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楼主 |
kuing
发表于 2014-6-12 17:44
回复 19# kuing
续17、重庆理数10
前面我们已经知道条件 $\sin2A+\sin(A-B+C)=\sin(C-A-B)+1/2$ 等价于 $abc=R^3$，现在，我们设 $a=y+z$, $b=z+x$, $c=x+y$, $x$, $y$, $z>0$，那么由海伦公式有
\[R=\frac{abc}{4S}=\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4\sqrt{xyz(x+y+z)}},\]
于是
\begin{align*}
abc=R^3 &\iff (x+y)(y+z)(z+x)=\left(\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{4\sqrt{xyz(x+y+z)}}\right)^3\\
&\iff 2^{12}x^3y^3z^3(x+y+z)^3=(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4,
\end{align*}
设 $p=y/(y+z)$, $q=z/(y+z)$, $k=x/(y+z)$，则 $p$, $q$, $k>0$, $p+q=1$，代入上式化简，等价于
\[2^{12}k^3p^3q^3(k+1)^3=(k+p)^4(k+q)^4,\]
由均值不等式，有
\begin{align*}
2^{12}k^3p^3q^3(k+1)^3&=(k^2+k+pq)^4\\
&=3^{-4}\bigl(3(k^2+k)+pq+pq+pq\bigr)^4\\
&\geqslant 3^{-4}\cdot4^4\cdot3(k^2+k)p^3q^3\\
&=3^{-3}2^8(k+1)kp^3q^3,
\end{align*}
得到
\[k(k+1)\geqslant 3^{-3/2}2^{-2},\]
即
\[k^2+k-\frac{\sqrt3}{36}\geqslant 0,\]
解得
\[k\geqslant \frac{-3+\sqrt{9+\sqrt3}}6,\]
于是
\[\frac{b+c}a=\frac{z+x+x+y}{y+z}=1+2k\geqslant\frac{\sqrt{9+\sqrt3}}3
(\approx 1.09199),\]
这样，我们就得到
\[bc(b+c)\geqslant \frac{\sqrt{9+\sqrt3}}3abc,\]
再根据前面得到的 $abc\geqslant 8$，所以
\[bc(b+c)\geqslant \frac{8\sqrt{9+\sqrt3}}3(\approx 8.73595).\]
帮我检查下看有没有错
取等条件晚点待续。 |
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楼主: kuing
clown1101
发表于 2014-6-11 13:26
可能还是最小值，晚点写写
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