请教2015年全国联赛湖北预赛第10题

yhg1970

使得(p+1)/2和(p^2+1)/2都是完全平方数的最大质数为___________。

答案为7，不知如何解析？数论菜鸟请教大家。

kuing

我也是数论菜鸟，不知这样做对不对
设 $p+1=2m^2$, $p^2+1=2n^2$, $m$, $n\inN^+$，两式相减得
\[p(p-1)=2(n-m)(n+m),\]
由于 $p$ 为奇质数，故必有 $p\mid(n-m)$ 或 $p\mid(n+m)$，由此可得
\[p\leqslant n+m=\sqrt{\frac{p^2+1}2}+\sqrt{\frac{p+1}2},\]
两边平方整理得
\[(p-2)(p+1)\leqslant 2\sqrt{(p^2+1)(p+1)},\]
左边恒为正，故再两边平方得
\[(p-2)^2(p+1)\leqslant 4(p^2+1),\]
展开为
\[p^2(p-7)\leqslant0,\]
所以 $p\leqslant7$，当 $p=7$ 时满足题意，故最大质数 $p$ 为 $7$。

yhg1970

回复 2# kuing


    谢谢kuing出手相助。在我看来您是挥洒自如无所不通的，您太谦虚了。

kuing

回复 3# yhg1970

[NO]不是谦虚，数论我确实没研究

kuing

“2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高一试题”原来是高一的预赛

活着＆存在

其妙

see：blog.sina.com.cn/s/blog_64b970c60102vvie.html，

realnumber

回复 6# 活着＆存在
n为奇数，设n=2t+1,t为非负整数
可得$k^2+(k+1)^2=(2t+1)^2$,即$k(k+1)=2t(t+1)$
又(k,k+1)=1=(t,t+1),
所以k=t或k=2t或k=t+1或k=2(t+1)------这步似乎错了.先保留着，想想有没改正的可能.
解得t=2,k=3.

1楼p=2k+1,那么p=7

hejoseph

活着＆存在 发表于 2015-6-3 16:34

$k^2+(k+1)^2=n^2$ 整理得
\[
(2k+1)^2-2n^2=-1
\]
这个不定方程正整数通解就是
\[
2k+1+\sqrt 2n=\left(1+\sqrt 2\right)^{2t+1}
\]
其中 $t$ 是任意正整数

其妙

回复 9# hejoseph
Pell方程？

hejoseph

就是Pell方程的结论