复平面单位圆内接三角形等边的充要条件

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在复平面中，一个内接于单位圆的 $\triangle ABC$ 顶点分别为 $a,b,c$．证明：$\triangle ABC$ 是等边三角形当且仅当
$$
\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = 0
$$
且$(a+b)(b+c)(c+a) \ne 0$.

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若 $D,E,F$ 分别为边 $BC,CA,AB$ 的中点，则 $D,E,F$ 在关于单位圆的反演下的像 $D',E',F'$ 分别为
$$
\frac{2}{\bar{b} + \bar{c}}, \quad \frac{2}{\bar{c} + \bar{a}}, \quad \frac{2}{\bar{a} + \bar{b}}
$$
注意，原点 $O$ 是 $\triangle D'E'F'$ 的内心。方程表明 $D'E'F'$ 的重心与其内心重合。这种情况仅当 $D'E'F'$ 是等边三角形时发生，从而 $\triangle ABC$ 也是等边三角形。

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$a,b,c\inC,|a|=|b|=|c|=1,ab+ac+bc\ne0$，求 $r(a,b,c)= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{ab + ac + bc}$ 的值域
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