$⟨2,1+\sqrt{-5}⟩$不是主理想

hbghlyj

定义$ℤ[\sqrt{-5}]=\{m+n\sqrt{-5}\mid m,n∈ℤ\}$
$a_i∈ℤ[\sqrt{-5}]$生成的理想 定义为$⟨\cdots,a_i,\cdots⟩=\set{\cdots+r_ia_i+\cdots\mid r_i∈ℤ[\sqrt{-5}]}$
求证: 不存在$a∈ℤ[\sqrt{-5}],⟨a⟩=⟨2,1+\sqrt{-5}⟩$

hbghlyj

假设存在$a$, 则$N(a)$ 整除 $N(2)=4$ 和 $N(1+\sqrt{−5})=6$, 则整除$\gcd(4,6)=2$. 没有范数为2的元素, 故$N(a)=1$, 故$⟨a⟩$是整个$\Bbb Z[\sqrt{-5}]$.
于是只需证明$⟨2,1+\sqrt{-5}⟩$不是整个$\Bbb Z[\sqrt{-5}]$.
如何构造$\Bbb Z[\sqrt{-5}]$的元素, 使其不属于$⟨2,1+\sqrt{-5}⟩$ ?

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-2-7 19:12
如何构造$\Bbb Z[\sqrt{-5}]$的元素, 使其不属于$⟨2,1+\sqrt{-5}⟩$ ?

见这个回答:
It should be noted that $\sqrt{-5} \not\in \langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$. In fact, this ideal does not contain any numbers with odd norm, which means no purely real odd integers. There is no combination of $r, s \in \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ that will give you $2r + s + s \sqrt{-5} = 3$, for example, because $N(2r + s + s \sqrt{-5})$ must be even. This confirms that $\langle 2, 1 + \sqrt{-5} \rangle$ is not the whole ring.
问题: 红色字, 为什么$N(2r + s + s \sqrt{-5})$为偶数, 对于所有$r,s\in\Bbb Z[\sqrt{-5}]$ ?
令$r=a_1+b_1\sqrt{-5},s=a_2+b_2\sqrt{-5}$,  有
$$N(2r + s + s \sqrt{-5})=(2a_1+a_2-5b_2)^2+5(2b_1+b_2+a_2)^2\equiv(a_2+b_2)^2+(b_2+a_2)^2\equiv0\pmod2$$

Czhang271828

注意到代数同构 $\varphi:\mathbb Z[\sqrt{-5}]\cong \mathbb Z[X]/\langle X^2+5\rangle $. 从而有商同态\[\tilde \varphi:\mathbb Z[\sqrt {-5}]/\langle2,1+\sqrt{-5}\rangle\cong \mathbb Z[X]/\langle X^2+5,2,1+X\rangle=\mathbb Z/2\mathbb Z.\] 由于 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 为域, 故 $\langle 1+\sqrt {-5},2\rangle$ 为极大理想.

为证明 $\langle 1+\sqrt {-5},2\rangle$ 不是 $\mathbb Z[\sqrt {-5}]$ 中的主理想, 只需证明\[\langle X^2+5,1+X,2\rangle=\langle X+1,2\rangle\]不是 $\mathbb Z[X]$ 中主理想. 这是显然的.

商群 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 表明 $\langle 1+\sqrt {-5},2\rangle$ 与 $1+\langle 1+\sqrt {-5},2\rangle$ 无交并为 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$. 我们据此得出理想外的所元素.

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2023-2-7 19:12
如何构造$\Bbb Z[\sqrt{-5}]$的元素, 使其不属于$⟨2,1+\sqrt{-5}⟩$ ?

假设$1∈⟨2⟩+⟨1+\sqrt{-5}⟩$,则$∃a_1,b_1,a_2,b_2∈ℤ:1=(a_1+b_1\sqrt{-5})2+(a_2+b_2\sqrt{-5})$,我们计算
\begin{align*}1=N(2r+s+s\sqrt{-5})&=(2a_1+a_2-5b_2)^2+5(2b_1+b_2+a_2)^2\\&≡(a_2+b_2)^2+(b_2+a_2)^2\\&≡0\pmod2\end{align*}矛盾!

hbghlyj

Czhang271828 发表于 2023-2-8 06:22
$\mathbb Z[X]/\langle X^2+5,2,1+X\rangle=\mathbb Z/2\mathbb Z.$

这是为什么啊