求内接于抛物线y^2=2px（p>0）的正三角形的中心的轨迹

天音

如题

abababa

回复 1# 天音

设三点的坐标分别是$(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_3,y_3)$。中心$(x,y)$一定满足$3x=x_1+x_2+x_3,3y=y_1+y_2+y_3$。
再用斜率，$k_3=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_2^2-y_1^2}{(y_1+y_2)(x_2-x_1)}=\frac{2p(x_2-x_1)}{(y_1+y_2)(x_2-x_1)}=\frac{2p}{y_1+y_2}$，同理能得出$k_2=\frac{2p}{y_3+y_1},k_1=\frac{2p}{y_2+y_3}$。然后用夹角公式$\sqrt{3}=\tan\frac{\pi}{3}=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=\frac{2p(y_2-y_1)}{(y_2+y_3)(y_3+y_1)+4p^2}$，同理能得出
\[\frac{2p(y_2-y_1)}{(y_2+y_3)(y_3+y_1)+4p^2}=\frac{2p(y_3-y_2)}{(y_3+y_1)(y_1+y_2)+4p^2}=\frac{2p(y_1-y_3)}{(y_1+y_2)(y_2+y_3)+4p^2}=\sqrt{3}\]
然后用比例性质，把三式的分子分母分别相加，得出
\[\sqrt{3}=\frac{2p(y_2-y_1)+2p(y_3-y_2)+2p(y_1-y_3)}{(y_2+y_3)(y_3+y_1)+(y_3+y_1)(y_1+y_2)+(y_1+y_2)(y_2+y_3)+12p^2}\]
但是这时分子是$0$，把分母乘过去可知分母也是$0$，分母展开就是
\[y_1^2+y_2^2+y_3^2+3(y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1)+12p^2=0\]
然后因为$2px_1=y_1^2,2px_2=y_2^2,2px_3=y_3^2$，相加得$2p\cdot3x=y_1^2+y_2^2+y_3^2$，代入上式可得
\[3(y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1)+12p^2+6px=0\]
然后是$2(y_1y_2+y_2y_3+y_3y_1)=(y_1+y_2+y_3)^2-(y_1^2+y_2^2+y_3^2)=9y^2-6px$，再代入上式就得到$9y^2-2px+8p^2=0$，就是轨迹了。

天音

好解法！学习了
and，不知换成椭圆或双曲线会怎么样？

lemondian

好解法！学习了
and，不知换成椭圆或双曲线会怎么样？
天音 发表于 2016-10-3 13:53

同问：
换成椭圆或双曲线时，结论会怎么样？