一个之前还没完全解决的不等式，开个新帖继续求秒...

零定义

原帖链接：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=121&extra=page%3D4

求证：$\forall x>1$，都有$\dfrac{2^x-1}{3^x-2^x}\le 3(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x})$.

求各位大神秒！！！

零定义

来人呐，我的贴要沉了...

isee

沉不了沉不了，外面的基本解决后，就都会来了

偶是打酱油的

其妙

如果把$x$改成自然数$n$，在$n>3$的时候就是一个很弱的不等式，用二项式定理就可以证明。

realnumber

没秒~~~~，好难啊，我先丢砖头，
1.伯努利不等式$(1+0.5)^x>1+0.5x,x>1$
2.由模仿其导数证法,二项展开得到猜测可得$(1+0.5)^x \ge 1+0.5x+0.125x(x-1),x\ge2$
3.进而得$(1+0.5)^x \ge 1+0.5x+0.125x(x-1)+\frac{x(x-1)(x-2)}{48},x\ge3$
\[\frac{1-\frac{1}{2^x}}{1.5^x-1}\le\frac{1}{1+0.5x-1}\le \frac{3}{x(x-1)}\]
解得$x\le 2.5$
当$x\ge 2$时，
\[\frac{1-\frac{1}{2^x}}{1.5^x-1}\le\frac{1}{1+0.5x+0.125x(x-1)-1}\le \frac{3}{x(x-1)}\]
解得$x\le \frac{17}{5}$
当$x\ge3$时，
\[\frac{1-\frac{1}{2^x}}{1.5^x-1}\le\frac{1}{1+0.5x+0.125x(x-1)+\frac{x(x-1)(x-2)}{48}-1}\le \frac{3}{x(x-1)}\]
化简得$0\le x^2-13x+36$,解得$x\le4,or,x\ge9$
----汗$4<x<9$还是没解决，解决了也已经很难看了，不解了.

其妙

回复 5# realnumber
还是赞一个！

睡神

多谢realnumber老师，不过有点高深，我没往下看的勇气…
别沉了，冒个泡，继续求秒…

realnumber

写上证明记$f(t)=(1+t)^x-1-xt-0.5x(x-1)t^2,x>2,t\ge0$
则$f(0)=0,f'(t)=x(1+t)^{x-1}-x-x(x-1)t,f'(0)=0$
$f''(t)=x(x-1)(1+t)^{x-2}-x(x-1),f''(0)=0$
$f'''(t)=x(x-1)(x-2)(1+t)^{x-3}>0$所以依次可得$f''(t)>0,f'(t)>0,f(t)>0$,另一个类似.

Tesla35

看题目就想匿了

其妙

看题目就想匿了
Tesla35 发表于 2013-10-5 21:27

，本来原帖是$x\in N_+$吧，楼主偏偏要把它改为$x>1$，

零定义

顶上，好让西神帮忙秒掉！！！