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在$L^2[-1,1]$中通过Gram-Schmidt正交化$\{1,x,x^2,\dots\}$得到的多项式基为Legendre多项式legendre.pdf
MSE One definition of Legendre polynomials is through their OGF\[\frac{1}{\sqrt{1-2t\cos\theta+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(\cos\theta) t^n\]
[缩写“OGF”代表Ordinary Generating Function”，意思是“普通生成函数”。]
下面使用简单的线性代数概念（矩阵的特征值和特征向量）获得Legendre多项式。得到Legendre微分算子对应的矩阵后，求出该矩阵的特征值，其特征向量的元素对应Legendre多项式的系数。
我们把一个多项式$a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\cdots a_{n} x^{n}$表示为向量$\left[\begin{array}{c}a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right]$
它的导数、二阶导数
\begin{align*}\frac{d}{d x}\left[a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\cdots a_{n} x^{n}\right]&= a_{1}+2 a_{2} x+3 a_{3} x^{2}+\cdots n a_{n} x^{n-1}\\
\frac{d^2}{d x^2}\left[a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\cdots a_{n} x^{n}\right]&=2 a_{2}+6 a_{3} x+\cdots n(n-1) a_{n} x^{n-2}\end{align*}
表示为向量\begin{array}c\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & . . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & . . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & . . & 0 & 0 \\ . . & . . & . . & . . & . . & . . & . . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ . . \\ a_{n-1} \\ a_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1} \\ 2 a_{2} \\ 3 a_{3} \\ . . \\ n a_{n} \\ 0\end{bmatrix}\\\begin{bmatrix}0 & 0 & 2 & 0 & .. & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & . . & 0 & 0 \\ . . & .. & . . & . . & .. & . . & . . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & n(n-1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ . . \\ a_{n-1} \\ a_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 a_{1} \\ 6 a_{3} \\ 12 a_{4} \\ . . \\ n(n-1) \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\end{array}所以$\frac{d}{d x}$、$\frac{d^2}{d x^2}$可以表示为矩阵$$\frac{d}{d x} \rightarrow\left[\begin{array}{ccccccc}0 & 1 & 0 & 0 & . . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & . . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & . . & 0 & 0 \\ . . & . . & . . & . . & . . & . . & . . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & 0\end{array}\right]\qquad\frac{d^{2}}{d x^{2}} \rightarrow\left[\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & 2 & 0 & . . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & . . & 0 & 0 \\ . . & . . & . . & . . & . . & . . & . . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & n(n-1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 & 0\end{array}\right]$$所以Legendre differential operator $\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}}-2 x \frac{d}{d x}$表示为矩阵$$\left(1-x^{2}\right) \frac{d^{2}}{d x^{2}}-2 x \frac{d}{d x} \rightarrow\left[\begin{array}{cccccccc}0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 6 & 0 & 0 & . . & 0 \\ 0 & 0 & -6 & 0 & 12 & 0 & . . & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -12 & 0 & 20 & . . & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -20 & 0 & . . & 0 \\ . . & . . & . . & . . & . . & . . & . . & . . \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & . . & n(n-1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & . . & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & . . & -n(n-1)-2 n\end{array}\right]$$由于矩阵 $M$ 的特征值是满足方程 $\det(M- λI) = 0$ 的 $λ$ 的值，矩阵是三角矩阵，所以该矩阵的特征值是对角线的元素，即$0,-2,-6,-12,\dots,-n(n+1)$.
代入特征值$0$，特征向量$[1,0,0,0]^T$，对应$P_0(x) = 1$
代入特征值$-2$，特征向量$[0,1,0,0]^T$，对应$P_1(x) = x$
代入特征值$-6$，特征向量$[1,0,-3,0]^T$，对应$P_2(x) = (3x^2-1)/2$
代入特征值$-12$，特征向量$[0,3,0,-5]^T$，对应$P_3(x) = (5x^3 -3x)/ 2$ |
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