可得(x_{1}+x_{2})^{2}(x_{1}-x_{2})+2(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})=0\therefore2(x_{1}-x_{2})+4(y_{1}-y_{2})=0,k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{1}{2}\therefore以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为:y-1=-\frac{1}{4}(x-1)整理,得x+2y\cdot3=0.
【题目】已知抛物线$y^{2}=-4 x$的准线经过椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的焦点，则$b$=?
【解析】依题意可得抛物线y^{2}=-4x的准线为x=1,又因为椭圆焦点为(\pm\sqrt{4-b^{2}},0)所以有\sqrt{4-b^{2}}=1.即b^{2}=3故b=\sqrt{3}
【题目】已知点$A(2,0)$, $B(4,0)$，动点$P$在抛物线$y^{2}=-4 x$上运动 ，则使$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}$取得最小值的点$P$的坐标是?
【解析】设动点P的坐标为(x_{0},y_{0}),所以有y_{0}^{2}=-4x_{0}(x_{0}\leqslant0),所以\overrightarrow{AP}=(x_{0}-2,y_{0}),\overrightarrow{BP}=(x_{0}-4,y_{0})\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=(x_{0}-2,y_{0})\cdot(x_{0}-4,y_{0})=x_{0}2-6x_{0}+8+y_{0}2,而y_{0}^{2}=-4x_{0},所以\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=x_{0}2-10x_{0}+8=(x_{0}-5)^{2}-17,因为x_{0}\leqslant0,所以当x_{0}=0时,\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}有最小值8,所以点P的坐标是(0,0)
【题目】已知对$k \in R$，直线$y-k x-1=0$与椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$恒有公共点，则实数$m$的取值范围是?
【解析】直线y=kx+1过定点(0,1)在椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1外部,再根据椭圆定义得到m\neq5,综合得到答案直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)不在椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1外部即可,从而m\geqslant1又因为椭圆\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1中m\neq5,所以m的取值范围是[1,5)\cup(5,+\infty)
【题目】若实数$x$,$y$满足$\frac{x|x|}{4}+\frac{y|y|}{9}=1$，且$|3 x+2 y-t|$的最大值为$3 \sqrt{2}$，则实数$t$的值是?
【解析】当x>0,y>0时,曲线为椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1在第一象限的图象,当x>0,y<0时,曲线为双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1在第四象限的图象,当x<0,y>0时,曲线为双曲线\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1在第二象限的图象,当x<0,y<0时,原方程无实数解.因为直线3x+2y=0是双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1和\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1的渐近线,令3x+2y-t=0,则\frac{|3x+2y-t|}{\sqrt{13}}表示曲线上的点到直线3x+2y-t=0的距离.因为|3x+2y-t|的最大值为3\sqrt{2},所以\frac{|3x+2y-t|}{\sqrt{13}}的最大值为\frac{3\sqrt{26}}{3}由图知,曲线上到直线3x+2y=0距离最大的点在椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1上,设椭圆上动点坐标为(2\cos\theta,3\sin\theta),\theta\in(0,\frac{\pi}{2}).由点到直线的距离公式得\frac{|6\cos\theta+6\sin\theta|}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}=\frac{|6\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})|}{\sqrt{13}}\leqslant\frac{6\sqrt{26}}{13}因为\frac{6\sqrt{26}}{BB}>\frac{3\sqrt{26}}{B},所以\frac{13x+2y-t}{\sqrt{13}}要想有最大值\frac{3\sqrt{26}}{16}.直线3x+2y=0需向上平移.所以\frac{|t|}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{26}}{13},解得t=3\sqrt{2},
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$,$A$,$C$分别是椭圆的上、下顶点，$B$是左顶点，$F$为左焦点，直线$A B$与$F C$相交于点$D$，则$\angle B D F$的余弦值是?
【解析】由条件知A(0,\sqrt{3}),B(-2,0),C(0,-\sqrt{3}),F(-1,0),直线AB:\sqrt{3}x-2y+2\sqrt{3}=0,CF:\sqrt{3}x+y\frac{\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DF}}{|\overrightarrow{DB}|\cdot|\overrightarrow{DF}|}=\frac{\sqrt{7}}{14}.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，点$P$是椭圆$C$上任意一点，令$m=|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$，则$m$的最大值是?
【解析】依题意,由椭圆定义得:|PF_{1}|+|PF_{2}|=10,则_{m}=|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\leqslant(\frac{|PF_{1}|+|PF_{2}|}{2})^{2}=25当且仅当|PF_{1}|=|PF_{2}|=5时取“=”所以m的最大值为25.
【题目】若直线$y=k(x+2)+1$与抛物线$y^{2}=4 x$只有一个公共点，则$k$的值是?
【解析】
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$左支上一点$P$到右焦点的距离为$8$，则$P$到左准线的距离为?
【解析】
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$M$在$C$上，$|M F|=5$，若以$M F$为直径的圆过点$(0,2)$，则$p$=?
【解析】设M(x,y),|MF|=5\Rightarrowx+\frac{p}{2}=5\Rightarrowx=5-\frac{p}{2},y^{2}=2px=10p-p^{2},设A(0,2)\therefore\overrightarrow{AM}=(x,y-2),\overrightarrow{AF}=(\frac{P}{2},-2),\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AF}=0\Rightarrowx\cdot\frac{p}{2}+4-2y=0\Rightarrow\frac{y^{2}}{4}+4-2y=0\Rightarrowy=4\Rightarrow16=10p-p^{2}\Rightarrowp=2或8
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点是点$F$，过原点倾斜角为$\frac{\pi}{3}$的直线$l$与椭圆$C$相交于$M$、$N$两点，若$\angle MFN=\frac{2 \pi}{3}$，则椭圆$C$的离心率是?
【解析】设右焦点为F,设直线l的方程为:y=\sqrt{3}x,设M(x_{0},y_{0}),N(-x_{0},-y_{0}),利用几何性质可得\angleFMF'=\frac{\pi}{3},结合焦点三角形的性质和余弦定理可得s_{\triangleMFF}=\frac{\sqrt{3}}{3}b^{2}=c|y_{0}|'求出M的坐标后代入椭圆方程可求离心率.设右焦点为F,由题意可得直线l的方程为:y=\sqrt{3}x,设M(x_{0},y_{0}),N(-x_{0},-y_{0})连接MF',NF,因为\angleMFN=\frac{2\pi}{3}所以四边形FMFN为平行四边形,则\angleFMF=\frac{\pi}{3}所以4c^{2}=|MF|^{2}+|MF|^{2}-2|MF||MF|\cos\frac{\pi}{3},整理得到4c^{2}=(|MF|+|MF|)^{2}-3|MF||MF|即|MF||MF|=\frac{4b^{2}}{3}故s_{\DeltaMFF}=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{4b^{2}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}b^{2}=\frac{1}{2}\times2c\times|y_{0}|所以可得y_{0}=\frac{\sqrt{3}b^{2}}{3c},代入直线l的方程可得x_{0}=\frac{b^{2}}{3c}将M的坐标代入椭圆的方程可得:\frac{b^{4}}{\frac{9c^{2}}{a^{2}}}+\frac{b^{2}}{3c^{2}}=1'整理可得:4a^{4}-14a^{2}c^{2}+c^{4}=0,即e^{4}-14e^{2}+4=0,解得:e^{2}=7\pm3\sqrt{5},由椭圆的离心率e\in(0,1),所以_{e}=\sqrt{7-3\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}
【题目】若经过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的焦点且垂直于$x$轴的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{a}{2}$，则该椭圆的离心率为?
【解析】因为过椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的焦点垂直于x轴的弦长为\frac{a}{2}由\begin{cases}\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=1\\\therefore\frac{2b^{2}}{2}=c\\\frac{a}{2},4b^{2}=a^{2},\end{cases},又b^{2}=a^{2}-c^{2}\therefore3a^{2}=4c^{2},\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4},所以椭圆的离心率为_{e}=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},
【题目】抛物线$y=2 a x^{2}(a>0)$上一点$A(m, \frac{3}{4})$到其焦点$F$的距离为$1$，则$a$的值为?
【解析】】将抛物线方程化为标准方程,利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,再利用点到直线的距离公式进行求解.将抛物线y=2ax^{2}(a>0)化为x^{2}=\frac{1}{2a}y(a>0)由抛物线定义得点A(m,\frac{3}{4})到准线l:y=-\frac{1}{8a}的距离为1即\frac{3}{4}+\frac{1}{8a}=1,解得a=\frac{1}{2}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$上的点与直线$2 x-y+10=0$的最大距离是?
【解析】
【题目】已知直线$l$的方程为$x+2 y=0$,$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上任意一点，则点$P$到直线$l$的距离的最大值为?
【解析】(1)因为P为椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1上任意点,故可设P(2\cos\theta,\sin\theta),其中\theta\in[0,2\pi).因为点P到直线l:x+2y=0的距离d=\frac{2\cos\theta+2\sin\theta}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt[2]{2}|\sin(\theta+\frac{\pi}{4})|}{\sqrt{5}}所以当\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=\pm1时,d取得最大值为\frac{2\sqrt{10}}{5}.
【题目】已知抛物线$x^{2}=a y$的焦点恰好为双曲线$y^{2}-x^{2}=2$的上焦点，则$a$的值为?
【解析】
【题目】斜率为$\sqrt{3}$的直线过抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，且与$C$交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】\because抛物线的方程为y^{2}=4x,\therefore抛物线的焦点F坐标为F(1,0)又\because直线AB过焦点F且斜率为\sqrt{3},\therefore直线AB的方程为:y=\sqrt{3}(x-1)代入抛物线方程消去y并化简得3x^{2}-10x+3=0,解法一:解得x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=3所以|AB|=\sqrt{1+k^{2}}|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{1+3}\cdot|3-\frac{1}{3}|=\frac{16}{3}解法二:A=100-36=64>0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=\frac{10}{3}.过A,B分别作准线x=-1的垂线,设垂足分别为C,D如图所示|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=x_{1}+1+x_{2}+1=x_{1}+x_{2}+2=\frac{16}{3}
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过$F$且斜率为$k(k>0)$的直线$l$与$C$交于$A$、$B$两点，$|A B|=8$，则$l$的方程是?
【解析】由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})由\begin{cases}y=k(x\\y^{2}=4x\end{cases}-1),得k^{2}x^{2}-(2k^{2}+4)x+k^{2}=0,\Delta=16k^{2}+16>0,故x_{1}+x_{2}=\frac{2k^{2}+4}{k^{2}},所以|AB|=|AF|+|BF|=(x_{1}+1)+(x_{2}+1)=\frac{4k^{2}+4}{k^{2}}由题设知\frac{4k^{2}+4}{k^{2}}=8,解得k=-1(舍去),k=1,因此l的方程为y=x-1
【题目】点$P$是双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (b>0)$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线的左，右焦点，$|P F_{1}|+|P F_{2}|=6$ , $P F_{1} \perp P F_{2}$，则双曲线的离心率为?
【解析】根据题意,点P是双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)上一点,则有|PF_{1}||PF_{2}|=2a=2,设|PF_{1}|>|PF_{2}|,则有|PF_{1}||PF_{2}|=2,又由|PF_{1}|+|PF_{2}|=6,解可得:|PF_{1}|=4,|PF_{2}|=2又由PF_{1}\botPF_{2},则有|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=4c^{2}=20,则c=\sqrt{5},又由a=1,则双曲线的离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}
【题目】已知直线$l_{1}$: $x-y+3=0$，直线$l_{2}$: $x=-3$，则抛物线$x=\frac{1}{8} y^{2}$上一个动点$P$到直线$l_{1}$的距离与它到直线$l_{2}$的距离之和的最小值为?
【解析】抛物线的标准方程为y^{2}=8x,焦点F(2,0),所以点P到直线l_{2}的距离等于|PF|+1,所以点P到直线l_{1}与到直线l_{2}的距离之和等于P到直线l_{1}的距离与|PF|+1之和,其最小值为\frac{|1\times2-1\times0+3|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}+1=\frac{5\sqrt{2}}{2}+
【题目】抛物线$y=4 a x^{2}  (a \in R$且$a \neq 0)$的焦点坐标为?
【解析】由题设可得抛物线的标准方程为x^{2}=\frac{1}{4a}y,因此该抛物线的焦点在y轴上,当a>0时,焦点在y的正半轴上;当a<0时,焦点在y的负半轴上,其坐标为F(0,\frac{1}{16a}),应填答案F(0,\frac{1}{16a})
【题目】已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的$2$倍，且过点$P(3,0)$，则椭圆的方程为?
【解析】设椭圆短轴为2b(b>0),则长轴为6b,\therefore椭圆标准方程为\frac{x^{2}}{(3b)^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1或\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y2}{(3b)^{2}}将点P(3,0)的坐标代入方程\frac{x^{2}}{(3b)^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,解得b=1,故椭圆标准方程为\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1将点P(3,0)的坐标代入方程\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{(3b)^{2}}=1,解得b=3,故椭圆标准方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{81}=1综上可得椭圆标准方程为\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1或\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{81}=1.答案:\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1或\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{81}=1.
【题目】抛物线$y=-\frac{1}{2} x^{2}$上一点$N$到其焦点$F$的距离是$3$，则点$N$到直线$y=1$的距离等于?
【解析】
【题目】椭圆$x^{2}+my^{2}=1$的焦点在$y$轴上，长轴长是短轴长的两倍，则$m$的值为?
【解析】
【题目】直线$y=k x-2$与椭圆$x^{2}+4 y^{2}=80$相交于不同的两点$P$、$Q$，若$P Q$的中点横坐标为$2$，则直线的斜率等于?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的实轴长为$2$，离心率为$2$，则双曲线$C$的焦点坐标是?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$上一点$A$的横坐标为$4$，则点$A$与抛物线焦点的距离为?
【解析】
【题目】设$A(x_{1}, y_{1})$为椭圆$3 x^{2}+4 y^{2}=12$上一点，过点$A$作一条斜率为$-\frac{3 x_{1}}{4 y_{1}}$的直线$l$，又设$d$为原点到直线$l$的距离，$r_{1}$, $r_{2}$分别为$A$点到椭圆两焦点的距离. 则$\sqrt{r_{1} r_{2}} d$=?
【解析】将椭圆化成标准方程\frac{x^{2}}{4}+\frac{12}{3}=1,可得椭圆的两焦点F_{1}(-1,0)、F_{2}(1,0)由点斜式可知直线l:y-y_{1}=-\frac{3x_{1}}{4y_{1}}(x-x_{1}),化简可得l:3x_{1}x+4y_{1}y-3x_{1}-4y_{1}^{2}=0所以d=\frac{|3x_{1}2+4y_{1}|}{\sqrt{9x_{1}2+16y_{2}}}=\underline{12}2=\sqrt{(x_{1}}1)^{2}+y_{2}(2x_{1}2+2)+y_{4}(*),代入(*),化简可得^{12}=2\sqrt{3};
【题目】已知中心在坐标原点的双曲线$C$的焦距为$6$，离心率等于$3$, 则双曲线$C$的标准方程为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$焦点坐标是$(1,0)$，则$p$=?
【解析】\becausey^{2}=2px(p>0)的焦点坐标为(\frac{p}{2},0)\therefore\frac{p}{2}=1,即p=2.
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$上一点$P$到左焦点的距离为$4$，则点$P$到右焦点的距离是?
【解析】由双曲线方程可知a^{2}=9\thereforea=3,2a=6,由定义||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a得|PF_{2}|=10
【题目】抛物线顶点在原点，焦点在$y$轴上，它的准线方程为$y=3$，则该抛物线的方程为?
【解析】因为抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,所以抛物线方程为标准方程,因为准线方程为y=3,所以\frac{p}{2}=3,所以p=6,所以抛物线方程为:x^{2}=-12y.
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1  (m \in R)$的焦距是$2$，则$m$=?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=m x$与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$有一个共同的焦点，则$m$=?
【解析】因为抛物线y^{2}=mx的焦点坐标为(\frac{m}{4},0);椭圆\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1的焦点坐标为(\pm2,0)故可得\frac{m}{4}=\pm2,解得m=\pm8.
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1 ,(a>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，则实数$a$的值为?
【解析】
【题目】已知点$M(2,2)$和抛物线$C$: $y^{2}=-8 x$, 过$C$的焦点且斜率为$k$的直线与$C$相交于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{M A} \perp \overrightarrow{M B}$，则$k$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则\begin{cases}y_{1}=-8x_{1}\\y_{2}=-8x_{2}\end{cases},所以y_{1}-y_{2}=8x_{2}-8x_{1},所以k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac{8}{y_{1}+y_{2}},取AB的中点M_{0}(x_{0},y_{0}),分别过点A,B作准线x=2的垂线,垂足分别为A_{1},B_{1}因为\overrightarrow{MA}\bot\overrightarrow{MB},所以\angleAMB=90^{\circ},所以|MM_{0}|=\frac{1}{2}|AB|=\frac{1}{2}(|AF|+|BF|)=\frac{1}{2}(|AA_{1}|+|BB_{1}|).因为M_{0}为AB的中点,所以MM_{0}平行于x轴.因为M(2,2),所以y_{0}=2,则y_{1}+y_{2}=4,即k=2.均答家为:--
【题目】若椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{m^{2}-1}=1$的一个焦点坐标为$(0,1)$，则$C$的长轴长为?
【解析】由题意可知,椭圆的焦点在y轴上,且c=1,所以a^{2}-b^{2}=m^{2}-1-m=1,且m>0.m^{2}-1>0,解得m=2,所以椭圆的标准方程为:\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=1,所以a^{2}=3,即a=\sqrt{3},所以长轴长2a=2\sqrt{3}
【题目】若椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{6-s}+\frac{y^{2}}{s+2}=1$，焦点在$y$轴上，且焦距是$4$，则实数$s$=?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=16 x$，焦点为$F$ , $A(8,2)$为平面上的一定点，$P$为抛物线上的一动点，则$|P A|+|P F|$的最小值为?
【解析】\_.x抛物线的准线方程为:x=-4,焦点为F(4,0),过A向准线作垂线,垂足为B,\therefore|PA|+|PF|>|AB|=12.故答家为12.
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$为双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的两个焦点，点$P$在双曲线上满足$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$，那么$\triangle F_{1} P F_{2}$的面积是?
【解析】
【题目】在抛物线$y^{2}=8 x$上有一点$P$，它到焦点的距离是$20$，则$P$点坐标是?
【解析】抛物线的准线为x=-2,P(x_{0},y_{0})到焦点的距离等于到准线的距离,即x_{0}+2=20,x_{0}=18,则y_{0}^{2}=8\times18\Rightarrowy_{0}=\pm12.所以P点坐标为(18,\pm12).
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线方程为$x=-1$，直线$l$: $y=x-1$交抛物线于$A$、$B$两点，则弦长$A B$=?
【解析】因为抛物线y^{2}=2px(p>0)的准线方程为x=-1,所以\frac{p}{2}=1.解得p=2,所以抛物线方程为y^{2}=4x.所以抛物线的焦点坐标为F(1,0)所以直线l:y=x-1过焦点,联立\begin{cases}y=x-1\\v2=4x\end{cases},消去y得x^{2}-6x+1=0则x_{1}+x_{2}=6,所以|AB|=x_{1}+x_{0}+p=6+2=8的女安为.8
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点，斜率为$1$且过$F_{1}$的直线$l$与$C$的右支交于点$P$，若$\angle F_{1} F_{2} P=90^{\circ}$，则双曲线$C$的离心率等于?
【解析】
【题目】已知点$P$是抛物线$y^{2}=16 x$上的一点，它到对称轴的距离为$12$ , $F$是抛物线的焦点，则$|PF|$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右焦点为$F_{1}$, $F_{2}$, $|F_{1} F_{2}|=4 \sqrt{5}$，点$P$为椭圆上一点，若$\Delta P F_{1} F_{2}$周长为$4 \sqrt{5}+12$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】设椭圆的半焦距为c,由题意得,\begin{cases}2a+2c=4\sqrt{5}+12\\2c=4\sqrt{5}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}c=2\sqrt{5}\\a=6\end{cases},所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3},
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左右焦点，$P$为双曲线右支上的一点，$\odot A$是$\Delta P F_{1} F_{2}$的内切圆，$\odot A$与$x$轴相切于点$M(m, 0)$，则$m$的值为?
【解析】
【题目】过双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一个焦点$F$引它的渐近线的垂线，垂足为$M$，延长$F M$交$y$轴于点$E$，若$|F M|=|M E|$，则双曲线的离心率为?
【解析】根据|FM|=|ME|,渐近线与FE垂直推断出|OE|=|OF|,OM为角平分线,求得渐近线与x轴的夹角,进而求得a和b的关系,则a和c的关系可得,最后求得双曲线的离心率.[详解]\because|FM|=|ME|,渐近线与FE垂直,\therefore|OE|=|OF|,\thereforeOM为角平分线,渐近线与x轴的夹角为45^{\circ}\therefore\frac{b}{a}=\tan45^{\circ}=1'\thereforea=b,\thereforec=\sqrt{a^{2+b^{2}}=\sqrt{2}a,\thereforee=\frac{c}{a}=\sqrt{2}
【题目】在抛物线$y^{2}=4 x$上有点$M$，它到直线$y=x$的距离为$4 \sqrt {2}$，若点$M$的坐标为$(m, n)$且$m>0$ , $n>0$，则$\frac{m}{n}$的值为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{20}=1$的左，右焦点，若$P$为双曲线上一点，且$|P F_{1}|=9$，则$|P F_{2}|$=?
【解析】由双曲线方程知a=4,b=2\sqrt{5},c=\sqrt{16+20}=6,|PF_{2}|\geqslantc-a=2,又||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a.|9-|PF_{2}||=8,所以|PF_{2}|=17(1舍去).
【题目】已知椭圆的方程为$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{2}=1$则该椭圆的离心率为?
【解析】椭圆的方程为\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{2}=1,则a=2,b=\sqrt{2},c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{2}\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}.即答案为\frac{\sqrt{2}}{2}.
【题目】双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$的渐近线方程为?
【解析】双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1中,a=1,b=\sqrt{2}\therefore\frac{b}{a}=\sqrt{2},所以双曲线x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1的渐近线方程为y=\pm\sqrt{2}x
【题目】如果方程$x^{2}+k y^{2}=2$表示焦点在$y$轴的椭圆，那么实数$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{4}=1$的两个焦点，若$C$上存在点$M$满足$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=0$，则实数$m$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知$P(x_{1}, y_{1})$, $Q(x_{2}, y_{2})$是抛物线$y^{2}=4 x$上两点，且$x_{1}+x_{2}+2=2|P Q|$ , $F$为焦点，则$\angle P F Q$最大值为?
【解析】因为x_{1}+x_{2}+2=2|PQ|,即x_{1}+1+x_{2}+1=2|PQ|,所以|PF|+|QF|=2|PQ|,则\frac{|PF|+|QF|}{2}=|PQ|在\trianglePQF中,os\anglePFQ=\frac{|PF|^{2}+|QF|^{2}-|PQ|^{2}}{2|PF|\cdot|OF|}=\frac{|PF|^{2}+|Q|}{2}|PF|^{2}+\frac{3}{4}|QF|^{2}-|PF|\cdot|QF|=\frac{\frac{3}{4}|PF|^{2}+\frac{3}{4}|QF|^{2}}{2|PF|\cdot|OF|}-\frac{1}{4}\geqslant\frac{\frac{3}{2}|PF|\cdot|QF|}{2|PF|\cdot|OF|}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}当且仅当|PF|=|QF|时,等号成立,此时\cos\anglePFQ=\frac{1}{2},所以\cos\anglePFQ\geqslant\frac{1}{2},又因为y=\cosx在(0,\pi)内单调递减,所以\anglePFQ\in(0,60^{\circ}],故\anglePFQ最大值为60^{\circ}
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{3}=1$的渐近线方程为?
【解析】由题,得a=2,b=\sqrt{3},\therefore双曲线\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{3}=1的渐近线方程为y=\pm\frac{2}{3}\sqrt{3}x
【题目】双曲线$3 x^{2}-y^{2}=9$的焦距为?
【解析】由3x^{2}-y^{2}=9得:\frac{x2}{3}-\frac{y^{2}}{9}=1,所以a^{2}=3,b^{2}=9,所以c^{2}=a^{2}+b^{2}=3+9=12,所以c=2\sqrt{3},所以焦距2c=4\sqrt{3}1本题考查了双曲线的几何性质,属基础题.
【题目】已知$P$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$左支上一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别为$C$的左、右焦点，$M$为虚轴的一个端点，若$|M P|+|P F_{2}|$的最小值为$|F_{1} F_{2}|$，则$C$的离心率为?
【解析】由|MP|+|PF_{2}|的最小值为|F_{1}F_{2}|,且|PF_{2}|-|PF_{1}|=2a,得到\begin{matrix}田|MP|+|PF_{2}|的或小值为|F_{1}|_{2}|,且|PF_{2}|-|PF_{1}|=2a,\\|MP|+|PF_{2}|=|MP|+|PF_{1}|+2a\geqslant|MF_{1}|+2a=\sqrt{b^{2}+c^{2}+2a}=2c,即\sqrt{2c^{2}-a^{2}+2a=2c},化简即得解.作解】|MP|+|PF_{2}|=|MP|+|PF_{1}|+2a\geqslant|MF_{1}|+2a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}+2a=2c即\sqrt{2c^{2}-a^{2}}+2a=2c,化简得2c^{2}-8ac+5a^{2}=0即2e^{2}-8e+5=0,解得e=\frac{4+\sqrt{6}}{2}或e=\frac{4-\sqrt{6}}{2}又e>1,所以_{e}=\frac{4+\sqrt{6}}{2}
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$的弦$A B$的垂直平分线交$x$轴于点$P$，已知$|A B|=10$，则$|F P|$=?
【解析】
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$为椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点，过$F_{1}$的直线交椭圆于$A$、$B$两点, 若$|F_{2} A| +|F_{2} B|=12$，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】双曲线$4 x^{2}-y^{2}+16=0$的渐近线方程为?
【解析】因为4x^{2}-y^{2}+16=0,所以\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1故双曲线的渐近线方程为y=\pm2x
【题目】已知点$F$为抛物线$C$:$y^{2}=4 x$的焦点，直线$l$过点$F$且与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，点$A$在第一象限，$M(-2,0)$，若$\frac{3}{2} \leq \frac{S_{\triangle M A F}}{S_{\triangle M B F}} \leq 2$ （ $S_{\triangle M A F}$ , $S_{\triangle M B F}$分别表示$\triangle M A F$，$\triangle M B F$的面积），则直线$l$的斜率的取值范围为?
【解析】
【题目】已知直线$l$过点$(0,2)$，且与抛物线$y^{2}=4 x$交于$A(x_{1}, y_{1})$, $B(x_{2}, y_{2})$两点，则$\frac{1}{y_{1}} + \frac{1}{y_{2}}$=?
【解析】
【题目】已知点$P(-1 ,-1)$，且点$F$为抛物线$C$: $y^{2}=2 p x  (p>0)$的焦点，过点$F$且斜率为$-2$的直线$l$与该抛物线交于$A$，$B$两点.若$\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B P}=0$，则$p$=?
【解析】\becauseF(\frac{p}{2},0),直线:y=2(x\frac{p}{2})=.2x+p,联立\begin{cases}y=-2x+p\\y2=2px\end{cases}消去y得4x^{2}-6px+p^{2}=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})x_{1}+x_{2}=\frac{3}{2}p,x_{1}x_{2}=\frac{p^{2}}{4}\therefore\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=(-1-x_{1})(-1-x_{2})+(-1-y_{1})(-1-y_{2})=1+x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+(p+1)^{2}+4x_{1}x_{2}-2(p+1)(x_{1}+x_{2})=5x_{1}x_{2}+(-1-2p)(x_{1}+x_{2})1+(p+1)^{2}=\frac{5P^{2}}{4}+(-1-2p)\times\frac{3}{2}p+1+(p+1)^{2}=0,解得p=2.b答家为2与睛)本题考查了抛物线的性质,属中档题
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{10-k}+\frac{y^{2}}{k-2}=1$，焦点在$y$轴上，若焦距等于$4$，则实数$k$=?
【解析】
【题目】已知$P(0,2)$,抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F$，线段$P F$与抛物线$C$的交点为$M$, 过$M$作抛物线准线的垂线，垂足为$Q$,若$\angle P Q F=90^{\circ}$, 则$p$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左、右焦点分别是$F_{1}$、$F_{2}$、$M$是$C$右支上一点，设$\angle F_{1} M F_{2}=\theta$. 若$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot \overrightarrow{M F_{2}}=4 b^{2}$，则$\cos \theta$=?
【解析】|MF_{1}|-|MF_{2}|=2a,4c^{2}=|MF_{1}|^{2}+|MF_{2}|^{2}-2|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|\cos\theta=(|MF_{1}|-|MF_{2}|)^{2}+2|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|-8b^{2}即4c^{2}=4a^{2}+2|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|-8b^{2},得到|MF_{1}|\cdot|MF_{2}|=6b^{2}\cos\theta=\frac{\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}}{|MF\bot|MF_{2}|^{2}}=\frac{4b^{2}}{6b^{2}}=\frac{2}{3}
【题目】已知斜率为$2$的直线$l$过抛物线$y^{2}=a x$的焦点$F$，且与$y$轴相交于点$A$，若$\Delta O A F$($O$为坐标原点) 的面积为$4$，则抛物线方程为?
【解析】
【题目】直线$y=2 x-3$与双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$相交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$的短轴长为$6$，离心率为$\frac{4}{5}$，则椭圆$C$的焦点$F$到长轴的一个端点的距离为?
【解析】
【题目】已知双曲线的顶点到渐近线的距离为$2$，焦点到渐近线的距离为$6$，则该双曲线的离心率为?
【解析】如图,过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线,垂足分别为B、C,则:\frac{|OF|}{|OA|}=\frac{|FC|}{|AB|}\Rightarrow\frac{c}{a}=\frac{6}{2}=3
【题目】椭圆$M$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>b>0)$，$A$为长轴的一个顶点，$B$为短轴的一个顶点，$F$为右焦点，且$A B \perp B F$，则椭圆$M$的离心率为?
【解析】
【题目】$P$是椭圆上一定点，$F_{1}$ , $F_{2}$是椭圆的两个焦点，若$\angle PF_{1} F_{2}=60^{\circ}$, $\angle PF_{2} F_{1}=30^{\circ}$，则椭圆的离心率为?
【解析】在APF_{1}F_{2}中,由正弦定理得,\frac{|PF_{2}|}{\sin60^{0}}=\frac{|PF_{1}|}{\sin30^{0}}=\frac{2c}{\sin90^{\circ}},故\frac{|PF_{2}|+|PF_{1}|}{\sin60^{0}+\sin30^{0}}=\frac{2c}{\sin90^{\circ}}=\frac{2a}{\sqrt{3}+1},故e=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1$，椭圆的中心为坐标原点$O$，点$F$是椭圆的右焦点，点$A$是椭圆短轴的一个端点，过点$F$的直线$l$与椭圆交于$M$、$N$两点，与$O A$所在直线交于$E$点，若$\overrightarrow{E M}=\lambda_{1} \overrightarrow{M F}$, $\overrightarrow{E N}=\lambda_{2} \overrightarrow{N F}$，则$\lambda_{1}+\lambda_{2}$=?
【解析】设M(x_{1},y_{1},N(x_{2},y_{2})且(x_{1}<x_{2}).\because\overrightarrow{EM}=\lambda\overrightarrow{MF},\therefore\lambda_{1}=\frac{|EM|}{|MF|},\therefore\lambda_{1}+1=\frac{|EF|}{|MF|}\cdots\textcircled{1}\because\overrightarrow{EN}=\lambda_{2}\overrightarrow{NF},\therefore-2_{2}=\frac{|EN|}{|NF|},\therefore-\lambda_{2}-1=\frac{|EF|}{|NF|}\cdots\textcircled{2}将\textcircled{1}-\textcircled{2}可得\lambda_{1}+\lambda_{2}+2=|EF|(\frac{1}{|MF|}-\frac{1}{|NF|})=|EF|\cdot\frac{|NF|-|MF|}{|NF||NF|}由椭圆方程\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1可知c=\sqrt{5-1}=2,故F(2,0).由题意可知直线l斜率存在,不妨设直线l的倾斜角为\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})则直线l方程为\begin{cases}x=2+t\cos\alpha\\v=t\sin\alpha\end{cases}(t为参数)代入\frac{x^{2}}{5}+y^{2}=1并整理可得(1+4\sin^{2}\alpha)t^{2}+4t\cos\alpha-1=0\thereforet_{1}+t_{2}=\frac{4\cos\alpha}{1+4\sin^{2}\alpha},t_{1}\cdott_{2}=\frac{-1}{1+4\sin^{2}a}由t的几何意义可知|MF|\cdot|NF|=|t_{1}\cdott_{2}|=\frac{1}{1+4\sin^{2}\alpha},|NF|-|MF|=-|t_{1}+t_{2}|=-\frac{4\cos\alpha}{1+4\sin^{2}\alpha}将直线l方程化为普通方程为y=\tano(x-2).则点E(0,-2\tan\alpha),\therefore|EF|=\sqrt{4+4\tan^{2}\alpha}=\frac{2}{\cosa}.所以\lambda_{1}+\lambda_{2}+2=\frac{2}{\cosa}\frac{2a}{2}=-8,所以A_{1}+\lambda_{2}=-10.
【题目】已知双曲线$m x^{2}-n y^{2}=1$的一条渐近线方程为$y=\frac{4}{3} x$，则双曲线的离心率等于?
【解析】解若m>0,n>0,则双曲线的焦点在x轴上,于是有\frac{b}{a}=\frac{4}{3},因此离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\frac{5}{3}综上,双曲线的离心率等于\frac{5}{3}或\frac{5}{4}.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的焦距长为?
【解析】因为椭圆\frac{x^{2}}{2}+y2=1中a^{2}=2,b^{2}=1,所以c^{2}=a^{2}-b^{2}=1所以焦距为2c=2.
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，$M$为椭圆上异于长轴端点的一点，$\angle F_{1} M F_{2}=2 \theta$, $\Delta MF_{1} F_{2}$的内心为$I$，则$|M I| \cos \theta$=?
【解析】由题意,MF_{1}+|MF_{2}|=4,而|F_{1}F_{2}|=2,设圆与MF_{1}、MF_{2},分别切于点A,B,根据切线长定理就有|F_{1}F_{2}|=|F_{1}A|+|F_{2}B|=2.所以|M||\cos\theta=|MA|=|MB|=a-c=\sqrt{5}-1
【题目】直线$y=x+2$经过椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】过抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点$F$的动直线交$C$于$A$、$B$两点，线段$A B$的中点为$N$，点$P(12 , 4)$. 当$|N A|+|N P|$的值最小时，点$N$的横坐标为?
【解析】
【题目】设$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$上任意一点，$O$为坐标原点，$F$为椭圆的左焦点，点$M$满足$O M=\frac{1}{2}(OP+OF)$，则$|OM|+|MF|$=?
【解析】
【题目】一动圆过点$A(0 , 1)$，圆心在抛物线$x^{2}=4 y$上，且恒与定直线$l$相切，则直线$l$的方程为?
【解析】
【题目】设$P$为曲线$x^{2}-4 y^{2}-4=0$上一动点，$O$为坐标原点，$M$为线段$P O$的中点，则点$M$的轨迹方程为?
【解析】设M(x,y),因为O为坐标原点,M为线段PO的中点,可得P(2x,2y).代入双曲线的方程,可得(2x)^{2}-4\times(2y)^{2}-4=0,整理得x^{2}-4y^{2}=1,即点M的轨迹方程为x^{2}-4y^{2}=1.围)本题主要考查了轨迹方程的求解,其中解答中认真审题,合理利用代入法求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
【题目】已知直线$y=k x+1$与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右支交于两点，则实数$k$的取值范围为?
【解析】由题意联立直线与双曲线v_{2}=12=\frac{1}{2}8kx-16=0,D:有时)本题考查直线与双曲线相交问题,本题是用方程的思想求解,也可通过数形结合思想求解
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{18}=1$的左右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，且$|P F_{1}|=6$，则$\angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】
【题目】已知定点$A(-2, \sqrt{3})$ , $F$是椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$的右焦点，在椭圆上求一点$M$，使$|A M|+|M F|$取得最小值时,$M$点的坐标?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1的a=4,c=2,e=\frac{1}{2},设左焦点为F(-2,0)由椭圆的定义可知|MF|+|MF|=2a=8,故|MF|=8-|MF||AM|+|MF|=|AM|-|MF|+8\geqslant8-|AF|.当A,M,F在同一条直线上且M在第二象限时,|AM|+|MF|取得最小值令x=-2代入椭圆方程得y=\pm3,由于M在第二象限,故M(-2,3)
【题目】点$P$是抛物线$y^{2}=4 x$上一动点，则点$P$到点$A(0,-1)$的距离与$P$到直线$x=-1$的距离和的最小值是?
【解析】\becauseP点到直线x=-1的距离等于P点到抛物线y^{2}=4x焦点F的距离故当P点位于AF上时,点P到点A(0,-1)的距离与到直线x=1的距离和最小此时|PA|+|PF|=|AF|=\sqrt{2}.
【题目】已知点$A(6,0)$，点$P$在抛物线$y^{2}=16 x$上运动，点$B$在曲线$(x-4)^{2}+y^{2}=1$上运动，则$\frac{|P A|^{2}}{|P B|}$的最小值是?
【解析】抛物线y^{2}=16x的焦点为F(4,0),设P点坐标(x,y),则|PF|=x+4|PA|^{2}=(x-6)^{2}+y^{2}=(x-6)^{2}+16x=x^{2}+4x+36,由题意当|PB|=|PF|+1=x+5时,\frac{|PA|^{2}}{|PB|}=\frac{x^{2}}{}令x+5=t,则x=t-5,\frac{|PA|^{2}}{|PB|}=\frac{(}{由基本不等式知t+\frac{41}{t}\geqslant2\sqrt{41},当且仅当t=\sqrt{41}时\frac{|PA|^{2}}{|PB|^{2}+4(t-5)+36}=\frac{t^{2}-6t+41}{l}=t+\frac{41}{1}-6.故\frac{|PA|^{2}}{|PB|}的最小值为2\sqrt{41}-6.
【题目】若双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\sqrt{10}$，则$\frac{b}{a}$的值为?
【解析】离心率e=\frac{c}{a}=\sqrt{10},即c=\sqrt{10}a又c^{2}=a^{2}+b^{2},所以b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=3a\therefore\frac{b}{a}=3本题正确结果:3
【题目】已知$x$, $y$满足$y=\frac{1}{2} \sqrt{4-x^{2}}$，则$\frac{y}{x+3}$的取值范围是?
【解析】将已知方程整理为\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1(y\geqslant0),可得其图象为半椭圆;将\frac{y}{x+3}转化为半椭圆上的点与(-3,0)连线的取值范围;由图象可知下底限为0,上限为直线与半椭圆相切的时候;假设切线方程,联立后利用A=0求得切线斜率,从而得到所求的范围由y=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^{2}}得:\frac{x2}{4}+y^{2}=1(y\geqslant0),则其图象为如下图所示的半椭圆\frac{y}{x+3}可看做半椭圆上的点(x,y)与(-3,0)连线的斜率当如图所示的过(-3,0)的直线l与椭圆相切时,设直线l:y=k(x+3),k>0与椭圆方程联立得:(4k^{2}+1)x^{2}+24k^{2}x+36k^{2}-4=0\thereforeA=576k^{4}-4(4k^{2}+1)(36k^{2}-4)=0,解得:k=\frac{\sqrt{5}}{5}\therefore半椭圆上的点(x,y)与(-3,0)连线的斜率的取值范围为0,\frac{\sqrt{5}}{6}\therefore\frac{y}{x+3}\in[0,\frac{\sqrt{5}}{5}]
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，直线$y=k x(k \neq 0)$与双曲线$C$交于$A$、$B$两点，若$\angle A F B=90^{\circ}$，且$\triangle O A F$的面积为$4 a^{2}$，则双曲线$C$的离心率为?
【解析】设双曲线的左焦点F_{1},因为\angleAFB=90^{\circ}由正比例函数图象和双曲线的对称性,可知\angleAF_{1}B=90^{\circ},四边形AF_{1}BF为矩形,|AF|=|BF_{1}|.设|AF|=m,|BF|=n,则|AF|-|BF|=|BF_{1}|-|BF|=m-n=2a,\because\triangleOAF的面积为4a^{2},\therefore\DeltaABF的面积S_{\DeltaABF}=2S_{\DeltaOAF}=\frac{1}{2}m\cdotn=8a^{2},且m^{2}+n^{2}=|AB|^{2}=4c^{2}联立三式:\begin{cases}m-n=2a\\mn=16a^{2}\\m^{2}+n^{2}=4c^{2}\end{cases},得4c^{2}=4a^{2}+32a^{2},\thereforec^{2}=9a^{2},即e=3
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{18}=1$的左右焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在椭圆上，且$|PF_{1}|=6$，则$\angle F_{1} P F_{2}$=?
【解析】由椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{18}=1可得,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a=10,|F_{1}F_{2}|=2c=2\sqrt{7}因为|PF_{1}|=6,所以|PF_{2}|=4.由余弦定理得\cos\angleF_{1}PF_{2}=\frac{|PF_{1}^{2}+|PF_{2}|^{2}}{2|PF_{1}|F_{1}F_{2}|}=\frac{36+16-28}{2\times6\times4}=\frac{1}{2}所以\angleF_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{3}.可睛】本题主要考查了椭圆的方程及定义的应用,利用余弦定理求角,属于基础题
【题目】已知点$P(2 , 2)$，圆$C$: $x^{2}+y^{2}-8 y=0$，过点$P$的动直线$l$与圆$C$交于$A$、$B$两点，线段$A B$的中点为$M$、$O$为坐标原点，则点$M$的轨迹方程为?
【解析】设M(x,y),由垂径定理可得CM\botMP,可得点M的轨迹是以CP为直径的圆可得答案圆C的方程可化为x^{2}+(y-4)^{2}=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),线段AB的中点为M,由垂径定理可得CM\botMP,可得点M的轨迹是以CP为直径的圆.又2^{2}+2^{2}-2\times8<0,所以点P在圆C内,又CP的的中点为(1,3)|CP|=(0-2)^{2}+(4-2)^{2}=2\sqrt{2}以CP为直径的圆的方程为:(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=2.由于点P在圆C的内部,所以点M的轨迹方程是(x-1)^{2}+(y-3)^{2}=2.
【题目】设点$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$与圆$x^{2}+y^{2}=2 a^{2}$的一个交点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线的左、右焦点，且$P F_{1}=3 P F_{2}$，则双曲线的离心率为?
【解析】由\begin{cases}PF_{1}-PF_{2}=2a\\PF_{1}=3PF_{2}\end{cases}得PF_{1}=3a,PF_{2}=a_{1}设\angleF_{1}OP=\alpha,则\anglePOF_{2}=180^{\circ}-\alpha.在\trianglePF_{1}O中,PF_{1}^{2}=OF_{1}^{2}+OP^{2}-2OF_{1}\cdotOP\cdot\cos\alpha\textcircled{1}在\triangleOPF_{2}中PF_{2}^{2}=OF_{2}^{2}+OP^{2}-2OF_{2}OP\cdot\cos(180^{\circ}-\alpha)\textcircled{2}由\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha与OP=\sqrt{2}a\textcircled{1}+\textcircled{2}得c^{2}=3a^{2},\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}a}{}=\sqrt{3}答案:\sqrt{3}
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$、$M$为抛物线$C$上一点，$N(2,2)$，则$|M F|+|M N|$的取值范围是?
【解析】因为N(2,2)在抛物线C:y^{2}=4x的内部且抛物线C:y^{2}=4x的准线为x=-1,设N点到准线的距离为d,则|MF|+|MN|=d+|MN|\geqslant2-(-1)=3取得最小值|MF|+|MN|取不到最大值.所以|MF|+|MN|\in[3,+\infty),MF+MN的取值范围是3,+\infty),
【题目】点$P(x, y)$在抛物线$y^{2}=4 x$上，则点$P$到$(0,3)$的距离与点$P$到准线距离之和的最小值是?
【解析】如图,坐标F(1,0),准线为1;x=-1,过点P做PM\botl,垂足为M,则PM=PF,设Q(0,3),此时当F、P、Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值故:(|PF|+|PQ|)=|QF|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},
【题目】已知直线$l$: $y=2 \sqrt{3} x+m$经过双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右顶点，且$l$与$C$的两条渐近线分别交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】因为双曲线方程为x2-\frac{y^{2}}{3}=1所以曲线C的右顶点为(1,0),可得m=-2\sqrt{3},双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{3}x,由\begin{cases}y=2\sqrt{3}x-2\\y=\pm\sqrt{3}x\end{cases}-2\sqrt{3}得x_{1}=2,x_{2}=\frac{2}{3}则|AB|=\sqrt{1+12}\frac{2}{3}|=\frac{4\sqrt{13}}{3}.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左，右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，弦$A B$过$F_{1}$，若$\triangle A B F_{2}$的内切圆的周长为$\pi$，$A$，$B$两点的坐标分别为$(x_{1}, y_{1})$,$(x_{2}, y_{2})$，则$|y_{2}-y_{1}|$=?
【解析】
【题目】过点$M(-\sqrt{6},0)$且和双曲线$x^{2}-2 y^{2}=2$有相同的焦点的椭圆方程为?
【解析】
【题目】圆$x^{2}+(y-a)^{2}=9$与椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$有公共点，则实数$a$的取值范围是?
【解析】\because椭圆\frac{x2}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1焦点在x轴上,a=5,b=3且|x|\leqslant5,|y|\leqslant4圆x^{2}+(y-a)^{2}=9的圆心坐标(0,a),半径r=3\therefore若椭圆\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1与圆x^{2}+(y-a)^{2}=9有公共点则实数a的取值范围|a|\leqslant6青】本题考查了椭圆与圆的标准方程及位置关系,根据图像研究位置关系及参数的取值情况,属于基础题
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$, $F_{2}$,$P$是双曲线上的一点，且$P F_{1} \perp P F_{2}$, $\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为$2 a b$, 则双曲线的离心率$e$=?
【解析】
【题目】设抛物线$y^{2}=8 x$的焦点为$F$，准线为$l$, $P$为抛物线上一点，$P A \perp l$, $A$为垂足，如果直线$A F$斜率为$-\sqrt{3}$，那么$|P F|$=?
【解析】如图由抛物线方程为y^{2}=8x,可得其焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,设准线与x轴焦点为B,则B的坐标为(-2,0),BF=4,由直线AF斜率为-\sqrt{3},所以\angleAFB=60^{\circ},可得AF=\frac{BF}{\cos60^{\circ}}=8.因为AP/\!/x轴,所以\anglePAF=\angleAFB=60^{\circ},又由抛物线的几何性质有PA=PF所以APAF是等边三角形,故PA=PF=8
【题目】已知$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{8}=1$右支上一点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线的左、右焦点，$O$为坐标原点，点$M$、$N$满足$\overrightarrow{F_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P M}(\lambda>0)$, $\overrightarrow{P N}=\mu(\frac{\overrightarrow{P M}}{|\overrightarrow{P M}|}+\frac{\overrightarrow{P F_{2}}}{|\overrightarrow{P F_{2}}|})$, $\overrightarrow{P N} \cdot \overrightarrow{F_{2} N}=0$, 若$\overrightarrow{P F_{2}}=3$则以$O$为圆心，$O N$为半径的圆的面积为?
【解析】分析:由题意详得PN是\angleMPF_{2}的角平分线,延长F_{2}N交PM于K,则PN是APF_{2}K的角平分线,进而得N还是F_{2}K的中点,求得|\overrightarrow{ON}|=7,即可求得劲儿结论详由\overrightarrow{PN}=\mu(\frac{\overrightarrow{PM}}{\overrightarrow{PM}}+\frac{\overrightarrow{PF}}{|\overrightarrow{PF}_{2}}|),知PN是\angleMPF_{2}的角平分线,又\overrightarrow{PN}\cdot\overrightarrow{F_{2}N}=0,故延长F_{2}N交PM于K,则PN是APF_{2}K的角平分线,所以APF_{2}K是等腰三角形,|PK|=|PF_{2}|=3,因为|\overrightarrow{PF_{2}}|=3,故|\overrightarrow{PF_{1}}|=11,所以|\overrightarrow{F_{1}K}|=14.注意到N还是F_{2}K的中点,所以ON是AF_{1}F_{2}K的中位线,|\overrightarrow{ON}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{F_{1}K}|=7.所以以O为圆心,ON为半径的圆的面积为49\pi.
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4 a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1(a>0)$的两个焦点，$P$为双曲线上一点，$\overrightarrow {P F_{1}} \cdot  \overrightarrow {P F_{2}}=0$，且$\Delta F_{1} P F_{2}$的面积为$1$，则$a$的值是?
【解析】

hbghlyj

【题目】已知双曲线$E$的一条渐近线方程为$y=x$，且焦距大于$4$，则双曲线$E$的标准方程可以为?(写出一个即可)
【解析】\because双曲线E的一条渐近线方程为y=x,\therefore设双曲线E的标准方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1(\lambda\neq0)当\lambda>0时,该双曲线的焦距为2\sqrt{2}即2\sqrt{2\lambda}>4,解得\lambda>2;当\lambda<0时,该双曲线的焦距为2\sqrt{-2\lambda}即2\sqrt{-2\lambda}>4,解得\lambda<-2\therefore双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1(\lambda>2或\lambda<-2),令\lambda=3可得双曲线的标准方程为\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{2}=1.
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$分别是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左、右焦点，$P$为双曲线右支上一点，$I$是$\Delta P F_{1} F_{2}$的内
心，且$S_{\triangle I P F_{2}}=S_{\triangle I P F_{1}}-\lambda S_{\triangle I F_{1} F_{2}}$，则$\lambda$=?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=4 x$的准线方程为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点在x轴正半轴上,焦点坐标为:F(1,0),所以抛物线的准线方程为:x=-1.
【题目】双曲线$\frac{y^{2}}{12}-\frac{x^{2}}{4}=1$的渐近线方程为?
【解析】由双曲线方程可知焦点在y轴上,且a^{2}=12,b^{2}=4,所以a=2\sqrt{3},b=2,所以双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{a}{b}x,即y=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}x即\sqrt{3}x\pmy=0.
【题目】方程$x^{2}+k y^{2}=2$表示焦点在$y$轴的椭圆，那么实数$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{9}=1(a>0)$的右焦点为$F$，点$M$在$C$上，点$N$为线段$M F$的中点，点$O$为坐标原点，若$|M F|=2|O N|=4$，则$C$的离心率为?
【解析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理,求出a的值,即可求解.设椭圆C的左焦点为F,由椭圆定义得MF|+|MF|=2\sqrt{a}即4+|MF|=2\sqrt{a}(*)\thereforeO为线段FF的中点,N为线段MF的中点,由中位线的性质得|MF|=2|ON|=4.代入(*)式,解得a=16,故其离心率e=\frac{\sqrt{a-9}}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{7}}{4}
【题目】已知$F$,$B$分别是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的焦点和虚轴端点. 若线段$F B$的中点在双曲线$C$上,则双曲线$C$的离心率是?
【解析】设F(c,0),B(0,b),则线段FB的中点是(\frac{c}{2},\frac{b}{2}),将此点代入双曲线方程得到:\frac{(c)}{a^{2}}-\frac{(\frac{b}{2})^{2}}{b^{2}}=1'解得\frac{c^{2}}{a^{2}}=5,所以e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右焦点为$F$，过$F$且斜率为$\sqrt{3}$的直线交$C$于$A$ , $B$两点，若$\overrightarrow{A F}=4 \overrightarrow{F B}$，则$C$的离心率为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$的离心率为?
【解析】根据椭圆标准方程,写出a,b,c的值,然后代入e=\frac{c}{a},可得本题的答案\because椭圆方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1,\thereforea=3,b=2\sqrt{2},c=1,\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}
【题目】过抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$F(1,0)$作直线$l$交抛物线于$A$、$B$两点，若$|A F|=3$，则$|B F|$为?
【解析】\becausey^{2}=2px的焦点为F(1,0),\therefore\frac{p}{2}=1,p=2,抛物线方程为y^{2}=4x,由抛物线的定义可得A到焦点的距离等于其到准线的距离.\therefore|AF|=x_{A}+1=3,x_{A}=2,得y_{A}=2\sqrt{2},k_{AF}=2\sqrt{2}直线AF方程为y=2\sqrt{2}(x-1)与y^{2}=4x联立,得2x^{2}-5x+2=0,x_{A}+x_{B}=\frac{5}{2},x_{B}=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}|BF|=x_{B}+\frac{p}{2}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2},
【题目】直线$y=k x+2$与双曲线$x^{2}-y^{2}=6$的右支交于不同两个点，则实数$k$的取值范围是?
【解析】
【题目】设$B$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的上顶点，点$P$在$C$上，则$|P B|$的最大值为?
【解析】根据题意,易知B(0,1),设P(x,y),则\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1,即x=4-4y^{2},
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$, 过点$F$作圆$x^{2}+y^{2}=b^{2}$的切线, 若两条切线互相垂直, 则$\frac{a}{b}$=?
【解析】如图,由题意椭圆C:\frac{x2}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F作圆x^{2}+y^{2}=b^{2}的切线,若两条切线互相垂直,可得\sqrt{2}b=c,则2b^{2}=c^{2},a^{2}=b^{2}+c^{2}=3b^{2},则\frac{a}{b}=\sqrt{3}.
【题目】已知$F_{1}$为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的左焦点，直线$l$: $y=x-1$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，则$|F_{1} A|+|F_{1} B|$的值为?
【解析】设点A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),联立方程得\begin{cases}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1\\y=x-1\end{cases}消去y,得3x^{2}-4x=0,解得x_{1}=0,x_{2}=\frac{4}{3}易得点A(0,-1),B(\frac{4}{3},\frac{1}{3}).又点F_{1}(-1,0),因此|F_{1}A|+|F_{1}B|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}+\sqrt{(7)^{2}+(\frac{1}{3})^{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{3}
【题目】已知$A$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的右顶点，$B_{1}$、$B_{2}$分别为虚轴的两个端点，$F$为右焦点，若$B_{2} F \perp A B_{1}$，则双曲线$C$的离心率是?
【解析】双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0),可得A(a,0),F(c,0),B_{1}(0,b),B_{2}(0,-b),\because\overrightarrow{B_{2}F}=(c,b),\overrightarrow{AB_{1}}=(-a,b),\therefore由B_{2}F\botAB_{1}得\overrightarrow{B_{2}F}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=0,即ac-b^{2}=0可得b^{2}=ac,即c^{2}-ac-a^{2}=0,两边都除以a^{2}可得e^{2}-e-1=0.解之得e=\frac{\sqrt{5}+1}{(舍负)}
【题目】过双曲线$x^{2}-y^{2}=2$的右焦点$F$作倾斜角为$30^{\circ}$的直线，交双曲线于$P$，$Q$两点，则$|PQ|$的值为?
【解析】
【题目】若点$(x, y)$在双曲线$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$上，则$3 x^{2}-2 y$的最小值是?
【解析】点(x,y)在双曲线\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1上,故\frac{x^{2}}{4}=1+y^{2},进而得到:3x^{2}-2y=3(1+y^{2})\times4-2y=12y^{2}-2y+12,二次函数对称轴为y=\frac{1}{12},结合二次函数图像及性质可知最小值为y=\frac{1}{12}时对应的值为\frac{143}{12}
【题目】若坐标原点$O$和点$F(-2,0)$分别为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的中心和左焦点，点$P$为双曲线右支上的任意一点，则$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}$的最小值为?
【解析】由题意得:\becauseF(-2,0)是已知双曲线的左焦点\thereforea^{2}+1=4,即a^{2}=3\therefore双曲线方程为\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1设点P(x_{0},y_{0}),则有\frac{x_{0}^{2}}{3}-y_{0}^{2}=1(x_{0}\geqslant\sqrt{3}),解得y_{0}^{2}=\frac{x_{0}^{2}}{3}-1(x_{0}\geqslant\sqrt{3})\because\overrightarrow{FP}=(x_{0}+2,y_{0}),\overrightarrow{OP}=(x_{0},y_{0})\therefore\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{FP}=x_{0}(x_{0}+2)+y_{0}^{2}=x_{0}(x_{0}+2)+\frac{x_{0}2}{3}-1=\frac{4x_{0}^{2}}{3}+2x_{0}-1\becausex_{0}\geqslant\sqrt{3}根据二次函数的单调性分析可知函数在[\sqrt{3},+\infty)上单调递增\therefore当x_{0}=\sqrt{3}时,\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{FP}取得最小值\frac{4}{3}\times3+2\sqrt{3}-1=3+2\sqrt{3}
【题目】已知$F_{1}$ , $F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点，$P$为椭圆上的一点，且$\overrightarrow{P F_{1}} \perp \overrightarrow{P F_{2}}$若$\triangle PF_{1} F_{2}$的面积为$9$，则$b$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{2}=1$与圆$M$: $x^{2}+y^{2}+2 \sqrt{2} x+2-r^{2}=0(0<r<\sqrt{2})$，过椭圆$C$的上顶点$P$作圆$M$的两条切线分别与椭圆$C$相交于$A$、$B$两点 (不同于$P$点)，则直线$P A$与直线$P B$的斜率之积等于?
【解析】圆心为M(-\sqrt{2},0),P(0,\sqrt{2})设切线为y=kx+\sqrt{2},由到直线距离d=\frac{|-\sqrt{2}k+\sqrt{2}|}{\sqrt{1+k^{2}}}=r,(2-r)^{2}k^{2}-4k+(2-r)=0,k_{1}k_{2}=1,
【题目】若抛物线$y^{2}=4 x$上的点$M$到$y$轴的距离是$9$，则$M$到焦点的距离为?
【解析】抛物线y^{2}=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1\because点M到y轴的距离是9,\therefore点M到准线x=-1的距离是10,根据抛物线的定义可得,M到焦点的距离为10.答家:10
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为椭圆上一点，且$\angle P F_{1} F_{2}=\frac{\pi}{6}$, $\angle P F_{2} F_{1}=\frac{\pi}{3}$则椭圆的离心率$e$=?
【解析】
【题目】过点$M(-3,2)$且与$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$有相同焦点的椭圆的方程是?
【解析】根据条件可知,椭圆的焦点坐标是(-\sqrt{5},0)(\sqrt{5},0),而椭圆过点M(-3,2),所以所\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+4=\_+\sqrt{(\sqrt{15}+\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{15},所以a^{2}=15,\sqrt{18-2\sqrt{45}+\sqrt{18}+2\sqrt{45}}=\sqrt{(3)}的方程为\frac{x^{2}}{15}+\frac{y^{2}}{10}=1.
【题目】已知点$M(\sqrt {3} , 0)$，椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$与直线$y=k(x+\sqrt {3})$交于点$A$、$B$，则$\triangle A B M$的周长为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点为$A$，上顶点为$B$，右焦点为$F$，若$\angle A B F=90^{\circ}$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】先写出A,B,F坐标,再结合\angleABF=90^{\circ}利用向量数量积为零得b^{2}=ac,再化为齐次式e^{2}+e-1=0解方程即可求解.据题意得,A(-a,0),B(0,b),F(c,0)\cdot\angleABF=90^{\circ},\therefore\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BF}=0,即(-a,-b)\cdot(c,-b)=0\thereforeb^{2}=ac^{,}又\becausec^{2}=a^{2}-b^{2},\thereforec^{2}-a^{2}+ac=0,同除a^{2}得(\frac{c}{a})^{2}+\frac{c}{a}-1=0,即e^{2}+e-1=0解方程得_{e}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}(舍)或_{e}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{16}=1$的渐近线方程是?
【解析】令\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{16}=0,得渐近线方程为:y=\pm\sqrt{2}.故填y=\pm\sqrt{2}x.
【题目】若抛物线$N$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点$(3,0)$，且直线$x=m(m>0)$与抛物线交于$A$、$B$两点，若$O A \perp O B$($O$为坐标原点)，则$m$的值为?
【解析】因为抛物线N:y^{2}=2px(p>0)的焦点(3,0),所以p=6所以抛物线方程为:y^{2}=12x,由直线x=m(m>0)与抛物线N交于A、B两点,且OA\botOB(O为坐标原点)可得A(m,m),B(m,-m)所以m^{2}=12m,解得m=12.
【题目】已知椭圆方程为$3 x^{2}+2 y^{2}=1$，则该椭圆的长轴长为?
【解析】由题得椭圆的方程为\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1,\thereforea^{2}=\frac{1}{2},\thereforea=\frac{\sqrt{2}}{2},\therefore2a=\sqrt{2}所以椭圆的长轴长为\sqrt{2}
【题目】抛物线$C_{1}$: $y=\frac{1}{4 a} x^{2}(a>0)$的焦点与双曲线$C_{2}$: $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的右焦点的连线交$C_{1}$于第一象限的点$M$. 若$C_{1}$在点$M$处的切线平行于$C_{2}$的一条渐近线，则$a$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{2}$且倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线$l$交椭圆$C$于$A$、$B$两点，则$\Delta F_{1} A B$的内切圆半径为?
【解析】求出\triangleABF_{1}的周长和面积,可得内切圆半径.因为椭圆C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1的左、右焦点分别为F_{1}(-1,0)、F_{2}(1,0)所以直线l为:y=\tan\frac{\pi}{4}(x-1)=x-1,代入椭圆方程可得:7y^{2}+6y-9=0,设A、B两点坐标为(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})则y_{1}-y_{2}=\frac{\sqrt{6^{2}+4\times7\times9}}{7}=\frac{12\sqrt{2}}{7},故\triangleF_{1}AB的面积S=\frac{1}{2}\cdot2c\cdoty_{1}-y_{2}=\frac{12\sqrt{2}}{7},\triangleF_{1}AB的周长c=4a=所以\triangleF_{1}AB的内切圆半径为_{r}=\frac{2S}{}=\frac{3\sqrt{2}}{},
【题目】抛物线$y^{2}=12 x$的焦点为$F$，点$M$在抛物线上（点$M$在第四象限），且$|M F|=7$，则点$M$的坐标为?
【解析】设M(x_{0},y_{0}),(x_{0}>0,y_{0}<0)由y^{2}=12x,则|MF|=x_{0}+3=7,所以x_{0}=4,代入y^{2}=12x得,y_{0}2=48所以y_{0}=-4\sqrt{3}或4\sqrt{3}(舍去)所以点M的坐标为(4,-4\sqrt{3}).
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$的直线$l$交双曲线的左支于$A$、$B$两点，则$|B F_{2}|+|A F_{2}|$的最小值为?
【解析】设直线l的方程为x=my-\sqrt{7},设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2}),将直线l的方程与双曲线C的方程联立,求出|AB|的最小值,再结合双曲线的定义可求得|BF_{2}|+|AF_{2}|的最小值若直线l与x轴重合,此时直线l不可能与双曲线C的左支交于两点,易知F_{1}(-\sqrt{7},0)设直线l的方程为x=my-\sqrt{7},设点A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})联立\begin{cases}x=my-\sqrt{7}\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases},消去x得(3m^{2}-4)y^{2}-6\sqrt{7}my+9=0,由于直线交双曲线的左支于A、B两点,则\begin{cases}3m-4\neq0\\m=14(m+1)>0\\y_{1}y_{2}=\frac{m}{3m-4}<0\end{cases}可得m<\frac{4}{3}\frac{1}{2}9由双曲线的定义可得|AF_{2}|-|AF_{1}|=2a=4,|BF_{2}|-|BF_{1}|=2a=4上述两个等式相加得|AF_{2}|+|BF_{2}|-|AB|=8,所以,|AF_{2}|+|BF_{2}|=8+|AB|\geqslant8+3=11.
【题目】直线$y=x+3$与曲线$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x \cdot|x|}{4}=1$交点的个数为?
【解析】
【题目】若椭圆$C$: $m x^{2}+n y^{2}=1(m>0 , n>0 , m \neq n)$与直线$l$: $x+y-1=0$交于$A$、$B$两点，过原点与线段$A B$中点的直线斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{m}{n}$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),AB的中点M为(x_{0},y_{0})将A、B两点代入椭圆方程得\begin{cases}mx_{1}^{2}+ny_{1}^{2}=1\textcircled{1}\\mx_{2}^{2}+ny_{2}=1\textcircled{2}\end{cases}\textcircled{1}-\textcircled{2}得m(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})+n(y_{1}^{2}-y_{2}^{2})=0\textcircled{3}整理\textcircled{3}得:y_{2}2=-\frac{m}{n}因为k_{A},\frac{2}{2},ky_{0}=\frac{2}{所以k_{AB}\cdotk_{OM}}=-\frac{m}{n}因为点A、点B在直线l:x+y-1=0上,所以k_{AB}=-1因为k_{OM}=\frac{\sqrt{2}}{2}所以\frac{m}{n}=-k_{AB}\cdotk_{OM}=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 x$的焦点为$F$，直线$l$过$F$与$C$交于$A$、$B$两点，若$|A F|=2|B F|$，则$y$轴被以线段$A B$为直径的圆截得的弦长为?
【解析】如图,不妨设A在第一象限,由A,B向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A,B,设直线AB与准线交于点P由抛物线定义得AF=AA,BF=BB',由已知\frac{PB}{PA}=\frac{BB}{AA}=\frac{BF}{AB}=\frac{1}{2}所以PB=AB=3BF,故\frac{PF}{PA}=\frac{2}{3}=\frac{FK}{AA},又FK=1,所以AA=AF=\frac{3}{2},BF=BB'=\frac{3}{4}又AB=3BF=\frac{9}{4},故半径为R=\frac{1}{2}AB=\frac{9}{8}设线段AB的中为O,则圆心到y轴的距离为d=\frac{9}{8}-\frac{1}{2}=\frac{5}{8}所以弦长_{MN}=2\sqrt{R^{2}-d^{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}
【题目】已知$C$、$F$分别是椭圆$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$的左顶点和左焦点，$A$、$B$是椭圆的下、上顶点，设$A F$和$B C$交于点$D$，若$\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{D B}$，则椭圆$\Gamma$的离心率为?
【解析】
【题目】设$F_{1}$是椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$的左焦点，$O$为坐标原点，点$P$在椭圆上，则$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P O}$的最大值为?
【解析】依题意作图,可分析得到当点P为椭圆的右端点时\overrightarrow{PF_{2}}\cdot\overrightarrow{PO}的值最大,从而可求得其最大值.\becauseF_{1}是椭圆\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1的左焦点,显然,当点P为椭圆的右端点时,|\overline{PO}|与|\overline{PF_{1}}|均达到最大值且|\overline{PO}|与|\frac{|PF_{1}|}{|}|同向,\cos<\overrightarrow{PF},\overrightarrow{PO}>=1,也是最大值,\therefore\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PO}的值最大\therefore|\overrightarrow{PF_{1}}|=a+c=2+\sqrt{3},|\overrightarrow{PO}|=2,\therefore(\overrightarrow{PF}_{1}\cdot\overrightarrow{PO})_{\max}=(2+\sqrt{3})\times2\cos0=4+2\sqrt{3}.
【题目】已知椭圆$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ , $F_{1}(-c, 0)$ , $F_{2}(c, 0)$分别为其左、右焦点，以$F_{1} F_{2}$为直径的圆与椭圆$E$在第一象限交于点$P$，在第三象限交于点$Q$. 若$\triangle P Q F_{2}$的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2} c^{2}$，则$\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}$=?
【解析】如下图所示:由对称性知PQ为圆O的直径,所以PF\botPF_{2}.又因为|OF_{1}|=|OF_{2}|,|OP|=|OQ|,所以四边形PF_{1}QF_{2}为矩形,所以S_{\trianglePQF_{2}}=S_{\trianglePF_{1}F_{2}}.因为|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=4c^{2},所以|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=2b^{2}S_{\DeltaPF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}|PF_{1}||PF_{2}|=b^{2}=S_{\DeltaPQF_{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}c^{2}'a^{2}=b^{2}+c^{2}=(1+\frac{\sqrt{3}}{2})c^{2}
【题目】设直线$y=x+1$与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$相交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】
【题目】若从圆$x^{2}+y^{2}=1$上任意一点$P$向$y$轴作垂线段，则线段中点$M$的轨迹方程为?
【解析】设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(x_{0},y_{0})则由题意可得,x=\frac{x_{0}}{2},y=y_{0}因为P(x_{0},y_{0})在圆x^{2}+y^{2}=1上,所以x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1.将x_{0}=2x,y_{0}=y代入方程x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1,得4x^{2}+y2=1所以点M的轨迹方程是4x^{2}+y2=1
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$的离心率?
【解析】已知椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1,a^{2}=4,b^{2}=2\Rightarrowc^{2}=2\Rightarrowe=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$e$，若$e \in(\sqrt{5}, \sqrt{10})$，则$C$的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为?
【解析】因为e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{2}}\in(\sqrt{5},\sqrt{10})所以b\in(2\sqrt{2},3\sqrt{2}),而C的焦点到渐近线的距离为b,所以距离的取值范围为(2\sqrt{2},3\sqrt{2})
【题目】抛物线$x=a y^{2}  (a \neq 0)$的准线方程是?
【解析】抛物线x=ay^{2}的标准方程为y^{2}=\frac{1}{a}x^{,}所以所求准线方程是x=-\frac{1}{4a}.所以答案应填:x=-\frac{1}{4a}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$，过$l$上一点$P$作抛物线$C$的两条切线，切点分别为$A$、$B$，若$|P A|=3$,$|P B|=4$，则$|P F|$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),P(-\frac{p}{2},t)(t\neq0),则AP:y-y_{1}=k(x-x_{1}),将x=\frac{y^{2}}{2p}代入可得2py-2py_{1}=ky^{2}-2pkx_{1},即ky^{2}-2py+2py_{1}-ky_{1}^{2}=0,由题意直线AP与抛物线相切,则其判别式4p^{2}-4k(2py_{1}-ky_{1}^{2})=0,即p^{2}-2kpy_{1}+k^{2}y_{1}^{2}=0\Rightarrowk_{AP}=\frac{p}{y_{1}},所以切线的方程为AP:y-y_{1}=\frac{p}{y_{1}}(x-x_{1}),即AP:y_{1}y-y_{1}^{2}=p(x-x_{1}).同理可得:k_{PB}=\frac{p}{y_{2}}.所以BP:y-y_{2}=\frac{p}{y_{2}}(x-x_{2}),即BP:y_{2}y-y_{2}^{2}=p(x-x_{2}).又两切线都经过点P(-\frac{p}{2},t)可得\begin{cases}y_{1}t-\frac{1}{2}y_{1}=-\frac{p^{2}}{2}\\y_{2}t-\frac{1}{2}y_{2}=-p^{2}\end{cases},则y_{1},y_{2}是方程y^{2}-2ty-p^{2}=0的两根,故y_{1}y_{2}=-p^{2},y_{1}+y_{2}=2t,所以_{k_{AP}\cdotk_{PB}}=\frac{p^{2}}{y_{1}y_{2}}=-1\RightarrowAP\botBP,因|AP|=3,|BP|=4\Rightarrow|AB|=5又因为k_{AF}=\frac{y_{1}}{x_{1}-\frac{p}{2}}=\frac{2py_{1}}{y_{1}^{2}-p^{2}}=\frac{2py_{1}}{y_{1}^{2}+y_{1}y_{2}}=\frac{2p}{y_{1}+y_{2}}同理可得k_{BF}=k_{AF}=k_{BF}\RightarrowA,F,B共线,而k_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{2p}{y_{1}+y_{2}}=\frac{p}{t},k_{PF}k_{AB}\cdotk_{PF}=-1,即PF\botAB,故在RtAAPB中,高\begin{matrix}2&2\\PF\end{matrix}=\frac{|AP|\cdot|BP|}{|AB|}=\frac{12}{5},应填答案\frac{12}{5}
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$两点，如果$x_{1}+x_{2}=6$，则$| A B |$=?
【解析】
【题目】点$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$为焦点，如果$\angle P F_{1} F_{2}=75^{\circ}$, $\angle P F_{2} F_{1}=15^{\circ}$, 则双曲线的离心率为?
【解析】由\anglePF_{1}F_{2}=75^{\circ},\anglePF_{2}F_{1}=15^{\circ},可得\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ}\therefore|PF_{1}|=2c\cos75^{\circ},|PF_{2}|=2c\sin75^{\circ},根据双曲线的定义可得:2c\sin75^{\circ}-2c\cos75^{\circ}=2a.\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sin75^{\circ}-\cos75^{\circ}}=\frac{}{\sin(45^{\circ}+30^{\circ}}\frac{=\anglea'}{\sin(45^{\circ}-30^{\circ})}=\frac{1}{2\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}}=\sqrt{2}
【题目】过点$P(0 ,-a)$作直线$l$与抛物线$C$: $x^{2}=4 ay(a>0)$相交于$A$ , $B$两点，$F$为$C$的焦点，若$|F A|=2| F B|$，则直线$l$的斜率为?
【解析】
【题目】与双曲线$x^{2}-y^{2}=1$有相同的渐近线，且过点$(1,2)$的双曲线的标准方程为?
【解析】依题意,设双曲线方程为:x^{2}-y^{2}=\lambda(\lambda\neq0),于是得\lambda=1^{2}-2^{2}=-3,则有x^{2}-y^{2}=-3所以双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{3}=1
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$两点，如果$x_{1}+x_{2}=10$，那么$|A B|$=?
【解析】抛物线y^{2}=4x的准线为:x=-1,设抛物线y^{2}=4x的焦点为F由抛物线定义得:|AB|=|AF|+|BF|=(x_{1}+1)+(x_{2}+1)=12.所以|AB|=12.均答安为:1.2
【题目】设中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的圆锥曲线$C$，离心率为$\sqrt{2}$，且过点$(5,4)$，则其焦距为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)$的一条渐近线方程为$2 x-y=0$，则实数$a$=?
【解析】\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1(a>0)的一条渐近线方程为2x-y=0\therefore\frac{1}{a}=2即a=\frac{1}{2}
【题目】点$P$是椭圆$\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4}=1$上一点以点$P$以及焦点$F_{1}$ , $F_{2}$为顶点的三角形的面积等于$1$, 则$P$点的坐标为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$和圆$O$:$x^{2}+y^{2}=b^{2}$，过椭圆上一点$P$引圆$O$的两条切线，
切点分别为$A$、$B$. 若$\angle A P B=90^{\circ}$，则椭圆离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$的渐近线方程为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=-4 x$的焦点$F$作直线$l$，与抛物线交于$A$、$B$两点，与准线交于$C$点，若$\overrightarrow{F C}=4 \overrightarrow{F B}$，则$|\overrightarrow{A B}|$=?
【解析】焦点坐标为F(-1,0).画出图像如下图所示,作BD垂直准线x=1交准线于D,根据抛物线的定义可知BF=BD,由于\overrightarrow{FC}=4\overrightarrow{FB},所以\frac{BD}{BC}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{3},设直线l的倾斜角为\alpha,则\cos\alpha=\frac{1}{3},所以\tan\alpha=\frac{\sqrt{1-\cos2\alpha}}{\cos\alpha}=2\sqrt{2},即直线l的斜率为2\sqrt{2},所以直线l的方程为y=2\sqrt{2}(x+1),代入抛物线方程并化简得2x^{2}+5x+2=0,所以x_{A}+x_{B}=-\frac{5}{2},所以|\overrightarrow{AB}|=|x_{1}+x_{2}|+p=\frac{5}{2}+2=\frac{9}{2}
【题目】椭圆$k x^{2}+2 y^{2}=2$的一个焦点是$(1,0)$，那么$k$=?
【解析】椭圆kx^{2}+2y^{2}=2的标准方程为:\frac{x^{2}}{k}+y^{2}=1因为一个焦点是(1,0),所以焦点在x轴上,且0<k<2,则a^{2}=\frac{2}{k},b^{2}=1.所以\frac{2}{k}-1=1,解得k=1,
【题目】抛物线$y=-4 x^{2}$的焦点坐标为?
【解析】由题意知,x^{2}=-\frac{1}{4}y,则焦点坐标为F(0,-\frac{1}{16})
【题目】以双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为?
【解析】双曲线焦点(\pm4,0),顶点(\pm2,0),故椭圆的焦点为(\pm2,0),顶点(\pm4,0).答案:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1
【题目】如果方程$k x^{2}+y^{2}=2$表示焦点在$y$轴上的椭圆，那么实数$k$的取值范围是?
【解析】已知方程可化为\frac{x2}{k}+\frac{y^{2}}{2}=1,它表示焦点在y轴上的椭圆,则0<\frac{2}{k}<2,解得k>1.
【题目】已知双曲线的渐近线方程为$2 x \pm 3 y=0$，且焦距是$2 \sqrt{13}$，则双曲线的方程为?
【解析】由题意,设双曲线方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=\lambda(\lambda\neq0).若\lambda>0,则a^{2}=9\lambda,b^{2}=4\lambda,c^{2}=a^{2}+b^{2}=13\lambda由题设知2c=2\sqrt{13},所以\lambda=1,故所求双曲线的方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1若\lambda<0,则a^{2}=-4\lambda,b^{2}=-9\lambda,c^{2}=a^{2}+b^{2}=-13\lambda由2c=2\sqrt{13},得\lambda=-1,故所求双曲线的方程为\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}=1.有时本题主要考查了双曲线方程的求解,属于基础题
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$、$A$、$B$为抛物线上的两点，以$A B$为直径的圆过点$F$，过$A B$的中点$M$作抛物线的准线的垂线$M N$，垂足为$N$，则$\frac{|M N|}{|AB|}$的最大值为?
【解析】由抛物线定义得\frac{|MN|}{|AB|}=\frac{|AF|+|BF|}{\sqrt{|AF^{2}+|BF^{2}}}\leqslant\frac{|AF|+|BF|}{\sqrt{|AF^{2}+|BF^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2},即|\frac{|MN|}{|AB|}的最大值为\frac{\sqrt{2}}{2}.
【题目】已知点$M$是抛物线$y^{2}=8 x$上的一动点，$F$为抛物线的焦点，$A$是圆$C$: $x^{2}+y^{2}-8 x-2 y+16=0$上一动点，则$|M A|+|M F|$的最小值为?
【解析】由x^{2}+y2-8x-2y+16=0得(x-4)^{2}+(y-1)^{2}=1,即圆C的圆心为C(4,1),半径为r=1由圆的性质可得,|MA|+|MF|\geqslant|MC|-r+|MF|=|MC|+|MF|-1;又抛物线y^{2}=8x的准线方程为x=-2,焦点为F(2,0)记x=-2与x轴的交点为D(-2,0),过点M作MB垂直于直线x=-2于点B.由抛物线的定义可得,|MF|=|MB|.则|MC|+|MF|=|MC|+|MB|\geqslant|BC|.因为点B随点M的移动而移动,且始终有MB\botBD,则点M移动到点O位置时,B恰好与点D重合,此时恰好能满足|MC|+|MB|=|BC|=|CD|=6,则|MA|+|MF|\geqslant|MC|-r+|MF|=|MC|+|MF|-1\geqslant|CD|-1=5.
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$的两个焦点分别为$F_{1}$, $F_{2}$ ,过$F_{2}$的直线$l$交$C$于$A$、$B$两点，则$\triangle A F_{1} B$的周长为?
【解析】由题得a=3,由题得|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a=6,|BF_{1}|+|BF_{2}|=2a=6,所以|AF_{1}|+|AF_{2}|+|BF_{1}|+|BF_{2}|=12,所以|AF_{1}|+|BF_{1}|+|AB|=12.所以\triangleAF_{1}B则的周长为12.
【题目】斜率为$l$的直线经过抛物线$y^{2}=4 x$的焦点，与抛物线相交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】抛物线焦点为(1,0)则直线方程为y=x-1,代入抛物线方程得x^{2}\cdot6x+1=0\thereforex_{1}+x_{2}=6根据抛物线的定义可知|AB|=x_{1}+\frac{p}{2}+x_{2}+\frac{p}{2}=x_{1}+x_{2}+p=6+2=8
【题目】已知双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$，过其右焦点$F$的直线交$E$于$A$、$B$两点，交$y$轴于$P$点.且$\overrightarrow{P A}=3 \overrightarrow{A F}$, $\overrightarrow{P B}=-\frac{7}{3} \overrightarrow{B F}$，则$E$的离心率为?
【解析】由\overrightarrow{PA}=3\overrightarrow{AF},\overrightarrow{PB}=-\frac{7}{3}\overrightarrow{BF},所以\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BF}=\frac{4}{7}\overrightarrow{PB},设P(0,m),F(c,0),所以\overrightarrow{PF}=(c,-m),\overrightarrow{PA}=(x_{A},y_{A}-m),\overrightarrow{PB}=(x_{B},y_{B}-m),因为\overrightarrow{PF}=\frac{4}{3}\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PF}=\frac{4}{7}\overrightarrow{PB},所以A(\frac{2}{2}c,\frac{1}{4}m),B(\frac{7}{4}c,-\frac{3m}{4})将其代入到双曲线E的方程,可得\begin{cases}\frac{9c^{2}}{16a^{2}}\\\frac{49c^{2}}{2}\end{cases}\frac{9c^{2}}{6a^{2}}-\frac{91}{16}消去\frac{m^{2}}{b^{2}}可得9\times\frac{9c^{2}}{16a^{2}}-\frac{49c^{2}}{16a^{2}}=8,即2e^{2}=8,解得^{'}
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，过左焦点$F_{1}$的直线与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，且$|A F_{1}|=2|B F_{1}|$，$|A B|=|B F_{2}|$，则椭圆$C$的离心率为?
【解析】设|BF_{1}|=k,则|AF_{1}|=2k,|BF_{2}|=3k,由|BF_{1}|+|BF_{2}|=|AF_{1}|+|AF_{2}|=2a得2a=4k,|AF_{2}|=2k,在\triangleABF_{2}中,\cos\angleBAF_{2}=\frac{1}{3}又在AF_{1}AF_{2}中,\cos\angleF_{1}AF_{2}=\frac{(2k)^{2}+(2k)^{2}-(2c)^{2}}{2\times2k\times2k}=\frac{1}{3},得2c=\frac{4}{\sqrt{3}}k故离心率e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=m(m>0)$的离心率为?
【解析】由椭圆方程得到a,b,c,直接计算离心率即可.因为椭圆\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{7}=m(m>0)所以a^{2}=16m,b^{2}=7m,c^{2}=9m所以c=3\sqrt{m},e=\frac{c}{a}=\frac{3\sqrt{m}}{4\sqrt{m}}=\frac{3}{4}
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{5}=1$的焦距为$8$，则实数$m$的值为?
【解析】由题可得m+5=16,即可求出.由题可得a^{2}=m,b^{2}=5,c=4则由a^{2}+b^{2}=c^{2}得m+5=16,解得m=11.
【题目】已知抛物线过点$(-3,2)$，则该抛物线的标准方程为?
【解析】设所求抛物线的方程为y^{2}=-2px或x^{2}=2py(p>0),因为过点(-3,2),所以4=-2p\times(-3)或9=2p\times2,解得p=\frac{2}{3}或p=\frac{9}{4},故所求抛物线的方程为y^{2}=-\frac{4}{3}x或x^{2}=\frac{9}{2}y:7本题考查的是抛物线方程,需要对抛物线方程以及相关性质有所了解,需要注意的是,在题目没有给出抛物线焦点所在坐标轴时,抛物线既有可能焦点在x轴上,也有可能在y轴上.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$的两个焦点，过$F_{2}$的直线交椭圆于点$A$、$B$. 若$|A B|=5$，则$|AF_{1}|+|BF_{1}|$的值为?
【解析】
【题目】已知点$M(-1,1)$是抛物线$y^{2}=-8 x$的弦$A B$的中点，直线$A B$的方程为?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),因为点M(-1,1)是弦AB的中点,可得y_{1}+y_{2}=2,代入抛物线y^{2}=-8x,可得y_{1}^{2}=-8x_{1},y_{2}^{2}=-8x_{2},两式相减,可得y_{2}^{2}-y_{1}^{2}=-8x_{2}+8x_{1},即(y_{2}-y_{1}(y_{2}+y_{1})=-8(x_{2}-x_{1})所以k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{8}{+y_{1}}=-4,所以直线AB的方程为y-1=-4(x-1),即4x+y+3=0
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别是$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是椭圆上一点，若$|P F_{1}|=2|P F_{2}|$，则椭圆的离心率的取值范围是?
【解析】由椭圆的定义知|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a,因为|PF_{1}|=2|PF_{2}|,所以|PF_{2}|=\frac{2}{3}a由于|PF_{2}|\geqslanta-c,所以a-c\leqslant\frac{2a}{3},所以\frac{a}{3}\leqslantc,所以\frac{c}{a}\geqslant\frac{1}{3}故椭圆的离心率的取值范围是[\frac{1}{3},
【题目】已知$\triangle ABC$的顶点$B$、$C$在椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$上，顶点$A$是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在$B C$边上，则$\triangle A B C$的周长是?
【解析】
【题目】已知焦点在$x$轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为$6$，若该椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，则椭圆的方程是?
【解析】由题设知e=\frac{1}{3},2a=6,\thereforea=3,b=2\sqrt{2},所以椭圆方程为\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的离心率为$\frac{3}{2}$，则$b$=?
【解析】因双曲线\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)的离心率为\frac{3}{2},则有e^{2}=\frac{4+b^{2}}{4}=1+\frac{b^{2}}{4}=\frac{9}{4},即b^{2}=5,解得b=\sqrt{5}所以b=\sqrt{5}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{k-2}+\frac{y^{2}}{5-k}=1$表示的是焦点在$x$轴上的椭圆，则$k$的取值范围是?
【解析】由题意得:k-2>5-k>0,解得:\frac{7}{2}<k<5\thereforek的取值范围为(\frac{7}{2},5)
【题目】抛物线$y^{2}=8 x$的动弦$A B$的长为$16$，弦$A B$的中点$M$到$y$轴的最短距离为?
【解析】抛物线y^{2}=8x的准线方程为:x=-2,焦点为F(2,0),分别过A,B,M作AC\botl,BD\botl,MH\botl,垂足为C,D,H,在直角梯形ABDC中,MH=\frac{AC+BD}{2},由抛物线的定义可知:AC=AF,BD=BF,因此有MH=\frac{AF+BF}{2}\geqslant\frac{AB}{2}=8,(当用仅当A,B,F三点共线),所以M到y轴的最短距离为8-2=6.
【题目】$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$的两个焦点，过点$F_{2}$作$x$轴的垂线交双曲线于$A$、$B$两点，则$\Delta{F_{1} AB}$的周长为?
【解析】
【题目】已知$F$是抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点，过$F$且斜率为$\sqrt{3}$的直线交$C$于$A$、$B$两点. 设$|\overrightarrow{FA}|<|\overrightarrow{F B}|$, 若$\overrightarrow{F A}=\lambda \overrightarrow{F B}$，则$\lambda$的值为?
【解析】
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{m+2}-\frac{y^{2}}{m+1}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{7}}{2}$, 则$m$=?
【解析】
【题目】若直线$2 x-c y+1=0$是抛物线$x^{2}=y$的一条切线，则$c$=?
【解析】根据题意,联立方程即可得到联立直线和抛物线得到\begin{cases}2x-c\\x^{2}=y\end{cases}y+1=0
【题目】双曲线$C$: $y^{2}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$与圆$M$:$(x+\frac{5}{3})^{2}+y^{2}=\frac{16}{9}$有四个交点，则$C$的离心率的取值范围为?
【解析】由\begin{cases}y^{2}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\\(x+\frac{5}{3})^{2}+y^{2}=\frac{16}{9}\end{cases},得(1+\frac{1}{b^{2}})x^{2}+\frac{10}{3}x+2=0,依题意可知,A=\frac{100}{9}-8(1+\frac{1}{b^{2}})>0,解得b^{2}>\frac{18}{7},则\frac{9}{e=\sqrt{1+}b^{2}}=\sqrt{1+b^{2}}>\sqrt{1+\frac{18}{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7}.
【题目】双曲线$t x^{2}-y^{2}-1=0$的一条渐近线与直线$2 x+y+1=0$垂直，则双曲线的离心率为?
【解析】根据题设条件知求出渐近线的斜率,利用a,b,c的关系,求出双曲线的离心率.\because双曲线tc^{2}-y^{2}-1=0的渐近线为y=\pm\sqrt{t}x,-条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,\therefore渐近线的斜率为\frac{1}{2},\therefore\frac{b}{a}=\frac{1}{2},\therefore\frac{c^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4},\thereforee=\frac{\sqrt{5}}{2}
【题目】设$F_{1}$, $F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左、右焦点，若在直线$x=\frac{a^{2}}{c}$上存在点$P$，使线段$PF_{1}$的中垂线过点$F_{2}$，则椭圆的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，点$F_{1}$、$F_{2}$是椭圆的左右焦点，点$A$是椭圆上的点，$\triangle A F_{1} F_{2}$的内切圆的圆心为$M$，若$\overrightarrow{M F_{1}}+2 \overrightarrow{M F_{2}}+2 \overrightarrow{M A}=0$，则椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】过抛物线$y^{2}=4 x$焦点的弦的中点的横坐标为$4$，则该弦长为?
【解析】
【题目】已知抛物线方程为$x^{2}=y$，则其焦点坐标为?
【解析】抛物线x^{2}=y,为开口向上,顶点为原点的抛物线,且2p=1所以\frac{p}{2}=\frac{1}{4},所以焦点坐标为(0,\frac{1}{4})
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$上的点$P$到点$(5,0)$的距离为$10$, 则$P$到直线$x=\frac{16}{5}$距离为?
【解析】双曲线\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1中,a=4,b=3,c=\sqrt{16+9}=5,离心率e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}右焦点为(5,0),右准线为x=\frac{a^{2}}{c}=\frac{16}{5}P到点(5,0)的距离为10,双曲线上的点到焦点的距离比上到相应准线的距离等于离心率所以P到直线x=\frac{16}{5}距离为\frac{10}{e}=10\times\frac{4}{5}=8,
【题目】焦距是$10$，虚轴长是$8$的双曲线的标准方程为?
【解析】由题意可知2c=10,2b=8\thereforec=5,b=4,a^{2}=9,所以双曲线方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1或\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1
【题目】已知双曲线渐近线方程为$y=\pm \sqrt{2} x$，且经过点$(1,2)$，则双曲线标准方程为?
【解析】双曲线的渐近线方程为y=\pm\sqrt{2}x,可设双曲线的方程为y2-2x^{2}=t(t\neq0),代入(1,2),可得t=4-2=2,则双曲线的方程为\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1.
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=8 x$的焦点为$F$，准线为$l$, $P$是$l$上的一个定点，直线$P F$交$C$于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{P A}=3 \overrightarrow{A F}$，则$|A B|$=?
【解析】作出图象,由抛物线方程得焦点坐标,及EF的长(焦点到准线的距离),由向量数乘定义可得A点横坐标,从而可得其纵坐标,得出直线AB方程,代入抛物线方程求得B点横坐标,然后由焦点弦长公式可得结论.[详解]F(2,0),如图,设准线l交x轴于点E,则EF=4,\becausePA=3AF,\thereforex_{A}=1,y=2\sqrt{2}k_{AB}=k_{AF}=-2\sqrt{2},AB:y=-2\sqrt{2}(x-2),代入C方程整理得x^{2}-5x+4=0,x_{B}=4,|AB|=x_{A}+x_{B}+4=9.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a>0)$的焦点在$x$轴上，长轴长是短轴长的$2$倍，则$a$=?
【解析】
【题目】已知抛物线的方程是$y^{2}=4 x$,过定点$P(-2,-1)$作直线$l$与抛物线$y^{2}=4 x$有且只有一个公共点.那么直线$l$的斜率的取值集合是?
【解析】由题意可设直线方程为:y=k(x+2)-1代入抛物线方程整理可得k^{2}x^{2}+(4k^{2}-2k-4)x+4k^{2}-4k+1=0(*)直线与抛物线只有一个公共点等价于(*)只有一个根,\textcircled{1}k=0时,y=1符合题意;\textcircled{2}k\neq0时,\triangle=(4k^{2}-2k-4)^{2}-4k^{2}(4k^{2}-4k+1)=0,整理,得k=-\frac{1}{2}或k=1综上可得,k=\frac{1}{2}或k=1或k=0时,直线l与抛物线只有一个公共点
【题目】已知双曲线$a x^{2}-4 y^{2}=1$的离心率为$\sqrt{3}$，则实数$a$的值为?
【解析】ax^{2}-4y^{2}=1\Rightarrow\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{4}=1,所以\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{4}}{\frac{1}{a}}=\sqrt{3},解得a=8
【题目】已知$A B$是过抛物线$2 x^{2}=y$的焦点的弦，若$|A B|=4$，则$A B$的中点的纵坐标是?
【解析】[解析]设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),根据抛物线的定义得出|AB|=y_{1}+y_{2}+p,得出y_{1}+y_{2},最后由\frac{y_{1}+y_{2}}{2}得出AB的中点的纵坐标.设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),由抛物线2x^{2}=y,可得p=\frac{1}{4}\because|AB|=y_{1}+y_{2}+p=4,\thereforey_{1}+y_{2}=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4},故AB的中点的纵坐标是\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{15}{8}
【题目】抛物线$y=a x^{2}(a \neq 0)$的焦点坐标为?
【解析】
【题目】已知$F_{1}(-c, 0)$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左焦点，直线$y=k x$与双曲线交于$A$、$B$两点，若$|\overrightarrow{A F_{1}}|=\frac{c}{a}|\overrightarrow{B F_{1}}|$，则双曲线的离心率的取值范围是?
【解析】
【题目】过抛物线$y=\frac{1}{4} x^{2}$的焦点作直线交抛物线于$A(x_{1}, y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$两点，若$y_{1}+y_{2}=2 \sqrt{2}$，则弦长$|A B|$的值为?
【解析】抛物线y=\frac{1}{4}x^{2},即x^{2}=4y,开口向上,p=2,弦长|AB|=y_{1}+y_{2}+p=2\sqrt{2}+2,
【题目】已知点$F_{1}$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$的左焦点，过原点的直线$l$与双曲线$C$相交于$P$、$Q$两点. 若$|P F_{1}|=3$，则$|Q F_{1}|$=?
【解析】由双曲线的对称性,可知|OP|=|OQ|,又|OF_{1}|=|OF_{2}|,所以四边形F_{1}PF_{2}Q是平行四边形,所以|PF_{2}|=|QF_{1}|,王双曲线的左支,如下图所示由双曲线定义有|PF_{2}|-|PF_{1}|=4又|PF_{1}|=3,所以|QF_{1}|=|PF_{2}|=7.
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$，过点$A(1,2)$作直线$l$交抛物线于另一点$B$,$Q$是线段$A B$的中点，过$Q$作与$y$轴垂直的直线$l_{1}$，交抛物线于点$C$，若点$P$满足$\overrightarrow{Q C}=\overrightarrow{C P}$，则$|O P|$的最小值是?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的一个焦点与抛物线$y^{2}=4 x$的焦点重合，过点$M(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$且斜率为$\frac{1}{2}$的直线交椭圆$C$于$A$、$B$两点，若$M$是线段$A B$的中点，则椭圆$C$的方程为?
【解析】根据题意,抛物线y^{2}=4x的焦点为(1,0),则椭圆C的焦点在x轴上,且c=1可以设该椭圆的标准方程为:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,则a^{2}-b^{2}=1,\textcircled{1}设A点坐标为(x_{1},y_{1}),B点坐标为(x_{2},y_{2}),有+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1\textcircled{2},\frac{x_{2}}{a^{2}}+\frac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1\textcircled{3}\textcircled{2}-\textcircled{3}可得:\frac{(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2}}{a^{2}}\frac{(y_{1}+y_{2})(\frac{x_{1}2}{a_{1}-y_{2})}{b^{2}}{3}又由直线AB的斜率为\frac{1}{2},则\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}}=\frac{1}{x_{0}}AB的中点M的坐标为M(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),则x_{1}+x_{2}=-1、y_{1}+y_{2}=1,代入\textcircled{4}中,可得\frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{2b^{2}}又由a^{2}-b^{2}=1,则a^{2}=2,b^{2}=1,故要求椭圆的标准方程为:\frac{x^{2}}{2}+y2=1;
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$的两焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P(x_{0},y_{0})$满足$0<\frac{x_{0}^{2}}{2}+y_{0}^{2}<1$，则$|P F_{1}|+|P F_{2}|$的取值范围为?直线$\frac{x_{0} x}{2}+y_{0} y=1$与椭圆$C$的公共点个数为?
【解析】
【题目】已知点$P$在焦点为$F_{1}$、$F_{2}$的椭圆$\frac{x^{2}}{45}+\frac{y^{2}}{20}=1$上，若$\angle F_{1} P F_{2}=90^{\circ}$，则$|P F_{1}| \cdot|P F_{2}|$的值为?
【解析】在椭圆\frac{x2}{45}+\frac{y^{2}}{20}=1中,a=3\sqrt{5},b=2\sqrt{5},则c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=5'|F_{1}F_{2}|=2c=10由椭圆的定义可得|PF_{1}|+|PF_{2}|=6\sqrt{5}因为\angleF_{1}PF_{2}=90^{\circ},则|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}=|F_{1}F_{2}|^{2}=100,所以,|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=\underline{(|PF_{1}|+|PF_{2}|)}\frac{-(|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2})}{2}=40
【题目】已知椭圆$C$经过点$M(1, \frac{3}{2})$和点$N(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$，则其标准方程为?
【解析】设椭圆C的方程为mx^{2}+ny^{2}=1(m,n>0且m\neqn),则\begin{cases}m+\frac{9}{4}n=1\\3m+\frac{3}{4}n=1\end{cases}解得\begin{cases}m=\frac{1}{4}\\n=\frac{1}{3}\end{cases}则其标准方程为\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1,故填\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1
【题目】已知抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$过焦点的弦$A B$两端点为$A(x_{1} , y_{1})$ , $B(x_{2}, y_{2})$，则关系式$\frac{y_{1} y_{2}}{x_{1} x_{2}}$为定值?
【解析】
【题目】已知双曲线$x^{2}-k y^{2}=1$的一个焦点是$(\sqrt{5}, 0)$，则其渐进线方程为?
【解析】由题可知c=\sqrt{5},a^{2}=1,b^{2}=\frac{1}{k}(k>0)\therefore1+\frac{1}{k}=5,解得k=\frac{1}{4},令x^{2}-\frac{1}{1}v2=0,可得渐近线方程为y=\pm2x均答:为\_.
【题目】经过点$P(-3,0)$ , $Q(0,-2)$的椭圆的标准方程是?
【解析】先设椭圆方程为\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m>0,n>0,m\neqn)'将已知点代入,求解,即可得出结果设椭圆方程为\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{n}=1(m>0,n>0,m\neqn)因为该椭圆过点P(-3,0),Q(0,-2)所以\begin{cases}\frac{9}{m}=1\\\frac{4}{3}=1\end{cases},解得\begin{cases}m=9\\n=4\end{cases},因此所求椭圆方程为\frac{x2}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1
【题目】已知$F_{1}(-c, 0)$ ,$ F_{2}(c, 0)$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的两个焦点，$P$在椭圆上，且$\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2} b^{2}$，则$\cos \angle F_{1} P F_{2} $=?
【解析】由已知条件利用椭圆定义和余弦定理列出方程组,再由三角形面积利用正弦定理求出1\cdot\cos\theta=\sqrt{2}\sin\theta,由此利用\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,能求出\cos\theta.\becauseF_{1}(\cdotc,0),F_{2}(c,0)为椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)的两个焦点P在椭圆上,且\trianglePF_{1}F_{2}的面积为\frac{\sqrt{2}}{2}b^{2},\therefore\begin{cases}|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}+2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|=4a^{2}\\|PF_{1}|^{2}+|PF_{2}|^{2}-2|PF_{1}|\cdot|PF_{2}|\cos\angleF_{1}PF_{2}=4c^{2}\end{cases}整理,得|PF_{1}|+|PF_{2}|.1-\cos\theta=\sqrt{2}\sin\theta\because\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,\therefore\cos\theta=\frac{1}{3}.
【题目】在抛物线$y^{2}=2 x$上的点$P$满足到直线$x-y+3=0$的距离最短，则点$P$的坐标为?
【解析】设P(x_{0},y_{0})是y^{2}=2x上任一点,则点P到直线/的距离d=\frac{|x_{0}-y_{0}+3|}{\sqrt{2}}=\frac{|\frac{y_{2}^{2}}{2}-y_{0}+3|}{\sqrt{2}}=\frac{|(y_{0}-1)^{2}+5|}{2\sqrt{2}}当y_{0}=1时,d_{\min}=\frac{5\sqrt{2}}{4},\thereforeP(\frac{1}{2},1)
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，过点$F_{2}$作与$x$轴垂直的直线与双曲线一个交点为$P$，且$\angle P F_{1} F_{2}=\frac{\pi}{6}$，则双曲线的渐近线方程为?
【解析】
【题目】已知椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线$x+3 y-6=0$与两坐标轴的交点,则椭圆的标准方程为?
【解析】
【题目】设抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，准线为$l$，点$A(0,2)$，线段$F A$与抛物线交于点$B$，过$B$作$l$的垂线，垂足为$M$。若$A M \perp M F$，则$p$=?
【解析】
【题目】已知双曲线$C$的方程为$x^{2}-y^{2}=1$，则$C$的右焦点到它的渐近线的距离为?
【解析】求出双曲线的焦点、渐近线方程,再利用点到直线的距离公式即可求解由题得:其焦点坐标为(-\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0)\cdot渐近线方程为y=\pmx,所以焦点到其渐近线的距离d=\frac{|\pm\sqrt{2}|}{\sqrt{1^{2}+(\pm1)^{2}}}=1
【题目】双曲线$E$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左顶点为$A$，虚轴的一个端点为$B$，右焦点$F$到直线$A B$的距离为$\frac{3 b}{2}$，则双曲线$E$的离心率为?
【解析】不妨设B在纵轴的正半轴上,由双曲线的标准方程可知:A(-a,0),B(0,b),右焦点F的坐标为(c,0),直线AB的方程为:\frac{x}{-a}+\frac{y}{b}=1\Rightarrowbx-ay+ab=0因为右焦点F到直线AB的距离为\frac{3b}{2},所以有\frac{|bc+ab|}{\sqrt{b^{2}+(-a)^{2}}}=\frac{3b}{2}\Rightarrow\frac{a+c}{c}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{c}{a}=2,即双曲线的离心率为2.
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{2}$，则其渐近线的斜率是?
【解析】\because_{e}=\frac{\sqrt{10}}{2},又e=\frac{c}{a}\therefore4c^{2}=10a^{2},4a^{2}+4b^{2}=10a^{2},即4b^{2}=6a^{2}\thereforek=\pm\frac{b}{a}=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}
【题目】已知以$F$为焦点的抛物线$y^{2}=4 x$上的两点$A$ , $B$满足$\overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$，则弦$AB$的中点到准线的距离为？
【解析】
【题目】设$F_{1}$、$F_{2}$分别是椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$的左、右焦点，$P$为椭圆上任一点，点$M$的坐标为$(6 , 4)$，则$|P M|+|P F_{1}|$的最大值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{m-2}+\frac{y^{2}}{20-m}=1$的焦点$x$轴上，且焦距为$4$，则$m$=?
【解析】\because椭圆\frac{x2}{m-2}+\frac{y^{2}}{20-m}=1的长轴在x轴上,\therefore\begin{cases}20-m>0\\m-2>0\\m-2>20-m\end{cases}解得11<m<20,\because焦距为4,\thereforec^{2}=m-2-20+m=4,解得m=13.
【题目】过椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左顶点$A$且斜率为$k$的直线交椭圆$C$于另一点$B$，且点$B$在$x$轴上的射影恰为右焦点$F$，若$k=\frac{1}{2}$，则椭圆的离心率$e$的值是?
【解析】
【题目】已知椭圆$G$的中心在坐标原点，长轴在$x$轴上，离心率为$\frac {\sqrt{3}}{2}$，且$G$上一点到$G$的两个焦点的距离之和为$12$，则椭圆$G$的方程为?
【解析】
【题目】抛物线$y^{2}=2 p x(p<0)$的焦点为$F$，准线为$l$，过点$H(-\frac{p}{2}, 0)$的直线与以$F$为圆心且过原点的圆相切于点$N$，直线$F N$交直线$l$于点$M$，交抛物线于$A$、$B$两点 ($A$在$M$、$N$之间)，则$\frac{|M N|}{|A N|}$=?
【解析】先由过点H(-\frac{p}{2},0)的直线与以F为圆心且过原点的圆相切于点N,直线FN交直线l于点M,求出MN的长,再由直线MN的方程与抛物线方程联立,求出A点坐标,求出AM的长,进而可求出AN的长,即可求出结果.解】由题意可得F(\frac{p}{2},0),因为过点H(-\frac{p}{2},0)的直线与以F为圆心且过原点的圆相切于点N,所以|FN|=-\frac{p}{2},|HF|=-p,所以在直角三角形FNH中,可得|HN|=\sqrt{|HF|^{2}-|FN|^{2}}=.\frac{\sqrt{3}}{2}p,\angleHFN=60^{\circ};因此直线MN的方程为y=\sqrt{3}(x-\frac{p}{2})又直线FN交直线l于点M,所以|MF|=2|HF|=-2p,因此|MN|=|MF|-|NF|=-\frac{3}{2}p又联立\begin{cases}y=\sqrt{3}(x-\frac{p}{2})\\y2=2px\end{cases}得3(x-\frac{p}{2})^{2}=2px,整理得12x^{2}-20px+3p^{2}=0解得x=\frac{p}{6}或x=\frac{3p}{2},因为A在M,N之间且p<0,所以x_{A}=\frac{p}{6},因此y_{A}=-\frac{\sqrt{3}}{3}p'即A.\frac{p}{6},-\frac{\sqrt{3}}{3}p又M(-\frac{p}{2},-\sqrt{3}p)所以|AM|=|(\frac{p}{6}+\frac{p}{2})^{2}+(-\frac{\sqrt{3}}{3}p+\sqrt{3})^{2}=-\frac{4}{3}p'所以|AN|=|MN|-|AM|=-\frac{p}{6}所以\frac{|MN|}{|AN|}=\frac{\frac{3}{2}p}{-\frac{P}{6}}=9
【题目】过点$P(2 , 1)$的双曲线与椭圆$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$共焦点，则其渐近线方程是?
【解析】
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a+6}=1$表示焦点在$x$轴上的椭圆，则实数$a$的取值范围是?
【解析】\because方程\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a+6}=1表示焦点在x轴上的椭圆,\thereforea^{2}>a+6>0,\thereforea>3或-6<a<-2.
【题目】已知动点$M(x, y)$满足$5 \sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}=|3 x+4 y+12 |$，则$M$点的轨迹曲线为?
【解析】
【题目】设抛物线$C$: $y^{2}=2 p x(p>0)$的焦点为$F$，点$M$在抛物线$C$上，$|M F|=5$，若$y$轴上存在点$A(0,2)$，使得$A M \perp A F$，则$p$的值为?
【解析】由题意可得:以MF为直径的圆过点(0,2),设M(x,y),由抛物线性质|MF|=x+\frac{p}{2}=5,可得x=5-\frac{p}{2}因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为\underline{5-\frac{p}{2}+\frac{p}{2}}{2}=\frac{5}{2}由已知圆半径也为\frac{5}{2},据此可知该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心纵坐标为2,则M点纵坐标为4即M(5-\frac{p}{2},4),代入抛物线方程得p^{2}-10p+16=0,所以p=2或p=8.

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【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$的左、 右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$P$在双曲线的右支上，当双曲线的离心率为$3$时，$\frac{|P F_{2}|}{|P F_{1}|^{2}}$的最大值为?
【解析】依题意可得a=2,从而求出c=6,再根据双曲线的定义可得|PF_{1}|=|PF_{2}|+4,则\frac{|PF_{2}|}{|PF_{1}|^{2}}=\frac{1}{|PF_{2}|+\frac{16}{|PF_{2}|}+8},再利用基本不等式计算可得;[详解]已知双曲线的离心率为3,又a=2,所以c=6,又由双曲线的定义可知|PF_{1}|-|PF_{2}|=4,所以|PF_{1}|=|PF_{2}|+4,且|PF_{2}|\geqslantc-a=4|+16\frac{1}{16}当且仅当|PF_{2}|=4时等号成立,所以\frac{|PF_{2}|}{|PF_{1}|^{2}}的最大值为\frac{1}{16}
【题目】若方程$\frac{x^{2}}{m+3}+\frac{y^{2}}{4-m}=1$表示焦点在$x$轴上的双曲线，则$m$的取值范围是?
【解析】【分和\Square根据题意得到\begin{cases}m+3>0\\4-m<0\end{cases},解得答案由题意可得\begin{cases}4-m<0\\m+3>0\\4-m<0\end{cases},,解得m>4.
【题目】已知双曲线$C_{1}$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>0 , b>0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$ , $F_{2}$，抛物线$C_{2}$的顶点在原点，它的准线与双曲线$C_{1}$的左准线重合，若双曲线$C_{1}$与抛物线$C_{2}$的交点$P$满足$PF_{2} \perp F_{1} F_{2}$，则双曲线$C_{1}$的离心率为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形若该三角形内切圆的半径为$\frac{b}{5}$，则该椭圆的离心率为?
【解析】由椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面秒3.2a+2c.由题意可得S=bc=\frac{1}{2}(2a+2c)\cdot\frac{b}{5},得a+c=5c所以e=\frac{c}{a}=\frac{1}{4},因此该椭圆的离心率为\frac{1}{4}
【题目】双曲线$9 y^{2}-16 x^{2}=144$的离心率为?
【解析】
【题目】过圆$M$:$(x+1)^{2}+y^{2}=\frac{7}{9}$的圆心$M0$的直线与抛物线$C$: $y^{2}=4 x$相交于$A$、$B$两点，且$\overrightarrow{M B}=3 \overrightarrow{M A}$，则点$A$到圆$M$上任意一点的距离的最小值为?
【解析】设A(\frac{y_{2}}{4},y_{1}),B(\frac{y_{2}}{4},y_{2}),由题得\begin{cases}y_{2}=3y_{1}\\k_{MA}=k_{MB}\end{cases}不妨设y_{1}>0,\thereforey_{1}=\frac{2}{3}\sqrt{3},\thereforeA(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\sqrt{3}),\thereforeMA=\frac{+1}{1-(-1)}+\frac{y_{2}}{y_{2}}+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}.所以点A到圆M上任意一点的距离的最小值为\frac{2}{3}\sqrt{7}-r=\frac{2}{3}\sqrt{7}-\frac{1}{3}\sqrt{7}=\frac{1}{3}\sqrt{7}数填\frac{\sqrt{7}}{3}
【题目】已知双曲线$\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{m}=1$经过点$M(2,2)$，则其离心率$e$=?
【解析】由点M在双曲线上可得\frac{2^{2}}{2}-\frac{2}{m}=1,解得m=4,所以双曲线的方程为\frac{y^{2}}{2}-\frac{x2}{4}=1故a=\sqrt{2},c=\sqrt{2+4}=\sqrt{6},所以e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{5}=\sqrt{3}
【题目】已知抛物线$C$:$x^{2}=12 y$，直线$l$过点$(0,3)$与抛物线$C$交于$A$、$B$两点，且$|A B|=14$，则直线$l$倾斜角$\alpha$的正弦值为?
【解析】由题意可知,直线l的斜率存在.当直线的斜率为零时,由于(0,3)为抛物线的焦点,故应有|AB|=12,所以直线的斜率存在,且不为零设直线l的方程为y=kx+3(k\neq0),由\begin{cases}y=kx+3\\x^{2}=12y\end{cases}消去x得,y^{2}-(12k^{2}+6)y+9=0,所以y_{1}+y_{2}=12k^{2}+6,所以|AB|=y_{1}+y_{2}+6=12k^{2}+12=14,所以_{k}=\pm\frac{\sqrt{6}}{6}所以_{\tan\alpha}=\pm\frac{\sqrt{6}}{6}.因为\alpha\in[0,\pi)所以\sin\alpha=\frac{\sqrt{7}}{7}.
【题目】已知抛物线$y=a x^{2}$的准线方程为$y=-2$，则实数$a$的值为?
【解析】将y=ax2化为x^{2}=\frac{1}{a}y'由题意,得\frac{1}{4a}=2,即a=\frac{1}{8}.
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{k+4}+\frac{y^{2}}{12}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$, 则实数$k$的值为?
【解析】若椭圆\frac{x^{2}}{k+4}+\frac{y^{2}}{12}=1的焦点在x轴上时,\frac{k+4-12}{k+4}=所以k=12;若椭圆\frac{x^{2}}{k+4}+\frac{y^{2}}{12}=1的焦点在y轴上时,\frac{12-k-4}{12}=\frac{1}{4}.所以k=5.故实数k的值为5或12.
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左焦点为$F$，直线$x=m$与椭圆相交于点$A$、$B$，当$\triangle FAB$的周长最大时，$\triangle F A B$的面积是?
【解析】
【题目】已知点$A(0 , b)$，$B$为椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  (a>b>0)$的左准线与$x$轴的交点，若线段$AB$的中点$C$在椭圆上，则该椭圆的离心率为?
【解析】
【题目】已知抛物线$y^{2}=12 x$的焦点为$F$，过点$P(2 , 1)$的直线$l$与该抛物线交于$A$、$B$两点，且点$P$恰好为线段$A B$的中点，则$|A F|+| B F |$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})\becauseP(2,1)是AB中点,\therefore\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=2,即x_{1}+x_{2}=4.\becauseF(3,0)是抛物线y^{2}=12x的焦点,\therefore|AF|=x_{1}+3,|BF|=x_{2}+3则|AF|+|BF|=x_{1}+x_{2}+3+3=10,
【题目】若直线$y-k x-1=0(k \in R)$与椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$恒有公共点，则$m$的取值范围是?
【解析】整理直线方程可知直线恒过(0,1)点,因此只需要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上即可,令x=0求得y^{2}=m,要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上,则y\geqslant1即是进而求得m的范围,最后注意到椭圆方程中m\neq5,综合答案可得.整理直线方程得y-1=kx,\therefore直线恒过(0,1)点,因此只需要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上即可由于该点在y轴上,而该椭圆关于原点对称,故只需要令x=0有5y^{2}=5m得到y^{2}=m要让点(0.1)在椭圆内或者椭圆上,则y\geqslant1即是y^{2}\geqslant1得到m\geqslant1\because椭圆方程中,m\neq5m的范围是[1,5)\cup(5,+\infty)
【题目】已知抛物线方程为:$x=\frac{1}{4} y^{2}$，其准线方程为?
【解析】由抛物线方程为:x=\frac{1}{4}y^{2},化简得y^{2}=4x,则有2p=4\Rightarrowp=2,即对应抛物线的方程为x=-\frac{p}{2}=-1.
【题目】已知抛物线$y=\frac{1}{4} x^{2}$和点$M(2,2)$，过$M$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，抛物线在点$A$、$B$处的切线$l_{1}$, $l_{2}$交于点$P$，若$M$为线段$A B$的中点，则$\triangle A B P$的面积为?
【解析】设直线AB的方程为y=kx+2-2k,与y=\frac{1}{4}x2联立得出x^{2}-4kx+8k-8=0,设A(x_{1},\frac{x_{1}^{2}}{4}),B(x_{2},\frac{x_{2}^{2}}{4}),则x_{1}+x_{2}=4k,又M为线段AB的中点,所以4k=4,k=1,解方程x^{2}-4kx+8k-8=0可得出x_{1}=0,x_{2}=4,即A(0,0),B(4,4),由y=\frac{1}{2}x,则切线l_{1},l_{2}的斜率分别为0,2,则切线l_{1},l_{2}的方程分别为y=0,y=2(x-4)+4,联立可得P(2,0),点P到直线AB:y=x的距离d=\frac{|2-0|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\sqrt{2},|AB|=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2},则S_{\DeltaABP}=\frac{1}{2}|AB|\cdotd=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\times\sqrt{2}=4
【题目】若双曲线$C$: $\frac{y^{2}}{m}-x^{2}=1(m>0)$的一条渐近线为$x+\sqrt{3} y=0$，则$m$=?
【解析】因为\frac{y^{2}}{m}-x^{2}=1(m>0)所以其渐近线方程为y=\pm\sqrt{m}x,又因为其一条渐近线为x+\sqrt{3}y=0,所以m=3,
【题目】$P$为双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$右支上一点，$F$为双曲线$C$的左焦点，点$A(0,3)$，则$|P A|+|P F|$的最小值为?
【解析】\becauseF是双曲线C:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1的左焦点,\thereforea=2,b=2\sqrt{3},c=4,F(-\sqrt{7},0),右焦点为H(\sqrt{7},0),由双曲线的定义可得|PA|+|PF|=2a+|PH|+|PA|\geqslant2a+|AH|=4+5=9.所以答案应填:8.
【题目】已知$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左、右焦点过点$F_{1}$且斜率为$2$的直线$l$交双曲线的左支于点$P$, 若直线$P F_{2} \perp l$, 则双曲线的渐近线方程是?
【解析】由题意,过过点F_{1}且斜率为2的直线l的方程为y=2(x+c)因为PF_{2}\botl,所以直线PF_{1}的斜率为-\frac{1}{2},所以直线PF_{1}的方程为y=-\frac{1}{2}(x-c)两直线联立方程组,解得交点P的坐标为(-\frac{3c}{5},\frac{4c}{5}),如图所示,将点P代入双曲线的方程,可得\underline{(-\frac{3c}{5})})------\frac{(\frac{4c}{5})^{2}}{b^{2}}=1'整理得9b^{2}c^{2}-16a^{2}c^{2}=25a^{2}b^{2}又由b^{2}=c^{2}-a^{2},代入得9(c^{2}-a^{2})c^{2}-16a^{2}c^{2}=25a^{2}(c^{2}-a^{2})整理得9c^{4}-50a^{2}c^{2}+25a^{4}=0,解得c^{2}=5a^{2},可得b^{2}=4a^{2},即b=2a.所以双曲线的渐近线的方程为y=\pm2x
【题目】若双曲线$x^{2}-y^{2}=a^{2}(a>0)$的右焦点与抛物线$y^{2}=4 x$的焦点重合，则$a$=?
【解析】双曲线x^{2}-y^{2}=a^{2}(a>0)的右焦点为(\sqrt{2}a,0)抛物线y^{2}=4x的焦点(1,0)所以\sqrt{2}a=1,a=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】若过抛物线$y^{2}=4 x$上一点$P(4,4)$，作两条直线$P A$ , $P B$分别与抛物线交于$A(x_{1}, y_{1})$, $B(x_{2}, y_{2})$两点，若它们的斜率之和为$0$，则直线$A B$斜率为?
【解析】依题意有\frac{y_{1}-4}{x_{1}-4}+\frac{y_{2}-4}{x_{2}-4}=0,所以k_{AB}-\frac{1}{2},
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$，过其右焦点$F$作圆$x^{2}+y^{2}=9$的两条切线，切点记作$C$、$D$，双曲线的右顶点为$E$，$\angle C E D=150^{\circ}$，则双曲线的离心率为?
【解析】
【题目】点$P$为双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$右支上的一点，其右焦点为$F_{2}$，若直线$P F_{2}$的斜率为$\sqrt{3}$，$M$为线段$P F_{2}$的中点，且$|O F_{2}|=|F_{2} M|$，则该双曲线的离心率为?
【解析】由题意得:|OF_{2}|=|F_{2}M|=c,\angleOF_{2}M=120^{\circ},\therefore|OM|=\sqrt{3}c,设左焦点为F_{1},连接PF_{1}则OM为\trianglePF_{1}F_{2}的中位线,\therefore|PF_{1}|=2\sqrt{3}c,又|PF_{2}|=2c,由双曲线定义,得|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a6;3、双曲线的离心率.【思路
【题目】设点$A_{1}$、$A_{2}$分别为椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左右顶点，若在椭圆$C$上存在异于点$A_{1}$、$A_{2}$的点$P$，使得$P O \perp P A_{2}$，其中$O$为坐标原点，则椭圆$C$的离心率的取值范围是?
【解析】由题意以OA_{2}为直径的圆与椭圆有除A_{2}以外的交点,圆方程为(x-\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4},由\begin{cases}(x-\frac{a}{2})^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}}{4}\\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\end{cases},得\frac{c^{2}}{a^{2}}x^{2}-ax+b^{2}=0,此方程一根为a,另一根为\frac{ab^{2}}{c^{2}},则\frac{ab^{2}}{c^{2}}<aa^{2}-c^{2}<c^{2},\frac{c^{2}}{a^{2}}>\frac{1}{2},所以\frac{\sqrt{2}}{2}<e<1.
【题目】若双曲线$x^{2}-k y^{2}=1$的一个焦点是$(3,0)$，则实数$k$=?
【解析】先根据题意找出对应方程的a^{2},b^{2},c^{2},再根据他们三者之间的等式关系即可求解.[详解]由题可知:c=3,a^{2}=1,b^{2}=\frac{1}{k}\Rightarrowc^{2}=1+\frac{1}{k}=9\Rightarrowk=\frac{1}{8}
【题目】若双曲线的渐近线方程为$y=\pm 2 x$，它的一个焦点是$(\sqrt{5}, 0)$，则双曲线的方程是?
【解析】因为双曲线焦点是(\sqrt{5},0),故该双曲线的焦点在x轴上.设双曲线方程为\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=因为双曲线的渐近线为y=\pm2x,则\begin{cases}\frac{b}{a}=2\\\\a+b^{2}=5\end{cases}则双曲线的方程为x2-\frac{y^{2}}{=1}.
【题目】若椭圆$\frac{x^{2}}{m+6}-\frac{y^{2}}{m}=1(-6<m<-3)$上的点到两焦点距离之和为$4$，则该椭圆的短轴长为?
【解析】根据椭圆的定义,结合题意,即可求解椭圆的a,b,c.由题可知:2a=4,a=2,由-6<m<-3,可知:-m=a^{2}=4,故m=-4则b^{2}=m+6=2,故b=\sqrt{2}则短轴长为2b=2\sqrt{2}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{24}=1$上一点$P$与椭圆的两个焦点$F_{1}$、$F_{2}$的连线相互垂直，则$\Delta P F_{1} F_{2}$的面积为?
【解析】设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,由PF_{1}\botPF_{2}结合椭圆定义可求得mn,从而易得三角形面积椭圆\frac{x^{2}}{49}+\frac{y^{2}}{24}=1中a=7,b=2\sqrt{6},c=\sqrt{49-24}=5设|PF_{1}|=m,|PF_{2}|=n,由PF_{1}\botPF_{2},则m^{2}+n^{2}=(2c)^{2}=100,又m+n=2a=14,{m^{2}+n^{2}=4c^{2}=100|m+n=2a=14mn=\frac{(m+n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{2}=\frac{14^{2}-100}{2}=48\thereforeS_{\DeltaPF_{1}F_{2}}=\frac{1}{2}mn=24.
【题目】双曲线的一条渐近线方程是$y=2 x$，且过点$(4,0)$，则双曲线的方程为?
【解析】解析过程略
【题目】抛物线$x^{2}=y$的焦点到准线的距离等于?
【解析】抛物线x^{2}=y的焦点到准线的距离为p,由标准方程可得p=\frac{1}{2}
【题目】已知$F_{1}(-4,0)$ , $F_{2}(4,0)$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{4}=1(m>0)$的两个焦点，点$M$是双曲线$C$上一点，且$\angle F_{1} M F_{2}=60^{\circ}$，则$\Delta F_{1} M F_{2}$的面积为?
【解析】\becauseF_{1}(-4,0)、F_{2}(4,0)是双曲线C:\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{4}=1(m>0)的两个焦点,\thereforem+4=16,.m=12,设MF_{1}=m,|MF_{2}|=n,\because点M是双曲线上一点,且\angleF_{1}MF_{2}=60^{\circ},\thereforem-n=4\sqrt{3}\textcircled{1},m2+n^{2}-2mn\cos60^{\circ}=64\textcircled{2},由\textcircled{2}\cdot\textcircled{1}^{2}得mn=16,\thereforeAF_{1}MF_{2}的面积S=\frac{1}{2}mn\cos60^{\circ}=4\sqrt{3}
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$的焦点为$F$，过$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两点，若$\overrightarrow{A F}=2 \overrightarrow{F B}$，则点$A$的坐标为?
【解析】设直线AB的方程为x=my+1,将直线AB的方程与抛物线的方程联立,写出韦达定理,由条(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB},可得y_{1}=-2y_{2},结合韦达定理可得点A的坐标由题意可知,抛物线的焦点为F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,将直线AB的方程与抛物线的方程联立,\begin{cases}x=my+1\\y2=4x\end{cases},消去x得y^{2}-4my-4=0设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),\thereforey_{1}+y_{2}=4m,y_{1}y_{2}=-4\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB},\thereforey_{1}=-2y_{2},即y_{2}=-\frac{y_{1}}{2}\thereforey_{1}y_{2}=-\frac{1}{2}y_{1}^{2}=-4,解得y_{1}=\pm2\sqrt{2}\thereforex_{1}=\frac{y_{1}^{2}}{4}=2故点A的坐标为(2,2\sqrt{2})或(2,-2\sqrt{2}).
【题目】写出一个与椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{3}=1$有公共焦点的椭圆方程?
【解析】由题可知椭圆的形式应为\frac{x^{2}}{5+m}+\frac{y^{2}}{3+m}=1(m>-3,且m\neq0),可取m=5
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的焦点到该双曲线渐近线距离为?
【解析】由题得:其焦点坐标为(-5,0),(5,0),渐近线方程为y=\pm\frac{3}{4}x所以焦点到其渐近线的距离d=\frac{\frac{3}{4}\times5}{\sqrt{1+(\frac{3}{4})^{2}}}=3.即答案为3
【题目】已知过抛物线$x^{2}=4 y$的焦点$F$的直线交抛物线于$A$、$B$两个不同的点，过$A$、$B$分别作抛物线的切线且相交于点$C$，则$\triangle A B C$的面积的最小值为?
【解析】由题意,设直线y=kx+1,联立\begin{cases}y=kx+1\\x^{2}=4y\end{cases},得C(2k,-1),所以S=\frac{1}{2}|AB|d=4\sqrt{1+k^{2}}(1+k^{2})=4(\sqrt{1+k^{2}})当k=0时,S_{\min}=4.
【题目】已知圆$x^{2}+y^{2}-6 x-7=0$与抛物线$y^{2}=2 p x(p>0)$的准线相切，则抛物线的方程为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$内，过点$M(2,1)$且被该点平分的弦所在的直线方程为?
【解析】设直线与椭圆的两个交点为A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),因为A,B在椭圆上所以\begin{cases}\frac{x_{1}}{16}+\frac{y_{2}}{9}=1\\\frac{x_{2}}{16}+\frac{y_{2}}{9}=1\end{cases},所以\frac{x_{1}2}{16}-\frac{x_{2}2}{16}=-(\frac{y_{2}}{9}-\frac{y_{2}}{9})所以\frac{y^{2}-y_{2}^{2}}{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}=-\frac{9}{1},所以\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}.\frac{y_{1}+y_{2}}{x_{1}+x_{2}}=-\frac{9}{16},所以k_{AB}\cdot\frac{1\times2}{2\times2}=-\frac{9}{16},所以k_{AB}=-\frac{9}{8}所以AB的方程为:y-1=-\frac{9}{8}(x-2),即9x+8y-26=0,
【题目】已知抛物线$x^{2}=2 p y(p>0)$的焦点为$F$，其准线$l$与$y$轴交于点$Q$，若抛物线上一点$P(4, t)$满足$P Q=\sqrt{2} P F$，则实数$t$的值为?
【解析】
【题目】已知椭圆$\frac{y^{2}}{75}+\frac{x^{2}}{25}=1$的一条弦的斜率为$3$，它与直线$x=\frac{1}{2}$的交点恰为这条弦的中点$M$，则点$M$的坐标为?
【解析】
【题目】已知椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，过点$F(1,0)$的直线与椭圆相交于$A$、$B$两点，线段$A B$的中点为$M$，则点$M$的纵坐标的最大值为?
【解析】当直线的斜率为0时,可得线段AB的中点M的纵坐标为0,当当直线的斜率不为0时,设过F(1,0)的直线为x=ty+1,然后将直线方程与椭圆方程联立,消去x,利用根与系数的关系可得y_{M}=-\frac{3t}{3t^{2}+4},显然当t<0时,y_{M}>0,再利用基本不等式求解即可解】当直线的斜率为0时,此时直线为y=0,此时线段AB的中点M的纵坐标为0;当直线的斜率不为0时,设过F(1,0)的直线为x=ty+1,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})由\begin{cases}x=ty+1\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{cases},得(3t^{2}+4)y^{2}+6ty-9=0,则y_{1}+y_{2}=-\frac{6t}{3t^{2}+4}所以线段AB的中点M的纵坐标为y_{M}=-\frac{3t}{3t^{2}+4}当t=0时,M的纵坐标为0,当t<0时,y_{M}=-\frac{3t}{3t^{2}+4}=-\frac{-}{(}\frac{\sqrt{1}}{2}\frac{3}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{4},当且仅当-3t=-\frac{4}{t},即t=-\frac{2\sqrt{3}}{3}时取等号,此时y_{M}的最大值为\frac{\sqrt{3}}{4},当t>0时,y_{M}<0,综上,y_{M}的最大值为\frac{\sqrt{3}}{4},
【题目】已知双曲线过点$(3,2)$，它的一条渐近线方程为$y=\frac{1}{3} x$，则双曲线的标准方程为?
【解析】设所求双曲线的方程为\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=\lambda,则有\lambda=\frac{3^{2}}{9}-2^{2}=-3,即双曲线的方程为\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=-3.因此,该双曲线的标准方程为\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{27}=1.
【题目】已知椭圆$C$:$\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$，点$M$是椭圆$C$上一点，点$N$是线段$M F_{1}$的中点，$O$为坐标原点，若$|M N|=4$，则$|O N|$=?
【解析】
【题目】若双曲线经过点$(3, \sqrt{2})$，且渐近线方程是$y=\pm \frac{1}{3} x$，则这条双曲线的方程是?
【解析】由题意设双曲线的方程是y^{2}-\frac{x^{2}}{9}=\lambda,因为过点(3,\sqrt{2}),所以\lambda=2-\frac{9}{9}=1,即y^{2}-\frac{x^{2}}{9}=1
【题目】已知$F_{2}$是双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点，动点$A$在双曲线左支上，$B$为圆$E$: $x^{2}+(y+2)^{2}=1$上一点，则$|A B|+|A F_{2}|$的最小值为?
【解析】记双曲线C:\frac{x2}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1的左焦点为F_{1},则F_{1}(-2\sqrt{3},0),根据双曲线的定义可得|AF_{2}|=|AF_{1}|+6,先求出|AE|+|AF_{2}|\geqslant|EF_{1}|+6=10,再由圆的性质,即可得出结果记双曲线C:\frac{x2}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1的左焦点为F_{1},则F_{1}(-2\sqrt{3},0),根据双曲线的定义可得|AF_{2}|-|AF_{1}|=2a=6,则|AF_{2}|=|AF_{1}|+6,因此|AE|+|AF_{2}|=|AE|+|AF_{1}|+6\geqslant|EF_{1}|+6,当F_{1},A,E三点共线时,取等号;又E为圆E:x^{2}+(y+2)^{2}=1的圆心,即E(0,-2),且该圆的半径为r=1则|EF_{1}|=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=4'即|AE|+|AF_{2}|\geqslant|EF_{1}|+6=10,因为B为圆E:x^{2}+(y+2)^{2}=1上一点,根据圆的性质可得,|AB|+|AF_{2}|\geqslant|AE|-r+|AF_{2}|\geqslant10-1=9即F_{1},A,B,E四点共线时,取得最小值
【题目】已知抛物线$y=\frac{1}{2} x^{2}$的焦点为$F$，准线为$l$,$M$在$l$上，线段$M F$与抛物线交于$N$点，若$|M N|=\sqrt{2}|N F|$，则$|M F |$=?
【解析】如图,过N作准线的垂线NH,垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|=|NF|,在Rt\triangleNHM中,|NM|=\sqrt{2}|NH|,则\angleNMH=4.在\triangleMFK中,\angleFMK=45^{\circ},所以|MF|=\sqrt{2}|FK|.而|FK|=1.所以|MF|=\sqrt{2}
【题目】当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为$1$时，椭圆长轴的最小值为?
【解析】
【题目】若抛物线$y^{2}=2 p x$的焦点坐标为$(1,0)$，则准线方程为?
【解析】由抛物线的方程y^{2}=2px可知抛物线的焦点为(\frac{P}{2},0),准线为x=-\frac{p}{2},而焦点的坐标为(1,0),所以\frac{p}{2}=1,所以抛物线的准线方程为x=-\frac{p}{2}=-1.
【题目】已知动点$P(x , y)$在椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$上，$F$为椭圆$C$的右焦点，若点$M$满足$|M F|=1$. 且$MP \perp M F$，则$|PM|$的最小值为?
【解析】由题意可知,动点M是在以F(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,且|PM|为圆的一条切线根据切线长定理,当|PF|最小时,切线长|PM|取得最小值易知当P在右顶点时,PF取得最小值,此时PF|=5-3=2由切线长定理可知|PM|=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}
【题目】已知抛物线$C$: $y^{2}=4 x$的焦点为$F$，直线$l$: $y=x-1$交抛物线于$A$、$B$两点，则$|A B|$等于?
【解析】由题意得F(1,0),所以直线l过焦点,因此由焦点弦公式得|AB|=\frac{2p}{\sin^{2}\theta}=\frac{4}{\sin^{2}45^{0}}=8
【题目】写出一个与双曲线$C$: $x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$的渐近线平行，且斜率为正数的直线方程为?
【解析】双曲线C的渐近线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=0,即y=\pm\sqrt{2}x所以所求直线方程可以为y=\sqrt{2}x+
【题目】已知$F$是椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的左焦点，$P$是椭圆上一点，$P F \perp x$轴，$O P / / A B$($O$为原点，$A$为右顶点，$B$为上顶点)，则该椭圆的离心率为?
【解析】令椭圆\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)半焦距为c,因PF\botx轴,则由\begin{cases}x=-c\\x^{2}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1\end{cases}得|y|=\frac{b^{2}}{a},即\begin{matrix}|PF|&b^{2},因OP//AB(O为原点,A为右顶点,B为上顶点,则\triangleOPF\sim\triangleABO,即有\frac{|PF|}{|OB|}=\frac{|OF|}{|OA|}因此,\frac{b^{2}}{b}=\frac{c}{a},整理得:b=c,则a=\sqrt{2}c,所以椭圆的离心率为e=\frac{\sqrt{2}}{2}
【题目】已知点$A(3,1)$，在抛物线$y^{2}=2 x$上找一点$P$，使得$|P F|+|P A|$取最小值（$F$为抛物线的焦点），此时点$P$的坐标是?
【解析】过点P作PQ\bot准线x=-\frac{1}{2},垂足为Q,则|PF|=|PQ|,过点A作AB\bot准线,垂足为B,则|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|\geqslant|AB|,当点P为AB与抛物线的交点时,即P,A,B三点共线时所求的和有最小值,此时P点的纵坐标为1,代入抛物线可得P点的横坐标为\frac{1}{2},所以P点坐标为(\frac{1}{2},1).
【题目】已知动点$M$到定点$(8,0)$的距离等于$M$到$(2,0)$的距离的$2$倍，那么点$M$的轨迹方程?
【解析】设M(x,y),因为M到定点(8,0)的距离等于M到(8,0)的距离的2倍所以\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}=2\times\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}化简可得x^{2}+y^{2}=16,
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3} x$，它的一个焦点在抛物线$y^{2}=24 x$的准线上，则双曲线的方程为?
【解析】
【题目】设椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的长轴两端点为$M$、$N$，点$P$在椭圆上，则$P M$与$P N$的斜率之积为?
【解析】
【题目】焦点在$y$轴上的双曲线的渐近线方程为$y=\pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$，则该双曲线的离心率为?
【解析】由题意可知双曲线的焦点在y轴上,渐近线方程为y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x',则a=\sqrt{5},b=2则可以得到c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5+4}=3,故双曲线的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}
【题目】已知$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1$上一点，$F_{1}$、$F_{2}$是双曲线的两个焦点，若$|P F_{1}|=17$，则$|P F_{2}|$的值为?
【解析】由双曲线方程\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1可知,a=8,b=6,则c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=10,因为P是双曲线上一点,所以|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=16,又|PF_{1}|=17,所以|PF_{2}|=1或|PF_{2}|=33.又|PF_{2}|\geqslantc-a=2,所以|PF_{2}|=33
【题目】双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0 , b>0)$的渐近线均与$x^{2}+y^{2}-4 x+1=0$相切，则该双曲线离心率等于?
【解析】圆x^{2}+y^{2}-4x+1=0可化为(x-2)^{2}+y^{2}=3,\therefore圆心坐标C(2,0),半径为\sqrt{3}\because双曲线\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{k^{2}}=1的渐近线方程为bx+ay=0,渐近线和圆x^{2}+y^{2}-4x+1=0相切,\therefore\frac{|2b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{3},\thereforeb^{2}=3a^{2},\thereforec^{2}=4a^{2},\therefore双曲线的离心率为e=2.
【题目】已知双曲线$C$:$\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{6}=1$，抛物线的顶点在原点，对称轴为$x$轴，焦点为双曲线的左焦点，则抛物线的标准方程是?
【解析】
【题目】若双曲线$E$的标准方程是$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$，则双曲线$E$的渐近线方程是?
【解析】
【题目】椭圆与双曲线有相同的焦点$F_{1}$、$F_{2}$、$P$是它们的一个交点，且$\angle F_{1}PF_{2}=\frac{\pi}{3}$，记椭圆和双曲线的离心率分别为$e_{1}$ , $e_{2}$ ,则$e_{1} e_{2}$的最小值为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1$的焦距是?
【解析】因为椭圆\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1,则c=\sqrt{6-4}=\sqrt{2}即2c=2\sqrt{2},即椭圆\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}=1的焦距是2\sqrt{2}
【题目】已知双曲线的渐近线方程为$2 x \pm 3 y=0$，且双曲线经过点$P(\sqrt{6}, 2)$，则双曲线的方程为?
【解析】由题知,双曲线的渐近线方程为y=\pm\frac{2}{3}x,可设双曲线方程为\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=\lambda(\lambda\neq0)因为双曲线过点P(\sqrt{6},2),所以\frac{6}{9}-\frac{4}{4}=\lambda,解得\lambda=-\frac{1}{3},故所求双曲线方程为\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{3}=1
【题目】若抛物线$C_{1}$: $y^{2}=4 x$与抛物线$C_{2}$: $x^{2}=2 p y(p>0)$异于原点$O$的交点$A$到抛物线$C_{1}$的焦点的距离为$3$，则抛物线$C_{2}$的方程为?
【解析】根据题意画出图像,由抛物线的定义,曲线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,设A(x,y),x=2,y=2\sqrt{2}.代入曲线C_{2},得到p=\frac{1}{\sqrt{2}}.故方程为x^{2}=\sqrt{2}y
【题目】已知$P$为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$上一点 ,$F_{1}$,$F_{2}$为椭圆的左右焦点，则$P F_{2}+P F_{1}$=?
【解析】
【题目】双曲线$2 x^{2}-y^{2}=m$的一个焦点是$(0, \sqrt{3})$，则$m$的值是?
【解析】
【题目】已知焦点为$F$的抛物线$y^{2}=4 x$上有一动点$P$，点$A(2,2)$，则$|P A|+|P F|$的最小值是?
【解析】作出准线l,过P,作PM\botl,垂足为M,利用|PF|=|PM|转化为可求得最小值.如图,设l是抛物线的准线,作PM\botl于M,则|PF|=|PM|,\therefore|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,由已知准线方程为x=-1,显然当A,P,M三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值2-(-1)=3
【题目】已知抛物线的焦点在直线$x-2 y-4=0$上，则该抛物线的标准方程为?
【解析】令x=0得y=-2;令y=0得x=4,所以抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时,\frac{p}{2}=4,所以p=8,此时抛物线的方程为y^{2}=16x;当焦点为(0,-2)时,\frac{p}{2}=2,所以p=4,此时抛物线的方程为x^{2}=-8y故所求抛物线的方程为y^{2}=16x或x^{2}=-8y
【题目】设直线$l$: $y=k x+1$与双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$相交于不同的两点$A$、$B$，则$k$的取值范围为?
【解析】联立\begin{cases}y=kx+1\\\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1\end{cases}消去y:(1-2k^{2})x^{2}-4kx-4=0,\triangle=16k^{2}+16(1-2k^{2})>0,得到-1<k<1,又直线y=kx+1不与渐近线y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}平行所以_{k\in(-1,-\frac{\sqrt{2}}{2})\cup}(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\frac{\sqrt{2}}{2},1)
【题目】已知$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$上的动点，$F_{1}$、$F_{2}$分别是其左、右焦点，$O$为坐标原点，则$\frac{|P F_{1}|+|P F_{2}|}{|P O|}$的取值范围是?
【解析】设P(x,y)不妨设x>0,则F_{1}(-4,0),F_{2}(4,0)\frac{,0),F_{2}(4,0)}{\frac{2+12(\frac{x^{2}-1)}{4}-1)}=2x+2\sqrt{x^{2}+y^{2}}因为y^{2}=3x^{2}-12,,所以\frac{|PF_{1}|+|PF_{2}|}{|PO|}=又因为双曲线中x^{2}同理当x<0,仍可推出\frac{|PF_{1}|+|PF_{2}|}{|OP|}=\frac{4}{\sqrt{4-\frac{12}{2}}}\in(2,4]所以\frac{|PF||+|PF_{2}|}{|OP|}的取值范围是(2,4],
【题目】设椭圆$C$: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点为$F$，过原点$O$的动直线$l$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，若$A F=1$，那么$B F$=?
【解析】根据题意,直线AB过原点,由椭圆的对称性可知,OA=OB,如图所示,已知OF=OF,所以四边形AFBF是平行四边形,则BF=AF',由椭圆的定义可知,AF+AF=2a=4,AF=1,所以BF=AF'=3.
【题目】已知直线$l$过点$M(2,0)$ , $N(3,1)$，且与抛物线$y^{2}=8 x$交于$A$、$B$两点，则$|A B|$=?
【解析】由题意知可得直线l的方程为y=x-2,代入抛物线的方程,得x^{2}-12x+4=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),根据一元二次方程的根与系数的关系得x_{1}+x_{2}=12,再由抛物线的定义可得答案.通由题意知,点M恰为抛物线的焦点,直线l的方程为y=x-2,代入抛物线的方程,得x^{2}-12x+4=0,设A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),则x_{1}+x_{2}=12,|AB|=x_{1}+x_{2}+4=16优由题意知点M恰为抛物线的焦点,直线l的斜率k=\frac{1-0}{3-2}=1,故其倾斜角\theta=\frac{\pi}{4},则|AB|=\frac{8}{\sin^{2}\frac{\pi}{4}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16.
【题目】已知双曲线方程为$x^{2}-2 y^{2}=1$，则它的右焦点坐标为?
【解析】
【题目】已知过点$T(-2,2)$作抛物线$C$: $y^{2}=2 p x$的两条切线，切点分别为$A$、$B$，直线$A B$经过抛物线$C$的焦点$F$，则$|T A|^{2}+|T B|^{2}$=?
【解析】设A(x_{1},y_{1}),在抛物线C:y^{2}=2px,过切点A与抛物线相切的直线的斜率为k.则以A(x_{1},y_{1})为切点的切线方程为y-y_{1}=k(x-x_{1})联立方程组,整理得y^{2}-\frac{2p}{k}y+\frac{2py}{k}-2px_{1}=0'则_{\triangle}=(-\frac{2p}{k})^{2}-4(\frac{2py_{1}}{k}-2px_{1})=0^{,}整理得4p^{2}-8kpy_{1}+4k^{2}y_{1}^{2}=0,所以(2p-2ky)^{2}=0,解得k=\frac{p}{y}.所以以A(x_{1},y_{1})为切点的切线方程为y-y_{1}=\frac{p}{y_{1}}(x-x_{1}),即y_{1}=p(x+x_{1})同理,设B(x_{2},y_{2}),在抛物线C:y^{2}=2px,过切点B与抛物线相切的直线yy_{2}=p(x+x_{2})又因为T(-2,2)在切线yy_{1}=p(x+x_{1})和yy_{2}=p(x+x_{2})所以2y_{2}=p(-2+x_{2}),2y_{1}=p(-2+x_{1}),所以直线AB的方程为2y=p(x-2),又直线AB过抛物线的焦点F,所以令y=0,可得x=2,即F(2,0)所以抛物线的方程为y^{2}=8x,直线AB的方程为y=2(x-2).联立方程组,整理得x^{2}-6x+4=0或y^{2}-4y-16=0,所以x_{1}+x_{2}=6,x_{1}x_{2}=4,y_{1}+y_{2}=4,y_{y_{2}}=-16,所以|TA|^{2}+|TB|^{2}=(x_{1}+2)^{2}+(y-2)^{2}+(x_{2}+2)^{2}+(y_{0}-2)^{2}=x^{2}+x^{2}+4(x_{1}+x_{2})+y^{2}+y^{2}-4(y_{1}+y_{2})+16=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}+4(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})^{2}-2y_{1}y_{2}-4(y_{1}+y_{2})+16=36-8+4\times6+16-2\times(-16)-4\times4+16=100
【题目】若双曲线$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{3}=1$的右焦点与抛物线$y^{2}=12 x$的焦点重合，则$m$=?
【解析】[解析]由双曲线与抛物线焦点重合,可得双曲线参数c=3,由a^{2}+b^{2}=c^{2}即可求m.由题意知:y^{2}=12x的焦点为(3,0),而双曲线\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{3}=1的右焦点与抛物线焦点重合\thereforem+3=9,即m=6,
【题目】抛物线$C$: $y^{2}=2 p x$的焦点$F$是圆$x^{2}+y^{2}-2 x=0$的圆心，$P$为抛物线$C$上在第一象限内的点，且$P F=3$，则$P$点的坐标为?
【解析】根据题意求出p,再利用抛物线的焦半径公式即可求解.由圆x^{2}+y^{2}-2x=0可得(x-1)^{2}+y^{2}=1,即圆心为(1,0)所以F(1,0),即\frac{p}{2}=1,解得p=2,抛物线C的标准方程为y^{2}=4x,设点P(x_{p},y_{p}),x_{p}>0,y_{p}>0由PF=3,所以x_{p}+\frac{p}{2}=3,解得x_{p}=2,代入抛物线方程可得y_{p}^{2}=8,解得y_{p}=2\sqrt{2}.所以P点的坐标为(2,2\sqrt{2}).
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$，过原点作一条倾斜角为$\frac{\pi}{6}$直线交椭圆于$P$、$Q$两点，以线段$P Q$为直径的圆过右焦点$F$，则椭圆离心率为?
【解析】由题意可得:直线PQ的方程为y=\tan\frac{\pi}{6}x=\frac{\sqrt{3}}{3}x'设P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})以线段PQ为直径的圆过右焦点F,则FP\botFQ,所以\overrightarrow{FP}\cdot\overrightarrow{FQ}=0,将y=\frac{\sqrt{3}}{3}x代入\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1得:(a^{2}+3b^{2})x^{2}-3a^{2}b^{2}=0则x_{1}+x_{2}=0,x_{1}x_{2}=\frac{-3a2b^{2}}{a^{2}+3b^{2}}所以\overrightarrow{FP}\cdot\overrightarrow{FQ}=(c-x_{1})(c-x_{2})+y_{1}y_{2}=c^{2}-c(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=c^{2}-c(x_{1}+x_{2})+\frac{4}{3}x_{1}x_{2}=c^{2}+\frac{4}{3}\times\frac{-3a2b^{2}}{a2+3b^{2}}=0,整理可得:(a^{2}+3b^{2})c^{2}-4a^{2}b^{2}=0,因为b^{2}=a^{2}-c^{2}所以[a^{2}+3(a^{2}-c^{2})]c^{2}-4a^{2}(a^{2}-c^{2})=0,即3c^{4}-8a^{2}c^{2}+4a^{4}=0,即(3c^{2}-2a^{2})(c^{2}-2a^{2})=0,解得\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{2}{3}或\frac{c^{2}}{a^{2}}=2所以_{e}=\frac{\sqrt{6}}{3}或e=\sqrt{2}(舍),
【题目】已知抛物线$y^{2}=4 x$与直线$y=2 x-4$交于$A$ , $B$两点，如果在该抛物线上存在点$C$，使得$\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\lambda \overrightarrow{O C}$($O$为坐标原点)，则实数$\lambda$=?
【解析】
【题目】已知椭圆$\Gamma$: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$，过平面内一点$P$作两条互相垂直的直线$l_{1}$ , $l_{2}$与$\Gamma$分别相交于$A$、$B$和$C$、$D$，若$\frac{1}{|A P| \cdot|B P|}+\frac{1}{|C P| \cdot|D P|}=\frac{41}{256}$，则$|O P|$的最小值为?
【解析】
【题目】抛物线$y=a x^{2}$的焦点恰好为双曲线$y^{2}-x^{2}=2$的上焦点，则$a$=?
【解析】将双曲线化成标准方程,可得它的焦点在y轴且a^{2}=b^{2}=2',得它的上焦点坐标为(0,2),抛物线y=ax^{2}化成标准方程,得它的焦点为F(0,\frac{1}{4a}),结合题意得\frac{1}{4a}=2,解方程即可求得实数a的值.羊解】双曲线y^{2}-x^{2}=2化成标准方程,得\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}=1\therefore双曲线的焦点在y轴,且a^{2}=b^{2}=2,\therefore双曲线的半焦距c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2,得上焦点坐标为(0,2),\because抛物线y=ax2即x^{2}=\frac{1}{a}y,得它的焦点为F(0,\frac{1}{4a}),且F为双曲线的一个焦点,\therefore\frac{1}{4a}=2,解得a=\frac{1}{8}
【题目】已知椭圆$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$与双曲线$\frac{x^{2}}{a}-\frac{y^{2}}{7}=1$焦点重合，则该双曲线的离心率为?
【解析】设椭圆的半焦距为c,则c=\sqrt{25-9}=4,又a+7=16,a=9,故该双曲线的离心率为\frac{4}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}
【题目】短轴长为$2 \sqrt{5}$，离心率$e=\frac{2}{3}$的椭圆的两焦点为$F_{1}$、$F_{2}$，过$F_{1}$作直线交椭圆于$A$、$B$两点，则$\triangle A B F_{2}$周长为?
【解析】因为短轴长为2\sqrt{5},离心率e=\frac{2}{3},所以b=\sqrt{5},e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3},又a^{2}=b^{2}+c^{2},解得a=3,所以\triangleABF_{2}周长为l=AB+AF_{1}+BF_{1}=4a=12,
【题目】已知曲线$C$: $y^{2}=4 x$，焦点是$F$、$P$是抛物线上任意一点，则点$P$到焦点$F$和到点$A(2,1)$的距离之和的最小值是?
【解析】
【题目】已知双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{m^{2}}=1(m>0)$的一条渐近线方程为$x+\sqrt{3} y=0$, 则$m$=?
【解析】x^{2}-\frac{y^{2}}{m^{2}}=1渐近线方程为x^{2}-\frac{y^{2}}{m^{2}}=0,所以\frac{1}{m^{2}}=(\sqrt{3})^{2}\becausem>0\thereforem=\frac{\sqrt{3}}{3}.
【题目】椭圆$2 x^{2}+y^{2}=1$的焦距为?
【解析】2x^{2}+y^{2}=1可化为\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1,设焦距为2c,则c=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},则焦距2c=\sqrt{2}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{8}-y^{2}=1$的右焦点为$F$，渐近线为$l_{1}$, $l_{2}$，过点$F$的直线$l$与$l_{1}$, $l_{2}$的交点分别为$A$、$B$. 若$A B \perp l_{2}$，则$|A B|$=?
【解析】因为双曲线方程为\frac{x^{2}}{8}-y^{2}=1又其渐近线方程l_{1},l_{2}为y=-\frac{\sqrt{2}}{4}x,y=\frac{\sqrt{2}}{4}x又直线AB\botl_{2},故可得直线AB的斜率为-2\sqrt{2}又其右焦点F坐标为(3,0).故直线AB的方程为:y=-2\sqrt{2}(x-3),由_{y}=-\frac{\sqrt{2}}{4}x,y=-2\sqrt{2}(x-3)^{2}联立得A(\frac{24}{7},-\frac{6\sqrt{2}}{7})由_{y}=\frac{\sqrt{2}}{4}x,y=-\therefore|AB|=\sqrt{(\frac{24}{7}-\frac{8}{3}}\frac{x-3)}{6\sqrt{2}}-\frac{c\sqrt{2}}{3})^{\frac{8}{3},\frac{2\sqrt{2}}{3}}
【题目】椭圆$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$与双曲线$\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{a}=1$有相同的焦点，则$a$=?
【解析】椭圆\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1与双曲线\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{a}=1有相同的焦点,所以:\begin{cases}a^{2}>4\\a^{2}-4=2+a\end{cases},解得a=3.
【题目】若点$P$与点$F(4,0)$的距离比它到直线$l$: $x+3=0$的距离大$1$，则点$P$的轨迹
方程为?
【解析】
【题目】椭圆$\frac{y^{2}}{3}+x^{2}=1$的离心率为?
【解析】求出a、b、c的值,进而可求得椭圆\frac{y^{2}}{3}+x^{2}=1的离心率的值在椭圆\frac{y^{2}}{3}+x^{2}=1中,a=\sqrt{3},b=1,c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{2}所以,椭圆\frac{y^{2}}{3}+x^{2}=1的离心率为e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}
【题目】已知双曲线$C$: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$O$为坐标原点，点$M$为双曲线右支上一点，若$|F_{1} F_{2}|=2|O M|$ , $\tan \angle M F_{2} F_{1} \geq 2$,则双曲线$C$的离心率的取值范围为?
【解析】法一根据直角三角形的性质和勾股定理得\angleF_{1}MF_{2}=\frac{\pi}{2},4c^{2}=|MF_{1}|^{2}+|MF_{2}|^{2}\tan\angleMF_{2}F_{1}=\frac{|MF_{1}|}{|MF_{2}|},又由双曲线的定义得|MF_{1}|-|MF_{2}|=2a,将离心率表示成关于|MF_{1}|,|MF_{2}|的式子,再令\frac{|MF|}{|MF_{2}|}=t\geqslant2,则e^{2}=1+\frac{2}{t+\frac{1}{1}-2},令f(t)=t+\frac{1}{t},对函数求导研究函数在[2,+\infty)上单调性,可求得离心率的范围.法二:令|MF_{1}|=r_{1},|MF_{2}|=r_{2},\angleMF_{2}F_{1}=\theta,\tan\theta\geqslant2,r_{1}=2c\sin\theta,根据直角三角形的性质和勾股定理得\angleF_{1}MF_{2}=\frac{\pi}{2},将离心率表示成关于角\theta的三角函数,根据三角函数的恒等变化转化为关于\tan\theta的函数,可求得离心率的范围羊解】法一:\because|F_{1}F_{2}|=2|OM|,\therefore\angleF_{1}MF_{2}=\frac{\pi}{2},\therefore4c^{2}=|MF_{1}|^{2}+|MF_{2}|^{2}\tan\angleMF_{2}F_{1}=\frac{|MF_{1}|}{|MF_{2}|},\because|MF_{1}|-|MF_{2}|=2a,\thereforee^{2}=\frac{4c^{2}}{4a^{2}}=\frac{|MF_{1}^{2}+|MF_{2}|^{2}}{(|MF_{1}|-|MF_{2}|)^{2}}2_{1}-1AF_{1}2设\frac{|MF_{1}|}{|MF_{2}|}=t\geqslant2,则e^{2}=\frac{t^{2}+}{t^{2}-2}令f(t)=t+\frac{1}{t},f'(t)=1--\frac{1}{t^{2}}=\frac{t^{2}-1}{t^{2}}\frac{1}{t^{2}},所以t>2时,f'(t)>0,f(t)在[2,+\infty)上单调递增,\thereforet+\frac{1}{t}\geqslant2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2},\therefore1<e^{2}\leqslant5,\therefore1<e\leqslant\sqrt{5}.法二:\because|F_{1}F_{2}|=2|OM|,\therefore\angleF_{1}MF_{2}=\frac{\pi}{2},令|MF_{1}|=r_{1},|MF_{2}|=r_{2},\angleMF_{2}F_{1}=\theta.\tan\theta\geqslant2,r_{1}=2c\sin\theta,r_{2}=2c\cos\theta,\therefore2a=r_{1}-1=2c(\sin\theta---\frac{\sin\theta-\cos\theta}{\tan^{2}\theta+1-2\tan\theta}=1+\frac{2}{\tan\theta+\underline{1}-2}\leqslant5\therefore1<e\leqslant\sqrt{5}.
【题目】若抛物线$x^{2}=8 y$上的点$P$到焦点的距离为$12$，则$P$到$x$轴的距离是?
【解析】因为抛物线x^{2}=8y所以焦点坐标为(0,2),准线方程为y=-2因为点P到焦点的距离为12,根据抛物线定义,则P到准线的距离也为12所以点P到x轴的距离为10
【题目】已知双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$的左右焦点分别为$F_{1}$、$F_{2}$、$P$为双曲线右支上一点，点$Q$的坐标为$(-2,3)$，则$|P Q|+|P F_{1}|$的最小值为?
【解析】