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设初始时圆盘上的点 `P` 在 `A` 处，滚动一段距离后与圆锥相切于 `OB`，如下图所示：
为简便起见，不妨设圆锥母线长为 `1`，设圆锥角 `\angle COB=\theta`，则其底面半径 `r=\sin\theta`，高为 `h=\cos\theta`。
设 `\angle ACB=t`, `\angle POB=u`，则有
\[u=\overparen{PB}=\overparen{AB}=rt,\]
建空间直角坐标系，使得 `O` 为原点，且 `C(0,0,-h)`, `A(r,0,-h)`，且为右手系，下面来求 `P` 的坐标。
我们可以通过以下旋转变换由 `A` 变到 `P`：
先将 `A(r,0,-h)` 绕 `y` 轴旋转 `90\du-\theta` 角至 `A'(1,0,0)`；
再绕 `z` 轴旋转 `-u` 角至 `A''(\cos u,-\sin u,0)`；
再绕 `y` 轴旋转 `\theta-90\du` 角至 `A'''(r\cos u,-\sin u,-h\cos u)`；
再绕 `z` 轴旋转 `t` 角就是 `P` 的位置，所以
\[P(r\cos u\cos t+\sin u\sin t,-\sin u\cos t+r\cos u\sin t,-h\cos u),\]
代入 `u=rt`，即得 `P` 的轨迹的参数方程为
\[\led
&x=r\cos(rt)\cos t+\sin(rt)\sin t,\\
&y=-\sin(rt)\cos t+r\cos(rt)\sin t,\\
&z=-h\cos(rt).
\endled\quad \text{($t$ 为参数)}\]
MMA 验证：
- \[Theta] = ArcSin[5/6];
- r = Sin[\[Theta]];
- h = Cos[\[Theta]];
- ParametricPlot3D[{{r Cos[r t] Cos[t] +
- Sin[r t] Sin[t], -Sin[r t] Cos[t] +
- r Cos[r t] Sin[t], -h Cos[r t]}}, {t, 0, 12 Pi}]
输出：
注：楼主的动画里的轨迹有 5 瓣，为了与之对比，上图中取 `\theta=\arcsin(5/6)`，看起来形状是一样的，那上述推导应该没问题了。 |
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kuing
发表于 2023-4-4 18:05
