能不能直接放缩为等比求和？

力工

已知$a_n=\dfrac{2^{n-1}}{2^{2n-1}+3\cdot 2^{n-1}+1}$,证明：$a_n$的前n项和 $<\dfrac{1}{2}$．
这道题可先裂项后得到结果．
我想知道并求助的是：这题能不能放缩为等比数列后求和证明结论？谢谢！

kuing

裂项是
\[\frac{2^{n-1}}{2^{2n-1}+3\cdot2^{n-1}+1}=\frac1{2^{n-1}+1}-\frac1{2^n+1},\]
那就是
\[S_n=\frac12-\frac1{2^n+1},\]
所以 `S_\infty=1/2`，那怎么可能放缩为等比呢？就算你从第 10000 项开始放缩，这一项放缩产生的误差哪怕是 0.00001，放缩完之后的和当 n 足够大时也必然大于 1/2+0.00001。