在$\barℚ$上分解多项式

hbghlyj

Wikipedia写道：
所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作$ {\mathcal {A}} $或$ {\overline {\mathbb {Q} }} $，是复数域$ \mathbb {C}  $的子域。

这帖说在$ℝ$上分解多项式，其实更好的说法是在代数数域$\barℚ$上分解多项式。
例如$x^2-2y^2$在$\barℚ$上分解为$(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$.
在SageMath中有Field of Algebraic Numbers的实现。在$\barℚ$上分解二元多项式：

1. P.<x,y> = QQbar[]
2. P(x^2-2*y^2).factor()

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输出是(x + (-1.414213562373095?)*y) * (x + 1.414213562373095?*y)
如何让SageMath输出精确值呢？我想让1.414213562373095变为$\sqrt2$

hbghlyj

Automatic分解不了

1. Factor[x^4 + x^2 - 1, Extension -> Automatic]

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原样输出了 -1 + x^2 + x^4

必须人工指定Extension

1. Factor[x^4 + x^2 - 1, Extension -> GoldenRatio]

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$$\left(x^2+\frac{1}{2} (2-2 \phi )\right) \left(x^2+\phi \right)$$

hbghlyj

GeoGebra（仅限于二次数域）
wiki.geogebra.org/en/IFactor_Command
wiki.geogebra.org/en/CIFactor_Command