指数的一个样子不错的二次逼近

v6mm131

证明：$x>0$时,$e^x>x^2+x$

v6mm131

kk试试这个技术，研究一些这类题，以及这些不等式的命制技巧
$\frac{e^x}{x}-\frac{1}{2}(x^2-2x)\ge e+\frac{1}{2}>3\ge-\frac{1}{2}x^2+2x+1$

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$e^\frac{x}{2}-x\ge2-2\ln 2>\frac{1}{2}$

v6mm131

话说，上面的可以加强到$e^x>x^2+x+\frac{2}{3}$  kk试试

v6mm131

水一波 比较大小：$1+\sqrt{\frac{7}{3}}>\ln  (\frac{19}{3}+4\sqrt\frac{7}{3})$

zhcosin

有一段时间没上论坛了，话说这个问题你们不会没听说过泰勒公式吧，记
\[
T_n(x)=1+x+\frac{1}{2} x^2+\cdots+\frac{1}{n!} x^n
\]
先来证明：
定理 1．当 $x>0$ 时，对于任意自然数 $n$ ，成立不等式 $e^x>T_n(x)$ ．
证明．采用归纳法，$n=0$ 时不难验证结论成立，假定对于正整数 $n$ 定理也成立，则记 $f_n(x)=e^x-$ $T_n(x)$ ，只需证明 $f_{n+1}(x)>0$ ．显然 $T_{n+1}^{\prime}(x)=T_n(x)$ ，所以 $f_{n+1}^{\prime}(x)=f_n(x)$ ，由假设，$f_n(x)>0$ ，所以 $f_{n+1}^{\prime}(x)>0$ ，于是 $f_{n+1}(x)$ 在 $x>0$ 时递增，所以 $f_{n+1}(x)>f_{n+1}(0)=0$ ，所以定理成立．

有此定理后，你想怎么放缩就怎么放缩，只要取足够大的 $n$ ，便具有任意的精度，比如说你想要证明的
\[
e^x>x^2+x
\]
只要取 $n=3$ ，就有 $e^x>T_3(x)=1+x+\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{6} x^3$ ，考虑证明 $T_3(x)>x^2+x$ ，记
\[
h(x)=T_3(x)-\left(x^2+x\right)=\frac{1}{6}\left(x^3-3 x^2+6\right)
\]
则 $h^{\prime}(x)=\frac{1}{2} x(x-2)$ ，因此 $h(x)$ 在 $x=2$ 处达到最小值，$h(x) \geqslant h(2)=\frac{1}{3}$ ，于是就得到你想要的放缩。
自然你想要的下界2/3，继续增大$n$，比如说取$n=4$，应该就可以办到。

v6mm131

追求一些 技巧  最好不用程序化的计算机方法 比如牛顿切线迭代之类的

v6mm131

回复 6# zhcosin
for $n=4$并不能达到要求

v6mm131

回复 6# zhcosin
$n=5$的时候才可以达到要求

zhcosin

回复 7# v6mm131
大路不走，非走小路。。。。