kuing 又黎 playing 2014 高考数学（16#第3问解错）

kuing

回复 100# isee

isee

回复 101# kuing


    原做法，和差化积也用得好啊，熟能生巧，包括那个7楼，用得极少的正切半角公式，也用得好。


PS：是不是有点后知了，主要现在才做题，哈哈，被动的，要讲……

isee

E01在54楼

E03 江西 理数11 不等式选做题

对任意的实数$x,y,\abs {x-1}+\abs x +\abs {y-1}+\abs {y+1}$的最小值为（  C  ）
A.1    B.2     C.3      D.4

直接绝对值不等式即可：
\[\left(\abs {x-1}+\abs x\right) +\left(\abs {y-1}+\abs {y+1}\right)\geqslant \abs {-1}+\abs {-2}=3\]
取等号时，$(x-1)x\leqslant 0,(y-1)(y+1)\leqslant 0$






E04 安徽 理数9

若函数$\abs {x+1}+\abs {2x+a}$的最小值为3，则实数$a$的值为( D )
A.5或8
B.$-1$或5
C.$-1$或$-4$
D.$-4$或8

从人教论坛学的，非原创。
转化一下，然后继续绝对值不等式：
\begin{align*}
\abs {x+1}+\abs {2x+a}&\geqslant \abs {x+1}+\dfrac 12 \cdot \abs {2x+a}\\
&=\abs {x+1}+\abs {x+\dfrac a2}\\
&\geqslant \abs {1-\dfrac a2}
\end{align*}
取“$=$”时，$2x+a=0,(x+1)(2x+a)\leqslant 0$，依题设 $\abs {1-\dfrac a2}=3 \Rightarrow a=-4,8$.







E05 重庆 理数16 不等式选讲

若不等式$\abs {2x-1}+\abs {x+2}\geqslant a^2+\dfrac 12a+2$ 对任意实数$x$恒成立，则实数$a$的取值范围是________.

依题，只需要求出$\abs {2x-1}+\abs {x+2}$的最小值即可，仿上，有
\begin{align*}
\abs {2x-1}+\abs {x+2}&\geqslant \abs {x-\dfrac 12}+\abs {x+2}\\
&\geqslant \abs {-\dfrac 12-2}=\dfrac 52
\end{align*}
于是
\[\dfrac 52 \geqslant a^2+\dfrac 12a+2 \Rightarrow -1 \leqslant a \leqslant -\dfrac 12\]

isee

E06 全国卷II 理数16

设点$M(x_0,1)$，若在圆$O:x^2+y^2=1$上存在点$N$，使得$\angle OMN=45^{\circ}$，则$x_0$的取值范围是________.

将点$M$绕原点$O$顺时针旋转$90^{\circ}$得到点$M'$，则$\angle OMM'=45^{\circ}$，当$MM'$与圆$O$相交即满足题设，就是点$O$到$MM'$的最大距离为1，此时
\[OM=\sqrt 2\Rightarrow x_0^2+1=2\Rightarrow x_0=\pm 1\]
从而，所求的结果为$x_0\in [-1,1]$。

isee

回复 19# kuing

kuing 已经把 重庆理数10 说得“体无完肤”了。

这里仅仅就题论题，考场及学生的角度来拿下此题。

条件化为
\[\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\frac 12\]
必然的，原帖里，kuing后面化简纯角度化，用的三角恒等式，其实，这只是人教B版必修4里的一个习题，常见的。


不过，学生从和差化积，积化和差，那掌握的程度，是不能期待的。


条件2是关于面积的，联想到圆周角与圆心角的关系，于是(这里仅仅只是为了好理解，置三角形ABC的外心于三角形内，事实上，下式对任意三角形均成立，涉及有向面积)

\[S=\frac 12R^2\sin 2A+ \frac 12R^2\sin 2B+\frac 12R^2\sin 2C=\frac {R^2}4 \in [1,2]\Rightarrow R\in[2,2\sqrt 2] \]

另一方面$S=\dfrac 12ab \sin C=\dfrac {abc}{4R}$，从而
\[abc=R^3\in [8,16\sqrt 2]\]

这里处理完C,D选项，而对A,B选项，其实是一样的，$a,b,c$三边处于等价地位，而

\[bc(b+c)>abc\geqslant 8\]

选项出来了：A。

kuing

回复 105# isee

soga, well done!
少用了一条恒等式也有好处，毕竟不是人人都熟悉，可惜的就是代之的那面积公式难免还是要讲清楚外心在内外都通用，要么像你说的用有向面积，要么分类讨论。