幂指不等式链

青青子衿 · 发表于 2019-2-13 13:45

对$\forall a,b\in(0,1]$
\[ \left(a+b\right)^{\frac{a+b}{2}}\leqslant\frac{\left(a+b\right)^a+\left(a+b\right)^b}{2}\leqslant a^b+b^a \]

业余的业余 · 发表于 2019-2-13 18:23

左边是均值不等式。右边不会

kuing · 发表于 2019-2-13 22:56

回复 2# 业余的业余

俺也来保持队形一下：
当 `a+b\geqslant1` 时显然 `\dfrac{(a+b)^a+(a+b)^b}2\leqslant\dfrac{(a+b)+(a+b)}2=a+b\leqslant a^b+b^a`，当 `a+b<1` 时，不会

kuing · 发表于 2019-2-13 23:20

原来另一种情况也是简单的：
当 `a+b<1` 时显然 `\dfrac{(a+b)^a+(a+b)^b}2<\dfrac{1^a+1^b}2=1`，而 `a^b+b^a>1` 是已知结论，所以不等式成立！

业余的业余 · 发表于 2019-2-15 06:23

回复 4# kuing

试了下，不得其法，请问$ a^b+b^a>1 $ 怎样证明？

realnumber · 发表于 2019-2-15 07:29

回复 5# 业余的业余

参考下，帖子地址忘了记下来了，好在证明过程在.

指数不等式n=3,4-5修改000.doc (283.5 KB, 下载次数: 6622)
共同点是就Bernoulli不等式一招，很容易让人产生这样想法，就这够了？

业余的业余 · 发表于 2019-2-15 08:12

回复业余的业余

参考下，帖子地址忘了记下来了，好在证明过程在.

共同点是就Bernoulli不等式一招， ...
realnumber 发表于 2019-2-15 07:29

谢谢！伯努利不等式只粗粗见过一两次，确实陌生得很。不等式门道深如海，让人望而生畏

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