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$I=(x^2 , xy, y^2) \in \mathbb{C}[x, y]$ 能否用少于 3 个元素来生成这个理想？
试用下面的标准技巧：在 $\mathfrak m=(x,y)$ 处局部化，并利用 Nakayama 引理，理想 $I$ 的最小生成元个数等于 $\dim_{\mathbb{C}}(I/\mathfrak m I)$。
这里 $I=(x,y)^2$，所以需要计算 $\dim_{\mathbb{C}}\bigl(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3\bigr)$。
问：在 $(x,y)$ 中，总次数为 2 的不同单项式有多少个？3。这三个正好是次数为2的单项式，因此
$$
\dim_{\mathbb C}(\mathfrak m^2/\mathfrak m^3)=3\quad\text{对于 }\mathfrak m=(x,y).
$$
根据Nakayama引理，在局部环$\mathbb C[x,y]_{(x,y)}$中，$\mathfrak m^2$至少需要3个生成元。如果$(x^2,xy,y^2)$在$\mathbb C[x,y]$中可以由少于3个元素生成，那么在局部化到$(x,y)$后，它仍然可以由$\le 2$个元素生成——矛盾。所以不行：它不能由少于3个元素生成。 |
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