一道「小黄鸭」概率题及其有趣扩展

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一道「小黄鸭」概率题及其有趣扩展
4只小鸭子在一个大的圆形水池中,分别随机的出现在圆圈中的任意一点. 4只鸭子出现在同一个半圆内的概率是多少?

注意到在此题中，小黄鸭到圆心的距离是无关紧要的，重要的只是它们在圆心的哪个方向。为了简化问题，可以让小黄鸭们都沿着远离圆心的方向游到岸边，如图所示。

这样的操作，可以把「二维圆形内的均匀分布」，化简成「一维圆周上的均匀分布」，维度降低了，问题就会变简单。为了下文叙述更方便，我们再让小黄鸭们右转 90 度，岸在左边，圆心在右边。

如果小黄鸭们最初是在同一个半圆里，那么游到岸边之后，它们就会位于同一个半圆弧上，并且会有一个「排头」。在选定了「排头」之后，其它的小黄鸭就必须位于它后方的半圆周（黄色）上，而不能位于它前方的半圆周（黑色）上。对于除了「排头」的每一只小黄鸭来说，这个概率是 $1/2$；3 只小黄鸭都位于「排头」后方的概率就是 $(1/2)^3 = 1/8$。而 4 只小黄鸭中，任一只都有可能充当排头，所以题目的答案就是 $1/8 \times 4 = 1/2$。

根据上面的思路，我们也可以很容易地对小黄鸭的数量进行推广：$n$ 只小黄鸭位于同一个半圆内的概率等于 $n/2^{n-1}$。

喏，题目就做完啦！不过，接下来的日子里，我又把这道题想了好几天。为什么呢？因为只在二维里思考这个问题不过瘾呀！我们不妨想一下三维情况：4 只小黄鸭随机、均匀地出现在一个球面上，它们位于同一个半球面的概率是多少呢？问题的三维版本无法直接套用二维的解法，因为在球面上就没有「排头」的概念了。

一道「小黄鸭」概率题及其有趣扩展 (2)
　　3blue1brown 频道曾经讲解过一道 Putnam 数学竞赛题目 [YouTube]，恰好就给出了小黄鸭问题的三维版本的解答。

　　这道 Putnam 竞赛题目是这样的：在一个球面上均匀随机地取 4 个点，它们连成的四面体包含球心的概率是多少？

　　这道题跟小黄鸭问题有什么关系呢？注意到，「四面体包含球心」跟「4 个点位于同一个半球面」恰好是互补事件（忽略四点共面、球心位于四面体的面上等零概率事件），所以「4 只小黄鸭位于同一个半球面」的概率，就等于 1 减去「四面体包含球心」的概率。

　　要解决高维问题，有效的办法还是降维。不过，在上一篇的结尾已经说了，小黄鸭问题无法直接从二维推广到三维，因为「排头」的概念在球面上不适用了。怎么办呢？Putnam 竞赛题里提到了「四面体」的概念，这正好给我们提供了另一种降维的思路：「四面体」在二维里的对应物是「三角形」，所以我们考虑圆周上有 3 只小黄鸭的情况。

　　我们在圆周上依次放置 3 只小黄鸭。在放了 2 只之后，第 3 只如果想跟前两只构成一个三角形把圆心包含在内，它就只能放在圆周上特定的某一段内。具体地说，设前两只小黄鸭位于 A、B，它们关于圆心的对称点是 A'、B'，那么第 3 只小黄鸭就必须位于 A'、B' 之间的劣弧上。