求证两函数的单调性

青青子衿

求两函数的单调区间：


个人感觉难！

kuing

这问题有什么背景没有？

其妙

回复 1# 青青子衿
    ，怎么想到的这两个函数？

kuing

玩 g(x) 先。

\[
g(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{x^2+x^{-2}}=\frac{2\sinh x}{x^2+x^{-2}},
\]
显然 $g(x)$ 是奇函数，于是只要考虑 $x>0$ 部分即可。令
\[h(x)=g\bigl(\sqrt{\tan x}\bigr)=\frac{2\sinh \sqrt{\tan x}}{\tan x+(\tan x)^{-1}}=\sin 2x\sinh \sqrt{\tan x}\quad x\in\left(0,\frac\pi2\right),\]
那么 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增当且仅当 $h(x)$ 在 $(0,\pi/2)$ 上递增。求导得
\begin{align*}
h'(x)&=2\cos 2x\sinh \sqrt{\tan x}+\sin 2x\cosh \sqrt{\tan x}\frac1{2\sqrt{\tan x}\cos^2x} \\
& =2\cos 2x\sinh \sqrt{\tan x}+\sqrt{\tan x}\cosh \sqrt{\tan x},
\end{align*}
注意到 $\cosh x>\sinh x$ 恒成立，故
\[h'(x)>\bigl(2\cos 2x+\sqrt{\tan x}\bigr)\sinh \sqrt{\tan x},\]
下面证明
\[2\cos 2x+\sqrt{\tan x}>0,\]
当 $x\in(0,\pi/4]$ 时上式显然成立，当 $x\in(\pi/4,\pi/2)$ 时，上式等价于
\[\tan x>4\cos^22x,\]
令 $\tan x=t\in(1,+\infty)$，则由万能公式知上式等价于
\[t>4\left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2,\]
事实上
\[(1+t^2)^2t-4(1-t^2)^2=4(t^2-1)+t(t^2-2t-1)^2>0,\]
这样就得到了 $h'(x)>0$，所以 $g(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上都递增。

kuing

f(x) 的难多了，太接近 0 了，好难放缩……

kuing

对 f(x) 直接求导做，化为证明当 $x>0$ 时恒有 $e^{2x}(x^5-2x^4+x+2)>x^5+2x^4+x-2$，而 $x^5-2x^4+x+2=(x+2)(x-1)^4+2x(x-2)^2>0$，所以等价于证
\[e^{2x}>\frac{x^5+2x^4+x-2}{x^5-2x^4+x+2}=1+\frac{4(x^4-1)}{x^5-2x^4+x+2},\]
1.6附近那里很接近，次数又高，太难证了……你们有没有什么好法子……

isee

根本都不考虑这题，完全无力

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原来两增……