向量两题，关于外心,内心

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2017湖州衢州丽水三市高三4月联考
已知O是三角形ABC的外心，∠C=$\frac{\pi}{4}$,若$\vv{OC}=m\vv{OA}+n\vv{OB},(m,n\in R)$,则m+n的取值范围是：
A [$-\sqrt{2},\sqrt{2}$]  
B[$-\sqrt{2},1$)
C[$-\sqrt{2},-1$)
D($1,\sqrt{2}$]

RtΔABC中，AB=3,AC=4,BC=5,I是ΔABC的内心，P是ΔIBC内部（不含边界）的动点，
若$\vv{AP}=λ\vv{AB}+μ\vv{AC} (λ，μ\in R)$,则λ+μ的取值范围是
A($\frac{7}{12},1$)B($\frac{1}{3},1$)C($\frac{1}{4},\frac{7}{12}$)D($\frac{1}{4},1$)





BA

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再来2题：
O是三角形ABC外心，AB=2,AC=1,∠BAC=120°，若$\vv{AO}=m\vv{AB}+n\vv{AC}$,则m-n=_____.


ΔABC中，∠B=60°，O为外心，又$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$,且$\vv{BP}·\vv{BC}=8$,则AC边上的高h最大值为_____.






-0.5,$2\sqrt{3}$

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外心的


二楼的第一个（含顶楼第一个），外心的，与楼主发的  (2013宁波第一学期期末理科17)O为外心,又：收集类似向量问 实质相同

内心外心利用结论（链接中的2楼) forum.php?mod=viewthread&tid=4973
类似的题(除了利用结论，还有坐标法） 来自人教群的三角形外心向量系数和最大值  来自减压群的外心向量系数最值

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1楼第一个分别和$\vv{OA},\vv{OB}$数量积下，可以得m=cos2B,n=cos2A后面略

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RtΔABC中，AB=3,AC=4,BC=5,I是ΔABC的内心，P是ΔIBC内部（不含边界）的动点，……

这个，由于是选择题，最大值（上界）容易，P在BC上时，最小值（下界）猜P与I重合时。

如果要严格写，考虑到直角三角形，直接以点A为原点，两直边有坐标系建系硬算好了。

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11号更新

建系仅是随口一说，细想了下，实际不必，向量的定比分点公式的几何意义即知：P在AC边上最大，P在I时最小。

可写一个比较难看的过程：

过点$P$作$l$平行于$BC$交$AB$，$AC$分别相交于点$E$，$F$两点，则有
$$\vv{AP}=m\vv{AE}+n\vv{AF}=\frac {m\cdot AE}{AB}\vv{AB}+\frac {n\cdot AF}{AC}\vv{AC}=km\vv{AB}+kn\vv{AC}，.$$
其中$$k=\frac {AE}{AB}=\frac {AF}{AC}.$$
于是
$$\lambda+\mu=k(m+n)=k.$$
下略。

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$O$为外心$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$，由向量中的著名欧拉定理，知P就是垂心。直觉正三边形时高取最大，还未验证（证明）。

粗略看了下（P在三角形内时），求AC边上高最大，即求BP最小，而BP是点O到AC边的距离的2倍，变成求O到AC最小，而B是定值，变为求三角形外接圆半径最小。
不过，而条件的内积等价于$\vv{BA}\cdot\vv{BC}=8$，似乎可以转化为半径来解，不过，太绕了，不好。哈哈。。

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题：$\triangle ABC$中，$\angle B=60^\circ$，$O$为外心， 又$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$，且$\vv{BP}·\vv{BC}=8$，则$AC$边上的高$h$最大值为_____.

解：由$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$知，点$P$为$\triangle ABC$垂心，于是$\vv{BP}·\vv{BC}=8$等价于$c\cos B\cdot a =8$.

又$\angle B=60^\circ$，于是$$ac=16,S_{\triangle ABC}=4\sqrt 3,h_b=\frac {2S_{\triangle ABC}}{b}.$$

而$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=a^2+c^2-ac\geqslant ac=16\Rightarrow b\geqslant 4.$$

从而$$h_b=\frac {2S_{\triangle ABC}}{b}\leqslant \frac {2S_{\triangle ABC}}{4}=2\sqrt 3.$$

此时$\triangle ABC$为正三角形.





其次，如果对向量中的著名的欧拉定理闻所未闻，则由$\vv{OP}=\vv{OA}+\vv{OB}+\vv{OC}$知$\vv{AP}=\vv{OB}+\vv{OC}$.
则$$\vv{AP} \cdot \vv{BC}=\left(\vv{OB}+\vv{OC}\right)\cdot \vv{BC}=-\frac {b^2}2+\frac {b^2}2=0.$$
即$$AP\perp BC.$$
至此$$\vv{BP}·\vv{BC}\iff \vv{BA}·\vv{BC}.$$
同理可知$$BP\perp AC.$$
这表明点$P$是$\triangle ABC$垂心.

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5#续

现在问题是下界如何确定。

延长$AI$交$BC$于$I'$，由三角形内角平分线定理，则下界
$$k=\frac{AI}{AI'}=\frac{c}{c+BI'}.$$
而$$\frac{BI'}{a}=\frac{c}{c+b}=\frac{c+BI'}{a+b+c}.$$
后面就容易了。

更详细的 zhcosin 在其学习笔记 几何分册 是有具体过程，本论坛也有，我找找。

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找到了 向量（如何推出垂心的结论）

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哈哈，从一般情况开始写的，估计也不是你们想要的

其妙

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回复 9# isee


找到纯几何证明了。
数学通迅 2014年郑金