2014华约

wzxsjz

已知$n\in N^{*},x\leqslant n,$求证：$n-n(1-\frac{x}{n})^{n}e^{x}\leqslant x^{2}$

战巡

回复 1# wzxsjz

\[n-n(1-\frac{x}{n})^ne^x\le n[1-(1-\frac{x}{n})^n(1+\frac{x}{n})^n]\]
\[=n[1-(1-\frac{x^2}{n^2})^n]\le n[1-(1-\frac{x^2}{n})]=x^2\]

两个不等式的取等条件都是$x=0$，仅当$x=0$时等号成立

realnumber

2楼证得漂亮~~~

第一章

不知道命题人的答案是什么……

爪机专用

回复 2# 战巡

之前在群里好像就看你这样证过一次

kuing

回复 5# 爪机专用

翻到了

已知$n\inN^{*},x\leqslant n,$求证：$n-n(1-\frac{x}{n})^{n}e^{x}\leqslant x^{2}$
战巡2014-3-1
\[
n - n \left(1 - \frac{x}{n}\right)^n e^x \leq n - n \left(1 - \frac{x}{n}\right)^n \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = n - n \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)^n
\]
再由伯努利不等式得
\[
n - n \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)^n \leq n - n \left(1 - \frac{x^2}{n}\right) = x^2
\]

wzxsjz

哇德福呢！
wonderful!
exellent!

wzxsjz

$ e^{x}\geqslant(1+\frac{x}{n})^{n}    (x\in R) $,
这个怎么证明?


这个不等式不成立，$x=-4,n=2 $,就可以否了，2#好像用了它

realnumber

回复 8# wzxsjz

设$t=\frac{x}{n}$,再导数

wzxsjz

回复 9# realnumber
谢谢您

其妙

这里也有试题和解答：1、blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101im44.html
2、blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0101j1nj.html

kuing

回复 8# wzxsjz

要不是翻翻旧贴都不知道你这贴新加了内容……应该顶起来说哇不然别人注意不到

wzxsjz

回复 12# kuing

谢谢!我不老练。