证明一个面积不等式

TSC999

图中，ABCD 是一个梯形，E、F 是上、下底上的任意点。证明四边形 EGFH 的面积不大于梯形 ABCD 面积的四分之一。

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    好像在哪见过，应该是经典竞赛题改编的。

TSC999

连接 EF，则 EF 把原梯形分成了左右两个小梯形。对于每一个梯形而言，对角线左、右的两个三角形面积相等。
对于左边的小梯形，只要证明 S1 的面积小于等于 ABFE 面积的四分之一即可。同样，
对于右边的小梯形，只要证明 S2 的面积小于等于 EFCD 面积的四分之一即可。这样，
S1+S2 的面积就小于等于 ABCD 面积的四分之一了。

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    原来楼主没有证完啊。

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     找到了，1994年第九届中国数学奥林匹克 第1题。  有意思的是，这个等号取不到。

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    我看到过答案，把其一种与楼主接近的答案按其意思写下来：


接三楼：
    记$S_{\triangle AGE}=a,S_{\triangle FGB}=b$，则$$S_1^2=ab\leqslant \left(\frac {a+b}2\right)^2\Rightarrow 2S_1\leqslant a+b\Rightarrow 4S_1\leqslant 2S_1+a+b.$$下略

TSC999

连接 EF，先看右边的梯形，由于 $  S^2=S1S2 $，故 $  S=\sqrt{S1S2} ≤\frac{1}{2}(S1+S2) $，即 $ S+S≤S1+S2 $，

所以 $ S=\frac{1}{4}(S+S+S+S)≤\frac{1}{4}(S+S+S1+S2) $。这就是说 $ S $ 不大于四边形 $ EFCD $ 面积的四分之一。

同理，对于左边的梯形，三角形 $ EGF $ 的面积不大于四边形 $ ABFE $ 面积的四分之一。

于是四边形 $ EGFH $ 的面积不大于四边形 $ ABCD $ 面积的四分之一。