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hbghlyj
Posted at 2024-12-27 12:48:04
前一句说$f(a,y)$在$y=b$单根，后一句说$k[y] /(f(a, y))$ 在 $(y-b)$ 处的局部化为 $k$。
例子：$x^2-x$在$x=0$单根，我们来证明$k[x]/(x^2-x)$在$(x)$处的局部化为 $k$.
根据定义，如果在$k[x]/(x^2-x)$中$c(mb - na) = 0,c\notin(x)$，则在$(x)$处的局部化中 $\frac{m}{a} = \frac{n}{b}$.
取 $c=x-1$，有$c(x\cdot 1-0\cdot 1)=(x-1)x=0$，所以 $\frac{x}{1}=\frac{0}{1}$，
一般地，$\frac{a + bx}{c + dx} = \frac{a}{c}$，因此$k[x]/(x^2-x)$在$(x)$处的局部化为$k$.
一般地，设$f\in k[x]$在$x=0$单根，我们来证明$k[x]/(f)$在$(x)$处的局部化为 $k$.
因为$f$在$x=0$单根，可以设 $f=x\cdot g$，$g\notin(x)$.
根据定义，如果在$k[x]/(f)$中 $c(mb - na) = 0,c\notin(x)$，则在$(x)$处的局部化中 $\frac{m}{a} = \frac{n}{b}$.
取 $c=g$，有$c(x\cdot 1-0\cdot 1)=g\cdot x=0$，所以 $\frac{x}{1}=\frac{0}{1}$，
一般地，$\frac{a + bx+\dots}{c + dx+\dots} = \frac{a}{c}$，因此$k[x]/(f)$在$(x)$处的局部化为$k$. |
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