幂指不等式链

青青子衿

对\(\forall a,b\in(0,1]\)
\[ \left(a+b\right)^{\frac{a+b}{2}}\leqslant\frac{\left(a+b\right)^a+\left(a+b\right)^b}{2}\leqslant a^b+b^a  \]

业余的业余

左边是均值不等式。右边不会

kuing

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俺也来保持队形一下：
当 `a+b\geqslant1` 时显然 `\dfrac{(a+b)^a+(a+b)^b}2\leqslant\dfrac{(a+b)+(a+b)}2=a+b\leqslant a^b+b^a`，当 `a+b<1` 时，不会

kuing

原来另一种情况也是简单的：
当 `a+b<1` 时显然 `\dfrac{(a+b)^a+(a+b)^b}2<\dfrac{1^a+1^b}2=1`，而 `a^b+b^a>1` 是已知结论，所以不等式成立！

业余的业余

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试了下，不得其法，请问$ a^b+b^a>1 $ 怎样证明？

realnumber

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参考下，帖子地址忘了记下来了，好在证明过程在.
四个幂指数不等式的证明以及否定.doc (235.5 KB, Downloads: 6583)

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指数不等式n=3,4-5修改000.doc (283.5 KB, Downloads: 6646)

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共同点是就Bernoulli不等式一招，很容易让人产生这样想法，就这够了？

业余的业余

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参考下，帖子地址忘了记下来了，好在证明过程在.

共同点是就Bernoulli不等式一招， ...
realnumber 发表于 2019-2-15 07:29

谢谢！伯努利不等式只粗粗见过一两次，确实陌生得很。 不等式门道深如海，让人望而生畏