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牛顿定理证明集锦
一道几何难题的证明-TelvCohl
引理 2.2 给定四边形 $A B C D$ 与其一内切圆锥曲线 $\mathcal{C}$ ．设 $A B$ 与 $C D$ 交于点 $E, B C$ 与 $D A$ 交于点 $F$ ．则 $\mathcal{C}$ 的中心 $O$ 在完全四边形 $A B C F D E$ 的牛顿线（经过 $A C, B D, E F$ 中点的直线）上．
证明 设 $\mathcal{C}$ 分别与 $A B, D A, B C$ 切于点 $X, Y, Z$ 并且 $M, N$ 分别为 $X Z, X Y$的中点．设 $R, S$ 分别为 $E F$ 与 $A C, B D$ 的交点．$K$ 为满足 $K A \px X Y, K B \px X Z$的点且 $T$ 为 $A B$ 上使得 $K T \px E F$ 的点．因为 $O$ 关于 $\mathcal{C}$ 的极线为无穷远直线，所以 $B O$ 关于 $\mathcal{C}$ 的极点为 $X Z$ 上的无穷远点．故 $B O$ 经过 $X Z$ 的中点 $M$ ．同理可得 $A, N, O$ 共线．
由 $A(B, D ; S, C)=-1=C(B, D ; S, A)$ 可得 $S$ 为 $A C$ 关于 $\mathcal{C}$ 的极点，所以 $S$ 在 $A$ 关于 $\mathcal{C}$ 的极线 $X Y$ 上．同理可得 $R \in X Z$．
由 $A(X, Y ; N, K)=-1=B(X, Z ; M, K)$ 得 $F, K, O$ 共线．又 $\triangle B K T \sim\triangle X R E, \triangle A K T \sim \triangle X S E$，故
\[
\frac{T A}{T B}=\frac{T A}{T K} \cdot \frac{T K}{T B}=\frac{E X}{E S} \cdot \frac{E R}{E X}=\frac{E R}{E S} .
\]
所以当 $\mathcal{C}$ 变动时，$T$ 是 $A B$ 上一定点且 $K$ 在一定直线上变动，结合 $T(K, O ; B, F)=B(K, O ; X, Z)=-1$ 可得 $O$ 在一过 $T$ 的定直线 $\ell$ 上．由 $E F \px T K$ 可得 $\ell$ 经过 $E F$ 的中点．同理 $\ell$ 也经过 $A C$ 与 $B D$ 的中点，所以 $\ell$ 即为完全四边形 $A B C F D E$ 的牛顿线． |
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