一个二次不定方程

力工

求方程$x^2+x=2y^2$的正整数解。
这个题完全迷茫了， 不知如何下手。

kuing

俺也是数论盲，胡乱试一下……

设 `y=2^km`，其中 `m` 为奇数，方程为 `x(x+1)=2^{2k+1}m^2`，
由于 `x` 与 `x+1` 互素，所以 `2^{2k+1}` 要么由 `x` 提供要么由 `x+1` 提供，故此有两种情况：
`x=2^{2k+1}a^2`, `x+1=b^2` 或 `x+1=2^{2k+1}a^2`, `x=b^2`，其中 `a`, `b` 为奇数，`ab=m` 且 `(a,b)=1`，
再令 `c=2^ka`，问题转化为 `b^2-2c^2=\pm1` 的问题，这个好像已经有定论了是吗？

总感觉做了些多余的事……

tommywong

$x^2+x=2y^2$

$4x^2+4x+1=8y^2+1$

$(2x+1)^2-8y^2=1$

這樣就是Pell了

kuing

回复 3# tommywong

果然我写的那些都是多余的……

hbghlyj

sympygamma.com/input/?i=diophantine(x**2+x-2*y**2)

x	y
\[\frac{\left(-3 + 2 \sqrt{2}\right) \left(17 - 12 \sqrt{2}\right)^{t}}{4} + \frac{\left(-3 - 2 \sqrt{2}\right) \left(12 \sqrt{2} + 17\right)^{t}}{4} - \frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2} \left(- \left(-3 + 2 \sqrt{2}\right) \left(17 - 12 \sqrt{2}\right)^{t} + \left(-3 - 2 \sqrt{2}\right) \left(12 \sqrt{2} + 17\right)^{t}\right)}{8}\]
\[\frac{\left(17 - 12 \sqrt{2}\right) \left(17 - 12 \sqrt{2}\right)^{t}}{4} + \frac{\left(12 \sqrt{2} + 17\right) \left(12 \sqrt{2} + 17\right)^{t}}{4} - \frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2} \left(- \left(17 - 12 \sqrt{2}\right) \left(17 - 12 \sqrt{2}\right)^{t} + \left(12 \sqrt{2} + 17\right) \left(12 \sqrt{2} + 17\right)^{t}\right)}{8}\]
\[\frac{\left(3 - 2 \sqrt{2}\right) \left(17 - 12 \sqrt{2}\right)^{t}}{4} + \frac{\left(2 \sqrt{2} + 3\right) \left(12 \sqrt{2} + 17\right)^{t}}{4} - \frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2} \left(- \left(3 - 2 \sqrt{2}\right) \left(17 - 12 \sqrt{2}\right)^{t} + \left(2 \sqrt{2} + 3\right) \left(12 \sqrt{2} + 17\right)^{t}\right)}{8}\]
\[\frac{\left(-17 + 12 \sqrt{2}\right) \left(17 - 12 \sqrt{2}\right)^{t}}{4} + \frac{\left(-17 - 12 \sqrt{2}\right) \left(12 \sqrt{2} + 17\right)^{t}}{4} - \frac{1}{2}\]	\[\frac{\sqrt{2} \left(- \left(-17 + 12 \sqrt{2}\right) \left(17 - 12 \sqrt{2}\right)^{t} + \left(-17 - 12 \sqrt{2}\right) \left(12 \sqrt{2} + 17\right)^{t}\right)}{8}\]