单叶双曲面反演变换

hbghlyj

球面反演 $\Bbb R^3\setminus\lbrace 0\rbrace\longrightarrow \Bbb R^3\setminus\lbrace 0\rbrace$ 定义为 $rv\longmapsto r^{-1}v$，它将不含原点的线变为通过原点的圆。单叶双曲面是一个直纹曲面，由一族不穿过原点的直线构成。球面反演将每一条这样的直线都变换成一个经过原点的圆。因此，单叶双曲面在球面反演下的像是由这些通过原点的圆所构成的。

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单叶双曲面是一个重要的例子，用来说明一个直纹曲面未必是可展曲面。直纹曲面 (ruled surface) 是指曲面上的每一点都有一条直线（称为“母线”）通过该点且完全位于曲面之上。而可展曲面 (developable surface) 是一种高斯曲率处处为零的光滑曲面。一个更宽泛的定义允许一个直纹曲面包含平坦区域。所有可展曲面都必须是直纹曲面（在允许包含平面区域的广义定义下），这可以通过分析曲面的第二基本形式来证明：如果第二基本形式在某点 $p$ 不为零，可以证明曲面局部地位于其切平面的一侧，且相交于一条直线段；如果第二基本形式为零，则该点要么位于一个平面区域的内部，要么是一系列直线段的极限。因此，一个高斯曲率为零的曲面必然是由直线段和平坦区域构成的。