类抛物线的轨迹极限

hbghlyj

给定点P,圆O，QR在圆O上运动，QR=OP,QO交RP于S，P趋于O时，S的轨迹的极限是什么？(已知不是抛物线)
当PO减小时曲线的第二支逐渐远离,当P=O时曲线只有一支

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2020-5-20 10:13 Upload

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P(p,0),圆O的半径为1,则S的轨迹方程为$(4-p^2)x^4+(4-2p^2)x^2y^2-p^2y^4+(-8p+2p^3)x^3+(-4+2p^2)\sqrt{4-p^2}x^2y+(-8p+2p^3)xy^2+(-4+2p^2)\sqrt{4-p^2}y^3+(4p^2-p^4)x^2+(4p-2p^3)\sqrt{4-p^2}xy+(2-p^2)^2y^2=0$
代入p=0,得\[x^4+x^2 y^2-2 x^2 y-2 y^3+y^2=0\]
用GrafEq画出来如下：

kuing

直接算极限的好了，不妨设 `Q(\cos\theta,\sin\theta)`, `S(x,y)`，分两种情况：

（1）当 `Q` 像 1# 的图那样位于 `x` 轴下方，即 `\theta\in(-\pi,0)` 时，此时 `S` 位于 `QO` 的延长线上，极限时满足 `SO:SQ=-\sin\theta`（特别地当 `Q(0,-1)` 时 `S` 为 `y` 轴正方向上的无穷远点），于是
\[\led
\frac x{x-\cos\theta}&=-\sin\theta,\\
\frac y{y-\sin\theta}&=-\sin\theta,
\endled
\riff
\led
x&=\frac{\sin\theta\cos\theta}{1+\sin\theta},\\
y&=\frac{\sin^2\theta}{1+\sin\theta};
\endled\]
（2）当 `Q` 不在 `x` 轴下方，即 `\theta\in[0,\pi]` 时，此时 `S` 位于线段 `QO` 上，极限时满足 `OS:SQ=\sin\theta`，于是
\[\led
\frac{-x}{x-\cos\theta}&=\sin\theta,\\
\frac{-y}{y-\sin\theta}&=\sin\theta,
\endled\]这和（1）的方程是一样的。

综上所述，`S` 的参数方程就是
\[\led
x&=\frac{\sin\theta\cos\theta}{1+\sin\theta},\\
y&=\frac{\sin^2\theta}{1+\sin\theta}.
\endled\]

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取出最高次项,曲线与无穷远线的交点满足\[\left(4-p^2\right) x^4-2x^2  y^2\left( p^2 -2\right)-p^2 y^4=0\]即\[(x^2 + y^2) ((p^2-4) x^2 + p^2 y^2 )=0\]所以曲线有一个环形分支，且p=0时有一个抛物线型分支，0<p<2时有两支，p=2是圆，p>2时无轨迹