圆内AC、BD弦交于F点。 A、B的切线交于E点。AD和BC交于P点。证明EPF三点共线。

TSC999

如图，AC、BD 是圆内两条不平行的弦，它们延长后交于 F 点。从 A、B 作圆的切线交于 E 点。
AD、BC 交于 P 点。证明 E、P、F 三点共线

hbghlyj

math.stackexchange.com/questions/1198466/show … t-using-cross-ratios
zhuanlan.zhihu.com/p/333616137

kuing

`A_1`, `A_2`, `A_3`, `A_4`, `A_5`, `A_6` 是圆锥曲线上任意六点，
直线 `A_1A_2` 与 `A_4A_5` 交于 `X`，
直线 `A_2A_3` 与 `A_5A_6` 交于 `Y`，
直线 `A_3A_4` 与 `A_6A_1` 交于 `Z`，
则 `X`, `Y`, `Z` 共线。

此乃帕斯卡定理。



当六点按上图那样排列，并让 `A_2A_3` 重合、`A_5A_6` 重合时，割线退化为切线，就是 1# 的题目。

lxz2336831534

因为EA,EB是切线所以AE⊼AB⊼BE
又因为ABCD共二次曲线，则有(AC，AD，AB)⊼(BC，BD，BA)
所以(AE,AB,AD,AF)⊼(BE,BA,BC,BF)
又因为AB和BA射影自对应，所以(AE,AB,AD,AF)和(BE,BA,BC,BF)成透视对应
所以这两个线束交点必在透视轴上。
故点P在透视轴EF上。

hbghlyj

kuing 发表于 2025-4-9 03:37
此乃帕斯卡定理。

香蕉空间

圆锥曲线 $\Gamma$ 上有六个点 $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3$. 分别以 $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ 记直线 $A_2B_3,A_3B_1,A_1B_2$, 以 $m_1,m_2,m_3$ 记直线 $A_3B_2,A_1B_3,A_2B_1$, 再以 $X_1,X_2,X_3$ 记交点 $\ell_1m_1,\ell_2m_2,\ell_3m_3$. 则 $X_1,X_2,X_3$ 共线.

证明(用坐标几何)

在坐标平面考虑问题, 并以曲线的字母表示定义它的多项式. 具体地说, 以 $\Gamma$ 表示二次多项式, 使得方程 $\Gamma=0$ 定义圆锥曲线 $\Gamma$, 六条直线类同. 把两组三条直线的定义多项式乘起来, 得到两个三次多项式 $\ell_1\ell_2\ell_3$ 与 $m_1m_2m_3$.
由于这两组三条直线不同, 这两个三次多项式线性无关. 由条件, 它们都在 $A_1,A_2,A_3$, $B_1,B_2,B_3$, $X_1,X_2,X_3$ 为零.
任取点 $C\in\Gamma$ 异于 $A_1,A_2,A_3$, $B_1,B_2,B_3$, 然后适当取不全为零的系数 $\lambda,\mu$ 使得 $\lambda\ell_1\ell_2\ell_3+\mu m_1m_2m_3$ 在 $C$ 处为零.
现在3次多项式 $\lambda\ell_1\ell_2\ell_3+\mu m_1m_2m_3$ 与2次多项式 $\Gamma$ 有至少7个公共零点: $A_1,A_2,A_3,B_1,B_2,B_3,C$. 由于 $7>3\times2$, 这说明它们有公因子.
由于 $\Gamma$ 是圆锥曲线, 并非两条直线, 为不可约, 所以只可能是它整除 $\lambda\ell_1\ell_2\ell_3+\mu m_1m_2m_3$.
于是设$$\lambda\ell_1\ell_2\ell_3+\mu m_1m_2m_3=f\Gamma,$$则 $f$ 为一次多项式, 零点集为直线. 上式左边在 $X_1,X_2,X_3$ 为零, 而由于圆锥曲线和直线只能交两个点, $\Gamma$ 在这三点不为零, 所以只有 $f$ 在这三个点为零, 即 $X_1,X_2,X_3$ 共线.

注1.
    这里用到 $\Gamma$ 不可约. 当 $\Gamma$ 是两条相异直线相乘时, 在上述证明中取 $C$ 为两线交点, 不难得到同样的结论. 这就是 Pappus 定理.

注2.
    由此可见 Pascal 定理在任何域的射影平面上都成立.

TSC999

帕斯卡定理通常是这样表述的 —— 圆锥曲线的内接六边形三组对边延长线的交点共线。
如下图中的 B1B2B3 共线，这条线叫做帕斯卡线。此外，图中的 EPF 三个交点也共线，EPF 这条线是不是也叫帕斯卡线呢？

hbghlyj

TSC999 发表于 2025-4-13 01:21
EPF 这条线是不是也叫帕斯卡线呢？

六边形$A_1A_2A_3A_6A_4A_5$的三组对边延长线的交点为$E,P,F$

kuing

TSC999 发表于 2025-4-13 08:21
帕斯卡定理通常是这样表述的 —— 圆锥曲线的内接六边形三组对边延长线的交点共线。
如下图中的 B1B2B3 共 ...

六边形的六顶点在曲线上不一定非要顺次排列，可以任意交错。
所以我 3# 干脆不提六边形，直接说任意六点，意在表达点列顺序的任意性。
5# 也是。

hbghlyj

直线PQR称为圆内接六边形$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$的一条巴斯加线。上面我们是考虑圆上六个点依次相连而得的内接六边形。我们也可以考虑不依次相连而得的六边形,这样的六边形一共有6! /12=60个。每个这样的六边形都相应有一条巴斯加线,所以共有60条巴斯加线。这60条巴斯加线,依某一种组合,三三交于一点,称为史坦纳(Steiner)点,这样的点有60/3=20个.又依另种组合，也三三交于一点，称为凯克门(Kirkmann)点,这样的点有60个。而每一个史坦纳点又和其他三个凯克门点在一条直线,这样的直线叫凯莱-萨蒙(Cayley-Salmon)线,有20条，这20条依某种组合,又四四交于一点,共有15个这样的点。同样20个史坦纳点依某种组合,又四四在一直线上,叫普吕克(Plucker)线,有15条,每一个Steiner点通过3条普吕克线,每条普吕克线有4个史坦纳点……
更多见Hexagrammum Mysticum(六角迷魂图)的深度探索

关于帕斯卡定理，H.S.M.Coxeter的书《Introduction to Geometry》中有一个证法，用直纹二次曲面，非常简单。
Chasles定理是Pascal和Pappus定理的拓广，欧拉给克莱姆的一封信中曾提到此结果。
设曲线C_1,C_2的次数为d_1,d_2, 有d_1 * d_2个公共点, 若次数为(d_1 + d_2 - 3)的曲线过其中(d_1 * d_2 - 1)个公共点,那么它也过余下的一个公共点。
两条三次曲线有九个交点。 如果第三条三次曲线经过前两条三次曲线的8个交点， 那么它也必定通过第九个交点。 这就是著名的凯莱-巴拉赫性质（Cayley–Bacharach theorem）。事实上，这条定理被Chasles先证出，又被Cayley，Bacharach推广到高次形式，因此又称为Chasles定理。上述性质可以推演出许多射影几何中有关三点共线（或三线共点）的定理， 如帕斯卡定理、帕普斯定理等等，均可简易证出。特别的，过一个3x3“笼子”（Cages ）中八个点的三次曲线，也过第九个点。（这个定理也被形象的称为三次曲线的“笼子”定理（Cage Theorem for Cubics）。值得一提的是，这个定理与Gorenstein Ring（戈伦斯坦环）有紧密联系。因此虽然一般九点确定可以确定一条三次曲线，但如果九点处于一种特殊的位置，则确定不了一条三次曲线。有关Pappus定理和Pascal定理的证明，可参考： CAYLEY-BACHARACH THEOREMS AND CONJECTURES，D. Eisenbud, M. Green and J. Harris有关Cayley-Bacharach定理的推广及其他，可参考： CURVES IN CAGES: AN ALGEBRO-GEOMETRIC ZOO，Gabriel Katz